Bài 12. Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh là 4 .. b Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy[r]
(1)(2)Mụ c lụ c
Chương I KHẢO SÁT HÀM SỐ
I TAM THỨC BẬC HAI
1 Định nghĩa:
2 Dấu tam thức bậc 2:
3 Định lý Vi-et
4 So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số
5 Bài tập ví dụ:
II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
III CÁC DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 Hàm số bậc ( )
2 Hàm số trùng phương ( )
3 Hàm số biến ( )
IV CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 Biện luận nghiệm
2 Phương trình tiếp tuyến 10
3 Cực trị hàm số 14
4 Hàm chứa dấu trị tuyệt đối 16
Chương II TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 20
I BẢNG CÔNG THỨC 20
II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 20
1 Phương pháp đổi biến số 20
2 Tích phân dạng lượng giác 22
3 Tích phân hàm hữu tỷ 25
4 Hàm vơ tỷ 27
5 Tích phân phần: 27
Chương III HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 31
I Giải phương trình mũ sau: 31
II Giải phương trình logarit sau: 31
III Giải bất phương trình sau: 31
(3)Chương IV SỐ PHỨC 34
I Kiến thức cần nhớ 34
1 Định nghĩa: 34
2 Các phép tính số phức 34
3 Khai số phức 34
II Bài tập 35
1 Tìm số phức z thỏa 35
2 Giải phương trình tập phức: 36
Chương V LƯỢNG GIÁC 38
I Các công thức lượng giác 38
1 Công thức bản: 38
2 Công thức cộng 38
3 Công thức nhân đôi 38
4 Công thức nhân ba 38
5 Công thức hạ bậc 38
6 Cơng thức tổng thành tích 38
7 Cơng thức tích thành tổng 39
8 Cơng thức đặc biệt 39
II Các dạng tập lượng giác 39
1 Phương trình lượng giác bản: 39
2 Phương trình bậc hai theo hàm lượng giác 39
3 Phương trình bậc theo sin cos có dạng: asinx + bcosx = c 40
4 Phương trình dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d 41
III Bài tập 41
1 Phương trình lượng giác 41
2 Phương trình bậc hàm lượng giác 42
3 Phương trình bậc hàm lượng giác 42
4 Phương trình bậc sin cos 43
5 Phương trình sin cos 43
IV BÀI TẬP TỔNG HỢP 44
Chương VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 46
(4)2 Hệ đối xứng loại I: Phương pháp chung 46
3 Hệ đối xứng loại II: Phương pháp chung 46
4 Hệ khác: 46
II Bài tập 46
Chương VII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 48
I Giải phương trình sau: 48
II Giải bất phương trình sau: 48
III Tìm m để phương trình, bất phương trình sau: 49
IV Giải phương trình sau: 49
Chương VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP 50
I Quy tắc cộng – Quy tac nhân 50
1 Quy tắc cộng: 50
2 Quy tắc nhân: 50
II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 50
III XÁC SUẤT 51
1 Biến cố ngẫu nhiên 51
2 Xác suất biến cố 52
3 Cơng thức tính xác suất 52
IV NHỊ THỨC NEWTON 52
1 Định nghĩa: Nhị thức Newton khai triển tổng luỹ thừa có dạng: 52
2 Tính chất 52
V Bài tập 52
Chương IX BẤT ĐẲNG THỨC 56
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 56
1 Một số tính chất 56
2 Một số bất đẳng thức thông dụng 56
II Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 56
1 Phương pháp dùng định nghĩa 56
2 Phép biến đổi tương đương 57
3 Phương pháp dung bất đẳng thức 58
4 Dùng tính chất bất đẳng thức 59
5 Dùng bất đẳng thức tam giác 60
(5)7 Ứng dụng bất đẳng thức tìm cực trị 62
III Bài tập 64
IV Một số đề thi dại học 64
Chương X HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 66
I KHỐI ĐA DIỆN 66
II HÌNH NĨN – HÌNH TRỤ - HÌNH CẦU 68
1 Hình nón 68
2 Hình trụ 69
3 Mặt cầu, khối cầu 69
Chương XI KHƠNG GIAN VECTƠ BA CHIỀU 72
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT: 72
1 Hình cầu, mặt cầu 72
2 Phương trình mặt phẳng 72
3 Phương trình đường thẳng 72
4 Khoảng cách: 72
II BÀI TẬP 73
Chương XII HÌNH HỌC PHẲNG 77
I Đường thẳng mặt phẳng 77
1 Thiết lập phương trình đường thẳng 77
2 Phương trình chùm đường thẳng 77
3 Khoảng cách : 77
4 Vị trí tương đối hai đường thẳng: 78
5 Góc hai đường thẳng: 78
II Phương trình đường trịn 78
1 Thiết lập phương trình đường tròn 78
2 Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng 79
III BÀI TẬP 79
IV CÁC ĐƯỜNG CONIC 82
1 Elip 82
2 Hyperbal 83
3 Parabol 84
(6)Chương I.
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I.
TAM THỨC BẬC HAI
1. Định nghĩa:
Cho hàm số ( ) có gọi tam thức bậc hai 2. Dấu tam thức bậc 2:
a/ ( ) { b/ ( ) {
3. Định lý Vi-et
Cho phương trình bậc hai: có nghiệm thì:
{
Định lý vi-et đảo: Nếu biết: { x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P =
4. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số
a/ ( ) b/ {
( )
c/ {
( )
d/ ( ) ( )
5. Bài tập ví dụ:
Tìm m: x2 – 2mx + 3m – = 0, thỏa: x1 < < x2. Giải: x1 < < x2 khi: af( )
(7)II.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Phương pháp:1 Tìm tập xác định Chú ý trường hợp tập xác định vô cực ta tìm giới hạn hàm số vơ cực
2 Tìm y’
3 Cho y’ = Tìm nghiệm x
4 Lần lượt tính giá trị f(x) so sánh Bài tập:
1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau, khoảng xác định:
a/ [ ] b/ ( ) [ ]
c/ [ ] d/ √ [ ] e/ [ ] f/
[ ] g/ [ ] h/ [ ] i/
[ ] j/ [ ] Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:
a/ √ b/ ( )√
c/ √ d/ √ √
3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:
a/ b/
c/
d/
4 Tìm m để hàm số đạt GTNN lớn Tìm giá trị m để giá tri nhỏ hàm số ( )
đoạn [0;1] -2
6 Tìm m để giá trị lớn hàm số ( )
đoạn [0,1] -2 Cho số thực x, y thoả: ( ) √ Tìm GTLN,GTNN x/y
(8)9 Tìm GTLN,GTNN biểu thức : (HD Thế điều kiện vào S, đặt x = sin ; y = cos ) 10 Cho số thực dương thoả x + y = Tìm GTNN
√ √ (HD Đặt x = sin2 ; y = cos2 )
11 Cho số không âm a,b,c thoả a + b + c = Tìm GTNN (a3+b3+c3) (HD a3+1+1 3a)
12 Cho số x,y,z dương thoả :xyz = Chứng minh rẳng:
(HD )
13.Cho số x,y,z dương thoả :x+y+z Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
14 Cho số thực dương a,b,c thoả : a2 + b2 + c2 12 Tìm GTNN biểu thức:
15 Cho số thực dương thoả : a+b+c = ¾ Chứng minh rẳng:
16 Cho x,y,z thoả : x+y+z = Chứng minh rẳng: HD
(9)18 Giả sưu x, y số thực dương thay đổi thoả mãn x + y = 4/5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức s =
(HD Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số 1/x+1/x+1/x+1/x+1/4y) 19 Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
√ √ √ Trong a, b, c dương, thoả: a+b+c
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số:
20 Cho số thực dương thoả a2 + b2 + c2 =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
21 Tìm giá trị nhỏ hàm số: √ √
III.
CÁC DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Hàm số bậc ( ) a/ Các bước khảo sát:
Tìm tập xác định : D = R Tìm y’
Cho y’ = Tìm nghiệm x, y (nếu có) Tìm
Lập bảng biến thiên kết luận (Đồng biến, nghịch biến,cực đại, cực tiểu) Tìm y’’ Cho y’’ hình.= Tìm x, y (Điểm uốn)
Lập bảng giá trị Vẽ hình
b/ Bài tập ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
(10)2. Hàm số trùng phương ( ) a/ Các bước khảo sát:
Tìm tập xác định : D = R Tìm y’
Cho y’ = Tìm nghiệm x, y (nếu có) Tìm
Lập bảng biến thiên kết luận (Đồng biến, nghịch biến,cực đại, cực tiểu) Lập bảng giá trị Vẽ hình
b/ Bài tập ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
i/ ii/
3. Hàm số biến ( ) a/ Các bước khảo sát:
TXĐ: { } Tìm ( ) Tìm giới hạn:
o tiệm cận ngang o ( ) tiệm cận đứng
Lập bảng biến thiên kết luận (Đồng biến, nghịch biến,cực đại, cực tiểu) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị
b/ Bài tập ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: i/ ii/
IV.
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Biện luận nghiệm
Câu 1. Cho hàm số (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
(11)a/ Khảo sát hàm số
b/ Biện luận số nghiệm phương trình: y = -x4 + x2 Câu 3 Cho hàm số
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = x + Câu 4. Cho hàm số: ( )
a/ Khảo sát biến thiên vẻ đồ thị hàm số m =
b/ Tìm k để phương trình: có nghiệm phân biệt
Câu 5: Cho hàm số
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
Câu 6: Cho hàm số (C)(B2010)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích √
Câu 7. Cho hàm số y = x3 -2x2 + (1-m)x + m (1) 1/ Khảo sát vẽ bảng biến thiên m =1
2/ Tìm m để hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt x1, x2,x3 cho 2. Phương trình tiếp tuyến
Phương pháp:
a Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm ( ) ( ) Tìm tập xác định
Tìm y’ Tính ( )
Viết phương trình tiếp tuyến (d): ( )( ) b Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm ( ) ( )
Tìm tập xác định
Gọi (d) qua M có dạng ( )
(d) tiếp xúc với (C) { ( ) ( ) ( ) có nghiệm Giải hệ phương trình ta tìm x, k
(12)c Chú ý
Viết phương trình tiếp tuyến (d) có hệ số góc song song với đường thẳng ( ) có hệ số góc Vì (d) //( )
Viết phương trình tiếp tuyến (d) có hệ số góc vng góc với đường thẳng ( ) có hệ số góc Vì (d) ( ) Bài tập
Câu 1: Cho hàm số:
2
x y
x
(1)
a./ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b./ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc tiếp tuyến -5
Câu 2: Cho hàm số: (C)
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn hàm số (C) c/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0, 3)
d/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 2x + e/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y = -x +
f/ Tìm đường thẳng y = -2 tập hợp điểm mà từ đến (C) ta kẻ tiếp tuyến vng góc với
Câu 3: Cho hàm số: (C)
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b/ Viết PTTT có hệ số góc k =
c/ Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A( -1; 4) d/ Viết PTTT qua điểm có toạ độ (0, 1)
e/ Viết PTTT biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
f/ Viết phương trình tiếp tuyến biết TT song song với đường thẳng y = 6x +
Câu 4 : Cho hàm số (C)
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b/ Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Câu 5: Cho hàm số ( ) (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) với m =
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bé
Câu 6: Cho hàm số ( ) (C)
a/ Viết PTTT (C) giao điểm (C) với truc tung
b/ Tìm m để tiếp tuyến chắn trục toạ độ thành tam giác có diện tích
Câu 7: Tìm tất điểm đồ thị ( ) ( ) mà qua kẻ tiếp
tuyến với đồ thị
Câu 8: Cho hàm số: Tìm điểm A trục tung cho từ A kẻ tiếp
(13)Câu 9: Định m để đường cong có hàm số nhận Ox làm tiếp tuyến đồ thị
Câu 10: Cho hàm số y = 3x2 – 6x Tìm M (Ox) cho từ M kẻ tiếp tuyến, có
tiếp tuyến vng góc với
Câu 11. Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A( -1; 4)
Câu 12. Cho hàm số: Viết PTTT qua điểm có toạ độ (0, 1) Câu 13. Cho hàm số (C)
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b/ Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Câu 14. Cho hàm số y = 3x2 – 6x Tìm M (Ox) cho từ M kẻ tiếp tuyến, có tiếp tuyến vng góc với
Câu 15. Cho hàm số
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phương trình tiếp đồ thị điểm có hồnh độ x = -1
Câu 16: Cho hàm số
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phương trình tiếp đồ thị điểm có hồnh độ x = -2
Câu 17: Cho hàm số
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
(14)(15)3. Cực trị hàm số Phương pháp:
a Hàm số ( ) có hai cực trị (đối với hàm bậc 3)? Tìm tập xác định
Tìm y’
Để hàm số có hai cực trị thì: {
b Hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu/cực trị/hoặc điểm uốn Tìm tập xác định
Tìm y’ Tìm y’’
o Hàm số ( ) đạt cực đại { ( ( ) ) o Hàm số ( ) đạt cực tiểu { ( ( ) ) o Hàm số ( ) đạt cực trị { ( ( ) )
o Đồ thị hàm số y=f(x) nhận I( ) làm điểm uốn { ( ( ) ) Bài tập
Bài 1. Với giá trị m đồ thị sau có cực đại, cực tiểu: ( )
Bài 2. Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực đại x = Bài 3. Cho hàm số ( ) ( ) (C)
a/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = -2
(16)Tìm m để hàm số có cực trị x = Bài
a Tìm a, b, c để I(0,1) làm điểm uốn x0 = cực trị hàm số b Khảo sát (C) với a = 0, b = -3, c =
c Tìm m để có nghiệm phân biệt
Bài Tìm hệ số a, b, c cho hàm số: đạt cực tiểu x = 1, y(1) = -3 đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ
Bài Cho hàm số ( ) ( ) Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x12 + x22=1
Câu Cho hàm số: ( ) (C) a/ Tìm m để hàm số khơng có cực trị
b/ Khảo sát hàm số với m vừa tìm
Câu : Cho hàm số: ( ) ( ) (C) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung
Câu 10: Cho hàm số (C)
a/ Tìm m để hàm số đạt cực đại x =
b/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm
Câu 11: Cho hàm số ( ) (C)
Tìm m để hàm số có cực trị x =
Câu 12: Tìm hệ số a, b, c cho hàm số đạt cực tiểu x = 1,
y(1) = -3 đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ
Câu 13: Cho hàm số ( ) ( ) Với giá trị m hàm
số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x1 + 2x2=1
Câu 14: Cho hàm số: ( ) ( ) ( ) Tìm m để hàm
số có cực đại, cực tiểu thoả:
(
)
Câu 15: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu thoả { ( )
Câu 16. Cho hàm số Tìm tất cacs giá trị m để hàm số có cực
đại, cực tiểu cho hai điểm cực trị đối xúng qua đường thẳng
Câu 17. Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cho
các điểm cực đại cực tiểu lầp thành tam giác
Câu 18. Cho hàm số Tìm m để hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ điểm cực trị nhỏ
Câu 19 Cho hàm số ( ) ( ) ( ) Định m để
(17)Câu 20 Cho hàm số ( ) ( ) Định m để hàm số có cực đại cực tiểu cho hoành độ thuộc khoảng (-2;3)
4. Hàm chứa dấu trị tuyệt đối Phương pháp
a. Hàm số chẵn: (| |)
Nhận xét; hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy Cách vẽ: Vẽ đồ thị y = f(x)
Lấy đối xứng (phần x >0) qua trục Oy b. Hàm số lẻ: | ( )|
Nhận xét; hàm số chẵn đối xứng qua trục Ox Cách vẽ: Vẽ đồ thị y = f(x)
Lấy đối xứng (phần x >0) qua trục Ox c Hàm số: y = |f(x)|.g(x)
Lập bảng biến thiên hàm f(x) Xác định khoảng âm, dương
Giữ nguyên phần dương đồ thị, lấy đối xứng phần âm qua trục Ox d. Lưu ý:
i/ | | {
ii/ | | | |
Hàm số chẵn đối xứng qua Oy Hàm số lẽ, đối xứng phần âm Hàm số y = |f(x)|.g(x) lấy đối
(18)Bài tập
Câu Cho hàm số (C) a) Khảo sát hàm số
Câu
Câu 4. Cho hàm số:
a/ Vẽ đồ thị b/ Suy đồ thị hàm số: |
| c/ Suy đồ thị: | |
d/ Suy đồ thị:
| |
Câu Câu
Câu
(19)Câu 16: Cho hàm số 1
x y
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị
C hàm số CâuCâu
Câu 10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
(20)b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x
m x
Câu 17:
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2
1 m
x x
x
(21)Chương II.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I.
BẢNG CÔNG THỨC
II.
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm F(x) Giả sử u(x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ] có miền giá trị [a, b] ta có
∫ [ ( ) ( ) ( )[ ( )] a Loại Phép đổi biến √ ( )
Khi hàm dấu tích phân có dạng √ ( )lúc đó, nhiều trường hợp ta dùng phương pháp đổi biến 𝑡 √ ( )
Ví dụ: Tính tích phân sau: a/ 𝐼 ∫
√( )3 𝑙𝑛
b/ 𝐼 ∫
x √ 𝑙𝑛
𝑙𝑛 c/ 𝐼 ∫
5 3 √ √
b Loại Phép thay biến x = - t
Phép thay biến x = - t thích hợp hai dạng sau:
Khi biểu thức dấu tích phân hàm chẵn hàm lẻ tích phân cần tính có dạng∫ ( ) Ta sử dụng kết sau:
(22)o Nếu f(x) hàm chẵn khả tích đoạn [-a; a] : ∫ ( ) 𝑓 ∫ ( )
Khi tích phân có dạng : ∫ 𝑘𝑘 𝑓( ) Trong f(x) hàm số chẵn đoạn [-k; k] Với tốn thuộc loại phép biến đổi x = - t thích hợp
Ví dụ: Tính tích phân sau:
a/ ∫ ( √( )) b/ ∫ ⁄⁄ 𝑜𝑠 c/ ∫
d/ ∫
c Loại Phép biến đổi t = a – x
Phép biến đổi thường áp dụng cho số lớp tích phân có cận a, hàm dấu tích phân có dạng lượng giác biểu thức liên quan đến cận a Thường cận
Ví dụ: Tính tích phân sau:
a/ ∫ 𝑠𝑖𝑛
b/ ∫
3 ⁄
c/∫ 𝑠𝑖𝑛
𝑜𝑠 ⁄
d/∫ ⁄ ( 𝑡 ) d Loại Hàm dấu tích phân có dạng:√( )
Với dạng tích phân này, người ta thường dùng phép biến đổi sau: đặt x = asint x = acost
a/ ∫
√( )3 √ ⁄
⁄ b/ ∫
√ √ ⁄
c/ ∫ √( ) e Loại Hàm dấu tích phân chứa biểu thức có dạng: √( )
Trong trường hợp ta đổi biến sau: x = tant x = cot t Ví dụ: tính tích phân sau:∫
√( )3 √
f Loại Hàm dấu tíc phân chứa biểu thức có dạng: √( ) Trong trường hợp ta đổi biến sau: 𝑠𝑖𝑛𝑡hoặc 𝑜𝑠𝑡
Ví dụ: tính tích phân sau: ∫ √( ) √3
g Loại Hàm dấu tích phân chứa biểu thức bậc 1 sinx cosx
Với tích phân loại này, ta dùng phép biến đổi tích phân có dạng t = tan x/2 Khi 𝑡
( ta ) hay t 𝑡
Áp dụng công thức lượng giác biết : 𝑡 t 𝑜 𝑡 𝑡 Ví dụ: tính tích phân sau:
a/ ∫ 𝑠𝑖𝑛 b/ ∫
(23)h Loại Biểu thức dấu tích phân chứa hàm lượng giác
Thơng thường, với tích phân loại này, ta thường đặt t = sin x t = cos x Ví dụ: tính tích phân sau:
a/ ∫ 𝑜𝑠 √ 𝑜𝑠 ⁄
b/ ∫ 𝑠𝑖𝑛 3x ⁄
i Loại Thêm bớt dấu tích phân giải Ví dụ: Tính tích phân sau: 𝐼 ∫ √ ( )
3 √ ( )
3 √ ( )3 Bài tập: Tính tính phân sau:
a/ I =
1
3
0
x
1 x dx
b/ I =ln x
e
1dx
c/ I =1
5
0
x
1 x dx
d/ I =
0
1
dx
3 2x
e/ I =1
0
x
dx
2x 1
f/ I =1 x
1
dx
e
4
g/ I =
x
1
dx
1 e
h/ I =x x
e
dx
e
1
i/ I =e
2
ln x
dx
x(ln x 1)
j/ I =
3
e
1
ln x ln x
dx
x
k/ I =1
3
0
x (x
1) dx
l/ I =3
2
0
x (1 x) dx
(24)(25)Bài tập: Tính tích phân sau:
a/ I =
0
sin2 x.cos2xdx b/ I =
2
sin x dx
c/4
cos x dx
d/ e/I = ∫
𝑠𝑖𝑛 𝑜𝑠 f/ 2
sin x
4
e sin 2x dx
g/ I =
2
0
4cos x 3sin x 1
dx
4sin x
3cos x
5
h/ I =2
0
sin x.sin 2x.sin 3xdx
i/ I =
2
0
sin x
dx
sin x
cos x
j/3
sin x.tgxdx
k/1
dx
cos x.sin x
(26)(27)Ví dụ: tính tích phân sau:
Bài tập : Tính tích phân sau:
a/ I = ∫ ( )( ) b/ I = ∫ ( ) c/ I = ∫ d/ I= ∫
3
3 e/ I = ∫√ 4 f/
1
3
dx
x
4x 5
g/ I =
2
5
dx
x
6x
9
h/I =1
2
x 3
dx
(x 1)(x
3x
2)
i/ I =1
4
0
1
dx
(x
4x
3)
j/1
dx
x (x 1)
k/ I =1
1
dx
2x
8x
26
l/ I =
0
x
3x
2
dx
x
3
m/ 2x
dx
4 x
n/ I =1
2
x
dx
4 x
o/ I =1 2
x
dx
x
1
(28)p/ 2
4x 1
dx
x
3x
2
q/ I =3
1
2
x
2x
10x 1
dx
x
2x
9
4. Hàm vô tỷ
Một số dạng thường gặp:
Bài tập ví dụ:
a/ 2
1
dx
x
1
b/1
dx
4 x
c/ 31
dx
x
3
d/ 2x
dx
x
4
e/ 2x
dx
4
x
f/ 2x
dx
1 x
g/
2
4
x dx
h/ 4 3x
4
dx
x
i/2
2
1
x
4
x dx
5. Tích phân phần: (29)Bài tập: Tính tích phân sau:
m/ I =
n/ I =
o/ I =
(30)i/ I =
3 2
ln(x
x)dx
j/ I =e
2
(ln x) dx
q/ I =
e
1
(1 x) ln x dx
s/ I =
e
x ln x dx
k/ I =2
2
x ln(x
1)dx
l/2
1 x
x e dx
Giải tích phân sau:
a I =
0 (x sin ) cos 2x xdx
b
3ln2
0 (3 ex 2)2
dx
I c
2 2 dx x x I 2 1 x I dx x x
e3
0
3
3
x
dx
x x
f3
6
cotx
I dx
s inx.sin x
tan ln(cos ) cos x x dx x
e dx x x x x x I ln ln ln 2 ln ln ln e xI x dx
x x
2 2 x A dx x
k1
x
e dx
l
x x
dx
I 3 5
cos sin
(
sin
)
1
x
x
x
dx
x
n11
dx x x
o /4 /4sin
1
x
I
dx
x
x
p 𝐼 ∫ 𝑙𝑛( ) q 𝐼 ∫ ( ) d
g h
(31)
(32)
Chương III.
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
I.
Giải phương trình mũ sau:
a/ 2.4x – 5.6x + 3.32x = b/ 3.16x + 2.18x = 5.36x c/ d/ e/ 5x + 12x = 13x f/ + (√ )x = 2x
g/ 3x + x – = h/ 4x – x.2x + x – = i/ 9x + 2(x – 2).3x + 2x – =
j/ ( √ ) ( √ )
k/ ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) l/ 3.4x + (3x – 10).2x + – x =
m/ n/ ( √ ) ( √ )
II.
Giải phương trình logarit sau:
a/ 2log(x – 1) + log(2x + 5) = log(13 – 2x) b/ logx(2x2 – 7x + 12) = c/ log5(25x + 5x + 1) + log5(5x – 1)=3x + d/ log2(9 – 2x) = – x e/ 𝑜 ( )
f/ log2(x2 + x + 1) + log2(x2 – x + 1) = log2(x4 + x2 + 1) + log2(x4 – x2 + 1) g/ ( ) √ √ ( )
h/ ( ) ( ) ( )
III.
Giải bất phương trình sau:
3
4 )
3 ( )
3
( 2 2
x x x x
2 log ) log
( 2x 2x x
2
1
5
x
5
x > 2log5x 3 x9
2 2
2 2
34.15 25
x x x x x x
logx( log3( 9x– 72 )) =
( ) 𝑙 ( ) 𝑜𝑡 𝑜𝑡 ( )
( ) ( ) ( 3) ( )
( ) ( )
(33)[( )( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x log ) ( 2 ) 4 ( log 2
2
2
1
3
log log x 1 x log log x 1 x
8
4
2
1
log log log
2 x 4 x x
x
1
log
2
x
1
2
log
33
Tìm log
Cho a = log257 , b = log25 Tính 3√
IV.
Hệ phương trình
1/ { ( ) 2/ { √√ 3/ {
( )
V.
ĐẠO HÀM, PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1:
a) Tìm GTLN GTNN 𝑜 𝑜 [ ]
b) Cho Hãy tìm x thoả mãn ( ) Bài 2:
a) Tính đạo hàm bậc n ( ) b) Tìm y = sin2x-x [ ]
c) Cho hàm số y=ln(sinx) Giải PT
Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau khoảng xác định chúng a) ( )
b) (√ √ )
(34)Bài 4:
a) Cho hàm số 𝑜 Tính y’, y’’, y(n) b) Cho Tính y(n)
c) Cho y = ln(ax + b) Tính y(n) Bài 5:
(35)Chương IV.
SỐ PHỨC
I.
Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Số phức dạng dại số có dạng : z = a + ib Trong đó:
o a : phần thực, b: phần ảo o
Môdul số phức: |z| Với | | √ Số phức liên hợp: ̅ Với ̅ 2. Các phép tính số phức
Cho hai số phức ; Khi ta có: ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
̅ ̅
( ) 𝑖( )
3. Khai số phức
Cho số phức z = a + ib, Tìm bậc hai số phức z Phương pháp:
Gọi √ Khi đó: (x + iy)2 = a + ib Khi phương đồng hai só phức ta tìm lại x, y
(36)II.
Bài tập
1. Tìm số phức z thỏa10 Cho số phức z1 = 1+2i, z2 = 2-3i, Xác định phần thực phần ảo số phức: z1 – 2z2
11 Tìm tất số phức z thỏa : z2 = |z|2 + ̅
12 Tính mơđun số phức z, biết: (2z -1)(1+i) + ( ̅ +1)(1 – i) = – 2i 13 Tìm số thực a, b thỏa mãn đẳng thức : a(3 + 5i) + b(1 – 2i)3 = + 32i 14 Tìm số phức z thỏa: z2 + ̅ =
15 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z + + 2i| = 1, tìm số phức z có modun nhỏ
16 Tìm số phức z thõa mãn điều kiện: |z| = phần thực z hai lần phần ảo
17 Tìm số phức z biết: ( ) ( ) ( ) 18 Cho số phức: ( ) 𝑖
𝑖 Tính |z| 18 Cho số phức: √ Tính ( ̅) 19
20 Tìm số phức z thoả: z2 = 2-2√
3.
(37)21 Tính modun số phức z, biết (2z – 1)(1 + i) + ( ̅ +1)(1 – i) = – 2i
2. Giải phương trình tập phức:
Phương pháp giải phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai hệ số thực (a, b, c thực) : az2 + zx + c = Giải
: Phương trình có hai nghiệm thực z1, z2 : Phương trình có nghiệm thực kép
: Phương trình có hai nghiệm phức: 𝑖√| |
Đối với phương trình bậc hệ số phức cách làm tương tự (Chú ý cách khai số phức)
Bài tập
1 Giải phương trình sau tập phức:
a z2 + 2z + = b/ z2 + z + = c/ z2 - 2z + = d/ (2-3i)z2 + (4i-3)z + 1-i = e/ z2 + (1 – 3i)z - 2(1 + i) =
2 Giải phương trình nghiệm phức : z 25 6i z
3 Giải phương trình tập số phức: z2 z
4 a Giải phương trình sau tập số phức C : | z | - iz = – 2i
b Hãy xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn : < | z – | <
5 Tìm số phức z thoả mãn : z i 2 Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Giải phương trình sau tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0
7 Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z24z 11 Tính giá trị biểu thức
2
1
2
( )
z z
z z
(38)8 Giải phương trình:(z2 z)(z3)(z2)10,zC.
9 Giải phương trình sau tập C : (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 10 Giải phương trình tập hợp C : (z2 + i)(z2 – z ) =
11 Giải phương trình tập hợp C: (
𝑖
)
12 Giải phương trình (S) :8z24z 0 tập số phức 13 Giải phương trình
2z iz tập số phức 14 Tìm số phức z thỏa mãn: | z | = √ z2
số ảo Tìm tập hợp số phức Z thỏa:
|z – (3 – 4i)| = 2 |z – 2| = |i – z|
(39)Chương V.
LƯỢNG GIÁC
I.
Các công thức lượng giác
1. Công thức bản: sin2x + cos2x = tanx.cotx = 𝑡 𝑠𝑖𝑛
𝑜𝑠
𝑜𝑡 𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑜𝑠 𝑜𝑡 𝑠𝑖𝑛 2. Công thức cộng
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb (Cos cos.cos, sin.sin)(nhớ đão dấu) cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb (Sin sin.cos, cos.sin) sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
3. Công thức nhân đôi
cos2x = cos2x – sin2x sin2x = 2sinx.cosx
= 2cos2x – = 1- 2sin2x 4. Công thức nhân ba
4cos3x – 3cosx = cos3x (4 cô lên lầu 3, té cơ, cịn 3) 3sinx – 4sin3x = sin3x (đối xứng với cos trên)(nhìn chéo) 5. Công thức hạ bậc
𝑜𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑠
6. Công thức tổng thành tích
(40) 𝑜 (sin + sin = 2.sin.cos) 𝑜 (sin – sin = cos.sin) 7. Cơng thức tích thành tổng
𝑜 𝑜 [ (a ) (a )] (cos nhân cos = ½ cos + cos) [ ( ) ( )] (sin nhân sin = - ½ cos – cos) 𝑜 [ ( ) ( )] (sin nhân cos = ½ sin + sin) 8. Công thức đặc biệt
𝑜 √ ( ) √ ( )
II.
Các dạng tập lượng giác
1. Phương trình lượng giác bản:2 1) sin sin
2
2) cos cos ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
3) tan tan ,
4) t t ,
u v u v k k
co u co v u v k k
Đặc biệt:
𝑜
𝑜
𝑜
2. Phương trình bậc hai theo hàm lượng giác Dạng:
a) asin2x + bsinx + c =
b) acos2x + bcosx + c = (a0)
Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) 2sin2x – sinx – = 2) 2cos2x - 5cosx – = Z
Z
(41)c) atan2x + btanx + c = d) acot2x + bcotx + c = Cách giải
Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa phương trình bậc hai ẩn
3) 2sin2x – 3cosx =
4) sin22x – 2cos2x + 4 = 5) 2cos2x + 4sinx + = 6) cos4x = cos2x
3. Phương trình bậc theo sin cos có dạng: asinx + bcosx = c Cách giải: chia vế phương trình cho
2
a b ta được:
2 2 2
2
2 2
sin cos
1
a b c
x x
a b a b a b
a b
do
a b a b
Nên đặt 2 2 cos sin a a b b a b
(hoặc ngược
lại)
Ta phương trình:
2
2
os sin sin cos
sin
c
c x x
a b c x a b
Ta đươc PT bậc theo hslg
Ví dụ: Giải phương trình:
2
3
1) sin cos
2) cos 2 sin
3)2 sin sin
4)3cos sin
5)1 sin cos sin cos
6) cos sin cos sin ( 2009)
1 sin cos
7) ( 2009)
1 sin sin
8) sin cos sin cos cos sin (
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x dh D
x x
dh A
x x
x x x x x x
2009)
9) sin cos
2 cos
cos sin cos
10)
2 cos sin
dh B
x x
x
x x x
(42)4. Phương trình dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Cách giải:
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa dạng
Cách 2: (biến đổi đưa phương trình bậc hai theo tan cot)
Kiểm tra cosx = có phải nghiệm phương trình hay khơng
Khi cosx 0 chia vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)
<=> (a – d)tan2x +btanx + c – d = Giải phương trình ta nghiệm phương tình cho
Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) 3sin2x – 2sin2x – 3cos2x = 2) cos3x + sin3x = sinx + cosx
3)
4sin cos cosx x x
III.
Bài tập
1.
Phương trình lượng giác bảnBài 1: Giải phương trình sau:
0
0
1
1) sin 2) sin 3) sin 30
2 2
3
4) sin 5) sin 6) sin
4
3
7) cos 8) cos 9) cos
3 3
3
10) tan 11) tan 45 12) tan
3
x x x
x x x
x x x
x x x
(43)
0
1)2sin 2) 2sin 3) sin
3
4)2 os x+30 5) 2 cos 6) os
4
7) tan 8) tan 9) cot
4
10) tan cot 11) cos 3 cot
x x x
c x c x
x x x
x x x x
Bài 3: Giải phương trình sau:
0
1) sin sin 50 2) sin sin 3) sin 30 sin
6
4) sin sin 5) sin s inx=0 6) cos os2x
4
2
7) cos cos 8) cos cos 9) cot cot
3 3
10) ta
x x x x x
x x x x c
x x x x x x
0
0
0
n tan 11) tan 45 tan 12) tan 60 tan 20
3
x x x x x x
Bài 4: Giải phương trình sau:
0
0
1) sin cos 2) sin cos 3) cos 30 sin
6
4) os 100 sin( 30 ) 5) tan cot x 6) cot tan 2x
4
7) tan tan 8) cot cot 9) tan cot
x x x x x x
c x x x x
x x x x x x
2. Phương trình bậc hàm lượng giác Bài 1: Giải phương trình sau:
1) sin2x – 2cosx = 2) 2sin2x + cos3x = 3) 2cos2x + cos2x = 4) 8cos2xsin2xcos4x = 5) tan2x – tanx = 6) cos2(x – 300) = 3/4
3. Phương trình bậc hàm lượng giác Bài 1: Giải phương trình sau:
(44)1) 3sin22x + 7cos2x – = 2) 5sin2x + 3cosx + = 3) 6cos2x + 5sinx – =
4) 3cos2x – 2sinx + = 5)
2
1
sin cos
4 x x
6) cos2x – 5sinx – = 7) cos2x + cosx + = 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 10) 2cos2x – sin2x – 4cosx + =
11) 9sin2x – 5cos2x – 5sinx + = 12) cos2x + sin2x + 2cosx + =
13) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – - = 14) sin2x - cos2x + 4sinx =
15) sin22x – 2cos2x + 4 =
16) sin3x + 3sin2x + 2sinx =
17)
3
5 tan cos x x
18) 3tanx – 4cotx + =
4. Phương trình bậc sin cos Bài 1: Giải phương trình sau:
1) sinx - 3cosx = 2)
sin sin
2 x x
3) 2sin2x + 3sin2x =
4) 2cosx – sinx = 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin6x + cos6x +
2 sin4x = 7) + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 8) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – =
5. Phương trình sin cos Bài 1: Giải phương trình sau:
(45)IV.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: giải phương trình3
3
3 2
1
1) cos cos 2) cos cos sin sin
2
1
3)2 cos 3cos sin 4)2 cos cos
4 cos
5) sin 2 cos sin cos 6)2 sin (1 cos ) sin 2 cos 7) sin cos sin cos sin cos 8)(1 s
x co x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x x
2
2
2
in ) cos (1 cos ) sin sin
cos
9)(2 cos 1)(2 sin cos ) sin sin 10) cot sin sin
1 tan
cos sin
11)3 cot 12)2 sin sin
sin cos
2 sin 2 cos sin
13) cos
2 cos
x x x x x
x
x x x x x x x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
3 33 sin 14) sin cos sin cos sin
1 sin
15) tan 16)2 sin cos cos
2 sin
3 cos
17) cot 18) cos sin 2 sin cos
sin
tan cos cos cos
19) tan 20)
cot cos cos
x x x x x x x
x
x x x x
x x
x x x x x
x
x x x x
x
x x x
2 2
2
3
(3 sin )
3 cos
21)4 sin cos 2 cos 22) tan tan
2 cos
23)4 sin sin 3sin cos 24) sin 3 cos cos sin sin cos
sin sin cos
25) 26) cot si
cos cos tan
x
x x
x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x
x
x x x
n sin 2
x x
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) phương trình:
cos sin
5 sin cos
1 2sin
x x x x x
Bài 3: Tìm x
0;14
nghiệm phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = có nghiệm thuộc đoạn 0;2
Bài 5: Cho phương trình: 2sin cos (1) sin cos
x x
a
x x
(46)1 Giải phương trình (1) a =
2 Tìm a để phương trình (1) có nghiệm Bài 6: Tìm x 0;3
2
thỏa mãn phương trình
2
cos (cos 1)
2(1 sin ) sin cos
x x
x
x x
Bài 7: Cho phương trình: 4cos3x + (m – 3)cosx – = cos2x Giải phương trình m =
2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;
(47)Chương VI.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.
Kiến thức
1. Hệ đẳng cấpa/ Dạng bậc hai: Phương pháp chung
Nhận xét y = có thỏa hệ khơng, có, tìm x thu nghiệm Với y 0, đặt x = ty thay vào hệ giảm tìm t, y x
b/ Dạng khác:
Nhận xét y = có thỏa hệ khơng, có, tìm x thu nghiệm
Với y 0, chia hai vế cho y với bậc cao nhất, biến đổi hệ đưa biến , giải tìm t thay vào hai phương trình hệ
2. Hệ đối xứng loại I: Phương pháp chung Đặt S = x + y, P = xy (S2 4P)
Giải hệ tìm S, P dung định lý Vi ét đảo tìm x, y 3. Hệ đối xứng loại II: Phương pháp chung
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích giải Hoặc cộng trừ hai phương trình đưa hệ tương đương
Nếu có phương trình đối xứng (hoặc hệ vơ tỉ) xét hàm số Thường đưa dạng f(x) = f(y) x = y (f’ > v f’ < 0)
4. Hệ khác:
Tùy trường hợp cụ thể chọn phương pháp thích hợp
II.
Bài tập
1/ {2/ {
3/ {
4/ {
5/ {
6/{
7/ {
( ) 8/ {
9/ {
(48)10/ { ( )
11/ {
12/ {
13/ {
14/ {
15/ {
16/ {
17/ {
18/ {
19/ { 20/ {
√ 𝑜 21/ {
√ √ √ √
22.{√ √
√ √ 23/{
( )
( ) 24/ { √
25 { ( ) ( ) 26/ { ( )
( )
27/ { 4( )
28/ {
| |
√ √ 29/{
𝑠𝑖𝑛 ( )
( )
30/ {
31/ {
| |
32/ { ( )
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
33/ { √ √
√ √ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
34/ Cho x, y nghiệm hệ phương trình: {
Tìm m để P =
xy nhỏ
45/ {√ √
√ √ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 46/ Giải hệ phương trình{ ( )
(49)Chương VII.
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Các kiến thức cần nhớ √ √
{
√ {
√ √
√ √ √ {
(√ √ )
√ √ {
√ {
√ { {
Các dạng tập
I.
Giải phương trình sau:
1/ √ 2/ √ √
3/ √ √ √ 4/ √ √ 5/ √ √ 6/ √ 7/ √ 8/ √ ( )( )
9/ ( )( ) √ 10/ √ √ √ √ 11/ √ √ √ √ 12/ √ √ √ √ 13/ ( )√ 14/ √ √ √ √
15/ √ √ √ 16/ √ √ √( )( )
17/ √ 18/3√ √
19/ √ 20/√ √
21/ √ √
II.
Giải bất phương trình sau:
1.√ ⩽ √ √ ⩽ √ √ √√ √ √
5 √ ( )
√ √
√ √ √ √( )( ) ⩽
7 ( )( ) √ ( )( ) ( )√ ⩾ ( )√ ⩽ 10 ( )√ ⩾ 11 √ √ ⩾ 12 √ ⩾
(50)III.
Tìm m để phương trình, bất phương trình sau:
1) √
a Tìm m để phương trình có ngiệm b Có nghiệm phân biệt
2) √ √ √ có nghiệm
3) √ √ √( )( ) có nghiệm
IV.
Giải phương trình sau:
1 √ √ ( )√ √ √ √ √
5 √ √ √ 6/ √ ( )√
(51)Chương VIII.
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I.
Quy tắc cộng – Quy tắc nhân
1. Quy tắc cộng: Nếu q trình ( tốn) thực cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m kết quả, cách thứ cho n kết Khi việc thực trình cho m + n kết
Nếu q trình thực k cách loại trừ lẫn nhau: cách thú cho m1 kết quả, cách thứ cho m2 kết quả,…Khi việc thực q trình cho m1 + m2 + +mk kết
2. Quy tắc nhân:
Nếu trình thực theo giai đoạn liên tiếp cho có m cách thực giai đoạn thừ nhất, ứng với cách có n cách thực giai đoạn thứ Khi ta có mn cách thực trình
Nếu trình thực theo k giai đoạn liên tiếp cho có m1 cách thực giai đoạn thừ nhất, ứng với cách có m2 cách thực giai đoạn thứ Khi ta có m1m2…mk cách thực q trình
II.
HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n 0) Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử Pn: Pn = n! = 1.2.3 n
2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n 0) Mỗi cách chọn k ( ) phần tử X sấp xếp theo trật tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu 𝑛𝑘:
𝑛
(52)3. Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n 0) Mỗi cách chọn k ( ) phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu 𝑛𝑘:
𝑛𝑘 𝑘 (𝑛 𝑘) 𝑛
III.
XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiênPhép thử biến cố:
Phép thử việc thực thí nghiệm hay quan sát tượng em có xảy hay khơng Hiện tượng có xãy hay khơng đựoc gọi biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu A,B,C
Ví dụ:
o Tung đồng tiền phép thử, biến cố là “mặt xấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”
o Chọn ngẫu nhiên sản phẩm phép thử, biến cố là “ chọn sản phẩm tốt hay xấu”
Các loại biến cố
Biến cố chắn: phép thử, biến cố định xãy Biến cố không thể: biến cố xãy thực phép thử
Số trường hợp đồng khả năng: Hai hay nhiều biến cố phép thẻ có khả xãy gọi đồng khả
Các phép toán: Cho A B biến cố, đó:
Tổng A B C = ⋃ hay C = A + B C xãy hai biến cố A B xãy Ví dụ: bắn viên đạn vào bia A “viên thứ trúng bia”, B “viên thứ trúng bia”, C “bia trúng đạn”
Tích A B C = AB hay C xãy A B xãy Ví dụ người mua áo Gọi A “ chọn áo màu xanh”, B “chọn áo sơ-mi”, C “ chọn áo sơ-mi màu xanh” Khi C = A.B
Quan hệ biến cố
Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng không đồng thời xãy Ví dụ: hộp có viên phấn màu đỏ, xanh trắng Gọi A “chọn viên màu đỏ”, B “chọn viên màu xanh”, C “chọn viên màu trắng” Khi A, B, C xung khắc
Biến cố đối lập: Hai biến cố A, B đựơc gọi đối lập thoả điều kiện sau:
(53)o Ví dụ: trồng bạch đàn A “ sống”, B “ chết” Khi A, B đối lập
2. Xác suất biến cố Xác suất cổ điển
Trong phép thử có n biến cố đồng khả năng, có m khả thuận lợi cho biến cố A xuất xác suất A : ( )
𝑛 Tính chất xác suất
i/ ( ) ii/ ( ) iii/ ( )
3. Cơng thức tính xác suất Cộng xác suất
Biến cố xung khắc: A, B xung khắc ( ⋃ ) ( ) ( )
Biến cố tuỳ ý: A, B hai biến cố tuỳ ý: ( ⋃ ) ( ) ( ) ( ) Biến cố đối lập: ( ̅) ( )
Công thức nhân xác suất
Xác suất có điểu kiện: cho biến cố A, B P(B) > Xác xuất coa điều kiện A xãy với điều kiện B ký hiệu định nghĩa: ( | ) ( )
( )
Công thức nhân: Cho A B độc lập (A xãy hay không, không ảnh hường đến B nguợc lại) Khi P(AB) = P(A).P(B) Với A, B khơng độc lập thì: P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
IV.
NHỊ THỨC NEWTON
1. Định nghĩa: Nhị thức Newton khai triển tổng luỹ thừa có dạng:
( ) 𝑛 𝑛
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛𝑘 𝑛 𝑘 𝑘 𝑛𝑛 𝑛
2. Tính chất
𝑛𝑘
𝑛𝑛 𝑘 ( ) 𝑛𝑘 𝑛𝑘 𝑛 𝑘 ( )
V.
Bài tập
Câu 1. Chứng minh: (54)Câu Tìm hệ số x3 khai triển: ( √ )
Câu Chứng minh rẳng:
Câu
Câu
Câu Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển nhị thức: (x2 – 3x-4)12 Câu
Câu 10
Câu 11 Tìm số nguyên dương n cho: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Câu 12
(55)Câu 14 Với n số nguyên dương, gọi a3n-3 hệ số x3n-3trong khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n
Câu 15 Tìm số hang khơng chứa x khai triển: (√ √
4 ) với x > Câu 16 Tìm giá trị
4 3
(𝑛 )
, biết rẳng
𝑛𝑛
𝑛
𝑛
Câu 17 (A2012) Cho n số nguyên dương thoả: 𝑛𝑛 𝑛 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Newton: (𝑛
) 𝑛
Câu 18: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn?
e/ Khác nhau, có số lẻ?
Câu 19: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số:
a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1?
c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345?
Câu 20: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:
a) Một cách tuỳ ý ? b) Theo môn?
c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa?
Câu 21: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho:
a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? Câu 22: Cho 10 điểm không gian, khơng có điểm thẳng hàng
a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm?
c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên?
d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, th có tứ diện tạo thành?
Câu 23: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: a) 10 x x
b)
12 x x
c)
5 x x
d)
6 x x
(56)c/ Tìm hệ số x5 khai triển: 10
) (
x x
Câu 25: Khai triển:
a (2x – y)9 b
2)
2 (
x
x c (3x – 2y)6
Câu 26: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn
Câu 27: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy:
a Được viên bi xanh viên bi đỏ b Được viên bi xanh c Không lấy viên bi xanh d Lấy viên bi xanh
Câu 28: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất:
a Chọn học sinh giỏi môn b Chọn học sinh giỏi môn c Chọn học sinh giỏi tốn
Câu 29: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung b nh Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để :
a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung b ình
Câu 30. Một lớp có 45 học sinh gồm 30 nam 15 nữ Giáo viên muốn chọn học sinh lao động Tính xác suất:
a Chọn học sinh nữ
b Chọn học sinh có nam nữ c Chọn học sinh có nam
d Chọn học sinh nam làm ba nhiệm vụ khác Còn học sinh nữ làm nhiệm vụ
Câu 31: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất
a Để em khác phái b Để em phái
Câu 32: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được:
a) bóng tốt b) bóng tốt c)Cả bóng khơng tốt Câu 33: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất:
a Có cầu đen cầu trắng b Có màu đen
Câu 34: Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người phụ em bé vào ghế kê hàng
ngang Tính xác suất cho:
(57)Chương IX.
BẤT ĐẲNG THỨC
I.
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Một số tính chất a > b b < a
a > b b > c => a > c a > b <=> a + c > b + c Hệ : a > b <=> a - c > b - c
a + c > b <=> a > b - c d/ a > c b > d => a + c > b + d
a > b c < d => a - c > b - d
e/ a > b c > => ac > bd a > b c < => ac < bd
f/ a > b > ; c > d > => ac > bd g/ a > b > => an > bn
a > b <=> an > bn với n lẻ
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
Bất đẳng thức cosi: Cho hai số thực dương a, b ta có √ Dấu “bẳng” xảy a = b
Bất đẳng thức Bunhiacoxky : với số thực a, b, x, y ta có: (ax+by)2 (a2+b2)(x2+y2) Dấu xãy khi:
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |a|+|b| |a+b|
II.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1. Phương pháp dùng định nghĩaĐể chứng minh A>B, ta chứng minh A-B > Ví dụ:
Ví dụ 1: Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Giải: Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2
+ y2
+ z2
+3 - 2x - 2y - 2z = (x2
- 2x + 1) + (y2
- 2y + 1) + (z2
- 2z + 1) = (x - 1)2
+ (y - 1)2
+ (z - 1)2
Do (x - 1)2
víi mäi x
(58)(z - 1)2 víi mäi z
=> H víi mäi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y <=> x = y = z =
Vớ dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức :
2
2
2
2
b a b
a
Giải : XÐt hiÖu : H =
2
2
2
2
b a b
a = ) ( ) (
2 a2 b2 a2 abb2
= ( )
4 ) 2 (
1 2 2 2 2 2
b a b ab a b
a Víi mäi a, b
DÊu '' = '' x¶y a = b
2. Phép biến đổi tương đương Phương pháp:
Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất dẳng thức bất đẳng thức chứng minh
Một số đẳng thức thường dung để biến đổi: o (A+B)2=A2+2AB+B2
o (A-B)2=A2-2AB+B2
o (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC o (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
o (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Ví dụ:
Vớ d 1.Cho a, b hai số d-ơng có tæng b»ng Chøng minh r»ng :
3 1 1 b a
Giải:Dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng ;
3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)
4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)
4ab + 4ab (a + b)2
4ab
Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh
(59)Vớ dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức :
3
3
2
2
b a b
a
; a > ; b >
Giải: Ta cã :
3
3
2
2
b a b
a
<=>
2 2 2
2
a b a b
b ab a b a <=> 2
2
ab b a b
a
<=> 4a2
- 4ab + 4b2
a2
+ 2ab + b2
<=> 3(a2
- 2ab + b2
) <=> 3(a - b)2
Bất đẳng thức =>
3
3
2
2
b a b
a
DÊu '' = '' x¶y a = b
3. Phương pháp dung bất đẳng thức Phương pháp:
Dùng bất đẳng thức quen thuộc bất đẳng thức Cosi, Bunhiacoxky, bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh
Ví dụ:
Vớ d 1.Giả sử a, b, c số d-ơng , chứng minh rằng:
2
a b
c a c b c b a
Giải: Áp dơng B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) 2 a(bc)
c b a a c b a
T-ơng tự ta thu đ-ợc : c b a b a c b , c b a c b a c
Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số d-ơng )
Từ suy : 2
(60)Ví dụ 2.Cho x , y số thực thoả mÃn :
x2
+ y2
= 2
1
1 y y x
x
Chøng minh r»ng : 3x + 4y
Giải:áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có :
(x2
+ y2
)2
= ( 2
1
1 y y x
x )2
( x 1 ; y 1) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2)
=> x2
+ y2
Ta l¹i cã : (3x + 4y)2
(32
+ 42
)(x2
+ y2
) 25 => 3x + 4y
Ví dụ Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng :
a, ab bc ca
b, a1 b1 c13,5
Giải: a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với sè ta cã :
b.1 b c.1 c a.1 1 a b b c c a
a
=>
ab bc ca
2 3.(2a2bac)6=> ab bc ca
DÊu '' = '' x¶y : a = b = c =
3
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :
2 ) (
1
a a
a
T-¬ng tù :
2 1
b
b ;
2 1
c
c
Cộng vế bất đẳng thức ta đ-ợc :
3,5
2
1
1
b c a b c
a
Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c =
VËy : a1 b1 c13,5
4. Dùng tính chất bất đẳng thức Ví dụ
Ví dụ 1.Cho sè x , y thoả mÃn điều kiện : x + y = Chøng minh r»ng : x4
+ y4
Giải: Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2
- y2
) x4
+ y4
2x2
(61) 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 0 x2 + y2 2xy
2(x2 + y2 ) (x +y)2
2(x2 + y2 ) V× : x + y =
x2 + y2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4
DÊu '' = '' x¶y x = y =
Ví dụ 2. Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng :(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d
Giải: Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab
Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b
Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d
Ví dụ Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng :2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a
Giải: Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã :
(1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b
=> + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T-¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a
=> 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a
5. Dùng bất đẳng thức tam giác Phương pháp:
(62)a<b+c (1) a b c(4) b < a+c (2) b c a(5) c< a+b (3) c a b(6)
Ví dụ:
Vớ dụ 1.Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh tam giác )
Chøng minh r»ng : 1 2
a p b p c
p ) 1 ( c b
a
Giải Ta cã : p - a =
2
c a b
T-¬ng tù : p - b > ; p - c > ;
áp dụng kết tập (3.5) , ta ®-ỵc ;
c b p a p b p a p ) ( ) ( 1
T-¬ng tù :
a c p b p 1 b c p a p 1
=> 2( 1 ) 4(1 1)
c b a c p c p a
p
=> điều phải chứng minh
Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi tam giác ABC tam giác
Vớ dụ Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
Giải Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b c a a2 (b c)2a2
c a b b2 (c a)2b2
a b c c2 (a b)2 c2
Từ a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2 a b c2 2
(a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b) a b c2 2
(a+b-c)2
(b+c-a)2
(c+a-b)2 2
a b c
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)abc
(63)a+b-c>0 b+c-a>0
c+a-b>0 vµ abc>0
Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh
6. Phương pháp đổi biến số
Ví dụ: Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× :
2
b a
c a c b c b a
Gii Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z
=> a + b + c =
2 z y
x
=> a =
2 x z y
, b =
2 y x z
, c =
2 z y
x
Khi : VT = a b c a c b c b a
= z
z y x y y x z x x z y 2 = 3 1 ) ( ) ( ) ( z y y z z x x z y x x y
7. Ứng dụng bất đẳng thức tìm cực trị Phương pháp:
Nếu f(x) m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M
Ta thường hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Kiểm tra trường hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị
Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , số bất đẳng thức
Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
o Chú ý : A B AB
Xảy dấu '' = '' AB
(64)Vớ d
Vớ d 1:Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả m·n : a + b =
Giải. B = (a + b)(a2
- ab + b2
) + ab = a2
- ab + b2
+ ab = a2
+ b2
Ta cã : 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2
2
VËy B =
2
a = b =
2
Ví dụ a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y
Giải. a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x -
=> A = (t - 2)(t + 2) = t2 - -
DÊu b»ng x¶y : t = x2 + x - =
(x - 2)(x + 2) = x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ;
b, T-¬ng tù
Ví dụ Cho ba số d-ơng x , y , z thoả mÃn :
x 1 + y 1 + z 1 Tìm giá trị lín nhÊt cđa tÝch : P = xyz
Giải.
x
1
(1 -
y
1
) + ( -
z 1 ) = y y
1 + z z
1 (1 y)(1 z)
yz
T-¬ng tù :
y 1 ) )(
( x z
zx z 1
) )(
( x y
xy
Từ suy : P = xyz
8
MaxP =
8
x = y = z =
2
Vớ d Tìm giá trị lớn cña L = 2x3 + 52x
Giải. a Tãm t¾t : ( 2x3 + 52x)2
(65) 2x3 + 52x => MaxL = x =
III.
B
ài tập
Bài 1: Cho hai số x y mà x+y=1 CMR :a) x2 +y2
2 b) x
4
+y4
Bài 2: Cho a,b, c, d ,e số thực CMR a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dương x,y x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1 Bài 4: Cho hai số dương x,y CMR :
3
3
( )
2
x y xy
Bài 5: Cho ab1 CMR: 2 2 1a 1b 1ab
Bài 6 : Cho số x,y,z không âm cho x+y+z=a: CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz Bài 7: Cho a0,b0,c0: CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR:
2
x y
Bài 9: CMR: Nếu a 1;b 1 a b 1 ab
Bài 10: CMRvới số nguyên dương n3thì 2n > 2n+1
Bài 11: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác CMR:
8
a b b c c a
a b b c c a
IV.
Một số đề thi dại học
Câu 1.(B_2010) Cho số thức không âm a,b,c toản mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức: ( ) ( ) √
Câu 2.
(66)Câu
(67)Chương X.
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I.
KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với AD = CD = a,
AB = 3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh huyền a, cạnh bên 2a Gọi I
trung điểm BC
1) Chứng minh SA vng góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy Biết ̂ , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 5: Cho tứ diện S.ABC có đường cao SA 2a ∆ABC có AB = AC = a, ̂ Gọi
M, N hình chiếu A SB, SC Tính thể tích khối AMBCN theo a
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD
Biết AB = 3a, BC = 4a ̂ = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC)
và (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A ( ̂= 90o), AB=AC=a Mặt bên qua cạnh huyền BC vng góc với mặt đáy, hai mặt bên cịn lại hợp với mặt đáy góc 60o Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh
SA vng góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600
Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM =
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên BB’ = a BB’ tạo với mặt phẳng
(68)Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng A’B’C’.ABC có đáy tam giác vuông ABC B Giả sử AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a Gọi M trung điểm A’C’và I giao điểm AM A’C Tính thể tích tứ diện IABC Tính khoảng cách từ A tới IBC
Câu 13 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi ABCD SO vuông với đáy O giao điểm
của AC BD Giả sử SO = √ , đường chéo AC = 4, cạnh đáy AB = √ Gọi M trung điểm SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM
Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng ̂ ̂
, BA = BC = a, AD = 2a Giả sử SA vuông với đáy ABCDvà SA = √ Gọi H hình chiếu A lên SB
1 Chứng minh SCD tam giác vng Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Câu 15. Cho hình chóp từ giác S.ABCD khoảng cách từ A đền (SBC) = 2a Với giá trị
của , với góc mặt bên mặt đáy, thể tích khối chóp nhỏ Tính giá trị nhỏ
Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng
(A’BC) (ABC) 600
Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Câu 17.
Câu 18
Câu 19
(69)Câu 21
Câu 22
Câu 23
Câu 24
Câu 25
Câu 26 Cho hình chop S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a, hai mặt
phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a
II.
HÌNH NĨN – HÌNH TRỤ - HÌNH CẦU
1. Hình nóna Diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón trịn xoay:
r: bk đường tròn l: đường sinh
Sxq = .r.l
(70)h: chiều cao khối nón
r: bk đáy
2. Hình trụ
a Diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ r: bk đường tròn đáy
l: đường sinh
b Thể tích khối trụ tròn xoay:
h: chiều cao khối trụ r:bk đáy
3. Mặt cầu, khối cầu
a. Mặt cầu S(O ; R) tập hợp {M | OM=R} Khối cầu S(O ; R) tập hợp {M | OM }
b. Giao mặt cầu S(O ; R)và mp(P) phụ thuộc vào R khoảng cách d từ O đến (P) Giả sử H hình chiếu O mp(P) Khi :
Nếu d < R giao đường trịn nằm (P) có tâm H, bán kính √ Nếu d=R mp (P) tiếp xúc với mắt cầu S(O ; R) H ;
Nếu d>R mp (P) không cắt mặt cầu S(O ; R)
c. Giao mặt cầu S(O ; R)và đường thẳn g phụ thuộc vào R khoảng cách d từ O tới Giả sử H hình chiếu O Khi :
Nếu d < R đường thẳng cắt mặt cầu S(O ; R) hai điểm phân biệt ;
Nếu d=R tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) H Các đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu H nằm tiếp diện mặt cầu H ;
Nếu d>R khơng cắt mặt cầu S(O ; R)
4. Về tiếp tuyến mặt cầu qua điểm A nằm mặt cầu : Các đoạn thẳng nối A tiếp điểm
Tập hợp tiếp điểm đường trịn
5. Hình cầu bán kính R có diện tích tích
V =
3
Bh =
3
.r2.h
Sxq = 2r l
Stp = Sxq +2 Sđáy = 2r l +2r2
(71)Bài tập
Bài 1 Cho hình nón có bán kính đáy R, đường sinh tạo với đáy góc 60º.Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng
Bài 2 Cho hình nón có bán kính đáy r = 12 cm, góc đỉnh = 120º Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng
Bài 3 Cho khối nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính r Biết thiết diện qua trục tam giác Tính thể tích khối nón theo r
Bài 4 Thiết diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón tương ứng
Bài 5 Cắt hình nón đỉnh S mặp phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh ,diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng
Bài 6 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh ,diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng
Bài 7 Cho tam giác ABO vuông O, có góc A =30º, AB= a Tam giác ABO quay quanh trục AO ta hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón
Bài 8 Biết góc đỉnh khối nón 45º Chiều cao h= cm Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón
Bài 9 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h= 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm a.Tính diện tích xung quanh hình nón
b.Tính thể tích khối nón tạo thành hình nón
c.Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện
Bài 10 Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a
a Tính diện tích xung quanh ,diện tích đáy hình nón thể tích khối nón tương ứng
b Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60º.Tính diện tích tam giác SBC
Bài 11 Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r
a.Tính diện tích xung quanh ,diện tích tồn phần hình trụ b.Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
(72)b Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho Bài 13 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = a
a.Tính diện tích xung quanh hình trụ sinh hình chữ nhật quay quanh cạnh AD
b.Tính thể tích khối nón trịn xaoy sinh xoay cạnh AC quanh cạnh AD Bài 14 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc SAB 60º Một hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón tương ứng
Bài 15. Cho hai đường tròn (O ; r) (O'; r') cắt hai điểm A, B nằm hai mặt phẳng phân biệt (P) (P')
a) Chứng minh có mặt cầu (S) qua hai đường trịn
b) Tính bán kính Rcủa mặt cầu (S)
Bài 16. Cho hình nón N sin tam giác cạnh a quay quanh đường cao tam giác
a) Một mặt cầu có diện tích diện tích tồn phần hình nón N thì có bán kính ?
(73)Chương XI.
KHÔNG GIAN VECTƠ BA CHIỀU
I.
TĨM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Hình cầu, mặt cầu
a/ Phương trình mặt cầu: Mặt cầu tâm I (x0, y0, z0) bán kính R có dạng (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
b/ Phương trình mặt cầu tổng quát: x2 + y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = Trong tâm I (a;b;c) bán kính √
2. Phương trình mặt phẳng
a/ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D =
Trong ⃗ ( ) vector pháp tuyến mặt phẳng,
b/ Phương trình mặt phẳng qua điểm M (x0, y0, z0) có vector pháp tuyến ⃗ ( ) có dạng: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
c/ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
* Chú ý: Nếu mặt phẳng có hai vector phương ⃗ vector pháp tuyến có dạng: ⃗ [ ⃗ ]
3. Phương trình đường thẳng
a/ Phương trình tắc qua điểm M (x0, y0, z0) có vector phương ⃗ ( ) có dạng:
b/ Phương trình tham số qua điểm M (x0, y0, z0) có vector phương ⃗ ( ) có dạng:
{
𝑡 𝑡 𝑡 4. Khoảng cách:
a/ Khoảng cách từ điểm M (x0, y0, z0) tới mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = ( )
⁄
| | √
(74)( ) ⁄
√| | | | | | √
c/ Khoảng cách hai mặt phẳng song song: (P1) : Ax + By + Cz + D1 =
(P2) : Ax + By + Cz + D2 = Có dạng : ( )⁄ √ | |
II.
BÀI TẬP
Câu Cho điểm A(2;0;1); B(1;0;0); C(1;1;1) mặt phẳng (P) : x + y + z – = Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc (P)
Câu Trong không gian cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + = điểm A(0;0;4); B(2;0;0) Viêt phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với (P)
Câu Viết phương trình mặt cầu tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (d): hai điểm A, B cho AB = 16
Câu 4. Trong không gian cho mặt cầu (S1) = x2 + y2 + z2 -2z = 0, (S2) = x2 + y2 + z2 -4y =
a/ Chứng minh hai mặt cầu cắt
b/ Gọi (S) đường tròn giao tuyến (S1) (S2), xác định tâm bán kính (S) Câu 5 Tìm điểm A mặt cầu (S) = x2 + y2 + z2 – 2x + 2z – = 0, cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + = lớn nhất, bé
Câu Cho họ (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx – 2my – 6z + m2 +4m = a/ Tìm m để (Sm) mặt cầu
b/ Chứng minh tâm Im của mặt cầu nằm mặt phẳng cố định
Câu 7 Trong không gian cho đường thẳng (d): mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x -6y +m = Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho MN =
Câu Trong không gian cho điểm A(0;1;2); B(2;-2;1) C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ABC
Câu Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) hai đường thẳng d1: d2 :{ 𝑡 𝑡
𝑡
(75)Câu 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1:
, d2: { 𝑡 𝑡
𝑡
a/ Chứng minh d1//d2
b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 d2
Câu 11 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;1;1) vng góc với hai mặt phẳng (P1): x + 2y +3z + = (P2): 3x +2y – z + =
Câu 12 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d: a/ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A d
b/ Viết ptmp (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Câu 13 Cho A(1;2;3) hai đường thẳng
d1:
d2:
Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d1 cắt d2 Câu 14 Trong không gian Oxyz cho A(-4;-2-4) đường thẳng d: {
𝑡 𝑡 𝑡 Viết phương trình đường thẳng qua A cắt vng góc với d
Câu 15 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
mặt phẳng (P): x + 2y -3z + = Viết phương trình đường thẳng (d) nằm (P) vng góc với 𝑡
Câu 16 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1:
d2: { 𝑡 𝑡
và mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P) cắt cà d1 d2
Câu 17 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Gọi A giao điểm d với (P) Viết phương trình đương thẳng nằm (P) biết đia qua A vng góc với d
Câu 18. Cho d1 : d2: {
𝑡 𝑡
(76)
Câu 19 Cho d1:
d2: {
𝑡 𝑡
a/ Chứng minh d1 d2 chéo nhau,
b/ Viết phương trình đường vng góc chung
Câu 20 Trong khơng gian Oxyz cho (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3;0;1) B(1;-1;3) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với B khoảng cách từ B đến nhỏ
Câu 21 Trong không gian Oxyz cho A(1;4;2) B(-1;2;4) đường thẳng d: Tìm M d cho đại lượng MA2
+ MB2 nhận giá trị nhỏ Câu 22 Cho A(0;1;2) hai đường thẳng d1:
d2: {
𝑡 𝑡
𝑡 Tìm tọa độ M thuộc d1, N thuộc d2 cho A,M,N thẳng hang
Câu 23. Trong không gian Oxyz cho A(1;2;3) đường thẳng d:
Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua d
Câu 24 Cho d:
(P): 2x + y – 2z + =
a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến (P) b/ Tìm tọa độ A giao điểm d (P)
Câu 25. Cho hai điểm A(-1;3;2); B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x – y + z + = Tìm K thuộc (P) sap cho AK + BK nhỏ
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1; d2 mặt phẳng (P): d1:
; d2:
(P): 2x – y – 5z + = a/ Chứng minh d1, d2 chéo Tìm khoảng cách d1 d2 b/ Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P), cắt d1 d2
Câu 27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Biết A(0;0;0); B(1;0;0); D(0;1;0) A’(0;0;1) Gọi M, N trung điểm AB CB
a/ Tìm tọa độ đỉnh cịn lại b/Tính khoảng cách A’C MN Câu 28 Trong không gian Oxyz cho d1:
d2:
(77)
b/ Viết phương trình giao tuyến chung d1 d2 c/ Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 thuộc (P)
Câu 29 Cho tứ diện ABCD có A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1) D(2;-1;5) a/ Tính thể tích tứ diện
b/ Tính khoảng cách AB CD
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B song song với CD d/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B cách C, D Câu 30 Cho d: (P) x + y + z – =
Tìm giao điểm A d (P)
Viết ptdt qua A, vuông góc d, nằm (P)
Tìm M thuộc d cho khoảng cách M đến (P) 2√
Câu 31 (A2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;1), B(0;-2;3) mặt phẳng (P): 2x – y – z +4 = Tìm tọa độ M thuộc (P) cho MA = MB =
(78)Chương XII.
HÌNH HỌC PHẲNG
I.
Đường thẳng mặt phẳng
1. Thiết lập phương trình đường thẳnga/ Phương trình tắc đường thẳng qua M(x0 ,y0) có véctơ phương u (a, b) ( a 0, b 0):
b/ Phương trình tham số đường thẳng qua M(x0 ,y0) có véctơ phương u (a, b) ( a2 + b2 > 0): { 𝑡 𝑡
c/ Phương trình đường thẳng qua M(x0 ,y0) có véctơ pháp tuyến n(a, b) là: ( ) ( )
d/ Phương trình tổng quát đường thẳng : ax + by + c = Trong : (a, b) vecto pháp tuyến, (-b, a) vecto phương
e/ Phương trình đường thẳng qua M(x0 ,y0) có hệ số góc k : y-y0 = k(x-x0)
f/ Phương trình đoạn chắn: đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy A(a,0), B(0,b) có dạng:
2. Phương trình chùm đường thẳng
Giả sử d1 có dạng A1x + B1y + C1 = d2 : A2x + B2y + C2 = cắt I Khi đó, đường thẳng qua I có dạng:
(A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = (1) (1) gọi phương trình chùm đường thẳng
Bài tốn sử dụng phương trình chùm đường thẳng: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm I hai đường thẳng d1 d2 thỏa điều kiện cho trước
3. Khoảng cách :
a/ Khoảng cách từ M( x0; yo) đến đường thẳng Ax + By + C = : | |
√
(79)| | √ 4. Vị trí tương đối hai đường thẳng:
5. Góc hai đường thẳng:
II.
Phương trình đường trịn
1. Thiết lập phương trình đường trịna/ Dạng 1: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Có tâm I (a; b) bán kính R
(80)2. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng
Cho đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 đường thẳng d : Ax + By + C = Gọi h khoảng cách từ (C) đến d, đó:
| | √
III.
BÀI TẬP
Bài Cho tam giác ABC Điểm M(2,0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình: x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có I(6, 2) giao điểm AC BD Điểm M(1, 5) thuộc đường thẳng AB Trung điểm E CD nằm đường thẳng x + y – = Viết phương trình cạnh AB
Bài 3. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(4, -1), phương trình đường cao, đường trung tuyến kẽ từ đỉnh 2x – 3y + 12 = 2x + 3y = Viết phương trình cạnh tam giác
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(1, 4) N(6, 2) Lập phương trình đường thẳng qua M cho khoảng cách từ tới N bẳng
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(1, 2) , B(5, -1) Viết phương trình đường thẳng qua M(3, 5) cách A.B
Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy cho M(1, 2) Viết phương trình đường thẳng qua M cho OAB tam giác vuông cân, A, B giao đường thẳng với hai trục tọa độ
Bài 7 Cho M(4, 3), Viết phương trình đường thẳng qua M cho tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích
Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1, d2 có dạng x – y + = 0, 2x + y -1 =0 điểm P(2, 1) Viết phương trình đường thẳng qua P giao d1, d2
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB, BC, CA 4x + y – 12 = 0, 4x + 5y – 20 = x – y – = Viết phương trình đường cao
Bài 10. Cho tam giác ABC có C(-1, -2) Đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x + y – = x + 3y – = Tìm tọa độ A, B
(81)Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d1 : x + y + = d2 : x – y – = d3 : x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm d3 cho khoảng cách từ M đến d1 lần khoảng cách từ M đến d2
Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3, 1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai nửa trục Ox, Oy tương ứng A, B cho OA + OB đạt giá trị bé
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC, vuông A Biết M(1, -1) trung điểm BC G(2/3; 0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh ABC
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác cân ABC đỉnh A, có tring tâm G(4/3;1/3) Phương trình đường thẳng BC x – 2y – = 0, phương trình đưởng thẳng BB 7x – 4y – = Tìm tọa độ A, B, C
Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(0;2), B(-2;-2), C(4;2-) Gọi H chân đường coa kẻ từ B xuống cạnh AC, M, N tương ứng trung điểm AB, AC Viết phương trình đường tròn qua ba điểm H, M, N
Bài 17. Cho đường tròn (C): (x - 2)2 + y2 = 4/5 hai đường thẳng d1 : x – y = 0, d2 : x – 7y = 0.Viết phương trình đường trịn tâm K nằm C đồng thời tiếp xúc d1 , d2
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh A có khoảng cách từ tân ( C ) đến B
Bài 19 Lập phương trình đường trịn tâm nằm đường thẳng x = tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 3x – y + = d2: x – 3y + =
Bài 20 Lập phương trình đường trịn qua A(4;2) tiếp xúc với d1: x – 3y – = d2 : x – 3y + 18 =
Bài 21 Cho đường tròn x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M(4;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) qua M
Bài 22.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) x2 + y2 +2x -4y -20 = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết vng góc với đường thẳng x + y =
Bài 23. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): x2 + y2 = 2x – 4y = đường thẳng d: x – y + = Viết phương trình đường thẳng cho // d cắt (C ) hai điểm M, N cho độ dài MN =
Bài 24. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 – 8x -2y = điểm A(9;6) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C ) theo dây cung có độ dài 4√
Bài 25 Cho đường tròn (C ) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = điểm I(5;2) Viết phương trình đường thẳng d qua I cắt (C ) tai hai điểm A, B cho I trung điểm AB
(82)Bài 27. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) (x – 1)2 + (y – 1)2 = đường thẳng d : x – y – = Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với (C ) qua d
Bài 28. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d : 2x – y – = hai điểm A(1;2), B(4;1) Viết phương trình đường tròn tâm thuộc d qua A, B
Bài 29. Cho tam giác ABC với A(2;2),B(4;5) C(4;1) 1/ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC
2/Viết phương trình đường thẳng qua K(5;2) cắt đường tròn điểm M, N cho K trung điểm MN
Bài 30. Cho đường thẳng d: x – y + = đường tròn (C ) x2 + y2 + 2x – 4y = Tìm M thuộc d cho từ M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C )tại A, B cho AMB = 600
Bài 31 ( Đề thi toán khối A 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + = đường tròn (C ) x2 + y2 - 4x – 2y = Gọi I tâm đường tròn (C ), M thuộc Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C ) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ M, biết tứ giác MAIB có diện tích bẳng 10
Bài 32. ( Đại hoc khối B 2011)
Bài 33.( Đại học khối D 2011)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A, C
Bài 34.(Đại học khối D 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;0) đường tròn (C ) x2 + y2 – 2x + 4y – = Viết phương trình đường thẳng d cắt (C ) M, N cho tam giác AMN vuông cân A Bài 35.( Đại học A 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : √ d2 : √ Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 tại B, C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích bẳng √ điểm A có hồnh độ dương
(83)Bài 37 ( Đại học khối D 2010)
IV.
CÁC ĐƯỜNG CONIC
(84)(85)3. Parabol
4. Bài tập Câu
Câu 2. Trong tọa độ Oxy, cho elip (E) Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Đềcác vng góc cho elip Xét M chuyển động
Ox N chuyển động Oy cho MN tiếp xúc (E) Xác định MN để MN có độ dài nhỏ Tính độ dài
Câu 4.
Câu Viết phương trình tắc elip biết rẳng tâm sai √ hình chữ nhật sở có diện tích 20
(86)Câu 7. Cho (C) có phương trình y2 +4y – 4x = Bằng phép tịnh tiến trục toạ độ, chứng minh parabol Tương tự chứng minh : x2+6x – y + = parabol
Câu 8. Cho (H): (d): 2x-y+m=0
1/ CMR với m (H) (d) cắt điểm A, B nhánh (H) 2/ Tìm m cho BF2 = 2AF1, F1(-3;0), F2 (3;0) tiêu điểm (H)
Câu 9. Cho (E)
(d): 2x+15y-10=0 Chứng minh rẳng (d) cắt (E ) hai điểm phân biệt A,B, A € Ox, tìm độ dài AB
Câu 10 Cho (H):
a/ Tìm M € (H) cho M nhìn tiêu điểm với góc 600
b/ Tìm M € (H) cho bán kính qua tiêu điểm lần bán kính qua tiêu điểm
(87)Chương XIII.
MỘT SỐ ĐỀ THI
Câu Cho hàm số y x3 (2m1)x2 2a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m =
b Xác định k để phương trình: x33x2 2k 20 có nghiệm phân biệt Câu Tìm GTLN GTNN hàm số:
y
x
1
3
x
Câu Giải phương trình :
log
2(
x
1
)
log
x116
0
Câu Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với: AB = 2a, BC = a cạnh bên hình chóp a
a Tính thể tích SABCD
b Gọi M,N,E,F trung điểm AB, CD, SC, SD Chứng minh rằng: SN (MEF)
Câu Giải phương trình:
log
2(cos
x
1
)
2
cos
x
Hết Câu Cho hàm số2
1 3 2
x x
y
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu Giải phương trình 2log2214log4x30
Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
2
1
, 1,
1
x
y x
x
Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Biết BAC = 1200
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu Giải bất phương trình: 5.2
2
3 log
log x x
Hết Câu Cho hàm số:
2 x y
x
(1)
a./ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b./ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc tiếp tuyến -5
(88)Câu Giải phương trình: 2x2x 22xx2 3
Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu Giải bất phương trình: log5(4x 144)4log521log5(2x2 1) Hết
Câu Cho hàm số
4
2x x
y
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M(1; 2) Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
x x y
2
ln
đoạn [1; e3 ] Câu Giải phương trình: 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0
Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết AB = a, BC = a 3, SA = 3a
a/ Tính thể tích khối hình chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I trung điểm SC, tính độ dài đoạn BI theo a
Câu Giải bất phương trình: 2log (4 3) log (2 3)
3
3 x x
Hết Câu Cho hàm số yx4x26
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1
x
y Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = x3
– 3x - đoạn
1;3
Câu Giải phương trình: ( 1)x ( 1)x 2 0
Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng tai A D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy cạnh SC tạo với mặt đáy góc 450
Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a