de cuong toan 9

Neáu moät ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm cuûa ñöôøng troøn vaø vuoâng goùc vôùi BK ñi qua ñieåm ñoù thì ñöôøng thaúng aáy laø moät tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn. a: tieáp tuyeán cuûa ([r]

ĐỀ CƯƠNG TỐN HỌC KÌ I A.ĐẠI SỐ

Chương I: Căn bậc hai, bậc ba

Định lý : Với số a, b khơng âm ta có a< b ⇔√a<√b Vd : So sánh √11

Giải:Ta có = √9

Vì 11 > => √11 > √9

hay √11 >

Định lý : Với số a, ta có √a2 =|a| Vd:Với giá trị a biểu thức có nghĩa:

a) √a

3 b) √−5a

Giải :a) √a

3 có nghóa √ a

3   a  ( a > 0)

Vậy √a

3 có nghóa a 

b) √−5a có nghóa - 5a   a ≤−05

 a 

Vaäy √−5a có nghóa

Định lý : Với hai số a b khơng âm, ta có √a.b=√a.√b

Khai phương tích: √a.b=√a.√b

Nhân bậc hai: √a.√b=√a.b (a  b  0) Vd: Tính a) a) √49 1,44 25 b) √3.√75=√3 75

Giaûi: a) √49 1,44 25 = √49 √1,44 √25

= 7.1,2.5=42 b) √3.√75=√3 75

¿√225=15

Định lí : Với số a khơng âm số b dương, ta có √a

b= √a √b

Khai phương thương: a  b >0 √ab=√a √b Chia hai thức bậc hai : a  b >0 √a

√b=¿ √a

Vd : Tínha) √25121 b) 36

25 : 16

9

c) √√805 d) √ 49

8 :√3

Giaûi:

a) √25121 = 11

5 121

25 

b) √ 16 :

25

36 = √ 16 :√

25 36= 4: 6= 10

c) √80

√5 = √ 80

5 =√16=4

d) √49 :√3

1

8 = √ 49

8 : 25

8 =√ 49 25=

7

Đưa thừa số dấu căn:

Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có √A2B

=|A|√B , tức Nếu A 0 B √A2B

=A√B Nếu A<0và B √A2B=− A√B VD :Rút gọn biểu thức

3√5+√20+√5

Giaûi

3√5+√20+√5 = √5+√22 5+√5

= √5+2√5+√5

= (3+2+1) √5 = √5

Đưa thừa số vào dấu căn: A√B=√A2B (A  0; B  0)

A√B=√A2B (A < 0; B  0)

VD :Đưa thừa số vào dấu

a) √7 b) -2 √3 c)5a2 √2a với a d) -3a2 √2ab với

ab Giaûi

a)3 √7 = √327=√63 b)-2 √3 = - √223

=−√12

c) 5a2

√2a = √(5a2)22a=√25a4 2a=√50a5 d)-3a2

√2ab = - √(3a2)2.2 ab

=−√9a4 ab=−√18a5b

Khử mẫu: Với biểu thức A, B ;AB B ta có

√A B=

√AB

|B|

Vdụ: Khử mẫu biểu thức a)

2

3 b)

a

b với a.b> 0

Giaûi:

a)

2 2.3

3  3.3  b)

5 35

7 7

a a b ab

Trục thức mẫu :

a) Với biểu thức A,B màB >0 ta có : A √B=

A√B B

b) Với biểu thức A, B,C mà A A B2 ta có C √A ± B=

C(√A∓B) A − B2 c) Với biểu thức A,B,C mà A 0, B 0 A B, ta có

C √A ±√B=

C(√A∓√B) A − B VD : Trục thức mẫu a) 25

√3 b) 10

√3+1 Giaûi:

a) 25 √3 =

5√3 2√3 √3=

5√3 3=

5 6√3

b) 10

√3+1 =

10(√3−1)

(√3+1)(√3−1)=

10(√3−1)

3−1 =5(√3−1)

VD : Cho biểu thức

2

1 . 1

2 1

a a a

P

a a a

     

      

 

   

với a>0và a

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị a để P <0 Giải

a)

2 2 2

1 .( 1) ( 1)

2 ( 1)( 1)

a a a a

P

a a a

     

 

 

 

= (a −2 √a)

2

.a −2√a+1−a −2√a −1

a −1 =

2√a¿2 ¿

(a −1)(−4√a)

¿

= (1− a4)a 4√a=1− a √a Vaäy P = 1− a

√a với a > a

b) Do a > vaø a nên P < 1− a

√a < ⇔ 1-a < ⇔ a >1 Căn bậc ba số a số x cho x3 = a

Tính chất: a) a < b => √a<√3b b)

√ab=√3a.√3 b c) b :√3 a

b= √a √b

Cho hàm số y = f(x) xác điïnh với giá trị x thuộc R

a) Nếu giá trị củ abiến xtăng lên mà giá trị tương ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) được gọi hàm số đồng biến R( gọi tắt hàm số đồng biến)

b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại gảim hàm số y = f(x) được gọi hàm số nghịch biến R (gọi tắt hàm số nghịch biến)

Nói cách khác , với x1, x2 thuộc R

Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R

Dạng tập:-Tính giá trị hàm số y=f(x) tương ứng với x x ( tập trang

44 SGK)

-Lập bảng giá trị hàm số y=f(x) ( tập 2,6trang 45-46 SGK)

-Chứng minh hàm số y=f(x) đồng biến hay nghịch biến ( tập 2,3,7trang 45-46 SGK)

-Vẽ đồ thị hàm số y=f(x) (đã học lớp 7) ĐN:Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax +b a, b số cho trước a

Tính chất: hàm số bậc y = ax +b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau :

a) Đồng biến R a >0 b) Nghịch biến R, a <0

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc y = ax + b (a 0)

Cách 1: Xác định hai điểm đồ thị

Cho x = 1, tính y = a + b, ta có điểm A (1; a + b) Cho x = - 1, tính y = - a + b, ta có điểm B (-1; b –a) Cách 2: Xác định giao điểm đồ thị với trục tọa độ Cho x = 0, tính y = b, ta có điểm P(0;b)

Cho y = 0, tính x=−b

a , ta có điểm Q (− b a;0)

Vẽ đường thẳng qua A, B qua P, Q ta đồ thị hàm số y = ax + b Dạng tập:

-Xác định điểm thuộc đồ thị -Xác định hệ số a b -Vẽ đồ thị hàm số y=ax+b -Tìm tọa độ giao điểm

-Viết phương trình đường thẳng y=ax+b Đường thẳng song song:

Hai đường thẳng y = ax + b (a  0) y = a’x + b’ (a  0) song song với a

= a’ , b  b’vaø trùng a = a’ b = b ‘

Đường thẳng cắt

Vi dụ: Cho hai hàm số bậc y = 2mx +3 y = (m+1)x+2.Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho :

a) Hai đường thẳng cắt

b) Hai đường thẳng song song với

Giải Hàm số : y = 2mx +3, đk :2m 0=> m Hàm số: y = (m+1)x +2, m+1 0=> m -1 a) Hai đường thẳng cắt ⇔ a a'

⇔ 2m m+1 ⇔ m 1

b) Hai đường thẳng song song a = a'

⇔ b b' 2m =m +1 ⇔ 2

⇔ 2m = m+1 ⇔ m =1

Vậy m =1, hai đường thẳng song song

Hệ số góc : Các đt có hệ số a (a hệ số x) tạo với trục Ox góc _ Khi hệ số a > góc tạo đt y = ax + b với trục Ox góc nhọn, hệ số a lớn góc lớn nhỏ 900

_ Khi hệ số a < góc tạo đt y = ax + b với trục Ox góc tù, hệ số a lớn góc lớn nhỏ 1800

* a gọi hệ số góc đt y = ax + b

Chú ý : Khi b = , y = ax , a hệ số góc đt y = ax Ví dụ 1:

Cho hàm số y = 3x + a) Vẽ đồ thị hàm số

b)Tính góc tạo đt y = 3x + trục Ox Giải : a) ta có :A(0;2) , B( −2

3 ,0)

b) Ta coù ABO = α

xét tam giác vuông OAB, ta có tg α = _3 hệ số góc đt y = 3x + vaäy α = 71034'

BÀI TẬP:

1.Với giá trị x thức sau có nghĩa? a) 5x b) 5x c)

1

x  

d) x2 9 e)

1

x 2.So saùnh:

a) √3 vaø √10 b) 324 vaø1 755 c)2 2 vaø 2+ 2 d) 2- 3

3-2 3.Tính:

a) √2,5.√30.√48 b) √22 34 c) √1,4 1,21−1,44 0,4 d)

a) √300−√75+

1

2√12−√147 b)

2

16 5xy x

y với x<0,y0 c)4 a3 16b a3  9a ab2  4a với a>0,b>0

5.Chứng minh đẳng thức sau a)

1 :

x y y x x y

xy x y



 

 với x,y dương vàx y b) (1− a√a

1−√a +√a)(

1−√a

1−a )

c)   :

ab

a b

a b

a b b a   

6.Khử mẩu a)

3

50 b) ab

a

b c)3xy

2

xy d) x y x y

  7.Trục thức mẩu:

a)

3

7 b)

16a c)

4

2 1 d)

11

2 a1

8.Cho biểu thức A=

5

8 15

x

x x



  với x>0 a)Rút gọn A

b)Tính giá trị A x=18 a)Cho hàm số y=f(x)=

3

4x Tính: f(-3); f(-2); f(0); f(1); f(8).

b) Cho hàm số y=f(x)=

3

4x+2 Tính: f(-3); f(-2); f(0); f(1); f(8).

c)Có nhận xét giá trị hai hàm số biến lấy giá trị ? 10.Cho hai hàm số y=3x y=3x-1

a)Trong hai hàm số cho hàm số đồng biến ,hàm số nghịch biến?Vì sao? b)Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ

c) Tính góc tạo đt y = 3x -1 trục Ox

11.Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện sau: a)Đi qua A(

1 7;

2 4) song song với đường thẳng y= 2x.

b)Cắt trục tung Oy điểm có tung độ qua điểm B(2;1) 12 Cho đường thẳng y = 2x – y = x +

a) Vẽđồ thị hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ

b) Gọi giao điểm đường thẳng y = 2x – vaø y = x + với trục hòanh

A, B, giao điểm hai đường thẳng C Tìm toạđộ caùc điểm A, B , C

c) Tính chu vi ABC

13.Tìm m để hàm số y = (m – 2)x +

a) Đồng biến b) Nghịch biến

a)Đi qua A(-1; 2) song song với đường thẳng y =

1 2x+2

b)Cắt trục tung điểm có tung độ -3 qua điểm B(-2; 1) 15.Cho hàm số y = (m – 1)x + 2m +

a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm B(1; 1) b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m vừa tìm

c) Tính góc tạo đường thẳng vẽ trục hồnh (kết làm trịn đến phút) 16 a) Vẽ đồ thị hàm số y= 3x – y = -2x + mặt phẳng tọa độ

b)Hai đường thẳng y= 3x – y = -2x + cắt A, cắt trục tung Oy theo thứ tự B C Tìm độ dài đoạn thẳng BC AC

17.Cho biểu thức :

A = 36x 36 25 x 25 4 x 4 với x  1/ Rút gọn biểu thức A

2/ Tìm x cho biểu A có giá trị 20

3/ Với x 10 biểu thứcA có giá trị ? B.HÌNH HỌC

Hệ thức liên hệ Cạnh gócvng hình chiếu cạnh huyền: b2 = ab’ ; c2 = ac’

Một số hệ thức liên quan tới đường cao: 1/ h2 = b’c’

2/ = bc 3/ h12=

1

b2−

1

c2

VD1:Trong tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao độ dài đọan thẳng mà định cạnh huyền

Giải:

p dụng định lyù Pytago : BC2 = AB2 +

AC2 BC

2 = 32 + 42 = 25

BC AH = AB AC Độ dài AH

 AH=AB AC

BC

 AH=3

5 =2

Độ dài BH BH = AB2

BC = 32

5=1,8

Độ dài CH

CH = BC - BH = - 1,8 = 3,2

VD1:Đường cao tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đọan thẳng có độ dài Hãy tính cạnh góc vng tam giác

Giaûi

FG = FH + HG = 1+2=3 EF2 = FH.FG = 1.3 =

 EF=√3

EG2 = HG FG = 2.3 =

 EF=√6

Tỉ số lượng giác góc nhọn :

sinα=doi

huyen ;cosα= ke

huyen ; tgα= doi

ke ;cotgα= ke doi

Tỉ số lượng giác hai góc phụ : sin = cos ; cos = sin;

tg = cotg ; cotg = tg

Các hệ thức:

a) Tổng quát:

b = a.sinB = a.cos C c = a.sinC = a.cosB b = c.tgB = c.cotgC c= b.tgC = b.cotgB

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông :

+ Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề

 Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R (với R>0) hình gồm các điểm cách điểm O

một khỏang R

Ký hiệu : (0, R) (0)

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn Chú ý: khơng vẽ đường trịn qua điểm thẳng hàng

 Tâm đối xứng:

* Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn

 Trục đối xứng:

Đường trịn hình có trục đối xứng.Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường trịn

So sánh độ dài dây đường kính :

Định lý : Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính

Quan hệä vng góc đường kính dây

Định lý :Trong1đường trịn, đường kính vng góc với dây đi qua trung điểm dây

Định lý : Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm thì vng góc với dây

a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm nhau

Định lý : Trong hai dây đuờng trịn : a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn hơn

VTTĐ đthẳng đtròn Số điểm chung Hệ thức d R _Đthẳng đtrịn cắt

-Đthẳng đtròn tiếp xúc -Đthẳng đtròn không giao

2

d < R d = R d > R

Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với BK qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn

a: tiếp tuyến (O) C : tiếp điểm

 a  OC

Vd:Cho đường tròn (O) dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường điểm C

a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường trịn

b) Cho bán kính đuờng trịn 15cm, AB = 24cm Tính độ dài OC Giải

a) CB tiếp tuyến

OAB cân O

OA = OB = R

 đ.cao OH (gt) đồng thời

Xét  OAC OBC

OC cạnh chung OA = OB (=R)

^

O1=^O2(cmt)

OAC = OBC

 OAC=OBC

Maø OAC = 900 (AC tiếp tuyến) Nên OBC = 900

 CB  OB

Vậy CB tiếp tuyến B (O) b) Độ dài OC

Ta coù :

AH=HB=AB

2 = 24

2 =12cm

(đ.lý đ.kính vuông góc dây cung) Trong  OAH ( ^H=900¿

OH=√OA2−AH2 (pitago)

¿√152−122

= cm

Trong  OAC ( ^A=900 ) OA2 = OH OC

 152 = OC

⇒OC=225

9 =25cm

A O

B

C

Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm : + Điểm cách hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

+ Tia kẻ từ tâm qua hai điểm tia phân giác góc tạo hai BK qua tiếp điểm

Lưu ý:

BAC : góc tạo tiếp tuyến AB, AC BOC : góc tạo bán kính OB, OC

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh tam giác tiếp xúc với các

phần kéo dài hai cạnh kia gọi đường tròn bàng tiếp tam giác

- Với tam giác có đường trịn bàng tiếp

* Tâm: giao điểm đpg giác ngòai tam giác

a) Hai đường tròn cắt

 (O’;R) (O’;r) cắt  R – r < OO’ < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc : * Tiếp xúc ngịai:

* Tiếp xúc trong:

 (O; R) (O’,r) tx ngòai  OO’

= R + r

 (O; R) vaø (O’;r) tx trong OO’

= R- r

 (O; R), (O’;r) ngòai

nhau

 OO’ > R + r  (O;R) đựng (O’;r)  OO’ < R – r

Định lí :

a) Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm là đường trung trực dây chung

b) Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm

Tiếp tuyến chung hai đường tròn : Là đường thẳng tiếp xúc với hai đtr

* TTC ngòai d1 d2

* TTC m1 m2 cắt đọan OO’ 1/ a)Tính MK

b) Tính x :

c) Tính DI:

d) Tính FE:

e)Tính AC:

3 Cho tam giác ABC vng A Vẽ hình thiết lập hệ thức tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy vác hệ thức tính tỉ số lượng giác góc C

4 a)Dựng góc nhọn , biết tgα=45

b) Dựng góc nhọn , biết

2

tg 

5 Cho tam giác DEF có EF = 7cm ^D = 400, ^F

=580 Kẻ đường cao EI tam giác

đó Hãy tính (lấy chữ số thập phân) : a) Đường cao EI

b) Cạnh EF

6. Khơng dùng bảng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240, sin 540, cos 700, sin 780

7. Giải tam giác vuông ABC vuông B biết ,AC7,Â=540 8.Cho ABC có A = 900, vẽ AH  BC, HE  AB, HF  AC

1) Nếu biết: AB = cm BC = 13 cm

a) Hãy giải ABC b) Tính EF

2) Chứng minh:

3

AB BE

AC CF

9.a)Cho đường trịn(O;5), dây AB=4 Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Cho đường tròn(O;5), điểm A cách O khoảng 10.Kẻ tiếp tuyến AB,AC với (O)

Tính góc BAC

10.Cho đường tròn (O;15cm),dây BC=24 cm Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A Gọi H giao điểm OA BC

a)Chứng minh HB=HC b)tính OH

c)Tính OA

Bài 11: Tìm x, y có hình vẽ sau :

A

B

C

H 52