Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh AD sao cho DE = 2EA.. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.[r]
(1)(2)đề
Bài 1: Tìm a)
6 lim 3
2
2 − −
− − +
→ x x
x x x
x b)
3 lim
1 x
x x
→
+ − −
Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:
⎧ + +
≠ − ⎪
=⎨ +
⎪⎩
2
3
, x
( ) 2
3 , x = -2
x x
f x x
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x +1 (1)
a) Tìm đạo hàm cấp hai hàm số (1) suy f′′ −( 5) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1)
điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh PT f(x) = có nghiệm nằm khoảng (-1; 1)
Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 SA=SB = SD = a
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vng
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
MỤC LỤC
Trang Phần I ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương I Hàm số lượng giác – Phương trình lượng giác 3
A Hàm số lượng giác
B Phương trình lượng giác
Dạng 1: Phương trình lượng giác
Dạng 2: Phương trình bậc hàm số lượng giác
Dạng 3: Phương trình bậc theo sinu cosu
Dạng 4: Phương trình theo sinu cosu
Dạng 5: Phương trình đối xứng – phản xứng
Dạng 6: Phương trình lượng giác khơng mẫu mực
Một sốñề thi ðại học
Chương II Tổ hợp – Xác suất 11 A Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 11
B Xác suất 15
Chương III Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 17 Phương pháp quy nạp 17
Dãy số 18
Cấp số cộng 19
Cấp số nhân 21
Chương IV Giới hạn 23 Giới hạn dãy số 23
Giới hạn hàm số 24
Hàm số liên tục 27
Chương V ðạo hàm 30 Phần II Hình học Chương I Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng 33 Phép tịnh tiến 33
Phép ñối xứng trục, Phép ñối xứng tâm 34
Phép quay, Phép dời hình 35
Phép vị tự, Phép ñồng dạng 36
Chương II Quan hệ song song 38 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 38
Chứng minh ñiểm thẳng hàng 39
Chứng minh ñường thẳng ñồng qui 40
Giao ñiểm ñường thẳng mặt phẳng 41
Thiết diện 43
Hai ñường thẳng song song 44
ðường thẳng song song với mặt phẳng 45
Hai mặt phẳng song song 47
Hình lăng trụ 48
Chương III Quan hệ vuông góc 49 Vectơ khơng gian 49
Hai đường thẳng vng góc, ðường thẳng vng góc với mặt phẳng 50
Góc đường thẳng mặt phẳng, Góc hai mặt phẳng 54
Hai mặt phẳng vng góc 56
Khoảng cách 59
(3)MỘT SỐĐỀ THI THAM KHẢO
đề
Câu 1: Tính giới hạn hàm số a)
2
2 9 9
lim
3
x
x x
x
→
− −
− b)
2
2 4 1
lim
3 2
x
x x
x
→−∞
− +
− +
Câu 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định nó: f(x) =
2
2 10
2
2
4 17
x x
x x
x x
⎧− + + < −
⎪
+ ⎨
⎪ + ≥ −
⎩
nÕu nÕu Câu 3: Tính đạo hàm hàm số:
a) y = 3x3 - 4x2 + b) y =
2
2
3
x x
x
+ −
−
c) y = 3sin3x - 3cos24x Câu 4:
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) y = - 2x4 + x2 – điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = b) Cho hàm số y = x.cosx
Chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” =
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân B
ABC =1200, SA ⊥ (ABC) SA = AB = 2a Gọi O trung điểm đoạn AC, H hình chiếu O SC
a) Chứng minh: OB ⊥ SC b) Chứng minh: (HBO) ⊥ (SBC)
c) Gọi D điểm đối xứng với B qua O Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB
Chương I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài Tìm tập xác định hàm số sau: sin
1
+ =
−
x y
x
3sin2 2cos3
= x
y
x
cot(2 ) π
= −
y x tan(2 )
π
= +
y x
cos 1
− =
+
x y
x
sin
cos
+ =
+
x y
sin cos
=
−
y
x x 2 tan
cos sin
+ =
−
x y
x x
sin cos cos 1 sin
= +
− +
x x
y
x x 10
1 sin
tan
= + −
−
y x
x Bài Xác định tính chẵn, lẻ hàm số:
1 y cos3x x
= y=2x−2sinx
y=sin x x+ tan2
2
y= x+
y=3sin2 x−cosx y=tanx+2cosx Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y 2sin(x )
3
π
= − + y=3- cos2x1
2
2
1 3cos y=
2
x
+
y= −2 4sin cosx x
y=4sin2 x−cos2x 6.y=3 cos2x +1
(4)y= −7 sin3x y= 2sin cos− x 2x
Bài Hãy xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y= −sinx y= −2 sinx
sin( )
3
y= x+π y=cosx+1
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài Giải phương trình sau:
sin3
2
x= cos2
2
x= − tan( )
4
x−π = sin2x−sin2 cosx x=0
sin3x−cos2x=0 t an4 cot 2x x=1
cos( )
6
x−π + = tan(2 ) t an3
3
x+π + x=
cos 2sin2
x
x− = 10 cos4 sin4
2
x− x= 11 sin cos sin cos
2 3 2
x π + π x =
12 sin cos3 cos sin3
x x− x x= 13 cos2 x+cos 22 x+cos 32 x=1
14 sin 22 cos 82 sin(17 10 )
x− x= π + x
15 cos4 x+sin6 x=cos2x
3 Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB SD
4 Tính : d[CM,(SA)]
Bài Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) AA′
= a, đáy ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = a Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC)
3 Chứng minh AB ⊥ (ACC′A′) tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′)
Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
1 Chứng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’) Tính d⎡⎣(BA'C'),(ACD')⎤⎦
(5)OA BC AI OC
Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:
SC BD AC SD
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng canh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính:
1 Giữa SC BD ; AC SD d[A,(ABCD)]
3 d[O,(SBC)] với O tâm hình vng d[I,(ABCD)] với I trung điểm SC
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) SA = 2a Tính :
1 d[A,(SCD)] ; d[A,(SBC)] d[AB,(SCD)]
3 d[AB,(SCD)]
4 d[DE,(SBC)] , E trung điểm AB
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a ,tam giac SAD (SAD) ⊥ (ABCD) gọi I trung điểm Sb va K =CM ∩ BI
1 Chứng minh (CMF) ⊥ (SIB)
2 Chứng minh : tam giac BKF cân K
16 cos4 sin4
2sin2 cos4
x x
x x
−
− =
+
17 sin cos cos2
2
x x+ x= + 18
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 1
2 cos
x x
x
π
− − −
= −
Bài Giải biện luận phương trình: sinx=2m−1
(4m−1)cosx m= cosx−8
tanx m− =(m+1)tanx
(3m−2)cos2x+4 sinm 2x m+ =0
Bài Tìm m để phương trình:
sin( )
4
x+π =m có nghiệm (0; )
2
x∈ π
(2 )sin( ) (3 2)cos(2 )
2
m x π m π x m
+ + − + − + − = có
nghiệm
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài Giải phương trình sau: cos2x−2( 1)cos+ x+ 0=
2 2cos x 5sinx + – = 2cos2x – 8cosx 0+ =
4 2cosx.cos2x cos2x cos3x= + +
5
2
3
3 tan
cos x = + x
(6)8 cos2 3cos cos2
2
x− x = x cot tan cos4
sin2
x
x x
x
= +
10
2
cos (2sin 2) 2sin 3 1
1 sin2
x x x
x
+ + −
= +
11 3tan4x+2 tan4 x− =1 12 cos sin 1
sin cos
x x
x x
− = −
13 cos2 12 2(cos )
cos cos
x x
x x
+ − + =
14 2 2
sin cos
sin cosx x + x x =
Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: cos2 x+ −(1 m)cosx+2m− =6
2 cos 22 x−4 cos2x− −3 3m=0
Bài Cho phương trình: cos2x a+ +( 2)sinx a− − =1
1 Giải phương trình cho a =
2 Với giá trị a phương trình cho có nghiệm?
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINu VÀ COSu
Bài Giải phương trình sau: 3cosx−sinx=
cosx− 3sin x=−1
1 Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC) Tính góc hai mp (SAD), (SBC)
3 Gọi H, I trung điểm AB BC Chứng minh: (SHC) ⊥ (SDI)
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A Gọi O, I, J trung điểm BC AB, AC Từ O kẻ đoạn thẳng OS⊥ (ABC)
1 Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC) Chứng minh: (SOI) ⊥ (SAB) Chứng minh: (SOI) ⊥ (SOJ)
Bài 11 Cho tam diện ba góc vng Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc) Lần lượt lấy Ox, Oy, Oz điểm B, C, A cho OA = a, OB = b, OC = c Các đường cao CH va BK tam giác ABC cắt I
1 Chứng minh: (ABC) ⊥ (OHC) Chứng minh: (ABC) ⊥ (OKB) Chứng minh: OI ⊥ (ABC)
4 Gọi α, β, γ góc tạo OA, OB, OC với OI Chứng minh: cos2α + cos2 β + cos2 γ =
KHOẢNG CÁCH
(7)1 Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC) Chứng minh: (SOI) ⊥ (ABC)
Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy I, J, K trung điểm AB, CD, BC
1 Chứng minh: SI ⊥ (ABCD)
2 Chứng minh: mặt phẳng SAD SBC tam giác vuông
3 Chứng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB) Chứng minh: (SDK) ⊥ (SIC)
Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD ⊥ (BCD) Gọi AE, BF hai đường cao tam giác ABC, H K trực tâm tam giác ABC tam giác BCD
1 Chứng minh: (ADE) ⊥ (ABC) Chứng minh: (BFK) ⊥ (ABC) Chứng minh: HK⊥ (ABC)
Bài Trong mp (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, AC =
3 a
Trên đường thẳng vng góc với mp (P) giao điểm O hai đường chéo hình thoi ta lấy S cho SB = a
1 Chứng minh: ∆ SAC vuông Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD)
Bài Cho hình vng ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác (SAB) ⊥ (ABCD)
sin3x+ cos3x=
cos2 x− sin2x=
2sin2 cos2x x+ cos4x+ 0= cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7x)
4 ) ( cos
sin4 + +π =
x x
tanx−3cotx=4(sinx+ cos )x sin 2 sin2
2 x+ x=
10 3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x 11 3(1 cos ) cos
2sin x
x x
− =
12 cot tan cos sin
sin cos
x x
x x
x x
−
− =
Bài Định m để phương trình sau có nghiệm: msinx+2 cosx=3
sin2x m+ cos2x+2m=0 mcos3x m+( +2)sin3x=2
(sinx+2cosx+3)m= +1 cosx
m(cosx−sinx− =1) sinx
(3 )cos2+ m x+(4m−3)sin2x+13m=0
Bài Cho phương trình: sinx m+ cosx=1 Giải phương trình m= −
Định m để phương trình vơ nghiệm
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINu VÀ COSu
(8)3sin x + 8sinxcosx + ( 3 − 9)cos x 02 =
4sin x 32 + sin2x – 2cos x 42 = 2sin x – 5sinx.cosx – cos x 22 = − 4sin2 3 sin cos2
2
x + x− x =
2sin2 x+6sin cosx x+2(1+ 3)cos2x= +5
sin3x+2sin cos2x x−3cos3x=0 4sin3x+3sin cos2 x x−sinx−cos3x=0
sin3 3 cos3 sin cos2 3 sin2 cos
x− x= x x− x x
10 tan cot
sin2
x x
x
+ = +
Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: msin2x+2sin2x+3 cosm 2x=2 sin2x m− sin2x m−( +1)cos2 x=0
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG Bài Giải phương trình sau:
2(sinx+cos ) 3sin cosx + x x+ =2 3 sinx cosx 2sin2x 0( + ) + + =
sin2x –12 sinx –cosx ( )= −12
cosx sinx( + )=4sinxcosx 1+
cosx –sinx –2sin2x –1 0=
(1+ 2)(sinx+cos ) 2sin cosx − x x− −1 0=
sin3x+cos3x= −1 sin cosx x sin3x+cos3x=2(sinx+cos ) 1x −
tanx+cotx= 2(sinx+cos )x
3 Gọi BE, DF hai đường cao tam giác SBD Chứng minh rằng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC)
Bài Cho tứ diện ABCD có mặt ABD ACD vng góc với mặt BCD Gọi DE ,BK đường cao tam giác BCD BF đường cao tam giác ABC
1 Chứng minh : AD ⊥ (BCD) Chứng minh : (ADE) ⊥ (ABC) Chứng minh : (BKF) ⊥ (ABC) Chứng minh : (ACD) ⊥ (BKF)
5 Gọi O H trực tâm hai tam giác BCD ABC chứng minh : OH ⊥ (ABC)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA= SB= SC=a Chứng minh :
1 (ABCD) ⊥ (SBD)
2 Tam giác SBD tam giác vuông
Bài Cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm cạnh BC, D điểm đối xứng A qua I Dựng đoạn SD =
2 a
vng góc với (ABC) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAC)
2 (SBC) ⊥ (SAD)
(9)3 Tính góc [(SMC), (ABC)]
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AB = 2a, AD = DC = a, SA = a SA
⊥ (ABCD) Tính góc mặt phẳng (SBC) (ABC)
2 (SAB) (SCB) (SCB) (SCD)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O, cạnh a ABC = 600, SO ⊥ (ABCD) SO =
4 a
Tính số đo nhị diện cạnh AB
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, SA ⊥ (ABCD) SA = x (x>0)
1 Tính sđ [S, BC, A] theo a x Tính x theo a để số đo nhị diện 600
2 Tính sđ[B, BC, D] theo a x Tính x theo a để số đo nhị diện 1200
HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, SA
⊥ (ABCD)
1 Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD)
2 Chứng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC)
10 sin cos cos2
1 sin2
x
x x
x
+ =
−
Bài Định m để phương trình sau có nghiệm: sinx+cosx= +1 msin2x
sin2x−2 (sinm x+cos ) 6x + − m2 =0
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC
Bài tập Giải phương trình sau: sin sin2x x= −1
7cos2 x+8sin100x=8 sinx+cosx= 2(2 sin3 )− x
sin3x+cos3x= −2 sin4x
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC
(1 2sin ) cos2 1 sin cos
x x x x
+ = + +
cos5x−2sin cos 2x x−sinx=0
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )3
x+ x x+ x= x+ x
(1 2sin ) osx (1 2sin )(1 sinx)
x c x
− =
+ −
sin 3x− cos3x=2sin 2x
2sin (1 cos ) sin 2x + x + x= +1 2cosx
sin3 3 cos3 sin cos2 3 sin2 cos
x− x= x x− x x
1 4sin(7 )
3
sin sin( )
2
x
x x
π π
+ = −
(10)(sin cos )2 3 cos 2
2
x x
x
+ + =
10 2sin 22 sin 7 1 sin x+ x− = x
11 (1 sin2 ) cos (1 cos )sin2 1 sin 2
x x x x x
+ + + = +
12 cos 3x+cos 2x−cosx− =1 13 cot sin (1 tan tan )
2 x
x+ x + x =
14 2(cos6 sin ) sin cos6 2sin
x x x x
x
+ − =
−
15 cos4 sin4 cos( )sin(3 ) 0
4
π π
+ + − − − =
x x x x
16 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0 17 cos cos 22 cos2 0
x x− x= 18 5sin 2 3(1 sin ) tan2
x− = − x x
19 (2cosx−1)(2sinx+cos ) sin 2x = x−sinx 20 cot tan 4sin 2
sin
x x x
x
− + =
Bài Cho hình vng ABCD tam giác SAB cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AB
1 Chứng minh: SI (ABCD)⊥ tính góc SC (ABCD)
2 Gọi J trung điểm CD Chứng tỏ: (SIJ) (ABCD)⊥ Tính góc hợp SI (SDC)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính:
1 [SAB, (SCD)] [SAB, (SBC)] [SAB, (SAC)] [SCD, (ABCD)] [SBC, (SCD)] sđ [S, BC, A] sđ[C, SA, D] sđ[A, SB, D] sđ[B, SC, A]
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a, BC = a 3, SA ⊥ (ABC) SA = 2a Gọi M trung điểm AB
(11)Gọi d đường thẳng vng góc với (ABC) trung điểm K BC tìm d ∩ (α )
- GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG - GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N trung điểm SA BC, biết (MN ABCD,( )) 60=
1 Tính MN SO
2 Tính góc MN mp(BCD)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc giữa:
1 SC (ABCD) SC (SAB) SC (SBD) SB (SAC)
Bài Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) AB = a 3, BCD tam giác cạnh a Tính góc giữa:
1 AC (BCD) AD (BCD) AD (ABC)
A HOÁN VN - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài Có 25 đội bóng tham gia thi đấu, đội đá với trận ( về) Hỏi có tất trận đấu?
Bài
1 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số?
2 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số số chẵn?
3 Có số tự nhiên có chữ số đơi khác chia hết cho 5?
Bài Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, thư kí Hỏi có cách khơng kiêm nhiệm?
Bài Trong tuần, An định tối thăm người bạn số 10 người bạn Hỏi An lặp kế hoạch thăm bạn nếu:
1 Có thể thăm bạn nhiều lần? Khơng đến thăm bạn lần?
Bài Có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc? Bài Có cách xếp bạn A, B,C,D,E vào ghế dài chỗ nếu:
1 Bạn C ngồi
2 Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế
Bài Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau?
Bài Có sách Toán khác nhau, sách Lý khác sách Hóa khác nhau.Cần xếp sách thành hàng cho sách môn kề Hỏi có cách? Bài Giải :
1 P2.x2 – P3.x =
(12)2
1
1
x x
x P P
P+ −
− =
1 15
+ −
+ < n n
n n
P P
P P
Bài 10 Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 11 Từ tập hợp X ={0; 1; 2; 3; 4; 5} lập số tự nhiên có chữ số khác
Bài 12 Có 10 sách khác bút khác Cần chọn sách bút để tặng cho học sinh, em tặng sách bút Có cách? Bài 13 Giải:
1 2
x 2x
2A +50=A , x N∈
2 An3+5An2= 2(n + 15) 3An2−A22n+42 0.= 2Pn+6An2−P An n2 =12 A10x +Ax9=9 A8x
4
2
143 0
4
n
n n
A
P++ − P− <
7. 4 15
( n2)! ( 1)!
A
n++ < n−
Bài 14 Có 10 sách tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách?
Bài 15 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách?
Bài 16 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra ?
1 Xác định mặt phẳng α
2 Tính diện tích thiết diện tứ giác với mặt phẳng α Bài 12 Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với (ABC) O, lấy điểm S cho OS = 2a Gọi I điểm OH, đặt AI = x (a<x<2a), ( α) mặt phẳng qua I vng góc với OH
1 Xác định (α)
2 Tìm thiết diện tứ diện SABC α Tính diện tích cua thiết diên theo a x
Bài 14 Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC SBC tam giác cạnh a SA =
2 a
Lấy điểm M thuộc AB AM = x (0<x<a).gọi (α) mặt phẳng qua M vng góc vói BC, D trung điểm BC
1 Chứng minh: (α ) // (SAD)
2 Tìm thiết diện tứ diện SABC (α ) Tính diện tích thiết diện theo a x
Bài 15 Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vuông cân B, AB = BC =2a Cạnh SA ⊥ (ABC) SA =a
1 Chứng minh mặt hình chóp tam giac vuông Gọi (α ) mặt phẳng trung trực cạnh SB Tìm thiết
(13)5 Tam giác ABC tam giác nhọn góc tam giác nhọn
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) Gọi O trực tâm tam giác ABC, H trực tâm tam giác SBC, I trung điểm BC
1 Chứng minh: BC ⊥ (SAI) CO ⊥ (SAB) Chứng minh: H = h/c O/(SBC)
3 Gọi N = OH ∩ SA Chứng minh : SB ⊥ CN SC ⊥ BN
Bài Cho tứ diện S.ABC có SA⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh:
1 AH, SK, BC đồng quy SC ⊥ (BHK)
3 HK⊥ (SBC)
Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB =a,SA ⊥ (ABC) SA =a Lấy điểm M tùy ý thuộc cạnh AB với AM =x (0<x<a) Gọi α mặt phẳng qua M vng góc với AB
1 Tìm thiết diện tứ diện α
2 Tính diện tích thiết diện theo a x
Bài 11 Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a Gọi α mặt phẳng qua trung điểm M AB vng góc vói SB
Bài 17 Hội đồng quản trị cơng ty gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ ?
Bài 18 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Tính số cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Bài 19 Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu
Bài 20 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác
Nếu phải có nữ Nếu phải chọn tuỳ ý
Bài 21 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn tem thư bì thư dán tem thư vào bì thư Có cách ?
Bài 22 Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam, nữ Hỏi có cách phân cơng đội tỉnh miền núi cho tỉnh có nam, nữ ?
Bài 23 Giải :
1
x x x C +C +C = x
2
2 2
x-1 x-1 x-2
C C = A
3
−
3 1 2 1
x x+1 x+4
1
= C −C 6C 2 30
1 + <
+ x
x A
C
5 10
2
1
2 − x ≤ x + x
x C
x A A
(14)x 14 x
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 ⎟⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
x x
5
2
1
x x
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
7
3
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+
x x
Bài 25 Tìm số hạng thứ 31 khai triển
40
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
x x
Bài 26 Tìm số hạng đứng khai triển
10
1
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ x
x
Bài 27 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn
3
1 n
x x
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ , biết ( )
1
4
n n
n n
C ++ −C + = n+
Bài 28 Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển 2
3
n
x
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 97 Tìm số hạng chứa x
4 Bài 29 Tính tổng:
1 S1=Cn0+C1n+Cn2+ + Cnn
2 S2 =Cn0+Cn2+Cn4+ S3=Cn1+Cn3+Cn5+
4 S4 =Cn0+2Cn1+22 2Cn + + 2k kCn + + 2n nCn S5=Cn0+22Cn2+24 4Cn +
Bài 30 Chứng minh:
1 n n
n n
n
n C C C
C0 + + + + =2
2.C20n+C22n+ +C24n+ + C22nn=C21n+ +C23n+ +C25n+ + C22 1nn− 3.Cn0+6Cn1+62 2Cn + + 6n nCn =7n
4 Chứng minh: HK⊥ (SAC) Chứng minh: AI⊥ HK
6 Tìm mặt phẳng trung trực đoạn BD HK Giải thích Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O cạnh a SA⊥ (ABCD) SA=a Gọi (α ) mặt phẳng qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD H, M, K
1 Chứng minh: AH⊥ SB, AK⊥ SD Chứng minh: BD // (α) suy BD // HK
3 Chứng minh: HK qua trọng tâm tam giác SAC
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA=SC SB=SD Chứng minh:
1 SO⊥ (ABCD) AC⊥ SD
Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB⊥ BD AC⊥ BD AD⊥ BC
Bài Cho tứ diện có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O (ABC) Chứng minh:
1 OA⊥ BC, OB⊥ CA, OC⊥ AB BC⊥ (OAH), AB⊥ (OCH) H trực tâm tam giác ABC 2 12 12 2
(15)1 Xác định góc cặp vectơ: AB A C' ';
' '
AB vaø A D ; AC BD'
2 Tính tích vơ hướng cặp vectơ: AB vaø A C' ';
' '
AB vaø A D ; AC BD'
- ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG - HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Bài Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B SA⊥ (ABC)
1 Chứng minh: BC⊥ (SAB)
2 Gọi M N hình chiếu A SB SC, MN cắt BC I Chứng minh: AM⊥ (SBC) , SC⊥ (AMN)
3 Chứng minh AI⊥ SC
Bài Cho tứ diện ABCD có AB=AC , DB=DC Gọi I trung điểm BC
1 Chứng minh BC⊥ (AID)
2 Vẽ dường cao AH tam giác AID Chứng minh AH⊥ (BCD)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA⊥ (ABCD) Gọi H,I,K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD
1 Chứng minh: BC⊥ (SAB) CD⊥ (SAD) BD⊥ (SAC) Chứng minh: AH⊥ SC AK⊥ SC suy AH, AI, AK
đồng phẳng
4.317 0C17+4 16 1C17+ + 417 17C17 =717
B XÁC SUẤT
Bài Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố “ tổng số chấm mặt hai xúc xắc “
Liệt kê kết thuận lợi biến cố A Tính xác suất biến cố A
Bài Chọn ngẫu nhiên tú –lơ –khơ : Tính xác suất cho quân có qn thuộc ( ví dụ : có 4)
Tính xác suất cho quân có quân thuộc
Bài Gieo xúc xắc lần Tính xác suất để : Mặt chấm xuất lần
Mặt chấm xuất lần
Bài Trong bình có cầu đen khác cầu đỏ khác Lấy cầu Tính xác suất để :
Hai cầu lấy màu đen Hai cầu lấy màu
Bài Gieo đồng xu Tính xác suất để Có đồng xu lật ngửa
Khơng có đồng xu sấp
Bài Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất hai trường hợp sau:
1 Lấy viên bi màu đỏ
2 Lấy hai viên bi màu đỏ
Bài Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để Tổng số chấm xuất hai Tổng số chấm xuất hai Số chấm xuất hai Bài Gieo đồng thời súc sắc Tính xác suất để
(16)Bài Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé có giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư 5000 giải khuyến khích Tính xác suất để người mua vé trúng giải nhì hai giải khuyến khích
Bài 10 Trong 100 vé xổ số có vé trúng 100.000đ, vé trúng 50.000đ 10 vé trúng 10.000 Một người mua ngẫu nhiên vé.Tính xác suất để
1 Người mua trúng thưởng 30.000 Người mua trúng thưởng 20.000
Bài 11 Một khách sạn có phịng đơn Có 10 khách đến th phịng, có nam nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để
1 Có khách nam
2 Có khách nam, khách nữ Có khách nữ
Bài 12 Có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để tích hai số thẻ số chẵn
Bài 13 Một lô hàng gồm 100 sản phNm , có 30 sản phNm xấu Lấy ngNu nhiên sản phNm từ lô hàng
1 Tìm xác suất để sản phNm lấy sản phNm tốt Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phNm từ lơ hàng Tìm
xác suất để 10 sản phNm lấy có sản phNm tốt Bài 14 Kết (b,c) việc gieo hai xúc xắc cân đối hai lần, thay vào phương trình x2+ bx+ c =0 Tính xác suất để: Phương trình vơ nghiệm
Phương trình có nghịêm kép
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 15 Một hộp chứa 30 bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng , bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất để bi lấy màu
QUAN HỆ VNG GĨC
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài Chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 GA GB+ +GC+ GD 0=
2 OA OB+ +OC+ OD 4OG= với O điểm tùy ý Bài Trong không gian cho điểm tùy ý A, B, C, D Chứng minh rằng: AB.DC BC.DA CA.DB 0+ + =
Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi P, R thứ tự trung điểm AB, A’D’ Gọi P’, Q, Q’, R’ thứ tự giao điểm đường chéo mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’ Chứng minh rằng:
1 PP' QQ' RR' 0+ + =
2 Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có trọng tâm
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G, G’ trọng tâm tứ diện ABCD tam giác BCD Chứng minh rằng: A, G, G’ thẳng hàng
Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, J trung điểm BB’, A’C’ K điểm B’C’ cho
KC'= −2KB Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng
Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có , ' ,
BA=a BB =b BC=c Gọi M, N hai điểm nằm AC, DC’ cho MC=n AC C N , ' =mC D'
1 Hãy phân tích BD' theo véctơ , ,a b c
2 Chứng minh rẳng: (MN = m n a− ) + −(1 m b nc) + Tìm m, n để MN//BD’
(17)Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi I I’ trung điểm cạnh BC B’C’
1 Chứng minh AI // A’I’ Tìm giao điểm IA’ ∩(AB’C’)
3 Tìm giao tuyến (AB’C’) ∩(BA’C’)
Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I , K , G trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ ACC’ Chứng minh rằng:
1 (IKG) // (BB’C’C) (A’KG) // (AIB’)
Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’
1 Chứng minh CB’ // (AHC’) Tìm giao tuyến d = (AB’C’)∩(A’BC) Chứng minh rằng: d // (BB’C’C)
Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Tìm giao tuyến (AB’C’) (BA’C’)
2 Gọi M, N hai điểm AA’ BC Tìm giao điểm B’C’ với mp(AA’N) giao điểm MN
với mp(AB’C’)
Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh (BA’C’) // (ACD’)
2 Tìm giao điểm I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D∩(ACD’) Chứng minh điểm I, J chia đoạn B’D thành phần
3 Gọi M, N trung điểm C’B’ D’D Dựng thiết diện hình hộp với mặt phẳng (BMN)
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Bài Chứng minh với n∈n∗, ta có đẳng thức: ) (
2+ + + + n− = n n+
) )( (
12 + + + + = n n+ n+
n 3 ) ( ) ( 2
2 + + + − = n n −
n ) )( ( ) (
22 + + + = n n+ n+ n ) ( 2 3
3 + + + + = n n+
n
3 ) ( ) ( ) ( 3 2
1 + + + + n− n= n− n n+
1.2+2.5+ + (3 −1)= 2( +1) n n n n ) ( 2 1 + = + + + + n n n n ) )( ( 5 1 + = + − + + + n n n n 10 n n n ) 1 ) ( 1 )( 1
( − − − 2 = +
Bài Chứng minh với ∈ ∗ n
n , ta có: n3 +3n2 +5n chia hết cho (2 −3 +1)
n n
n chia hết cho 4n +15n−1 chia hết cho n5 −n chia hết cho 30 5n+3 +113n+1 chia hết cho 17
Chương III.
(18)Bài Cho n số nguyên lớn 1.Hãy chứng minh bất đẳng thức
24 13
1 1
1 + + >
+ +
+ n n
n
Bài Chứng minh với số tự nhiên n≥2, ta có bất đẳng thức sau:
3n >3n+1
2 2n −n>
2 +1 >2 +3 n n
Bài Chứng minh với số tự nhiên n≥3, ta có:
2 2n > n+
DÃY SỐ
Bài Xét tính đơn điệu dãy số sau : 21
1 n
u n
=
+ 2
+ = n n
n
u
2 n n
u = −⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ un = n+1− n
2 n
n n
u = − n n n u
2
+ = un =3n −n
2 −
−
=n n
un
Bài Xét tính bị chặn dãy số sau : 1.un =3n−2
( 1) n
u
n n
=
+
3.2n n
u = − 4.un =(−3)n
3
3
+ − =
n n
un
2
1
n
n u
n
− =
+
2 Giả sử AB ⊥ CD MNQG hình gì? Tính SMNPQ biết
AM = x, AB = AC = CD = a Tính x để diện tích lớn
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cạnh AB khơng đồng phẳng I, J, K trung điểm cạnh AB, CD, EF Chứng minh:
1 (ADF) // (BCE) (DIK) // (JBE)
Bài Cho tứ diện ABCD.Gọi H, K, L trọng tâm tam giác ABC, ABD, ACD Chứng minh (HKL)//(BCD)
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Tam giác SBD tam giác Một mp (α) di động song song với (SBD) qua điểm I đoạn AC Xác định thiết diện hình chóp cắt (α)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M Đặt AM =x Mặt phẳng (α) qua M //(SAB)
1 Dựng thiết diện hình chóp với (α)
2 Tính diện tích chu vi thiết diện theo a x
Bài Cho hai mp (P) (Q) song song với ABCD hình bình hành nằm mp (P) đường thẳng song song qua A, B, C, D cắt mp (Q) điểm A', B', C', D'
1 Tứ giác A'B'C'D' hình gì? Chứng minh (AB'D') // (C'BD)
(19)Chứng minh : MN // (BCD) MN // (ABC)
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh BD//(AIJ)
2 Gọi H, K trọng tâm tam giác ABC ACD Chứng minh HK//(ABD)
Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành G trọng tâm tam giác SAB E điểm cạnh AD cho DE = 2EA Chứng minh GE // (SCD)
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD
1 Chứng minh MN // (SBC) MN // (SAD)
2 Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB // (MNP) SC // (MNP)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm SB CD (α) mặt phẳng qua MN song song với SC
1 Tìm giao tuyến (α ) với mặt phẳng (SBC), (SCD) (SAC)
2 Xác định thiết diện S.ABCD với mặt phẳng (α) Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M,N trung điểm SA,SB Điểm P thay đổi cạnh BC
1 Chứng minh CD//(MNP)
2 Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Chứng minh thiết diện hình thang
3 Gọi I giao điểm cạnh bên thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm AB, CD, (α ) mặt phẳng qua MN song song với SA
1 Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng (α)
2. Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang
Bài Cho tứ diện ABCD Từ điểm M AC ta dựng mp (α) song song AB CD Mp cắt BC, BD, AD
N, P, Q
1 Tứ giác MNQG hình gì?
Bài Cho dãy số ( )un xác định bởi:
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = + 1 n n n u u u u
;∀n≥1
Chứng minh unbị chặn
bị chặn Bài Cho dãy số ( )un xác định bởi:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = + 2 1 n n u u u
;∀n≥1 Chứng minh unlà dãy giảm bị chặn
Bài Cho dãy số ( )un xác định bởi: ⎩ ⎨ ⎧ + + = = + n n
n u n
u u ) ( 1 ;∀n≥1
Chứng minh : ( )un dãy tăng
n
n n
u =1+( −1).2 ,∀n≥1
CẤP SỐ CỘNG
Bài Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết : ⎩ ⎨ ⎧ = + = + − 17 10 u u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = = − 75 15 u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = = + 129 14 12 s u u ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 1170 60 12 15 u u u u ⎩ ⎨ ⎧ − = − = + + 24 25 u u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = = − 75 7 u u u u Bài
(20)Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu 2, cơng sai -5 tổng số hạng -205 Hỏi cấp số cộng có só hạng?
Cho cấp số cộng có số hạng đầu -2, công sai Hỏi 55 số hạng thứ CSC Tính tổng 20 số hạng liên tiếp kể từ số hạng thứ 15
Tính tổng tất nghiệm phương trình: sin23x-5sin3x +4=0 khoảng (0; 50π)
Bài Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng (un), biết rằng:
⎩ ⎨ ⎧
= +
= −
450 )
( ) (
30 23 17
17 23
u u
u u
Bài Hãy tìm tổng 16 số hạng cấp số cộng (un) có 30u2 +u15 =
Bài Tính tổng sau: S1 =1+3+5+ +999 S2 =2+4+6+ +2010 S3 =3+6+9+ +3003
Bài góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm ba góc tam giác
Bài Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng số hạng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số cộng
Bài Bốn số lập thành cấp số cộng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số Bài Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây,… Hỏi có tất hàng?
Bài 10 Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó: 10−3x; 32x2 + ; 7-4x
3x+2;x2 +5x+4; x3 +8x+6
2 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành
Bài Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M thuộc cạnh SC Mặt phẳng (ABM) cắt cạnh SD điểm N Chứng minh NM// CD
Bài Hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mp Trên AC lấy điểm M BF lấy điểm N cho k
BF BN AC
AM = =
Một mp(α) qua MN song song với AB, cắt cạnh AD M' cạnh AF N'
1 Chứng minh : M'N' // DF Cho
3
=
k , chứng minh MN // DE
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M, N trung điểm SA SB
1 Chứng minh: MN // CD
2 Tìm giao điểm P SC mặt phẳng (ADN)
3 Kéo dài AN DP cắt Chứng minh SI // AB // CD, tứ giác SABI hình gì?
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm nằm BC, SC, SD, AD cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD
1 Chứng minh: PQ // SA
2 Gọi K giao điểm MN PQ, chứng minh SK // AD // BC
3 Qua Q dựng đường thẳng Qx // SC Qy // SB Tìm giao điểm Qx với (SAB) Qy với (SCD)
(21)2 Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ?
3 Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp Bài 18: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC
1 Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
2 Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ?
3 Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp
4 Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ?
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K, L theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC ,CD ,DA Chứng minh : IJ//KL JK//IL
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trọng tâm tam giác BCD ACD Chứng minh HK//AB
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi M ,N ,E ,F trung điểm cạnh bên SC, SB, SC SD
1 Chứng minh ME//AC , NF//BD
2 Chứng minh ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O giao điểm AC BD) đồng qui
3 Chứng minh điểm M,N,E,F đồng phẳng
Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi H, K trung điểm SA, SB
1 Chứng minh HK//CD
2 Trên cạnh SC lấy điểm M Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MKH)
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J lầm lượt trung điểm DA BC G trọng tâm tam giác SAB
1 Tìm giao tuyến (SAB) (IJG)
Bài 11 Chứng minh ba số dương a, b, c lập thành cấp số cộng số:
b a a c c
b+ + +
1 , , lập thành cấp số cộng
Bài 12 Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tích chúng 348
CẤP SỐ NHÂN
Bài Trong cấp số nhân đây, tính số hạng un ra:
2; 1; ;
4
;… u7 =? -3; 6; -12; 24;… u10 =? 1; ; ; 27
;… u8 =?
Bài Tìm số hạng đầu, công bội cấp số nhân, biết : ⎩ ⎨ ⎧ = = 192 96 u u ⎩ ⎨ ⎧ = + − = + + 10 21 u u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 240 90 u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = − = − 144 72 u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = + = + − 325 65 u u u u u ⎩ ⎨ ⎧ = + − = + − 20 10 5 u u u u u u Bài Tìm cấp số nhân (un) biết:
1 2 2
15 85 u u u u
u u u u
+ + + =
⎧⎪ ⎨
+ + + =
⎪⎩
Bài Hãy tìm số hạng cấp số nhân, biết cấp số nhân đó: 1.Có số hạng với công bội dương, số hạng thứ hai
(22)Có số hạng với công bội
4 số hạng thứ tổng hai số hạng dầu 24
Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân
Bài Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân (un) có
⎩ ⎨ ⎧
− = +
= +
1
3
1
4
5
u u
u u
Bài Tính tổng:
3 ) (
1 ⎟ +
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − + −
= +
n n
S
=1+ + + a a
S với
2
1
+ =
a
Bài Tính tổng tất số hạng cấp số nhân (un) biết:
2 2 64 n
u u u ⎧ = ⎪
= − ⎨ ⎪ = ⎩
Bài Một cấp số cộng cấp số nhân dãy tăng Các số hạng thứ 3, số hạng thứ hai Tỉ số số hạng thứ ba cấp số nhân cấp số cộng 9/5 Tìm hai cấp số
Bài 10 Tìm hai số a, b biết 1,a,b cấp số cộng 1,a2,b2 cấp số nhân
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K lần lợt điểm nằm SA, AB, CD
1 Tìm giao điểm IK (SBD) Tìm giao điểm SD (IJK) Tìm giao điểm SC (IJK)
THIẾT DIỆN
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD P điểm nằm cạnh AD không trung điểm Tìm thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng(MNP) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên đoạn AC, BC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) tứ diện ABCD
Bài 6: Cho hình chóp SABCD Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD
1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC) Tìm giao điểm BM mặt phẳng (SAC)
3 Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (ABM) Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O Một điểm M cạnh SD cho SD = 3SM
1 Tìm giao tuyến (SAC) (SBD)
2 Xác định giao điểm I BM (SAC) Chứng tỏ I trung điểm SO
3 Định thiết diện hình chóp SABCD (MAB)
Bài 14: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB; M; N hai điểm thuộc cạnh AD; DC cho MA=
2
1MD; ND = 1NC
1 Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC
(23)Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA, SB M điểm tuỳ ý cạnh SD
1 Tìm giao tuyến của(SAD) (SBC)
2 Tìm giao điểm K IM với mặt phẳng (SBC) Tìm giao điểm N SC với mặt phẳng (IJM)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC
1 Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD)
2 Chứng minh IA= 2IM
3 Tìm giao điểm F SD (ABM)
4 Điểm N thuộc AB Tìm giao điểm MN (SBD) Bài 8: Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng (P) có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S điểm nằm (P) M trung điểm đoạn SC
1 Tìm giao điểm N SD (MAB)
2 Gọi O giao điểm AC BD CMR: SO, AM, BN
đồng qui
Bài 9: Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N nằm tam giác ABC tam giác ABD I điểm tuỳ ý CD Tìm giao (ABI) đường thẳng MN
Bài 10: Cho hình chóp SABCD Gọi I, J hai điểm cạnh AD, SB
1 Tìm giao điểm K, L IJ DJ với (SAC)
2 AD cắt BC O; OJ cắt SC M Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng
Bài 11: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AC, BC K điểm cạnh BD khơng trùng với trung điểm BD
1 Tìm giao điểm CD (MNK) Tìm giao điểm AD (MNK)
Bài 12: Cho tứ diện ABCD M, N điểm cạnh AC, AD O điểm bên ΔBCD Tìm giao điểm của:
1 MN (ABO) AO (BMN)
GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài Tính giới hạn sau: lim
9 2 + − − n n n
lim
3 7 6 − + − + − n n n n n
lim
n n n 10 + + − + − − − + n n n n
lim 3 2 11 100 33 n n n n − − +
lim
) ( ) ( 2 n n n n + − −
lim 3 2 ) ( ) ( ) ( n n n − − −
lim 7
3 ) ( ) ( n n n n − + + −
Bài Tính giới hạn sau: 1 lim + + n n 2 lim3
+ + n n n 3 2 lim 2 + − − + n n n n 2 lim + − + n n n
lim
7 3 − + + + + n n n n n
lim
+ + + n n n n n n n n n − + + + 1
lim
2 1 lim + + − + n n n
Bài Tính giới hạn sau: 1 lim − + n n
2 n
n n lim + −
1 1
5 ) ( ) (
lim + +
+ − + − n n n n
lim 2 5
(24)Bài Tính giới hạn sau:
lim( n2 +1−n) lim( n+ −3 n) lim( n2 +n+1−n)
1 lim + − + n n
limn( n2 +1−n) lim(3 n2 −n3 +n) lim( 31 3)
n
n+ − ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − n n n n lim GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài Tính giới hạn sau: lim 3 + − − → x x x 2
lim 3 2
2
2 + + + + + −
→ x x x x x x lim + − → x x x 4 2 lim + − + + −
→ x x
x x
x
Bài Tính giới hạn sau: 15 lim − − + → x x x x 15 lim + − + − → x x x x
⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − −
→1 1
3 1 lim x x
x
10 lim 2
2
2 − −
− +
→ x x
x x x x x x x x 4 lim 2 + − + −
→ ( 5) 6
1 lim
1 + −
− → x x
x x 4 lim 2
2 − − + + −
→ x x x x x x
lim 2
2 − − + + −
→ x x
x x x x 9 lim 3
2 − −
− − +
→ x x
x x x x 10 lim 2
1 + −
−
→ x x
x x Bài Tính giới hạn sau:
2 lim 2 − − + → x x
x 2
1 lim − − − → x x x 1 lim
0 + −
→ x
x
x x
x x − − → 5 lim
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo; M ; N trung điểm SA; SD Chứng minh ba đường thẳng SO; BN; CM đồng quy
GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD trung điểm Tìm giao điểm của:
1 CD mặt phẳng (MNK) AD mặt phẳng (MNK)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB Ac lấy điểm M, N cho MN không song song với BC Gọi O điểm nằm tam giác BCD
1 Tìm giao điểm MN (BCD) Tìm giao tuyến (OMN) (BCD)
3 Mặt phẳng (OMN) cắt đường thẳng BD CD H K Xác định điểm H K
Bài 3: Cho hình chóp SABCD Gọi I, J, K điểm cạnh SA, AB, BC Giả sử đường thẳng JK cắt đường thẳng AD, CD M, N Tìm giao điểm đường thẳng SD SC với mặt phẳng (IJK)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm cạnh AC, BC, BD
1 Tìm giao điểm CP (MND) Tìm giao điểm AP (MND)
Bài 5: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên BD lấy điểm P cho BP=2PD
1 Tìm giao điểm đường thẳng CD với mặt phẳng(MNP)
(25)SE, SB M, N Một mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD SA H R
1 Gọi I giao điểm AM DN, J giao điểm BH ER CMR bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng
2 Giả sử K giao điểm AN DM, L giao điểm BR EH CMR ba điểm S, K, L thẳng hàng
Bài 9: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng ( )α Gọi M; N; P giao điểm AB; BC; AC với α Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD; BC Gọi M; N trung điểm AB; CD G trọng tâm
ΔSAD Tìm giao tuyến : (GMN) (SAB) (GMN) (SCD)
3 Gọi giao điểm AB CD I; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S; I; J thẳng hàng
4
CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Bài Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa ABCD Gọi M, N trung điểm SC, SD Gọi I giao điểm AD BC, J giao điểm AN BM
1 CMR : S, I, J thẳng hàng
2 Gọi O giao điểm AC BD CMR : SO, AM, BN
đồng quy
Bài Cho tứ diện ABCD M, N trung điểm BC, BD Các điểm P S thuộc AD, AC cho
3
AR= AD;
1
AS= AC CMR : ba đường thẳng AB, MS, N R đồng quy
25 lim 2 − − + → x x
x x
x x x 1 lim − + + →
( )
x x x x x + − + − → lim
0 x x
x
x 6 3 3
1 lim
2
1 + +
+ − → 1 lim 2 − + − → x x x x 10 lim 2
1 − +
− − − −
→ x x
x x x
x
Bài Tính giới hạn sau: x x x x − − + → 5 lim
0 x
x x x x 1 lim + + − + → x x x lim3 − +
→ x
x x 1 lim + − → 1 lim
0 + − → x
x
x
x x
x − −
+ − → 1 5
5 lim lim − − → x x x
x 3 2
1 lim
2 + −
+ − → x x x x x x x
lim − − −
→ 10 1
5 lim − − − + → x x x x
Bài Giới hạn bên: 1 lim x x x + → −
−
1 lim 2
4
3 + +
+
+
−
→ x x
x x
lim ( ) f x
x→ biết ( ) ⎩⎨ ⎧ > + ≤ − = ; 1 ; x x x x x f
lim ( )
1 f x
x→ ; limx→3 f(x) biết ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < < − ≤ + = ; 3 ; ; ) ( x x x x x x x f
(26)
x
x
lim
→ limx→0 3x cos lim x x x −
→ x
x x
x sin3
sin tan lim − → x x
x sin2
1 lim + −
→ 45
sin sin sin lim x x x x x→ tan sin lim x x x x −
→ x x
x x sin cos lim − → x x x x sin 1 lim + − +
→ 10
2 cos lim x x x x − + → Bài Tính giới hạn sau:
2 3
6 lim x x x x
x − −
+ + ∞
→
3 x x lim x →+∞ − + lim
3
x
x x x →+∞
−
− +
5
lim
3
x x x x →∞ − + +
(2 1) (1 ) lim ( 1) x x x x →∞ − −
+
( ) ( )
( )50
30 20 2 3 lim + + − ∞ → x x x x
Bài Tính giới hạn sau:
( x x)
xlim→+∞ −1−
2 lim ( 3 )
x→∞x x + −x
( x x x x)
xlim
2 − + − − +∞
→
3 2
lim ( )
x→∞x x + −x lim(2 +1± +4 +3)
+∞
→ x x x
x
lim(3 3− +3 − +1)
∞
→ x x x x
x
lim ( 2)
x→−∞ x+ x + +x xlim( x 2x x 2x)
2 3+ − − +∞
→ Bài Tính giới hạn sau:
lim cot
x→ x x lim(1x ).tan
x
x π
→ − lim(4 ).sin3
x→∞ +x x lim sin2 cot6x→0 x x
SB SC cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến mặt phẳng (AMN) (ABC), mặt phẳng (ABN) (ACM)
Bài 8: Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy M với AM =
AB Gọi I, K trung điểm AC, AD Định giao tuyến (d) mặt phẳng (MIK) (BCD)
Bài 9: Cho tứ diện SABC Gọi I, J, K ba điểm tuỳ ý SB, AB, BC cho JK không song song với AC SA không song song với IJ Định giao tuyến (IJK) (SAC)
Bài 10: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm AB, AC, BD cho (EF) cắt (BC) I , (EG) cắt (AD) H Định giao tuyến mặt phẳng (EFG) với hai mặt phẳng (BCD) (ACD)
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Bài 1: Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D, E, F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Trong (P) lấy hai điểm A B cho AB cắt d I O điểm nằm (P) (Q) cho OA OB cắt (Q) A’ B’
1 Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng
2 Trong (P) lấy điểm C cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC cắt (Q) C’, BC cắt B’C’ J, CA cắt C’A’ K Chứng minh I, J, K thẳng hàng
(27)QUAN HỆ SONG SONG
TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1: Cho S điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD)
Bài 2: Trong mặt phẳng ( )α cho tứ giác ABCD cho AB, CD không song song S điểm nằm ngồi ( )α Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:
1 (SAC) (SBD) (SAB) (SCD)
Bài 3: Trong mặt phẳng ( )α cho ba điểm A, B, C S điểm không thuộc ( )α M, N, I trung điểm AB, BC, SA
1 Tìm giao tuyến (SAN) (SCM) Tìm giao tuyến (SCM) (BIC)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền
ACD
Δ Gọi I J tương ứng hai điểm cạnh BC BD cho IJ không song song với CD
1 Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ACD)
2 Lấy N điểm thuộc miền ΔABD cho JN
cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNJ) (ABC)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện khơng song song Lấy điểm M thuộc miền ΔSCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
1 (SBM) (SCD) (ABM) (SCD) (ABM) (SAC)
Bài 6: Cho tứ diện ABCD M N trung điểm AD BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD)
HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài Xét tính liên tục hàm số sau x0: ( )
3
1
2
+
⎧ ≠ −
⎪ =⎨ −
⎪ = −
⎩
x
khi x
f x x
khi x
tại x0 = −1
( )
3 8
2
5
⎧ − ≠
⎪ =⎨ −
⎪ =
⎩
x
khi x
f x x
khi x
tại x0 =2
2
5
5
( )
( 5)
−
⎧ ≠
⎪
=⎨ − −
⎪ − =
⎩
x
khi x
f x x
x khi x
tại x0 =
3
1 cos 0
sin ( )
1 0
2
x x x
f x
khi x
⎧ − ≠
⎪⎪ = ⎨
⎪ =
⎪⎩
tại x0 =
( )
2 2
2
5
⎧ − − >
⎪
=⎨ −
⎪ − ≤
⎩
x x
khi x
f x x
x khi x
tại x0 =2
( )
1
1
2
2
−
⎧ <
⎪
=⎨ − −
⎪ − ≥
⎩
x
khi x
f x x
x khi x
tại x0 =1
1
0 ( )
4
5
1
⎧ − − +
< ⎪⎪
= ⎨
−
⎪− + ≥
⎪ +
⎩
x x
khi x x
f x
x
khi x x
(28)
2
2
3
1
1
( )
4
1
1
6
⎧ + −
>
⎪ −
⎪ ⎪
=⎨ =
⎪
⎪ − <
⎪ + − ⎩
x
khi x x
f x khi x
x
khi x
x x
tại x0 =1
Bài Tìm m để hàm số liên tục x0 : ( )
2 2
2
2
⎧ − − ≠
⎪
=⎨ −
⎪ =
⎩
x x
khi x
f x x
m khi x
tại x0 =2
2
4
( ) 4
4
⎧ + − +
≠ ⎪
= ⎨ −
⎪ − =
⎩
x x
khi x
f x x
mx khi x
tại x0=4
2
3
1
( )
1
⎧ + −
<
⎪⎪ −
= ⎨ +
⎪ ≥
⎪ − ⎩
x x
khi x x
f x
x m
khi x x
tại x0 =1
33 2 2
2
( )
1
2
⎧ + −
>
⎪⎪ −
= ⎨
⎪ + ≤
⎪⎩
x
khi x x
f x
mx khi x
tại x0 =2
Bài Xét tính liên tục hàm sao61 sau R:
2 1
1
( ) 1
5
x khi x
f x x
khi x
⎧ − ≠
⎪ = ⎨ −
⎪ =
⎩
Bài Định a để hàm số f(x) liên tục R:
Bài Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), C(2;5), D(-1;-3) Gọi A1 ảnh A qua phép tịnh tiến theo vectơ BCJJJG Gọi A2 ảnh A1 qua phép đối xứng t âm D.Tìm tọa độ A2
Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( ) (1, ; 3,0 ;) (3, 2)
A B − C −
1 Tìm ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm O
2 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Viết phương trình đường trịn ảnh đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A
Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua tâm O phép tịnh tiến theo vectơ (2;3)v biến M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N
Bài Cho đường trịn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - = Ảnh (C) qua phép vị tự V(0;
2
− ) đường trịn (C'), tìm phương trình ( C’)
Bài Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh đường trịn (C): (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc thực liên tiếp
Oy Ð
→
v
T với )=(2;3 →
v
Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) đường thẳng d có phương trình : 2x + y – =
1 Tìm ảnh A d qua phép quay tâm O góc quay 90 0 Tìm ảnh d qua phép quay tâm A góc quay 90 0
(29)Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I trung điểm AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH
PHÉP VN TỰ
Bài Xác định ảnh điểm A(4,-5) qua phép vị tự tâm I(-2; 6), tỉ số -2
Bài Cho điểm M(-1;5) đường thẳng d: 2x-3y-8=0 Xác định ảnh M d qua phép vị tự tâm O tỉ số
Bài Cho điểm I(2;-1) điểm J(7:4) Tìm tâm vị tự đường tròn (C)(I;2) đường tròn (C’)(J;3)
Bài Cho tam giác OMN Dựng ảnh M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k trường hợp sau:
k=3
2
k= 3
4
k= −
Bài Tìm phép vị tự biến:
1 :
2
x y
d − = thành d' : 2x y− − =6
2 ( ) : (C x+4)2+y2 =2 thành ( ') : (C x−2) (2+ −y 3)2 =8
Bài Cho điểm A(3;-4) đường thẳng d: 9x+y-6=0 Viết pt đường thẳng d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép ĐO phép V(A,1/3)
Bài Cho đường trịn (C) có tâm I(-1;3), bán kính Viết phương trình đường trịn ảnh (C) qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép V(O,3) phép ĐOy
Bài Cho hình vng ABCD tâm O, M trung điểm cạnh AB Xác định phép đồng dạng biến ΔOAM thành ΔDBC
3
1 2
4 ( )
3 2 2
2
ax khi x
f x
x khi x
x
⎧
+ ≤
⎪⎪ = ⎨
+ −
⎪ >
⎪ −
⎩
Bài Chứng minh phương trình:
2x2−6x+ =1 0có nghiệm
2 3−10 − =7 0
x x có hai nghiệm
cosx− =x có nghiệm
(30)ĐẠO HÀM
Bài Tính đạo hàm hàm số sau:
y=x5−4x3−x2+x y= −6 x+ x
y= +1 +x2
x x
2
= + +
y x
x x
y=(4x3−2x2)(x2−7x) y=(x−2) x2+1
2 1
=
+
x y
x
4
− =
+
x y
x
2
5
− −
=
−
x x
y
x 10
1
− =
+
x y
x
11 y=(x7−5x2)3 12 y=(x+3x2+4x3)5
Bài Tính đạo hàm hàm số sau: y=sinx
x =cos +1
x y
x
sin cos
sin cos
+ =
−
x x
y
x x =sin +cos5+tan
x
y x x
=( 2−sin 5 )10
y x x y= sin 33 x
=cot 2− +1
y x x y=sin cos 22( x)
y=x2sin 3x 10 y=sin3 x2+1
11 =tan 32 +cot 2
y x x 12 y= sin 4x+xcos x
Bài Giải bất phương trình: f '( )x >0với ( )
2 5 4
2
x x
f x
x
− +
=
−
PHÉP QUAY
Bài Cho hình vng ABCD có tâm O Tìm ảnh tam giác OAB qua phép quay tâm C góc quay -900
Bài Tìm toạ độ điểm ảnh A(-3;4), B(-5;1), C(-2;3) qua phép quay Q(O,90o
)
Bài Cho điểm M(3;-4) đường thẳng d: 6x-y+10=0 Xác định ảnh M d qua phép quay tâm O góc 900
Bài Trong mặt phẳng Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1,5) thành điểm B(5,1)
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0,3) Tìm
B = Q (A)
(O ; 45 )−
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2
(C) : (x 3)− + −(y 2) =4 Tìm (C ) = Q (C)
(O ; 90 ) ′
Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn có phương trình : x2+y2−2x+4y− =4 Viết phương trình đường trịn ảnh đường tròn cho qua phép quay tâm O góc quay
0
90 ; -90 0
Bài Cho điểm A(-2;1), B(3;5) đường thẳng d: 4x-9y+6=0
1 Xác định ảnh điểm A qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép Q(O,90o) phép ĐB
2 Xác định ảnh điểm B qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép ĐA ĐOy Xác định ảnh điểm A qua phép dời hình có
cách thực liên tiếp phép Q(O,90o) phép Đd
4 Xác định ảnh d qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép ĐO tịnh tiến TAB
PHÉP DỜI HÌNH
(31)Bài Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh điểm M( 2, 1) qua phép đối xứng trục Ox, đối xứng trục Oy
Bài 2.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-5; 6), đường thẳng d: 2x-3y-1=0 đường tròn (C): (x-1)2+(y+2)2 = 25
1 Xác định ảnh A đường thẳng d qua phép ĐOx Xác định đường tròn (Co) cho (C) ảnh (Co)
qua phép ĐOy
3 Xác định ảnh (C) qua phép Đd
Bài Cho điểm M(2;-7) đường cong (C) có phương trình y = x3 +3x2 -2x+1
1 Xác định toạ độ ảnh điểm M qua phép ĐOx, ĐOy Viết phương trình đường cong (C’) ảnh (C) qua
phép ĐOx
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
( ) : x 5y = 0Δ − + ( ) : 5x y 13 = 0Δ′ − − Tìm phép đối xứng qua trục biến ( )Δ thành ( )Δ′
Bài Cho tứ giác ABCD Goi O giao điểm AC BD Xác định ảnh tam giác AOB qua phép đối xứng trục ĐCD
Bài Cho điểm M(-2;9), N (1;4) Xác định điểm M1 ,M2 ảnh M qua phép ĐO , ĐN
Bài Cho điểm I(-4;3), đường thẳng d: x-2y+5=0 đường tròn (C):x2 + y2 -2x+6y+1=0
1 Xác định ảnh I, d (C) qua phép ĐO
2 Viết phương trình đường thẳng D’ ảnh D qua phép ĐI
3 Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh (C) qua phép ĐI
Bài Chứng minh
2 2
( ) :E x y
a +b =
2 2
( ) :H x y
a −b = có tâm đối xứng gốc tọa độ O
g x'( )≤0với ( ) 22 1 x g x
x
− =
+ y' 0≥ với
2
2
3 x y
x
+ =
+ y' 0≤ với 22
4 x y
x x
− =
+ + Bài Chứng minh rằng:
1 Hàm số y=tanx thỏa hệ thức:y2 +1− y' =0 Hàm số y=cot2x thỏa hệ thức : 2y2 +2+y' =0 Hàm số
4 x y
x
− =
+ thỏa hệ thức : ( ) ( )
2 y' = y−1 ''y
Bài Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau:
cos
y=x − +x x y=(2x+1 tan) x y=cos2x
y=x4−cos 2x
Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số:
1
2
− =
+
x y
x điểm có hồnh độ
2
2
1
+ −
=
−
x x
y
x biết có hồnh độ tiếp điểm
3 1
3
= + − +
y x x x biết hệ số góc k = -3
2 2
2
− − =
+
x x
y
x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
x y=2−3
3
= + − +
y x x x biết tiếp tuyến vng góc với đường
PHÉP ðỐI XỨNG TÂM
(32)thẳng:
+ −
= x
y
3 4
y=x − x − biết tiếp tuyến qua điểm A(0, -4) Bài Cho hàm số
1
+ − =
x x
y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến :
1 Có tung độ tiếp điểm
2 Vng góc với đường thẳng:y= − +4x 10
Bài Qua điểm ( , )4
A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
3
2
3 x
y= − x + x Viết phương trình tiếp tuyến
PHẦN II HÌNH HỌC
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1,2), B(0,1), C(3,-1) vectơ v = −( 2,3) Hãy tìm ảnh điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ v
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – 3y +1 = đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 4y – =0 Hãy tìm ảnh d (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v=(1, 2)−
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ cắt Ox A(-1, 0) cắt Oy B(0 ,2) Hãy tìm ảnh Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1)−
Bài Hãy tìm ảnh đường trịn (C) : (x 3)− 2+ +(y 2)2 =1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4)−
Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho A( 5;2) , C( 1;0)− − Biết
B = T (A) , C = T (B)u v Tìm u v để biến A thành C Bài Cho ΔABC có trọng tâm G Dựng ảnh :
1 Đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến TGC 2.ΔABC qua phép tịnh tiến T2AG
Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Xác định : Ảnh ΔABD qua phép tịnh tiến T3OC
2 Điểm E cho phép tịnh tién TAC biến E thành D PHÉP TỊNH TIẾN