Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi AH là đường cao tam giác ABC.[r]
(1)1 Đáp án sơ lược
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu1 (1.0đ)
• TXĐ: R • Sự biến thiên
- Giới hạn: lim ; lim
x→+∞y = +∞ x→−∞y= −∞
- Chiều biến thiên: ' 3 6 ; ' 0 0 2
x
y x x y
x
=
= − = ⇔
= - Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
'
y + − +
y
−∞
0
-4
+∞
Hàm số đồng biến (−∞;0 , 2;) ( +∞), nghịch biến ( )0; 2 Hàm số đạt cực đại xCD =0;yCD =0
Hàm số đạt cực tiểu xCT =2;yCT = −4 • Đồ thị
- Điểm uốn: y''=6x− = ⇔ = ⇒6 0 x 1 điểm uốn U(1; 2− ) - Giao Ox y: = ⇒ =0 x 0;x=3 Giao Oy x: = ⇒ =0 y 0
- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U(1; 2− ) làm tâm đối xứng
-1
-5 -4 -3 -2 -1
x y
0.25
0.25
0.25
0.25
2.(1.0đ) x= ⇒ = −2 y 4, y'(2)=0
Pt tiếp tuyến (C) M(2;-4) là: y = -
Pt hoành độ giao điểm tiếp tuyến (C) là: 3
x
x x
x = −
− = − ⇔
=
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp tuyến là:
( )
2
3
1
27
3
4
S x x dx
−
=∫ − + =
0.25 0.25
0.5 Câu2
1.(1.0đ)
'( ) sin cos
f x = − x+ x+ x ⇒ f''( )x = −4 cos 2x−4 sinx+4
2
''( ) os2 s inx 2sin s inx
f x = ⇔c x+ − = ⇔ − x+ =
s inx=0 1 sinx
2
⇔
=
0.25
(2)2
v v
6
x kπ x π k π x π k π
⇔ = = + = + Do x∈(0; 2π)nên ; ;5
6
x∈ π π π
0.25
2.(1.0đ)
3 :
3
x DK
x > ≤ −
( 2 ) ( )2
5
3
4 (*)
3
x
pt x
x x
x ≥ −
⇔ +
− = +
−
( ) ( )2
3 0
(*) 5
4 3
3
x
x x
x
+ =
⇔ +
− =
−
2
3
3 34 11 0
x
x x
= − ⇔
− + =
3 11
1 (loai)3
x x x
= −
⇔ =
=
0.5
0.5
Câu (1.0đ)
Nhận thấy x = không nghiệm hệ
Hệ
2
2
2
1
6 6
1 1
5 2 5
y
y y y
x x
x x
y
y y
x x x
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ = + − =
Đặt:
y u
x y
v x + = =
Ta có hệ: 2
2
6
6
6
12
2
5 12
v
uv u v u
u
v
u v
u u u
u
=
= = =
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− = − − =
Khi đó:
2
1
1 1,
3
2 3
1
,
2
2 2
x y
y
x x x
x
x
y y x x y
y x
x
+ = = =
+ = − + =
⇔ ⇔ ⇔
= =
=
= =
0.5
0.25
0.25
Câu
(1.0đ) a) Lấy I trung điểm BC
ABC
∆ ⇒H∈AI
( )
MAC MAB c g c MB MC
∆ = ∆ ⇒ =
MBC
⇒ ∆ cân⇒ ∈O MI
+ Có MA⊥BC AI, ⊥BC⇒BC⊥(MAI) ( )1
BC OH
⇒ ⊥
+ Có CH ⊥AB CH, ⊥MA⇒CH⊥(MAB)
CH MB
⇒ ⊥
mà CO⊥MB⇒MB⊥(CHO) ( )2
MB OH
⇒ ⊥
Từ (1) (2) ⇒OH⊥(MBC)
b)
2
2
AM AH a
MAI HAN AM AN AH AI
AI AN
∆ ∼∆ ⇒ = ⇒ = = : không đổi
Do OH ⊥MI⇒Anằm M N
2
MN AM AN AM AN a
⇒ = + ≥ = Đẳng thức xảy 2
a AM = AN =
Vậy MN nhỏ M nằm d 2
a AM =
0.25
0.25
0.25
0.25 N
H O
I
C
B M
(3)3 Câu
(1.0đ) Gọi C(a, b)
2 3
( , )
3
a b
G + + − − +
⇒
Vì G thuộc đường thẳng: 3x – y – = nên: 5
b
a − a b
+ + − = ⇔ − − = (1)
Có: AB= 2 phương trình đường thẳng AB là: x – y – =
( ) 5
3 1 3
. , 2. 3
2 2 2 2
ABC
a b
S = ⇔ AB d c AB = ⇔ − − = ⇔ − − =a b 5 3(2)
Từ (1) (2) ⇒C(− −2, 10)hoặc C(1, 1− )
0.5
0.5 Câu
(1.0đ)
Xét:
1
2 x -2,x 0
1
( ) 2
1
2 x<-2
x x
f x x
x x
x
+ + ≥ ≠
= + + =
− − +
2 2
1
x > -2, x '( )
1
x < -2
x x f x
x x
−
≠
= + −
, '( ) 1
x f x
x = − = ⇔ =
0
lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
x
x x
f x f x f x
+ − →∞
→ = +∞ → = −∞ = +∞
Ta có bảng biến thiên
x −∞ -2 -1 +∞ f’(x) - + - - +
f(x) +∞ +∞
+∞
− −∞ Từ bbt ta có pt có ba nghiệm phân biệt khi:
( )
( )
1
2 2
2
1
2
2
log 16
log log
1
1 log 1
log log 2
2
m m
m m
> >
⇔
< <
− < <
16
2
1
2
1
2
m
m < <
⇔
< <
0.5
0.25
0.25
Câu 7a (đề AB) (1.0đ)
Có: BA= (2 1− ) (2+ − −1 2) (2+ 3 1+ )2 = 26
( ) (2 ) (2 )2
4 2 7 1 5 3 2 26
BC= − − + + + − =
Gọi D(x;y;z) chân đường phân giác kẻ từ B, ta có:
( )
( )
( )
2 1 4
2 2 2 7
2 1 5
x x
DA DC
DA CD y y
BA BC
z z
− = +
= − ⇔ = ⇔ − = −
− − = −
2 11
3
x y z = − ⇔ =
=
Khi đt BD qua B(2;-1;3) có vectơ phương 14; ; 2(4; 7;3)
3 3
BD= − − = − −
Vậy pt đt BD là:
4
x− y+ z−
= =
−
0.25
0.5
(4)4 Câu 7b
(đề AB) (1.0đ)
Với x y, ≥1ta có: 2 2 1+x +1+y ≥1+xy(1)
Thật (1)
( )( )
2
2
2
1
1
x y
xy
x y
+ +
⇔ ≥
+
+ + ( )( )
2 2 2
2 x y xy 2x 2y 2x y
⇔ + + + ≥ + + +
( ) (2 )
1
x y xy
⇔ − − ≥ (đúng x y, ≥1) Đẳng thức xảy khi:
,
x y
x y
xy x y =
= ⇔ =
≥
Áp dụng (1) ta có:
3
1 2
1 a b b ab b ab
+ + ≥ + ≥
+ + + + + +
Tương tự có:
3
4
1 4
,
1+b+1+c≥1+ bc 1+c+1+a ≥1+ ca
Từ suy ra:
3 3
4 4
1 1 1
1+a+1+b+1+c ≥1+ ab +1+ bc +1+ ca
Đẳng thức xảy a = b = c
0.5
0.5
Câu 7a (đề D) (1.0đ)
Đường thẳng a qua A chia đơi tam giác ABC nên cắt BC điểm M nằm B C Gọi AH đường cao tam giác ABC
1
2
ABM ACM
S =S ⇔ AH BM = AH CM ⇔BM =CM
Vậy M trung điểm BC 3, , 2
M
⇒
Khi a qua A(3,0,0) có vectơ cp
( )
3
, , 3,1,
2 2
AM = − = −
nên a có pt:
3
x− y z
= =
−
0.5
0.5
Câu 7b (đề D) (1.0đ)
Xét ( ) ( 1)n 2 n n
n n n n
f x = x+ =C +C x C x+ + +C x
( ) ( ) 1
' n n n nn n
f x n x − C C x nC x −
⇒ = + = + + +
( ) ( ) 1 2
' n n n nn n
xf x nx x − C x C x nC x
⇒ = + = + + +
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1
' ' 1n 1 1n n 2 n nn n
xf x n x − n n x x − C C x n C x −
⇒ = + + − + = + + + (1)
Trong (1) cho x = ta có đẳng thức cần chứng minh
0.5
0.5