TOAN 12 DE THI HSG CAC TINH CAC NAM TRUOC DAY

Khi thÓ tÝch tø diÖn OMNP nhá nhÊt , h·y chØ râ vÞ trÝ ®iÓm A.. Gọi D là một điểm nằm trên đoạn BC. Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD với cạnh AC. Gọi Q[r]

(1)

(2)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thời gian làm 180 phút )

Môn thi : toán

Bài 1 : ( ®iĨm )

Tìm tất giá trị tham số a để ph−ơng trình :

3

x −3x − =a

có ba nghiệm phân biệt , có hai nghiệm lớn Bài 2 : ( điểm )

Trên mặt phẳng toạ độ cho đ−ờng thẳng có ph−ơng trình : x sin t+y cos t+cos t+ =2 , t tham số

1, Chứng minh t thay đổi , đ−ờng thẳng tiếp xúc với đ−ờng tròn cố định

2, Gọi (x0 ; y0) nghiệm hệ phơng tr×nh : 2

x sin t y cos t cos t

x y 2y

+ + + =

⎧ ⎨

+ + − =

⎩

Chøng minh r»ng : x20 +y20 ≤9 Bµi 3 : ( điểm )

Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè :

2 cos x cos x y

cos x

+ +

=

+ Bµi 4 : ( ®iĨm )

Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình : (d1) : 4x +3y + =

(d2) : 3x – 4y – =

HÃy viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng có tâm nằm đờng thẳng d có phơng trình : x 6y =

Bài 5 : ( điểm )

Chứng minh bất đẳng thức sau với x >

x x

e x

2 > + +

(3)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phút )

Bài 1 : ( điểm ) Cho hµm sè:

2

2x (m 2)x m

y

2x m

− + + +

=

−

,Tìm điểm cố định đồ thị hàm số m thay đổi , Tìm đ−ờng tiệm cận đồ thị hàm số

, Với giá trị m hàm số cho có cực đại , cực tiểu Bài 2 : ( điểm )

, Tìm m để :

2 2

9x +20y +4z −12xy+6xz+mzy≥0 víi mäi sè thùc x , y , z , Chøng minh r»ng nÕu số a , b , c khác m > tho¶ m·n hƯ thøc :

a b c

0 m+2+m 1+ +m =

phơng trình có nghiệm thuéc kho¶ng (0 ; 1) ax +bx+ =c

Bài 3 : ( điểm )

1, Với giá trị a hàm số :

6

y= cos x+sin x+a sin x cosx xác định với giá trị x

2, Tìm dạng tam giác ABC thoả mÃn :

cot gA cot gB A B

1000A 1001B

− = −

⎧

⎨ + = π

⎩ Bµi 4 : ( ®iĨm )

Cho tam giác ABC , gọi d1 , d2 , d3 khoảng cách từ điểm M nằm phía tam giác đến cạnh tam giác

, Chứng minh bất đẳng thức :

3

8S

d d d , S diện tích tam 27abc

≤

giác ABC ; a , b , c độ dài cạnh tam giác

, Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện không gian Bài 5 : ( điểm )

(4)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phút )

Bài 1 : ( điểm ) Cho hµm sè

x

e v i x

y

x x v i x

⎧ ≥

⎪ = ⎨

+ + <

⎪⎩

í í

0

Tính đạo hàm hàm số điểm x = Bài 2 : ( điểm )

Lập bảng biến thiên hàm số sau : n

y=x (2−x)2

víi n nguyên dơng Bài 3 : ( điểm )

Tìm a để hàm số sau có cực tiểu mà khơng có c−c đại :

4

y=x +4ax +3(a 1)x+ +1

Bài 4 : ( điểm )

Cho phơng trình : x3 +mx2 =1 (1)

1, Chứng minh ph−ơng trình (1) ln có nghiệm d−ơng 2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có nghiệm Bài 5 : ( điểm )

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)vµ đờng tròn ( ) có phơng trình :

2 2

x +y −2ax−m 2y a+ =0 ( m lµ tham sè )

, Chứng minh đờng tròn ( ) tiếp xúc với Ox A Tìm giao điểm thứ hai P đờng tròn () đờng thẳng AB

, Lập phơng trình đờng tròn ( ) qua P tiếp xóc Oy t¹i B

, Hai đ−ờng tròn (ξ) (ξ′) cắt P Q Chứng minh m thay đổi đ−ờng thẳng PQ qua điểm cố nh

Bài 6 : ( điểm )

Lập phơng trình đờng phân giác góc tạo đờng thẳng : x+ =y , 7x− + =y cã chøa ®iĨm M0(-1 ; 5) Bµi 7 : ( ®iĨm )

Cho c¸c sè thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , , y2000 thoả mÃn điều kiện sau :

1 2002 2000

1) e x x x y y y

2) x x x y y y

≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤

+ + + ≥ + + +

(5)

*****

Bài 1 : ( điểm ) Cho hàm số

4 x

y 3x x

2

= − + −

, Chøng minh hàm số có cực trị

, Cho tam giác có toạ độ đỉnh toạ độ điểm cực trị , tìm toạ độ trọng tâm tam giác

Bài 2 : ( điểm )

, Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đ−ợc tiếp tuyến với parabol y=4x−x2 hai tiếp tuyến vng góc

, Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm M( ;5 17)

2 tiếp điểm tiếp tuyến qua điểm M

Bµi 3 : ( điểm )

1, Giải hệ phơng trình :

3

6

x 3x y

x y

⎧ − = − y

⎪ ⎨

+ =

2, Giải biện luận phơng tr×nh ;

2

x 2ax 2 x 4ax a 2

3 + + −3 + + + =x +2ax+a Bµi 4 : ( ®iÓm )

Cho hä ®−êng cong ( Cm) có phơng trình :

2

x y

1

m +m −16 =

m tham số , m≠0, m≠ ±4

, Tuỳ theo giá trị m , xác định tên gọi đ−ờng cong

, Giả sử A điểm tuỳ ý đờng thẳng x = A không thuộc trục hoành Chứng minh với điểm A cã ®−êng cong hä ( Cm) ®i qua A

, Khi m = hÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong Bài 5 : ( điểm )

Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lu«n cã :

1 1

cot gA cot gB cot gC 3

sin A sin B sin C

⎛ ⎞

+ + + ≤ ⎜ + + ⎟

(6)

Thái bình Năm học 2004 - 2005 *****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm 180 phút )

Bài 1 : ( điểm )

Cho đờng cong (Cm) có phơng trình :

3

y=(m 1)x+ −3(m 1)x+ −(6m 1)x− −2m

, Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng m thay đổi

, Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ để (Cm) không qua với m

Bài 2 : ( điểm )

Xác định dạng tam giác ABC :

a cos A b cos B c cos C a b c a sin A b sin B c sin C 9R

+ + = +

+ +

+ Bµi 3 : ( ®iĨm )

Cho parabol y=x2 −2x vµ elip

2

x y

1

9 + =

1, Chứng minh parabol elip ln có bốn giao điểm có hồnh độ x1 , x2 , , x3 ,x4 thoả mãn − <1 x1 < <0 x2 < <1 x3 < <2 x4 <3

2, Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm Bài 4 : ( điểm )

1, Giải hệ phơng trình :

3 3

2z x x x

2y z z z

2x y y y

⎧ + = + +

⎪ + = + +

⎨

⎪ + = + +

⎩ , Gi¶i phơng trình :

x x

2

1 a a

1

2a 2a

⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ víi < a <

⎝

Bài 5 : ( 2điểm )

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn

[ ]

1

f (x) f (x )

2004

= +

lu«n cã nghiƯm thc

[ ]

(7)

*****

Bài 1 : ( điểm ) Cho hàm số :

3

x 3x 3x a

y

x

− + +

=

, Tìm a để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

, Chứng minh điểm cực trị nằm parabol cố định a thay i

Bài 2 : ( điểm )

Cho hai phơng trình : 2

x x 2m (1

x 2x 2m (2

+ + − =

+ + + =

) ) , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung

, Tìm m để hai nghiệm ph−ơng trình nằm khoảng hai nghiệm ph−ơng trình ng−ợc lại

Bài 3 : ( điểm )

Giải phơng trình :

x x x x

1) 5sin x cos 2x cos x

2) 2007 2006 2005 2004

+ + =

− = −

Bµi 4 : ( ®iÓm )

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng trịn có ph−ơng trình : 2 x +y =1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn điểm M , biết tia OM hợp với chiều d−ơng trục Ox góc a

, Giả sử a thay đổi từ đến π

, tiếp tuyến thay đổi theo quýet đ−ợc miền mặt phẳng toạ độ Tính phần diện tích giới hạn miền đ−ờng thẳng y =

Bµi 5 : ( 2®iĨm )

Tìm giá trị m để hệ sau có nghiệm :

2

1 m

x 2xy 7y

1 m

3x 10xy 5y

−

⎧ + − ≥

⎪ +

⎨

⎪ + − ≤

(8)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm 180 phút )

Bài 1 : ( điểm ) Cho hµm sè :

2

m

x 2x m

y (

x

− +

=

− C ) víi m≠0

, Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A , B cho tiếp tuyến với đồ thị A , B vng góc

, Tìm m để tam giác tạo tiếp tuyến đồ thị (Cm) với hai tiệm cận có diện tích bng

Bài 2 : ( điểm )

, Giải phơng trình : cos x

2

1

2 cos 2x log (3cos 2x 1)

2

− + = + −

, Tìm giá trị nhỏ a để hệ sau có nghiệm :

2

x 4xy 12y 72

3x 20xy 80y a

⎧ + + ≥

⎪ ⎨

+ + =

⎪⎩ Bµi 3 : ( điểm )

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC Đờng phân giác AD ( D∈BC ) , ®−êng cao CH ( HAB) lần lợt có phơng trình : x y = , 2x + y + = Cạnh AC qua điểm M(0 ; -1) AB = 2AM HÃy viết phơng trình cạnh tam giác ABC

Bài 4 : ( ®iĨm )

Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2

x +y =9 Tìm m để đ−ờng thẳng y = m có điểm cho từ điểm kẻ đ−ợc hai tiếp tuyến đến (C) cặp tiếp tuyến tạo thành góc 45D

Bài 5 : ( 5điểm )

, Chøng minh r»ng víi mäi x > ta cã : x ln x

x − < , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức :

1

n

ln(1 )

n

α ≤ −

+

(9)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian làm 180 phút )

Bài : ( điểm)

Cho hai số m , p ( m ) ≠ Xét đồ thị (Cm):

2 − = x m y

x vµ (Cp):

(2 1)

= − −

y x p x

1, Tìm điều kiện m p để hai đồ thị tiếp xúc

2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc , chứng minh tiếp điểm chúng thuộc thị hàm số y = x x3

Bài : (2 điểm )

Biết phơng trình :x3 +x2 +ax b+ =0 cã nghiƯm ph©n biƯt Chøng minh r»ng : a2 – 3b >

Bài : ( điểm )

1, Tìm m để hệ sau có nghiệm :

5

log ( 3)

4

2

1 log ( ) log ( 1)

+ ⎧ ≥ ⎪ ⎨

+ − ≥

⎪⎩

x x

m x x +

2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm :

(2m−1) x+ +2 (m−2) 2− + − =x m Bµi : ( ®iĨm)

1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác góc A có ph−ơng trình 2x + y + = (d) Tìm toạ độ đỉnh A C biết khoảng cách từ C đến (d) hai lần khoảng cách từ A đến (d) C nằm trục tung

2, Cho A(0 ; 4) B(-4 ; 0) Xét đ−ờng thẳng Δ: ax + by + = ( a2 + b2 > 0) tiếp xúc với đ−ờng tròn : x2 + y2 = 16 Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ A B đến Δ

Bµi 5: (2 điểm)

Gọi xi nghiệm bất phơng trình :

x2 −2a xi +(ai −1)2 ≤0 ( i = 1;n ) vµ 5, 1; 2; ;

2≤ ≤ai i= n

Chøng minh r»ng :

2 2

1

+ + + + + +

≤ +

n n

x x x x x

n n

(10)

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 )

Bài : ( điểm)

1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số :y= x3 −3 x −2 ( )ξ

2, Gọi d đ−ờng thẳng qua M(2 ; 0) có hệ số góc k Tìm k để đ−ờng thẳng d cắt ( )ξ im phõn bit

Bài : (4 điểm )

1, Cho dãy (xn) xác định : +

= ⎧ ⎪

⎨ = +

⎪ +

⎩

n

x

2008

x

1 x

với n≥1 Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn 2, Tìm m để ph−ơng trình : x+ +y 2x(y 1)− +m =2có nghiệm Bài : ( điểm )

Cho a, b, c, d

4 < < Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

a b c d

1 1

F log (b ) log (c ) log (d ) log (a )

4 4

= − + − + − + −1

4 Bµi : ( điểm)

1, Giải phơng tr×nh :

x − −x 2008 16064x+ =2008 2, Tìm nghiệm phơng trình

cos x − sin x −cos 2x sin 2x+ =0 thoả mÃn 2008 < x < 2009 Bài 5: (2 ®iĨm)

Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1 ; -2), hai đờng phân giác góc B C lần lợt có phơng trình lµ (d1) : 3x + y – = vµ (d2) : x – y – = Lập phơng trình cạnh tam giác ABC

Bài 6: (4 điểm)

Cho tam diện vuông Oxyz điểm A cố định bên tam diện Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt a , b , c Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox , Oy , Oz lần l−ợt M , N , P

1, Chøng minh r»ng a b c OM +ON +OP =

2, Xác định vị trí mặt phẳng (α) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ , rõ vị trí điểm A

3, Chøng minh r»ng : (MN+NP+PM)2 ≤6(OM2 +ON2+OP )2 Bµi 7: (2 ®iÓm)

Cho ⎨0 a b c d Chøng minh r»ng : bc ad

< ≤ ≤ ≤ ⎧

≤ ⎩

b c d a d c b a

(11)

Ngày thi: 25 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho dãy số xác định sau:

(

)(

)

1

n n

i

u

i i i i

=

+ + +

∑

x→+∞u

Bài 2: Cho phương trình:

9 11

3

y − y + y− = (1)

a Chứng minh tan 102 0; tan 502 0; tan 702 nghiệm phân biệt phương trình (1)

b Tính 6

tan 10 tan 50 tan 70

P= + +

Bài 3: Tìm tất đa thức ( )P x có hệ số nguyên cho ta có:

( 20) ( 2000) ( )

x P x− = x− P x ; ∀ ∈ Ζx

Bài 4: Cho hình chóp S ABC đỉnh S; SA=x; SB=y; SC=z

a Chứng minh VS ABC. =x y z V S A B C ' ' '; với SA'=SB'=SC' 1= đơn vị dài '; '; '

A B C nằm tương ứng tia SA SB SC; ;

b Xác định , ,x y z để diện tích xung quanh hình chóp S ABC 3k2 (k số thực cho trước) thể tích lớn

Bài 5: Cho , ,a b c số thực dương ab bc ca+ + =abc Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2

3

a b b c c a

ab bc ca

+ + + + + ≥

(12)

Bài 1: Cho số thực dương , ,a b c thỏa điều kiện abc=1 Chứng minh rằng:

2 2

3 3 3

1 ab bc ca 18

c a b a b c

+ + +

+ + ≥

+ +

Bài 2: Cho ,x y số thỏa mãn điều kiện:

2

x y x y x y

− − ≤



 + − ≤



 + − ≥



a Chứng minh: 2

10

x +y ≤

b Tìm tất giá trị ,x y để: 2

10

x +y =

Bài 3: Cho phương trình: xn+xn−1+xn−2+ + x2+ − =x (1), n nguyên dương a Chứng minh với n phương trình (1) có nghiệm dương xn

b Tìm lim n

x→+∞x

Bài 4: Cho tam giác ABC có BC>CA>AB Gọi D điểm nằm đoạn BC Trên phần nối dài BA phía A chọn điểm E Biết BD=BE=CA Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD với cạnh AC Gọi Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

a Tam giác AQC tam giác EPD hai tam giác đồng dạng b Ta có: BP=AQ CQ+

Bài 5: Cho tia Ox Oy Oz, , vng góc với đơi tạo thành góc tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm góc tam diện Một mặt phẳng

( )

(

) (

)

lần lượt , ,a b c

a Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn

b Tính OA OB OC, , theo , ,a b c để thể tích tứ diện OABC nhỏ

(13)

Bài 1:

a Cho số thực dương , , ,a b c d Chứng minh rằng:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4

2 2 2 2

4

a b c d a b c d

a b a b b c b c c d c d d a d a

+ + +

+ + + ≥

+ + + + + + + +

b Cho số thực dương , , , , ,a b c d e f Chứng minh rằng:

(

) (

)

a b c+ + + d+ +e f ≤ a +d + b +e + c + f

Bài 2: Kí hiệu Ν* tập số nguyên dương Tìm tất hàm f : *Ν → Ν* thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

( ) (

)

( )

(

( )

)

:

: 2002, *

i f n f n

ii f f n n n

+ >

= + ∀ ∈ Ν

Bài 3: Cho dãy

{ }

1

2

1;

n n

n

a a a

a a p

a

+ + +

= = =

 

+

 =

 

với p∈ Ν*

Định pđể số hạng dãy

{ }

Bài 4: Cho đa thức

( )

n n n

n

f x =x +a x − +a x − + +a đa thức bậc n≥2 có nghiệm thực b b1, 2, ,bn Cho x>bi,∀ =i n Chứng minh:

(

)

1

1 1

1

n

f x n

x b x b x b

 

+  + + + ≥

− − −

 

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh xuất phát từ A đơi vng góc với Gọi

a cạnh lớn xuất phát từ A r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng:

(

)

(14)

Bài 1: Giải phương trình sau:

(

)

(

)

2

1+ 1−x  1−x − 1+x = +2 1−x

 

Bài 2:

a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

(

)

y +yz+z = − x b Tìm số nguyên , ,a b c thỏa mãn bất đẳng thức:

2 2

3

a +b +c + <ab+ b+ c

Bài 3: Trong tam giác ABC ta dựng đường phân giác AA BB CC', ', '; giao điểm A B C', ', ' thuộc cạnh BC CA AB, , Các giao điểm lập thành tam giác A B C' ' ' Chứng minh rằng:

(

)(

)

' ' '

A B C ABC

S abc

S = a b b c c+ + +a

Bài 4: Cho Ζ tập số nguyên Cho hàm f :Ζ → Ζ thỏa mãn điều kiện:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

: 1

: 2

i f f

ii f x f y f x xy f y xy − =

+ = + + −

với ,x y∈ Ζ

a Chứng minh f

( )

(15)

Bài 1: Với số thực , ,x y z tùy ý, ta đặt:

S = + +x y z; P=xy+yz+zx; Q=xyz a Chứng minh: x3+y3+z3 =S3−3SP+3Q b Hãy biểu diễn x4+y4+z4 theo ,S P Q

Bài 2: Tìm đa thức f x

( )

Bài 3: Cho hai hình vng ABCD ABEF có cạnh AB cạnh chung Hai mặt phẳng

(

)

(

)

Bài 4: Với số nguyên dương a=a a1 2 ak , k∈ Ν*, ta đặt:

( )

T a =a +a + +a ( tổng chữ số a) Dãy số

{ }

(

)

(

)

(

)

2004

n n

x T

x T x −  =

 

= 

Chứng minh dãy

{ }

Bài 5: Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Cho

; ;

AB=c BC =a CA=b Chọn I điểm tam giác ABC; gọi , ,x y z khoảng cách từ I đến cạnh BC CA AB, , Chứng minh:

2 2

2

a b c

x y z

R

+ +

(16)

Ngày thi: tháng 10

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Tính tổng:

0 0 0

t an1 t an2 t an2 t an3 t an2004 t an2005

S = + + +

Bài 2:

a Cho P x

( )

P a = P b = P c = với , ,a b c số nguyên đôi khác Chứng minh phương trình P x

( )

b Tìm đa thức f x

( )

(

)

( )

chia hết cho x

Bài 3:

a Tổng số nguyên dương 2310 Chứng minh tích hai số không chia hết cho 2310

b Tìm nghiệm nguyên

(

)

(

)

Bài 4:

a Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

( )

đơi song song, cắt đường trịn

( )

, ,

A B C) Chứng minh trực tâm tam giác A BC B CA C AB1 , 1 , 1 thẳng hàng b Cho tam giác ABC cạnh đơn vị dài Đường thẳng

( )

bất kì đỉnh tam giác Gọi , ,α β γ góc

( )

2 2 2

sin sin sin cos cos cos

M = α β γ + α β γ

Bài 5: Cho dãy

{ }

1

2

2005

n n

u

u u

u + u

=  

 −

= +

 Đặt 1

n i n

i i

u S

u

= +

=

−

∑

Tìm lim n

x→+∞S

(17)

Bài 1: Tìm tổng số nguyên dương từ m đến n, kể m n

(

)

Bài 2: Tìm tất số thực x cho 2

4

x k

x x

+ =

+ + số nguyên

Bài 3: Chứng minh , ,a b c cạnh tam giác tương ứng với đỉnh , ,

A B C thì:

2 2

0

sin sin sin

2 2

a b c b c a c a b

C A B

+ − + + − + + − ≥

Bài 4: Tìm tất đa thức dạng f x

( )

Bài 5: Cho F

( )

(

)

(

)

( )

f x

x =

+

Đặt: Gn

( )

(

( )

)

(

( )

)

lại n lần Chứng minh:

( )

(

)

1

2

n

F F F n

G

F F F n

+

= + + +

+

Bài 6: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn cho trước kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A B Chọn điểm S nằm dây cung AB Tia PS cắt cung nhỏ

AB R cắt cung lớn AB Q Chứng minh: PS 2PR PQ PR PQ =

+

(18)

Bài 1:

a Tìm tất số nguyên m cho phương trình

(

)

1

x + m −m x m− + = có nghiệm nguyên

b Giải bất phương trình: log2

(

)

(

)

x x

− + + − + ≤

Bài 2:

a Giải phương trình: sin 52 x−4 sin2x+2 sin 6

(

)

b Cho số thực x x1, 2, ,xn thỏa mãn sin2 x1+2 sin2x2+ + nsin2xn =a, với n

là số nguyên dương, a số thực cho trước,

(

)

2

n n

a +

≤ ≤ Xác định giá trị

của x x1, 2, ,xn cho tổng S=s in2x1+2 s in2x2+ + ns in2xn đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn theo a n

Bài 3:

a Cho số thực , ,a b c thỏa abc=1 Chứng minh:

(

)

(

)

(

)

6 2 2 2

1 1

2

a b +c +b c +a +c a +b ≥

b Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn điều kiện:

(

)

cot cot cot

2 cot cot

2

2 cot cot

2

A A B A B

B A B

B

+ =  + −

 

+

 +  

 

 

Chứng minh tam giác ABC tam

giác cân

Bài 4: Cho tam giác ABC, cạnh BC CA AB, , lấy điểm A B C', ', ' cho AA BB', ' CC' đồng quy điểm M Gọi S S S1, 2, 3 diện tích

các tam giác MBC MCA MAB, , đặt MA' x,MB' y,MC' z MA = MB = MC =

(19)

1

2

1

,

n

n n

n

u

u u

u

+

=  

 + −

= >

 

Tính un chứng minh rằng:

1

4

n n

u u u π

−

    + + + ≥ +  −  

 

 

 

Bài 6: Cho đa thức f x

( )

(20)

Câu 1: Giải phương trình: 3

(

)

3 x− x = x+ x−

Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm cạnh

AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB= AC IE vng góc với CD

Câu 3: Tìm nghiệm ngun dương phương trình:

2

x − y =

Câu 4: Cho dãy số

{ }

1

2008

1

2008 n

n n

x x

x + x

=   

= +



Tìm giới hạn dãy un với:

2007 2007 2007

1

2

n

x

x x

u

x x x +

= + + +

Câu 5: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng:

( ) ( )

( )

Câu 6:

a Cho , ,x y z≥1 1

x+ + =y z Chứng minh rằng:

1 1

x+ + ≥y z x− + y− + z−

b Cho đa thức f x

( )

1 1

a b c

S

a b c

+ + +

= + +

− − −

Câu 7: Cho điểm A

( )

AM ngắn AM vng góc với tiếp tuyến M

( )

(21)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP QUỐC GIA

NĂM HỌC 2008 – 2009

Câu 1: Giải phương trình:

(

)(

) (

)

Câu 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi AH BI CK, , đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 2

1 cos cos cos

HIK ABC

S

A B C

S = − − −

Câu 3: Cho ,a b hai số nguyên Chứng minh rằng:

(

)(

)

A=ab a +b a −b chia hết cho 30

Câu 4: Cho hàm số f : *Ν → Ν* thỏa mãn hai điều kiện:

( )

( ) ( )

(

)

( )

f a b f a f b f p q f p f q

= 



+ = +

 Trong a b, ∈ Ν*,

(

)

Chứng minh rằng: f

(

)

Bài 5: Chứng minh n chẵn 2n

chia hết (*)

0 2

2

k k n

n n n n

C + C + + C + + nC

Bài 6: Cho số thực , ,a b c Chứng minh rằng:

(

)(

)

(

)

1 1

a + b + c + ≥ ab bc ca+ + −

Bài 7: Cho tam giác ABC cân A Đường tròn

( )

11

(*) hiểu là: 2 2

k k n

n n n n

(22)

MƠN TỐN – Lớp 12

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải bất phương trình:

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3 log log 11 x− x − < x−  x+ + 

b) Giải hệ phương trình:

2009 cos cos 2009 cos cos 2009 cos cos

x y z

y z x

z x y

+ = +



 + = +



 + = +

 Câu 2: (2,5 điểm)

a) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos cos

4 x+ −2 x− =1 m, với m tham số

b) Cho a, b, c số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

ab bc ca

M

c ab a bc b ca

= + +

+ + +

Câu 3: (3,5 điểm)

a) Trong khơng gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) cắt trục Oy, Oz hai điểm B, C cho OB – = OC (B, C không trùng với gốc tọa độ O)

b) Giả sử tồn hình nón

( )

n sau:

Thiết diện qua trục tam giác cạnh a

Hình cầu S1 nội tiếp hình nón có bán kính r1

Hình cầu S2 nằm hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp

xúc với hình cầu S1; hình cầu S3 nằm trong hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với hình cầu S2; … hình cầu S2009 nằm

hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với hình cầu S2008

Gọi Vk thể tích hình cầu Sk

(

k

N

k

)

i) Tính r1 theo a tỷ số

V V

ii) Tính 2009

1 k k

V =

∑

theo a

Câu 4: (1,0 điểm)

Trong bảng hình vng gồm 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vụông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vng thành hình chữ nhật cỡ x x Tính tích sở hai số hình chữ nhật cộng 50 tích lại Cần phải cắt bảng hình vng để tổng tìm nhỏ nhất?

……….Hết………

Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phịng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………

(23)

MÔN TOÁN – Lớp 12

Câu 1: (2,5 điểm)

a/ Giải hệ phương trình:

3

2

log log 10

x y

e e x y x

y

 − = −

 

+ =



b/ Hãy xác định số nghiệm phương trình (ẩn x) sau: 2008 2007 2006 x− + x− = x−

Câu 2: (3,5 điểm)

a/ Cho tam giác ABC có A(2; -1) đường phân giác góc B,C có phương trình: x – 2y + = 0; x + y + = Lập phương trình đường thẳng chứa BC

b/ Trong khơng gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Giải sử M, N hai điểm di động đoạn thẳng AB’ BD cho AM = BN = a

(

a

)

+) Tính toạđộ vectơ MN theo a

+) Tìm a cho đường thẳng chứa MN đường vuông góc chung hai đường thẳng AB’ BD

Câu 3: (2,0 điểm)

a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2

5x +2y +10x+4y=6 b/ Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2

3 x + + =y z Chứng minh rằng: xy yz zx

z + x + y ≥ Câu 4: (2,0 điểm)

a/ Cho phương trình:

(

)

n n

x +x + + + − =x x∈N Chứng minh phương trình có nghiệm dương gọi nghiệm đó xn Tìm limxn n→ ∞

b/ Trên mặt bánh cốm (màu xanh) hình vng có cạnh cm có 51 hại vừng Chứng minh vẽ đường trịn màu đỏ bán kính cm mặt bánh cốm chứa hạt vừng bên

……….Hết………

(24)

HƯNG YÊN NĂM HỌC 2006 – 2007

MƠN TỐN – Lớp 12

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho hàm số

( )

2

8

1 m

x mx m

y C

x

+ − +

=

−

Tìm đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị hàm số (Cm) tiếp

xúc với đường trịn có phương trình: x2+ − +y2 6x 2my−3m2+4m+ =5 0

Câu 2: (1,0 điểm)

Tỉnh A có khu cơng nghiệp khác có doanh nghiệp khác mốn vào đầu tư khu cơng nghiệp Tỉnh A muốn chọn từđó khu cơng nghiệp, doanh nghiệp xếp doanh nghiệp vào đầu tưở khu cơng nghiệp (Mỗi khu cơng nghiệp có doanh nghiệp vào đầu tư) Hỏi có cách xếp vậy?

Câu 3: (2,0 điểm)

a/ Tính giới hạn:

.2 lim

1

x

x x

x →

− − b/ Tính tích phân:

200

0

1 cos x dx

π +

∫

Câu 4: (2,0 điểm)

a/ Tìm tất nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 2x2− − + + =xy 7x 3y 7 0 b/ Giải phương trình: tg

(

)

c/ Giải hệ phương trình:

( )

(

) ( )

( )

(

) (

)

2

1

x y y x y x x y

 − + = +

 

− + = +



Câu 5: (1,0 điểm) Một kiến xuất phát từđỉnh A muốn leo đến đỉnh C’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hỏi kiến phải leo theo đường ngắn nhất; có đường ngắn (Hình lập phương đáy ABCD có mặt kín nhựa đặt mặt bàn phẳng)

Câu 6: (2,0 điểm) Cho tứ diện OABC có góc tam diện vng đỉnh O, P điểm chuyển động đáy ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

PA PB PC T

OA OB OC

= + +

……….Hết………

(25)

HƯNG YÊN NĂM HỌC 2005 – 2006

MƠN TỐN – Lớp 12

Câu 1: (3,0 điểm)

a/ Giải bất phương trình: 2

3

x − + +x x − + ≥x x − +x

b/ Cho

( )

.sin sin sin ; os

n n

P x =x α−x nα +  n− α Q x =x − x c α+ Chứng minh Pn(x) chia hết cho Q(x) với ∀ ∈α R ∀ ∈n N n, ≥2

Câu 2: (2,0 điểm)

a/ Giải phương trình: x! + y! + z! = t! (với x, y, z, t số tự nhiên)

b/ Giải phương trình: 3sin2 sinx 3sinx 4 sin4

2

x− − − = − x−π 

 

 

Câu 3: (1,0 điểm)

Cho dãy số nguyên dương {an} thoả mãn điều kiện: an>an−1.an+1, ∀ ∈n N* Tính giới hạn: 2

1

lim

x

n

n n a a a

→∞

 + + + 

 

 

Câu 4: (1,5 điểm) Chứng minh rằng:

1

0

1

1 n n i n i C i n + = − = + +

∑

n

i

n

i

a a a a

=

= + + +

∑

Câu 5: (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O cắt ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC tương ứng A1 A2, B1 B2, C1 C2 Gọi x, y, z tương ứng đường thẳng

qua A1, B1, C1 vuông góc với BC, CA, AB; gọi x’, y’, z’ tương ứng

đường thẳng qua A2, B2, C2 vng góc với BC, CA, AB Chứng minh

nếu x, y, z đồng quy x’, y’, z’ đồng quy

Câu 6: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạđộ cho đường tròn (C) có phương trình: 2

9

x + =y Tìm m để đường thẳng y = m có điểm cho từ điểm kẻđược tiếp tuyến đến (C) cặp tiếp tuyến tạo thành góc 450

……….Hết………

(26)

HƯNG YÊN NĂM HỌC 2004 – 2005

MƠN TỐN – Lớp 12

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho hàm số y x

( )

C

x

= +

a/ Tìm điểm A, B tương ứng thuộc nhánh đồ thị (C) cho AB ngắn b/ Gọi d1, d2 cặp tiếp tuyến song song đồ thị hàm số (C) Hãy tìm cặp tiếp tuyến

đó cho khoảng cách chúng lớn

Câu 2: (1,0 điểm) Cho

(

)

1

2 *

0

1 n , n

I =

∫

x

dx

n

N

n

x

n I

I + →∞

Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử phương trình

ax

x − + + =x b có nghiệm thực phân biệt

Chứng minh a2+ >3b 0

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho: AB AC

AI + AJ = Chứng minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng

cốđịnh

Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số {Un} xác định sau:

(

)

1

2

1

ln 2005

2

n n

U R

U + U

∈  

 = + −

 với

*

n∈N Chứng minh dãy số {Un} có giới hạn hữu hạn

……….Hết………

(27)

HƯNG YÊN NĂM HỌC 2003 – 2004

MƠN TỐN – Lớp 12

Câu 1: (3,0 điểm)

Cho hàm số 2ax b y x x + = + +

a/ Tìm a, b để hàm số có cực trị

b/ Tìm a, b để hàm số có cực đại cực tiểu

c/ Với a = 1, chứng minh rằng: ∀ ∈b R, đồ thị hàm số có điểm uốn thẳng hàng Lập phương trình đường thẳng

Câu 2: (2,0 điểm)

a/ Biết

3 ln os2 x

c α dx

−

=

∫

π π α< < b/ Cho số nguyên m≥2 cho n∈N* Chứng minh rằng:

(

)

1

5 cos s inx

4 n n

km

k

x n dx

=

 +  <

 



∑

∫

Câu 3: (2,0 điểm)

a/ Giải phương trình lượng giác:

2 4

s inx+ s in x s in x s in x+ + =cosx+cos x+cos x+cos x b/ Chứng minh tam giác ABC ta ln có:

1 1

t cot cot cot

sin sin sin 2 2 2

A B C A B C

g tg tg g g g

A B C

 

+ + =  + + + 

 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạđộ Đề-Các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình là:

( )

1

:

1 2

:2

x y z d

P x y z

+ = − = − − − + − =

a/ Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

b/ Viết phương trình hình chiếu vng góc (d’), đường thẳng (d) mặt phẳng (P) Lấy điểm B nằm đường thẳng (d) cho AB = a, với a số dương cho trước Xét tiử số AB AM

BM

+ với điểm M di động mặt phẳng (P) Chứng tỏ rằng,

tồn vị trí M để tỉ sốđó đạt giá trị lớn giá trị nhỏ

Câu 5: (1,0 điểm) Cho số x, y dương Chứng minh rằng: 2001 2003

2001 2003 2004 2000

x x

x y x y y y

− −

+ ≥ +

……….Hết………

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2000 - 2001 Mơn thi : Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B Bài 1:

Cho phương trình: sin4 x+(1 sin )− x =m

1 Giải phương trình với

8

m=

2 Với giá trị m phương trình cho có nghiệm Bài 2:

1 Cho a b c, , ba cạnh tam giác, x y z, , ba số thoả mãn:

0

ax+by+cz=

Chứng minh rằng: xy+yz+zx≤0

2 Cho x≥0 Chứng minh rằng: log (1 ) log (32 x 3 x ( 2) )x

+ > +

Bài 3:

Cho a a1; ; ;2 an (n>3) số thực thoả mãn: 2

1

;

n n

i i

a n a n

= =

≥ ≥

∑

Chứng minh rằng: max a a

{

an

}

n

Bài 4:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AA' 2= AB=8 , a E trung điểm cạnh

AB M điểm cạnh DD' cho DM a AD F AC

 

=  + 

  điểm di động cạnh AA'

a Tìm điểm F cạnh AA' cho CF+FM có giá trị nhỏ

b Với F thoả mãn điều kiện câu a, tính góc tạo hai mặt phẳng ( , , )D E F

và mặt phẳng ( , ', ')D B C

c Với giả thiết F thoả mãn điều kiện câu a đường thẳng AC' FD

vng góc với nhau, Tính thể tích hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

Bài 5: ( Học sinh bảng B khơng phải làm này) Tìm số nguyên dương a b c k, , , thoả mãn: (1)

(2)

c b a

ab bc ca a b c kabc

> > ≥

 

+ + + + + =



(33)

Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B Bài 1:

Cho bất phương trình:

2cos x3 +(m−1)cos x2 +10cosx+m− >1 (1)

1 Giải bất phương trình m= −5

2 Tìm m để bất phương trình (1) thoả mãn với 0;

3

x∈ π

 

Bài 2:

Giải phương trình:

1

log (x ) log ( )

x

cosx−sinx + cosx+cos x =

Bài 3:

Giải phương trình sau với x∈(0; 2):

2

1 2 1

2 1

4

x

x x

x

− + − +  

− =  − 

 

Bài 4:

Biết đa thức f x( )=x2001+a x1 2000+ +a2000x+a2001 có 2001 nghiệm thực phân biệt

1996 1996; 1998 1998

a = a = Chứng minh rằng: a1997 >1997

Bài 5:

1 Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông, đường cao OH =h,

, ,

OA=a OB=b OC=c Chứng minh rằng:

3

acotA bcotB+ +ccotC≥ h

2 Có thể chia đa giác lồi cho thành số tứ giác không lồi không? Hãy chứng minh điều khẳng định

(34)

Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHO BẢNG A

Bài ( điểm):

Cho hệ phương trình: log (3x x+ay) log (3= y y+ax) 2=

1 Giải hệ a =

2 Tìm tất giá trị a để hệ có ba nghiệm phân biệt

Bài ( điểm):

Cho hàm số y x2

x a

+ =

+

1 Với a=1 chứng minh ln tìm điểm có hai điểm đường cong cho tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: 2x−2y+ =1

2 Tìm giá trị lớn a để tập giá trị hàm sốđa cho chứa đoạn [0; 1]

Bài 3: ( điểm):

1 Giải phương trình:

0

2cos x( −45 )−cos x( −45 )sin 2x−3sin 2x+ =4 Cho tam giác ABC O điểm tam giác cho:

OCA =OAB =OBC =α

Chứng minh rằng: cotα =cotA cotB+ +cotC

Bài ( điểm):

Với x≠kπ góc cho trước Tìm giới hạn:

2

1 1

( )

2 2 2n 2n

n

x x x

lim tan tan tan

→+∞ + + +

Bài ( điểm):

Cho tứ diện ABCD có CD vng góc với (ABC), CD=CB, tam giác ABC vng A Mặt phẳng quan C vng góc với DB cắt DB DA, M I, Gọi T giao điểm hai tiếp tuyến A C đường trịn đường kính BC mặt phẳng (ABC)

1 Chứng minh bốn điểm , ,C T M I, đồng phẳng

2 Chứng minh IT tiếp tuyến mặt cầu đường kính CD mặt cầu đường kính CB

3 Gọi N trung điểm AB, K điểm CD cho

3

CK = CD Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng BK CN khoảng cách hai đường thẳng AM

và CN

(35)

Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHO BẢNG B

Bài ( điểm ):

1 Cho đường cong (C ) có phương trình: y= +1 s inx với ;3 2

x∈π π 

  Tìm giá trị nhỏ

của hoành độ giao điểm tiếp tuyến với (C ) trục hoành Cho hàm số:

2

( 1)

1

x x

y m m m

x x

   

= +   −  +

+ +

    , với m tham số Xác định m để hàm

số có cực trị

Bài ( điểm):

Giải phương trình:

1 s inx s inx sin2 cos 1

x x

+ + + =

2 log7x=log (3 x+2)

Bài ( điểm):

1 Xác định số nghiệm 0;

x∈ π

  phương trình:

sinx cos

2 x

π

+ =

2 Không dùng máy tính, so sánh log20032003 log20042004

Bài ( điểm):

Cho góc tam diện Oxyz

1 A điểm Oz cho OA = 25a ( a > 0) Khoảng cách từ A đến Ox Oy tương ứng 7a 2a Tính khoảng cách từ A đến mp(Oxy), biết góc xOy = 600

2 Cho O 600

xOy= yOz=z x= Điểm A ( khác O) cốđịnh Oz với OA = d không đổi M, N hai điểm chuyển động Ox Oy cho 1

OM +ON = d

(36)

Bài ( điểm ):

1 Cho đường cong (C ) có phương trình: y= +1 s inx với ;3 2

x∈π π 

  Tìm giá trị nhỏ

nhất hoành độ giao điểm tiếp tuyến với (C ) trục hoành Cho hàm số:

2

( 1)

1

x x

y m m m

x x

   

= +   −  +

+ +

    , với m tham số Xác định m để

hàm số có cực trị Bài ( điểm):

Tìm tất giá trị a để hệ phương trình sau có hai nghiệm:

2

7 6 12

2( 2) ( 4)

x x x x x

x a x a a

 − + + + + − =

 

− − + − =



Bài ( điểm):

1 Xác định số nghiệm 0;

x∈ π

  phương trình:

sinx cos

2 x

π

+ =

2 Cho 1< + < + <a b c Chứng minh : log (c c+a) log< c b− c

Cho góc tam diện Oxyz

1 A điểm Oz cho OA = 25a ( a > 0) Khoảng cách từ A đến Ox Oy tương ứng 7a 2a Tính khoảng cách từ A đến mp(Oxy), biết góc xOy = 600 Cho O 600

xOy= yOz=z x= Điểm A ( khác O) cốđịnh Oz với OA = d không đổi M, N hai điểm chuyển động Ox Oy cho 1

OM +ON = d

(37)

Bài ( điểm)

Cho hàm số y=x4−6x2+5

1 Khảo sát biển thiên vẽđồ thị ( )C hàm số

2 Cho điểm M thuộc ( )C có hồnh độ a Tìm tất giá trị a để tiếp tuyến ( )C M cắt ( )C hai điểm phân biệt khác M

1 Tính đạo hàm cấp n hàm số: 22

2

x

y sin x

x x

−

= +

− −

2 Tính tích phân:

2

x − x+m dx

∫

1 Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

2 2 2 1

x − x= x−m −

2 Xác định m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

| | 2

1

2

4 x m log ( 3) x xlog (2 | | 2)

x x x m

− − − +

− + + − + =

Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−10x−2y+25 0=

đường tròn ( ) :C1 x2+y2−4x+4y+ =4

Hãy viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn Bài ( điểm):

Goi α β γ, , ba góc tạo đường thẳng d theo thứ tự với ba đường thẳng chứa ba cạnh

, ,

BC CA AB tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 2 2

(38)

Bài ( điểm)

Cho hàm số y=x4−6x2+5

1 Khảo sát biển thiên vẽđồ thị ( )C hàm số

2 Cho điểm M thuộc ( )C có hồnh độ a Tìm tất giá trị a để tiếp tuyến ( )C M cắt ( )C hai điểm phân biệt khác M

1 Tính đạo hàm cấp n hàm số: 22

2

x

y sin x

x x

−

= +

− −

2 Tìm họ nguyên hàm hàm số: ( ) 3

3

x f x

x x

=

− +

1 Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

2 2 2 1

x − x= x−m −

2 Xác định m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

| | 2

1

2

4 x m log ( 3) x xlog (2 | | 2)

x x x m

− − − +

− + + − + =

Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−10x−2y+25 0=

đường tròn ( ) :C1 x2+y2−4x+4y+ =4

Hãy viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn Bài ( điểm):

Goi α β γ, , ba góc tạo đường thẳng d theo thứ tự với ba đường thẳng chứa ba cạnh

, ,

BC CA AB tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 2 2

16(sin α.sin β.sin γ +cos α.cos β.cos γ) 1=

(39)

Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số:

2 2 2

x x

y

x

+ +

= +

Tìm tất giá trị m để hàm số

2 2 2

x mx

y

x

+ +

=

+ có cực đại, cực tiểu khoảng cách

từ hai điểm cực trịđó đồ thị hàm sốđến đường thẳng x+ + =y Bài ( điểm):

Giải hệ phương trình:

2 4

3 9

4 16 16

log log log

x y z

y z x

z x y

+ + =

 

+ + =



 + + =



Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x2+3mx− = −1 x 2m Bài ( điểm):

Chứng minh tam giác ABC thoả mãn hệ thức:

2

C

tanA tanB+ = cot tam giác cân Bài ( điểm):

Cho Elíp ( ) : 2

9

x y

E + = điểm I(1;1) Hãy lập phương trình đường thẳng ∆ qua I

cắt ( )E hai điểm A B, cho I trung điểm AB

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh Điểm M nằm cạnh AA' Tìm vị trí điểm M để tam giác BMD' có diện tích bé Tính diện tích bé

Viết phương trình đường trịn ( )C có tâm I nằm đường thẳng d: x− =1 tiếp xúc với hai đường thẳng a b, có phương trình là: x− + =y x− − =y

Tính tích phân:

0

dx I

cosx

π

=

∫

Bài 10 ( điểm):

(40)

SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2006 - 2007 Mơn thi : Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 28.03.2007

Câu ( điểm):

1 Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số:

2 1

1

x x

y x

+ + =

+ (1)

2 Tìm k đểđường thẳng: (2−k x) − + =y cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt

,

A B cho cá tiếp tuyến với dồ thị hàm số (1) A B song song với Chứng minh phương trình: x2+ + =x (x+1) 9−x2 có hai nghiệm Câu ( điểm):

1 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn (x2+x)100 , chứng minh rằng:

99 100 198 199

0 99 100

100 100 100 100

1 1

100 101 199 200

2 2

C    − C    + − C    + C    =

       

2 Cho tích phân , 2

n

sin nx

I dx n N

a cos x

= ∈

−

∫

a

I

1 Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy cho đường tròn :

2

( ) :C x +y −4x+6y− =3 có tâm I đường thẳng ∆:x by+ − =2 Chứng minh ( )C ∆ cắt hao điểm phân biệt P Q, với b Tìm b để tam giác PIQ có diện tích lớn

2 Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz cho điểm A(2;0;0), (0;8;0), (0;0;3)B C N điểm thoả mãn: ON =OA OB OC+ +

Một mặt phẳng ( )P thay đổi cắt đoạn

, , ,

OA OB OC OD điểm A B1, , , 1 C1 N1 Hãy xác định toạđộđiểm N1

sao cho:

1 1

2007

OA OB OC

OA +OB +OC =

Tìm tập hợp điểm M khơng gian có tổng bình phương khoảng cách đến mặt tứ diện ABCD cho trước số dương k không đổi

(41)

SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi : Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 28.03.2008

Bµi ( điểm):

Cho hàm số (C)

x y

x

− =

+

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số

2 Xác định điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số cho tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ số nhỏ

Bµi (4 điểm):

1 Cho hàm số 1

y= +x −x −m Xác định m=? để y≤0 tập xác định Trong mặt phẳng Oxycho hypebol (H) có ph−ơng trình

2 2

x y

a +b = BiÕt tâm sai e=2; Hình

chữ nhật sở cắt Ox; Oy A;C B;D Đờng tròn nội tiếp hình thoi ABCD có bán kính Tìm phơng trình (H)

Bài (4 điểm)

1 GiảI phơng trình 4 os2 4 os2xcos2 6sin cos 1 0

c x− c x− x x+ =

2 Cho a0 Giải biện luận bất phơng tr×nh sau theo a:

a x3 +6a x2 − +x 9a+ ≥3

3 Giải hệ phơng trình sau:

+ =



3

2

x y xy

Bài (6 điểm)

Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A1 B1 C1 D1 Biết A1(0;0;0); B1(a;0;0); D1(0;a;0); A(0;0;a) Gọi M; N lần l−ợt trung điểm cạnh AB; B1C1

1 ViÕt phơng trình mặt phẳng (P) qua M song song với hai đờng thẳng AN; BD1 Tính thể tích tứ diện ANBD1

3 Tính góc khoảng cách đờng thẳng AN BD1

Bài (1 ®iĨm)

Cho

(

)

→∞

+ = 2+ n=1,2,3 T×m limn n

n n

a

a b

(42)

Môn Toán

Thi gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

-

Bμi 1. Cho số nguyên d−ơng x, y, z thay đổi có tổng 2002 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P=x y z! ! !

Bμi 2. Hãy tìm đa thức f x

( )

Bμi 3. Giải hệ phơng trình:

log log log log log log

512

8

2 2

y y

z z

x x

z x

x y

y z

x

z

y

x

z

y

⎧

+

=

⎪⎪

+

=

⎨

⎪

+

=

⎪⎩

Bμi 4. Cho d·y sè

{ }

n

x = đợc xây dựng bëi

x

=

1000

1

2002

2

n n

n

x

+

⎛

⎞

=

⎜

+

⎟

⎝

⎠

0

n

∀ ≥

lim

n

2002

vµ

2002 10

x

−

→∞

=

−

<

Bμi 5.

Cho tam giác ABC biến thiên nh

ng vuông góc A có đ

ờng cao AH

l mt on thẳng cố định cho tr

−

ớc Gọi E, F thứ tự hình chiếu H lên AB

AC Chứng minh tứ giác EBCF nội tiếp đ

ờng tròn tâm đ

ờng tròn nằm

trờn đ

−

ờng thẳng cố định

-HÕt -

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chó:C¸n bé coi thi không giải thích thêm

Đề thức

(43)

Môn Toán

-

Bμi

Cho x số thực d

−

ơng Chứng minh với số tự nhiên n ta có bất đẳng thức:

2

1

2! 3! !

n

x x x x

e x

n

> + + + + +

Bμi 2

Chứng minh với số nguyên d

ơng n tuỳ ý, đa thức sau có

nhiỊu h¬n mét nghiƯm thùc:

( )

(

)

! ! 1!

n n

n

x x x

P x

n n

−

= + + + +

−

Bμi 3.

Cho hµm sè

( )

1 5

x x

a

y f x

a a

− +

= =

+

với a tham số d

ơng

1) Tìm tập giá trị

f x

( )

2) Tìm a để tập giá trị

f x

( )

chứa số nguyên chẵn

Bμi 4

Cho ph

ơng trình

x

ax

bx

ax

có nghiệm thực Tìm giá trị

nhá nhÊt cña

a

b

Bμi 5

Cho đ

ờng tròn:

( )

C

:

x

+

y

+

3

ax

=

0

( )

: 1

(

)(

)

2

3

0

m

C

+

m

x

+

y

−

ax

−

amy

−

a

=

Trong a số thực khác 0, m tham số thực Chứng minh

( )

C

m

cắt (C)

tại hai điểm phân biệt tiếp tuyến điểm chung vuông góc với

nhau

-Hết -

Họ tên thÝ sinh: Sè b¸o danh:

(44)

Môn Toán

Thi gian lm bi: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

-

Bài 1(2,0 điểm).

Giải hệ ph

ơng trình:

2

x

y

x

⎧ +

=

⎪

⎨

+

=

Bài 2(2,0 điểm)

Cho hai đ

−

ờng tròn

(

O R

;

) (

,

O R

;

)

cắt A, B S điểm cố định nằm

đ

−

ờng thẳng AB cho A nằm S B, cát tuyến thay đổi qua B cắt

®

−

êng tròn

(

O R

,

) (

,

O R

,

)

lần l

ợt M, N Đ

ờng thẳng SM cắt đ

ờng tròn

(

O R

,

)

tại điểm thứ hai P, đ

ờng thẳng SN cắt đ

ờng tròn

(

O R

,

)

điểm thứ hai Q

1- Chøng minh tø gi¸c MPQN néi tiÕp

2- Chứng minh đ

−

ờng tròn

( )

C

ngoại tiếp tam giác SPQ qua điểm cố định

thø hai kh¸c S

3- Gäi

I

trung điểm MN, J giao SI với đ

ờng tròn

( )

C

, chứng minh

rằng J ln thuộc đ

−

ờng trịn cố định

Bài 3(2,0 điểm).

Cho a, b, c sè d

−

¬ng, chøng minh r»ng:

4 4

3 3

4 4

a

b

c

a

b

c

b

+

c

+

a

≥ + +

b

c

a

Bµi (2,0 ®iĨm)

Cho

a a

,

, ,

a

n

lµ n

(

n

2

)

số nguyên phân biệt Chứng minh đa thức:

( ) (

) (

)

(

)

1

n

1

P x

=

x

a

x

a

x

a

+

phân tích đ

ợc thành tích hai đa

thức với hệ số nguyên

Bài (2,0 điểm)

Cho d·y sè

{ }

n

x ∞=

tho¶ m·n

x

=

1,

x

n

=

x

n

+

x

n

+ −

1

x

n

x

n

+

1

với n nguyên

d

ơng

1- Chứng minh dãy số có giới hạn

2- Tìm giới hạn dãy số

-HÕt -

§Ị chÝnh thøc

(45)

Môn Toán

Thi gian lm bi: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

-

Bài 1(2,5 điểm)

Giải hệ ph

ơng trình sau:

2 2 2

x x y y

y y z z

z z x x

⎧ + =

⎪

+ =

⎨

⎪ + =

Bài (2,5 điểm)

Cho d·y sè

{ }

un

n

víi

u

=

3;

u

=

17;

u

n

=

6

u

n

−

u

n

víi mäi n tù nhiªn

Chøng minh r»ng: Víi mäi n tù nhiªn ta cã

2 1

n

u −

số ph

ơng

Bài (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có cạnh

BC=a, CA=b, AB=c

bán kính đ

ờng tròn ngoại tiếp

là R Gọi G trọng tâm tam giác, Các đ

ờng thẳng

AG, BG, CG

lần l

ợt cắt đ

ờng

tròn ngoại tiếp

D, E, F

t

−

¬ng øng Chøng minh r»ng:

3 1 1 1

3

R GD GE GF a b c

⎛ ⎞

≤ + + ≤ ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

Bài 4 (2,0 điểm)

Cho tam giỏc

ABC

, gọi độ dài cạnh t

−

ơng ứng với đỉnh

A, B, C

lần l

−

ợt

a, b,

c;

độ dài đ

−

ờng cao t

−

ơng ứng lần l

−

ợt

h h h

a

, ,

b

c

độ dài

ng trung tuyn

t

ơng ứng

m m ma

b

c

Chøng minh r»ng:

4 4 10

a a b b c c

h m +h m +h m ≥ S

-HÕt -

Ghi chú:Cán coi thi không giải thích thêm

(46)

Môn To¸n

Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

-

Bμi 1

(2,0 ®iĨm)

Chứng minh đồ thị hai hàm số

y

x

= có ba điểm chung

phân biệt Tìm tâm bán kính đờng tròn qua ®iĨm Êy

Bμi 2(2,0 ®iĨm)

Chứng minh ph−ơng trình 3x +5x =6x+2 có hai nghiệm phân biệt tìm hai nghiệm

Bμi 3(2,0 điểm)

Tìm tất giá trị mà tổng

x

+ +

y

z

(

)

(

)

(

)

4 4

x y y

y z z

z x x

= −

⎧ ⎪

= −

⎨

⎪ = −

⎩

Bμi 4(2,0 ®iĨm)

Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, ngoại tiếp hình cầu bán kính r Gọi h độ dài đ−ờng cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC) Hỏi số tứ diện nh− thế, tứ diện có tỉ số h và r đạt giá trị lớn

Bμi 5(2,0 ®iĨm)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành, Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt SB, SC tứ tự M và N Đặt V1

=

VS AMKN

V

=

VS ABCD

1

3

V V

≤

-Hết -

Đề thức

(47)

Môn Toán

Thi gian lm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

-

Bi 1(2,0 điểm)

a) Giải bất phơng trình: 27x

x

+

b) Cho 2006 sè d−¬ng x x1, , ,2 x2006 có tổng 2050 Tìm giá trị lớn tæng

3 3

1 2006

S

=

x

+

x

+ +

x

Bμi 2 (2,0 ®iĨm)

a) Tính đạo hàm hàm số: f x

( )

x

b) Chứng minh bất đẳng thức: 3+ 3 + 33−3 3<

Bμi 3(2,0 điểm)

Chứng minh tam giác ta cã

4 cos cos cos

2 2

A B C ≤

Bμi (2,0 điểm)

Trong tứ diện ABCD cạnh DB DC vuông góc vối chân đờng vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC Chứng minh

(

)

(

)

6

AB+BC+CA ≤ AD+BD+CD

Với tứ diện xảy dấu đẳng thức?

Bμi 5(2,0 ®iĨm)

Cho hai đ−ờng trịn C(I; R) C'(I'; R') có tâm bán kính thay đổi nh−ng ln tiếp xúc với đ−ờng thẳng cố định thứ tự hai điểm cố định A A' Ta nói hai đ−ờng trịn cắt theo góc

α

a) Chøng minh hai đờng tròn (C) (C') cắt theo gãc

α

2 2

' ' 'cos

II =R +R ±RR

α

b) Tìm tập hợp giao điểm M cđa (C) vµ (C')

-HÕt -

Hä tên thí sinh: Số báo danh:

(48)

Môn Toán

-

Câu 1(1,5 điểm)

Giải phơng trình:

3

x

−

2

x

+ −

4 4

x

+ =

1 0

Giải hệ phơng trình:

3

x y y y

y z z z

z x x x

⎧ − = − +

⎪

− = − +

⎨

⎪ − = − +

⎩

Câu (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC, đờng tròn tâm I nội tiếptam giác tiếp xúc với cạnh BC D, kẻ đờng kính DM đờng tròn, đờng thẳng AM cắt cạnh BC N Chứng minh BN=CD

Câu 4(2,0 điểm)

Cho dÃy sè

{ }

xn

n

1

,

6

n n

n

x

x x

x

+

= =

+ víi mäi n nguyªn d−¬ng

1) Chứng minh dãy số có giới hạn tính giới hạn 2) Tìm số hạng tổng quát dãy số ó cho

Câu 5(1,0 điểm)

Tỡm tt c số nguyên d−ơng n cho bất đẳng thức

(

)

2 2

1

n

x

+

x

+ +

x

+

x

≥

x

+

x

+ +

x

tho¶ m·n víi mäi sè thùc x x1, ,2, xnx

Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi Gọi I, J lần l−ợt trung điểm cạnhk BC AD

1) Chøng minh r»ng IJ lµ đờng vuông góc chung BC AD 2) Tìm tập hợp điểm M cho tổng MA+MB+MC+MD nhá nhÊt

-HÕt -

Hä vµ tên thí sinh: Số báo danh:

Đề thức

(49)

Môn Toán

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang

- Câu 1 (2,0 điểm)

Giải bất phương trình

(

)

(

)

2

0

log 25

x

x x

− − +

≥

− −

Câu 2 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình

(

)

3

2

8

3

x x y y

x y

⎧ − = +

⎪ ⎨

− = +

⎪⎩

Câu (2,0 điểm)

Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với tạo O Trên tia Ox, Oy lấy điểm A, B không trùng với O cho diện tích tam giác OAB S cho trước Kẻ OH vng góc với AB

(

H

AB

)

O O

,

giác OHA OHB, đường thẳng

O O

1) Chứng minh tam giác OIJ tam giác cân

2) Xác định vị trí điểm A, B cho diện tích tam giác OIJ lớn

Câu (2,0 điểm)

Cho dãy số

( )

xn

x

xn

(

xn

)(

xn

)(

xn

)

dương, đặt

(

)

1

1,2,3

n n

i i

y n

x

=

= =

+

∑

yn

Câu (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC, từ điểm O nằm tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với cạnh SA, SB, SC cắt mặt (SBC), (SCA), (SAB) tương ứng điểm D, E, F

1) Chứng minh OD OE OF

SA + SB + SC =

2) Xác định vị trí điểm O để thể tích hình chóp O.DEF đạt giá trị lớn

-Hết -

Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh:

Ghi chó:C¸n bé coi thi không giải thích thêm