Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm xác suất để chọn ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 2 nữ.. Câu 4..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ CHỌN LỚP 12 NĂM 2012 – 2013 Thời gian: 120 phút
Câu (2,0đ) Giải phương trình
9
cos2x 3sin 2x 2(x )
Câu 2: (2,0đ) Khai triển biểu thức ( ) 1
n
P x x ta ( ) 0 1 2 n n
P x a a x a x a x Tìm hệ số a6 biết a0a1a2 71
Câu 3: (4,0đ)
1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số
2) Một tổ học sinh có nam nữ Tìm xác suất để chọn học sinh lao động cho có khơng q nữ
Câu (6,0đ)
1) Tính giới hạn sau: L =
3
1 lim
x
x x
x
2) Cho n
1 1
S
n 2n 2n
Tính limSn
3) Cho hàm số y x 3 x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm ( 1; 2)
M
Câu (2,0đ) Cho tứ diện ABCD Tìm M khơng gian cho
2 2
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu (4,0đ) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a (a0) tam giác BCD cân D với DC
5 a
1) Chứng minh AD BC
2) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính góc hai đường thẳng AG CD
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012
CÂU LỜI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ĐIỂM
1
PT cos2x 3sin 2x 5(cos x sinx) 3
2
(cos x sin x) 3(1 2sin x.cos x) 5(cos x sinx)
(cos x sinx)( 2cos x 4sin x 5)
cos x sinx ( 2cos x 4sin x VN)
t anx x k (k Z)
4
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
1 2 n 1.( ) 2.( )2 n.( )n
n n n n
x C C x C x C x
Khi a0 Cn0,
1 n.( 2)
a C , a2 Cn2.( 2) 2 a6 Cn6.( 2)
Mặt khác a0a1a2 71 Cn0 2Cn14Cn2 71
2
1 2 ( 1) 71 70 ( / )
5 ( )
n n n n n
n t m
n l
Vậy a6 C76.( 2) 448
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
3.1
Xét trường hợp
TH1: Chữ số đầu số Khi chữ số đằng sau có A75 cách chọn
TH2: chữ số khơng đứng vị trí đầu Khi có vị trí cho số Chữ số đầu có cách chọn chữ số cịn lại có A64 cách chọn Vậy TH2 có 5.6.A64cách chọn
Vật số số tự nhiên TMYC đầu là: A755.6.A64 13320
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
3.2
Phép thử: ‘‘lấy ngẫu nhiên sinh viên tổ” n C114 330 Gọi A: ‘‘Lấy HS có khơng q nữ”
Có trường hợp xảy
TH1: Lấy HS nam có C6
4 cách chọn
TH2: Lấy HS có nữ nam có C5
.C6
3 cách
TH3: Lấy HS có 2nữ nam có C52.C62 cách
n A C64C C51 63C C52 62 265
Vậy xác suất xuất biến cố A là:
265 53 330 66 n A
P A n
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
4.1 3
2 2
0 0
1 ( 1) ( 1)
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x
(3)2
2 2 2 2
0 3
3
lim lim
( 1) [( 1) ( 1) (1 ) ]
x x
x x x
x x x x x x x x
1
1
2
0,5đ
4.2
n
1 2n 1
S 2n 2n
2 n n
Suy : n
2n 1
limS lim
2 n
1,0đ
1,0đ
4.3
Đường thẳng d qua điểm M(- 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y k x ( 1) 2
Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình
sau có nghiệm:
2
3 ( 1)
3
x x k x
x k
Giải hệ tìm : x1,k 0
1
,
2
x k
Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là:
2
9 4 y
y x
0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
5
Gọi G trọng tâm tứ diện ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
4 ( )
4
MA MB MC MD MA MB MC MD
MG GA MG GB MG GC MG GD
MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD
MG GA GB GC GD
GA GB
2 2
GC GD
Dấu “=” xảy M G
Vậy: 2 2
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ M trọng
tâm tứ diện
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
6 1) CM : ADBC
Gọi M trung điểm BC, ta có :
ABC
nên AM BC.
BCD
cân nên DM BC
( )
BC AMD BC AD
(đpcm)
(4)N G
D C
B A
M
2) Tính góc AG CD
-Ta có MA MD BCnên góc mp (ABC) (BCD) góc MA MD Góc MA MD
300
-Trong MCDkẻ GN / /CD, nối AN.
Thì góc AG CD góc AG GN
*TH1 : Góc AMD 300.
-BCD cân D nên tính MD a
1
3
a
MG MD
-ABCđều cạnh a nên
3 a MA
-Áp dụng định lí cosin cho AMG, ta tính
13 a AG
-MCDcó
1
3
a
GN CD
ANCcó
0
; ; 60
3
a a
NC AC a C AN
7 13
ó ; ;
3 6
a a a
AGN c AN GN AG
Áp dụng hệ định lí cosin tính
5 cos
65 G
Gọi góc(AG CD; )
5 os
65
c
* TH2 : Góc AMD 1500
Hồn tồn tương tự tính : góc(AG CD; )
26 os
7
c
; )
AG CD
5 os
65
c os 26
7
c
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
(5)đề thi Thử chọn lớp 12 NĂM HọC 2012 -2013
(Thời gian 120 phút ,không kể thời gian giao )
Bài 1:(2 điểm)
1.cho hàm số y =
3
1
3
m x x
(Cm)
Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đờng thẳng 5x – y =
2 TÝnh giíi h¹n
2
3 lim
1
x
x x
Bài 2:(3 điểm) Giải phơng trình
1 2sin3x - cos2x = 8sinx.cos2x + 3
2 (x + 5)(2 – x) = x23x
Bài 3:(1 điểm) Một hộp đựng 11 thẻ ghi số từ đến 11 Rút ngẫu nhiên hộp
tấm thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ rút l s l
Bài 4:(1 điểm) Cho số dơng a,b,c thoả mÃn : a + b + c =
3
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = 3
1 1
3 3
a b b c c a
Bµi 5:(2 ®iÓm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1) B(3;2) đờng thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm C d cho diện tích tam giác ABC
3
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(2; 0) N(6; 4) Viết phơng trình đờng trịn (C) tiếp xúc với trục hoành M khoảng cách từ tâm (C) đến điểm N
Bài 6:(1 điểm)
Cho hỡnh chúp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A , góc ABC 300, SBC
tam giác cạnh a Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABC)
Xác định đoạn vng góc chung SB AC, tính cơsin góc mp(SAC) (ABC)
HÕt -( C¸n bé coi thi không giải thích thêm)
Đáp án
Cõu ỏp ỏn im
Bài 1 Ta cã y’ = x2 - mx
HÖ số góc tiếp tuyến điểm M k =
' ( 1) y
= + m Mặt khác tt song song với đt 5x y = nªn k =
+ m = m = 4
(6)2
2 2 3
3
1 3
3 ( 2)( 2)( 1)
lim lim
1 ( 1)( 2)( 1)
x x
x x x x x
x x x x x
=
2 3
( 1)( 1)
( 1)( 2)
lim
x
x x x
x x
=
3
( 1)( 1)
( 2)
lim
x
x x x
x
=
( 1)(1 1)
(2 2)
0,25 0,25 0,25 0,25
Bµi 2sin3x - cos2x = 8sinx.cos2x + 3
2sin3x – cos2x = 4sinx(1 + cos2x) + 3
2sin3x – cos2x = 4sinx + 2(sin3x- sinx) + 3 2sin2x – = 2sinx + 3
sin2x – sinx – = 0
sinx = -1 hc sinx = (lo¹i)
x = k2
(k Z)
0 5
2 (x + 5)(2 – x) = x23x -x2 – 3x + 10 = 3 x23x (1)
Đặt x23x = t (t 0)
(1) t2 +3t – 10 =
t = hc t = -5 (lo¹i)
Víi t = x23x= x2 + 3x = 4
x = ; x = -4
KL: Pt cã nghiƯm x =1 vµ x = -4
0.25
0.5 0.5 0.25
Bµi
Ta cã: = C116
§Ĩ tổng số ghi thẻ rút số lẻ số thẻ ghi số lẻ rút phải số lẻ
TH1 : thẻ ghi số lẻ thẻ ghi số chẵn : cã C C16 55 c¸ch
TH2 : thẻ ghi số lẻ thẻ ghi số chẵn : có C C63 53 cách
TH3 : thẻ ghi số lẻ thẻ ghi số chẵn : có
5
C C c¸ch
Cã C C16 55 + C C63 53+C C65 51 cách
Gọi A biến cố tổng số ghi thẻ rút số lẻ P(A) =
1 3 6
6 11
C C C C C C C
0.25
0.5 0.25
Bài áp dụng bđt Côsi cho số d¬ng ta cã
(x + y + z)(
3
1 1
(7)1 1 x y z x y z
(*)
¸p dơng (*) ta cã P = 3
1 1
3 3
a b b c c a
3 3
9
3 3
a b b c c a
áp dụng bđt Cô si cho sè d¬ng ta cã
3
3
3
3 1
( ).1.1 ( 2)
3
3 1
( ).1.1 ( 2)
3
3 1
( ).1.1 ( 2)
3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
3 3 3 3 1[4( ) 6] 3
3
a b b c c a a b c
3 P
Dấu = xảy chØ
3
3 3
a b c
a b b c c a
1 a b c
VËy minP =
0.25
0.25 0.25
0.25
Bài
1 AB =
Đờng th¼ng AB : x – 2y +1 =
Do C d nªn C(t;t + 2)
1
( ; )
2
ABC
S AB d C AB ( ; ) d C d
| 2( 2) 1|
5
t t
| t | 3
0 t t
Víi t = C(0;2) Víi t = -6 C(-6; -4)
0.25 0.25
0.25 0.25
2 Đt d qua M vuông góc với trơc hoµnh cã pt: x =2 Gäi I (a ;b) tâm (C)
Do (C) tiếp xúc với trục hoành M nên I thuộc d I(2;b) R = IM Mặt khác theo gt IN = (6 2) 2(4 b)2 5
2
(4 b)
4
4
b b
1 b b
Víi b = I( 2;1) vµ R = (C1) : (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 1
Víi b = I(2; 7) vµ R = (C2) : (x – 2)2 + ( y – 7)2 = 49
0.25
0.25 0.25 0.25 Bµi
(8)*Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SB
ta cã
( ) ( )
( ) ( ) ( )
SAB ABC AB
SAB ABC CA SAB CA AB
CA AM
(1) CA SA SAC
vuông A
xét tam giác vuông SAC BAC có SC = BC = a AC chung
BAC SAC
SA AB
ASB
cân A AM SB (2)
Từ (1) (2) suy AM đờng vng góc chung SB AC
*Ta cã CA (SAB) nªn CASA
Do
( ) ( )
( )
SAC ABC AC AB AC gt
SA AC
nên góc (SAC) (ABC) góc SAB Tính cosSAB
SA = AB = BC.cos300 = a
2
cos
2 SA AB SB SAB
SA AB
2 2
3
4
3
2
2
a a a a a
=
1
1
0.25
0.25
0.25