Ví dụ : Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho 3 số tự nhiên nào đó trong đó không có số nào chia hết cho 3 thì bao giờ ta cũng có hoặc là tổng cả ba số đó hoặc là tổng của hai số nào đó trong ba s[r]
(1)Hệ thống tập vận dụng dấu hiệu chia hết để giải có số lượng lớn phong phú nội dung thực tiễn
Chúng ta tìm hiểu qua ví dụ sau:
Dạng Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Thay a, b số 2007ab chữ số thích hợp để số đồng thời chia hết cho 2;
Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào số 2007ab ta 2007a0 Số chia hết tổng chữ số chia hết cho Vậy (2 + + + + a + 0) chia hết cho hay + a chia hết cho 9, suy a = a =
Vậy ta tìm số thoả mãn tốn 200700; 200790 Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức :
- A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2)
Từ bạn giải tốn :
Ví dụ 2: Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; dư
Nhận xét : A chia cho ; dư nên A - đồng thời chia hết cho ; Vậy ta giải toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải
Giải : Vì A chia cho ; dư nên A - chia hết cho ; Vậy chữ số tận A - phải 0, suy y = Vì A - chia hết x + + + + chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết x chia hết cho 9, x chữ số hàng cao nên x khác Từ x Thay x = ; y = vào A ta số 94591
ở toán A chia cho số có số dư Bây ta xét :
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư Tuy số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Như ta sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải tốn
Giải : Gọi số cần tìm A Vì A chia cho dư A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho Vậy chữ số tận A + Hiển nhiên A +1 khơng thể có chữ số Nếu A + có chữ số có dạng x0 Vì x0 chia hết x ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số có 60 chia hết cho
Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59
Do số cần tìm 59 Bài luyện tập :
Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; dư
Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số cho ta số có chữ số chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư
Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có chữ số khác nhau, chia số cho dư
Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; 5, biết đổi chõ chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn số khơng thay đổi
Dạng Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ : Một số nhân với kết 180 648 07? Hãy tìm số
Giải: Một số nhân với kết 180 648 07? nên số 180 648 07? chia hết cho Vì số 180 648 07? chia hết (1 + + + + + + + + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ? = Thay ? = vào số 180 648 07? ta 180 648 072 Số cần tìm là:
180 648 072 : = 20072008
Dạng Chứng tỏ số biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) số đó Ví dụ : Cho số tự nhiên A Người ta đổi chỗ chữ số A để số B gấp lần số A Chứng tỏ số B chia hết cho 27
Giải: Theo ta có: B = x A (1), suy B chia hết cho 3, tổng chữ số số A số B (vì người ta đổi chỗ chữ số) nên ta có A chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy B chia hết cho Nếu A chia hết cho (vì tổng chữ số chúng nhau) (3) Từ (1) và(3), suy B chia hết cho 27
Dạng Các toán thay chữ số
(2)HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006
Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = x HALONG Như vế trái số chia hết cho Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + + + + 6) = x T + + = x (T + 2) + không chia hết cho 3, suy TTT2006 không chia hết cho Điều chứng tỏ tìm chữ số thoả mãn tốn
Dạng Các tốn có lời văn
Ví dụ : Hai bạn An Khang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan An đưa cho cô bán hàng tờ tờ 50 000 đồng trả lại 72 000đồng Khang nói: “Cơ tính sai rồi” Bạn cho biết Khang nói hay sai ? Giải thích ?
Giải: Vì số 18 số 12 chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo phải số chia hết cho Vì An đưa cho bán hàng tờ 50 000đồng trả lại 72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo là:
4 x 50 000 – 72 000 = 128 000 (đồng)
Vì số 128 000 khơng chia hết cho 3, nên bạn Khang nói “Cơ tính sai rồi” Dạng Các tốn hình học
Ví dụ : Có 10 mẩu que dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, … , 8cm, 9cm, 10cm Hỏi dùng 10 mẩu que để xếp thành hình tam giác khơng ?
Giải: Một hình tam giác có cạnh (a) số tự nhiên chu vi (P) hình phải số chia hết cho P = a x
Tổng độ dài 10 mẩu que là: + + + + + + + + + 10 = 55 (cm)
Vì 55 số không chia hết xếp 10 mẩu que thành hình tam giác Dạng Trị chơi – Tốn vui
Ví dụ : Khi hỏi: “Số có bốn chữ số mà ta đọc theo thứ tự từ phải sang trái tăng lên lần ? ” Một học sinh giỏi toán trả lời tức khắc Bạn đoán xem bạn trả lời ? Giải: Bạn trả lời là: “Khơng có số vậy” Ta giải thích điều sau: Giả sử số phải tìm , theo ta có: x = Suy a a trở lên x cho số có chữ số Mặt khác, tích x số chẵn, tức a phải chẵn Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số thoả mãn toán
(Kết luận khơng với số có chữ số mà với số có chữ số tuỳ ý) Dạng Các tốn khác
Ví dụ : Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho số tự nhiên khơng có số chia hết cho ta có tổng ba số tổng hai số ba số cho phải chia hết cho
Giải: Một số tự nhiên không chia hết cho chia cho có số dư - Nếu ba số chia cho có số dư tổng ba số chia hết cho