Cho tam giác ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với CD; đường nay cắt đường thẳng CB tại E , Chứng minh rằng BD = EC.. Cho h[r]
(1)TỨ GIÁC
1. Cho hình vng ABCD Trên tia đối BA lấy điểm E, tia đối CB lấy điểm F cho EA = FC
a Chứng minh tam giác FED vuông cân
b Gọi O giao điểm đường chéo AC BD, gọi I Trung điểm FE Chứng minh O,C,I thẳng hàng
2. Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB),Đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ có chứa AH vẽ hình vng AHKE
a Chứng minh B > 450.
b Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh tam giác ABP vuông cân
c Gọi Q đỉnh thứ tư Cho hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H,I,E thẳng hàng
d Chứng minh HE//QK
3. Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm tùy ý Đường thẳng vng góc với AM M cắt CD E AB F Chứng minh MA = FE
4. Cho hình thang vng ABCD có đáy CD = cm,AB = cm,cạnh xiên BC = 13 cm Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = BA Đường thẳng vng góc với BC M cắt AD N
a Chứng minh : điểm N nằm tia phân giác góc ABM b Chứng minh : BC2 = BN2 + ND2 + DC2
c Tính diện tích hình thang ABCD
5. Cho hình thang ABCD có độ dài đáy AB = cm CD = 15 cm, độ dài đường chéo AC = 16 cm, BD = 12 cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD E
a Chứng minh ACE tam giác vuông A b Tính diện tích hình thang ABCD
6. Ở bên ngồi hình bình hành ABCD vẽ hình vuông ABEF ADGH Chứng minh : a AC = FH; AC FH
b CEG tam giác vuông cân
7. Cho tam giác ABC cân A với A góc nhọn; CD đường phân giác góc ACB, Qua D kẻ đường thẳng vng góc với CD; đường cắt đường thẳng CB E , Chứng minh BD = EC
8. Cho hình vng ABCD cạnh a điểm M di động cạnh AB; N di động cạnh AD cho chu vi tam giác AMN không đổi 2a.Xác định vị trí MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
9. Cho tam giác ABC vng cân A.Lấy điểm M tùy ý cạnh AC Kẻ tia Ax vng góc với BM Gọi H giao điểm Ax với BC K điểm đối xứngvới C qua H Kẻ tia Ky vng góc với BM Gọi I giao điểm Ky với AB Tính AIM
10.Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M,N cho DN =BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Chứng minh :
a Tứ giác ANFM hình vng
b Điểm F nằm tia phân giác góc MCN góc FCA = 900
c Ba điểm B,O,D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm FA)
11.Cho tam giác ABC có góc A = 300.Dựng bên tam giác BCD Chứng minh AD2 = AB2 + AC2
12.Cho tam giác ABC cân A có H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh AO BI
13.Cho tam giác ABC cân A, lấy điểm E K tia AB AC cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh EK > BC
14.Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AC = 6cm; BDC450 O giao điểm 2 đường chéo.Tính diện tích hình thang ABCD
(2)16.Cho tam giác ABC có BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC
b Gọi CD dường phân giác tam giác ACH Chứng minh tam giác BCD cân Chứng minh BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2
25.Cho tam giác ABC có góc nhọn M điểm nằm cạnh BC Gọi E F hình chiếu B C xuống đường thẳng AM Xác định vị trí điểm M BC để tống BE + CF lớn
26.Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D cho BD = DA Trên CB lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD Chứng minh FD = FC
(3)TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG - ĐỊNH LÍ TA LÉT
28.Cho hình bình hành ABCD (AC>BD) Vẽ CE AB FC AD Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC2
29.Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M,N Trung điểm AB BC Các đường thẳng DN CM cắt I Chứng minh :
a tam giác CIN vng
b Tính diện tích tam giác CIN theo a c Tam giác AID cân
32.Cho hình thang ABCD (BC//AD) với ABCACD Tính độ dài đường chéo AC, biết đáy BC AD theo thứ tự có độ dài 12m, 27m
33.Cho tam giác ABC , M Trung điểm cạnh BC Từ điểm E cạnh BC ta kẻ Ex//AM Ex cắt tia CA F tia BA G.Chứng minh :FE + EG = AM
34. Cho hình bình hành ABCD ,trên Đường chéo AC lấy I Tia DI cắt đường thẳng AB M,cắt đường thẳng BC N
a Chứng minh : AM AB =
DM DN =
CB CN b.Chứng minh ID2= IM.IN
35.Cho tam giác ABC , đường phân giác C cắt cạnh AB D Chứng minh CD2 < CA.CB
36.Cho tam giác ABC , BD CE đường cao tam giác ABC DF EG đường cao tam giác ADE Chứng minh
a Hai tam giác ADE ABC đồng dạng b FG//BC
37.Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ C đến đường thẳng AB AD; gọi G chân dường vng góc kẻ từ B đến AC
a Chứng minh tam giác CBG ACF đồng dạng b Chứng minh : AB.AE + AD AF = AC2
38.Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai Đường cao BD CE cắt H a So sánh BAH CAH
b So sánh đoạn thẳng BD CE
c Chứng minh tam giác ADE tam giác ABC đồng dạng
39.Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD M cắt CD I Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD K Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC P Chứng minh MP//DC 40 Lấy điểm O tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB P,Q,R. Chứng minh : OAAP +OB
BQ + OC CR=2
41.Cho đoạn thẳng AB , gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Lấy C Ax, D By cho góc COD = 900 .
a Chứng minh tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO b Chứng minh CD = AC + BD
c Kẻ OM vng góc CD M, gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh MN//AC
43.Cho tam giác ABC với AB = cm,AC = cm BC = Gọi G trọng tâm tam giác ABC , O giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh GO//AC 44.Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm M cho BM = , tia đối tia CD
lấy N cho CN = I giao điểm tia AM BN Chứng minh điểm A,B,I,C,D cách điểm
45.Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q AB vẽ đường thẳng d song song với CM, Đường thẳng d cắt BC R cắt AC P Chứng minh QA.QB = QP.QR tam giác ABC vuông C
49.Cho tam giác ABC có AB = 4,BC = 6,CA = Các đường phân giác AD BE cắt I
(4)b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG//BC suy độ dài IG 50.Cho ABC có Â = 300 Dựng bên BCD Chứng minh AD2 = AB2 + AC2.(Bài
18-giải theo cách khác)
51.Cho hình vng ABCD , BC lấy M cho : BM=1
3BC Trên tia đối tia CD lấy điểm N cho CN=1
2BC Cạnh AM cắt BN I CI cắt AB K Gọi H hình chiếu M AC Chứng minh K,M,H thẳng hàng
52.Cho hình thang ABCD có đáy AB = 2a; CD = a Hãy xác định vị trí điểm M đường thẳng CD cho Đường thẳng AM chia hình thang thành phần có diện tích 53.Cho tam giác ABC (BC<AB) Từ C vẽ dường vng góc với phân giác BE F cắt AB
tại K; vẽ trung tuyến BD cắt CK G Chứng minh DF qua trung điểm GE 54.Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 Gọi M điểm thuộc cạnh AD Đường thẳng CM
cắt đường thẳng AB N a Chứng minh AB2 = DM.BN. b BM cắt DN P Tính BPD
55.Cho ABC,điểm M nằm cạnh BC,Chứng minh : MA.BC < MC.AB + MB.AC
56.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M,N lầnlượt Trung điểm BO,AO lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh :
a BABF +BC BE=4 b BE+AK≥BC
57.Cho tam giác ABC (AB=BC) Trên cạnh AC chọn điểm K nằm A C Trên tia đối tia CA lấy E cho : CE = AK Chứng minh :BK + BE > BA + BC
58.Cho tam giác ABC Gọi M điểm nằm tam giác Chứng minh tống khoảng cách từ M đến cạnh tam giác có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí tam giác
59.Cho tam giác ABC , qua điểm O tùy ý tam giác , ta kẻ đường AO,BO,CO cắt BC,CN,AB M,N, P Chứng minh : OM
AM+ ON BN +
OP CP=1 61.Cho ABC có đường cao BD CE Chứng minh AED=ACB
62.Cho ABC có đường phân giác AD.Chứng minh : AD2= AB.AC - DB.DC
63.Cho tam giác ABC(A < 900 ) Bên ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG. Dựng hình bình hành AEIG Chứng minh
a Δ ABC = Δ GIA CI = BF b Ba đường thẳng AI,BF,CD đồng quy
64.Cho tam giác ABC , gọi D Trung điểm AB Trên cạnhAC lấy điểm E cho AE = 2EC Gọi O giao điểm CD BE Chứng minh
a Diện tích tam giác BOC = Diện tích tam giác AOC b BO = 3EO
65.Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AC E cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C F Gọi S giao điểm AC BF Chứng minh SC2= SE.SA
66.Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M K cho AM = CK Trên AD lấy điểm P tùy ý Đoạn thẳng MK cắt PB PC E F Chứng minh SFEP = SBME + SCKF
67.Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B thuộc đoạn AC Tia Bx AC Trên tia Bx lấy điểm D E cho BD = BA BE = BC
a Chứng minh CD = AE CD AE
b Gọi M, N Trung điểm AE, CD Gọi I Trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi B di chuyển đoạn AC c Tìm vị trí điểm B đoạn AC cho tổng diện tích tam giác ABE BCD có
(5)68.Cho hình vng ABCD.Trên cạnh AB lấy M.Vẽ BH vng góc với CM.Nối DH Vẽ HN DH Chứng minh :
a DHC NHB đồng dạng b AM.NB = NC.MB
69.Cho hình bình hành ABCD Gọi M,N Trung điểm BC,AD, Gọi K điểm nằm C D Gọi P,Q theo thứ tự điểm đổi xứng K qua tâm M N
a Chứng minh Q,P,A,B thẳng hàng
b Gọi G giao điểm PN QM Chứng minh GK qua điểm I cố định K thay đổi đoạn CD
70.Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác ta vẽ hình vng ABDE ACGH
a Chứng minh BCHE hình thang cân
b Kẻ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh đường thẳng AK, DE, GH đồng quy
71.Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC, cắt BD P đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q.Chứng minh PQ//CD
72 Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 Chứng minh Hai đường chéo AC BD cắt O, biết AOB = 300.Tính diện tích tứ giác ABCD
73.Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a Chứng minh tam giác ADI cân
b Chứng minh AD.BD = BI.DC