Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướng được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫn đến các em không giải được bài [r]
(1)Hướng dẫn học sinh lớp sử dụng kiến thức hình học vào giải tập đại số A - ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân
Ở trường THCS, dạy học Toán, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn
Trong chương trình Tốn THCS tốn đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toán, người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tốn loại Do đó, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống
(2)Trong tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tơi tốn sau: Cho phương trình : x2 – (m – 1)x + 2m – = 0.
Tìm m để nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật Khi gặp toán này, nhiều em lúng túng, bối rối không định hướng cho phải giải tốn hướng suy nghĩ nào, dẫn đến em không giải tốn trên, có phải học sinh gặp toán đại số nghĩ đến kiến thức, công cụ môn đại số hay không? Nhưng ta thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước hình chữ nhật số dương nên câu hỏi tốn hiểu là: Tìm m để phương trình có nghiệm dương Với câu hỏi chắn tốn trở thành quen thuộc học sinh Như cần lưu tâm đến kiến thức nhỏ hình học tốn việc nhẹ nhàng Khơng toán mà thực tế nhiều toán khác, học sinh gặp bỡ ngỡ Nhưng em nhớ đến vận dụng kiến thức nhỏ hình học tốn trở nên dễ dàng Vì lý qua thời gian công tác giảng dạy ,tôi đúc rút kinh nghiệm “Khai thác kiến thức hình học vào giải số tập đại số”
Qua nhiều biện pháp điều tra việc giải toán đại số kiến thức hình học hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau:
Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu-
SL % SL % SL % SL %
(3)PHẦN II: NỘI DUNG
I.Nhận thức cũ thực trạng dạy học môn đại số nhà trường: - Nhận thức cũ:
Đa số học sinh giải tập đại số thông thường hay dùng kiến thức đại số làm công cụ.Trong số tập đại số cần lưu ý đến kiến thức hình học giải
- Việc làm cũ:
Khi gặp toán đại số học sinh thường sử dụng kiến thức đại số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều tốn học sinh gặp nhiều khó khăn, chí khơng giải
- Giải pháp mới:
Để giải dễ dàng gặp dạng tốn học sinh cần biết khai thác, vận dụng kiến hình học , sau xin giới thiệu số ví dụ
II Các giải pháp:
1 Sử dụng điều kiện điểm nằm điểm lại.
- Ta biết điểm M nằm hai điểm A B MA + MB = AB (tức A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm A B MA+ MB AB (tức A, B, M
khơng thẳng hàng) Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
(4)Ta có AB =
−3−3¿2
−1−2¿¯2+¿ ¿
√¿
= √45 = √5
AC =
5−3¿2
3−2¿2+¿ ¿
√¿
= √5
BC =
5+3¿2
3+1¿2+¿ ¿
√¿
= √80 = √5
Ta có : AB + AC = √5 + √5 =4 √5 =BC Vậy A, B, C thẳng hàng
Nhận xét: Nhiều em học sinh gặp ví dụ bỡ ngỡ, lúng túng không biết chứng minh theo cách Nhưng hình học học ta biết điểm A, B, C thẳng hàng xảy ba trường hợp:
AC = AB + BC AB = AC + BC
BC = AB+ AC
Từ kiến thức hình học dẫn ta suy nghĩ theo hướng tính độ lớn đoạn thẳng so sánh tổng đoạn thẳng với đoạn lại Như ta có lời giải thật ngắn gọn
Từ ví dụ ta chứng minh điểm khơng thẳng hàng ví dụ sau: Ví dụ 2:
Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng
(5)MN =
5−2¿2
2−1¿2+¿ ¿
√¿
= √10
NP =
2−1¿2
1−0¿2+¿ ¿
√¿
= √2
MP =
5−1¿2
2−0¿2+¿ ¿
√¿
= √20
Từ ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại nên M, N, P khơng thẳng hàng
Và ta cần thay đổi chút có tốn ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2) Chứng minh M trung điểm AB
Lời giải.
Ta có: MA = (1 4) 2 ( 2)2 = 45 = MB = (7 4) 2(8 2) = 45= AB = (1 7) 2 ( 8)2 = 180 =
Ta có: + = hay MA + MB = AB Vậy điểm M nằm A B
Ta lại có: MA = MB = nên M trung điểm AB
Như cần tính độ dài đoạn thẳng sử dụng điều kiện điểm nằm hai điểm lại ta giải nhiều toán
(6)- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC
- Nếu cho điểm A, B, C mặt phẳng toạ độ ta ln có AB AC + BC
Bây ta áp dụng kiến thức hình học để giải số tốn Ví dụ 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh:
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
(Đề thi chọn hsg toán thành phố HCM năm học 1999-2000)
Lời giải:
Đặt x = a + b - c y = b + c - a z = c + a - b
Vì a, b, c cạnh tam giác nên x, y, z > Ta có: b = x+2y , c = y+2z , a = z+2x
Bất đẳng thức tương đương với: xyz ( x+2y )( y2+z )( z+2x )
Mà ( x+2y )( y+2z )( z+2x ) ( 2√2xy )( 2√2yz )( 2√2zx ) = xyz (áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Vậy: xyz ( x+2y )( y2+z )( z+2x ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (đpcm)
Ở để áp dụng bất đẳng thức Cơsi phải lý luận để x, y , z > mà điều có a, b, c cạnh tam giác
Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
(7)(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003)
Lời giải:
= (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)]
Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, nên: a – (b + c) < b – (a + c) < c – (a + b) < Vì vậy:
= a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < nên phương trình vơ nghiệm
Nhận xét : Bài sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác mới chứng minh <
Ví dụ 6: Với a, b, c, d số dương , chứng minh:
√
a2+b2 +√
c2+d2b+d¿2
a+c¿2+¿ ¿
√¿
Lời giải: y Chọn hệ trục tọa độ xOy Trên trục Ox chiều dương, Q B
lấy ON = a, MN = c trục Oy chiều dương lấy d OP = b, PQ = d Ta có: P A
OA =
√
a2+b2 b AB =√
c2+d2OB =
b+d¿2
a+c¿2+¿ ¿
√¿
(8)Ta có: OA + AB OB Nên
√
a2+b2 +√
c2+d2b+d¿2
a+c¿2+¿ ¿
√¿
(Điều phải chứng minh)
Nhận xét: Ở ví dụ ta biết với điểm A, B, C AB AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức
Ta mở rộng bất đẳng thức thành bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tương tự
Với x1, x2…xn y1, y2, …yn số dương ta ln có bất đẳng thức sau:
x1+y1¿2 ¿ √¿
+ x2+y2¿
2 ¿ √¿
+…+ xn+yn¿
2 ¿ √¿
y1+y2+ +yn¿ x1+x2+ +xn¿2+¿
¿
√¿
3 Sử dụng định lý Pitago.
- Cho tam giác ABC vuông A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)
- Nếu BC2 = AB2 + AC2 tam giác ABC vuông A( định lý đảo định lý Pitago)
Vận dụng kiến thức vào ta có số tập sau Ví dụ 7: Cho đường thẳng:
y = 3x- ( d1)
y = −31 x + (d2 ) Chứng minh đường thẳng vng góc với (d2)
(9)Là tam giác vng Từ ta xác định tọa độ A, B, C A B (d1)
sau tính độ dài AB, AC, BC áp dụng định lý đảo định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông
Lời giải:
Gọi A(x0;y0) giao điểm đường thẳng ta có: y0 = 3x0 - y0 = −31 x0 + Giải ta được: x0 = y0 = Vậy A (3;7)
Trên (d2) lấy C (6;6), (d1) lấy điểm B (0;-2): AC =
6−7¿2
6−3¿2+¿ ¿
√¿
= √10
AB =
−2−7¿2
0−3¿2+¿ ¿
√¿
= √90
BC =
−2−6¿2
0−6¿2+¿ ¿
√¿
= √100
Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông A (Định lý đảo định lý Pitago), nên đường thẳng vng góc với
Nhờ kiến thức mà ta chứng minh đường thẳng y=ax+b vng góc với đường thẳng y = cx + d ac =-1 nguợc lại ví dụ sau:
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a0) (d1) y = cx +d (c0) (d2) Chứng minh rằng: Nếu (d1) vng góc với (d2) ac = -1
(10)Ta có y = ax + b song song trùng với y = ax (d3) y = cx + d song song trùng với y = cx (d4)
Ta có (d1) vng góc với (d2) ta có (d3) vng góc với (d4) (d3)
A
O B (d4)
Gọi O giao điểm (d3) (d4) dễ dàng ta tìm O (0; 0) Trên (d3) lấy điểm khác O, ví dụ A(1; a)
Trên (d4) lấy điểm khác O,ví dụ B(1; c)
Vì (d3) vng góc với (d4) nên tam giác OAB vuông O, theo định lý Pitago ta có OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + + c2 + = (a – c)2 Từ ta có ac = -1. Vậy: (d1) vng góc với (d2) ac = -1 (ĐPCM)
4 Vận dụng định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình học để giải.
Đó vận dụng trực tiếp định nghĩa dấu hiệu để giải tập đại số số ví dụ sau:
Ví dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4). Chứng minh điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông cân
(11)AB =
7−1¿2
5−2¿2+¿ ¿
√¿
= √5
AC =
4−1¿2
−4−2¿2+¿ ¿
√¿
= √5
BC =
4−7¿2
−4−5¿2+¿ ¿
√¿
= √90
Ta có: AB = AC = √5 nên tam giác ABC cân A
Ta lại có: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông A( định lý đảo định lý Pitago)
Vậy tam giác ABC tam giác vuông cân A
Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, tam giác vng có cạnh nên ta tính độ dài cạnh để chứng minh tam giác cân sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác vuông
Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2) Chứng minh ABCD hình bình hành
Lời giải:
Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định điểm A, B, C, D Ta có:
AB =
2+1¿2
4−2¿2+¿ ¿
√¿
= √13
CD =
−1−2¿2
−4+2¿2+¿ ¿
√¿
(12)AD =
2−2¿2
−2−4¿2+¿ ¿
√¿
=
CB =
−1+1¿2
−4−2¿2+¿ ¿
√¿
=
Ta có: AB = CD = √13 ; AD = CB = nên ABCD hình bình hành
Như để giải ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành Trong dấu hiệu nhận biết hình bình hành, ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối hiệu Vì ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 11: Hai vật chuyển động đường trịn, đường kính 20cm Xuất phát lúc, điểm Nếu chuyển động chiều sau 20s chúng gặp nhau, chuyển động ngược chiều sau 4s chúng gặp Tính vận tốc vật
( Bài tập 37 trang 24 toán tập II)
Lời giải:
Độ dài đường tròn C = π d 3,14 x 20 62,8(cm.) Gọi x(cm/s), y(cm/s) vận tốc vật (x, y > 0)
Sau 20s chúng chuyển động chiều gặp quãng đường vật nhanh lớn quãng đường vật cịn lại độ dài đường trịn Nên ta có: 20x – 20y = 62,8
Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều gặp tổng quảng đường vật độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 62,8
(13)❑⃗ (thỏa mãn điều kiện) 4x + 4y = 62,8 y = 6,28
Vậy vận tốc vật thứ 9,42 cm/s
Vận tốc vật thứ 6,28 cm/s (Tính gần đúng)
Như để giải ta phải sử dụng kiến thức hình học độ dài đường trịn
Ví dụ 12: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = Tìm m để nghiệm của phương trình kích thước hình chữ nhật
(Trích ý c đề thi KSCL lớp huyện Yên Thành năm học 2004 – 2005)
Lời giải
= (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + > ∀ m Nên phương trình ln có nghiệm phân biệt
Để nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật phương trình phải có nghiệm dương
Hay x1+x2= 2(m-1) >0 m >1 ❑⃗
x1x2 = 2m – >0 m >3,5 Vậy với m > 3,5 nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật
(14)hình chữ nhật số dương tốn đơn giản Như ta cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương Từ ví dụ thay đổi chút ta có tốn hóc búa hơn, ví dụ 13 đây: 5 Bài tập tổng hợp.
Đó vận dụng nhiều kiến thức hình học lúc định nghĩa, dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago số tập sau:
Ví dụ 13: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0 Tìm m để hai nghiệm của phương trình kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo
√34
Lời giải:
Tương tự lời giải trên, để hai nghiệm kích thước hình chữ nhật m > 3,5
Để hai nghiệm kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo
√34
thì x12 + x22 = 34
⇔ ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34
⇔ [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34
⇔ m2 – 3m – = 0
giải phương trình ta có: m1 = -1 m2 =
Đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = thỏa mãn điều kiện
Vậy với m = hai nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo √34
(15)Ví dụ 14: Cho a > c, b > c, c > Chứng minh rằng:
( )
c a c + c b c( ) ab C (Đề thi HSG lớp TP HCM năm học 2002 – 2003)
Lời giải: a b c
A H B
a c b c Ta có: a – c > 0; b – c >
Đặt AC = a ; BC = b ; CH = c AH = a c và BH = b c Ta có: 2(SACH+ SBCH) = 2SABC mà 2SABC ab
Do đó: c a c + c b c ab
Nên: c a c( ) + c b c( ) ab (điều phải chứng minh)
Như toán ta sử dụng định lý Pitago để khẳng định tồn cách dựng hình Ngồi ta cịn sử dụng đến cơng thức tính diện tích tam giác
Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = (d) (trong m tham số) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn
Lời giải y A H
(16)B O x
Gọi A giao điểm (d) với trục tung Ta cho x = y=
1
m nên OA =
1 m .
Gọi B giao điểm (d) với trục hoành Ta cho y = x =
1
m nên OB =
1 m .
Khoảng cách từ gốc đến (d) OH Ta có tam giác OAB tam giác vuông với đường cao OH nên ta có:
2
1
OH =
1
OA +
1
OB hay
1
OH = (m-1)2
+ (m-2)2
=
2(m-3 2)2
+
1
Nên ta có OH2
Vậy giá trị lớn cuả OH là: OH = xảy m=
3
Như ta phải sử dụng kiến thức hình học sử dụng hệ thức tam giác vuông
III.Kết đạt được:
Qua trình cơng tác giảng dạy có áp dụng “ Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số” thực đối tượng lớp 9A , cịn lớp 9B khơng áp dụng
Kết thu sau áp dụng đề tài thể bảng sau:
Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu-
(17)9AB 72 06 8,3 18 25,0 48 66,7 0
PHẦN III.: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Như giải số toán đại số ta biết khai thác vận dụng hợp lý số kiến thức hình học cơng việc giải toán đơn giản hơn, mang lại hiệu cao Vì giải tốn cần nghiên cứu kỹ toán cần phải kết hợp nhuần nhuyễn hình học đại số để giải Trong dạy học cần lưu ý cho học sinh biết khai thác vận dụng kiến thức hình học để giải tập đại số ngược lại
Ở giới thiệu giải số tập đại số có kết hợp kiến thức hình học, tất nhiên cịn nhiều dạng toán giải cần kết hợp kiến thức hình học để giải
Đề tài kinh nghiệm đúc rút trình giảng dạy, mong góp ý Hội đồng khoa học cấp để phát triển hồn thiện thêm
TÀI LIỆU THAM KHẢO. Sgk toán tập
2 Nâng cao chuyên đề đại số ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dương Thụy)
3 Tuyển tập đề thi mơn tốn THCS (Vũ Dương Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Quân)
(18)