.lim ;lim.[r]
(1)Giới hạn hàm số
http://violet.vn/n2chanoi
I Các định nghĩa giới hạn:
1 Giới hạn hàm số:
l ( ) , : ( )
x aim f x Aε δ x a δ f x A ε hc lx aim f x ( )A xn a f x( ) A
2 Giới hạn bên trái:
l ( ) , : ( ; ) ( )
x aim f x Aε δ 0 x a δ a f x A ε Giíi hạn bên phải:
l ( ) , : ( ; ) ( )
x a
im f x Aε δ 0 x a a δ f x A ε
4 Giới hạn vô cực:
l ( ) , : ( )
xim f x Aε M 0 x M f x A ε
l ( ) , : ( )
x im f x Aε M 0 x M f x A ε
l ( ) , : ( )
x im f x Aε M 0 x M f x A Giới hạn vô cực (không tồn t¹i giíi h¹n):
l ( ) , : ( )
x aim f x M 0δ x a δ f x M Quan hệ giới hạn phải, giới hạn trái với giới hạn hàm số:
l ( ) l ( ) l ( )
x aim f x A x aim f x x aim f x A II Các định lí giới hạn:
Giả sử lx aim f x ( )A lx aim g x ( )B, đó:
1 lx aim k f x . ( )g x( ) k im f x.lx a ( )k im g x.lx a ( )kA kB lx aim f x g x ( ) ( ) lx aim f x ( ).lx aim g x ( )A B.
3
l ( )
( ) l
( ) l ( )
x a x a
x a
im f x
f x A
im B 0
g x im g x B
4 Nguyên lý giới hạn kẹp:
Nu f x( )h x( )g x( ) mà lx aim f x ( ) lx aim g x ( )A lxim h xa ( )A Các giới hạn đặc biệt (học sinh phải học thuộc giới hạn hay dùng) :
sin
lim lim
ln( )
lim lim lim
1 x
x o x o
x x
x o x o x o
x
1 1 x e
x
1 e 1 1 x
1 e 1 1
x x x
6 Chú ý: có dạng vơ định:
; ; ; .
0
0 0
(2)+ Nếu C số l
o
xim C Cx +lx n
1
im 0
x + Nếu f(x) hàm số sơ cấp xoTXĐ th×
l ( ) ( )
o o
xim f xx f x Bài Tìm giới hạn sau:
sin
)l )l
) l ) l
2
3 2
4 3 2
x 2 x 1
πx
2 x x
2 6
2005
x 1 x 1
2 x 4 x 9 x 3 a im x 5 x 3x 2 b im
x 3 3x 5 x 4
c im 3x 8 d im x x 1 x 2
Dạng 2: Khử dạng vơ định
0 0 Lo¹i 1: o o P(x):®a thøc,P(x víi Q(x):®a thøc,Q(x ) ( ) lim ( ) ) o x x 0 P x I
Q x 0
Ph ơng pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o
o 1 1 1
x x x x o 1 x x 1 1
x x P x P x P x P x
I
Q x x x Q x Q x Q x
Bài Tìm giới hạn:
)l ) l
)l )l
3 2 3
2 1 2
x 3 x
2
3 2
4 3 2
4 3 2 3 2
x 1 x 1
x 4 x 4 x 3 8 x 1
a im b im
x 3 x 6 x 5 x 1
2 x 4 x 4 2 x 2 2 x 5 x 3x x 1
c im d im
3x 8 x 6 x 1 x 2 x 2 2 x 2
Lo¹i 2: o o f(x )=g(x víi
f(x),g(x) chứa thức đồng bậc ) ( ) lim ( ) o x x 0 f x I g x Ph
ơng pháp: Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử mẫu nhằm trục nhân tử x x o cn thc
Bài Tìm giới hạn sau:
) lim ) lim
) lim ) lim
2
2
x 0 x 2
3 2
2
x 1 x 0
1 x 1 x 7 3
a b
x x 4
x 1 1 x 1
c d
1 x x 2
Lo¹i 3: o o f(x )=g(x víi
f(x) chứa thức kh"ng đồng bậc ) ( ) lim ( ) o x x 0 f x I g x Ph ơng pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
o o
o o o
m n m n
o o
x x x x
o
m n m n
x x x x x x
u x v x u x v x
f x
I c
g x g x g x 0
u x c v x c u x c v x c
g x g x g x
Bài Tìm giới hạn sau:
) lim 3 2 ) lim 3 ) lim 23
x 1 x 0 x 0
x 7 x 3 2 x 1 8 x 1 x 1 3x
a b c
x
x 3x 2 x
(3)Dạng 3: Khử dạng vô định
Ph
ơng pháp: Xét
P(x):đa thøc
với hoặc hàm đại số
Q(x):®a thøc ( )
lim ( ) o
x x
P x I
Q x
hoặc hàm đại số Gọi
bậc P(x)=p, Q(x)=q m=Min(p,q), chia tử mẫu cho xm ta có kết luận sau: + Nếu pq tồn gii hn
+ Nếu p>q không tồn giới hạn ài 5.Tìm giới hạn sau:
) lim ) lim ) lim
( ) ( ) ( ) ( )
) lim
2
3 2 5 3 2
4 3 2 5 4 2 2
x x x
100 100 100 100
100 10 10
x
2 x x x 2 2 x 3x 4 x 1 6 x 7 x 4 x 3 3x
a b c
2 x 1
x 5 x 2 x x 3 8 x 5 x 2 x 1 4 x x 1 x 2 x 99 x 100
d
x 10 x 100
Dạng 4: Khử dạng vô định
Ph
ơng pháp: Biến đổi đa v dng
Bài Tìm giíi h¹n sau:
) lim ) lim ( )( )
) lim ( )( )( ) ( )( )( )( )
) lim ,
x x
3 4
x
m n
x 1
a x x x b x a x b x c x x x 7 x x x x 4
m n
d m n Z
1 x 1 x
Dạng 5: Khử dạng vô định .0
Ph
ơng pháp: Biến đổi đa dạng
Bài Tìm giới hạn sau:
) lim ) lim
) lim
2
2 3 3 3
x x
2 2
x
a x x 1 x b x x 1 x 1 c x x 2 x x x x
Dạng 6: Khử dạng vô định hàm lợng giác Ph
(4)sin
.lim ;lim
sin
sin sin sin
.lim lim .lim
sin sin sin
.lim lim . lim .lim
sin sin sin
sin
.lim lim . .
.lim
x o x o
x o x o x o
x o x o x o x o
x o x o
x o
x x
1 1 1
x x
ax ax ax
2 a a a
x ax ax
ax ax bx ax bx b
3
bx ax bx ax bx a
tgax a ax
4 a
x cosx ax
tg 5
sin sin
lim . ;lim limcos
sin
x o x o x o
tgax
ax ax ax a ax ax a
bx tgbx
tgbx bx b tgbx bx b
bx
Bài Tìm giới hạn sau:
cos sin cos sin
) lim ) lim ) lim
sin cos
sin sin sin sin cos
) lim ) lim
sin cos
cos cos cos
) lim ) lim
sin( )
2 3
x 0 x 0 x 0
π
x 0 x
3
2
x 0 x 0
1 ax 1 ax ax tgax ax
a b c
1 bx bx
x x
x x 3 x
d e
x x
π cosx
1 x 2 x nx 2
f g
tgx x
http://violet.vn/n2chanoi