Đang tải... (xem toàn văn)
TÝnh nghiÖm kÐp (nÕu cã) cña pt vµ gi¸.. trÞ t¬ng øng cña m.[r]
(1)Chuyên đề: hệ Thức vi ét
Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1; x2 th×:
1
1.
b
x x
a c x x
a
ìïï + =-ïïï
íï
ï =
ïïïỵ L
u ý : Khi ta có:
x x
a
D - = ±
2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai:
- NÕu a + b + c = phơng trình có nghiệm
1; c
x x
a
= =
- NÕu a – b + c = phơng trình có nghiệm
1; c
x x
a
= - =
-3) Tìm hai số biết tổng tÝch:
Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P th× hai sè x; y nghiệm phơng trình: X2 SX + P = 0
Điều kiện S2 4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất: Lập phơng trình biết hai nghiƯm:
Bµi 1:
a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9
d) x1=0,1; x2=0,2 e)
1
1 3;
4 x = x =
f)
3 5;
2 x = - x =
-g)
1
;
4
x = x =
-h)
1
2 ;
4
x = - x =
i)
1
1 ; 0,9
3
x = x =
-j) x1= -1 2; x2= +1 k)
1 2;
3
x = + x =
+ l) x1= +5 6; x2 = -5 m) x1 = +3 2; x2= -3 2
n)
1
;
2 3
x = x =
+ - o)
1 ;
10 72 10 72
x = x =
- +
p) x1= -4 5; x2 = +4 q) x1= +3 11; x2 = -3 11
(2)t)
1
;
3
x = - x = +
u) x1 = - 1,9; x2 =5,1 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình:
2
2x - 7x- 3=0 Không giải phơng trình,
hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ:
a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 c)
1 x
vµ x d) 1 x
vµ 22
1 x e) x x vµ x x f) 1 x x + vµ 2 x x + g) x x + vµ 1 x x + h) x x + vµ 1 x x + i) x x + vµ 1 x x +
j)
1
x +
vµ
1
x +
B i : Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình:
2 5 0
x +px- = Không giải phơng trình,
hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là:
a) -x1 vµ -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c)
1
1
3x vµ
1 3x
d) 1 x
vµ
1 x e) x x vµ x x f) 1 x x vµ 2 x x -g) x x - + vµ x x - + h) x x vµ 1 x x -i) x x vµ 1 x x -j) x vµ 2 x k) x x + vµ 1 x x +
l) x12x2 vµ x1x22
Bµi 4: Gäi p; q lµ hai nghiệm phơng trình 3x2+7x+ =4 Không giải phơng trình HÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là:
p
q- vµ
q p
-Bài 5: Tơng tự:
a) x2+4x+ =2 b) x2- 5x- 3=0 c) 2x2+6x- 7=0 Bµi 6:
a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình:
2 1 0
x +px+ = , b
1; b2 lµ hai
nghiƯm cđa phơng trình:
2 1 0
x +qx+ = th×:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 2 1 2
(3)b) Chứng minh tích nghiệm pt: x2+ax+ =1 0với mộ nghiệm pt
2 1 0
x +bx+ = nghiệm pt thì:
2 2
4 1 1
2
a b - a - b =
c) Cho pt x2+px q+ =0 Chøng minh r»ng nÕu
2
2p - 9q=0 pt có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm kia.
D¹ng thø hai: Tìm tổng tích nghiệm:
Bài 1: Cho phơng trình: x2- 5x+ =3 Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình không giải
phơng trình h·y tÝnh:
a) x12+x22 b) x13+x23 c) x1- x2 d) x12- x22
e) x13- x23 f) 1 x +x
g) 12 22
1
x +x
h)
1
1
3
x x
x x
-
-+
i)
1
2
x - +x
-j)
1
2
5
x x
x x
+ +
+
k)
1
1
1
x x
x x
+ + +
l)
1
1
1
2
x x
x x
-
-+
m)
2
1 2
x x +x x
n)
1 2 x x x +x
Bài 2: Tơng tự: 2x2- 5x+ =1 0; 3x2+4x- 3=0; - 3x2+2x+ =5 Bài 3: Cho phơng trình: - x2- 4x+ =1 Khơng giải phơng trình tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm
c) Tæng lËp phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm
Bµi 4: Cho pt:
2 4 3 8 0
x + x+ = cã hai nghiÖm x
1; x2 Không giải pt hÃy tính:
2
1 2
3
1 2
6 10 6
5 5
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+ Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tÝch:
Bµi 1:
(4)a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180
m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12
D¹ng thø bèn: TÝnh giá trị tham số biết mối liên hệ nghiệm:
Bài 1: Cho pt
2 6 0
x - x m+ = TÝnh giá trị m biết pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶:
a)
2
1 36
x +x =
b)
1 1
3
x +x =
c)
2
1
1 1 4
3
x +x =
d) x1- x2 =4 Bµi 2: Cho pt
2 8 0
x - x m+ = Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x
1; x2 thoả
trong hệ thức sau: a)
2
1 50
x +x =
b) x1 =7x2c) 2x1 +3x2 =26 d) x1- x2 =2 Bµi 3: Cho pt
2 ( 3) 2( 2) 0
x - m+ x+ m+ =
Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
x = x
Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4:
a) Tìm k để pt:
2 ( 2) 5 0
x + -k x k+ - =
cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶
2
1 10
x +x =
b) Tìm m để pt:
2 2( 2) 5 0
x - m- x- =
cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶
2
1 18
x +x =
c) Tìm k để pt:
2
(k+1)x - 2(k+2)x k+ - 3=0
cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶
1
(4x +1)(4x + =1) 18 d) Tìm m để pt:
2
5x +mx- 28=0 cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶5x1+2x2 =1
Bài Gọi x1; x2 hai nghiệm khác cña pt:
2 ( 1) 3( 1) 0
mx + m- x+ m- =
Chøng
minh:
1 1
3
x +x =
-Dạng thứ năm: Các toán tổng hợp.
Bài 1: Cho pt:
2 (2 3) 3 2 0
x - m+ x m+ + m+ =
(5)b) Định m để pt có nghiệm Khi pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt với m
d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để
2
1 1
x +x =
e) Định m để pt có nghiệm ba nghiệm kia? Bài 2: Cho pt
2 2( 1) 0
x - m- x m- =
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 víi mäi m
b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiƯm lµ:
1 y x
x
= +
vµ
2
1
y x x
= +
c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
2
x + x =
Bµi 3: Cho pt
2 2( 3) 2 1 0
x - k+ x+ k- =
a) Gi¶i pt
1
k=
b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt ln có nghiệm x1; x2 với k
d) CMR tổng tích nghiệm có liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tỡm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 2
1 2
x +x +x x =
f) Tìm k để tổng bình phơng nghiệm có giá trị nhỏ Bài 4: Cho pt
2
(m- 1)x - 2mx m+ + =1 0
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt m ≠
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt khơng phụ thuộc m?
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
5
x x
x +x + =
Bµi 5: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0
x - m+ x+ m+ =
a) Giải biện luận pt trªn
b) Tim giá trị m để pt có nghiệm m tìm nghiệm cịn lại? c) Tìm m cho hai nghiệm x1; x2 pt thoả
2 2
10x x +x +x
đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó?
Bµi 6: Cho pt x2 - 2mx+2m- 1 0=
(6)b) Đặt
2
1 2
2( ) 5
A = x +x - x x +) Chøng minh A =8m2- 18m+9 +) T×m m cho A = 27
c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt
2 2( 1) 4 0
x - m+ x m+ - =
a) Gi¶i pt m = -5
b) CMR pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng
e) CMR biĨu thøc A =x1(1- x2)+x2(1- x1) kh«ng phơ thc m.
f) Tính giá trị biểu thức x1- x2 Bµi 8: Cho pt
2 2( 2) 1 0
x - m+ x m+ + =
a) Giải pt
3
m=
-b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để
2
1(1 )2 2(1 )1
x - x +x - x =m
Bµi 9: Cho pt
2 2( 1) 4 9 0
x - m+ x m+ - m- =
(x ẩn) a) Giải biƯn ln pt
b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc tìm nghiệm cịn lại pt
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt
2
(m- 4)x - 2mx m+ + =2 0
a) Tìm m để pt có nghiệm x= Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm
c) TÝnh x12+x22 theo m. d) TÝnh x13+x23 theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo nghiệm Bài 11:
a) Pt
2 2 5 0
(7)b) Pt
2 5 0
x + x q+ = cã mét nghiÖm Tìm q tính nghiệm kia. c) Biết hiƯu hai nghiƯm cđa pt
2 7 0
x - x q+ = b»ng 11 T×m q hai nghiệm của d) Tìm q hai nghiệm cña pt
2 50 0
x - qx+ = , biết pt có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm
e) Tìm giá trị m để pt
2 2( 2) 2 7 0
x + m+ x+ m + =
có nghiệm x1 =
hãy tìm nghiệm cịn lại f) Định giá trị k để pt
2 ( 1) 5 20 0
x +k k+ x+ k+ =
cã nghiÖm x = -5 T×m nghiƯm
g) Cho pt:
2
5x +mx- 28=0 Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1+2x2 =1
h) Tìm tất giá trị a để pt
2 7 0
x +ax a+ + = cã hai nghiƯm x
1; x2 tho¶
m·n
2
1 10
x +x =
Bµi 12: Cho pt
2
(m+1)x - 2(m- 1)x m+ - 2=0 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1
1
4
x +x =
;
1
1
x +x =
;
2
1 2
x +x =
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=5x x1 Bài 13: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0
x - m+ x+ m+ =
a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho
2
1 2
6
P = x x +x +x
( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá
trị nhỏ nhất, tìm GTNN
Bi 14: Tỡm giá trị m; n để pt
2 2( 1) 2 0
x - m+ x n+ + =
cã hai nghiÖm
1 1; 2 x = x =
?
Bài 15: Tìm giá rị m để pt x2 - mx m+ + =1 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn
trong hai ®iỊu:
(8)b) x1; x2 âm
Bµi 16: Cho pt
2 2( 1) 3 0
x - m- x m+ - =
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m
b) T×m hƯ thøc liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m
c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 17: Cho pt
2 3 0
x +mx+ =
a) Giải biện luận pt Từ cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dơng
c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt
2 8 5 0
x + x m+ + =
a) Xác định m để pt cú nghim
b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trờng hợp
Bài 19: Cho pt
2 1 0
x - mx m+ - =
a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiƯm kÐp (nÕu có) pt giá
trị tơng ứng m b) Đặt
2
1 A=x +x - x x
+) Chứng minh A =m2- 8m+8 +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A
Bµi 20: Cho pt
2
(m- 1)x +2(m- 1)x m- =0 a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? Bài 21: Cho pt
2 (2 3) 3 0
x - m- x m+ + m=
a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều:
+)
2 2 x +x =
+) x x12 +x x1 22 = -
Bµi 22: Cho pt
2 18 3 0
kx - x+ =
a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
2
(9)Bµi 23: Cho pt
2 10 20 0
x - x m- + =
a) Gi¶i pt m = 4?
b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng Bài 24: Cho pt
2 2( 2) 1 0
x - m+ x m+ + =
a) Tìm giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để:
2 1(1 )2 2(1 )1 x - x +x - x =m
Bµi 25: Cho pt
2
2x - 6x m+ =0
a) Với giá trị m th× pt cã nghiƯm
b) Với giá trị m pt có nghiệm dơng
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để
1 2
3
x x x +x =
Bµi 26: Cho pt
2 2( 1) 2( 5) 0
x - a+ x+ a+ =
a) Gi¶i pt a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoảx1+2x2 =3 d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng
Bµi 27: Cho pt
2
(m+1)x - 2(m- 1)x m+ - 2=0 a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 1 7
4 x +x = c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Bài 28: Xác định m để pt
2 (5 ) 6 0
x - +m x m- + =
cã hai nghiƯm tho¶ m·n mét điều kiện sau:
a) Nghim ny ln hn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả 2x1+3x2 =13 Bài 29: Tìm giá trị m để
2
1
x +x
đạt giá trị nhỏ nhất: a)
2 (2 1) 2 0
x - m- x m+ - =
b)
2 2( 2) (2 7) 0
x + m- x- m- =
Bµi 30: Cho pt
2 2( 1) 4 0
(10)a) Gi¶i pt m =
b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m
d) Tìm m để pt có nghiệm thoả
2
1 5
x +x =
e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm dơng? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt
2 2( 1) 2 4 0
x - m- x+ m- =
a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b) Gäi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN
2
1
Y =x +x c) Tìm m để Y = 4; Y =
Bµi 32: Cho pt 5x2 +mx- 28=0
a) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:
+)
1 1 7
4 x +x =
+)
2
1
142 25 x +x = d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1+2x2 =1
Bµi 33: Cho pt
2
2x +(2m- 1)x m+ - 1 0= a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt
b) Tỡm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1- 4x2 =11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng
d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm kh«ng phơ thc m