BDT

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong bài toán hình học  Các ứng dụng khác (giải phương trình, hệ phương trình, chứng[r]

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA HAI SỐ KHƠNG ÂM

 Với hai số khơng âm a, b Kí hiệu:



a b

A 

trung bình cộng hai số a, b.  G ab trung bình nhân hai số a, b. 

2

2

a b

Q 

trung bình tồn phương hai số a, b.



2 1

H

a b

 

trung bình điều hịa hai số dương a, b Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H.

 Chứng minh: Từ  

2

0

2

a b

a b   a ab b     ab

hay A  G (1)

 

2 2 2 2 2

0 2

a b   a  ab b   a b  ab

hay    

2 2

2 2

2

a b a b

a b a b  

     

hay Q  A (2)

Mặt khác

2

1 1 2

0

1

ab

a b a b ab

a b

 

      

 

 

  

hay G  H (3)

Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H.

Dấu “=” bất đẳng thức xảy a = b.  Mở rộng cho n số không âm a a a1, , , ,2 an ta có:

1 n

a a a a

A

n

   



là trung bình cộng n số a a a1, , , ,2 an.

1

n

n

G a a a a là trung bình nhân n số a a a1, , , ,2 3 an.

2 2

1 n

a a a a

Q

n

  



là trung bình tồn phương n số a a a1, , , ,2 an.

1

1 1

n n

H

a a a a



   

trung bình điều hịa n số dương a a a1, , , ,2 an.

Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H.

Dấu “=” xảy a1a2 a3   an.

Chú ý:

 A, G, Q, H theo thứ tự viết tắt từ arithmetic mean (trung

bình tồn phương) harmonic mean (trung bình điều hịa).

II BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM

Theo phần I. ta có mối liên hệ đại lượng trung bình số khơng âm: Q  A  G  H Trong đó, bất đẳng thức A  G thường sử

dụng gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt bất đẳng thức A-G) Cách gọi tên này phổ biến nước ngoài, nước Âu, Mỹ Ở Việt Nam, người ta vẫn quen gọi bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) Đây cách gọi sai lầm bất đẳng thức Cauchy phát mà thực ông người đưa phép chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Cách chứng minh hay tiếng, nhiều người lầm tưởng Cauchy người phát bất đẳng thức này.

 Nội dung bất đẳng thức sau: Với n số không âm a a a1, , , ,2 an ta có:

1

1

n n

n

a a a a

a a a a n

   



Dấu “=” xảy  a1a2 a3   an.

 Hệ quả: Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức AM-GM sau:

1.

 2

2 2 2 2

2

a b

a b  ab a b    ab

Dấu “=” xảy  a = b.

2.

 2

2 2 2

3

a b c

a b c ab bc ca   a b c    ab bc ca 

Dấu “=” xảy  a = b = c.

3.

a b

b a  (ab > 0) Dấu “=” xảy  a = b.

hay

2

a a

 

(a > 0) Dấu “=” xảy  a = 1.

4.

2

1 3

1 1

n n

n

a a a  a a a a  a hay

 

1

1

1 1

n

n

a a a a n

a a a a

 

         

  a a a1, , , ,2 an 0

Dấu “=” xảy  a1 a2 a3   an.

Chú ý:

a2 b2 x2 y2 ax by2

   

hay viết     2 2

a b x y ax by

Dấu “=” xảy  ax by x, y khác

a b

x y )

Bất đẳng thức với số thực (a ; b) (x ; y).

Mở rộng ta thu kết với n số thực a a1, , ,2 an và

b b1, , ,2 bn như sau:

 2 2  2 2  2

1 n n 1 2 n n

a a  a b b  b  a b a b  a b

hoặc    

2 2 2

1 n n 1 2 n n

a a  a b b  b a b a b  a b

Dấu “=” xảy

1

2

n n

a kb

a kb

a kb

  

    

 



 Bất đẳng thức Cauchy nêu cịn có nhiều tên gọi khác bất

đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz

(Sờ-vác) tên dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Nhiều tài liệu Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức là

Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz, bất đẳng thức viết tắt BCS

 Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) nhà toán học người Pháp,

Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 - 1889) nhà toán học Nga và Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921), nhà toán học Đức Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức trường hợp các vectơ thực hữu hạn chiều, đến năm 1859, học trò Cauchy là Bunyakovsky thu dạng tích phân bất đẳng thức, kết tổng quát Schwarz chứng minh năm 1885.

B CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM

 Chứng minh bất đẳng thức

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tốn hình học  Các ứng dụng khác (giải phương trình, hệ phương trình, chứng

minh mệnh đề tốn học…)

 VÍ DỤ Hãy chứng minh hệ nêu bất đẳng thức AM-GM.  Giải:

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

 2

2 2 2 2 2 2

a b  a b  ab  ab  ab

Dấu “=” xảy

2

0

a b

a b

a b

ab ab

 

  

     

  

 

Từ    

2

2 2 2 2 2 2

a b  ab a b a b  ab a b

Do ta có:

 2

2

2

a b

a b  

Dấu “=” xảy  a b

Mặt khác, từ  

2

2 2 2 2 4 4

a b  ab a b  ab ab a b  ab

Nên

 2

2

a b

ab

 

Dấu “=” xảy  a b

 Theo chứng minh

   

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

a b ab

b c bc a b b c c a ab bc ca

c a ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

  



          

 

 



           

Dấu “=” xảy

a b

b c a b c

c a

  

     

  

Mà a2b2c2 ab bc ca   2a2b2c2 2ab bc ca  

     

2

2 2 2

3

3

a b c

a b c a b c a b c  

         

Dấu “=” xảy  a b c  Lại có:

   

 

2 2

2

3

3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c

ab bc ca

          

 

   

 Vì ab > nên a, b dấu ,

a b b a

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

2

a b a b

b a  b a 

Dấu “=” xảy

2

0

0

a b ab ab

a b

b a

a b

a b

ab

  

 



 

       



 

 

 

 Nếu coi

a

b là a b alà

1

a (a > 0) Như ta có:

1

a a

 

Dấu “=” xảy

2

1 0

1

0

a a

a a

a a

 

  

     

   

 .

 Theo bất đẳng thức AM-GM thì:

 

1 3

1 3

2

1

1 1 1 1

1 1

n

n n

n

n n

n

n

a a a a n a a a a

n

a a a a a a a a

a a a a n

a a a a



    

 

        



 

          

 

Chia hai vế bất đẳng thức vừa chứng minh cho

1 n

a a a  a  ta có

2

1 3

1 1

n n

n

a a a a a a a a

     

   

Dấu “=” xảy

1

1

1

1 1

n

n n

a a a a

a a a a

a a a a

   

 

      

  

 

 VÍ DỤ Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c

1 1 1

a b c   ab  bc  ca (*)

 Giải: Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM ta có:

2 2

1 1 1 1 1

a b c a b c ab bc ca

     

          

     

Dấu “=” xảy

1 1

a b c

a b c

     

Nhận xét: Chúng ta mở rộng bất đẳng thức (*) cách nhân cả hai vế bất đẳng thức (*) với abc 0, ta có bất đẳng thức mới:

1 1

abc a b c

a b c

 

    

 

  Và giả thiết cho thêm kiện

1

a b c có bất đẳng thức “đẹp” sau:

1 1

a b c   abc Cứ tiếp tục vậy, tìm tịi nhiều bài

tốn mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây cách suy nghĩ toán giúp ta nắm vững kiến thức, cách rèn luyện tư duy, từ hình thành thói quen học tốn tốt

 VÍ DỤ Chứng minh a b c, , 0ta có bất đẳng thức sau:

2

a b c

b c c a a b      (**)

 Giải: Ta có:

3

a b c a b c b c a c a b

b c c a a b b c c a a b

     

     

a b c 1

b c c a a b

 

      

  

 

     

1 1

3

2 b c c a a b b c c a a b

 

           

  

 

Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM ta có:

1

9

2

a b c

b c c a a b        

Dấu “=” xảy b c c a a b      a b c 

Chú ý: Bất đẳng thức (**) bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho số dương Ngồi ra, cịn nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức

 VÍ DỤ Chứng minh

 

2

, 0, 1 81

2

y

x y x

x y

 

 

         

   

 Giải: Ta có:    

2

1 1 2

2

y y

x x y y y y

x x

 

            

 

Do

   

2

2

4

1 1 1

2

y

x y

x y y

   

 

           

     

 

2

4

1 y 1 y

y y

    

         

    

 

 

2

2

1 y 2.2 81

y

 

        

 

 

Dấu “=” xảy

2

1

2

,

y x

x

x y

y y x y

   

  

    

  

 

 

 VÍ DỤ Chứng minh rằng:

a. Nếu hai số khơng âm có tổng số S khơng đổi tích chúng lớn hai số

b. Nếu hai số khơng âm có tích số P khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số

 Giải: Gọi a, b hai số khơng âm

a Theo bất đẳng thức AM-GM

2

2

4

S

a b  ab S  ab ab

Do  

2

4

S S

Max ab   a b 

b Tương tự a b 2 P

Chú ý:

 Đây hệ quan trọng bất đẳng thức

AM-GM, giúp nhanh chóng tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ biểu thức

Ví dụ: Tìm giá trị lớn biểu thứcx28 x2

Giải: Dễ dàng nhận x28 x2 8 (khơng đổi) Do theo phần a x28 x2 đạt giá trị lớn

2

16

4  và

chỉ

2

8

2

x   x   x

 Trường hợp a, b > 0, ta có tốn mang nội dung hình học

sau:

Bài tốn:

a. Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn nhất.

b. Trong hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhất.

 VÍ DỤ Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh:

a.

1 1 1

a b c b c a c a b         a b c

b. a b c b c a c a b          abc

 Giải:

a. Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM:

1

x y x y x y, 0

   

1

a b c b c a      a b c   b c a  b (1)

Tương tự

1

a b c c a b     a (2),

1

b c a c a b     c (3)

Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm

Dấu “=” xảy

a b c b c a

a b c c a b a b c

b c a c a b

    

 

         

      

 Tam giác tam giác

b. Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM:

 2

2

a b

ab

 

hay a b 2 4ab (với a, b), ta có:

       

       

2

2

2

4

4

a b c b c a a b c b c a

b a b c b c a

b a b c b c a

         

 

 

     

     

   

2

a  a b c c a b   

   

2

c  b c a c a b   

Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên

, , 0 0

a b c a b c b c a c a b

 

   

 

  



   



Vì vế ba bất đẳng thức dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được:

abc2 a b c b c a c a b          2 (*) Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu “=” xảy

a b c b c a

a b c c a b a b c

b c a c a b

    

 

         

      

 Tam giác tam giác Chú ý:

 Nếu gọi p nửa chu vi tam giác

a b c

p  

, ta viết lại hai bất đẳng thức sau:

1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

      

    

     

8

p a p b p c    abc

 Ta chứng minh bất đẳng thức phần b cách khác:

       

 2

2

a b c b c a b a c b a c

b a c b

            

   

Tạo thêm hai bất đẳng thức tương tự

   

2

a  a b c c a b   

   

2

c  b c a c a b    nhân vế với vế ba bất đẳng thức.

 VÍ DỤ Chứng minh

a.

2

2

4

a a

 

 a b. b c c a a b       8abc a b c, , 0 c.      

2 1a 1b  1 ab

a b, 0

 Giải:

a. Ta thấy

   

2

2 2

2 4

4

4

4 4

a a

a

a a a



 



  

  

b. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

     

2

2

2

a b ab

b c bc a b b c c a abc

c a ca

  

 

      



  



Dấu “=” xảy  a b c 

c.        

2 1a 1b  1 a b ab 1 ab ab  1 ab

Dấu “=” xảy  a b

Chú ý:

 Bạn đọc quan sát lại lần bất đẳng thức phần b Với điều kiện a b c, , 0, chia hai vế bất đẳng thức cho

0

abc ta có:

     

8

a b b c c a abc

  



Thêm vài bước biến đổi nho nhỏ ta được:

8 1

a b b c c a b c a

a b c a b c

        

            

     

Vậy ta thu bất đẳng thức mới, cách chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn tương tự bất đẳng thức ban đầu

 Cũng bất đẳng thức phần b cho thêm giả thiết

1

a b c   ta có bất đẳng thức: 1 a 1 b 1 c8abc Sẽ khó

khăn nhận phải sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức

 Một mở rộng khác từ bất đẳng thức b toán hay sau: “Cho n số dương a a a1, , , ,2 an b b b1, , , ,2 bn thỏa mãn

1 3, n n

a a a a b b b b  Chứng minh:

 1  2  3  

n

n n

a b a b a b a b  .”

 Bất đẳng thức phần c mở rộng cho số:

     

 2  3

3 3

1 1

1 3

a b c a b c ab bc ca abc

abc abc abc abc

          

     

Với bốn số:

1a 1b 1c 1d 1 ab 2 1 cd 2  1 ab cd  abcd2

1 24 abcd abcd2 1 4abcd22 1 abcd4

      

 

 

Cứ vậy, ta đến với kết tổng quát: Với n số không âm a a a1, , , ,2 an ta có:

1 1 1 2 1 3   1 

n n

n n

a a a a a a a a

     

           

1 1 2

1

1

1 1 2

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

n

n n

n

n n

n

n n

n

a a a a a a

n a a a a

a a

a a a a a a



   

      

 

    

      



Cộng vế hai bất đẳng thức trên, ta có:

 

     

1

1

1

1

n

n n

n

n a a a

n

a a a

 

  

Từ suy đccm

 VÍ DỤ

a. Cho số không âm a b, Chứng minh: a b  a b 2a b  b. Cho số không âm a b c, , Chứng minh:

 

3

a b c   a b c a b c 

c. Chứng minh a b c, , độ dài ba cạnh tam giác thì:

a b c   b c a   c a b   a b c

 Giải:

a. Ta có:    

2

a b  a b  a b  a b

2

a ab b a b ab

       (đúng với a b, 0)

Do a b a b Dấu “=” xảy

0

0

a ab

b

 

   

  Mặt khác, áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM:

x y2 2x2 y2

  

với x a0 y b0 ta có:

 a b2 2   a 2 b 2 2a b 

 

 

 

2

a b a b

   

Dấu “=” xảy  a b Vậy a b  a b 2a b 

b. Bằng phương pháp biến đổi tương đương phần a sử dụng hệ bất đẳng thức AM-GM, ta thu đccm

Dấu “=” xảy  a b c  0

c. Áp dụng kết phần a ta có: a b c   b c a   c a b 

2

a b c   b c a  b c a   c a b  c a b   a b c 

  

           

2 2

2 2

a b c   b c a  b c a   c a b  c a b   a b c 

     

     

  

2.2 2.2 2.2

2 2

b c a

a b c

     

Dấu “=” xảy  a b c   Tam giác tam giác đều.

 VÍ DỤ Cho số dương a b c d, , , thỏa mãn điều kiện

1 1

3

1a1b1c1d  Chứng minh

1 81

 Giải:

Ta nhận = + + nên ta biến đổi điều kiện đề sau:

3

1 1

3

1 1

1 1

1 1

1 1

1

3

1 1 1 1

a b c d

a b c d

b c d b c d

a b c d b c d

   

   

     

        

         

      

      

Tương tự, ta có:

3

3

1 1 1 1

a c d a c d

b a c d  a c d

      

3

3

1 1 1 1

a b d a b d

c  a b d  a b d

      

3

3

1 1 1 1

a b c a b c

d  a b c a b c

      

Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm Dấu “=” xảy

1

a b c d

    

Nhận xét: Bằng việc linh hoạt phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có lời giải “nhanh, gọn, đẹp” Tuy nhiên, câu hỏi đặt cho sau giải, là, liệu bất đẳng thức có dạng tổng quát hay khơng, gì? Nếu có, ta phải chứng minh nào?

Câu trả lời có Bất đẳng thức tổng quát sau:

Với n số dương a a a1, , , ,2 an n3, thỏa mãn điều kiện

1

1 1

1

1 1 n

n

a  a  a   a  

    , chứng minh rằng:  

1

1

1

n n

a a a a n



 Bạn đọc chứng minh tương tự ví dụ trên.

 VÍ DỤ 10

a. Chứng minh với x y z, , 0, ta có:

3 3

x y z

x y z

yzzxxy   

b. Cho số a b c, , 0 Chứng tỏ rằng:

3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

 Giải:

a. Trước tiên, ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

 

4 4

x y z xyz x y z  (1)

     

 

2 2

4 4 2 2 2

x y z x y y z z x xy yz zx

xy yz yz zx zx xy xyz x y z

       

     

Dấu “=” xảy  x y z

Vì xyz0 nên nhân hai vế bất đẳng thức (1) với

1

xyz  ta có:

 

4 4 xyz x y z 3

x y z x y z

x y z

xyz xyz yz zx xy

 

 

      

Dấu “=” xảy  x y z

b. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

   

3

2

3 3 3

2 2

3

2

2

2 2

2

a a

ab ab a

b b

b b a b c

bc bc b a b c ab bc ca

c c b c a

c c

ca ca c

a a



    

  

            

  

   

 

   

3 3

a b c

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

b c a

           

(vì a2b2c2 ab bc ca  a b c, ,  theo hệ bất đẳng thức AM-GM) II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

 VÍ DỤ 11 Tìm giá trị nhỏ hàm số

3 16 ( ) x

g x

x

 

với x0

 Giải:

Tách g x( ):

3

2 3

16 16 8 8

( ) x 12

g x x x x

x x x x x x



         

Dấu “=” xảy

2 2

x x

x

   

Vậy Min g x( ) 12  x2

 VÍ DỤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

2

2011 2012 2013

x x

A

x

  





 Giải: ĐK:

2

1 x 0 x  1 x    1 x1

Ta có:

 

2

2

2012 1 2011 2012 2013

2012

1

x x

x x

A

x x

  

  

  

 

       

2 2012 1

2012 2012 2012

1

x x

x x

 

   

Dấu “=” xảy  

2011

2012 1 2012 2012

2013

x x x x x

         

Vậy Min

2011 2012 2012

2013

A   x

 VÍ DỤ 13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

x A

x

 



(Đề thi học sinh giỏi thành phố Yên Bái - tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)

 Giải: ĐK:

2

1 x 0 x  1 x    1 x1

Làm tương tự VÍ DỤ 12 với lưu ý: 3 x 1 x4 1  x

 VÍ DỤ 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

1

M x y

y x

   

     

 

  với x y, 0 x y 1

 Giải:

Có thể số bạn làm sau:

2 2

2 2

1 1

2

M x y x y

y x y x

   

         

 

 

Và kết luận Min

2

2

4

1

x y

M xy

y x

   

    

 

 

Đây kết luận sai lầm không để ý đến điều kiện x y,

là x y 1 Rõ ràng có x y, thỏa mãn hệ

1

xy x y

  

 

 (chứng minh: dùng hệ thức Vi-ét đảo x 1 y vào xy1) Vì thế, dấu đẳng thức bất đẳng thức không xảy Tức M > 4, nghĩa cách giải bạn sai

Cách giải sau:

2 2

2

2

2

2

1 1

1 15 15 289

2

16 16 16 16

16

x y

M x y xy

y x xy xy

xy xy

xy xy xy x y

 

     

        

 

     

 

 

    

       

    

 

 

   

 

 

Dấu “=” xảy

,

1

1

2 16

x y x y

x y

xy

xy

x y

  

 

 

    

  

Vậy Min

289

16

M   x y

Chú ý: Tại lại biết tách

1

xythành tổng

1 16xy

15

16xy? Câu trả lời

là ta dự đốn giá trị nhỏ M đạt xy. Mà theo giả thiết x y 1 Như M đạt giá trị nhỏ

1

x y

Từ hình thành cách tách xy

1

xysao cho dấu “=” xảy thì

1

x y

 VÍ DỤ 15 Cho x y, 0 thỏa mãn x y 4

a. Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1

A

x xy y xy

 

 

b. Tìm giá trị nhỏ biểu thức

6 10

B x y

x y

   

 Giải:

a. Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM, tìm giá trị nhỏ A

1

4khi x y b.

6 10 10

2 18

2 2

x y x y

B x y

x y x y

  

 

         

   

Vậy Min B18 x y

 VÍ DỤ 16 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

   

( )

yf x  x  x với   3 x 5

 Giải:

Hiển nhiên với   3 x 5 y0 nên Min

3

5

x y

x

 

   

 Mặt khác    

 3 5 

( ) 16

2

x x

yf x  x  x      

 

Dấu “=” xảy

 3;5

4

x

x

x x

   

   

   

 Vậy Max y16 x4

 VÍ DỤ 17 Cho bốn số thực x y z t, , , thỏa mãn điều kiện

2

2 1

x y

z t

  

 

 



 Tìm giá trị lớn biểu thức:        

2 2

 Giải:

Áp dụng bất đẳng thức: a b 2a b  đẳng thức

a b2 a b2 2a2 b2

    

, ta có:

               

     

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2.2

P x z y t x z y t

x z y t x z y t

x z y t x y z t

       

 

       

 

 

         

2.2.2 2

  (vì x2y2z2t22) Dấu “=” xảy

2

x y z t

    

Vậy Max

2 2

2

P  x   y z t

 VÍ DỤ 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

1 1

a b c

b  c  a

   với a b c, , 0 a b c  3

 Giải:

2 2

2 2

1 1 2

a a ab ab ab ab ab

a a a

b b b b

 

      

  

Tương tự 1 2

b bc

b

c  

 , 2

c ca

c

a  



Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có:

 2

2 2

3

3

1 1 2

a b c

a b c ab bc ca

b c a

 

 

      

  

Dấu “=” xảy  a b c  1

Vậy 2

3

1

1 1

a b c

Min a b c

b c a

 

      

 

  

 

 VÍ DỤ 19 Cho a b c, , số thực dương có tích Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức:

2 2 2 2 2

a b c b c a c a b

H

c a b

     

  

 Giải: Ta có:

 

 

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 4

3

2

4 4

2 2.3

a b b c b c c a c a a b

H a b c

c c a a a a b b b b c c

a b b c b c c a c a a b

a b c

c c a a a a b b b b c c

a b c abc

     

              

     

              

    

Do H 3 Dấu “=” xảy  a b c  1

 VÍ DỤ 20 Cho x y, 0 ln thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức 2

1

4

S xy

x y xy

  



 Giải:

 

2 2

2

1 1 1

4

2 4

4

2 11

4

4

S xy xy

x y xy x y xy xy xy

xy xy

x y x y

   

       

     

    

   

 

 

Dấu “=” xảy

1

x y

  

Vậy Min

1 11

2

S   x y

III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG BÀI TỐN HÌNH HỌC (CỰC TRỊ HÌNH HỌC)

 VÍ DỤ 21 Một nhơm hình vng có cạnh 30 cm Người ta cắt ở

bốn góc bốn hình vng gấp nhôm lại (theo đường nét đứt) để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn

 Giải:

Gọi độ dài cạnh hình vng bị cắt x (cm) (0 < x < 15) Thể tích khối hộp tạo thành    

2

30 15

V x  x  x  x (cm)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

   

     2

3

2 15 15

3 15 15 15 1000

3

x x x

x x x x x

   

     

Do  

2

4 15 2000

V  x  x  (cm) Dấu “=” xảy  2x15 x x5

Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn 2000 cm cạnh hình vng bị cắt cm

 VÍ DỤ 22 Cho tam giác ABC vuông A Một điểm M nằm

tam giác Gọi H, I, K thứ tự hình chiếu M cạnh BC, CA,

AB Tìm vị trí M để MH2 MI2 MK2

  đạt giá trị nhỏ

 Giải:

Kẻ đường cao AD D ABC Hạ ME  AD Dễ dàng chứng minh rằng:

 2

2 2 2 2

2

DE AE AD

Vậy MH2 MI2 MK2

  đạt giá trị nhỏ

2

2

AD

khi M trung điểm AD

 VÍ DỤ 23 Cho tam giác nhọn ABC Trong tất hình chữ nhật MNPQ

nội tiếp tam giác ABC (M, N  BC, P  AC, Q  AB), tìm hình chữ nhật có diện tích lớn

 Giải:

Kẻ AH  BC Gọi giao điểm AH với PQ I

Vì PQ // BC nên

 

BC AH MQ

PQ AI AI BC

PQ

BC AH AH AH



   

Do

 

   

2

2

MNPQ

BC AH MQ MQ

S PQ MQ

AH

AH MQ MQ

BC BC

AH MQ MQ

AH AH



 

 

 

      

 

2 .

4

ABC MNPQ

S

BC AH BC AH

S

AH

    

Vậy diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn

ABC S

khi

2

AH

AH MQ MQ   MQ 

P, Q thứ tự trung điểm AC AB

 VÍ DỤ 24 Cho hình thang ABCD có diện tích S Biết AC đường

chéo lớn hình thang Tìm giá trị nhỏ AC

 Giải:

Kẻ AM  CD, BN  CD Theo ra, AC  BD

Khi CM  DN (quan hệ đường xiên hình chiếu) Do 2CM  CM + DN = (CN + MN) + (DM + MN)

 2CM  MN + (CN + MN + DM) = MN + CD = AB + CD (1) Theo định lí Pythagore ta có AC2 AM2CM2 2AM CM (2)

Từ (1) (2) suy AC2 AM AB CD   2SABCD 2S

Bởi nên AC 2S

Vậy giá trị nhỏ AC 2S đạt

 450

AC BD

CM DN

AM CM ACD

  

 



 

  

 

 VÍ DỤ 25 Tam giác ABC cần có thêm điều kiện để sin sin sin2 2

A B C

đạt giá trị nhỏ nhất?

Kẻ phân giác AD D ABC Như vậy,



sin sin

A

ABD

 Gọi H hình chiếu B AD

Ta có:



sin sin

A BH BD

ABD

AB AB

  

(1) (quan hệ đường vng góc đường xiên)

Mặt khác, ta lại có:

BD CD BD CD BC BC

AB AC AB AC AB AC AB AC



   

  (2)

(bất đẳng thức AM-GM)

Kết hợp (1) (2), suy sin 2

A BC

AB AC



Lập thêm hai bất đẳng thức tương tự: sin 2

B AC

AB BC



, sin 2

C AB

AC BC

 nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có

1 sin sin sin

2 2

A B C

 Vậy sin sin sin2 2

A B C

đạt giá trị nhỏ

1

8 tam giác

ABC tam giác IV CÁC ỨNG DỤNG KHÁC

 VÍ DỤ 26 Giải phương trình 81 x81 x 81 x2 3  Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

   

   

       

8 8

8 8

8 8

1 1 1 1 1 1.1.1.1.1.1.1

8

1 1 1 1 1 1.1.1.1.1.1.1

8

1 1 1 1

1 1.1.1.1.1.1

8

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

       

 

    

 

       

 

    

 

         

     

 

8 81 x 81 x 1 x 3

      

Dấu “=” xảy

1

1

1

x

x x

x

  



     



 



Vậy phương trình có nghiệm x0

 VÍ DỤ 27 Tìm số x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện

6

1 1

2

x y z

x y z xyz

   

 

   

 

Theo bất đẳng thức AM-GM hệ thì:

3

1 1

2

x y z xyz x y z x y z

 

     

 

     

 

 

  (do x y z  6) Từ đó, dễ dàng suy

1 1

2

x yz   xyz

Kết hợp với giả thiết ta có:

1 1

2

x yz   xyz

Nến dấu “=” bất đẳng thức xảy

Do x  y z 2 số thỏa mãn đề bài.

 VÍ DỤ 28 Có hay khơng số dương a b c, , nhỏ thỏa mãn hệ

bất phương trình sau đây?

     

1

2 1

4 1

8

a b

b c

c a



 

  

 

  

 

 

 Giải:

Nhân vế với vế ba bất phương trình hệ ta có:

1  1  1 

64

abc  a  b  c 

(*) Điều xảy ra, thật vậy:

1  1  1  1     

abc  a  b  c a  a b  b c  c

2 2

1 1

2 2 64

a  a b  b c  c

     

      

      , trái với (*) Vậy không tồn ba số dương a b c, , thỏa mãn hệ bất phương trình

 VÍ DỤ 29 Tìm hệ thức liên hệ ba số x y z, , biết ba số thỏa mãn

 

3

1 x y z x y z

y z x xyz

 

     

    

     

   

  (1)

 Giải: Xét tích

1 x y z y z z x x y y z z x x y

y z x x x y y z z x y z

       

             

     

   

 

       

   

3

1 1 1

2 3

3

3

2

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z xyz

x y z

xyz xyz

 

                     

 

  

       

     

3

3

2 x y z x y z x y z

xyz xyz

      

   

(2) (vì 33 xyz  x y z)

Từ (1) (2) ta có:

 

3

1 x y z x y z

y z x xyz

 

     

    

     

   

Do dấu “=” bất đẳng thức (2) xảy ra, cho ta x y z

 VÍ DỤ 30 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, nội tiếp

đường trịn bán kính R Biết R b c   a bc Tính số đo góc tam giác ABC

 Giải:

Từ hệ thức cho ta có:

2

2

a b c bc

a R

R bc bc



    

(1)

Mặt khác, đường kính dây lớn đường tròn nên ta ln có a2R (2)

Kết hợp (1) (2) ta a2R, tam giác ABC vuông A.

Dấu “=” bất đẳng thức (1) xảy nên b c Như D ABC vuông cân A

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Chứng minh rằng: a a b, 0, 2

a b ab

  b a b c, , 0,

3

a b c

abc

   c a b c d, , , 0,

4

a b c d

abc

    d a a1, , ,2 an 0,

1

1

n n

n

a a a

a a a n

  

 2. Chứng minh:

2012

2012

2

a a

 



3. Cho x y, 0 x2y2 2 Chứng minh: 2 x y2 4. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a a b ab   1 4ab a b, 0 b a b c ab bc ca       9abc a b c, , 0

c

2 2

2 2

1

12

a b c

a b c

     

a b c, , 0

d

5 5

a b c

abc

bc ca ab   a b c, , 0

5. Chứng minh rằng, 0a b

2

1 2

a b

a ab b

a b



   

 6. Cho số dương a b c, , Chứng minh:

ab bc ca

a b c

c  a  b   

8. Chứng minh a c 0,b c 0 c a c    c b c    ab 9. Cho a b, 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

a b

b a 10. Tìm giá trị nhỏ hàm số sau:

4 ( )

1

f x x

x

 

 x1

11. Tìm giá trị nhỏ hàm số:

4 6036 ( ) x

g x

x

 

với x0

12. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P x 1 3 x 13. Chứng minh:

12 15 20

3

5

x x x

x x x

     

    

     

        x 

14. Cho ba số a b c, , thỏa mãn a b c  3 Chứng minh: ab bc ca a b c    

15. Cho a b c, , thỏa mãn a2b2c2 3 Chứng minh rằng:

a b c ab bc ca      16. Chứng minh rằng:

a a4b4c4 abc a b c    a b c, , 

b  

8 8

1 1

a b c

a b c abc

 

  

a b c, , 0

17. Cho số dương a b c, , thỏa

1 1

2

1a1b1c Chứng minh:

1

abc

18. Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1 Chứng minh:

2 2

3

8

xy yz zx   x y z  

19. Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn x2y3z18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 5

1

y z z x x y

P

x y z

     

  

 

20. Cho số dương x y z, , có tổng Chứng minh:

1 1

8x 8y 8z 4x 4y 4z

    

21. Cho a b, 0

2

1

a b

a b

 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức a ab2 b a b2

(Chú ý: Nội dung câu b trích đề thi Violympic cấp quốc gia 2011 - 2012)

22. Chứng minh a b c, , số dương

2 2

2

a b c a b c ab bc ca

b c c a a b a b b c c a

 

     

     

23. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)

Cho x y z, , ba số dương thỏa mãn xyz1 Chứng minh rằng:

2 2 3

1 1

x y z

y z x 

24. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)

Cho  

1 1

1.2012 2.2011 2012 2012.1

S

k k

     

k N ,1 k 2012 So sánh S

4024 2013

25. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1

1

P

x x

 

 0x1 26. Cho số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  3 Chứng minh:

     

2 2

1 1

1a b c 1b c a 1c a b abc

27. Cho x y, số dương thỏa mãn

1

x y

 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

x y

A

y x

 

28. Cho x y z, , ba số thỏa mãn điều kiện

 

3 ,

6 12

x y z

xy xz

  

 

 

 

  Tìm giá trị lớn biểu thức

3 1

A

x y z

  

(Chú ý: Kí hiệu min y z,  có nghĩa số nhỏ hai số y z, )

29. Cho 2

, ,

x y z

x y z

 



  

 Chứng minh:

xy yz zx

z  x  y 

30. Tìm giá trị lớn hàm số:    

3 2

y x  x

31. Tìm giá trị lớn biểu thức  

2 4

x M

x

 

32. Cho x y z, , 0 thỏa mãn      

4

1 1

3

x x y y z z 

Chứng minh rằng:

4

x y z  

33. Cho x y, 0 cho x y 1 Chứng minh:  

2 3

1

3

x y xy  

34. Cho số dương x y, thỏa mãn x y 4 Chứng minh:

2

2

3

4

x y

x y

 

 

35. Cho x y, 0 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau:    

  2 2

1

1

x y xy

P

x y

 



 

36. Chứng minh với a b c d, , , 0 thì

3 3

2 2 2 2 2

a b c d a b c d

a b b c c d d a

  

   

   

37. Chứng minh dãy số

1

n n

u

n

 

  

  dãy số tăng, tức là

1 n

38. Gọi a b, số nguyên dương cho số

1

a b

a b

 



số nguyên Gọi d ước số chung a b, Chứng minh d a b

39. Cho tam giác ABC có diện tích S M điểm nằm tam giác Các tia

AM, BM, CM cắt cạnh BC, AC, AB A, B, C Xác định vị trí

điểm M để 1

MA MB MC

MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.