BAI TAP LUY THUA LOGARIT 12

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1 : Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ).. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )a[r]

BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN

I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

a

   

   

1 2

4 3

1

2

3

:

y x y

x x y xy y

D x y x y

x xy y x x y



 

     

 

   

  

 

  ( đáp số : D=1 )

b

2

1

1 1

2 2

4

2

a a a a

B

a a a a

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Giải a/

   

   

  

 

   

   

1

2

2 3 3

4 3

1

2

2

3 1

:

2

y x y x y x y x y x y

x x y xy y

D x y x y xy

x xy y x x y x y x y x y

 

  

         

 

 

      

       

 

   

   

1

3 3

:

x y  x y 

 

   

 

b/

   

   

2

2

1 2

1 1 1

2 2 2

1

2

2 3

4 4

9

2

2

a a

a a a a a a a

B a

a a

a a

a a a a a

a a

 

 

 

 

      

       

   

      

 

   

 

 

   

 

 

Bài 2 Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

a  0; 

n n n n

n n n n

a b a b

A ab a b

a b a b

   

   

 

   

 

b  

1 1

1 -1

1 1

1

ax

a x a x

B xa

a x a x

   



   

   

    

 

 

Giải

a

   

   

2

2

n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n

n n n n

a b b a

a b a b a b b a a b

A

a b a b b a a b a b b a b a

a b a b

a b a b

   

   

  

   

     

          

   

   

b/  

 2

1 1 2 2

1 -1

1 1

2

1 1

ax

4 ax ax ax

x a

a x a x x a x a x a x a

B xa

a x a x x a x a

   



   



          

          

     

   

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau

2 1 2 a b :

a a b

b a

   

  

   

 

 

  b

1

4 2

1 1

4 2

a a b b

a a b b





 



 

   

 

2

2

1 2

2

2

1

a b : a : b a

a a b a b

b a b b a b b



     

       

     

   

 

    

b/

 

 

 

 

1

1

2

4

4 2

1 1 1

2

4 2

1

1

1

a a b b

a a b b

a a

a a b b a a b b

 

 

 

 

       

   

Bài 2 Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau :

a  

2

3 a3b a b3  ab

 

  b

1

3 : 2 3 a 3 b

a b

b a

 

 

    

   

   

Giải

a/            

2 2 2 3 3

3a3b a b3  3ab a3b  a  a b3  b   a  3b  a b

   

 

 

b/

1 1 1 1

3 3 3 3 1

1 3 3

3 3

1 2 1 1 1

3 3 3 3 3

:

2

a b a b a b a b

a b a b

a b

b a

a b a b a b a b

   

 

   

 

     

      

   

 

      



 

 

Bài 3.Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

a

3

2 1 1

3

4

3 :

a b a

A a b

b a a b

 

     

 

       

 

   

 

  b

2 2

4

4

a B

a a

a

 

  



 

 

Giải a/

3 2

1 1 1 2

3 2

4 4 4

3 3 1

3

3

2 4

1

: : :

a b a a b a a a b

A a b a b a b

a b b ab

b a a b

b a ab a b

 

   

              

   

                 

 

 

       

     

      

   

 

 

2

2

2

2

2 :

4

2 :

4

4

2 4

a a

a a

B

a a

a a

a a

a a

 



 

   

  



   



 

 

Bài 4 Tính giá trị biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )

a  

1

2

2

2

1

2

2

x x x x

A x

x x x x



     

    

 

  Với x 3,92

b

5

3

5

2

10

2 27

3 32 3

y

B y

y



  



  

  

   

 

  

  Với y = 1,2

a/

 

   

   

 

1

1 2

2

2 2

2 2

4

1 10

2 5

2

x x

x x x x x

A x x x

x x x x x x x

 

   

       

 

         

     

   

Với x=  

2 2

3,92 x 3,92 4 x 0,08 4 x 0,16

5

3 1

1

5 2 5

3

1

2

2 2

10

1

5

2

2 27

3 32 3.2

2

2

y y

B y y

y

y

 

     

   

      

  



      

        

   

     

  

    

 

 

5

1 2

1

2 2

5 5

2

2 3y y 3.2 y 3 y y

    

         

    

  Với y=1,2 suy y2 1, 44

Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :

a

4 1

2

3

3

2

3

3

8

2

a a b b

A a

a

a ab b



 



    

 

 

  ĐS: A=0

b

1 1

3 3

1 1

3 3 3

8

6

2

b a a b a b

B

a b a a b b

 

   

 

 

    

 

Giải

a/

 

1

4 1

2

3 3

3

3

2 2 1 1

3

3 3 3 3

8

2 4

a a b

a a b b a

A a a

a

a ab b a a b b a b



  



      

 

    

   

2

2

3

3

2 1 2 1 3 3 3 3

8

0

2 4

a a b a a b

a a

a b

a a b a b a b a b b

 

    



    

b/

1 2 3 3

1 1 2

3 3 3

1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

2

8

6

2 2

a b a b

b a a b a b b a a b

B

a b a a b b b a b a b a

   



 

   

        

    

 

   

         

    

 

 

2

2 1 1

3 3 3

2 3

3

1

3

4 2

8

6

2

b a b a a b

b a b a ab

a b ab

b a

b a

   

       

 

     

     



 

   

  

   

 

   

 

a

1

5

3 1

3

2 4

A=3 : 2    : 16 : 3 

     

   

  ( đáp số : A= 15/2 )

b    

1

2

4 0,25

0,5 625 19

4

B



   

      

 

Giải

a/

1

1 3 5 7 1 1 1 2 1

5

3 1 2 3 4 3 4 4 2 2

3

2 4

4

3 5 3 15 A= : : 16 :

2 2

  

       

   

  

   

         

         

   

 

 

b/

     

 

1

1 1

2

4 0,25 4 4

3

1 19

0,5 625 19 19 16 10

4 2 3 27 27

B

  



       

                  

      

Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :

a

1 1

1 2

4

3 1 1

4 4

:

a b a b

A a b

a a b a b



 

 

 

 

    

   

 

 

  b

3 3

4 4

1 2

a b a b

B ab

a b

    

 

    

   

 

 

 



 

 

 

Giải a/

1 1 1

1 1

2 2 2

4 4

3 1 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4

1

: :

a b a b a b a b a b a a b

A a b a b

a a b a b a a b a b a a b a b

 

   

   

      

   

         

             

     

   

       

       

 

1 1 2 1 2

b a b b

a

a a b

 



 

 

 

  

 

b/

 

 

3 3 3 1 1 1

4 4 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

a b a b a b a b a b a b a b

B ab a b

a b a b a b

         

      

         

       

   

     

     

 

      

   

 

   

Bài 8 a Rút gọn biểu thức sau :

 

3 1

1

2 2

2 1

2 ax

x a x a

C

x a

x a

   

 

   

 

    



   

    (đáp số C=1)

b Chứng minh :  

3

3 3

2 2 2

a  a b  b  b a  a  b

a/

 

2

1 1

2 2 2 2 2

3 1 1

1 1

2 2 2

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

ax

x a x x a a

x a x a x a

C x a

x a

x a x a x a x a

      

  

          

      

       

   

          

   

       

       

     

   

2 1 2

2 1 2

1

x a

x a

 



 

 

 

 



 

 

b Chứng minh :  

3

3 3

2 2 2

a  a b  b  b a  a  b

a2 a b4 2 b2 a b2 4 2 2a b2 a23a b2 b23 a b4 a2 33 a b4 33 a b2 b2

          

3 3 3 3 3

2 2 4 2 4 2 4 8 6

2a b a a b b a b a b a b 2a b a b a b a b a b a b

          

Bài 9.

a Không dùng bảng số máy tính tính :

36 847 36 847

27 27

  

( đáp số : =3 )

b Chứng minh :      

8

8

8

1

3 3

3    

Giải

a/ Đặt y=

3

36 847 847 12 3 847 847 12 336 847

27 27 y y 27 27 y 27

    

 

                

    

 

  

3

3125

12 12 5 12 3

27

y y y y y y y y

             

b/              

8 4

8 4

1 3 3 ;VP 3

         

 2  2 VT

      

Bài 10 Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ biểu thức sau :

2

a A b  

11 16

:

B a a a a a a

c C4 x23 x x0 d  

5 b a3

D ab

a b

 

Giải

1

1 5 5

3

1 3 3 5

5 2 2 2 2 5 10

2 2 2 2 2 2

a A

 

   

       

    

          

   

     

    

   

 

b/

1

1 2

1 15

1 2 2

11 2 11 2 11 2 11 16

1

16 16 16

11 16

: : : : a

B a a a a a a a a a a a a a a a

a 



 

   

       

    

           

   

     

    

   

 

 

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1. Đơn giản biểu thức :

a

2 2.

a a



 

 

  b a.4 a a2: 4 c  

3

a

d a a1,3:3 a3 Giải

a  

2

2

2. 2

a a a a a a

a 



 

 

  

 

  b/

1 2

4

: a

a a a a a a

a

  



  

c/  

3 3

a a a

d/

2 1,3

2 1,3 1,3

2

: a a

a a a a

a

 

Bài 2 Đơn giản biểu thức :

a  

2 2

2

a b

a b



 

b

   3 3 3

1

a a a a

a a

  

 (đáp số : a 31)

c

5 7

3 3

a b

a a b b



  (đáp số :

5

3

a  b ) d  

1

4

a b ab



     

  

  (đáp số : a  b

Giải

a/  

   

   

2 3

2 2 3

2 2 3

2 3

2

1 a b a b

a b a b a b a

a b

a b

a b a b

 

   

    

 

 

b/

         

     

2 3 3 3 3 3

3

4 3 3 3

1 1

1

1

a a a a a a a a a

a

a a a a a a

      

  

   

c/

5 7

3 3 3

5

5

3

2 7 7

3 3 3 3

a b a a b b

a b

a b

a a b b a a b b

   

  

   

   

    

  

   

d/    

1

2 2 2

4

a b ab a b a b a b a b a b



              

           

 

DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ

 Nếu hai số hai khơng số , ta phải đưa chúng dạng có số ,

 Nếu hai số hai lũy thừa , ta phải ý đến số , sau sử dụng tính chất lũy

thừa dạng bất đẳng thức Bài 1 Hãy so sánh cặp số sau :

a 330  520 b 45  37 c 17  328

d 413 23 e

3

1

3

   



   

    f 4 

Giải

a/ 30  20 Ta có

15 15

3

15 15

30 30 243.10

30 20 20 20 8.10

  



 



 

 

b/ 45  Ta có :

3 12

4 12

3

4 12

3 12

5 125

7

7 2401

  



 



 

 

c/ 17  28 Ta có :

6

3

3

17 17 4913

17 28 28 28 784

  



 



 

 

d/ 413 523 Ta có :

20 20

5 20

5 20

13 13 371.293

13 23 23 23 279.841

  



 



 

 

e/

3

1

3

   



   

    Vì

3

1

3

3

   

     

   

f/  ;7  5 4

Bài 2 Hãy so sánh cặp số sau :

a 21,7  20,8 b

1,7 0,8

1

2

   



   

    c

1,2

3

2

   



   

   

   

d

5

1



 



 

  e

2,5 12

2

  

  

  f

5

6

0,7  0,7 Giải

a/ 21,7  ;0,8 vi:1,7 0,8  21,7 20,8 b/ 1,7 0,8 1,7 0,8 1,7 0,8

1 1

; : 1

2 2

2

do

  

       

   

       

 

        



c/

1,2 1, 2 1,2

3 3

; : 3

2 0 1 2

2

do

 

        

  

        

       

 

        

d/

5

0

2

5

5 2 5

1; :

7 7

0

7

do

 



 

 

     

    

     

        



 ;

e/

   2   2,5

2,5 6,25

12 12 6,25 12

2 ; : 2

2 do

 

      

      



  

f/

2

5

5

6 36 36

6

0,7 0,7 ; : 0, 0,7

0 0,7

do

      

     

     

 

 

   

  



Bài 3 Chứng minh :202303 2

Giải

Ta có :

20 20

20 30 30

30

2 1

2 3 1

  



  



 

 

Bài 4 Tìm GTLN hàm số sau

a y3 x x b  

2

sin 0,5 x

y

Giải a/ y3 x x

Đặt  

2 1

0 ' axy=y

2

t x   yx x t t t  y  t   t  m  

 

Do :

1

4

4

3 x x 3

y   GTLNy

    

b/  

2

sin 0,5 x

y Vì :

2

2 sin sin 1

0 sin 0,5 0,5 0,5

2

x x

x y GTLNy

         

Bài 5 Tìm GTNN hàm số sau “

a y2x2x b y2x123x c

2

sin os

5 x 5c x

y  e

x x

y e 

Giải

a/

2

2 2

2

x x

x x

GTNNy

y  x x x



 

        

 



b/

1

1 3 2

2 2 2

1

x x

x x x x

y y x

x x

 

      

          

   



c/

2

2 2 sin os

sin os sin os

2

5

5 5 os2x=0 x=

4

sin os x c x

x c x x c x

y y c k

x c x

 

  

          

 



e/ 

2

1

1 2 1

x x

x x

y e  e e  e  x

Bài 1 Hãy vẽ đồ thị cặp hàm số sau hệ trục a

1

4

y x  y x b y x  y x 5

c

1

2

y x  y x

( Học sinh tự vẽ đồ thị )

Bài 2 Chứng minh hàm số sau đơn điệu : 2

2

x x

y



 

Sau khảo sát vẽ đồ thị ? Giải

Giả sử :

 

     

 

     

1

1 2

1

1 2

1

2

2 2

1

2 2 2

2

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

   

 

   

  

         

    

     

   



   

1 2

1

1

2 2

2

x x x x x x

y x y x

   

  

   

 

 Vậy hàm số đồng biến R

Bài 3 Trong hàm số sau , hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ?

a

x

y  

  b

2 x

y e

 

 

  c

3

x

y 



  d

1

3 x x

y   

  



 

Giải

a/

x

y  

  Do 3

x

y

  

   

  Là hàm số đồng biến

b/

2 x

y e

 

    Do

2

0

x

y

e e

 

    

  Là hàm số nghịch biến

c/

3

x

y 



  Do  

3

3

3

x

y  

     

    là hàm số nghịch biến

d/  

1

3

3

3 3

x

x x

x

y 

   



   

     

 

 

 

   

  là hàm số đồng biến ( 3 3 )

BÀI TẬP VỀ LƠ-GA-RÍT

I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định hàm số sau :

a

1

1 log

5

x y

x

 



b

2

1

5

1 log log

3

x y

x

  

  



  c

3 log

1

x y

x

 

 f

2 0,3

2 log log

5

x y

x

  

  



 

d

2

1

2

log log

1

x

y x x

x



   

 e  

2

2

lg

6

y x x

x x

    

  g

1 log

2

x y

x

 



a/ 12 log

5

x y

x

 

 Điều kiện :

1

1

log 1 1 0 0 1

1 1

1

1

1 0 1 1 1 1

0

1

x x

x

x

x x

x x

x

x x x x x

x x



   

 

  

       

    

    

   

 

             



   



Vậy D=1;

b/

2

1

5

1 log log

3

x y

x

  

  



  Điều kiện :

2 2

1

2

2

5 2

2

1 2

log log 0

3 1 3

1

1 14

0 log

3

0 3

1

0

3

x x x

x x x

x x x x

x x x

x

x x

x

      



    



   

  

 

    

  

    

  

  

    

 

    

 

 

 

 

   

3

3; 2;7

3

x x

x

x x

     



      

        



Phần cịn lại học sinh tự giải

Bài 2 Tính giá trị biểu thức sau :

a

9

125

1

log log 8 log 2

4

81  25 .49

 



 

  b

1

log 3log

1 log 2

16 4 



c

7

3

1log log 6

log

72 49  5 



 

  d 36log 56 101 lg2  3log 369

Giải

a/

 

9 125 7 53 7

1 1 1

log log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2

4 4 2

81  25 .49 3    5 7

 

   

  

   

 

 

=

5

3

1 3log

1 log log

3 4 19

4



   

   

   

 

 

b/  

1log 3log 5

2 log log 6log

1 log 2

16 4  4  2  16.25 3.2 592

     

c/  

7 5

7

1log log 6

log log 2log 6 2log 4

2

72 49 72 72 18

36 16

 

 

   

      

   

 

  4,5=22,5

d/36log 56 101 lg2  3log 369 6log 256 10log5  25 30

II SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị biểu thức sau :

a Alog 15 log 18 log 109   b

3

1 1

3 3

1

2log log 400 3log 45

B  

c 36 16

1 log log

2

C 

d 14 

log log 4.log

Giải

a/

3

9 9 9

15.18

log 15 log 18 log 10 log log log

10 2

A      

b/

2

3

1 1 1

3 3 3

1 36.45

2log log 400 3log 45 log log log

2 20

B       

 

c/ 36 16 6

1 1 1

log log log log log 2.3

2 2 2

C     

d/ 14  4  4 

1

log log 4.log log log 3.log log log log

2

D    

Bài 2 Hãy tính

a A log 2sin2 12 log os2c 12

 

 

  

  b    

3

3 3

4

log log 49 21

B    

c log tan log cot 410  10 d D 4 4

1

log log 216 2log 10 4log 3

x

   

Giải

a/ 2 2

1 log 2sin log os log 2sin os log sin log

12 12 12 12

A    c     c       

     

b/          

3

3 3 3 3

4 4

log log 49 21 log 49 21 log

B             

 

c/ C=log tan log cot log tan 4.cot 410  10    log1 0 d/

4

3

4 4 4 4

1 6.3

log log 216 2log 10 4log log log 10 log log

3 10 50

x        x

Bài 3 Hãy tính :

a 2011  

1 1

2011!

log log log log

A x

x x x x

     

b Chứng minh :



  ax

log log log

1 log

a a

a

b x

bx

x

 





 

2

1

1 1

loga loga logak 2loga

k k

x x x x



   

Giải

a/ 2011

1 1

log log log 2011 log 1.2.3 2011

log log log log x x x x

A

x x x x

         

log 2011!x

 Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011! 1 b/ Chứng minh : ax 

log log log

1 log

a a

a

b x

bx

x

 



Vế trái : ax  

log log log log

log ax log

a a a

a a

bx b x

bx VP dpcm

x



   

Chứng minh :

 

2

1

1 1

loga loga logak 2loga

k k

x x x x



   

VT=  

 

2

log log log log

2log k

x x x x

a

k k

a a a k a VP

x



        

Bài 4 Tính :

a Alogaa3 a a5 b

2

loga

B a a a a c

5 33

1 4

log a

a a a

a a

d log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 e Alog 2.log 3.log log 14.log 153 15 16

Giải

a/

1

3 5 1 37

log log

2 10

a a

A a a a  a      

 

b/

1

3

1

1

2

3 5

3

27

log log 1

10 10

a a

B a a a a a

 

   

 

 

 

 

      

   

 

 

c/

3

5 3

1 1

2

34 91

log log

15 60 a

a

a a a a

a a a

 



 

 

 

    

   

 

 

d/

0 0 0 0 0

log tan1 log tan log tan  log tan 89 log tan1 tan 89 tan tan 87 tan 45  0 ( : tan 890 cot10 tan1 tan 890 tan1 cot10 1; Tương tự suy kết

e/ 15 16 16 15 16

1 log 2.log 3.log log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log log

4

A   

Bài 5 Chứng minh :

a.Nếu : a2b2 c a2; 0,b0,c0,c b 1, :

logc b alogc b a2 logc b a.logc b a

b Nếu 0<N1thì điều kiện có đủ để ba số dương a,b,c tạo thành cấp số nhân ( theo thứ tự ) :

 

log log log

, , log log log

a a b

c b c

N N N

a b c

N N N



 



c Nếu : log ,log ,logxa yb zctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự )thì :

 

2log log

log , , , , ,

log log

a c

b

a c

x z

y x y z a b c

x z

  



d Giả sử a,b hai số dương thỏa mãn : a2b2 7ab Chứng minh :

ln ln ln

3

a b a b



Giải

1

2 2log log log log

log log c b c b c b c b

c b c b

a a a a

a a    

 

     

b/ Nếu số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta có : b2 ac

Lấy lo ga rít số N vế :

1 1

2log log log

log log log log

N N N

b a c b

b a c

N N N N

      

log log log log log log log

log log log log log log log

a b b c a a b

a b c b c b c

N N N N N N N

N N N N N N N

  

   

 ( đpcm )

c/ Nếu : log ,log ,logxa yb zctạo thành cấp số cộng logxalogzc2logyb 2log log

1

log

log log log log log

a c

b

a c b a c

x z

y

x z y x z

    



d/ Nếu :  

2

2 7 9

3

a b

a b  ab a b  ab    ab

  Lấy lê be vế ta có :

ln ln

2ln ln ln ln

3

a b a b a b

a b

  

   

   

   

   

III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1. Tính

a.Alog 166 Biết : log 2712 x

b Blog 30125 Biết : log 3a;log 2b c Clog 1353 Biết: log 52 a;log 32 b d Dlog 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 142 a

Giải

a/ Alog 166 Từ :

3

12 3

3

log 27 3 3

log 27 log log

log 12 log

x x

x x

x x x

 

         



(*) Do :

4

3

6

3

log log log 16

log log

A  

 Thay từ (*) vào ta có : A=

 

 

2 12

3

x x x

x x x

 



 

c/ Từ :

3

3 3

2

log

log 135 log 5.3 log 3 log

a a b

C

b b



        

d/ Ta có : 27 3 2

1

log log log ; log log log

3

a    a b    b

(*) Suy :

 

2

2 2

6

2 2

3

log 3.log log

log 5.7 log log 3

log 35

log 2.3 log log 1

b a

b a b

D

b b

 

 

     

   

e/ Ta có : log 142   a log 72  a log 72  a

Vậy :  

5

49

2

log 5

log 32

log 2log a

  



Bài 2 Rút gọn biểu thức

b  

 

log log

2

2 2

1

log log log

2

x x

B x x x  x

  

c C loga plogpa2 log a p logap p loga p Giải

a/      

2 log

log log log log log 1 log

log a

a b a ab b ab

a

b

A b a b b a a

b

  

         

 

2 2

log log log 1 log log

1 1 1

log log log log log log

a a a a a

a a a a a a

b a b b b

b ab b b b b

              

      

           

 

           

log 1

1 log

log log

a

b

a a

b

a

b b



   

b/  

       2

log log

2

2 2 2 2

1

log log log 2log log log 4log

2

x x

B x x x  x x x x x

        

 2  2  2

2 2 2

1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x1

c/  

 2

2

log log

log log log log log log log

log log

a a

a p a ap a a a

a a

p p

C p a p p p p p

p p

  

        



 

 

 

2 3

log log

log log log log

a a

a a

a a

p p

p p

p p

  

   



 

Bài 3 Trong trường hợp sau , tính logax , biết logab3;logac2:

a x a b c b

4 3

a b

x c



c

24

a bc

x

ab c



Giải

a/ Ta có :  

3

log log 2log log 2.3

2

ax a a b c   ab ac    

b/Ta có :

 

3

1 28

log log log 3log 10

3 3

a a a a

a b

x c c

c

 

           

 

c/ Ta có :

24

1 1 161

log log log log 4log log 12

4 12

a a a a a a

a bc

x b c b c

ab c

 

              

 

 

Bài 4 Chứng minh

a    

1

log log log log

a b   a b

với : a3b0;a29b2 10ab b Cho a,b,c đôi khác khác 1, ta có :



2

loga loga

b c

c  b ; log log logab bc ca1

 Trong ba số :

2 2

loga ;logb ;logc

b c a

c a b

b c a ln có số lớn 1

a/ Từ giả thiết :  

2 2

3 0; 10 4

a b a  b  ab a  ab b  ab a b  ab

Ta lấy log vế :      

1

2log 2log log log log log log log

a b   a b a b   a b

b/ Chứng minh :

2

loga loga

b c

c  b

* Thật :

1

2

loga loga loga loga loga loga

b c c b c c

c b b c b b



   

        

   

* log log logab bc ca 1 log logab balogaa1 * Từ kết ta có :

2

2 2

loga logb logc loga logb logc

b c a b c a

c a b b c a

b c a c a b

 

  

  Chứng tỏ số ln có số lớn

hơn

IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH

 Nếu so sánh hai loga rít có số ta ý đến số hai trường hợp (0;1)

và lớn để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với

 Trong trường hợp hai lo ga rít khác sơ , khác biểu thức bị lo ga rít hóa ta chọn

một số b Sau ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ suy kết

 Ví dụ 1: so sánh hai số :

1 log log

3



Ta có :

3 4

1

log log 1;log log log log

3

     

 Ví dụ So sánh : 3log 1,16  7log 0,996 Ta có :

6 6 6

log 1,1 log log 0,99 log log 1,1 log 0,99 3 1; 7  1 7 Bài 1 Khơng dùng bảng số máy tính Hãy so sánh : a log0,4 2 log 0,340,2 b

5

3

3

log log

4 c

5

1 log log 2

2  d log log 33  2

e log log 112  f

2

2log log

2



 g

5 log log

11   18

h

3

9

8 log log

9

9



 k

6

1 log log

2

3

18



 



 

 

Giải

a/ log0,4 2 log 0,340,2 Ta có :

0,4 0,4

0,2 0,4 0,2 0,2

2 log log

log 0,3 log 0,3 log 0,3 log

    



 



   

 

b/ 53 43

3

log log

4  5 Ta có :

5

3

3

4

3

4

5 3

1 log log

3 4

log log

3 2

0 1,0 log log

4 5



      

 

 



       

c/ 5

1 log log 2

2  Ta có :

5

5

5

log log

5

1

log log 1 0 5

2

5

log log 2

1 log log

1 2

log log 3

2

     



 



    

 

d/ log log 33  Ta có :

3 3

2

2 2

log log log log

log log log log log log

    



 



    



e/ log log 112  Ta có :

2

3

3

1 log

log 11 log log 11 log

 



 



 



f/

2

2log log

2



 Ta có :

2

2

25 2log log log

9

2 2

2

25 25

2log log log 25 log log 2

9



      

Nhưng :

2

2 2log log

2

25 25 625 648

8

9 81 81



     

g/ log log

11

4   18 Ta có :

2 2

2 2

9 11

5 log log log log log 2log log

5 11

11 11 11 81.11

4 2

5



 

    

Nhưng :

2

5 log log

11 81.11 891 90

18 18

5 5



    

h/

3

9

8 log log

9

9   5 Ta có :

3 3

3

3

9

8 8 8 2.3

log log 2log 2 log log log log

9 9 9 8 36 40

9 3

8

8

 

    

 

      

k/

6

1 log log

2

3

18



 



 

  .

Ta có :

6

6

6 6

1

log 2log log

log log log 10 10 3

1 1

6 6 18

6 10 1000



  

 

     

 

 

Bài 2 Hãy so sánh :

a log 10 log 302  b log log 43  c

3

2lne ln

e

 

Giải

a/ log 10 log 302  Ta có :

2

2

5

log 10 log

log 10 log 30 log 30 log 36

 



 



 



b/ log log 43  Ta có :

3

3

7

log log

log log log log

 



 



 



c/

3

2lne ln

e

 

Ta có :

3

3 2ln 2.3

1 ln 2ln

8 ln

e

e e

e

  



  



   

 

a 12 log log

2

  

b 4log 75 7log 45

c log log 23   d 3log 52 5log 32

e

log log19 log

2   f

5 log log log

2

 



Giải

a/ 12

1 log log

2

  

Ta có :

 

1

2

3

1 1

log log *

1

log log

2

   

Nhưng :

3 3

3

1 1 1

log log log

1

2 log log

2

        

b/ 4log 75 7log 45

Ta có :  

5

5 log 7

log log log 7.log log

4  7 7

Vậy số c/ log log 23   Ta có :

3

3 log log log log

log

     

d/ 3log 52 5log 32

Ta có :  

2

5

2 log log log 5.log

log log

3  5 5

e/

log log19 log

2   Ta có :

1

log log 10 log log 10 log 900

19 361

log19 log log log

2



    

  

   

 

361

log 900 log log log19 log

4

     

f/

5 log log log

2

 



Ta có :

5 7 log log

5 log log

2 2

  

   

Bài 4 Hãy so sánh :

a 3

6

log log

5 b 13 13

log log 17

c 12 12 log e log 

d

2

5

log log

2 

Giải

a/Ta có :

3

3

3

6

log log

6

5 log log

5 6

log log

6



 

 

 



  



 Hoặc :

3

6

6

log log

5

3

  

 

   

b/ 13 13 log log 17

Ta có :

1

3

1

0

log log 17

9 17



 



 

c/ 12 12 log e log 

Ta có :

1

2

1

0

log log

2 e

e

 



 



 

   

HÀM SỐ LO-GA-RÍT I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm hàm số sau :

a  

2

2 x

y x  x e

b ys inx-cosxe2x c

x x

x x

e e

y

e e

 

 



d  

2 ln

y x 

e

lnx y

x



f y 1 lnxlnx Giải

a/        

2 2 2 x ' 2 2 x 2 2 x x

y x  x e  y  x e  x  x e  x e

b/ ysinx-cosxe2x  y'cosx+sinxe2x2 s inx-cosx e2x 3sinx c osxe2x

c/

       

 2  2

4 '

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

e e e e e e e e

e e

y y

e e e e e e

   



  

    



   

  

d/  

2

2

ln '

1

x

y x y

x

   

 e/ 2

ln 1 ln

' ln

x x

y y x x

x x x x



 

     

 

f/  

ln ln 2ln

1 ln ln ' x x x

y x x y

x x x

 

     

Bài 2 Tính đạo hàm hàm số sau :

a  

2ln 1

y x x 

b  

2

log x  x1

c y3ln2x

d

4 log

4

x y

x



 

  



  e

2

9 log

5

x y

x

  

  



  f

1 log

2

x y

x

  

  

 

 

Giải

a/          

2

2 2

2

ln ' ln ln

2

x x x

y x x y x x x x

x x

        

 

b/

 

 

2

2

2

log '

1 ln

x

y x x y

x x



    

 

c/    

2

3 3 3

3

2

ln ' ln ' ln

3 ln

y x y x x

x x x



 

     

 

d/    

2 2

4 16 16

log ' :

4 ln 4 ln

x x

y y

x x x x

 

 

 

     

 

  

    

e/

 

    

2

2 2

3 2

2

9 10

log ' :

5 ln 5 ln

x x x

x x x x

y y

x x x x x

    

     

      

      

f/

   

 

1

1 1

log ' :

ln10

2 16 ln10

x x

x x

y y

x x x x x x

                       

II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm giới hạn sau :

a

   

0

ln ln lim x x x x     b  

ln lim sin x x x   c  

ln lim x x x   d

5 3 lim x x e e x   

e

1 lim 1 x x e x  

  f

 3

0 ln lim x x x   Giải a/        

0 0

ln ln ln ln

lim lim lim

3

3

x x x

x x x x

x x x

             b/     0

ln 3

ln 3

lim lim

sin

sin 2

2 x x x x x x x x x x      

, c/

   

0

ln ln

lim lim 4

4 x x x x x x       d/    

5 3

3

0

1 5

lim lim

2

x x

x x

e

e e e

e x x       

, e/ 0  

1

lim lim 1 1.2

1 x x x x e e x x x           

Bài 2 Tìm giới hạn sau a

 

0

ln lim tan x x x   b lim x x x e e x   c lim x x e x   d lim x x  xe x

 



 

  e

sin lim

x

x x

 f

1 os5 lim x c x x   Giải a/     0

ln 2

ln 2

lim lim

tan tan x x x x x x x x x x       b/  

2 3

0 0

1

lim lim lim3

5

5 .2 5 5

2

x x x x

x x x

e e e e

x x x

           c/ 3 0 1

lim lim 3

3 x x x x e e x x       d/ 1 1

lim lim lim

1 x

x x

x x x

e

xe x x e

x                                 

e/ 0

sin sin

lim lim3

3

x x

x x

x x

    f/

2 2 0 2sin

1 os5 2 25

Bài 3. Tìm giới hạn sau :

a

osx os3 lim

sin x

c c x

x 



b

lim t anx os

x c x

 



 

 

c  

3 lim sin

x  x x d

4

2 2cos lim

sin x

x x

 



 

  

 

 

  

 

 

 

 

Giải

a/

 

2 2

0 0

2sin sin

osx os3 4cos sin

lim lim lim

sin sin sin

x x x

x x

c c x x x

x x x

  

 



  

b/

lim t anx os

x c x

 



 

 

Đặt :

1 1 ost

t anx= tan cot

2 osx cos sin sint

2

c

t x x t t t

c t t

  





 

           

    

 

 

2 2sin

2 tan

t 2

2sin os 2

t

t t

c

 

Khi

0

tan

1 2

; lim t anx lim

2 os

2 t

x

t

x t

t

c x t





 

 

      

 

c/  

3 lim sin

x  x x Đặt :  

  0 

;

1

lim sin lim 3

3

2 x t

x t

t x t

x t t

x x

x t   

   



         

     



 



d/

2 2cos lim

sin x

x x

 



 

  

 

 

  

 

 

 

  Đặt :

 

; ;

4

2 2cos

2 ost+sint

2 2cos

4

sin sint

sin

x t x t

x t t

c x

t x

 

 

 

   

 

  

       



  

  

  



 



 



Do :

  2sin2 2sin t os t sin os t

2 ost+sint 2 2 2 2 2

2 2 tan

t t

sint 2sin os os

2 2

t t

c c

c t

t

c c

 



   

Vậy :

2 2cos

lim lim tan 2

2 sin

4

t o x

x t

x

  



 

  

 

     

 

    

 

 

 