Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích của tam giác ABC.. Sự biến thiên. Chiều biến thiên.[r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐỀ KIỂM TRA SỐ - NĂM 2008
GV: Trần Đình Hiền Mơn thi : Tốn
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m –
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2 Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 =
Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình : + 3(sinx + cosx) + sin2x + cos2x =
2 Tìm m để phương trình 2 ( 4) 2 2 14
4 x
x x m x x x m
x
có nghiệm thực
Câu III: (2 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng 1 :
1
x y z
,
2 : 1
1
x y z
1 Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 tạo với đường thẳng 1 góc 300
Câu IV: (2 điểm) Tính tích phân :
2
1
ln(x 1)
I dx
x
2 Cho x, y, z > x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
1 1
2 2
P
x yz y zx z xy
Câu Va: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh AB: x + y – = , phương trình cạnh AC : x – 7y + = 0, đường thẳng BC qua điểm M(1; 10) Viết phương trình cạnh BC tính diện tích tam giác ABC
2 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niutơn
n
x x
, biết
2
1
n n n
A C n
(n số nguyên dương, x > 0, Ank số chỉnhhợp chập k n phần tử, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA SỐ – GV: Trần Đình Hiền
Câu Nội dung Điểm
I-1 Khi m = 1. Ta có hàm số y = - x3 + 3x2 –
Tập xác định D = R
Sự biến thiên Chiều biến thiên
y’ = - 3x2
+ 6x , y’ = x = v x =
y’> x ( 0;2) Hàm số đồng biến khoảng ( 0; 2)
y’ < x (- ∞; 0) (2; +∞).Hàm số nghịch biến khoảng (- ∞;0) (2; +∞)
0,25
Cực trị. Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = y(2) = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = y(0) = -
Giới hạn. ( 3 4) , ( 3 4)
xLim x x xLim x x Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
0,25
Tính lồi, lõm điểm uốn.
y’’ = - 6x +6 , y’’ = x =
x -∞ +∞
y’’ + -
Đồ thị
Lõm Điểm uốn Lồi
I(1; - 2)
Bảng biến thiên.
x -∞ +∞
y’ - + -
y +∞ (I)
-
- -∞
0,25
Đồ thị.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai điểm (- 1; 0) , (2; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; -4) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm uốn I(1;- 2)
Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn k = y’(1) = f(x)=-x^3+3x^2-4
-3 -2 -1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
x y
0,25
I-2 Ta có y’ = - 3x2
+ 6mx ; y’ = x = v x = 2m
Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt m 0,25 Hai điểm cực trị A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)
Trung điểm I đoạn thẳng AB I(m ; 2m3 – 3m – 1)
Vectơ AB(2 ; 4m m3); Một vectơ phương đường thẳng d u(8; 1)
0,25 Hai điểm cực đại , cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d I d
AB d
0,25
3
8(2 1) 74
m m m
(3)II-1 Tập xác định D = R
Phương trình cho tương đương với ( s inxsin )x cosx (1 cos2 )x 0 0,25
( s inx2s inx.cos )x ( cosx2 osc x)0 s inx( 32cos )x cos ( 3x 2cos )x 0 0,25
( 32cos )(s inxx cos )x 0
3 cos
2 s inx cos
x
x
0,25
5
6
4
2
, t anx
x k
x k
k Z
x k
0,25 II-2
Điều kiện:
2
2
4
8
x x
x x
x x
0,25
Phương trình cho tương đương với 2 | | 2 2 14
4 x
x x m x x x m
x
2
( x 2x 8) m 2x x 2x x m
(1)
Đặt t =
82xx ; Khi x - 2; 4) t 0; 3 (2) Phương trình trở thành : - t2 – mt + 2t – – m =
2
2
1 t t m
t
0,25
Xét hàm số
2
2
( ) ; 0;3
1 t t
f t t
t
; f’(t) =
2
2
( 1) t t
t
; f’(t) = t = - v t = Bảng biến thiên hàm số f(t) đoạn ;
t -∞ -4 -1 +∞
f’(t) - + + + -
f(t)
-
-6
0,25
Phương trình đx cho có nghiệm x - 2; 4) Phương trình (2) có nghiệm t 0;
Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t 0; - ≤ m ≤ - 0,25 III-1 Đường thẳng 1 có vectơ phương
1 (1; 2;1)
u , Điểm M O(0; 0; 0) 1 0,25 Đường thẳng 2 có vectơ phương u2 (1; 1;3) , điểm N(1;-1;1) 2 0,25
Ta có 1, 2 1 1; ; ( 5; 2;1)
1 3 1
u u
; ON (1; 1;1) 0,25
Ta có u u1, 2.ON 5 2 Suy hai đường thẳng 1 2 chéo 0,25 III -2
Phương trình đường thẳng 2 :
0
3
x y y z
(4)Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 có dạng
(x + y) + (3y + z + 2) = với 2 + 2 x + ( + 3)y + z + 2 = Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n( ; 3 ; )
0,25 Mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 Ta có sin(1,(P)) = | os( , ) |c u n1
sin300 =
2 2
| 2( ) |
6 ( )
2
3 35 | | 0,25 22 - - 102 = (2 - 5)( + 2) = 2 = 5 v = - 2
Với 2 = 5 chọn = 5, = ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 5x + 11y + 2z + =
Với = - 2 chọn = 2, = - ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y – z – =
Kết luận: Có hai phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn 5x + 11y + 2z + = ; 2x – y – z – =
0,25 IV-1 Đặt 2 2 ln( 1) 1 x du u x x dx dv v x x 0,25
Do I =
2 2 2 ln( 1)
2 ( 1)
x dx
x x x
0,25 2
ln ln
2
x dx x x
2 22
1
ln ln ( 1)
2
dx d x
x x
0,25
2
ln ln
ln | | ln | |
2 x x
=
5 ln ln
8
0,25
IV -2 Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ 33 xyz (xyz)3 ≥ 27.xyz xyz ≥ 3 3 0,25
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
x2 + yz + yz ≥ 3 (3 xyz)2 ; y2 + zx + zx ≥ 3 (3 xyz)2 ; z2 + xy + xy ≥ 3 (3 xyz)2 0,25
Từ ta có P
2 2 2
3 3 3
1 1 1
3 (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (3 3)
0,25
Từ ta có Max P =
3 đạt
x y z
x y z x y z xyz
0,25
Va-1
Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình:
7
x y x
x y y
Hay A(2;1)
Phương trình đường phân giác góc A
2
x y x y
2
3
3
d x y d x y 0,25 Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A đường cao
* Nếu d1 đường cao tam giác ABC kẻ từ A phương trình cạnh BC 3x – y + = * Nếu d2 đường cao tam giác ABC kẻ từ A phương trình cạnh BC x + 3y - 31 =
0,25 TH1: Phương trình cạnh BC: 3x – y + =
Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình
3
x y x
x y y
Hay B(-1; 4)
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình
11 5
7
3
x x y x y y
Hay C( 11 5;5
(5)TH2: Phương trình cạnh BC: x +3y - 31 =
Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình 11
3 31 14
x y x
x y y
Hay B(-11; 14)
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình 1015
18
7
3 31
x x y
x y
y
Hay C(101 18 ; ) Diện tích tam giác ABC : ( , ) 104 .13 676
2 5
S d C AB AB (đvdt)
0,25
Va-2 Giải phương trình
1
n n n
A C n ; Điều kiện: n ≥ ; n N Phương trình tương đương với ( 1) ( 1)!
2!( 1)! n
n n n
n
( 1)
( 1)
2 n n
n n n n2 – 11n – 12 = n = - (Loại) v n = 12
0,25
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:
12
1 2x
x
Số hạng thứ k + khai triển : Tk +1 =
12 12
1 (2 )
k
k k
C x
x
; k N, ≤ k ≤ 12 Hay Tk+ = 12
12
k k k
C x x =
24
12 2
12.2
k k k
C x
0,25
Số hạng không chứa x , 12
24
k N k
k k
0,25
Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C128 24 7920 0,25
Chú ý:
I – Cách chấm thi tự luận:
1)Học sinh dùng mực đỏ để gạch chân chỗ sai thi
2) Học sinh làm cách khác với đáp án , cho điểm tố đa câu !
3) Học sinh làm sai sót bước 0, 25 đ cắt 0, 25 điểm
4) Một tốn bước trên(0,25 đ) sai kết bước phía (0,25 đ) liên quan đến bước cắt điểm từ chỗ làm sai bước sau có liên quan
5) Một toán bước trên(0,25 đ) sai bước phía (0,25 đ) khơng liên quan đến bước phía cho 0, 25 đ
6) Học sinh cho điểm câu Sau cộng điểm câu để có điểm thi
II – Phương pháp học tập:
1) Học sinh cần trình bày đầy đủ câu dẫn, dấu tương đương “”, v , không được viết tắt (trừ ký hiệu toán học cho phép ), không làm ngắn gọn với đáp án
2) Học sinh thi theo chương trình THPT khơng phân ban cần có tài liệu theo chủ đề nội dung câu đề thi để học tập tích luỹ kiến thức
3) Cần tích cực, chủ động đọc tài liệu tham khảo, tự làm đề thi thử, đề tham khảo , đề thi để nâng cao trình độ kiến thức kỹ thuật, kỹ trình bày thi tự luận