H1 Viết tập hợp X tất cả các chữ cái trong dòng chữ “Không có gì quý hơn độc lập tự do”. Hỏi đây có phải là bài toán chứng minh hai tập hợp bằng nhau hay không? Nếu phải, hãy nêu hai t[r]
(1)CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
§1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN M nh đ gì?ệ ề
+Một mệnh đề lơgic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định câu khẳng định sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề đúng Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Một mệnh đề vừa vừa sai
Chú ý: Câu câu khẳng định câu khẳng định mà khơng có tính đúng-sai (tính đúng, sai) khơng phải mệnh đề
H1 Điền dấu vào thích h p b ng sau:ợ ả
Câu Mệnh đề Mệnh đề sai Không mệnh đề
Hãy nhanh lên! + + = 15
Số 13 số nguyên tố Hôm trời đẹp quá! Bây giờ? 2 Mệnh đề phủ định
+Cho mệnh đề P Mệnh đề “không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu làP +Mệnh đề P mệnh đề phủ địnhP hai câu khẳng định trái ngược Nếu P thìPsai, P sai Pđúng
Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “5 số hữu tỉ ” Khi đó, mệnh đề phủ định P phát biểu là: “ số hữu tỉ ” hoặc: “ số vô tỉ ”
H2 i n vào ô tr ng b ng sau:Đ ề ố ả
Mệnh đề Đ,S Mệnh đề phủ định Đ,S
Pa-ri thủ đô nước Anh 2002 chia hết cho
Phương trình x2 + = có nghiệm Có vơ số (vô hạn) số nguyên tố
3 Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo
+Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “ Nếu P Q ” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu PQ
+Mệnh đề PQ sai P Q sai
+Người ta phát biểu mệnh đề PQ “ P kéo theo Q” hay “ P suy Q” hay “ Vì P nên Q”…
+Cho mệnh đề kéo theo PQ Mệnh đề QP gọi mệnh đề đảo mệnh đề PQ
.H3 Các m nh đ sau hay sai?ệ ề
Mệnh đề Đ,S
Vì 50 chia hết 50 chia hết cho Vì 50 số chẵn nên 50 chia hết cho
H4 Cho tứ giác ABCD Xét mệnh đề P: “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật ” mệnh đề Q: “ Tứ giác ABCD có hai đường chéo nhau” Hãy phát biểu mệnh đề PQ theo nhi u cách khác nhau?ề Cách 1:
Cách 2:
H5 Hãyphát biểum nh đ đ o c a m nh đ “ N u ABC tam giác đ u ABC tam giác cân” ệ ề ả ủ ệ ề ế ề
(2)4 Mệnh đề tương đương
+Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề có dạng “P Q” (hay “P Q”) gọi mệnh đề tương đương kí hiệu PÛQ
+Khi mệnh đề PÛQ đúng, ta nói hai mệnh đề P Q tương đương với
+Mệnh đề PÛQ hai mệnh đề P Q sai
+Mệnh đề PÛQ có nghĩa hai mệnh đề kéo theo PQ QP
.H6 a) Cho tam giác ABC Mệnh đề P: “ Tam giác ABC tam giác có ba góc có ba cạnh nhau” hay sai? Trả lời: P mệnh đề …
b) Xét mệnh đề P: “ 36 chia hết cho chia hết cho 3” Q: “ 36 chia hết cho 12” Hãy phát biểu mệnh đề PQ? M nh đ hay sai?ệ ề
Phát biểu:……… Mệnh đề …
5 Khái niệm mệnh đề chứa biến
+Một mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa hay số biến, chưa phải mệnh đề cho biến giá trị cụ thể ta mệnh đề
.H7 Cho mệnh đề chứa biến P(x): “ x > x2 ” với x số thực Hỏi mệnh đề P(2) P(0,5)
hay sai? Trả lời: P(2) …… P(0,5) ………
6 Các kí hiệu " $
+Cho mệnh đề chứa biến P(x) với xỴX Khi khẳng định “Với x thuộc X, P(x) đúng” (hay
“P(x) với x thuộc X”) mệnh đề kí hiệu “"xỴX, P(x)” “"xỴX: P(x)”
+ Mệnh đề “"xỴX, P(x)” với x0 thuộc X P(x0) mệnh đề sai có
(ít một) x0 thuộc X cho P(x0) mệnh đề sai
+ Cho mệnh đề chứa biến P(x) với xỴX Khi khẳng định “Tồn x thuộc X để P(x) đúng”
mệnh đề kí hiệu “$xỴX, P(x)” “$xỴX: P(x)”
+Mệnh đề “$xỴX, P(x)” có (ít một) x0 thuộc X để P(x0) mệnh đề sai với
bất kì x0 thuộc X P(x0) mệnh đề sai
.H8 Cho mệnh đề chứa biến P(x): “ x2 – 2x + > ” với x số thực Hỏi mệnh đề “ "xỴR, P(x)” hay sai? Trả lời:………
H9 Cho mệnh đề chứa biến P(n): “ n(n + 1) số chẵn ” với n số nguyên Hãy phát biểu mệnh đề “nZ, P(n)” M nh đ hay sai?ệ ề
Phát biểu:……… Mệnh đề …
H10 Cho mệnh đề chứa biến Q(n): “ 2n – số nguyên tố” với n số nguyên dương Hãy phát biểu mệnh đề “ nN*, Q(n) ” M nh đ hay sai?ệ ề
Phát biểu:……… Mệnh đề …
7 Mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ",$
+Mệnh đề phủ định mệnh đề “"xỴX, P(x)” mệnh đề “$xỴX,P(x)”
+Mệnh đề phủ định mệnh đề “$xỴX, P(x)” mệnh đề “"xỴX, P(x)”
.H11 Phát bi u m nh đ ph đ nh c a m nh đ “ T t c b n l p em đ u có máy tính”ể ệ ề ủ ị ủ ệ ề ấ ả ề
Phát biểu:………
H12 Xét xem mệnh đề sau hay sai? Nếu sai, sửa lại cho đúng: a) ∃x∈R , x>x2 b) ∀x∈R ,|x|<3⇔x<3
c) ∀n∈N , n2
+1 không chia hếtcho d) +¿, n
2
+3n+2
∀n∈Z¿ laø số nguyên tố
H13 Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) "nỴN*, n2 – bội số 3;
b) "xỴR, x2 – x + > 0; c) $xỴQ, x2 = 3; d) $nỴN, 2n + số ngun tố; e) "nỴN, 2n n +
Trả lời: a) b)
(3)§2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC nh lý ch ng minh đ nh lý Đị ứ ị
+ +Trong toán học, định lý mệnh đề Phần nhiều định lý phát biểu dạng: “"xỴX, P(x)Q(x)” (1)
trong P(x) , Q(x) mệnh đề chứa biến X tập hợp
+Chứng minh định lý dạng (1) dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định mệnh đề (1) đúng, tức cần chứng tỏ với x thuộc X mà P(x) Q(x)
Có thể chứng minh định lý dạng (1) cách trực tiếp gián tiếp +Phép chứng minh trực tiếp định lý dạng (1) gồm bước sau:
·Lấy x tuỳ ý thuộc X mà P(x) đúng;
·Dùng suy luận kiến thức toán học biết để Q(x)
Ví dụ: Chứng minh trực tiếp định lý “ Với số tự nhiên n, n số lẻ n2 – chia hết cho 4”
·Lấy n số tự nhiên lẻ tuỳ ý
·Ta có: n = 2k + 1, kỴN n2 – = (2k + 1)2 – = 4k2 + 4k + – = 4k(k + 1) chia hết cho
Đôi việc chứng minh trực tiếp định lý gặp khó khăn Khi đó, ta dùng cách chứng minh gián tiếp Một cách chứng minh gián tiếp hay dùng chứng minh phản chứng.
+Phép chứng minh phản chứng định lý dạng (1) gồm bước sau:
·Giả sử tồn x thuộc X cho P(x) Q(x) sai (tức giả sử (1) mệnh đề sai) ·Dùng suy luận kiến thức toán học biết để đến mâu thuẫn
Ví dụ: Chứng minh phản chứng định lý “ Với số tự nhiên n, n2 số lẻ n số lẻ”.
·Giả sử tồn số tự nhiên n cho n2 số lẻ n không số lẻ ·Ta suy ra: n số chẵn n = 2k, kỴN n2 = 4k2 số chẵn Mâu thuẫn
H1 Chứng minh phản chứng định lý “ Với số tự nhiên n, 3n + số lẻ n số lẻ”
· ………
……… ………
·………
2 Điều kiện cần, điều kiện đủ
+Với định lý dạng (1), P(x) gọi giả thiết Q(x) gọi kết luận +Định lý dạng (1) phát biểu:
P(x) điều kiện đủ để có Q(x) (hay điều kiện đủ để có Q(x) P(x)) Q(x) điều kiện cần để có P(x) (hay điều kiện cần để có P(x) Q(x)) Ghi nhớ: Trong định lý, giả thiết điều kiện đủ để có kết luận
H2 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý “ Nếu a b hai số hữu tỉ tổng a + b số hữu tỉ”
Phát biểu: ……… H3 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý “ Nếu số tự nhiên chia hết cho 15 chia hết cho 5”
Phát biểu: ……… H4 Các m nh đ sau hay sai?ệ ề
Mệnh đề Đ,S
Số tự nhiên n chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho 24 Điều kiện cần để số tự nhiên n chia hết cho chia hết cho Điều kiện đủ để số thực x lớn x2 > 1.
3 Định lý đảo, điều kiện cần đủ
+Mệnh đề đảo định lý dạng (1) là: “"xỴX, Q(x)P(x)” (2)
+Mệnh đề (2) đúng, sai Nếu mệnh đề (2) gọi định lý đảo định lý dạng (1) Lúc định lý dạng (1) gọi định lý thuận Định lý thuận đảo viết gộp thành định lý: “"xỴX, P(x)ÛQ(x)” Khi ta nói: P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) (hay
(4)H5 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” để phát biểu định lý “ Với số nguyên dương n, n không chia hết cho n2 chia cho dư 1”.
Phát biểu: ……… LUYỆN TẬP
1 Xét hai mệnh đề P: “4686 chia hết cho 6”; Q: “ 4686 chia hết cho 4” Hãy phát biểu mệnh đề PQ cho bi t m nh đ hay sai.ế ệ ề
Phát biểu: Mệnh đề …
2 Cho mệnh đề chứa biến P(n): “ n = n2 ” v i n s nguyên i n vào ô tr ng b ng sau:ớ ố Đ ề ố ả
Mệnh đề Đ,S Mệnh đề Đ,S Mệnh đề Đ,S
P(0) P(1) P(2)
P(-1) $nỴZ, P(n) "nỴZ, P(n)
3 Nêu m nh đ ph đ nh c a m i m nh đ sau:ệ ề ủ ị ủ ỗ ệ ề
Mệnh đề Mệnh đề phủ định
Mọi học sinh lớp em thích mơn Tốn Có hs lớp em chưa biết sử dụng máy tính Mọi học sinh lớp em biết đá bóng Có hs lớp em chưa tắm biển
4 Xác đ nh xem m nh đ sau hay sai nêu m nh đ ph đ nh c a m i m nh đ đó:ị ệ ề ệ ề ủ ị ủ ỗ ệ ề
Mệnh đề Đ,S Mệnh đề phủ định
$xỴR, x2 =
$nỴN, n(n + 1) số phương "xỴR, (x – 1)2 x –
"nỴN, n2 + không chia hết cho
5. Chọn phương án trả lời phương án cho sau (bằng cách khoanh trịn) Mệnh đề “ $xỴR, x2 = 2” khẳng định rằng:
A Bình phương số thực
B Có số thực mà bình phương C Chỉ có số thực có bình phương
D Nếu x số thực x2 = 2.
6 Kí hiệu X tập hợp cầu thủ x đội tuyển bóng rổ, P(x) mệnh đề chứa biến “ x cao 180 cm” Chọn phương án trả lời phương án cho sau
Mệnh đề “ "xỴX, P(x)” khẳng định rằng:
A Mọi cầu thủ đội tuyển bóng rổ cao 180 cm
B Trong số cầu thủ đội tuyển bóng rổ có số cầu thủ cao 180 cm C Bất cao 180 cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ
D Có số người cao 180 cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ
7 Chứng minh định lý sau phương pháp phản chứng: “ Nếu n số tự nhiên n2 chia hết cho n chia hết cho 5”
· ………
……… ………
·………
8 CM mệnh đề sau phản chứng:
a) chứng minh ab < a < hay b <
b) Nếu x∈N x2 chia hết cho x chia hết cho 3.
c) tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 600.
(5)+Tập hợp khái niệm toán học ta hiểu khái niệm tập hợp qua ví dụ như: Tập hợp tất học sinh lớp 10 trường em, tập hợp số nguyên tố,… Thông thường, tập hợp gồm phần tử có chung hay vài tính chất
+Nếu a phần tử tập hợp X, ta viết X (đọc là: a thuộc X) Nếu a không phần tử tập hợp
X, ta viết aÏX (đọc là: a không thuộc X) Để cho gọn “tập hợp” gọi tắt “tập”
+ Ta thường xác định tập hợp hai cách: 1) Liệt kê phần tử tập hợp
2) Chỉ rõ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp
+Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng kí hiệu là: Æ
H1 Viết tập hợp X tất chữ dịng chữ “Khơng có q độc lập tự do” Viết X = ……… H2 a) Xét tập hợp A = {nỴN3 n 20} Hãy viết tập A cách liệt kê phần tử
Viết A = ……… b) Cho tập hợp B = {-15 ; -10 ; -5 ; ; ; 10 ; 15} Hãy viết tập B cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử
Viết: B = ……… 2 Tập tập hợp nhau
+ Tập A gọi tập con tập B kí hiệu A Ì B (hay B ÉA) phần tử tập A
đều phần tử tập B Ta có: A B ⇔ ……… +Tính chất: 1) (A Ì B B Ì C) A Ì C (tính bắc cầu)
2) A Ì A với tập A
+Quy ước:Ừ A với tập A
+Chú ý: A B Û$xỴA, xÏB
+Hai tập hợp A B gọi bằng nhau kí hiệu A = B phần tử A phần tử B phần tử B phần tử A.Ta có: A = B Û"x, x ỴA Û xỴB
+Chú ý: 1) A = B Û (AÌ B BÌ A) 2) AB Û$xỴA, xÏB $xỴB, xÏA
H3 Cho hai tập hợp A = {nỴNn chia hết cho 6} B = {nỴNn chia hết cho 12} Hỏi A Ì B hay
B Ì A ? Trả lời:………
H4 Xét toán chứng minh: “Trong mặt phẳng, tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng đó” Hỏi có phải toán chứng minh hai tập hợp hay khơng? Nếu phải, nêu hai tập hợp
Trả lời: ……… 3.Một số tập tập hợp số thực R
+Chúng ta biết tập hợp số nguyên dương N*, tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số hữu tỉ Q tập hợp số thực R Ta có quan hệ sau: N*Ì N Ì Z Ì Q Ì R.
+Đoạn: [a;b] = ………
+Khoảng: (a;b) =……… (¥ ; +¥) = R ,
(¥ ; a) =……… (a ; +¥) = {xỴR x > a}
+Nửa khoảng: [a;b) =……… (a;b] = {xỴR a < x b},
[a ; +Ơ) = (Ơ ; a] = {xẻR x a}
H5 Hãy ghép m i ý c t trái v i m t ý c t ph i có m t n i dung thành c p.ỗ ộ ộ ộ ả ộ ộ ặ a) x Ỵ [1; 5], b) x Î (1; 5], c) x Î (1; 5),
d) x ẻ [5 ; +Ơ), e) x ẻ (-Ơ ; 5), f) x ẻ (5 ; +Ơ)
1) < x 5, 2) x < 5, 3) x 5,
4) x 5, 5) < x < 5, 6) x >
Trả lời:
4 Các phép toán tập hợp
a) Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B, kí hiệu AB, tập hợp bao
gồm tất phần tử thuộc A thuộc B Ta có: A∪B=¿ ……… b) Phép giao: Giao hai tập hợp A B, kí hiệu AB, tập hợp bao
gồm tất phần tử thuộc A B Ta có: A ∩B=¿ ……… c) Phép trừ phần bù
B B A B
A Hãy gạch chéo tập hợp AB Hãy gạch chéo tập hợp AB Hãy gạch chéo tập hợp A\B,B\A B
(6)+Hieäu hai tập hợp A B, kí hiệu A\B, tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B Ta có: ¿A¿=¿ ……… +Khi tập B tập tập A, hiệu A \ B gọi phần bù của B A kí hiệu CAB Ta có: CAB = A \ B
Ví dụ: Phần bù tập số tự nhiên tập số nguyên tập số nguyên âm Phần bù tập số lẻ tập số nguyên tập số chẵn
H6 Cho tập hợp A = {1;2;3}, B = {3;5;7;9}, C = [1;3] D = (3;9) Hãy xác định tập hợp: AB, CD, AC BD
Trả lời: ……… ……… H7 Cho tập hợp A, B, C, D H6 Hãy xác định tập hợp: AB, CD, AC BD
Trả lời: ……… ……… H8 a) Phần bù tập số hữu tỉ Q R tập nào? Trả lời: ……… b) Phần bù tập học sinh nam lớp em tập học sinh lớp em tập nào?
Trả lời: ………
c) Cho tập hợp A, B, C, D H6 Hãy xác định tập hợp: A\ B, C\ D, A\C B\D
Trả lời: ………
LUYỆN TẬP 1.Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó:
a) A = {xỴR (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0}, b) B = {nỴN / x2 > vaø x < 9}
Trả lời: A = B =
2.Viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử nó: a) A = { 0; 2; 4; }, b) B = { 0; 3; 9; 27, 81}
Trả lời: A = B =
3 Hai tập hợp A = {xỴR(x-1)(x-2)(x-3) = 0} B = {5; 3; 1}có khơng? Tại sao?
Trả lời:
4 Gọi A, B, C, D, E F tập hợp tứ giác lồi, tập hợp hình thang, tập hợp hình bình hành, tập hợp hình chữ nhật, tập hợp hình thoi tập hợp hình vuông Hỏi tập tập tập nào? Hãy xác định tập DE
Trả lời:
5 Trong tập hợp sau, tập tập nào?
A={x∈Q/x2−4x+2=0} B={x∈N/|x −1|<2}
(¿x2−1)(x2−2x)=0
x∈Z/¿ C=¿
D={x∈R/x2− x −2=0}
Trả lời:
6. Cho A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3} Hãy xác định hai tập hợp: (A\B)(B\A) (AB)\(AB) Hai
tập hợp nhận hay khác nhau?
Trả lời: A\B = AB =
B\A = AB =
(A\B)(B\A) = (AB)\(AB)=
7 Xác định AB; AB; A\B; B\A; R\B; R\A , R\ (AB) với :
a) A = (- ∞ ; ] ; B = ( ; + ∞ ) b) A = [ - ; ] ; B = ( ; )
8 Cho A={1,2,3,4,5,6} B={0,2,4,6,8} Tìm tất tập hợp X cho X⊂A
X⊂B
Bài 4: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.Số gần đúng:
(7)Ví dụ: 3,33 10
, ta gọi 3,33 số gần của10/3 2 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối:
a) Sai số tuyệt đối:Cho a giá trị đúng, a giá trị gần a Giá trị a a a , gọi
là sai số tuyệt đối số gần a
Khi viết aad, ta hiểu a nằm a d;ad, d gọi độ xác số gần a.
HĐ1:Kết đo chiều dài cầu ghi 152 m 0,2 m Điều có nghĩa nào?
b) Sai số tương đối: tỷ số a a a a
a a
, gọi sai số tương đối số gần a Nếu:a adthì a ddo a
d
a
.Vậy a d
nhỏ chất lượng phép đo đạc cao HĐ2: So sánh độ xác phép đo HĐ1 với phép đo chiều cao ghi là: 15,2 m 0,1 m.
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… HĐ3: Số a cho giá trị gần a = 5,7824 với sai số tương đối không vượt 0,5% Hãy đánh giá sai số tuyệt đối a.( độ xác d )
……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
3 Số quy tròn: Nguyên tắc quy tròn:
+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn < 5, ta thay chữ số chữ số đứng bên phải + Nếu chữ số sau hàng quy trịn 5, ta thay chữ số chữ số đứng bên phải
và cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng quy tròn
* Nhận xét: Khi thay số số quy trịn sai số tuyệt đối không vượt nửa đơn vị hàng quy trịn Như độ xác d số quy tròn nửa đơn vị hàng quy tròn
HĐ4: Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị; số 2,654 đến hàng chục rối tính sai số tuyệt đối số quy tròn
……… * Chú ý: - Khi quy tròn số a đến hàng ta nói số gần a nhận xác đến phần
- Cho số gần a với độ xác d (tức a= a d) Khi yêu cầu quy tròn a mà khơng nói rõ
quy trịn đến hàng ta quy trịn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng 4 chữ số cách viết chuẩn số gần đúng:
a) Chữ số chắc: Cho số gần a số a với độ xác d.Trong số a, chữ số gọi chữ
số chắc ( hay chữ số đáng tin ) d khơng vượt q nửa đơn vị hàng có chữ số
Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không
VD: Trong điều tra, người ta báo cáo số dân tỉnh A là: 379 425 300 người.
Vì
1000 500
300 50 100
, nên chữ số chữ số hàng nghìn, chữ số hàng trăm( chữ số 4) không chữ số Vậy số liệu có chữ số :1, 3, 7,
(8)+ Nếu số gần số nguyên dạng chuẩn A.10k, A số nguyên, k hàng thấp có chữ số ( kỴN ).
5 Ký hiệu khoa học số: Mỗi số thập phân khác viết dạng .10n,
đó 1 10,nỴZ Dạng gọi ký hiệu khoa học số VD: Khối lượng trái đất viết dạng khoa học là: 5,98.1024 kg
ƠN TẬP CHƯƠNG 1 I HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC:
1.Mệnh đề:
Phủ định mđề P là:
Mệnh đề kéo theo ký hiệu là: Mđề kéo theo sai khi: Mệnh đề tương đương ký hiệu là: Mệnh đề khi: Phủ định mệnh đề ""xỴX,P(x)" là:
Phủ định mệnh đề "$xỴX,P(x)" là:
Trong định lý:""xỴX,P(x) Q(x)", P(x) là……… để có Q(x), Q(x) là………để có P(x) Phép chứng minh phản chứng gồm bước:………
……… Tập hợp:
B
AÌ nếu:……….
AB =………
AB =………
Nếu AÌE CEA =………
3 Số gần đúng:
Sai số tuyệt đối là:……… Sai số tương đối là:………
Nguyên tắc quy tròn:……… Chữ số là:………
II BÀI TẬP: * Làm tập ôn chương SGK/31, 32, 33 * Bổ sung :
Bài 1: Tìm số phần tử tập hợp:
a) A tập hợp số chẵn có hai chữ số
b) B tập hợp số nguyên dương bé 500 bội
……… Bài 2: Cho A = nỴN/n ước 12 ; B = nỴN/n ước 18 ;
Xác định AB AB Hãy viết tập hai cách
……… ………
Bài 3: Xác định AB AB biểu diễn tập trục số trường hợp sau:
a) A = xỴR/x1; B = xỴR/x3 ; b) A = [ ; ]; B = (2 ; +¥).
c) A = (-1 ; ) ; B = [ ; ]
……… ……… Bài 4: Trong tập hợp sau, tập tập nào?
1,2,3
A ; B = nỴN/n < 4 ; C = (0 ; +¥); DxỴR/2x2 7x30
……… Bài 5: Trong thí nghiệm, số C xác định 2,43265 với cận sai số tuyệt đối d = 0,00312 Hỏi C có chữ số chắc?
(9)……… CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1:ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 1 Khái niệm hm số:
a) Định nghĩa: Cho D tập khác rỗng R Hàm số f xác định D quy tắc cho tương ứng số xỴD với số thực y
* D gọi ……… ……… ……… * Ta viết:
:
x y = f(x) f D R
Ta nói hàm số cho biểu thức f(x)
x gọi biến số độc lập, y biến số phụ thuộc hàm số f
Chú ý: Tập xác định ………
……… ……… Để tìm MXĐ hàm số f , cần nhớ:
+ f x1 ( ) xác định Û ………
+ f x( ) xác định Û ………
+ ( )
( ) f x
g x xác định Û ………
b) Đồ thị hàm số:
Đ
ịnh ngh ĩ a : Cho hàm số y f x ( ) xác định D Đồ thị hàm số tập hợp tất điểm M(x ; y) mặt phẳng tọa độ 0xy với x DỴ ; y = f(x) Cơng thức y f x ( ) gọi phương trình đồ thị
2 Sự biến thiên hàm số:
a) Định nghĩa:Cho hàm số f xác định K Hàm số f gọi đồng biến (hay tăng) K nếu: ……….……… Hàm số f gọi nghịch biến (hay giảm) K nếu: ……….………
HĐ1: Chọn kết luận đúng:
a) MXĐ hàm số ( 1)( 2) x y x x + +
) ; B) x / x va x ) \ ; ; D) ( ; + ) A C ¥
HĐ2: Tìm MXĐ hàm số sau: 1)
1
( )
3
f x x
x ……… ……… ……… ……… ……… 2)
( ) 5
6 x
f x x x x
x ……… ……… ……… ……… ……… Các đồ thị học lớp 9:
HĐ3: SGK/38 chứng minh rằng:
a) f x( )x2 2x3 tăng trên (1,¥) ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… b) ( ) x f x x
giảm (( ¥;1)
……… ……… ……… ……… y ( ) f x x x
(10)
Nếu f x( )1 f x( ) "x x1, 2ỴK, tức f(x) = c x K " Ỵ
Thì ta có hàm số không đổi (hàm hằng số) K
* Chú ý: a) Từ định nghĩa, ta suy ra:
f tăng K Û………
f giảm KÛ ………
b) Khảo sát biến thiên hàm số: xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi khoảng (nửa khoảng hay đoạn) tập xác định
· Bảng biến thiên hàm số:
3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D
· f hàm chẵn Û ………
· f hàm lẻ Û ………
b) Đồ thị hàm chẵn, lẻ: Định lý:
* Đồ thị hàm số chẵn nhận ………
* Đồ thị hàm số lẻ nhận ………
4 Sơ lược tịnh tiến đồ thị song song với trục toạ độ:
a) Tịnh tiến điểm: Trong mặt phẳng toạ độ cho M0(x0;y0) k > Tịnh tiến M0 song song với với trục toạ độ dịch chuyển M0 lên xuống
dưới( theo phương trục tung) k đơn vị, sang phải sang trái ( theo phương trục hoành) k đơn vị
b) Tịnh tiến đồ thị: tịnh tiến tất điểm đồ thị (G) lên k đơn vị, tập hợp tất điểm thu tạo thành hình (G1)
Ta nói: Hình (G1) có tịnh tiến đồ thị (G) lên k đơn vị
Định lý: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, cho đồ thị (G) hàm số y = f(x); p, q > tùy ý Khi đó:
………
……… ………
……… ………
HĐ5: Khảo sát biến thiên hàm số
2 ( )
f x ax (a > 0) khoảng (-¥, 0) và (0, +¥) lập bảng biến thiên nó.
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… HĐ6: Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a) y 1x 1 x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… b)
y x x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… HĐ7: Cho M0(x0; y0) Tịnh tiến M0 hình vẽ đơn vị Tìm tọa độ M1; M2; M3; M4
……… ……… HĐ8: Chọn phương án trả lời đúng: Khi tịnh tiến parabol y = 2x2 sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số:
f tăng (a, b)
x a b x a b
y
f giảm (a, b) y
f(x)=0.5*x*x
-8 -6 -4 -2 10 -2 10 12 14 16 x y
Đồ thị hàm chẵn f(x)=12/x
-8 -6 -4 -2 10
-8 -6 -4 -2 x y
(11)………
……… (a)
2 2( 3)
y x ; (b) y2(x 3)2
(c) y2x2 3 ; (d) y2x2 Luyện tập
1) Tìm tập xác định hàm số:
a) y x2 x3 ; b) y 16 x2 x2 9; c) y 1 x3 ; d) y 1 x2 x
e) 2 x y x x x
; f)
2x 3x y x ; g) x y x x ; 2) Tìm m để tập xác định hàm số sau R:
a)
2 x y x m
; b)
2 x y mx
; c)
1 x y x mx
; d)
2 2 x y mx x
3) Xét biến thiên hàm số:
a) y x 2 2x3 ; b) yx2 4x2 ; c) y 3 x ; d)
1 x y x
4) Xét tính chẵn lẻ hàm số:
a) y x 3(1 x2) ; b) y x 25 x ; c) y2x1 2 x1 ; d) y x 3 3 x ; §2. HÀM S B C NH T.Ố Ậ Ấ
1 Nhắc lại hàm số bậc nhất:
* Hàm số bậc hàm số có dạng: y ax b , a,b số a0.
Hàm số y ax b có: TXĐ R
Đồng biến a > 0, nghịch biến a <
a gọi ……….………
Đồ thị hàm số y = ax + b đường thẳng không song song với trục tọa độ *b0: đồ thị cắt 0x tại.……… , 0y tại.………
* b = 0: đồ thị hàm y = ax qua gốc tọa độ + Chú ý: Cho (d): y ax b ; ( ) : d y a x b (d) song song với (d’)Û ……… ………
(d) trùng với (d’)Û ……… ……… ….
(d) cắt (d’) Û .……….……….………….
2 Hàm số y ax b :
a Hàm số bậc khoảng:
VD1 :
1
1 4 2 4
2
2
x neáu x
y x neáu x
x neáu x
Là hàm số bậc khoảng
b.Đồ thị biến thiên hàm sốy ax b
VD2 : Xét y x
Bảng biến thiên:
a > a <
……… ……… ……… ……… HĐ1: Hệ số góc hàm số:
a) y = 3x + là: …… b) y = - x – là: …… c) y =
1 2
3x là: …… c) y = - 2x là: …… HĐ2: cho (d): y = mx – Tìm m để:
a) d // d’ với (d’): y = (2 - m)x +
……… b) d d1 với d1: y = (m2 + 4m)x + m
……… ……… ……… ……… c) d cắt d2 với d2: y = m2 x + 5
……… ……… ……… HĐ3: Hãy cho biết
TXĐ, lập bảng biến thiên tìm giá trị lơn hàm số cho VD1
(12)Ta có:
0 x neáu x x
x neáu x
Dựa vào đồ thị lập BBT tìm giá trị nhỏ hàm số
VD 3: Cho hàm số: y2x
Ta có
2
2
2
x neáu x
y x
x neáu x
……… ………
HĐ4: Hãy nêu cách vẽ đồ thị lập BBT hàm số cho VD3
……… ……… ……… ………
§3.Hàm s b c hai ố ậ
1.Định nghĩa: ………
……….…… ……….…… 2.Đồ thị hàm số bậc hai
a) Hàm y = ax2 ( a0 ): Ở lớp 9, ta biết
đồ thị hàm y = ax2 parabol(P0) có đặc điểm sau:
1) Đỉnh (P0) gốc tọa độ O 2) (P0) có trục đối xứng 0y
3) (P0) hướng bề lõm lên a > xuống a <
f(x)=0.5*x*x
-8 -6 -4 -2 10 -2 10 12 14 16 x y f(x)=-0.5*x*x
-8 -6 -4 -2 10
-12 -10 -8 -6 -4 -2 x y
b) Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a0)
Ta có 2 2 2 ( ) 4
b b b
y ax bx c a x x c
a a a
2
2
( ) ( )
2 4
b b ac b
a x a x
a a a a
Kết luận: ……… ……… ……….… ……… Cách vẽ Parabol: y = ax2 + bx + c
+ ………
+ ……… +……… Bảng biến thiên hàm s b c hai:ố ậ
x
-¥ -2
b
a +¥
2
y ax bx c
( a > )
+¥ +¥ 4a HĐ1: ( ) b y a x
a a
, đặt
b
p vaø q
a a
Hàm số trở thành: y a x p ( )2q
Hãy Xác định tọa độ đỉnh phương trình trục đối xứng đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c
……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… HĐ2: Cho hàm số : y = x2 + 2x – có đồ thị (P) a) Tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng, hướng bề lõm bảng biến thiên (P)
……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… b) Vẽ đồ thị (P), từ vẽ đồ thị hàm số:
2 2 3 y x x
(13)x
-¥ -2
b
a +¥
2
y ax bx c
( a < ) 4a
-¥ -¥
Định lý:
……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….……
……….…… ……….…… ……….…… ……….…… * Nêu cách vẽ đồ thị hàm số: 1)
2
y ax bx c
……….…… ……….……
……….…… ……….…… 2)
2
y a x b x c
……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ……….…… ÔN TẬP CHƯƠNG II
I) ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ: 1) Tập xác định hàm số:
……….……….…… 2) Cách xác định biến thiên hàm số:
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
3) Cách xác định tính chẵn lẻ hàm số
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
· Đồ thị hàm chẵn: ………….……….……
· Đồ thị hàm lẻ: ………….……….………
4) Tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên p đơn vị ta được: Tịnh tiến đồ thị y = f(x) xuống p đơn vị ta được: Tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải q đơn vị ta được: Tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang trái q đơn vị ta được: II HÀM SỐ BẬC NHẤT:
1) y = ax + b
· a = , hàm y = b có đồ thị……….…………
· a > 0, hàm số …….……….………
· a < hàm số…….……….…………
· Đặc biệt: phương trình trục 0x là: ……… ; Phương trình trục 0y là: ………
(14)Có: + Đỉnh: ……… ; Trục đối xứng: ……… ;
+ Bề lõm quay lên khi……… , quay xuống ……… 4) Cách vẽ đồ thị hàm y = ax2 + bx + c
……….……….…… ……….……….…… 5) Cách vẽ đồ thị hàm số
2
y ax bx c
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… III Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Cho hàm số (P) : y ax 2bx c
Tìm a, b, c biết (P) qua điểm A(-1; 0), B( 0; 1),C(1; 0) a) a = 1; b = 2; c = b) a = 1; b = -2; c = c) a = -1; b = 0; c = d) a = 1; b = 0; c= -1
Câu 2: Cho hàm số y x 2mx n có đồ thị parabol (P) Tìm m, n để parabol có đỉnh S(1; 2) a) m = 2; n = b) m = -2; n = -3
c) m = 2; n = -2 d) m= -2; n =
Câu 3: Cho hàm số y2x2 4x3 có đồ thị parabol (P) Mệnh đề sau sai? a) (P) qua điểm M(-1; 9)
b) (P) có đỉnh S(1; 1)
c) (P) có trục đối xứng đường thẳng y = d) (P) khơng có giao điểm với trục hoành
Câu 4: Đỉnh Parabol y = x2 – 2x +2 l :
A I(-1;1) B I(1;1) C I(1;-1) D I(1;2)
Câu 5 : Hàm số y = 2x2 – 4x + 1
A) Đồng biến khoảng (- ¥ ; ) B) Đồng biến khoảng ( ;+ ¥)
C) Nghịch biến khoảng ( ;+ ¥ ) D) Đồng biến khoảng ( - ;2 )
Câu 6 : Chọn mệnh đề :
A Đồ thị hàm số chẵn nhận trục hòanh làm trục đối xứng B.Đồ thị hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng C Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng D.Đồ thị hàm số lẻ nhận trục hoành làm trục đối xứng
Câu 7 : Giao điểm parabol (P) y = -3x2 + x + đường thẳng (d): y = 7x - l:
A) (1;1) v (3 ; 27) B) (1;1) v (-3 ; 27) C) (1;1) v (3; -27) D) (1;1) v (- 3;-27)
Câu 8 : Hàm số y = - x2 + 4x +
A Đồng biến khoảng (-¥ ;2) B Nghịch biến khoảng (-¥ ;2) C Đồng biến khoảng (2;+ ¥)
D Nghịch biến khoảng (2;+ ¥ ).
Câu 9.Cho hàm số
2
2
1 ( 2)
( )
8 17 ( 2)
x x
f x
x x x
Hỏi có điểm thuộc đồ thị hàm số f có tung độ ?
(15)IV.
TỰ LUẬN
Câu 1 Cho hàm số y = x2 + bx + c.Tìm b c biết hàm số đạt giá trị nhỏ -1 x = 1. Câu 2.Vẽ đồ thị , lập bảng biến thiên xét tính chẵn lẻ hàm số sau y x x ( 1)
Câu 3 Cho hm số y = x2 – mx + m – có đồ thị parabol (Pm). a) Xác định giá trị m biết (Pm) qua điểm A(2;1)
b) Tìm tọa độ điểm B cho đồ thị (Pm) qua B, dù m lấy giá trị Câu 4 Cho hm số y = x2 – 4x + (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Xét biến thiên hàm số khoảng (0; 1) c) Xác định giá trị x cho y
d) Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [0;3] Câu 5: Cho hm số y = x2 + 2x - 3
a) Khào sát vẽ đồ thị hàm số Bằng đồ thị, tìm x để y 0, y 0.
b) Dùng đồ thị, biện luận theo k số nghiệm phương trình: |x22x | 2 k1 Câu 6: Viết phương trình dạng y = ax + b đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(2;-1) v B(5;2)
b) Đi qua điểm C(2;3) // với đường thẳng y = –x / 2
Câu 7: Cho hàm số y = 3x2 - 2x + 1
a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng (d): y = 3x -
c)Viết phương trình đường thẳng qua đỉnh (P) giao điểm (P ) với trục tung
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I Khái niệm phương trình ẩn:
1) Định nghĩa……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
2) Chú ý:……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
3) Ví dụ:……….……….……
(16)……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… II Phương trình tương đương:
1) Định nghĩa:……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… HĐ1: Mỗi khẳng định sau hay sai, giải thích?
a) x 1 x Û x1 0 b) x x 1 x Û x1 c) x Û1 x1
Chú ý:
……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ĐỊNH LÝ 1: Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D; y = h(x) hàm xác định D ( h(x) hàm ) Khi D, phương trình cho tương đương với phương trình sau :
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… HĐ2: Mỗi khẳng định sau hay sai, giải thích?
a)Cho PT: 3x x x2 Chuyển x 2 sang vế phải ta phương trình tương
……….……….…… ……….……….…… b)Cho PT: 3x x 2x2 x 2 Lược bỏ x 2ở hai vế ta phương trình tương
……….……….…… ……….……….…… III Phương trình hệ quả:
1) Ví dụ 2: Xét phương trình x 2 x
……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… 2) Tổng quát: f1(x) = g1(x) gọi phương trình hệ phương trình f(x) = g(x) nếu: ………… ……….……….…… ……….……….…… HĐ3: Mỗi khẳng định sau hay sai?
a) x 1 x 1 b)
( 1) 1 1
1
x x x
x
(17)Định lý 2:……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
* Chú ý ……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
Ví dụ 3: Giải phương trình: x1 x
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… IV.Phương trình nhiều ẩn:
Ví dụ: 2x2 + 5xy – 3y2 = 2y – 3x
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… V.Phương trình chứa tham số:
Ví dụ: * m x( 2) 3 mx1
HĐ4 Tìm tập nghiệm phương trình mx 2 m( Với m tham số) trường hợp:
a) m =
……….……….…… b) m 0
………
……… ……….……
……….……….…… ……….……… BTVN: SGK trang 71
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN I Giải biện luận phương trình dạng ax + b = 0:
1 phương pháp:
……….……….……… ……….……….…… ……….……….………
2.Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m m2x + = x + 2m (1)
(18)……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… H1 Chọn câu trả lời câu trả lời sau:
a) Phương trình: (m2 + 1)x – = có nghiệm khi:
m = ¡1; m = -1; với giá trị m
b) Phương trìng: (m2- 4)x + m + = có tập nghiệm R khi:
m = ¡2; m = 2; m = -2 Khơng có giá trị m Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:
1 mx
x
(2)
Giải:……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: mx x m (3)
Giải: Ta có X Y Û ……….………
Nên (3)Û ……….………
……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….……… ……….……… ……….……… ………
(19)……….……….……… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… H2 a) Nêu kết luận nghiệm phương trình (3):
b) Phương trình (3) có nghiệm nào? c) Phương trìng (3) vơ nghiệm nào?
H3 Nêu cách giải phương trình dạng: ax b cx d :
……….……….……… ……….……….……… ……….……….……… ……….……….…… ……….……….……… 3 BTVN:
Bài tập tham khảo:
1) Giải biện luận phương trình: a)
2
1
x m x
x x
; b)
2 1
1
mx m x m x
x
; c)
2
2x a x 1
x a
;
2)Tìm câu trả lời đúng: Phương trình (m2- 9)x = 3m(m – 3) vơ nghiệm khi: a) m = 3; b) m = -3; c) m = 0; d) m ≠3;
3) Tìm câu trả lời đúng: Phương trình
2 1 3
1 mx
x
có nghiệm x :
a) m
; b) m0; c) m3 02 vaø m d)
3
2
m vaø m
4) Tập nghiệm phương trình x 2 x là: a) 0,1,2 ; b) ( ;2] ¥ ; c)[2,¥); d) R;
II Giải biện luận phương trình ax2+ bx + c = 0
1.PHƯƠNG PHÁP:
a = 0:……….……….……
a ≠ 0:……….……….……
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… H1 Trong trường hợp phương trình ax2+ bx + c = :
a) Có nghiệm nhất?
……….……….…… ……….……….…… ……….……….……
b) Vô nghiệm?
(20)H2 Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:
(m – 2) x2 – 2mx + m + 1 = (1)
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……… ……….……… ……
……….……….…… ……….……… ……….……… ……
H3 Ví dụ 2:
Biện luận theo m số giao điểm parabol (P): y = - x2 + 4x - đường thẳng y = x - m
……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… H4 Ví dụ 3:
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số : y = x2 + 2x + 2.
……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… ……….……… b) Dùng đồ thị (P) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3x + = – x2 + x + m (3)
(21)……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… Chú ý: Khi viết phương trình (3) dạng: x2 + 3x + = x + m, kết cho biết số giao điểm parabol y = x2 + 3x + với đường thẳng y = x + m
c) Chọn phương án câu trả lời sau: Phương trình ( ) có nghiệm âm khi: ) m ;
B A) m = 1;
) m > ;
D C) m =1 m ;
Trắc nghiệm: Chọn phương án câu trả lời sau:
1) Với giá trị tham số m phương trình:– x2 – 4x + m + = có nghiệm kép?
A) m = 3; B) m = ;
C) m = -5 ; D) Khơng có giá trị m.
2) Với giá trị tham số m phương trình: mx2– 2(m + 1)x + 2 = có hai nghiệm
phân biệt ?
A) m ; B ) m = ;
C) m > ; D) Với giá trị m.
3) Với giá trị tham số m phương trình: (m2 - 1)x2 - 2(m + 1)x + = vô nghiệm?
) = ;
A m m - ; B)
-
m C) ; D) m = ;
III BTVN:
7, 8, trang 78 16, 17 trang 80 sách giáo khoa III Ứng dụng định lý Vi-ét:
1) Định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a0) Thì: x x1 vaø x x1
Ứng dụng:
+ Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình: ………….…… Điều kiện để tồn hai số x x1, 2là: S2 4P
y
2
(22)+ Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 f(x) phân tích thành: ………….……….……….……….……….……
Nhận xét: Cho phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 ( x1x2) Đặt
b c
S vaø P
a a
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: ………….……….……….……
Phương trình có hai nghiệm dấu khi: ………….……….……….…… ………….……….……….……
Phương trình có hai nghiệm dương (0x1 x2) khi: ……….……….………
……….……….………
……….……….………
Phương trình có hai nghiệm âm(x1x2 0) khi: …….……….……….…… ……….……….……… ……….……….……… Việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai giúp ta xác định số nghiệm phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0.
2) Ví dụ: VD1: Xét dấu nghiệm phương trình sau (Nếu có): a) (1 2)x2 2(1 2)x 0
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… b) (2 3)x2 2(1 3)x 1
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
VD2: Cho phương trình: 2x4 2( 2 3)x2 12 0
Khơng giải phương trình, xét xem phương trình có nghiệm?
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… VD3:Cho phưong trình: mx2 2(m 2)x m 0 Định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… b) Có hai nghiệm dương phân biệt
(23)………….……….……….……….……….…… c) Có nghiệm âm
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… Trắc nghiệm: Chọn phương án câu trả lời sau:
1) Phương trình 0,5x22,7x1,5 0
A) Có hai nghiệm trái dấu B) Có hai nghiệm dương
C) Có hai nghiệm âm D) Vơ nghiệm
2) Phương trình x2 ( 2 3)x 0
A) Có hai nghiệm trái dấu B) Có hai nghiệm dương
C) Có hai nghiệm âm D) Vơ nghiệm
3) Phương trình: x2 – mx – = có hai nghiệm âm phân biệt nếu:
A) m < B) m > C) m 0. D) m > -4.
4) Phương trình: x2 + 4mx + m2 = có hai nghiệm dương phân biệt nếu:
A) m > B) m < C) m 0. D) m0.
5) Phương trình x4 – 2005x2 – 2006 = có nghiệm:
A) B) C) D)
6) Phương trình x4 – 2005x2 -13 = có nghiệm âm?
A) B) C) D)
Bài tập:
1 Cho phương trình (m 3)x2 2(m2)x m 1
a) Tìm m để phương trình có nghiệm? Tính nghiệm x2 biết x1 = b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa
1 1 10
x x c) Tìm hệ thức hai nghiệm x1, x2 độc lập m
2 Cho phương trình (m2 1)x2 2(m 1)x 3
a) Định m để phương trình có nghiệm, tìm nghiệm này?
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x x1 22 x x2 12 6 Cho phương trình (m 2)x22(m1)x m 1 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu? b) Định m để phương trình có nghiệm dương
c) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x13x23 64
(24)1 2 x x .
§3 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
I Phương trình chứa giá trị tuyệt đối: X Y Û ….……….……….……
Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: mx x m
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
II Phương trình chứa ẩn mẫu thức:
Phương pháp: - Tìm điều kiện xác định phương trình
- Biến đổi phương trình phương trình bậc bậc hai
- Giải biện luận phương trình vừa tìm được, kiểm tra điều kiện nghiệm Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:
2 2( 1) 6 2
2
x m x m x
x
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Chú ý: A B Û.……….……….……….……….……
A B Û.……….……….……….……….……
III Đặt ẩn phụ:
Ví dụ3: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:
2
1
4x 2x
x x
(25)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
………….……….……….……….……….……
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.
I Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: 1) Định nghĩa:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
2) Minh họa đồ thị:
II Giải biện luận hệ hai phương trình bậc hai ẩn:
ax by c
a x b y c
1) Phương pháp:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
2) Ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình:
5
4
x y
x y
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
VD2: Giải biện luận hệ phương trình:
1 mx y m x my
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
y
x
(d) (d’)
y
x
(d) (d)
(d’) y
x
(26)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
3 Ví dụ giải hệ phương trình bậc ba ẩn:
Dạng:
1 1
2 2
3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2
2
x y z
x y z
x y z
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Bài tập:
1) Giải biện luận hệ phương trình: a)
3
+
mx my m
x my b)
( 1)
6 (2 )
m x my
mx m y m
2) Định m để hệ phương trình có nghiệm suy hệ thức nghiệm độc lập với m:
a)
+
mx y m
x my m
b) ( 1) 2
( 1) ( 1)
m m m
x y m m x y
3) Định m để hệ phương trình vơ nghiệm từ suy giá trị m để hệ có nghiệm:
a)
( )
mx my m
m m x my
b)
2 3( 1)
( ) 2
m x m y
m x y y
4) Định m để hệ phương trình vơ số nghiệm:
(27)a)
( )
mx my m
m m x my
b)
1
3
x my
mx my m
§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN. I Hệ gồm phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai:
VÍ DỤ 1: Giải hệ phương trình: 2
2
2
x y
x y xy
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Tổng quát: ……….……….……….……….……
II Hệ phương trình đối xứng:
Dạng : ………….……….……….……….…………
Phương pháp : ………….……….……….……….……
………….……….……….……….……….……
VÍ DỤ 2: Giải hệ phương trình:
2 4
x xy y
xy x y
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
III Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Dạng : ………….……….……….……….…………
………….……….……….……….……….……
Phương pháp : ………….……….……….……….……
………….……….……….……….……….……
VÍ DỤ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
x x y
y y x
(28)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Chú ý: ……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 Bất đẳng thức:
a Định nghĩa………….……….……….……….……….
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b Tính chất:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Hệ quả:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Quy ước:….……….……….……….……….…
………….……….……….……….……….……
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) 3 4 .
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) x2 2(x1)
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
c) a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: (b c a c a b a b c )( )( )abc
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
2 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:
(29)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 2: CMR: Nếu a 1, b1 10, a c 10 ab c 20
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
3.Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy): a) Đối với hai số không âm:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 3: CMR: Nếu a, b, c ba số dương : a b b c c a
c a b
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Hệ quả: ……….……….……….……….……….…
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ưng dụng: ……….……….……….……….……….…
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn hàm số: y2 (3x x) với 0x3.
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) Đối với ba số không âm:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 5: CMR: Nếu a, b, c ba số dương :
1 1
(a b c)( )
a b c
(30)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC: 1) Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a2b2 1 ab a b g)
2 4
1
a b
a b
b) a24b23c214 2 a12b6c h) a2b2c2d2e2 a b c d e( )
c) 2a2 b2 c2 2 (a b c ) i)
1 sin cos
2
x x
d) Cho 2
1
1 CMR:
1 1
a b
a b ab
k)
2 2 ( )2
a b c a b c
e) Cho a, b, c thỏa a2 b2 c2 1 m) Cho a, b, cỴ[0;1] CMR:
CMR:
1 vaø
2
ab bc ca ab bc ca 2 2 2 2 2 2
1
a b c a b b c c a
f) a25b2 4ab
2) Dùng bất đẳng thức Cauchy, CMR: a)
25 5 ( b > 0)
3 12
a a
b) (a, b > 0) a b
b a c) (x y xy )( 1) (x, y > 0) xy
d)
1 1 16 ( , , ,a b c d 0)
a b c d a b c d e) (1 )(1 )(1 ) (a, b, c > 0)
a b c
b c a
f)
2
(1 a) (1 b) (a, b > 0)
b a
g) a b1b a1ab ( ,a b1) h) a33 b55 ab ( ,a b0) i) ( , , 0)2
a b c a b c
b c c a a b
k)
2 4( )
27
a b
a b
m) Cho a, b, c > thỏa a b c 1
n) (1a)(1b)(1 ) (1c 3 abc)3 (a, b, c > 0) CMR:
1 1
(1 )(1 )(1 ) 64
a b c
3) Tìm x để hàm số f(x) đạt GTNN: a)
2 36
( ) ( x > - )
4 x f x x b)
( ) ( x > )
2 x f x x
c)
1
( ) ( x > )
f x x
x
d)
1
( ) ( x > - )
f x x
x
4) Tìm x để hàm số f(x) đạt GTLN:
a) f x( ) ( x 3)(7 x) với xỴ[3;7] b)
1 ( ) (2 1)(3 ) với [ ;1]
2
f x x x xỴ
c)
4
( )
2 x
f x với x
x
d)
3 100
( ) 100 với [0; ]
f x x x xỴ
(31)a) Cho 2x + 3y = CMR:
2 16
2
5 x y
b) Cho 3x + 2y = CMR:
2
5 x y
c) Cho 2x2 3y2 5 CMR x: 3y5 d) Cho
2 1 :
2 a b CMR a b
f)
2 2
Cho a b c d 4, CMR ac bd: 4
e) CMR: 2sinxcosx 5, "x §2 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1 Khái niệm bất phương trình ẩn:
a) Định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định là: Df Dg Đặt: D = Df Dg Mệnh đề chứa biến có dạng :
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) Chú ý: ….……….……….……….……….….
………….……….……….……….……….……
2 Bất phương trình tương đương:
a) Định nghĩa: ……….……….……….……….……
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) Chú ý:……….……….……….……….………
………….……….……….……….……….……
Ví dụ: Với điều kiện x > 2, ta có
1 1 1 2
2 x
x Û .
3 Biến đổi tương đương bất phương trình:
a) Định nghĩa: ……….……….……….……….…………
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) Định lý: ……….……….……….……….……….
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ: Bất phương trình x 2 tương đương với bpt: x x 2 x
Bất phương trình x 2 khơng tương đương với bpt: x x 2 x
c) Hệ quả: Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D
(32)Ví dụ: Giải bất phương trình: x 1 x
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Giải biện luận bất phương trình: ax + b < (1)
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… Ví dụ 1: Giải biện luận bất phươnh trình: mx 4 2x m
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 2: Giải biện luận bất phươnh trình: 3mx2x m
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Giải hệ bất phương trình bậc ẩn:
Phương pháp: ……….……….……….……….……
………….……….……….……….……….……
Ví dụ 3: Giải hệ bất phươnh trình:
3
2
1 x x x
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 4: Tìm giá trị x để: 3x2 3 x2 vaø 2x 5 2 x
(33)Ví dụ 5: Với giá trị m hệ bất phươnh trình :
0 x m
x
có nghiệm?
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
§4 DẤUCỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT. 1.Nhị thức bậc dấu nó:
a) Nhị thức bậc nhất:
Định nghĩa: ……….……….……….……….……
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
b) Dấu nhị thức bậc nhất:
Định lý: ……….……….……….……….……….
………….……….……….……….………
Ví dụ: Xét dấu f(x) = - x +
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
2 Một số ứng dụng:
a) Giải bất phương trình tích:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (x 2)(2x4)(1 ) 0 x
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… b) Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu:
PP: - Đưa bất phương trình dạng:
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x
- Giải phương trình: P(x) = 0, Q(x) = - Lập bảng xét dấu
- Kết luận tập nghiệm Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
3
2
x x
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
x x
f(x) = ax + b
o -b/a x y
o x y
(34)………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
c) Giải phươpng trình, bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối:
PP: a b Û ………….……….… a b Û ………….……….
a b Û………….……….
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 2x1 3 x5
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
§.5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
1 Bất phương trình bậc hai ẩn. a Định nghĩa:
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… b Cách xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn.
Định lý:
(35)Ví dụ: Xác định miền nghiệm bất phương trình: 2x 3y1 0
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
2 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn:
Phương pháp: ….……….……….……….……….
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm hệ:
3
2
2
x y
x y
x y
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
3 Một ví dụ áp dụng vào tốn kinh tế: Bài toán: (SGK trang 131)
………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….…… ………….……….……….……….……….……
(36)Cách giải: SGK trang 134
§.6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1 Tam thức bậc hai:
a) Định nghĩa:………
……….
Nghiệm::………
………
2 Dấu tam thức bậc hai:
Xt tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a0)
Dấu f(x) phụ thuộc vo dấu v dấu hệ số a Cụ thể:
TH1: 0 (Tam th c b c hai v nghi m)ứ ậ ơ ệ
a > a < Kết luận
TH2: 0
TH3: 0
f(x) x
f(x)
x
f(x)
x
f(x) x x0 f(x)
x x0
f(x)
x y
x y
x
a > a < Kết luận
0 x
x y
0 x
x
(37)a > a < Kết luận
Định lý dấu tam thức bậc hai: :………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Ví dụ 1: f x( )3x22x với xỴ vì: ……… Ví dụ 2: Xt dấu tam thức bậc hai: f x1( ) 3 x2 8x2; f x2( )2x2 5x7; f x3( ) 9 x212x4
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Nhận xt:………
……… ……… ………
Ví dụ 3: Với gi trị no m đa thức f x( ) (2 m x) 2x1 ln dương với xỴ
……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
f(x) x x1 x2
f(x)
x x1 x2
f(x)
x x1 x2 y
o x1 x2 x
y
(38)………
Ví dụ 4: Với gi trị no m đa thức f x( ) ( m1)x2 (2m1)x m 1 m với xỴ
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
§.7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai (ẩn x) l bất phương trình cĩ cc dạng : ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( )
f x f x f x f x
Cch giải: ………
Ví dụ 1:Giải bất phương trình: a) 3x2 2x1 0
……… ……… ……… ………
b)
2
4
3 x x
……… ……… ……… ………
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (2m 3)x2(m 2)x 0 cĩ nghiệm
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2 Bất phương trình tích v bất phương trình chứa ẩn mẫu thức:
Phương pháp:………
………
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a)
2
2 2 0
5
x x
x x
(39)……… ……… ……… ……… ……… ………
b) (4 )( x x27x12) 0
……… ……… ……… ……… ………
c) 2
2 16 27 2
7 10
x x
x x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
3 Hệ bất phương trình hai ẩn:
Phương pháp: ………
………
Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình:
a)
2
3
2
x x
x x
……… ……… ……… ……… ………
b)
2
2
x
x x
……… ……… ……… ……… ………
Ví dụ 4: Tìm cc gi trị m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
(m 2)x 2(m1)x2m0
(40)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
§.8 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH V BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 1 Phương trình v bất phương trình chứa ẩn dấu gi trị tuyệt đối: Ví dụ 1: a) Giải bất phương trình:
2 3 2 0
x x x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
b) Giải phương trình:
2 8 15 3 x x x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2 Phương trình v bất phương trình chứa ẩn dấu căn:
Phương pháp: ………
(41)Ví dụ 2: a) Giải phương trình: 3x224x22 2 x1
……… ……… ……… ……… ……… ………
b) Giải phương trình: x256x80 x 20
……… ……… ……… ……… ………
Ví dụ 3: a) Giải bất phương trình: x2 3x10 x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
b) Giải bất phương trình: x2 2x15 x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Ví dụ 4: a) Giải bất phương trình: x2 4x x
(42)……… ……… ………
b) Giải bất phương trình: x21 x
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Chương 5: THỐNG KÊ
Bi + 2: Khái niệm mở đầu cách trình by mẫu số liệu I Khái niệm mở đầu:
1) Thơng k: Là khoa học phương pháp thu thập, tổ chức, trình by, phn tích v xử lý số liệu 2) Mẫu số liệu:
Ví dụ 1: Kết điều tra số học sinh lớp trường THPT A
STT LỚP Số học sinh
1 10
10A 10B 10C 10D 10E 11A 11B 11C 11D 11E
47 50 52 50 50 47 52 48 52 50
- Một tập hữu hạn đơn vị điều tra gọi mẫu - Số phần tử mẫu gọi kích thước mẫu
- Các giá trị dấu hiệu thu mẫu gọi mẫu số liệu Trong VD trn: Mẫu cc lớp l: {10A, 10B,…,11E}
Mẫu số liệu l: {47, 55, 48,…,54,55} Kích thước mẫu = 10
HĐ1 (SGK)
II Trình by mẫu số liệu:
1 Bảng phn bố tần số - tần suất:
Ví dụ: Trong ví dụ trn cĩ1 lớp cĩ sĩ số: 48 Học sinh lớp cĩ sĩ số: 50 Học sinh
lớp cĩ sĩ số: 47 Học sinh lớp cĩ sĩ số: 52 Học sinh Định nghĩa: Số lần xuất gi trị mẫu số liệu gọi l tần số giá trị đó.
.Tần suất fi gi trị xi l tỷ số tần số ni kích thườc mẫu N
i i
n f
N
B ng phn b t n s - t n su t:ả ố ầ ố ầ ấ
Ta đ biết:
- Dấu hiệu X l số học sinh lớp (hoặc định
lượng định tính)
- Đơn vịđiềutra l lớp học cấp THPT
(43)Gi trị (x) 47 48 50 52
Tần số (n) 10
Tần suất (fi) 20 10 40 30
VD2: Bảng số liệu thông kê điểm kiểm tra mơn tốn 30 HS lớp 10A sau: 10 10 10 10 10 10 10 10 Hy lập bảng tần số - tần suất theo mẫu sau:
Điểm số xi Tần số Tấn suất fi(%)
HĐ2: (SGK/163)
2 Bảng tần số - Tần suất lớp ghp :
VD3: Bảng số liệu thống kê điểm trung bình mơn tốn HKI 30 em HS lớp 10A sau : 5,3 6,5 4,6 7,8 7,9 6,4 6,3 6,1 5,2 7,1
6,2 7,9 5,9 5,5 5,8 7,5 7,8 7,6 3,6 5,8 6,3 3,9 6,4 7,9 8,1 9,4 8,4 8,7 6,9 8,3 Để lập bảng tần số - tần suất lớp ghép ta thực bước sau:
Phn lớp: Lớp thứ : [3,5; 5,0) Lớp thứ 3: [6,5; 8,0) Lớp thứ 2: [5,0; 6,5) Lớp thứ 4: [8,0; 9,5]
Xác định tần số, tần suất cc lớp Bảng phn bố tần số - tần suất ghp lớp
Các lớp điểm TB Tần số Tấn suất fi(%)
HĐ3: (SGK/164) 3 Biểu đồ:
a) Biểu đồ tần số - tần suất hình cột: b) Đường gấp khúc tần số - tần suất
10 16,7 33,3 40 fi%
đtb
4 fi%
40 33,3 16,7
10
(44)c) Biểu đồ tần số - tần suất hình quạt:
Bi 3: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU I SĨ TRUNG BÌNH:
1) Cơng thức:
Nếu mẫu số liệu kích thước N là: x x1, , ,2 xN thì số trung bình tính bởi:
1 N
x x x
x
N
Nếu mẫu số liệu cho bảng:
1 2
1
m
m m
i i i
n x n x n x
x n x
N N
Thì số trung bình tính bởi:
1 2
1 m m m i i
i
x f x f x f x f x
Vì i i
n f
N
, Nn ta cĩ:
N u m u s li u đ c cho b i b ng t n s ghép l p:ế ẫ ố ệ ượ ả ầ ố
Lớp Giá trị đại diện Tần số
[a1 ; a2] [a3 ; a4]
: [a2m-1;a2m]
x1
x2
:
xm
n1
n2 :
nm
1 2
1
1 m
m m
i i i
n x n x n x
x n x
N N
m i i
N n
Thì số trung bình tính bởi:
Ví dụ1: Tính số xcho b i b ng:ở ả
Các lớp số đo chiều cao(cm) xi Tần suất fi
3,5 5,0 6,5 8,0 9,5
đtb
(45)[150 ; 156) 153 16,7
[156 ; 162) 159 33,3
[162 ; 168) 165 36,1
[168 ; 174) 171 13,9
Cộng 100%
2 Ý nghĩa số trung bình:
Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó số đặc trưng quan trọng mẫu số liệu
Ví dụ 2: SGK/72 II SỐ TRUNG VỊ:
1.Định nghĩa: Số trung vị dy khơng giảm gồm N số liệu thống k l: Số hạng thứ
1 N
( Số liệu đứng dy) N lẻ Trung bình cộng số đứng thứ
N v
1 N
N chẵn 2.Ví dụ 3: a) Tính số trung vị ví dụ
b) Điều tra số học sinh 12 lớp ta mẫu số liệu: 42 43 43 44 46 46 48 48 49 50 50 52 Tính số trung bình, trung vị? so snh v nhận xt?
……… ……… ………
Ch ý: Khi cc số liệu mẫu khơng cĩ chnh lệch qu lớn số trung bình v số trung vị xấp sỉ
HÑ Sch gio khoa trang 173 III MỐT:
Định nghĩa: Mốt Mo l gi trị cĩ tần số lớn bảng phn phối thực nghiệm tần số
Nếu bảng có giá trị có tần số lớn tần số giá trị khác ta coi có mốt giá trị
*Một bảng phn phối thực nghiệm tần số cĩ thể cĩ nhiều mốt Ví dụ:
VÍ DỤ 4: Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi đ bn quý sau:
Cỡ o 36 37 38 39 40 41 42
Số áo bán 13 45 110 184 126 40
……… ………
Ví d 5: Th ng kê s qu t bán c a m t c a hàng mùa hè v a qua nh sau:ụ ố ố ủ ộ
Gi tiền(x) 100 150 300 350 400 500
Số quạt bán được(n) 256 353 534 300 534 175
……… ………
IV.PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN:
Cơng thức: Cho mẫu số liệu kích thước N x x1, , ,2 xN
Phương sai mẫu số liệu ny, ký hiệu l s2, tính cơng thức sau:
2
1
1 N ( )
i i
s x x
N
(46)Độ lệch chuẩn, ký hiệu l s, tính cơng thức:
2
1 N ( )
i i
s x x
N
Ch ý :
2
2
2
1
1 N N
i i
i i
s x x
N N
2 Ý nghĩa phương sai độ lệch chuẩn:
……… ……… ……… ………
3 Ví dụ:
Ví dụ 6: Điểm trung bình mơn học An v Bình cho bảng SGK/174 a) Tính điểm trung bình tất cc mơn học AN v Bình?
b) Tính phương sai độ lệch chuẩn điểm môn học An Bình v so snh
……… ……… ……… ……… ……… ………
Ví dụ 7.8 SGK/176
Chương 6: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1 GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1 Đơn vị đo góc cung trịn, độ di cung trịn: a) Độ:
Cung trịn bn kính R cĩ số đo a0 (0 a 360) cĩ độ dài là:
180
a l R Ví dụ 1:
Số đo
4 đường trịn l: Cung trịn bn kính R cĩ số đo 720 cĩ độ dài l:
b) Rađian:
Định nghĩa: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian rađian cịn viết tắt l rad
- Toàn đường trịn cĩ số đo l: - Cung có độ dài l cĩ số đo rađian là: - Cung trịn bn kính R cĩ số đo rađian cĩ độ dài là:
(47)
Ghi nh :
Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
Rađian
2 Góc cung lượng giác: a) Góc lượng giác:
Quy ước: Khi niệm: Ví dụ 2: SGK/ 187
Số đo góc lượng giác:
Ch ý:
b) Cung lượng giác:
Đường trịn định hướng: Khi niệm: .
0 u
v m
0 u
v m 15
00
600
(48)
Số đo cung lượng giác:
3 Hệ thức Sa – lơ:
Hệ thức Sa – lơ độ dài đại số: AB BC AC với A, B, C ty ý.
Với ba tia Ou, Ov, Ow ty ý ta cĩ: sñ Ou Ov sñ Ov Ow( , ) ( , )sñ Ou Ow k( , ) ( kỴ )
Với ba điểm tùy ý U, V, W trn đường trịn định hướng ta có: sđUV sđVW sđUW k ( kỴ )
Ví dụ 3: Nếu
11 ( , )
4 sñ Ox Ou
;
3 ( , )
4 sñ Ox Ov
Thì
3
( , ) ( )
2
sñ Ou Ov k kẻ
Đ2 GI TR LNG GIC CA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC. 1 Đường trịn lượng giác:
a) Định nghĩa:
- Đường trịn đơn vị đường trịn cĩ bn kính
- Đường trịn lượng giác đường trịn đơn vị, định hướng, có điểm A gọi điểm gốc b) Tương ứng số thực điểm đường trịn lượng giác:
Điểm M thuộc đường trịn lượng giác cho (OA, OM) = gọi điểm
xác định số hay điểm biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo .
Nhận xt: Ứng với số thực có điểm đường trịn lượng giác
tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường trịn lượng giác ứng với vô số số thực, số thưc có dạng: k2 , kỴ
c Hệ tọa độ vng góc gắn với đường trịn lượng giác:
2 Giá trị lượng giác:
a) Giá trị lượng giác sin cơsin: Cho (OA, OM) =
O A x y
H O A x y
M M
(49)Ví dụ 1: cos( 3)
……… ; sin( 3)
………… ; Sin 2250 = ………….; cos 2250 =………… ;
Tính chất
1) 2)
3)
b) Giá trị lượng giác tang cơtang:
Ví dụ 2: tan( 3)
……… ; cot 2250 = ………;
Ý nghĩa hình học tang v cơtang:
Tính chất:
1) 2)
3)
4) Giá tr l ng giác c a m t s góc:ị ượ ủ ộ ố
0
6
4
3
2
2
sin
Cos
tan
cot
Ví dụ 3:
3
Cho với < < Hãy tìm cos biết sin =
2
Ví dụ 5:
5 Cho với < < Hãy tìm cos , sin biết tan =
2
H O A x y
M
t s cot
K
(50)§3 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1 Hai góc đối nhau:
2 Hai gĩc b nhau:
3 Hai gĩc phụ nhau:
4 Hai góc :
O A x
y
M
N
O A x y
O A x
O A x y
y M
O A x N