phep toan vecto

Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm.. Cho tam giác ABC.[r]

Vấn đề 1: VECTƠ – TỔNG, HIỆU VECTƠ, TÍCH VECTƠ VỚI SỐ

A- Tóm tắt sở lý thuyết: ( GV hệ thống lại kiến thức vectơ)

I- VECTƠ: 1- Định nghĩa

2- Vectơ phương, vectơ hướng, vectơ ngược hướng 3-Độ dài vectơ

4- Hai vectơ – Hai vectơ đối – Vectơ không II- TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ:

1- Định nghĩa 2- Tính chất 3- Các qui tắc bản: 4-Công thức cần nhớ: + Trung điểm + Trong tâm tam giác II TÍCH MỘT SỐ VỚI VECTƠ:

1 Định nghĩa 2Tính chất

3 Hệ thức trung điểm Hệ thức trọng tâm B- Luyện tập:

I- Chứng minh hai vectơ nhau: Phương pháp:

1- Dùng định nghĩa:

a hướng b a b

a b     

  

 

 

 

2- Đưa hình bình hành áp dụng tính chất hình bình hành

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh : 

                           

MN QP.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, cạnh AB lấy điểm M phần kéo dài cạnh AC phía C lấy điểm N, cho BM = CN Đoạn thẳng MN cắt BC E Chứng minh: ME EN  . Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm BC, điểm M, N, E, F trung điểm AB, AC, CD, DB Chứng minh: 

  MF NE.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, BD, CD Chứng minh : Tứ giác ABCD hình bình hành 

 

MN NP

II- Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp:

1- Biến đổi vế phức tạp để có vế đơn giản 2- Dùng phép tương đương

3- Dùng quan hệ bắc cầu

Bài 5: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh: a)  D D    

AB C A CB b)  D D

   

AC B A BC

Bài 6: Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh:  D A  D     

AB C E CB E .

Bài 7: Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: D                

A BE CF AE BF CD AF BD CE.

Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi M, N, E trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng

minh   0

   

AM BN CE .

Bài 9: Cho ABC có M trung điểm BC , G trọng tâm , H trực tâm , O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh:

a) 2

 

AH OM b)   2

   

HA HB HC HO c)   

   

OA OB OC OH Bài 10: Cho điểm A,B,C,D Gọi I, J trung điểm AB CD

Qui tắc điểm + Tổng + Hiệu

a) Chứng minh:   

AB CD   

AC BD

b) Chứng minh:    2

    

AC BD AD BC IJ

c) Gọi G trung điểm IJ CMR:         

GA GB GC GD O

d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh IJ PQ, MN có chung trung điểm

Bài11: Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2(    ) 3

    

AB AI JA DA DB

Bài 12: Cho tam giác ABC, AM trung tuyến I trung điểm AM a) CMR:   0

   

IA IB IC b) Với điểm O CMR: 2   4

   

OA OB OC OI

III Chứng minh điểm thẳng hàng Phương pháp:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng (  0,  ) (   , /  0)

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

k AB k AC AB AC

Bài 13:Cho bốn điểm O, A, B, C cho: 2  0

   

OA OB OC .Chứng tỏ A,B,C thẳng hàng. Bài14: Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H , BD lấy điểm K cho:

1

,

5

 

   

BH BC BK BD

CMR: A, K, H thẳng hàng (HD: BH AH AB BK   ; AK AB ) Bài 15: Cho ABC với I, J , K xác định bởi:

1

2 , ,

2

  

                                                                                   

IB IC JC JA KA KB

a) Tính , , AC

   

IJ IK theo AB (HD:

4

 

                                          IJ AB AC

)

b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB)

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD =

2AF, AB =

2AE Ch minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành

Bài 17: Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: 3 0  

                       

  

IA IC , 2 3 0

   

JA JB JC

Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng

Bài 18:Cho ABC Lấy điểm M N, P:   2   0      

                                                                       

      

MB MC NA NC PA PB

a) Tính ,

   

PM PN theo AB va AC

b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 19: Cho tam giác ABC, G trọng tâm điểm M, N định bỡi hệ thức 3MA4MB0                                          

và

3

NB NC                                           

a) Chứng minh M, G, N thẳng hàng b) Biểu diễn AC



theo AG 

AN 

IV Chứng minh điểm trùng nhau Phương pháp:

Cách 1: A trùng B M/    MA MB. Cách 2: A trùng B  AB0

 

1. Cho ABC , vẽ hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS Chứng minh: RIP JQS có trọng tâm

điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có chung trọng tâm 3. Cho tam giác ABC, A’B’C’ Gọi G, G’ trọng tâm tam giác CMR:

' ' ' ' AA BB CC   GG    

                                                   

Từ suy điều kiện cần đủ để tam giác có trọng tâm 4. Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: 2A B 3A C 0

  

, 2B C 3B A 0

  

, 2C A 3C B 0

  

Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm 5. Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho:

AA BB CC AB BC AC

  

 

CMR: tam giác ABC ABC có chung trọng tâm

MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Theo hướng phân tích véc tơ theo hai vectơ không phương

6. Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB=2MC Chứng minh:

1

3

AM AB AC

  

7. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN 2NA

 

K trung điểm MN Chứng minh: a)

1

4

AK AB AC

  

b)

1

4

KD AB AC

  

8. Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a)

1

AM OB OA

  

b)

1

BN  OC OB

  

c)  

1

MN  OC OB

  

9. Cho ABC M, N trung điểm AB, AC CMR: a)

2

3

AB CM BN

  

b)

4

3

AC CM BN

  

c)

1

3

MN  BN CM

  

10.Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD                            

theo vectơ AB vaø AF                            

11.OABC hình thang, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM



theo vectơ OA OB OC, ,

  

12.Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho

3 , ,

MB MC NA CN PA PB 

      

a) Tính PM PN,

 

theo AB AC,  

b) CMR: M, N, P thẳng hàng

13.Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) CMR: AA BB CC1 1 0

   

b) Đặt BB u CC1 , v

 

 

Tính BC CA AB, ,   

theo u vaø v 

14.Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC

a) Tính AI AF theo AB AC,

   

b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI AF

  

a) CMR:

2

3

AH  AC AB

  

 

1

CH AB AC

  

b) Gọi M trung điểm BC CMR:

1

6

MH  AC AB

  

16.Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) CMR: HA 5HB HC 0

   

b) Đặt AG a AH b , 

  



Tính AB AC,  

theo a vaø b  

TẬP HỢP ĐIỂM THOÃ MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ 17.Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho:

a) MA MB MA MB

   

b) 2MA MB MA2MB

   

18.Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a)

3

MA MB MC MB MC

   

                                                                     

b) MA BC MA MB

                                                       

(HD: dựng hình bình hành ABCD) 19.Cho ABC

a) Xác định điểm I cho: 3IA 2IB IC 0   

                                   

   

b) CMR đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN 2MA 2MB MC

   

luôn qua điểm cố định

c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA 2HB HC HA HB

    

d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA KB KC  3KB KC

    

20.Cho ABC

a) Xác định điểm I cho: IA3IB 2IC0

   

b) Xác định điểm D cho: 3DB 2DC0

                         

  

c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA3MB 2MC 2MA MB MC 

     