Ñònh lyù 3: Neáu haøm soá f(x) laø lieân tuïc treân ñoaïn [a; b], thì noù ñaït ñöôïc giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát vaø moïi giaù trò trung gian giöõa giaù trò lôùn nhaát vaø [r]
(1)GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số:
Kiến thức cần nhớ:
Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu dãy số có giới hạn bị chặn Định lý2: (Tính giới hạn)
Nếu dãy số có giới hạn giới hạn Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat) Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn
Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn
Định lý4: (Giới hạn dãy số kẹp hai dãy số dần tới giới hạn) Cho ba dãy số (un), (vn), (wn)
Nếu ∀n∈N❑ ta có v
n≤un≤ wn vaø lim = lim wn = A lim un = A
Định lý5: (Các phép toán giới hạn dãy số) Nếu hai dãy số (un),(vn) có giới ta có:
lim(un± vn)=limun±limvn
lim(un.vn)=limun limvn limun
vn=
limun
limvn(limvn≠0)
lim√un=√limun(un≥0,∀n∈N❑)
Định lý6: Nếu |q|<1
limqn
=0
Tổng cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q với |q|<1 là: S=u1+u2+ +un+ = u1
1− q (|q|<1)
Soá e: lim(1+1
n) n
=e ≈2,71828
Định lý7: Nếu limun=0(un≠0,∀n∈N❑) lim
un=∞
Ngược lại, limun=∞ lim
un=0
B Giới hạn hàm số:
Kiến thức cần nhớ:
1/ Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý1: (Tính giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn x dần tới a giới hạn Định lý2: (Các phép toán giới hạn hàm số)
(2)lim
x→ a[f(x)± g(x)]=limx→ af(x)±limx →ag(x)
lim
x→ a[f
(x).g(x)]=lim
x→ af
(x) lim
x →ag
(x) lim
x→ a f(x)
g(x)= lim
x→ af(x)
lim
x→ ag(x) ,(lim
x → a≠0
) lim
x→ a√f(x)=√limx→ af(x),(f(x)≥0)
Định lý3: (Giới hạn hàm số kẹp hai hàm số dần tới giới hạn)
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với điểm x khoảng g(x)≤ f(x)≤ h(x)
limx→ ag(x)=lim
x→ ah
(x)=L , thì lim
x→ af
(x)=L
Định lý4: Nếu x → a , hàm số f(x) có giới hạn L với giá trị x đủ gần a mà f(x) > (hoặc f(x) < 0) L≥0 (hoặc L≤0 )
Định lý5: Nếu limx→ a=0 (và f(x)≠0 với x đủ gần a) thì lim
x→ a
1
f(x)=∞ Ngược lại, limx→ af(x)=∞ lim
x→ a
1
f(x)=0 2/ Giới hạn bên :
Định nghĩa: Số L gọi giới hạn bên phải( bên trái) hàm số f(x) x dần tới a, với dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) cho limxn = a limf(xn) = L
Ta vieát: x → a
+¿
=L
lim ¿
(hoặc x → alim−f(x)=L )
Định lý: Điều kiện ắc có đủ để limx→ af(x)=L là x → a
+¿f
(x),lim
x → a− f(x) lim
¿
đều tồn L 3/ Các dạng vô định:
(3)1/
¿
lim
x → x0
(x → ∞)
¿
❑ u(x)
v(x)
maø lim
¿
x → x0
(x → ∞)
u(x)=lim
x → x0
(x → ∞)
¿ ¿
❑❑¿v(x)=0
2/
¿
lim
x → x0
(x → ∞)
¿
❑ u(x)
v(x)
maø lim
¿
x → x0
(x → ∞)
u(x)=lim
x → x0
(x → ∞)
¿ ¿
❑❑¿v(x)=∞
3/
¿
lim
x → x0
(x →∞)
¿
❑[u(x).v(x)]
maø
¿
lim
x → x0
(x → ∞)
¿
❑u(x)=0
vaø
¿
lim
x → x0
(x → ∞)
¿
❑v(x)=∞
4/
¿
lim
x → x0
(x → ∞)
¿
❑[u(x)− v(x)]
maø lim
¿
x → x0
(x →∞)
u(x)=lim
x → x0
(x →∞)
¿ ¿
❑❑¿v(x)=+∞
hoặc lim
¿
x → x0
(x → ∞)
u(x)=lim
x → x0
(x → ∞)
¿ ¿
❑❑¿v(x)=− ∞
BAØI TẬP ÁP DỤNG
A GIỚI HẠN DÃY SỐ
(4)/lim2n+1
n+2 /lim
3n2+1
n2+4 /lim 5n −1 3n+2 /lim n
2
+2√n+3 2n2
+n−√n /lim
2n√n+3
n2+n+1 /lim(n+1)(2n −1)
(3n+2)(n+3) /lim n
2
+2n
3n2+n+1 /lim
2n3 n4+3n2+1
9 /lim(2n√n)(3+√n)
(n+1)(n+2)
Bài tập 2: Tính giới hạn: /lim2n
2
−1
n2+1 /lim
2n+5
n2− n+2 /lim
n3−2n
3n2+n −2 /lim(√3n2− n3+n) /lim2n
2
+n+1
3n3−2 /lim(
√n3−2n2− n) Bài tập 3: Tính giới hạn:
/lim n
2
+1
2n2−3n
n+2¿3 ¿
n−1¿4
n¿
n+1¿2¿ ¿
2 /lim¿
/lim(√n2+n−√n2+1)
n+√33n2− n3
4 /lim¿ ) /lim
2n3−11n
+1
n2−2 /lim
1 √n2
+2−√n2+4 B GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính giới hạn: 1/lim
x→2(2x+3) 2/x →−lim2(2x
−3x+4) 3/lim
x →1
x2+4x+1
x2− x+1 4/ lim
x →−3
√1− x+2x
x+1
5/ lim
x → −1(√x+2+
√x) 6/lim
x →5
x2−25
x+2 Daïng 00
Bài tập 2: Tính giới hạn:
1/lim
x→2
x2
+x −6
x2−4 4/lim
x→1
x3−3x+2
x3− x2− x
+1
2/lim
x →4
x2−16
x2+x −20 5/ lim
x→ −2
4− x2 x3
+8
3/lim
x→3
x2−4x+3
x −3 6/ lim
x →−3
x+3
x2−9
(5)
1/lim
x →0
√1+2x −1 2x
4/lim
x→2
x −√3x −2
x2−4 7/lim
x →0
√1+2x −1 2x
2/lim
x →0
4x
√9+x −3 5/ lim
x → −1
√3+2x −√x+2 3x+3 8/lim
x →2
√4x −2
x −2 3/lim
x →1
√2x+7−3 2−√x+3 6/lim
x →1
√2x+7+x −4
x3−4x
+3 9/lim
x →5
2−√3 x+3
x2−25
Bài tập 4: Tính giới hạn:
¿
1/lim
x →1
√x −1 √x −1 4/lim
x→√2
x2−2
x2− x+√2−2 7/ lim
x→ −3
x4−6x2−27
x3
+3x2+x+3
¿
2/ lim
x →−1
x3− x2+2x+4
x2−3x −4
5/lim
x→1
x+2√x −3
x −5√x+4 8/lim
x →0
√1− x2−1
√2+x −√33x+2
3/lim
x→0
√x+1−√x2+x+1
x 6/lim
x →1
3x −2−√4x2− x −2 x2−3x+2
9/lim
x→2
x −√x+2
√4x+1−3
Bài tập 5: Tính giới hạn:
1/lim
x →0
1−√31− x x
2/lim
x →3
x2−4x
+3
x −3 3/lim
x→3
(x+1)(x2−1)
x3
+x2+x 4/lim
x →−2
x2+3x+2 2x2+x+6 5/lim
x→4
3−√5+x 1−√5− x
6/lim
x→1
√x −1 √x2+3−2 7/lim
x →1
√x −2+❑√1− x+x2
x2−1 8/lim
x →4
√1+2x −3
√x −2 9/lim
x→0
1−3
√1− x
3x
10/ lim
x → −1
√x+1
√x2+3−2
Tính giới hạn cách thêm, bớt lượng liên hợp.
(6)
1/lim
x→2
√8x+11−√x+7
x2−3x+2 2/lim
x →0
√1+x −√1− x x
3/lim
x →3
√x+1−√3x+5
x −3
4/lim
x→1
√x −9+√x+3
x −1 5/lim
x →−2
√x −6+√x+6
x2+x −2
6/ lim
x→ −1
√2+x −❑√2x −1 x2− x −2
Daïng ∞∞
Bài tập 7: Tính giới hạn:
1/ lim
x → −∞
√x2
+1 2x+3 2/ lim
x →+∞ − x3
+x+1
x2−2
3/lim
x →∞
x5+2x2+1
x3+1
¿
4/lim
x →∞
2x2+3x+1 3x2− x+5 3x+4¿3
¿ ¿
5/lim
x → ∞
(x −2)(2x+1)(1−4x)
¿
6/lim
x→ ∞
x2+3x −8
x4−6x+1 7/lim
x→ ∞
4x3
+3x −7
x2−3x+5 8/lim
x→ ∞
√x2+2x+3
3
√x3− x+1 9/lim
x → ∞
√4x2+1 3x −1 10/lim
x → ∞
2x2+3
x3−2x
+1
ÑS:
1/−1 2/∞ 3/ +∞
4/2 5/−
27
6/0
7/∞
8/±1
9/±2
3 10/0
Bài tập 8: Tính giới hạn: 1/lim
x → ∞
√x2
+2x+3+1+4x
√4x2
+1+2− x 2/x → ∞lim
√9x2+x+1−√4x2+2x+1
x −1
ÑS: −1 ¿ ¿ ¿ ¿
1/❑¿
¿ −1 ¿ ¿ ¿
2/❑¿
(7)Bài tập 9: Tính giới hạn:
1/ lim
x →+∞
(√3 x3+x2− x) 2/lim
x → ∞
(2x −1−√4x2−4x −3) 3/lim
x ← ∞
(√x2+x − x) 4/lim
x→1(
1 1− x−
3 1− x3)
5/lim
x → ∞(x+
3
√3x2− x3) 6/ lim
x→+∞
(x −√x2+1) 7/ lim
x→ −∞
(√x2− x+1−√x2+x+1) 8/lim
x →2(
1
x2−3x
+2+
x2−5x
+6)
ÑS: 1/1
3
− ∞
¿
0
¿ ¿3/1
2
¿ ¿ ¿
2/❑¿
5/1 6/0 7/1 8/−2
Dạng : Tìm giới hạn hàm số lượng giác: Cho biết : lim
x→0
sinx
x =1
Bài tập 10: Tính giới hạn hàm số lượng giác sau:
1/lim
x→0
sin 5x
2x
2/lim
x→0
sin 2x
√x+1−1 3/lim
x→0
1−cos 2x xsinx
4/lim
x→0
1−cos 4x
2x2
5/lim
x→0
tgx−sinx x3
6/lim
x→0
sin2x
3
x2
7/lim
x→0
tg 3x
2x
8/lim
x →0
1−cos 6x x2
9/lim
x →0
1−cos 3x
1−cos 5x
10/lim
x→0
√2−√1+cosx tg2x
11/lim
x →0
√1+sin2x −cosx sin2x
12/lim
x →π
3
sin(x −π
(8)ÑS: 1/5
2 5/1 9/ 25
2/4 6/1 10/√2
8
3/2 7/3 11/1
4/4 8/18 12/
√3 - Heát
HAØM SỐ LIÊN TỤC Kiến thức cần nhớ:
Hàm số liên tục điểm:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) Hàm số f(x) gọi liên tục điểm x0¿∈
¿
(a; b) neáu: x → xlim
0
f(x)=f(x0)
Nếu điểm xo hàm số f(x) khơng liên tục, gọi gián đoạn xo điểm xo gọi điểm gián đoạn hàm số f(x)
Theo định nghĩa hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) liên tục điểm
¿
x0∈
¿
(a; b) x → xolim−f(x)
x → x+0¿f
(x) lim
¿
tồn
x → x+0¿
f(x)=f(x0) lim
x → x0
−
f(x)=lim
¿
Hàm số liên tục khoảng: a Định nghĩa:
(9)Hàm số f(x) xác định đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng (a; b) x → a
+¿f
(x)=f(a), lim
¿
x → alim−f(x)=f(b)
Lưu ý: Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng
b Một số định lý tính liên tục:
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm
Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xá định
Định lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b], đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giá trị trung gian giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn
Hệ Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồntại
ít điểm c (a; b) cho f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < thì phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a; b).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm điểm gián đoạn hàm số: Bài tập: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau:
a/y=x3−5x2+4x −3
b/y=2x
2−5x
+4
x2−3x
+2
c/y=tgx+cos 5x
d/y=cot gx+sin 2x
tg2x
Daïng 2: Xét tính liên tục hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
¿
−x
2
x2−3x
+2
x2−1
¿f(x)={
¿
(x<1)
(10)
¿
1−2x
4− x2 x −2
¿f(x)={
¿
(x ≥2)
¿(x<2)
Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 3: Cho hàm số:
¿
3 √x+1−1
3
√x+1−1
¿f(x)={
¿
(x ≤0)
¿(x>0)
Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 4: Cho hàm số:
¿
x2−1
x −1
¿f(x)={
¿
−29
2
Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 5: Cho hàm số:
¿
ax+2
x3−1
x −1
¿f(x)={
¿
(x ≥1)
¿(x<1)
Định a để hàm số f(x) liên tục x0 = Bài tập 6: Cho hàm số:
¿
1 1−√2x −3
2− x
¿f(x)={
¿
(x=2)
¿(x ≠2)
(11)
¿
a+4− x
x+2
√1− x −√1+x
x
¿f(x)={
¿
(x ≥0)
¿(x<0)
Định a để hàm số f(x) liên tục x0 = Bài tập 8: Cho hàm số:
¿
ax+1
3
√3x+2−2
x −2
¿f(x)={
¿
(x ≤2)
¿(x>2)
Định a để hàm số f(x) liên tục R Bài tập 9: Cho hàm số:
¿
ax2+2
3
√4x −2
x2−3x+2
¿f(x)={
¿
(x ≤2)
¿(x>2) Định a để hàm số f(x) liên tục R
Baøi tập 10: Cho hàm số:
¿
1 1−cosx
x
¿f(x)={
¿
(x=0) (x ≠0)
Xét tính liên tục hàm số toàn trục số Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR phương trình sau có nghiệm:
a/x4−3x+1=0
b/x3−6x2+9x −10=0
c/x5−10x3+100=0
Bài tập 2: CMR phương trình 2x3−6x
+1=0 có nghiệm khoảng (-2 ;
2)
(12)Bài tập 4: CMR phương trình 3x4−4x3−6x2
+12x −20=0 có hai
nghiệm
Bài tập 5: CMR phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: a/m(x −1)(x −2)+2x −3=0
b/m(x2−9)+x(x −5)=0
- Heát - CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số khơng đỗi gọi cơng sai
Gọi d công sai, theo định nghóa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Đặc biệt: Khi d = cấp số cộng dãy số tất số hạng
Để dãy số (un) cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un, 2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d cho công thức:
un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất số hạng cấp số cộng
Định lí: cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai ( trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức
uk=uk −1+uk+1
2 (k 2) 4 Tổng n số hạng đàu cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai cơng thức sau:
Sn tính theo u1 d
Sn=n2[2u1+(n −1)d]
Sn tính theo u1 un
Sn=n2(u1+un)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a/❑2,5,8, tìm u15
b/❑2+√3,4,2−√3, tìmu20
ĐS: a/u15=44
(13)Bài tập 2: Xác định cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối 12 có tổng 30
Giải:
Ta có: S=n
2(u1+un)
⇔30=n
2(u1+12)
mà u1=un−(n −1)d=12−(n−1)d=12−3(n−1)=15−3n
nên 30=n
2(15−3n+12)
⇔3n2−27n+60=0⇔
n=4
¿
n=5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với n=4 :u1=3 ta có cấp số cộng 3,6,9,12
Với n=5:u1=0 ta có cấp số cộng 0,3,6,9,12 Bài tập 3: Cho cấp số cộng:
¿
u2+u5−u3=10
u4+u6=26
¿{
¿
Tìm số hạng đầu cơng sai Giải:
¿
u2+u5−u3=10
u4+u6=26
⇔
¿u1+d+u1+4d − u1−2d
u1+3d+u1+5d=26
⇔
¿u1=1
d=3
¿{
¿
Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có số hạng biết tổng 25 tổng bình phương chúng 165
Giải:
(14)
(u3−2d)+(u3−d)+u3+(u3+d)+(u3+2d)=25
u3+d¿
+(u3+2d)=165
¿
⇔
¿ ¿u3=5
¿
u3− d¿2+u32+¿
¿
u3−2d¿2+¿ ¿
Với d = ta có 1,3,5,7,9 Với d = -2 ta có 9,7,5,3,1
Bài tập 5: Tìm số tạo thành cấp số cộng biết số hạng đầu tích số chúng 1140
Giải:
Xét cấp số cộng 5,5+d ,5+2d
Theo ta có: 5(5+d)(5+2d)=1140
⇔2d2
+15d −203=0⇔
d=7
¿
d=−29
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với d = ta có 5,12,19
Với d = −29
2 ta coù 5,− 19
2 ,−24
Bài tập 6: Tìm chiều dài cạnh tam giác vng biết chúng tạo thành cấp số cộng với cơng sai 25
Giải:
Đặt cạnh cần tìm là: x −25, x , x+25, với x>25
Theo định lí Pitago ta có: x −25¿
2
(15)
x=0(loai)
¿
x=100
¿ ¿ ¿ ¿ ¿⇔x
2
+50x+625=x2+x2−50x+625 ⇔x2−100x=0⇔ ¿
Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng cạnh là: 75,100,125 Bài tập 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3,
Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16
Giải:
Ta có: u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
⇔ (u1 + u16) + (u4 + u13) + (u7 + u10) = 147 ⇔ (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 147 ⇔ 3(2u1 + 15d) = 147
⇔ 2u1 + 15d = 49 Mặt khác: u1 + u6 + u11 + u16
= (u1 + u16) + (u6 + u11)
= (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98 Suy ra: u1 + u6 + u11 + u16 = 98
Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.
Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng Giải:
Ta có: S15 = 152 (u1 + u15)
Mặt khác ta có: u3 + u13 = (u1 + 2d) + (u1 + 12d)
= u1 + (u1 + 14d) = u1 + u15 = 80 Do đó:S15 = 152 (u1 + u15) = 152 80 = 600
Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số
Giải:
Ta có: S11 = 176 = 112 (u1 + u11) ⇔11
2 (2u1 + 10d) = 176 (1) vaø u11 - u1 = 30
⇔ (u1 + 10d) - u1 = 30 ⇔ 10d = 30
(16)Do đó: Cấp số cộng cần tìm là:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
Bài tập10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10. Giải:
Ta có: a10 = a1 + (10 - 1)(-3) = + 9(-3) = -23 Bài tập 11: Tính u1, d cấp số cộng sau đây:
u3+u5=14
¿
S13=129
¿
u5=19
u9=35
¿
1/❑{
¿ ¿ ¿
¿
S4=9
¿
S6=45
2
¿
u3+u10=−31 2u4− u9=7
¿
3/❑{
¿ ¿ ¿
¿
ÑS: 1/ u1 = 5313 vaø d = 3839 ; 2/ u1 = vaø d = 3/ u1 = vaø d = 32 ; 4/ u1 = vaø d = Bài tập 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18.
Tính tổng 20 số hạng Giải:
Theo giả thiết ta coù:
¿
u3=u1+2d=−15
u14=u1+13d=18
⇒
¿d=3
u1=−21
¿{
¿
Vaäy: S20= 203 (u1+u20)=150
Bài tập 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3. Tính u20 S20
ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài tập 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4.
Tính u1 S10
(17)ÑS: d = −18
5 S11 = 187 Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18.
Tìm tổng 20 số hạng
ÑS: S20 = 1350
- Heát
CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghóa:
Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn), tronh kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đỗi gọi cơng bội
Gọi q công bội, theo định nghóa ta có un+1 =un.q (n = 1, 2, ) Đặc biệt:
Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u1, u1, , u1, Nếu u1 = với q, cấp số nhân dãy số 0, 0, , Để dãy số (un) cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng qt cấp số nhân cho công thức: un = u1 qn−1 (q 0 )
3 Tính chất số hạng cấp số nhân
Định lí: Trong cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức là:
|uk|=√uk −1.uk+1 (k ≥2)
4 Tổng n số hạng đầu cấp số nhân. Cho cấp số nhân với công bội q u1, u2, ,un,
Định lí: Ta có: Sn=u1q
n −1
q −1 (q 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG
(18)1/ Cấp số nhân có số hạng mà u1 = 243 vaøu6 = 2/ Cho q = 14 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Giải:
1/ Ta coù: u6=u1.q5⇔1=243.q⇔q5= 243=
1 35⇔q=
1 Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3,
2/ Ta coù: S6=u1
1− q6
1−q ⇔2730=u1
1−(1
4)
6
1−1
4
⇔2730=u1
1365
1024 ⇔u1=512
vaø u6=u1q
=512.(1 4)
4
=512 1024=
1
Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 u6 = -486. Tìm số hạng cơng bội q cấp số nhân Giải:
Ta coù:
¿
u3=u1.q2
u6=u1.q5 ⇔
¿18=u1.q2
−486=u1.q5
¿{
¿
(1) (2)
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q3=−27⇒q=−3
Thế q = -3 vào (1) ta được: u1 = Vậy ta có: u1 = 2, q = -3
Bài tập 3: Tìm u1 q cấp số nhân bieát:
¿
u4−u2=72
u5−u3=144
¿{
¿
(19)Ta coù:
¿
u1q3− u1q=72
u1q4−u1q2=144 ⇔
¿u1q(q2−1)=72
u1q
(q2−1)=144
¿{
¿
(1) (2)
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q =
Thay q = vào (1) ta được: 2u1(4−1)=72⇒u1=12
Vaäy u1 = 12, q =
Bài tập 4: Tìm u1 q cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48. Giải:
Ta có:
¿
u3=12
u5=48
⇔
¿u1q2=12
u1q
=48
¿{
¿
(1) (2)
q = 0, u = không nghiệm hệ Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được: q2=4⇒q=±2
Thay vào (1) tacóù: u1=3
* q = 2, ta có cấp số nhaân 3, 6, 12, 24, * q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24, Bài tập 5: Tìm u q cấp số nhân (un) biết:
¿
u1+u2+u3=13
u4+u5+u6=351
¿{
¿
(20)¿
u1+u2+u3=13
u4+u5+u6=351
⇔
¿u1+u1q+u1q2=13
u1q3+u1q4+u1q5=351 ⇔
¿u1(1+q+q2)=13
u1q3
(1+q+q2)=351
¿{
¿
(1) (2)
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q3
=351
13 =27⇒q=3
Thay q = vào (1) ta u1 = Vậy u1 = 1, q =
Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số có số hạng có tổng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai
Giaûi:
Theo ta có:
¿
u1+u2+u3+u4=360
u4=9u2
⇔
¿u1+u1q+u1q2+u1q3=360
u1q3=9u1q
¿{
¿
(1) (2)
Từ (2)⇒q2=9⇒q=±3
Thay q = vào (1) ta được: 40u1 = 360 ⇒ u1 = Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243
Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18
Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486
Bài tập 7: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng là21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số lập thành cấp số nhân Tìm ba số
Giải:
(21)Ta có:
u1+u2+u3=21
u2−1¿2=u1(u3+1)
¿ ¿ ¿{
¿
⇔
u1+(u1+d)+(u1+2d)=21
u1+d −1¿2=u1(u1+2d+1)
¿ ¿ ¿
⇔
¿ ¿u1+d=7
¿
62
=u1+8d
¿
⇔
¿ ¿u1=7−d
¿
36=(7− d)(8+d)
¿
⇔
¿ ¿u1=7−d
¿ ¿
d2
+d −20=0
¿ ¿
Với d = u1 = ta có cấp số cộng: 3, 7, 11 Với d = -5 u1 = 12 ta có cấp số cộng: 12, 7,