TÝnh vËn tèc cña can« khi n íc yªn lÆng, biÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h.[r]
(1)kú thi tun sinh vµo líp 10 thpt chuyên Năm học 2012 - 2013
Môn thi:Toán
(Dành cho thí sinh dự thi lớp chuyên: Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh) Thời gian làm bài: 120 phút
Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
Từ câu đến câu 8, chọn phơng án viết chữ đứng trớc phơng án ú vo bi lm.
Câu 1: Giá trị biĨu thøc
3 2
lµ:
A 1 B 1 C 1 D 1
Câu 2: Trong điểm sau đây, điểm không thuộc đồ thị hàm số
2
1
y x
3
=
?
A
(
;1)
B(
- 3;1)
C(
3;3)
D(
3; 3-)
C©u 3: Trong phơng trình sau đây, phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng ?
A x2- 2x 0+ = B x2- 4x 5+ =0
C x2+10x 0+ = D x2- 5x 0- =
Câu 4: Hàm số
(
)
y= 2012 m x 2013-
-lµ hµm sè bËc nhÊt khi:
A m¹ 2012 B m>2012 C m£ 2012 D m<2012
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo đờng thẳng
1
y x
3
= +
víi trơc Ox lµ:
A 30O B 60O C 120O D 150O
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đờng trịn đáy 2cm, độ dài đờng sinh đờng kính đờng trịn đáy Thể tích hình nón là: A
3
4 cmp B 16 cmp
C
3
8 cmp
D
3
8 cm
p
C©u 7: BiÕt
3
sin cos
5
a - a =
, giá trị biểu thức A=sin cosa a là: A
8
25 B
25
8 C
8
5 D
5
Câu 8: Cho đờng trịn tâm O bán kính 10 cm, dây cung cách tâm O khoảng cm Độ dài dây cung là:
A 5 cm B 10 cm C 3 cm D 10 cm
PhÇn B: tù luận (8,0 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Rót gän biĨu thøc: A= 27- 48- +3 75
b) Giải phơng trình: x4- 3x2- 6x 8- =0
Bài 2: (1,5 điểm) Cho phơng trình x2- 2x+ -m 3=0 (ẩn x) a) Giải phơng tr×nh víi m =
(2)Bài 3: (1,0 điểm) Khoảng cách hai bến sông A B 48 km Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến đến bến A hết tất 40 phút Tính vận tốc canơ n ớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h
Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O), hai đờng cao BE, CF lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai E’ F’
a) Chứng minh điểm B, C, E, F thuộc đờng tròn b) Chứng minh EF // E’F’
c) Khi B C cố định, A di chuyển cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Chứng minh bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giỏc AEF khụng i
Bài 5: (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mÃn 0< <x Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
2
A
1 x x
= +
- HÕt
-Hớng dẫn đáp án biểu điểm
Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)Mỗi câu cho 0,25 điểm
C©u 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp án A D A D A D A B
PhÇn b: tự LUậN (8,0 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) A=3 3 15 3- - + 0,25 ®
=8 0,25 ®
b) x4 =3x2+6x 8+
4 2
x 2x x 6x
Û - + = + +
(
2)
2(
)
2x x
Û - = +
0,5 ®
* NÕu x2- = +1 x
2
x x
Û - - =
1 16 17
D = + = >
Phơng trình có nghiệm là:
1 17
x
2
± =
(3)* NÕu x2- =- -1 x 3Û x2+ + =x
1
D = - =- < phơng trình vơ nghiệm Vậy phơng trình cho có nghiệm
1 17
x
2
± =
0,25 đ
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vi m = ta đợc phơng trình: x2- 2x=0 0,25 đ
x
x(x 2)
x
é = ê Û - = Û
ờ =
Vậy tập nghiệm phơng trình S=
{
0; 2}
0,25 đ
b) Để phơng tr×nh cã nghiƯm Û D ³' 0Û -4 m³ 0Û m£
Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã:
1 2
x x (1)
x x m (2)
ì + = ïï
ớù = -ùợ
0,25 đ
Theo bµi ta cã:
2
1 2 1 2
x - 2x +x x =- 12Û x (x +x ) 2x- =- 12
1
x x
Û - =- 0,25 đ
Kết hợp với (1) x1=- ; x2=4 0,25 đ
Kết hợp với (2) m=- (TMĐK) 0,25 đ
Bài 3: (1,0 ®iĨm)
§ỉi 40 =
2
3 giê ; giê 40 = 17
3 giê
Gäi vËn tèc cđa can« nớc yên lặng x (km/h ; x > 4)
0,25 đ
Ca nô xuôi với vận tèc lµ x + 4, hÕt thêi gian lµ
48 x+4
Ca nô ngợc với vận tốc lµ x - 4, hÕt thêi gian lµ
48 x
-0,25 đ
Ta có phơng trình:
2 48 48 17
3+x+4+x 4- = 0,25 ®
2
5x 96x 80
Þ - - =
x 20
4 x
5
é = ê Û ê
ê =-ê ë Ta thÊy x = 20 tháa m·n ®iỊu kiện
Vậy vận tốc canô nớc yên lặng 20km/h
0,25 đ
(4)
K
H
E'
E
F F'
O
B C
A
a) XÐt tø gi¸c BCEF cã E, F cïng nhìn BC dới góc 90O tứ giác
BCEF néi tiÕp 1,0 ®
b) Ta cã: BCF· =BEF· (2 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)
mµ BCF· =BE 'F'· (2 gãc néi tiÕp cïng chắn cung BF)
0,5 đ BEFÃ =BE 'F'Ã
Mà BEF ; BE 'F'ã ã hai góc vị trí đồng vị nên EF//E’F’
0,5 ®
c) Gọi H giao điểm BE CF H trực tâm ABC
Xét tứ gi¸c AEHF cã AEH AFH· +· =90O+90O=180O tø gi¸c AEHF néi
tiếp đờng trịn đờng kính AH
Do bán kính đờng trịn ngoại tiếp AEF có độ dài
AH
0,25 ®
Kẻ đờng kính CK (O) K cố định
Ta có KBCã =90O (góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) KB BC
Mµ AH BC (do H trực tâm) BK // AH
T¬ng tù AK // BH
Suy tứ giác AHBK hình bình hành
0,5 đ
AH = BK (không đổi)
Vậy bán kính đờng trịn ngoại tiếp AEF ln khơng đổi 0,25
Bài 5: (1,0 điểm)
Ta có
2 (2 2x) 2x (1 x) x 2x x
A
1 x x x x x x
- + - +
-= + = + = + + +
- - - 0,5 đ
Theo BĐT Cô si:
2x x
A
1 x x
-³ +
- A +3 2
0,25 đ
Đẳng thức x¶y
2x x
1 x x
0 x
ì
-ïï = ï -íï
ï < <
ïỵ x=
-VËy GTNN cđa A lµ 2+
(5)