Bài giảng toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc chương 3 một số kỹ thuật đếm khác

TOÁN HỌC TỔ HỢP VÀ CẤU TRÚC RỜI RẠC Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/cautrucroirac FB: fb.com/cautrucroirac Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh https://fb.com/tailieudientucntt ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 1/16 Nội dung Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC Sử dụng sơ đồ Ven Nguyên lý bù trừ ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 2/16 3.1 Sử dụng sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Ta ký hiệu U tập vũ trụ A phần bù A U N (A) số phần tử A N = N (U) Khi ng.com N (A ∩ B) = N − N (A) − N (B) + N (A ∩ B) https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác (1) 09/2016 3/16 Ví dụ Một trường học có 100 sinh viên, có 50 sinh viên học tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Hỏi có sinh viên không học tiếng Anh lẫn không học tiếng Pháp? Giải Gọi U tập hợp sinh viên trường Gọi A tập hợp sinh viên học tiếng Anh P tập hợp sinh viên học tiếng Pháp Ta có N = N (U) = 100, N (A) = 50, N (P ) = 40 N (A ∩ P ) = 20 Theo yêu cầu tốn cần tính N (A ∩ P ) Ta có N (A ∩ P ) = N − N (A) − N (P ) + N (A ∩ P ) = 100 − 50 − 40 + 20 = 30 Ví dụ Có hốn vị chữ số 0, 1, 2, , cho chữ số đầu lớn chữ số cuối nhỏ 8? Giải Gọi U tập tất hoán vị 0, 1, 2, , 9; A tập tất hoán vị với chữ số đầu B tập tất hoán vị với ng.com chữ số cuối https://fb.com/tailieudientucntt Khi yêu cầu tốn tính N (A ∩ B) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 4/16 Ta có N = 10!, N (A) = × 9!, N (B) = × 9!, N (A ∩ P ) = × × 8! Áp dụng công thức (1) ta N (A ∩ B)= N − N (A) − N (B) + N (A ∩ B) = 10! − (2 × 9!) − (2 × 9!) + (2 × × 8!) = 2338560 Câu hỏi Nếu ta mở rộng công thức (1) cho trường hợp tập hợp nào? Đáp án Khi cơng thức N (A ∩ B ∩ C) =N − N (A) − N (B) − N (C) + N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C) − N (A ∩ B ∩ C) https://fb.com/tailieudientucntt ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác (2) 09/2016 5/16 Đối với trường hợp tập hợp A1 , A2 , A3 , ta viết cơng thức (2) sau: N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = N − N (Ai ∩ Aj ) − N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) N (Ai )+) i i=j Ví dụ Một trường có 100 sinh viên có 40 sinh viên học tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp, 40 sinh viên học tiếng Đức, cặp ngơn ngữ có 20 sinh viên học có 10 sinh viên học ngơn ngữ Hỏi có sinh viên không học tiếng Anh, Pháp Đức? Giải Ta có N = 100, N (A) = N (P ) = N (D) = 40, N (A ∩ P ) = N (P ∩ D) = N (A ∩ D) = 20, N (A ∩ P ∩ D) = 10 Theo công thức (2) ta N (A ∩ P ∩ D) = 100 − (40 + 40 + 40) + (20 + 20 + 20) − 10 = 30 Ví dụ Có số nguyên dương ≤ 70 mà nguyên tố với 70? ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 6/16 Nhận xét Số số nguyên dương ≤ n mà chia hết cho k phần nguyên [n/k] Giải Gọi U tập hợp số nguyên dương ≤ 70 Ta có ước nguyên tố 70 2, Do muốn đếm số nguyên tố với 70 ta cần đếm số không chia hết cho 2, Gọi A1 , A2 A3 tập số nguyên U chia hết cho 2, Khi đáp án cần tìm tốn N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) Ta có N = 70, N (A1 ) = [70/2] = 35, N (A2 ) = [70/5] = 14, N (A3 ) = [70/7] = 10 Ta có số chia hết cho và số chia hết cho 10 Do N (A1 ∩ A2 ) = [70/10] = Tương tự ta có, N (A2 ∩ A3 ) = ng.com 70 70 = 2, N (A1 ∩ A3 ) = = 5×7 2×7 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 7/16 N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 70 = 2×5×7 Áp dụng cơng thức (2) ta có N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 70 − (35 + 14 + 10) + (7 + + 5) − = 24 Ví dụ.(tự làm) Có số ngun dương ≤ 1000 mà nguyên tố với a) 50 ng.com b) 210 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 8/16 3.2 Nguyên lý bù trừ Trong phần mở rộng công thức phần cho trường hợp n tập hợp A1 , A2 , , An Để đơn giản mặt ký hiệu viết “ ∩ ” phép nhân Ví dụ A1 ∩ A2 ∩ A3 viết thành A1 A2 A3 Bằng việc sử dụng ký hiệu này, ta có số lượng phần tử không thuộc tất tập A1 , A2 , , An viết N (A1 A2 An ) Định lý Cho tập vũ trụ U có N phần tử A1 , A2 , , An n tập hợp U Ta đặt Sk tổng số phần tử tất tập giao k tập hợp từ {Ai }i=1, ,n , cụ thể N (Ai ), S2 = S1 = i N (Ai Aj ), , Sn = N (A1 A2 An ) i=j Khi (−1)k Sk N (A1 A2 An ) = N + k = N − S1 + S2 − + (−1)k Sk + + (−1)n Sn ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 9/16 Hệ Cho A1 , A2 , , An n tập hợp tập vũ trụ U Khi (−1)k−1 Sk N (A1 ∪ ∪ An ) = k≥1 = S1 − S2 + + (−1)k−1 Sk + + (−1)n−1 Sn Chứng minh Từ Định lý ta có N (A1 An ) = N − S1 + S2 − + (−1)k Sk + + (−1)n Sn = N − S1 − S2 + + (−1)k−1 Sk + + (−1)n−1 Sn Mặt khác N (A1 ∪ ∪ An ) = N − N (A1 An ) Do ta có điều phải chứng Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (∗) thỏa điều kiện xi ≤ 7, ∀i = 1, , ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 10/16 Giải Gọi U tập hợp nghiệm nguyên không âm phương trình (∗) Ta có + 18 − N = N (U) = K418 = = 1330 18 Gọi Ai tập hợp nghiệm nguyên không âm phương trình (∗) thỏa tính chất xi ≥ Khi kết tốn N (A1 A2 A3 A4 ) Bằng việc giải toán tìm số nghiêm nguyên ta 13 10 N (Ai ) = K410 = N (Ai Aj ) = K42 = N (Ai Aj Ak ) = N (A1 A2 A3 A4 ) = Vì vai trò Ai (1 ≤ i ≤ 4) nên ta có: ng.com S1 = i N (Ai ) S2 = i=j =4 13 10 N (Ai Aj ) = S3 = 0, S4 = lvluyen@hcmus.edu.vn = 1144 = 60 https://fb.com/tailieudientucntt Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 11/16 Áp dụng Định lý, ta có N (A1 A2 A3 A4 ) = N − S1 + S2 − S3 + S4 = 1330 − 1144 + 60 − + = 246 Ví dụ Có cách lấy từ 52 cho a) có đầy đủ chất (cơ, rơ, chuồn, bích) b) chất khơng có Giải Gọi U tất lấy từ A1 , A2 , A3 , A4 tất mà chất cơ, rơ, chuồn bích Ta có N = N (U) = N (A1 ) = 39 52 N (A1 A2 ) = N (A1 A2 A3 ) = 26 13 N (A1 A2 A3 A4 ) = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 12/16 Vì vai trò A1 , A2 , A3 , A4 giống nên ta có 39 S1 = S2 = 4 S3 = 26 13 S4 = a) N (A1 A2 A3 A4 ) = N − S1 + S2 − S3 + S4 = 8682544 b) N (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = S1 − S2 + S3 − S4 = 11675976 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 25 (∗) thỏa điều kiện x1 ≤ 5, x2 ≤ 6, x3 ≤ Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 thỏa điều kiện xi ≤ (i = 1, 7) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 13/16 Định lý Cho tập vũ trụ U có N phần tử A1 , A2 , An n tập hợp U Khi số phần tử thuộc vào m tập hợp, ký hiệu Nm , n−m m+i m (−1)i Nm = i=0 m+1 m = Sm − Sm+i Sm+1 + + (−1)n−m n m Sn ∗ số phần tử thuộc m tập hợp Nếu ta gọi Nm n−m ∗ = Nm (−1)i i=0 = Sm − ng.com m+i m−1 m m−1 Nm+i Sm+1 + + (−1)n−m n−1 m−1 Sn https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ tht đếm khác 09/2016 14/16 Ví dụ Có chuỗi tam phân (chỉ gồm 0, 1, 2) độ dài thỏa mãn a) chứa chữ số b) chứa nhiều chữ số Giải Gọi U tập hợp tất chuỗi tam phân có độ dài Gọi Ai tập hợp tất chuỗi tam phân có chữ số vị trí i Ta có N = 34 S1 = S2 = 4 S3 = 31 S4 = 4 30 33 32 Áp dụng định lý ta có: a) N2 = S2 − S3 + b) N2∗ = S2 − S3 + ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn S4 = 24 S4 = 33 https://fb.com/tailieudientucntt Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 15/16 Ví dụ Có thư phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì a) Hỏi xác xuất để khơng thư địa bao nhiêu? b) Hỏi xác xuất để thư địa bao nhiêu? Sau tổng qt hóa tốn cho n k ≤ n ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 16/16 ...Nội dung Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC Sử dụng sơ đồ Ven Nguyên lý bù trừ ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 2/16 3. 1 Sử dụng... tam phân có chữ số vị trí i Ta có N = 34 S1 = S2 = 4 S3 = 31 S4 = 4 30 33 32 Áp dụng định lý ta có: a) N2 = S2 − S3 + b) N2∗ = S2 − S3 + ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn S4 = 24 S4 = 33 https://fb.com/tailieudientucntt... = 39 52 N (A1 A2 ) = N (A1 A2 A3 ) = 26 13 N (A1 A2 A3 A4 ) = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Một số kỷ thuât đếm khác 09/2016 12/16 Vì vai trị A1 , A2 , A3