Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn Tốn; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
3 (1), m tham số thực. a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2
2
xy x
x x y x y xy y
(x, y R)
Câu :(1,0 điểm) Tính tích phân
/
0
I x(1 sin 2x)dx
Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy
32 Tìm giá trị
nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M (
1
; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính
Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 )
7
i
i i
Tìm mơđun số phức w = z + + i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD =
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1
x y z
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông M
(2)BÀI GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI D NĂM 2012
( Th.GV Tốn :TT luyenthichuyentoanbh - Biên Hồ – Đồng Nai) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
2
3 (1), m tham số thực.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 1. Khi m= 1, ta có : y =
2
3x3 – x2 – 4x + 3 *Tập xác định : D = R
* Sự biến thiên :
- Chiều biến thiên : y, 2x2 2x 4 y, 0 x2 x 0 x = -1 x = 2 - Các khoảng đồng biến (∞; -1) (2; +∞); khoảng nghịch biến (-1; 2)
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại x1,yCD 3; đạt cực tiểu x2,yCT 6 - Giới hạn : limx
y
limx y
- Bảng biến thiên :
x -1 +
y’ + +
y +
-6
- Đồ thị cắt trục Oy y =
3; y" = 4x – 2; y” = x =
2 Điểm uốn I ( 2;
3
) *Đồ thị :
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
Ta có y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) Hàm số y có cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 13m2 – > m <
2 13
m > 13 Gọi x1, x2 nghiệm y’ =0 với x1x2 + 2(x1 + x2) =
y
x 0
3
-6
(3) -(3m2 – 1) + 2m = m(3m – 2) = m = (loại) hay m =
2
3 (nhận) Vậy giá trị m cần tìm m =
2
Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Phương trình cho sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x
cos2x ( 2sinx + 2cosx - 2) = cos2x = x =
k
(với k Z) 2sinx + 2cosx - =
1 sin( )
4 x
x =
2 12 k
x = 12 k
(với k Z)
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2
2
2
xy x
x x y x y xy y
(x, y R)
Hệ phương trình cho
2
2 xy x
x y x y
2 0 x x x y
2
2 2
2
x x x y
Với
2 xy x x y 1 x y Với 2 xy x y x 5 x y
1 5 x y
Vậy hệ cho có ba nghiệm (x; y) :
1 5
(1;1);( ; 5)( ; 5)
2
Câu :(1,0 điểm) Tính tích phân
/
0
I x(1 sin 2x)dx
. Đặt u = x du = dx; dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x –
1 2cos2x I = /
( cos )
x x x
/
0
1
( cos )
x x dx
=
/
2 2
0
sin
16 32
x x
(4)Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
*Vì A’C = a :
Tam giác A’AC vuông cân A => A’A =
a AC
= B’B Tam giác ABC vuông cân B => AB = 2
a a
BC
= B’C’ => , ,
2
4 B BC
a S
Thể tích khối tứ diện ABB’C’là
2
1
3 2 24
a a a
V
* Hạ AH vng góc A’B
Vì (A’AB)( BCD’) => d(A,BCD/) = AH = h
Trong tam giác vng A’AB ta có :
2
2
1 1
6
2
a h h a a
Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị
nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
* (x 4)2(y 4)22xy32(x y )2 8(x y ) 0 0 x y8 (1) (x y )2 0 (x y )24xy
2
3
6 ( )
2
xy x y
(2) A = x3y33(xy1)(x y 2)= (x y )3 6xy 3(x y ) 6
Từ (2) => A
3
( ) ( ) 3( )
2
x y x y x y
* Đặt t = x + y với (0 t 8), xét f(t) =
3
3
t t t
f’(t) = 3t2 3t f’(t) =
2 1 0
2
t t t
> ( nhận); t =
2
< ( loại); Ta có : f(0) = 6, f(8) = 398, f(
1
) =
17 5
Vậy giá trị nhỏ f(t) =
17 5
xảy t =
2
A f(t)
17 5
Dấu xảy x = y x + y =
2
Vậy giái trị nhỏ A =
17 5
xảy x = y =
4
II - PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn
H
D,
D
C,
C B,
B A,
(5)Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M (
1
; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD.
k
j Q
P
O I
N M
D C
B A
Điểm A có toạ độ nghiệm hệ
3
x y
x y
=> A(-3; 1)
Đường thẳng qua M // AD cắt AD (N AC) MN : 3x – 3y + =
=> N có toạ độ nghiệm hệ
3 3
x y
x y
=> N(-1;
1 3). Gọi I trung điểm MN => I (
2 ; 3
) * (PQ) qua I // AB có phương trình :
2
( ) ( )
3
x y
(PQ): x + y = * (PQ) giao với (AD) P có toạ độ :
0 x y x y
=> P(-2; 2). *(PQ) giao với (AC) O có toạ độ :
3 0
x y
x y
=> O(0; 0) gốc toạ độ. => O(0;0) tâm đối xứng hình chữ nhật ABCD
- Vì P trung điểm AD => D(-1; 3) - C đối xứng với A(-3; 1) qua O => C(3; -1) - B đối xứng với D(-1; 3) qua O => B(1;-3)
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường trịn có bán kính 4.
Mặt phẳng (Q) qua I vng góc với (P), cắt mặt cầu (P) theo tiết diện hình vẽ : Tam giác vng IOA có: IA = R OA = r
IO = d(I, (P)) =
4 10
; IA2 = IO2 + OA2 = + 16 = 25
R = Vậy phương trình mặt cầu cấn viết :
(S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25.
B
A O
(6)Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 )
7
i
i i
Tìm mơđun của
số phức w = z + + i.
Số phức z thoã mãn: (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = + 8i
(2 + i)z + + i – 2i2 = + 8i
(2 + i)z = 7i +
z =
(7 4)(2 )
3 (2 )(2 )
i i
i
i i
=> w = + 3i Vậy mơ đun số phức w cần tìm : w 16 5
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = 0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy tại C D cho AB = CD = 2.
Đường trịn ( C) cần viết có tâm I (d): y = 2x – y + = I (t; 2t + 3)
Theo ( C) cắt Ox A, B cắt Oy C,D => AB CD hai dây cung Vì AB = CD = khoảng cách từ I đến Ox Oy => t = 2t + 3
t24t 3 t = -1 t = -3
Với t = -1 I (-1; 1) R = t212 (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 =
Với t = -3 I (-3; -3) R = t212 10 (C) : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1
x y z
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d
sao cho tam giác AMB vuông M.
Điểm M (d) => M (2t + 1; - t - 1; t) => AM = (2t; -t; t – 2) BM
= (2t – 1; -t; t) Tam giác AMB vuông M => AM .BM = 6t2 – 4t =
t = t =
2 3 Với t = => M (1; -1; 0)
Với t =
3 => M (
7 ; ; 3).
Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức.
Phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = có
= 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
z1 =
3(1 ) (1 )
i i
= - – 2i; z2 =
3(1 ) (1 )
i i
= - - i Vậy phương trình có hai nghiệm : z = -1 – 2i ; z = -2 – i