Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A.. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn thi: TỐN - Khới : B
Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu (2,0 điểm). Cho hàm số y x 3 3mx23m3 (1), m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48
Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(cosx sin ) cosx xcosx sinx1
Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x 1 x2 4x 1 x
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân
1
4
0
3
x
I dx
x x
Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc
A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a
Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 x2y2z2 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x 5y5z5
II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) :
2 4
x y , (C
2): 2 12 18 0
x y x đường thẳng d: x y 0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C
2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d
Câu 8.a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2
x y z
hai điểm
A(2;1;0), B(-2;3;2) Viết phương trình mặt cầu qua A,B có tâm thuộc đường thẳng d
Câu 9.a (1,0 điểm) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường trịn tiếp
xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2y2 4 Viết phương trình tắc elip (E) qua
đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM
Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình
2 2 3 4 0
z iz Viết dạng lượng giác
của z1 z2
-Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
(2)ĐÁP ÁN KHỐI B NĂM 2012 Câu 1:
a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + Tập xác định R
y’ = 3x2 – 6x; y’ = x = hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1 lim
x
y
và limx
y
x 0 2 + y’ + +
y + CĐ -1
CT
Hàm số đồng biến (∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến (0; 2)
Hàm số đạt cực đại x = 0; y(0) = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 2; y(2) = -1 y" = 6x – 6; y” = x = Điểm uốn I (1; 1)
Đồ thị :
b) y’ = 3x2 – 6mx, y’ = x = hay x = 2m
y có cực trị m
Vậy A (0; 3m3) B (2m; -m3)
SOAB =
4
6 48
2 m m4 = 16 m = 2 (nhận so với đk)
Câu : 2(cosx sin ) cosx xcosx sinx1
(2cos 1)(cos 1) sin (2cos 1)
cos
2cos 2 2
3
cos sin cos 2
3
x x x x
x
x x k
x x x x k
Câu : Giải bất phương trình x 1 x2 4x 1 x Đk : x 2 hay x 2
nhận xét x = nghiệm
+ Với x 0, BPT
1
4
x x
x x
Đặt t =
1
x x
x x
= t2 – (t 2)
Ta có : t t2 3 t2 3 t t hay 2
3
6
t
t t t
1
x x
5
x
hay x
Kết hợp với đk
1
x
hay x Câu : Đặt t = x2
dt xdx
; x 0 t0; x 1 t1
1
2
tdt I
t t
1
1
2 t t dt
12ln 3ln 2
2
Câu 5
Nối BH ta có tam giác ABH cân H, tính chất đối xứng SCBH Vậy SC(ABH)
Gọi SD chiều cao tam giác SAB
y
x
3
2 -1
A
B
C S
H
(3)2 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
15 15
(2 )
2 4
1 15 15 15 15 15
;
2 4 2.2
SAB SAB SAC
a a a a
SD a a SD
a a a a a
S a S S AH SC AH
a
Ta có
2
2 (2 )2 4 15 49 7
16 16 4.2
a a a SH a
SH a AH a SH
SC a
2 2 2 2
( )
( )
7 15 15 44 11
;
8 3.2 12 12
SABH SABC
V SH a a a a a a
SO SO
V SC
Vậy
2
( )
7 11 11
8 96
SABH
a a a
V
Câu 6. 2
1
x y z
x y z
2
( )
2
2
3
xy x y x y
P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y)
=
3
5 5
( ) ( )
2 x y x y 2t 4t
; t = x + y
f(t) =
3
5
2t 4t
; f’(t) =
2
15
2 t
; f’(t) = t =
6
t 2
3
1
1
6 23
f’(t) – + – f(t) 5 6
36 5 636
5 36
Vậy P
5
36 Vậy max P = 5 636 xảy t =
1
3
( )
x y xy
z x y
(có nghiệm) hay
2
6 ( )
x y xy
z x y
(có nghiệm)
Câu 7a Phương trình đường trịn (C) : x2y2 2ax 2by c 0
Phương trình đường thẳng AB : 2ax 2by c 4 AB có vtcp vv (b;-a)
Đường thẳng (d) có vtcp u(1;1)
v
( )d AB u vvv 0 a b (1) d(I,d) =
2
2
a b
a b c
= 2a2 – c (2)
I( )C2 a2b212a18 (3)
Thế (1) vào (3) ta có : a b 3 ; Thế a b 3 vào (2) ta có : c = 10
Vậy phương trình đường trịn (C) : x2y2 6x 6y10 0
Cách khác : Gọi I (a;b) ( )C2 ; đường trịn tâm I cắt (C1) tâm O A, B cho AB ( )d .
(4)Ta có :
2
12 18 4
a b a
a b
2
2
12 18 (1)
12 18 (2)
a b a
a b
a b a
a b
Hệ (1) a 7 2;b 1 2; (loại) I O phải phía so với (d)
Hệ (2) a b 3 a2 6a 9 a3
Phương trình đường trịn : (x 3)2(y 3)2 8
Câu 8a
Gọi tâm mặt cầu I( )d I(1 ; ; ) t t t ; IA2 9t2 6t2, IB2 9t214t22
Ta có IA2 IB2 t1 I( 1; 1; 2) , IA2 R2 17
Vậy phương trình mặt cầu :
2 2 2
1 ( 1) ( 2) 17
x y z
Câu 9a Số cách gọi học sinh lên bảng :
4 25
25!
12650 4!.21!
C
Số cách gọi học sinh có nam lẫn nữ :
TH 1: nữ nam có : 10.C153 10.455 = 4550
TH 2: nữ nam có : C C102 152 4725
TH : nữ nam có : C C103 151 1800
Vậy số cách gọi học sinh có nam nữ : 4550 + 4725 + 1800 = 11075 Vậy xác suất để học sinh gọi có nam lẫn nữ :
11075 443 12650506
Cách khác: Xác suất chọn khơng có nam: P1 =
4 10 25
21 1265
C
C
Xác suất chọn khơng có nữ : P2 = 15
4 25
273 2530
C
C
Xác xuất có nam nữ : P = – (P1 + P2) = 443 506 B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b Đặt AC = 2a , BD = a Bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi R =
Ta có
2 2
1 1
4
a a a
2
20
a a
b 5 ; Vậy phương trình (E) :
2 20
x y
Câu 8b Gọi B giao điểm mặt phẳng với Ox, B(b;0;0) C giao điểm mặt phẳng với Oy, C(0;c;0)
Vậy pt mặt phẳng có dạng :
x y z
b c trọng tâm tam giác ABC : 3; ;1
b c G
(1; 2; 3)
AM
uuuv
Pt đường thẳng AM :
3
1
x y z
; Vì G AM nên
2
3
b c
2,
b c
Vậy pt mặt phẳng (P) 6x3y 4z12 0
Câu 9b Phương trình z2 3iz 0 có hai nghiệm z1 1 ,i z2 1 3i
Vậy dạng lượng giác z1, z2 :
1 cos sin ; 2 cos sin
3 3
z i z i
z1 = 2(cos
3
+ isin
2
);
2 cos sin
3
z i
(5)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn thi: TỐN - Khối : D
Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
3 (1), m tham số thực.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình : sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
(x y, )
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân
/
0
I x(1 sin 2x)dx
Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Câu (1,0 điểm). Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy
32 Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M (
1
; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính
Câu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 )
7
i
i i
Tìm môđun số phức
w = z + + i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD =
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1
x y z
và hai
điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức.
(6)
ĐÁP ÁN KHỐI D NĂM 2012
Câu 1:
a) m= 1, hàm số thành : y =
2
3x3 – x2 – 4x +
3 Tập xác định R
y’ = 2x2 – 2x – 4; y’ = x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6 lim
x
y
và limx
y
x -1 2 + y’ + +
y + CĐ -6
CT
Hàm số đồng biến (∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến (-1; 2)
Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 2; y(2) = -6 y" = 4x – 2; y” = x =
1
2 Điểm uốn I (
1 2;
3
) Đồ thị :
b) y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1)
y có cực trị ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 13m2 – > m <
2 13
hay m >
2 13
Gọi x1, x2 nghiệm y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) =
-(3m2 – 1) + 2m = 3m2 – 2m = m = (loại) hay m =
2
3 (nhận)
Câu : sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x
2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x cos2x = hay 2sinx + 2cosx =
cos2x = hay
1 sin( )
4
x
x =
k
hay x = 12 k2
hay x =
7 12 k
(với k Z)
Câu 3:
3 2
2
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
2
2
xy x
x y x y
2
xy x
x y
hay
2
xy x
y x
2
x x
x y
hay
2
2 2
2
x x
y x
y
x
3
-6
(7) 1
x y
hay
1
2
x y
hay
1
2
x y
Câu 4: /
I x(1 sin 2x)dx
Đặt u = x du = dx
dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x –
1
2cos2x
I =
/
( cos )
x x x
/
1
( cos )
x x dx
=
/
2 2
0
sin
16 32
x x
Câu 5:
/ ,
2
2 2
a a a
A C a AC BC
3 1
3 2 2 24
a a a a
V
Hạ AH vng góc A/B tam giác ABA/
Chính d(A,BCD/) =h
Ta có
2
2
1 1
6
2
a h h a a
Câu 6: Ta có
(x 4)2(y 4)22xy32(x y )2 8(x y ) 0 0 x y8 4xy(x y )2
2
6 ( )
2
xy x y
A = x3y33(xy1)(x y 2)= (x y )3 6xy 3(x y ) 6 A
3
( ) ( ) 3( )
2
x y x y x y
Đặt t = x + y (0 t 8), xét f(t) =
3
3
t t t
f’(t) = 3t2 3t
f’(t) = t =
1
2
; f(0) = 6, f(8) = 398, f(
1
2
) =
17 5
Vậy giá trị nhỏ f(t)
17 5
xảy t =
1
2
A f(t)
17 5
Dấu xảy x = y x + y =
1
2
hay x = y =
1
4
PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a: AC cắt AD A (-3; 1)
Vẽ MN // AD (N AC) MN : 3x – 3y + =
Trung điểm MN : K (
4 ; 6
)
Vẽ KE AD (E AD) KE :
4
( ) ( )
6
x y
E (-2; 2)
E trung điểm AD D (-1; 3) Giao điểm AC EK : I (0; 0)
A B
C C/
A/
B/ D/
(8)I trung điểm BD B (1; -3) I trung điểm AC C (3; -1) Câu 8a: IH = d(I, (P)) =
4 10
; R2 = IH2 + r2 = + 16 = 25
(S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25.
Câu 9a : (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = + 8i (2 + i)z + + i – 2i2 = + 8i
(2 + i)z = 7i + z =
(7 4)(2 )
3 (2 )(2 )
i i
i
i i
Suy : w = z + + I = + 3i w 16 5
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b: I (d) I (t; 2t + 3) AB = CD t = 2t + 3 t = -1 hay t = -3
+ t = -1 I (-1; 1) R = 2 pt đường tròn : (x + 1)2 + (y – 1)2 =
+ t = -3 I (-3; -3) R = 10 pt đường tròn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Câu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 – t; t) thuộc (d)
AMB vuông M AM
= (2t; -t; t – 2) vng góc với BM
= (2t – 1; -t; t)
6t2 – 4t = t = hay t =
3 Vậy M (1; -1; 0) hay M (
7 ; ; 3). Câu 9b: z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0
= 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
z =
3(1 ) (1 )
i i