Bài này có một nửa dễ một nũa khó. Tính thể tích thì dễ nhưng tính khoảng cách thì hơi khó. Có 2 lựa chọn phương pháp giải cho bài toán này : Phương pháp tọa độ và phương pháp dùng hình[r]
(1)Tặng em học sinh lớp 11B1
Đề lời giải Điểm
Câu 1: Cho hàm số y x 4 2(m1)x2 m2(1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=0
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Với m = ta có hàm số : y x 4 2x2
Phần em đủ liều để thi đại học tự giải nhé
2 Câu hỏi phụ dễ
Đây hình cho trường hợp (a>0 a<0), dĩ nhiên cần dùng hình thứ nhất
Giải này: +) TXĐ: D = R
+) y 4x3 4(m1)x4 (x x2 m1) +) Cho
2
2 0 ( 1)
1
x
y x x m
x m
+) Trước hết để hàm số có cực m 1 (*)
+) Gọi A điểm cực đại B,C hai điểm cực tiểu Khi ta dễ dàng tính
2 2
(0; ) ( 1; 2 1) ( 1; 2 1)
(2) 1; 2 1 1; 2 1
AB m m m AC m m m
+) Do ABC cân A nên muốn vng phải vng A, suy AB AC 0
4
(m 1) m m m( 1)(m 3m 3) m 1;m
+) Kết hợp với (*) ta m0
Câu 2: Giải phương trình sin 2xcos 2x2cosx1
Bài dễ, xem :
3 sin 2xcos 2x2cosx1 sin 2xcos 2x 1 2cosx0
2 sin cosx x 2cos x 2cosx 2cos ( sinx x cosx 1)
cos cos
1 sin( ) sin cos
6
x x
x
x x
,
2 ;
3
x k
k l Z
x l x l
Câu 3: Giải hệ
3
2
3 22
1
x x x y y y
x y x y
Bài khó chút, có tới cách để giải toán này: Cách 1: Hơi dài em cố gắng theo dõi nhé
+) Trước hết biến đổi hệ sau
3 3 2
2 2
3 22 3 9 22
1
2
x x x y y y x y x y x y
x y x y x y x y
2 2
2
2
2
( )( ) 3( ) 9( ) 22
1
( ) ( )
2
( ) ( ) 3 ( ) 9( ) 22
1
( ) ( )
2
x y x y xy x y x y
x y x y
x y x y xy x y xy x y
x y xy x y
(Khó khơng? Mục tiêu việc biến đổi làm suất hai đại lượng x y và xy)
Bây ta đặt
x y S xy P
điều kiện S24P (*) Khi hệ trở thành
2
2
2
2
( ) 3( ) 22 22 ( 2)
1
2
2
( 2)( 11) ( 2) ( 2)( 11 )
1
2
2
S S P S P S S S S P S
S P S S P S
S S S P S S S S P
S P S S S P
(3)Thay pt vào pt hệ trở thành
21
( 2)( ) (1)
1 (2)
2
S P
S S P
(Phù… Ngon roài nhá)
Tiếp nè: Từ (1) suy S = P=21/2 Bây ta xét trường hợp
TH1: Nếu S2thay vào (2) ta
3
P
thõa mãn (*)
Khi ta có hệ
2 x y xy
( Chỗ giải lấy thơi nhờ) có hai nghiệm
3 ; 2
1 ; 2 TH2: Nếu 21 P
thay vào (2) ta PT:
2 41 0
2
S S
( May pt vô nghiệm) Nhớ, đừng quên ghi đáp số toán
Cách 2: Ngắn hiểu Cách ta dùng phương pháp hàm số
Vấn đề biến đổi để có hàm số, em xem nhé(tất nhiên cách không dùng cho học sinh chưa học lớp 12)
Thầy biến đổi hệ sau
3
2
3 22
1
x x x y y y
x y x y
3
2
( 3 1) (12 12) ( 3 1) (12 12)
1
1
2
x x x x y y y y
x y
3 3
2
(1)
1 12 1 12
1
1 (2)
2
x x y y
x y
Từ (2) ta suy
1 3
1 1
2 2 2
1 1
1 1
2 2 2
x x x
y y y
Bây ta xét hàm f t( ) t3 12t tập
3 ; 2
D
Ta có f t( ) 3 t212 0 t2 hai nghiệm không nằm đoạn
3 ; 2
mà
nằm hai bên, tức đoạn
3 ; 2
(4)đúng x1 y y x (3)
Thay (3) vào (2) ta có
2
2
1 3
1 ;
2 2
x x x x x x
Còn lại em hỉu chứ?
Câu 4: Tính tích phân
3
2
1 ln x
I dx
x
Bài rễ em chưa học đến nên thầy khơng rải
Câu5: Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a Hình chiếu S lên (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc SC (ABC) 600 Tính thể tích
khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a
Bài có nửa dễ nũa khó Tính thể tích dễ tính khoảng cách khó Có lựa chọn phương pháp giải cho toán : Phương pháp tọa độ phương pháp dùng hình khơng gian lớp 11 Ta nghiên cứu phương pháp
Cách 1: Phương pháp tọa độ
Để giải phương pháp tất nhiên ta phải chọn hệ tọa độ không gian Oxyz Trong hình chưa có sẵn ta phải vẽ thêm hình để tọa hệ tọa độ
+)Việc tính thể tích khơng cần dùng phương pháp tọa độ Tính sau:
Tính CH định lý côsin :
2
2 2 2 . cos 7
9
a a
CH BH BC BH BC B CH
Tính SH hệ thức tam giác vuông :
0 21
.tan 60
3
a
SH CH
Tính thể tích khối chóp S.ABC cơng thức :
2
1 21
( ) ( )
3 3 12
S ABC
a a a
V SH dt ABC dvtt
(5)Sau chọn hệ trục tọa độ (hình vẽ) ta có:
(0;0;0)
H ,
21 (0;0; )
3
a S
, ( ;0;0)
3
a A ( ;0;0)
3
a B
Do
a
HI
3
a
IC
nên
3 ( ; ;0)
6
a a
C
Suy :
2 21
;0;
3
a a
SA
,
3 ; ;0 2
a a
BC
2
, 7; 21;
a SA BC
Gọi mặt phẳng chứa SA song song với BC, lúc qua ( ;0;0)
3
a A
nhận véc tơ n3 7; 21 3
làm VTPT Do có dạng : 7x 21y 3z2a 0
Khoảng cách SA BC khoảng cách từ B đến
7 42 63 21 12
a a a
Cách 2: Dùng hình học lớp 11 để tính khoảng cách SA BC
+) Việc tính thể tích khối chóp S.ABC thực cách 1
Tính CH định lý cơsin :
2
2 2 2 . cos 7
9
a a
CH BH BC BH BC B CH
Tính SH hệ thức tam giác vng :
0 21
.tan 60
3
a
SH CH
Tính thể tích khối chóp S.ABC cơng thức :
2
1 21
( ) ( )
3 3 12
S ABC
a a a
V SH dt ABC dvtt
+) Tính khoảng cách SA BC
Quan sát hình vẽ ta thấy khoảng cách SA BC SM Em có hiểu khơng?Nếu khơng hiểu để thầy giải thích nhé:
- Đầu tiên lấy điểm D, mục tiêu việc tạo mp chứa BC song song với SA (đơn giản, em thừa sức để làm việc đó)
- Bây khoảng cách SA BC khoảng cách từ SA đến mp(BCD)
hay khoảng cách từ S đến mp(BCD) Như mục tiêu dựng tính khoảng cách từ S đến mp(BCD)
- Muốn ta tìm mp qua S vng góc mp(BCD) mp(SHK), vì BC vng góc với (SHK)
- Hình chiếu S lên mp(BCD) nằm giao tuyến (SHK) (BCD)
trước dựng hình chiếu ta tìm giao tuyến mp Rất dễ dàng ta thấy giao tuyến EK
(6)Để tính SM ta dùng tam giác đồng dạng thơi nhẩy, quan sát hình em biết thầy muốn
nói rồi: MSE đồng dạng với HKE suy
MS SE HK SE
MS
HK KE KE
Như ta cần phải tính HK,SE KE
Trước tính em cần phải nhớ có rồi, em hay qn điều đấy? ta
có em này:
21
a
SH
3
a
AI
Biết AI tính HK thơi nhẩy:
1
3
HK BH a
HK
AI BA
Tính SE này:
3 21
3 3
2
SE SD a
SE HE SE SE SH SE SH
HE HB
Để tính KE ta tính HE trước nhẩy:
21 21 21
2
a a a
HE SE SH
và
2 2
2 2 21 24
36 36 36
a a a a
KE HK HE KE
Thay vào thôi:
3 21
6 2 42
8
3
a a
HK SE a
MS
KE a
, Như em nhẩy
Cịn cách kẻ AD song song với BC em thử xem nhé.
Câu 6: Cho số thực x,y,z thõa mãn điều kiện x y z 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 6
x y y z z x
P x y z
(7)Thầy xét hàm số sau: f t( ) 3 t t tập D0; Ta có ( ) ln , 0;
t
f t t
hàm số đồng biến Suy f t( )f(0) 3t t 3t t
Với t x y
x y x y
Với t y z
y z y z
Với t z x
z x
z x
Cộng BĐT ta có: 3 3
x y y z z x x y y z z x
Bây ta xét lượng x y y z z x
Ta có:
2
x y y z z x
2 2
x y y z z x
x y y z z x y z z x x y z x x y y z
Sử dụng bất đẳng thức a b a b , dấu “=” xảy a,b dấu
Ta có:
2
x y y z z x
x y2 y z2 z x2 x y2 y z2 z x2
2 2
4x 4y 4z xy yz zx
Nên nhớ từ giả thiết x y z 0 ta suy
2 2
2
x y z xy yz zx
x y y z z x2 6x2 6y2 6z2
hay
2 2
6 6
x y y z z x x y z
Kết nối vấn đề lại với ta có 3x y 3y z 3z x 6x26y26z2 3 Hay P3x y 3y z 3z x 6x26y26z2 3
Vậy Pmin 3khi x=y=z=0
Câu 7a: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC, N điểm cạnh CD cho CN=2ND Giả sử
11 ; 2
M
(8)Quan sát hình em thấy thầy muốn làm nhá Bây thầy chứng minh góc M2 450 Quá ngạc nhiên phải không? Chứng minh này:
Dễ này:tan
AB M
MB
Khó tí: tan tan
AD
M N
ND
( Tại sao? Em hỉu khơng?) Khó tí này:
2 3
1
tan tan
tan tan tan
1 tan tan 2.3
M M
M M M M M
M M
Suy ra
0 45
M
Hay chưa? Không ngờ tới phải không? Bây ta tìm tọa độ đỉnh A nhá, mà quên tìm H trước nhẩy:
PT đường MH là:
13
2
2
x y
Tọa độ H nghiệm hệ:
2
5 ;
13 2
2
2
x y
H
x y
Gọi A a a ; 3
Do tam giác HAM vuông cân H nên
2 2
2
2 2 5 11 2 5 4 0 1; 4
2 2
HA HM a a a a a a
Vậy tọa độ A A(1;-1) A(4;5)
Câu 8a: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng
1
:
1
x y z
d
điểm (0;0;3)
I Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm phân biệt A,B cho tam
(9)Muốn viết phương trình mc(S) ta cần tìm bán kính thơi nhẩy? có nghĩa tìm IA em
Với giả thiết tốn ko q khó để em thấy IA IH 2 Vậy tìm IH có IA thơi
Có tới cách tìm IH nhá
Cách 1: Nhanh phải biết cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khơng gian
Giải thích cơng thức nhé:
Diện tích tam giác AMN tính cách sau:
1 ,
dt AMN u MA
và
2
dt AMN AH u
nên suy
,
u MA AH
u
Bây áp dụng để tính này:
Đường thẳng
1
:
1
x y z
d
(10)Ta có: MI 1;0;1
u MI, 2;0; 2
, 4 4 2 3
3
u MI IH
u
Xong roài
2
IA
Vậy mc(S):
2
3
x y z
Cách 2: dài phải tìm tọa độ điểm H tính đoạn IH
Cách em thường mắc sai lầm em hiểu điểm H giao điểm đường IH với đường AB (đường thẳng d) Như sai em, quan điểm : Điểm H giao điểm mp qua I vng góc với đường thẳng d đường thẳng d.( nhìn hình cho dẽ hiểu)
Giải này:
Gọi mp qua I vng góc với đường thẳng d Khi có dạng x2y z 0
Tọa độ H nghiệm hệ
2
1
1
x y z
x y z
giải ntn tùy em
2 ; ; 3
H
Suy
4 4 9
IH
Tiếp theo em tự làm Câu 9a: Cho n số nguyên dương thõa mãn 5Cnn Cn3
Tìm số hạng chứa x5
khai
triển
2 1 14
n
nx x
Bài dễ em Có nhiều bạn nói với thầy thi gặp phần bỏ theo bạn phần phần khó Em phần chả khó, phần khó hết thầy cịn thấy khó hồ chi em… Khó ta học dễ thơi, chẳng có giáo viên dạy phần nhị thức Niuton lại khơng dạy cách làm dạng tốn cả.
Cách làm dạng sau:
- Đầu tiên em cần nhớ công thức tổ hợp
!
! !
k n
n C
k n k
áp dụng vào giả thiết
1
5 n
n n
C C
để tìm n.
- Sau thay n vào khai triển
2 1 14
n
nx x
để tìm số hạng chứa x5 Việc làm em
(11)quát không đấy:
k n k k
k n
T C a b
Thầy giải nhé:
Với n Z ta có :
1 ( 1)( 2)
5 28 4;
6
n
n n
n n n
C C n n n n n
Ta lấy n7vì n Z
Khai triển lúc có dạng
7 1
x x
nó có số hạng tổng quát
7
14
1 7
1
1
2
k k k
k
k k
k k
C x
T C x
x
Muốn số hạng tổng quát số hạng có chứa x5 : 14 3 k 5 k 3 Vậy số hạng chứa x5
3
3 7 5 5
4
35
1
2 16
C
T x x