50 DE ON THI DAI HOC

Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất... Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3.[r]

TRẦN SĨ TÙNG ›š&›š

BỘ ĐỀ ÔN THI

TẬP

(từ đề 51 đến đề 100)

Đề số 51

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I Cho hàm số y x= 3+3 x mx2+ +1 có đồ thị (Cm); ( m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với

Câu II

1) Giải phương trình:

x x x

x

x 2 2

cos

1 cos cos

tan 2

cos - = +

-2) Giải hệ phương trình:

2

2

1 4

( ) 2 7 2

x y xy y

y x y x y

ì + + + =

í

+ = + +

ỵ Câu III Tính tích phân:

3

2

log 1 3ln

e x

I dx

x x

=

+ ị

Câu IV Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' = 3 2 a

·BAD=600 Gọi M N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN

Câu V Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

2 7

27 ab bc ca+ + - abc£ II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3)

Câu VIIa Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z2-4z+ =11 0 Tính giá trị biểu thức :

2

1

2

( )

z z

z z +

+

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳngD:x+3y+ =8 0, ' :3x 4y 10 0

D - + = điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng D, qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng D’

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y z+ –3 0= cho MA = MB = MC

Câu VIIb Giải hệ phương trình:

2

1

1

2log ( 2 2) log ( 2 1) 6

log ( 5) log ( 4) = 1

x y

x y

xy x y x x

y x

- +

- +

ì - - + + + - + =

ï

í + - +

ïỵ

Hướng dẫn Đề số 51: Câu I: 2) PT hoành độ giao điểm: x3+3x2+mx+ =1 Û x

f x x2 x m

( )

é =

ê = + + = ë

YCBT Û f x( ) 0= có nghiệm phân biệt x x1, 2 khác y x y x¢( ) ( )1 ¢ 2 = -1

Û m f m

x12 x1 m x22 x2 m

9 0, (0)

(3 )(3 )

ì - > = ¹

í + + + + =

-ỵ

m m

m2 m ,

4

ì < ¹ ï Û í ï - + = î

Û m 65 ± = Câu II:

1) Điều kiện: cosx¹0 PT Û2cos2x-cosx- =1 Û x k

x k 2 2 p p p é = ê = ± + 2) T h PT ị yạ0 Khi ú ta có:

x x y

x y xy y y

y x y x y x y x

y

2

2 2

2

1 4

1

( ) ( ) 2 7

ì + + + = ï ì + + + = ï Ûï í í + = + + + ï ï ỵ + - = ïỵ Đặt u x v x y

y

1, +

= = + ta có hệ: u v u v v u

v u

v2 u v2 v

4 3,

5,

2 15

ì + = ì = - é = = ï Ûï Û í í ê = - = - = + - = ï ï ë ỵ ỵ

· Với v=3,u=1ta có hệ: x y x y x x x y

x y

x y y x y x

2 1 1 2 0 1, 2

2,

3 3

ì ì ì é = = ï + = Ûï + = Ûï + - = Û í í í ê = - = + = = - = -ï ï ï ë ỵ ỵ ỵ

· Với v= -5,u=9ta có hệ: x y x y x x

x y y x y x

2 1 9 1 9 9 46 0

5 5

ì ì ì

ï + = Ûï + = Ûï + + =

í í í

+ = - = - - =

-ï ï ï

ỵ ỵ ỵ , hệ vơ nghiệm

Kết luận: Hệđã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)-

Câu III:

e x e x e x xdx

I dx dx

x

x x x x x

3

3

2

3

2 2

1 1

ln

log ln2 ln .ln

ln

1 3ln 3ln 3ln

ổ ỗ ữ ố ứ = = = + + + ò ò ò

Đặt x t x t x dx tdt

x

2 2

1 3ln ln ( 1) ln

3

+ = Þ = - Þ = Suy I t t

2

3

1

1

3

9ln 27ln

ổ

= ỗ - ữ =

ố ø

Câu IV: Gọi P,Q trung điểm BD, MN Chứng minh được: AC’^ PQ Suy AC ¢ ^ (BDMN)

Gọi H giao PQ AC’ Suy AH đường cao hình chóp A.BDMN Tính a

AH 2AC 15

5 ¢

= = , PQ a 15 ,MN a

4

= = Þ SBDMN 3a2 15 16

= Þ VA BDMN. 3a3 16 = Câu V: Ta có a2³a2- -(b c)2 =(a b c a b c+ - )( - + = -) (1 )(1 )c - b (1)

Tương tự: b2 ³ -(1 )(1 )a - c (2), c2 ³ -(1 )(1 )a - b (3)

Từ (1), (2), (3) Þ abc³ -(1 )(1 )(1 )a - b - c = 2(- a b c+ + +) 4(ab bc ca+ + ) 8- abc Þ ab bc ca 9abc

4 +

+ + £ Þ ab bc ca 2abc abc

4 +

+ + - £ Mặt khác a b c+ + ³33abc Þ abc 27 £

Do đó: ab bc ca abc

1 7 27 27 +

+ + - £ = Dấu "=" xảy Û a b c = = = Câu VI.a:

1) Gọi C c c( ; +3) I m( ;6-m) trung điểm BC Suy ra: B m c (2 - ; 2- m-2 )c Vì C’ trung điểm AB nên: C' 2m c 11 2; m 2c CC'

2

æ - + - - ẻ

ỗ ữ

nên 2m c 11 2m 2c m

2

ỉ - + ư- - - + = Þ =

-ỗ ữ

ố ứ I

5 41; 6

ổ

ị ỗ- ữ è ø Phương trình BC: 3x-3y+23 0= Þ C 14 37;

3

ổ

ỗ ÷

è ø Þ B

19 4; 3

ổ

-ỗ ữ

è ø

2) Ta có: ABuuur=(2; 2; 2),- uuurAC=(0; 2;2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x y z+ - - =1 0,y z+ - =3

Vectơ pháp tuyến mp(ABC) nr=ëéuuur uuurAB AC, ùû=(8; 4;4).- Suy (ABC): 2x y z- + + =1 Giải hệ:

x y z x

y z y

x y z z

1 0

3

2 1

ì + - - = ì = ï + - = Þï =

í í

ï - + + = ï =

ỵ ỵ

Suy tâm đường trịn I(0; 2;1) Bán kính R IA= = ( 0)- - 2+ -(0 2)2+ -(1 1)2 =

Câu VII.a: Giải PT cho ta nghiệm: z1 2i z, 2 2i

2

= - = +

Suy z z z z

2

1 22

| | | | ;

2

æ

= = +ỗỗ ữữ = + = ố ø

Do đó: z z z z

2

1

2

11

( )

+ =

+

Câu VI.b:

1) Giả sử tâm I( 8; )- -t t Ỵ D Ta có: d I( , )D¢ =IA

Û t t t t

2 3( 8) 10

( 2) ( 1)

3

- - - +

= - - + +

-+ Û t= -3 Þ I(1; 3),- R=5

PT đường trịn cần tìm: (x-1)2+ y( +3)2 =25

2) Ta có uuurAB=(2; 3; 1),- - uuurAC= - - - Þ =( 2; 1; 1) nr éëuuur uuurAB AC, ùû=(2;4; 8)- VTPT (ABC) Suy phương trình (ABC): x+2y-4z+ =6 Giả sử M(x; y; z)

Ta có: ìí ỴMA MB MCM =( )P =

ỵ Û

x y z

2 ì = ï

= í ï = -ợ

ị M(2;3; 7)

-Cõu VII.b:iu kiện: xy x y x x y x

x y

2

2 0, 0, 0, 4 (*)

0 1,

ì- - + + > - + > + > + > í < - ¹ < +

ợ

H PT x y

x y

x y x

y x

1

1

2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) log (-- 5) log + ( 4) 1+

ì - + + - =

ï

í + - + =

ïỵ

x y

x y

y x

y x

1

1

log ( 2) log (1 ) (1) log (-- 5) log ++ ( 4) (2)

ì + + - - =

ï

Û í + - + =

ïỵ

Đặt log2+y(1-x)=t (1) trở thành: t t t

t

1 ( 1)

+ - = Û - = Û = Với t=1 ta có: 1- = + Û = - -x y y x (3) Thế vào (2) ta có:

x x x x = 1 x xx xx x x2 x

1 1 4

log ( 4) log ( 4) log 1

4

- -

+ - +

- + - + Û = Û = - Û + =

+ +

x x

0 é = Û ê =

-ë · Với x=0 Þ y= -1 (khơng thoả (*))

· Với x= -2Þ y=1 (thoả (*))

Vậy hệ có nghiệm x= -2,y=1

Đề số 52

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1 (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1

2) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn:

CÑ CT x2 =x Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: x+ + =1 4x2+ 3x

2) Giải phương trình: 5cos 2x 4sin x –

3

p p

ổ ổ

+ =

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Cõu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm hàm số: f x x x x x

2

2 ln( 1) ( )

1 + + =

+

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x tất cạnh cịn lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD

6 2 a

Câu V (1 điểm): Cho số thực không âm a, b Chứng minh rằng: a2 b 3 b2 a 3 2a 1 2b 1

4 4 2 2

ỉ + + ưỉ + + ư ỉ³ + ưỉ + ử

ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ

è øè ø è øè ø

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2x y+ –3 0= , d2: 3x+4y+ =5 0, d3: 4x+3y+ =2 0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1

tiếp xúc với d2 d3

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D):

2 2

1 3 2

x- = y = z+

mặt phẳng (P): 2x y z+ - + =1 0 Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đường thẳng (D) song song với (P)

Câu VII.a (1 điểm): Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, đó có mặt chữ số khơng có mặt chữ số 1?

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( )d : 2x my+ + -1 2 =0 đường trịn có phương trình ( ) :C x2+y2-2x+4y- =4 0 Gọi I tâm đường trịn ( )C Tìm m cho ( )d cắt ( )C hai điểm phân biệt A B Với giá trị m diện tích tam giác IAB lớn tính giá trị

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi cho m n+ =1và m > 0, n > Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định

Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( )

x

x x x 21 x

2

4 –2.2 –3 .log –3 4 4

+

Hướng dẫn Đề số 52 Câu I: 2) y¢ =6x2+18mx+12m2=6(x2+3mx+2 )m2

Hàm số có CĐ CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1 2, Û D = m2 > Û m¹0 Khi đó: x1 1( 3m m x), 2 1( 3m m)

2 2

= - - = - +

Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy xCĐ =x x1, CT =x2 Do đó: x2CĐ =xCT Û m m m m

2

3 3

2 2

æ- - ử =- +

ỗ ữ

ố ứ m= -2

Câu II: 1) Điều kiện x³0

PT Û 4x2- +1 3x - x+ =1 0 Û x x x

x x

2 1

(2 1)(2 1) 0

3 1

-+ - + =

+ +

Û x x

x x

1

(2 1) 2 1 0

3 1

ỉ ư

- ỗ + + ữ=

+ +

ố ø Û 2x- =1 Û x

1 2 =

2) PT Û 10sin2 x 4sin x 14 0

6 6

p p

æ ư ỉ ư

+ + + - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ sin x 6 1

p

ỉ ư

+ =

ỗ ữ

ố ứ x 3 k2

p p

= +

Câu III: Ta có: f x x x x x x x x x x

x x x x

2 2

2 2

ln( 1) ( 1) ln( 1)

( )

1 1 1 1

+ + - +

= + = +

-+ + + +

Þ F x( ) f x dx( ) 1 ln(x2 1) (d x2 1) xdx 1 dln(x2 1)

2 2

=ò = ò + + +ò - ò +

= 1ln (2 x2 1) 1x2 1ln(x2 1) C

4 + +2 -2 + +

Câu IV: Do B D cách S, A, C nên BD ^ (SAC) Gọi O tâm đáy ABCD Các tam giác ABD, BCD, SBD tam giác cân có đáy BD chung nên OA = OC = OS Do DASC vng S

Ta có: VS ABCD. 2VS ABC. 2.1BO SA SC . 1ax AB. OA2

6 3

= = = -

= ax a2 a2 x2 1ax 3a2 x2

4

1 3

+

=

Do đó: VS ABCD a3 ax a2 x2 a3

= 6 Û 61 - = 62 Û é =ê =x ax a 2 ë

Câu V: Ta có: a2 b a2 a b a a a b a b

2 2

3 1

4 4

ổ

=ỗ - ữ + + + ³ + + è ø

+ + = - + + + +

Tương tự: b2 a a b 3

4

+ + ³ + +

Ta chứng minh a b a b

1 2 (2

2 2

ỉ ỉ ưỉ

+ + + +

ỗ ữ ç ÷ç ÷

è ø è øè ø (*)

Thật vậy, (*) Û a2 b2 ab a b 4ab a b

4

2 ³

+ + + + + + + + Û (a b- )2³0 Dấu "=" xảy Û a b

2 = =

Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn I t( ;3 )- t Ỵ d1

Khi đó: d I d( , 2)=d I d( , )3 Û 4(3 ) 5t t 4 3(3 ) 2t t 5

+ - +

Vậy có đường trịn thoả mãn: x y 49 25

( -2) (+ +1) = (x 4)2 (y 5)2 9 25

- + + =

2) (D) :

2

2 2

3

1 3 2

2 2

x t

x y z

y t

z t

= + ì - = = + Ûï =

í

ï = - + ỵ

(P) có VTPT nr=(2;1; 1)- Gọi I giao điểm (D) đường thẳng d cần tìm Þ I(2 ;3 ; 2 )+t t - + t

(1 ,3 2, )

AI t t t

Þuur= + - - + VTCP d

Do d song song mặt phẳng (P) Ûuur rAI n. =0 3 0t t 1 3AI (2; 9; 5) 3

Û + = Û = - Þ uur= - - Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 2 1

2 9 5

x- y- z+

= =

- -

Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x=x a a a a a a= 1 6

Vì khơng có mặt chữ số nên chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, để thành lập số cần tìm Vì phải có mặt chữ số a1¹0 nên số cách xếp cho chữ số cách

Số cách xếp cho vị trí cịn lại : A Vậy số số cần tìm là: 5.A85 = 33.600 (số) Câu VI.b: 1) ( )C có tâm I (1; –2) bán kính R =

(d) cắt ( )C điểm phân biệt A, B Ûd I d( , )<R Û 2 2- m+ -1 2 <3 2+m2

Û -1 4m+4m2 <18 9+ m2Û5m2+4m+17 0> Û Ỵm R

Ta có: 1 sin· 1 . 9

2 2 2

= £ =

SIAB IA IB AIB IA IB Vậy: SIAB lớn 9

2 · 90 =

AIB Û AB =R 2 2= Û ( , ) 3 2 2 = d I d

Û 1 2 3 2 2 2

2

m m

- = + Û16m2-16m+ =4 36 18+ m2 Û2m2+16m+32 0= Ûm= -4

2) Ta có: SMuuur=( ;0; 1),m - SNuuur=(0; ; 1)n - Þ VTPT (SMN) nr=( ; ;n m mn) Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn+ + - =0

Ta có: d(A,(SMN))

2 2 2 2

n m mn

n m m n

+ -=

+ +

1 . 1

1 1

2 2 1 2

m n mn

mn mn m n

-

-= = =

+

Suy (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cốđịnh

Câu VII.b: BPT Û (4x -2.2x -3).log2x- >3 2x+1-4x Û (4x-2.2x -3).(log2x+ >1) 0

Û

x x

x x

x x

2

2 2

2.2 3 0 log 1 0

2.2 3 0 log 1 0 éì

êí ỵ ê êì êí êỵ ë

- - > + > - - <

+ <

Û x

x x x 2

2

log

2

log

éì > êí >

-ỵ ê êì < êí < -êỵ

ë

Û x x x

x

2 log log

1

2 éì >ï êí êï > êỵ êì <

ï êí êï < < êỵ ë

Û x x

2 log

1

Đề số 53

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x

x 2 1

1 -=

-

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox , Oy lần lượt điểm A B thỏa mãn OA = 4OB

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: x x x x

x x

sin cos 2 tan 2 cos2 0 sin cos

+

+ + =

-2) Giải hệ phương trình:

ïỵ ï í ì

= -+ + + +

= -+ + +

+

0 11 )

1 (

0 30 )

2 ( )

1 (

2

3

2

y y y x y x

xy y y

x y y x

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ị +

+ 01

1

dx x x

Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = a M điểm AA¢ cho AM 1AA'

3 = uuur uuur

Tính thể tích khối tứ diện MA¢BC¢

Câu V (1 điểm): Cho số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

2.

2

2

³ +

+ + +

+ + +

+

b a

a c a c

c b c b

b a II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) đường tròn (C): x2+y2 –8 – –16 0x y = Viết phương trình đường thẳng qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng (P): x y z

2 + - + =5 0 Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P)

6

Câu VII.a (1 điểm): Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt không lần?

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, biết phương trình đường thẳng AB, BC là: x+2 –5 0y = 3 –x y+ =7 0 Viết phương trình đường thẳng AC, biết AC qua điểm F(1; 3)-

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng D:

x y z

2

+

-= =

- Tìm toạ độ điểm M D cho DMAB có diện tích nhỏ

Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất: log (25 – log )5 x 5a =x

Hướng dẫn Đề số 53

Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d (C) M x y( ; )0 0 cắt Ox A Oy B cho OA = 4OB Do DOAB vuông O nên: A OB

OA tan

4

= = Þ Hệ số góc d

1 -

Hệ số góc d M là: y x

x

0 2

0

( )

( 1) ¢ = - <

- Þ y x0 ( )

4 ¢ = - Û

x0

1

4 ( 1)

- =

Û x y

x y

0

0

3

2

2

é ỉ

= - ỗ = ữ

ờ ố ứ

ờ

ổ

ờ = ỗ = ữ

ê è ø

ë

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: y 1(x 1)

4

= - + + y 1(x 3)

4

= - - + Câu II: 1) Điều kiện: cos2x¹0

PT Û -(sinx+cos )x 2+2sin2x+cos 22 x=0 Û sin 22 x-sin2x=0 Û éêsin2sin2xx=1 (0 loại)

=

ë Û x k2

p =

2) Hệ PT Û xy x y x y x y xy x y xy x y

2 2

( ) ( ) 30

( ) 11

ì + + + =

í + + + + =

ỵ Û

xy x y x y xy xy x y(( )() xy x y) 3011

ì + + + =

í + + + + = ỵ

Đặt ì + =íx y uxy v =

ỵ Hệ trở thành

uv u v uv u v( ) 3011 ì + = í + + =

ỵ Û

uv uv

uv u v(11 ) 30 (1)11 (2)

ì - =

ớ + + =

ợ T (1) ị

uv uv 56 é = ê = ë

· Với uv = Þ u v+ =6 Giải ta nghiệm (x; y) là: 21 5; 21

2

æ - +

ỗ ữ

ố ứ v

5 21 5; 21

2

æ + -

ỗ ữ

ố ứ

à Với uv = Þ u v+ =5 Giải ta nghiệm (x; y) là: (1;2) (2;1) Kết luận: Hệ PT có nghiệm: (1;2), (2;1), 21 5; 21

2

æ - +

ỗ ữ

ố ứ,

5 21 5; 21

2

ỉ + -

ỗ ữ

ố ứ

Cõu III: t t= x Þ dx=2 t dt I = t tdt t

1 + +

ò = t t dt

t

2

2

2

1

æ

+

-ỗ + ữ

ố ø

ò = 11 4ln2

3 -

Câu IV: Từ giả thiết suy DABC vuông cân B Gọi H trung điểm AC BH ^ AC BH ^ (ACC¢A¢)

Do ú BH l ng cao ca hỡnh chúp B.MAÂCÂ ị BH = 2a

2 Từ giả thiết Þ MA¢ = a 2

3 , A¢C¢ = a

Do đó: VB MA C. ' ' 1BH S MA C' ' 1BH MA A C a3

3 ¢ ¢ ¢

= = =

Câu V: Ta có: a b a b c b a b a

b c b c b c

2+ (1- - +) +

= =

-+ + +

Tương tự, BĐT trở thành: a b a b c b c a c

b c c a a b

+ - + + - + + - ³

+ + + Û

a b b c c a

b c c a a b

+ + + + + ³

+ + +

Theo BĐT Cơ–si ta có: a b b c c a a b b c c a b c c a a b 33 b c c a a b

+ + + + + ³ + + + =

+ + + + + +

Giả sửđường thẳng D qua E cắt (C) M N Kẻ IH ^ D Ta có IH = d(I, D) ≤ IE Như để MN ngắn IH dài Û H º E Û D qua E vng góc với IE Khi phương trình đường thẳng D là: 5(x+ +1) 2y=0 Û 5x+2y+ =5

2) Giả sử (S): x2+y2 +z2-2ax-2by-2cz d+ =0 · Từ O, A, B Ỵ (S) suy ra: ca

d ì = ù

= ù = ợ

ị I b(1; ;2) · d I P( ,( ))

6

= Û b 5

6

+

= Û b b 010 é = ê = -ë

Vậy (S): x2+y2+z2-2x-4z=0 (S): x2+y2+z2-2x+20y-4z=0 Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a= 1 7 (a1 ¹ 0)

· Giả sử a1 0:

+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C72 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C53 + Số cách xếp cho vị trí cịn lại là: 2!C82

· Bây ta xét a1= 0:

+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C62 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C43 + Số cách xếp cho vị trí cịn lại là:

Vậy số số cần tìm là: 2

7 .2!5 - 6 .7 113404 = C C C C C (số)

Câu VI.b: 1) Gọi VTPT AB nr1=(1;2), BC nr2 =(3; 1)- , AC nr3 =( ; )a b với a2+b2 ¹0 Do DABC cân A nên góc B C nhọn

Suy ra: cosB=cosC Þ n n n n

n n n n

1

1

=

r r r r

r r r r Û a b

a2 b2

1

5

-=

+ Û 22a2 +2b2-15ab=0 Û a b

a b

2 11 é = ê = ë

· Với 2a b= , ta chọn a=1,b=2 Þ nr3=(1;2) Þ AC // AB Þ khơng thoả mãn · Với 11a=2b, ta chọn a=2,b=11 Þ nr3 =(2;11)

Khi phương trình AC là: 2(x- +1) 11(y+ =3) Û 2x+11y+31 0= 2) PTTS D: yx t t

z t

1 2 ì = - + ï

= -í ï = ỵ

Gọi M( ;1 ;2 )- + t -t t Î D Diện tích DMAB S AM AB, 18t2 36 216t

2 é ù

= ëuuur uuurû = - + = 18( 1)t- 2+198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 t=1 hay M(1; 0; 2)

Câu VII.b: PT Û 25x-log5a=5x Û 52x-5x-log5a=0 Û t x t t2 t 5a

5 ,

log (*)

ì = > ï

í

- - = ïỵ

PT có nghiệm Û (*) có nghiệm dương Û t2- =t log5a có nghiệm dương Xét hàm số f t( )= -t2 t với t Ỵ [0; +) Ta cú: f tÂ( ) 1= -t ị f t( ) t

2

¢ = Û = f 1

2

ổ = -ỗ ữ

ố ứ , f(0) 0=

Dựa vào BBT ta suy PT f t( ) log= 5a có nghiệm dương Û a a 5

log

1 log

4

é ³

ê

ê = -ë

Û a a 4

1

5 é ³ ê

= ê êë

Đề số 54

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x= 4+2m x2 2+1 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

2) Chứng minh đường thẳng y x= +1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với mọi giá trị m

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: 2sin2 x 2sin2x tanx

p

ỉ

- =

-ỗ ữ

ố ứ

2) Giải phương trình: 2log3(x2-4 log ()+ 3 x+2) log (2- 3 x-2)2=4 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx

x x

3

2

sin cos sin p

+ ò

Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vng góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc bằng 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số: f x x x x x

x x

4

2

4 8

( )

2

- + - +

=

- + II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ (- 3;0) qua điểm M 1;4 33

5

ổ

ỗ ữ

ố ø Hãy xác định tọa độ đỉnh (E)

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d:

x t

y t

z 2 ì = -ï = + í ï = ỵ

Hãy tìm đường thẳng d điểm B C cho tam giác ABC

Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: 12 1Cn+22 2Cn+32 3Cn+ + n C2 nn =(n n+ 2).2n-2, đó n số tự nhiên, n ≥ Cnk số tổ hợp chập k n

2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) đường thẳng AB cắt trục Oy E cho uuurAE=2EBuuur Biết tam giác AEC cân A có trọng tâm l

G 2;13 3 ổ ỗ ữ

è ø Viết phương trình cạnh BC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z

3 1 1

- = + =

mặt phẳng (P): 2x y+ -2z+ =2 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1)

Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y y x

y x

3

24 162 (1)

1 5(1 ) (2)

ìï + = + í

+ = +

ïỵ

Hướng dẫn Đề số 54 Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm:

x4+2m x2 2+ = +1 x 1Û x4+2m x2 2- =x 0 Û x x( 3+2m x2 - =1 0) Û x

g x x3 m x2

( ) (*)

é =

ê = + - =

ë

Ta có: g x¢( ) 3= x2+2m2 0³ (với x m ) Þ Hàm số g(x) đồng biến với giá trị m

Mặt khác g(0) = –1 ¹0 Do phương trình (*) có nghiệm khác

Vậy đường thẳng y x= +1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu II: 1) Điều kiện: cosx¹0 Û x m

2 p p ¹ + (*)

PT Û 2x 2x x

2

1cosổỗố -p ửữứ=2sin tan 1sin2x=tan (sin2 1)x x ộờsin2tanxx= -=11 ë

Û x k

x l

2

2

p p

p p é

= + ê

ê

ê = - + êë

Û x k

x l

p p

p p é

= + ê

ê

ê = - + êë

Û x k

4

p p

= + (Thỏa mãn điều kiện (*) )

2) Điều kiện: x x

2

4 log ( 2) ì - >

ï í

+ ³

ïỵ Û

x x

2 ( 2) ìï - > í

+ ³

ïỵ Û

x x 23 é > ê £ -ë (**) PT Û log3(x2 – 4)2+3 log (3 x+2) log ( –2)2- 3 x =4

Û log (3 x+2)2+3 log (3 x+2)2 - =4 Û ( log (3 x+2)2 +4)( log (3 x+2)2 - =1 0) Û log (3 x+2)2 =1 Û (x+2)2=3 Û x= - ±2 3

Kiểm tra điều kiện (**) có x= - -2 3 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm là: x= - -2 3

Câu III: Đặt t= sin+ 2x= cos- 2x Ta có: cos2x=4 –t2và dt x x dx x sin cos sin =

+

I = x dx

x x

3

2

sin .

cos sin p

+

ò = x x dx

x x

3

2

0

sin cos cos sin p

+

ò = dt

t 15

2

-ò = dt

t t

15

3

1 1

4 2

ổ

-ỗ + - ÷

è ø

ị

= t t

15 1ln

4

+

- =

1 ln 15 ln

4 15 4 3 2

ổ + +

ỗ - ữ

ỗ - - ữ

ố ứ

= ln 15 ln 2( ( ) ( ))

2 + - +

Câu IV: Ta có SA ^(ABC) Þ SA ^AB; SA ^ AC

Tam giác ABC vng cân cạnh huyền AB Þ BC ^ AC Þ BC ^SC Hai điểm A,C nhìn đoạn SB góc vng nên mặt cầu đường kính SB qua A,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC mặt cầu đường kính SB Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2; ·SCA=600 góc

mp(SBC) mp(ABC)

SA = AC.tan600 = a 6 Từđó SB2=SA2+AB2=10a2

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = pd2= p SB2 = 10pa2 Câu V: Tập xác định: D = R Ta có: f x x x

x x

2

2

( ) 2

2

= - + + ³

Theo định nghĩa (E) suy :

a MF MF1 2

2 = + = ( )

2 4 33

1

5

ỉ

+ + ỗ ữ

ố ứ + ( )

2 4 33

1

5

ổ

- + ỗ ữ

ố ứ = 10 Þ a = Mặt khác: c = a2 – b2=c2 Þ b2 =a2-c2=22

Vậy tọa độ đỉnh (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; – 22) ; B2 ( 0; 22) 2) d có VTCP urd = -( 1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d

Giả sử H(1– ; 2 ;3t + t ) Þ uuuurAH= -(1 ;1 ;0t + t )

Mà AH ^ d nên uuur rAH u^ dÞ -1(1-t)+2(1 2+ t)=0Û t 1 5

= - Þ H 6 8; ;3 5 5

ổ

ỗ ữ

ố ứ Þ AH =

5 Mà DABC nên BC = 2AH 15

5

3 = hay BH = 15 Giả sử B(1 ;2 ;3)-s + s s s

2

1 2 15

5 25

ỉ ỉ

- - + + =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø Û 25s2+10 –2 0s = Û s

1

5 - ± = Vậy: B 3; ;3

5

æ - +

ỗ ữ

ố ứv C

6 3; ;3

5

ổ + -

ỗ ữ

ố ø

hoặc B 3; ;3

5

ổ + -

ỗ ÷

è ø C

6 3; ;3

5

æ - +

ỗ ữ

ố ứ

Cõu VII.a: Xét khai triển: (1+x)n =Cn0+xC1n+x C2 2n +x C3 3n+ + x Cn nn Lấy đạo hàm vế ta được: n(1+x)n-1=Cn1+2xCn2+3x C2 3n+ + nx Cn-1 nn Nhân vế cho x, lấy đạo hàm lần nữa, ta được:

n

n n n

n n n n

x n x

né(1 x) -1+ ( -1)(1+ ) -2ù 12C1 22xC2 32x C2 n x C2 -1

ë + û= + + + +

Cho x = ta đpcm

Câu VI.b: 1) Gọi M trung điểm BC Ta có AG 2AM = uuur uuur

Þ M(2; 3) Đường thẳng EC qua M có

VTPT AG 0; ổ =ỗ - ữ ố ứ uuur

nên có PT: y=3 Þ E(0; 3) Þ C(4; 3) Mà AEuuur=2EBuuur nên B(–1; 1) Þ Phương trình BC: 2x-5y+ =7

2) Gọi I tâm (S) I ẻ d ị I(1 ; ; )+ t - +t t Bán kính R = IA = 11t2- +2 1t Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d I P( ,( )) 3t R

3 +

= = Û 37t2-24t=0 Û t R

t R

0

24 77

37 37

é = Þ = ê

= Þ =

ê ë

Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S): (x-1)2+ +(y 1)2+z2 =1

Câu VII.b: Từ (2) suy y2–5x2=4 (3) Thế vào (1) được: x3+(y2– 5x y y2). = 3+16x Û x3–5x y2 –16 x=0 Û x=0 x2–5 –16 0xy =

· Với x=0Þ y2 =4 Û y= ±2 · Với x2–5 –16 0xy = Û y x

x 16

5

-= (4) Thế vào (3) được: x x x

2

2

16 5 4

5 ỉ -

- =

ỗ ữ

ố ứ

Û x4 –32x2+256 –125x4=100x2Û 124 x4+132 –256 0x2 = Û x2=1 Û éxx 1 (1 (yy 3)3) êë == - = -= Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)

Đề số 55

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x= 3-3x2+2

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x x m x 2 2

1 - - =

- Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: 2 cos x sinx 12

p

ổ

- =

ỗ ữ

ố ø

2) Giải hệ phương trình: x y x y

x y x y

2

2 2

log 3log ( 2)

1

ì + = - +

ï í

ï + + - - =

ỵ

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I x dx

x x

4

2

sin p

p

-=

+ + ị

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM =a

3 , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1 điểm): Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x+ 5-y+5-z=1 Chứng minh :

x25xy z y25yz x z 25zx y +5 + +5 +5 + +5 5+ + ³

x y z

5 5

4 + + II PHẦN TỰ CHỌN(3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH x y: - + =1 0, phân giác BN: 2x y+ + =5 Tìm toạđộ đỉnh B, C tính diện tích tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng :

x t

d y t

z t

1

2

:

1 ì = + ï

= -í

ï = -ỵ

,

x t

d y t

z t

2

7

:

12 ì = -ï

= + í ï = ỵ

a) Chứng minh d1 d2 song song Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 d2

b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) Tìm điểm I đường thẳng d1 cho IA + IB đạt giá trị nhỏ

Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau tập số phức: z4 z3 z2 z

- + + + = 2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d x y1: - - =3 d x y2: + - =6 Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạđộ đỉnh hình chữ nhật

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1:x y z

1

- = - = -

x t

d y

z t

2

:

ì = - ¢ ï = ù = Â ợ

a) Chứng minh d1 d2 chéo viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vng góc chung d1 d2

Hướng dẫn Đề số 55 Câu I: 2) Ta có x x m (x x ) x m x

x

2 2 2 2 2 1 , 1.

1

- - = Û - - - = ¹

- Do số nghiệm phương trình số giao điểm y=(x2-2x-2)x-1 , ( ')C đường thẳng y m x= , ¹1

Với y=(x2-2x-2) x- = í-1 ìf x( )f x x( ) khi x>11 <

ỵ nên ( )C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x=1

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x=1 qua Ox Dựa vào đồ thị ta có:

m < –2 m = –2 –2 < m < m ≥ Số nghiệm vô nghiệm nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Câu II: 1) PT sin 2x sin5

12 12

p p

ộ ổ ự

ờ ỗ - ữ+ ú=

è ø

ë û x

5

sin sin sin

12 12 2

p p p

ỉ

ỗ - ữ+ = =

ố ứ

x 5

sin sin sin

12 12

p p p

ỉ

ỗ - ữ=

-ố ứ

x k

x

x k

5 6

sin sin 3

12 12

4 p p

p p

p p é

= +

ổ ổ

ỗ - ữ= ỗ- ữ ờ

ố ứ ố ứ ờ = +

êë 2) Điều kiện: x y+ >0, x y- ³0 Hệ PT Û x y x y

x2 y2 x2 y2

1

ì + = +

-ï í

ï + + - - = ỵ

Đặt: u x y v x y ì = + í

=

-ỵ ta có hệ:

u v u v u v uv

u2 v2 uv u2 v2 uv

2 ( ) 2 4

2 3 2 3

2 2

ì - = > ì + = +

ï ï

Û

í + + í + +

ï - = ï - =

ỵ ỵ

u v uv

u v uv uv

2 (1)

( ) 2 3 (2)

2 ì + = + ï

Û í + - +

ï - =

ỵ

Thế (1) vào (2) ta có: uv+8 uv+ -9 uv = Û3 uv+8 uv+ = +9 (3 uv)2Ûuv=0 Kết hợp (1) ta có: uv u v

u v

4,

ì =

Û = = í

+ =

ỵ (với u > v) Từđó ta có: x = 2; y = 2.(thoảđk) Kết luận: Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2)

Câu III: I x2 xdx x xdx I1 I2

4

1 sin sin

p p

p p

-

-= ò + - ò =

-· Tính I1 x2 xdx

1 sin

p

p

-= ò + Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I1=0

· Tính I2 x xdx

sin p

p

-= ị Dùng phương pháp tích phân phần, ta tính được: I2 2 p = - +

Suy ra: I 2 p = -

· ìíBC ABBC SA^ ịBC BM^ ^

ợ T giỏc BCMN hình thang vng có BM đường cao

· SA = AB tan600 = a 3,

a a

MN SM MN

AD SA a a

3

3 2

3

2 3

-= Û = = Þ MN = 4a

3 , BM = a

3

Diện tích hình thang BCMN : S = BCNM

a a

BC MN a a

S BM

4

2 2 10

3

2 3

ổ

+

ỗ ữ

+

= =ỗ ữ =

ố ứ

à H AH ^BM Ta có SH^BM BC ^(SAB) Þ BC ^ SH Vậy SH ^( BCNM) Þ SH đường cao khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM SB = MS =

1

Vậy BM phân giác góc SBA Þ·SBH =300 Þ SH = SB.sin300 = a · Thể tích chóp SBCNM ta có V = 1SH S BCNM

3 =

a3 10

27

Câu V: Đặt 5x =a; 5y=b; 5z=c Từ giả thiết ta có: a, b, c > ab bc ca abc+ + =

BĐT Û a b c a b c

a bc b ca c ab

2 2

4 + +

+ + ³

+ + + (*)

Ta có: (*) Û a b c a b c

a abc b abc c abc

3 3

2 2 4

+ +

+ + ³

+ + +

Û a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

+ +

+ + ³

+ + + + + +

Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: a a b a c a a b a c

3 3

( )( ) 8

+ +

+ + ³

+ + (1)

b b c b a b

b c b a

3 3

( )( ) 8

+ +

+ + ³

+ + ( 2)

c c a c b c

c a c b

3 3

( )( ) 8

+ +

+ + ³

+ + ( 3)

Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh Câu VI.a: 1) Do AB CH^ nên phương trình AB: x y+ + =1

· B = AB BNầ ị Toim B l nghim ca hệ: x y x y

2

1 ì + + = í

+ + =

ỵ Û

x y 34 ì = -ớ =

ợ ị B(-4; 3) Ã Ly A đối xứng với A qua BN A BC'Ỵ

Phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với BN (d): x-2y- =5 Gọi I =( )d ÇBN Giải hệ: x y

x y

2

2

ì + + = í - - =

ợ Suy ra: I(1; 3) ịA'( 3; 4) -· Phương trình BC: 7x y+ +25 0= Giải hệ: BC x y

CH x y

: 25

:

ì + + =

í

- + =

ỵ Þ C

13 9;

4

æ- -

ỗ ữ

ố ứ

· BC

2

13 450

4

4 4

ỉ ỉ

= ỗố- + ữứ +ỗố + ữứ = , d A BC

2 7.1 1( 2) 25

( ; )

7 + - +

= =

+

Suy ra: SABC 1d A BC BC( ; ) 1.3 450 45

2 4

= = =

2) a) · VTCP hai đường thẳng là: ur1=(4; 6; 8),- - ur2 = -( 6;9;12) Þ u ur r1 2, phương Mặt khác, M( 2; 0; –1) Ỵ d1; M( 2; 0; –1) Ï d2 Vậy d1 // d2

· VTPT mp (P) n MN u, 1 (5; 22;19)

2é ù

= - ëuuuur û=

b) ABuuur=(2; 3; 4)- - Þ AB // d1 Gọi A1 điểm đối xứng A qua d1

Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B Do IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B thẳng hàng Þ I giao điểm A1B d Vì AB // d1 nên I trung điểm A1B

· Gọi H hình chiếu A lên d1 Tìm H 36 33 15; ; 29 29 29

ỉ

ỗ ữ

ố ứ A i xng vi A qua H nên A’ 43 95 28; ;

29 29 29

ổ

-ỗ ữ

è ø I trung điểm A’B suy I

65 21 43; ; 29 58 29 ổ - -

ỗ ữ

ố ứ

Câu VII.a: Nhận xét z=0 không nghiệm PT Vậy z¹0 Chia hai vế PT cho z2 ta được: z z

z z

2

1 1 0

2

ỉ ỉ

+ - - + =

ỗ ữ ç ÷

è ø

è ø (1)

Đặt t z z

= - Khi t z z 2

2

= + - z t

z

2

2

1 2

Û + = + Phương trình (2) trở thành: t2 t

2

- + = (3) 4.5 9i2

D= - = - = Þ PT (3) có nghiệm t 3i

2 +

= , t 3i -= · Với t 3i

2 +

= : ta có z i z i z

z

1 2 (1 ) 2 0

2 +

- = Û - + - = (4a) Có D= +(3 )i2 Þ PT (4a) có nghiệm : z (1 ) (3 ) 1i i i

4 + + +

= = + , z (1 ) (3 )i i i

4

+ - +

-= =

· Với t 3i

-= : ta có z i z i z

z

1 2 (1 ) 2 0

2

= Û - - - = (4b) Có D= -(3 )i Þ PT (4b) có nghiệm : z (1 ) (3 ) 1i i i

4 - +

-= = - , z (1 ) (3 )i i i

4

- - -

-= =

Vậy PT cho có nghiệm : z ;i z ;i z i 1;z i

2

-

-= + = - = =

Câu VI.b: 1) Ta cú: I d= 1ầ ị Tod2 ca I l nghiệm hệ: x y x

x y y

9

3 2

6

2 ì = ïï ì - - = Û í + - = í ỵ ï = ïỵ

ị I 3; 2 ổ ỗ ÷ è ø Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M d= 1ÇOx trung điểm cạnh AD Suy M(3; 0) Ta có: AB IM

2

9

2 3

2 ỉ ỉ = = ỗ - ữ +ỗ ữ = ố ø è ø ABCD ABCD S

S AB AD AD

AB

12

12 2

3

= = Û = = =

Vì I M thuộc đường thẳng d1 Þd1^AD

Đường thẳng AD qua M(3; 0) vng góc với d1 nhận nr=(1;1) làm VTPT nên có PT: x y+ - =3 Mặt khác: MA MD= = Þ Toạđộ A, D nghiệm hệ PT:

( )

x y

x y2 3 ì + - = ï í - + = ïỵ

y x y x

x y2 x x

3

( 3) ( 3) (3 )

ì = - + ì = - +

Ûí Ûí

- + = - + - =

ỵ ỵ

x y 12 ì =

Û í =ỵ x y 41 ì = í =

-ỵ Vậy A( 2; 1), D( 4; –1) Do I 3;

2 ổ ỗ ữ

ố ứ l trung điểm AC suy ra:

C I A

C I A

x x x

y y y

2

2

ì = - = - = í = - = - = ỵ

Tương tự I trung điểm BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạđộ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)

Ta có: éëu u MNr r1 2, ỷự.uuuur= -10 0ạ ị d1 , d2 chộo Gi A(2 ;1 ;2 )+t -t t dỴ 1, B(2 ; 3; )- t t  ẻd2 AB l đoạn vng góc chung d1 d2 Û AB u

AB u12

ì =

ï í

= ïỵ

uuur r

uuur r Þ t t

1 ' ìï = -í ï = ỵ

Þ A 2; ; 3

ổ

-ỗ ữ

ố ứ; B (2; 3; 0)

Đường thẳng D qua hai điểm A, B đường vng góc chung d1 d2 Þ D:

x t

y t

z t

2 ì = + ï = + í ï = ỵ b) PT mặt cầu nhận đoạn AB đường kính: x y z

2 2

11 13

6 6

ỉ - +ỉ - +ổ + =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

Câu VII.b: Ta có: (1 )+i 2009 =C20090 +iC12009+ + i2009 2009C2009

C C C C C C

C C C C C C i

0 2006 2008

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 2007 2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009

( )

= - + - + - + +

- + - + - +

Thấy: S (A B)

= + , với A C= 20090 -C20092 +C20094 -C20096 + - C20092006+C20092008 B C= 20090 +C20092 +C20094 +C20096 + + C20092006+C20092008

· Ta có: (1 )+i2009 = +(1 ) (1 )i ëé +i 2ûù1004 = +(1 ).2i 1004 =21004+21004i Đồng thức ta có A phần thực (1 )+i 2009 nên A=21004 · Ta có: (1+x)2009=C20090 +xC12009+x C2 22009+ + x2009 2009C2009

Cho x = –1 ta có: C20090 +C20092 + + C20092008=C20091 +C20093 + + C20092009

Cho x=1 ta có: (C20090 +C20092 + + C20092008) (+ C12009+C20093 + + C20092009) 2= 2009 Suy ra:B=22008

· Từđó ta có: S=21003+22007

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

Đề số 56

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x= 4+(3m+1)x2-3 (với m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m= -1

2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy 2

3 lần độ dài cạnh bên Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình : (1 tan- x)(cos2x+4sin 2x- =1) cos2x+7sin 2x-7 2) Giải hệ phương trình: x y

x2 y2 x y xy

2 (1)

4 5(2 ) (2)

ì + =

í + =

-ỵ

Câu III (1,0 điểm) Tìm nguyên hàm:

x x x x e dx

x e

( )

-+ + ò

Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABClà tam giác vuông A, mặt phẳng (ABC') tạo với đáy góc 600, khoảng cách từ điểm Cđến mặt phẳng (ABC') a khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng (BCC B' ') a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x y z, , thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x2+y2-2y+ +1 y2+z2-2 1z+ + z2+x2-2x+1 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)

1) Trong hệ toạ độOxy, cho đường thẳng d x y: 2 - - =2 0 điểm I(1;1) Lập phương trình các đường thẳng cách điểm I khoảng 10và tạo với đường thẳng d góc

0 45

2) Trong hệ toạ độ Oxycho hai đường thẳng d x: +2y- =3 0 D:x+3y- =5 0 Lập phương trình đường trịn có bán kính 2 10

5 , có tâm thuộc d tiếp xúc với D Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 2log (22 x- +2) (4x-7)log (2 x- +2) 2(x-2) 0= B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x-1)2+ -(y 1)2 =10 đường thẳng d x y: 2 - - =2 0 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn( )C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 450

2) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x: +2y- =3 0và hai điểm A( 1;2)- , B(2;1) Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y x y y

x y x2 y

2

log ( ) log (7 ) log (1)

log (3 2) 2 2 4 (2)

ì + + = + +

ï

í - - = - +

ïỵ

Hướng dẫn Đề số 56 Câu I: 2) y' 4= x3+2(3m+1)x; y' x 0,x2 3m

2 + = Û = = -

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m

Û < - (*)

Ba điểm cực trị là: A(0; 3)- ;B m m (3; 1) 3

2 æ - - - + -ỗ ữ ố ứ; m m

C (3; 1)2

2 ổ - - - + - -ỗ ữ ố ø ABC

D cân A; BC 2AB m m m

3

4

3 (3 1)

9.4

2 16

ỉ

ỉ- - - - +

= ỗ ữ= ỗ + ữ

ố ø è ø m

5

Û = - , thoả (*) Câu II:

1) Điều kiện: cosx¹0

PT Û (tanx-1)(tan2x- =3) 0 Ûtanx=1;tanx=± 3 ;

4 p

p k x= +

Û x k

3 p p = ± + 2) Điều kiện: xy³0 (*)

Ta có: (1) Û(2x-y- xy)(2x-y-4 xy)=0 ê ê ë é = -= -Û 0 4 2 0 2 xy y x xy y x

· Với 2x-y- xy =0 ta có 1 2

2 3

2

2 Û = =

ïỵ ï í ì -= -= + y x x x x y x

(thoả (*))

· Với 2x-y- xy =0 ta có x y

x x x2

2 ì + = ï í - = -ïỵ ï ï ỵ ïï í ì -= + = Û 25 6 8 22 25 6 8 22 y x

(thoả (*))

Câu III: A = x x x x e dx

x e ( ) -+ +

ò = xe xx x e dxx xe

.( 1) +

+

ò Đặt t x e= x+1 Þ A =xex+ -1 lnxex+ +1 C Câu IV: Gọi Hlà hình chiếu A BC ÞAH^(BCC'B') ÞAH a=

Gọi K hình chiếu C AC' ÞCK^(ABC')ÞCK a=

· ·

AC'^AB AC AB, ^ ị((ABCÂ),(ABC))=C ACÂ ịÃC ACÂ =600

CK a

AC 0

3 sin60

= = ;CC'=AC.tan600 =2a; AB a

AH2 AB2 AC2

1 = + Þ =2

ABC A B C ABC a V ' ' ' S CC'

3 D

= =

Câu V: Ta có P= x2+ -(1 y)2 + y2+ -(1 )z2 + z2+ -(1 x)2 Vì a2 b2 (a b)2

2

+ ³ + nên P ( x y y z z x)

³ + + + + +

-và a b c+ + ³ + +a b c nên P x y y z z x 2

³ + - + + - + + - = Dấu "=" xảy Ûx y z

2

= = = Vậy minP 2

= x y z = = = Câu VIa:

1) Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c+ + =0 (a2+b2¹0) Vì ( , )·d D =450 nên a b

a2 b2

2 1 -= + a b

· Với a=3b ÞD: 3x y c+ + =0 Mặt khác d I( ; )D = 10 c 10 10 +

Û = c

c 614 é = Û ê = -ë · Với b= -3aÞD: x-3y c+ =0 Mặt khác d I( ; )D = 10 c 10

10 - +

Û = c

c 128 é = -Û ê =ë

Vậy có bốn đường thẳng cần tìm: 3x y+ + =6 0;3x y+ -14 0= ; x-3y- =8 0; x-3y+12 0= 2) Tâm I Ỵ d ÞI( 2- +a 3; )a (C) tiếp xúc với D nên d I( , )D =R a 2 10

5 10

-Û = a

a 62 é = Û ê = -ë Þ (C): (x 9)2 (y 6)2

5

+ + - = (C): (x 7)2 (y 2)2 - + + =

Câu VIIa: PT Û (2log (2 x- +2) log () ( 2 x- +2) 2x-4)=0 x

x x

2

2log ( 2) log ( 2)

é - + =

Û ê - + - = ë

· Với 2log (2 x- + =2) Û x 2 = +

· Với log (2 x- +2) 2x- =4 Ta có y=log (2 x- +2) 2x-4 hàm số đồng biến (2;+¥) nên x

2

= nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm x 2

= + vàx = Câu VIb:

1) (C) có tâm I(1;1) bán kính R= 10 Gọi nr=( ; )a b VTPT tiếp tuyến D (a2+b2¹0), Vì ( , )·D d =450 nên a b

a2 b2

2 1

2

-= +

a b

b 33a é = Û ê = -ë

· Với a=3b Þ D: 3x y c+ + =0 Mặt khác d I( ; )D =R c 10 10 +

Û = c

c 614 é = Û ê = -ë · Với b= -3aÞD: x-3y c+ =0 Mặt khác d I( ; )D =R c 10

10 - +

Û = c

c 128 é = -Û ê =ë

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x y+ + =6 0;3x y+ -14 0= ; x-3y- =8 0; x-3y+12 0= 2) AB= 10, C( 2- +a 3; )a Ỵ d Phương trình đường thẳng AB x: +3y- =5

ABC

SD =2 1AB d C AB ( , ) 2

Û = 10.a 2

2 10

-Û = Û ê = -é =aa 62 ë · Với a=6 ta có C( 9;6)- · Với a= -2 ta có C(7; 2)- Câu VIIb:Điều kiện {x y+ >0;7x y+ >0;y>0 (*)

(1) Û log 2(2 x y+ )2 =log (72 x y y+ ) Û 2x2-3xy y+ = Û ê =0 é =y xy 2x ë

· Với y x= vào (2) ta log (22 x- = Û =2) x Þ x y= =9, thoả (*) · Với y=2x vào (2) ta log (2 x- = -2) 2xÛ log (2 x- +2) 2x- =4

y=log (2 x- +2) 2x-4 hàm sốđồng biến (2;+¥) nên x

= nghiệm

Suy x y

5 ìï = í ï = ỵ

, thoả (*) Vậy hệđã cho có hai nghiệm x y 99 ì = í = ỵ

x y

5 ìï = í ï = ỵ

TRƯỜNG THPT MINH KHAI Đề số 57

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I Cho hàm số y mx3 (m 2)x2 (m 1)x 2

3

= + - + - + (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =

2) Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1<x2<1

Câu II

1) Giải phương trình: x x x x

cos2 tan 2 sin(2 ) 0

1 cot 4

p

- + - =

+

2) Giải hệ phương trình: x y x y x y x y

4 2 4

2 2

ìï + + + =

í

+ + + = -ïỵ

Câu III Tính giới hạn: x x

e e x x

x

2 2

1

3 6 4

lim

tan( 1) ®

- - +

-Câu IV Cho lăng trụ ABCA B C¢ ¢ ¢có đáy tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a, AA¢ vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc (AB C¢ ) và(BB C¢ ) 600 Tính thể tích lăng trụ

ABCA B C¢ ¢ ¢

Câu V Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A

a b c3 b c a3 c a b3

1 1 1

( ) ( ) ( )

= + +

+ + + II.PHẦN RIÊNG

A Theo chương trình chuẩn

Câu VIa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm trên parabol (P): y x= 2-2x+1, tâm I nằm cung AB (P) Tìm tọa độ hai đỉnh C, D cho tam giác IAB có diện tích lớn

Câu VIIa Giải phương trình: log (3 x-2) log (= 4 x2-4x+3) Câu VIIIa Tìm hệ số x8 khai triển (x3-2x2+ -x 2)6 B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb Cho hình vng ABCD có tâm I 5 5; 2 2

ổ ử

ỗ ÷

è ø, hai điểm A, B nằm đường thẳng d x y1: + - =3 0 đường thẳng d x y2: + - =4 0 Tìm tọa độ đỉnh hình vng Câu VIIb Giải phương trình : 1 log+ 2 x2-4x =2log16ëé4(x-3)2ùû+log (28 +x)3

Câu VIIIb Với chữ số a, b, 1, đôi khác lập 18 số có chữ số khác Biết tổng 18 số 6440 Tìm số a, b

Hướng dẫn Đề số 57

Câu I. 2) y mx¢ = 2+2(m-2)x m+ -1; y¢ = Û0 mx2+2(m-2)x m+ - =1 (1)

Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1<x2<1khi m > (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt t x= -1 Þ x t= +1, thay vào (1) ta được:

m t( 1)+ 2+2(m-2)( 1)t+ + - =m Ûmt2+4(m-1) 4t+ m- =5 (1) có nghiệm phân biệt bé Û (2) có nghiệm âm phân biệt

m P S 0 0 D ì > ï ¢ ï > Û í >ï < ïỵ

m

5

4

Û < <

Câu II.

1) Điều kiện:

x x

x cot sin cos ì + ¹ ï ¹ ù ợ

PT cos2 (sinx 2x+sin cosx x-cos ) 02x = Û éêsincos22xx+=sin cos0 x x-cos2x=0 (2)(1)

ë Û x k x k

1

; arctan

4

p

p - ± p

= + = +

2) Điều kiện: x y x y

4

2

ì + ³ í + ³

ỵ Đặt x y a a bx y b

2 ( , 0)

4 ìï + = ³ í + = ïỵ b x y 3a2

2

Þ + = -

Ta có hệ: a a b a a

b a

a b

2 2

3 2 5 6 0

2 4

4 ì ì ï + - = - Û + - = í í = -ỵ ï + = ỵ x y a x

b 13 ìï 24x y+ =13 y 47

ì = ì =

Ûí Þí Ûí

= + = =

-ỵ ïỵ ỵ

Câu III. A = x x

x x

e e x

e e x x

x x

2 2( 1)

2 2

1

( 3( 1)

3

lim lim

tan( 1) tan( 1)

-® ® - - + - - + = -

-Đặt t x= -1 Khi x®1 t®0

A = t t

t t t

e e t e e t e t t e

t t t

2 2 2

2 2

0 0

( 1) ( 1)cos (1 1)cos

lim lim lim

tan sin sin

-® ® ®

- + = - + - + =

Câu IV.Từ A kẻ AI ^ BC Þ I trung im BC ị AI ^( BCC BÂ Â) ịAI ^ B C¢ (1) Từ I kẻ IM ^ B¢C (2) T (1), (2) ịBÂC ^ (IAM) ị BÂC ^ MA (3) T (2), (3) ịÃ((AB C B CBÂ ),( ¢ )) (=·IM AM, )=·AMI=600 (do DAMI vng I) Ta có AI = BC a

2 = , IM =

AI a

0 3

tan60 = , DIMC : DBÂBC ị

IM IC BB IM B C

BB B C IC

¢ ¢

= Û =

¢ ¢ Þ BB¢=

a

B C B C BB B B a

a 2

1

3 4

3

¢ = ¢ Û ¢= ¢ + Þ BB¢ = a ABC

S 1AI BC 1a a a.2

2

D = = = Þ VABC A B C¢ ¢ ¢ =a 2.a2 =a3

Câu V. Sử dụng BĐT: Với a, b, c, d > 0, ta có: a c a c b d b d + + ³

+

a b c

a b c

A

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

2 2

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ổ + + ỗ ữ ố ứ = + + ³ + + + + + + + +

= a b c a b c

ab bc ca a b c

a b c

2

1 1 1

1 1

2( ) 2 1

ỉ + + ỉ + + ỗ ữ ỗ ữ ổ ử ố ứ = ố ứ = + + ỗ ữ + + ổ + + ố ứ ỗ ữ ố ứ abc

3

2

³ =

Câu VIa. I nằm cung AB ( P) nên I a a( ; 2-2a+1) với < a <3 Do AB khơng đổi nên diện tích DIAB lớn d I AB( , ) lớn Phương trình AB: x y- + =1 0

d I AB( , ) = a a2 2a 1 - + - +

= a2 3a - +

= a2 3a

- + (do a Î(0;3))

Þd ( I, AB) đạt giá trị lớn Û f a( )= - +a2 3a đạt giá trị lớn Û a

= ị I 1; ổ ỗ ữ è ø Do I trung điểm AC BD nên ta có C 3; ; D 0;

2

ỉ ỉ

-

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø Câu VIIa.Điều kiện: x>3 PT Û log (3 x2-4x+4) log (= 2 x2-4x+3)

Đặt t x= 2-4x+3, ta log (3 t+ =1) log2t a= Û t a a t

1 ìï + = í

= ïỵ

a a

2

Þ + = Û

a a

2 1

3

ỉ ỉ

+ =

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø (1) Do hàm số f a( ) = a ổ ỗ ữ ố ứ +

a ổ ỗ ữ

è ø nghịch biến R f(1) = Þ a = nghiệm (1)

Với a = Þ t = Þ x2-4x+ =3 2 Û x= +2 (vì x > 3)

Câu VIIIa. k k k i i

k i

x3 x2 x x x2 6 C x6 6 C x6

6

( 2) ( 2) ( 1) ( 2) -

= =

- + - = - + = å - å

Để lũy thừa x k+2i=8 Þ ( k, i) = {(6;1); (4;2); (2;3); (0;4)} Vậy hệ số x8 là: C6 1C C4 2C2 C C4 C2 4C3

6.( 2) - 6+ 6.( 2) - + .( 2)6 - + 6.( 2) - =6666 Câu VIb. Giả sử A a( ;3- Ỵa) d B b1; ( ;4- Ỵb) d2 Þ IA a 1; a IB; b 3; b

2 2

ỉ ỉ

=ỗ - - ữ =ỗ - - ữ

è ø è ø

uur uur

ABCD vng tâm I nên IA IB IA IB ì =

í =

ỵuur uur Û

a a

b 12 b 13 ì = Úì = í = í =

ỵ ỵ

· Với a = 2; b = Þ A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2) · Với a = 1; b = Þ A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4) Câu VIIb. Điều kiện é- < <ê >x2 4x

ë

PT Û +1 log (2 x2-4 ) log (2x = 2 x-3 ) log (2+ 2 +x)Û2(x2-4 ) (2x = +x x) -3 x2 4x (2 x x) (1)

Û - = +

-· Với x>4 (1) Û x2-4x=(2+x x)( -3) Û x=2 (loại) · Với - < <2 x (1) Û 2x2-5x- =6 0 Û x 73

4 -=

Câu VIIIb. Nếu a¹0, b ¹0 từ chữ số a, b, 1, ta lập A43= 24 số có chữ số khác Như phải có số

Giả sử a = ta lập A43-A32 =18 số chữ số 1, 2, b xuất hàng trăm lần, xuất hàng chục hàng đơn vị lần

Vậy ta có: 100 6( + b + 2) + 10 ( 1+ b + 2) + (1 + b + 2) = 6440 Û 644 ( + b ) = 6440 Û + b = 10 Û b =

Vậy a = 0, b = b = , a =

SỞ GD&ĐT HỊA BÌNH

TRƯỜNG THPT CƠNG NGHIỆP Đề số 58

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011–2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm y x= 3-3mx2+4m3 (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: x x x x

x x

sin2 cos2 tan cot cos + sin = 2) Giải hệ phương trình: y (y )x y

x y

2

3 (1)

2 (2)

ì + - - = -ï

í

- + - =

ïỵ

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I x (e x x x dx) x

1

2 2

2

4

= -

-ò

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B ,

AB BC a AD= = ; =2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD SA = a Gọi E trung điểm của AD Tính thể tích khối chóp S.CDE tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE

Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương thoả a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P

a b b c c a

3 3

1 1

3 3

= + +

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):

x y

( -2) + -( 3) =10 Xác định toạ độ đỉnh A, C hình vng, biết cạnh AB qua điểm M(–3; –2) điểm A có hồnh độ xA >

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- N( 1;1;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểmK(0;0;2) đến mặt phẳng (P) lớn Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z2+2 z z z+ =8 z z+ =2

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y – = 0, điểm A( 0; –1), B(2; 1) Tứ giác ABCD hình thoi có tâm nằm đường thẳng D Tìm tọa độ điểm C, D

2) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)B - C - - - mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2-2x+2z- =2 0 Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: y x

y x

2

3

2

2 2

2.log log

log (log 1).log

ì =

-ï í

ï =

-ỵ

Hướng dẫn Đề số 58 Câu I. 2) Ta có: y’ = 3x2 - 6mx = Û x

x 20m é = ê =

ë Hàm số có cực đại cực tiểu m ¹ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ uuurAB=(2 ; )m- m3

Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3)

AB đối xứng qua đường thẳng d: y = x ỡớ ẻAB dI d^

ợ

m m

m m

3

2

2

ìï - = Û í

=

ïỵ Û m

2 = ± Câu II.

1) Điều kiện: 0 0 x

x sin cos

ỡ ạ

ớ ạ

ợ PT Û -cos2x=cosx Û x k2

p p

= ± +

2) Điều kiện: y£2 Ta có (1) Û y2+ -(y 3)x-4y= -3 Û y= -1 x

Thay vào (2) ta được: 3x- +2 x+ =1 Û x=3 Þ y= -2 Vậy nghiệm hệ: 3 2 x y ì = í =

-ỵ

Câu III. I x e dxx x dx I I x

1

2

1 2

0

= - = +

-ò ị

· Tính I1 1x e dx2x e2

1

+

=ò = · Tính I x dx x

1

2 2

0 =

-ò Đặt t= 4-x2 Þ I2 3 16 = - + Þ I e2 3 61

4 12

= + -Câu IV. V a3

6

= Gọi M, N trung điểm SE SC Ta có mặt phẳng (ABNM) mặt phẳng trung trực SE Vậy tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE giao điểm mặt phẳng (ABMN) trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE Gọi D đường thẳng qua I trung điểm CD song song với SA Gọi K trung điểm AB KN//AM KN Dđồng phẳng suy KNÇ =D O điểm cần tìm

DOIK vng cân nên OI = IK = BC AD 3a

2

+ =

; CD a 2;IC CD a

2

= = =

Ta có OC2 OI2 IC2 9a2 2a2 11a2 R OC a 11

4 4

= + = + = Þ = =

Câu V. Áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương ta có: 1+ + ³1 + + x y z x y z (*) Áp dụng (*) ta có

3 3 3

1 1

3 3 3

= + + ³

+ + + + + + + +

P

a b b c c a a b b c c a

Mặt khác: 3( 3 )1.1 1 1( 3 2)

3

+ + +

+ £a b = + +

a b a b

Tương tự: 3( 3 )1.1 1( 3 2); 3( 3 )1.1 1( 3 2)

3

+ £ + + + £ + +

b c b c c a c a

Suy ra: 3 3 3 4( ) 6

3

+ + + + + £ éë + + + ùû

a b b c c a a b c 4.3 3

é ù

£ ê + ú=

ë û Do P³3

Dấu = xảy

3

1

4

3 3

ì + + = ï

Ûí Û = = =

ï + = + = + = ỵ

a b c

a b c a b b c c a

Vậy minP=3 = = = a b c . Câu VIa.

1) (C) có tâm I(2; 3) bán kính R= 10

Ta có d I AB( , )=R Û a b a b a b a b

a b

2 2

2 | 3 |

10= + + + Û10( + ) 25(= + )

+ Û

3 3

a b

b a

é = ê =

-ë

· Với a= -3b Þ AB: 3x y- + =7 0 Gọi A t t( ;3 +7),(t>0) Ta có IA R= 2 Þ t=0;t= -2 (khơng thoả mãn)

· Với b= -3a Þ AB: x-3y- =3 0 Gọi A t(3 +3; ), (t t> -1) Ta có IA R= 2 Þ é =ê = -tt 1 1(loai)

ë Þ A(6; 1) Þ C(–2; 5)

2) PT (P) có dạng: Ax B y+ ( + +1) C z( - = Û2) Ax By Cz B+ + + -2C=0 (A2+B2+C2 ạ0) N( 1;1;3) ( )- ẻ P - + +A B 3C B+ -2C= Û =0 A 2B C+ Þ( ) : (2P B C x By Cz B+ ) + + + -2C=0;

d K P

B C BC

B ( ,( ))

2 4

=

+ +

· Nếu B = d(K, (P)) = (loại) · Nếu B¹0thì d K P B

B C BC C

B

2 2

1

( ,( ))

2

4

2

= = £

+ + ỉ ư

+ + ç ÷ è ø

Dấu “=” xảy B = –C Chọn C = Khi PT (P): x y z+ – + =3 0 Câu VIIa. Gọi z x yi x y R= + ,( , Ỵ ), ta có z x iy z= - ; = z2 =zz x= 2+y2

z2+2 z z z+ = Û8 4(x2+y2) 8= Û(x2+y2) (1)= ; z z+ = Û2 2x= Û =2 x (2) Từ (1) (2) tìm x=1;y= ±1 Vậy số phức cần tìm + i – i

Câu VIb.

1) Gọi I(a; b) tâm hình thoi Vì IỴDnên a + b – = hay b = – a (1)

Ta có: uurAI =( ;a b+1)và BIuur=( –2; –1)a b Do AI ^BI Þ a a( - + +2) (b 1)(b- =1) 0 (2) Từ (1) (2) Þ a2-2a= Û = Ú =0 a 0 a 2

· Với a = I(0; 1) Þ C(0;2) D(–2;1) · Với a = I(2; –1) Þ C(4; –1) D(2; –3) Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) D(–2;1) C(4;–1) D(2;–3)

2) (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R=2 PT mp(ABC): 2x-2y z+ + =1 Ta có VABCD ( ;(d D ABC S)) ABC

3

= nên VABCDlớn Û d D ABC( ;( )) lớn

Gọi D D1 2 đường kính (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S)

{ }

d D ABC( ;( )) max ( ;(£ d D ABC1 )); ( ;(d D ABC2 )) Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2

D D1 2 qua I(1;0;–1), có VTCP nrABC =(2; 2;1)- Þ D D1 2: {x= +1 ;t y= -2 ;t z= - +1 t Tọa độ D1 D2 thỏa:

x t

t

y t

z t

t

x y2 z

1 2

2 3

1

3

( 1) ( 1)

ì = + é

ï = - ê =

ï Þ ê

í = - + ê

-ï =

ê ï - + + + = ë ỵ

D1 1; ; ;D2 5; ;

3 3 3

ỉ - - ỉ- -

ị ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Ta thấy: d D ABC( ;(1 ))>d D ABC( ;(2 )) Vậy điểm D 1; ; 3

ổ

-ỗ ữ

è ø điểm cần tìm Câu VIIb.Điều kiện x

y 00 ì > í >

ỵ Khi HPT

y x

y x

2

3

3

2.log log

log log

ìï =

-Û í =

-ïỵ Đặt

a x

b loglog32y ì = í =

ỵ

HPT Û b a b a

2

2

1 ì = í = -ỵ

( )a a a

b b a

2 1

2 1

0

ìï - = - ì =

Ûí Ûí =

= - ỵ

ïỵ

x x

y y

2

log

log

ì = ì =

Ûí = Ûí = ỵ

SỞ GD&ĐT HÀ NAM

TRƯỜNG THPT A THANH LIÊM Đề số 59

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011–2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+2

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d y m x: = ( - -2) 2 cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A(2; –2), B, D cho tích hệ số góc tiếp tuyến B D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ

Câu II

1) Giải phương trình: x x x

x x

2

cos (cos 1) 2(1 sin ) sin cos

- = +

+

2) Giải bất phương trình: ( x+ -3 x-1)(x- +3 x2+2x-3)³4 Câu III Tính tích phân: I = x dx

x x

4

6

0

sin 4 sin cos p

+ ò

Câu IV Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a BC= , =2 ,a ACB· =1200và đường thẳng

A C' tạo với mặt phẳng (ABB A' ') góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách giữa hai đường thẳng A B CC' , ' theo a

Câu V Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a b c

ab ab bc bc ac ac

2 2 1

( +2)(2 +1) (+ +2)(2 +1) (+ +2)(2 +1) 3³ II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, đỉnh A, B thuộc đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: 3x y- + =2 0 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC 3

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, 2 mặt phẳng (P) với: d1: x 1 y 1 z

2 1 2

- = + =

, d2: x 2 y z 1

1 1 2

- = =

, (P): 2x y+ +5z+ =3 0 Lập phương trình đường thẳng d cắt d1 d2 vng góc với mặt phẳng (P)

Câu VII.a Giải phương trình: 8log4 x2- +9 2log (4 x+3)2 =10 log (+ 2 x-3)2 B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) AC=2BD Điểm M 2;4

3

ổ ử

ỗ ữ

è ø thuộc đường thẳng AB, điểm N 13 3;

3

ổ ử

ỗ ữ

è ø thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) B(3; 4; 1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z- + - =1 0 để DMAB tam giác

Hướng dẫn Đề số 59

Câu I. 2) PT hoành độ giao điểm (C) d: x3-3x2+ =2 m x( - -2) Û x

g x x2 x m

2

( ) (1)

é =

ê = - - - =

ë

(C) cắt d điểm phân biệt A(2; –2), B, D Û g(2)9 4mm 00 m

D

ì = + > Û - < ¹ í = - ¹

ỵ (*)

Với điều kiện (*), gọi x x1 2, nghiệm (1) x1+x2=1,x x1 2= - -2 m Ta có: k y x y x= ¢( ) ( ) (31 ¢ 2 = x12-6 )(3x1 x22-6 )x2 = 9(m+1)2- ³ -9 với m

4

- < ¹ Dấu "=" xảy Û m= -1 Vậy giá trị m cần tìm m= -1 Khi kmin= -9

Câu II.

1) Điều kiện: x l p p

¹ - + PT x

x x x x

1 sin

sin cos sin cos é + =

Û êë + + + = x k

x k

2

2

p p

p p

é

= - + ê

Û

ê = + ë

2) Điều kiện: x³1 Nhân vế BPT với x+ +3 x-1, ta được: BPT Û x- +3 x2+2x- ³3 x+ +3 x-1 (*)

Đặt u= x+ +3 x-1 (u³2) Þ x x2 2x u2 2

-+ + - =

(*) Û u2-2u- ³8 Û u³4 Þ x+ +3 x- ³1 Û x2+2x- ³ -3 x Û x 13 ³

Câu III. I = x dx x

2

sin4 sin

4 p

-ò Đặt t 3sin 22 x

= - Þ I = dt

t

4

2

ổ

-ỗ ữ

ố ø

ò = t

1

4

3 =3 Câu IV. Trong (ABC), kẻ CH ^AB (H ABỴ ), suy CH^(ABB A' ')

Do đó: ·(A C ABB A¢ ,( ¢ ¢)) (=·A C A H¢ , ¢ )=·CA H¢ =300

ABC a

S 1AC BC .sin1200

2

D = = ; AB2=AC2+BC2-2AC BC .cos1200 =7a2ÞAB a= ABC

S a

CH

AB

2 21

7 D

= = Þ A C' CH0 21a sin30

= = Þ AA' A C' AC2 a 35

= - =

Þ V S ABC.AA' a3 105 14 D

= = Do CC'P AA'ÞCC' (P ABB A' ') Suy ra: d A B CC( ' , ') d CC ABB A( ',( ' ')) d C ABB A( ,( ' ')) CH a 21

7

= = = =

Câu V. Ta có VT = a b c

ab ab bc bc ac ac

2 2

( +2)(2 +1) (+ +2)(2 +1) (+ +2)(2 +1) =

b b c c a a

a a b b c c

1 1

2 2 + 2 + 2

ỉ + ưỉ + æ + öæ + ö æ + öæ + ö

ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ

è øè ø è øè ø è øè ø

Vì a, b, c dương abc = nên đặt a y b z c x x, y, z

= = = với x, y, z >

Khi VT =

y z z y z x x z x y y x

x x x x y y y y z z z z

1 1

2 2 2

+ +

ỉ ưỉ ö æ öæ ö æ öæ ö

+ + + + + +

ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ

= x y z

y z z y z x x z x y y x

2 2

( +2 )( +2 ) (+ +2 )( +2 ) (+ +2 )( +2 )

Ta có (y )(z z )y yz 2y2 2z2 4yz 2(y z)2 5yz 9(y2 z2)

+ + = + + + = + + £ +

Suy x x

y z z y y z

2

2 2

( +2 )( +2 ) 9³ + (1) Tương tự có y y

z x x z x z

2

2 2

( +2 )( +2 ) 9³ + (2);

z z

x y y x y x

2

2 2

( +2 )( +2 ) 9³ + (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta VT x y z

y z x z y x

2 2

2 2 2

2

ỉ

ỗỗ + + ữữ

+ + +

è ø

Mặt khác x y z

y z x z y x

2 2

2+ + 2+ + 2+ = x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 y2 x2

1 1

( + + )ổỗ + + ửữ-3

+ + +

è ø

= x y y z z x

y z x z y x

2 2 2

2 2 2

1(( ) ( ) ( )) 1 3 1.9 3

2 2

ỉ

+ + + + + ỗ + + ữ- - =

+ + +

è ø

Suy VT

³ = (đpcm) Câu VIa.

1) B d BC= ầ ị B(0; 2) Gi s A a( ;2)ẻd a,( ¹2), C c( ;2+c 3)ỴBC c,( ¹0) AB= -( ;0),a AC= -(c a c; 3),BC=( ; 3)c c

uuur uuur uuur

Þ AB a AC= , = (c a- )2+3 ,c BC2 =2c DABC vuông A r= Þ AB AC

S pr

ì =

í = ỵ

uuur uuur

Û AB AC1AB AC . AB BC AC 3

2

ì =

ï

í = + +

ïỵ uuur uuur

Û a c a ( )

a c a c2 a c c a2 c2

( )

( ) ( ) 3

ì- - = ï

í

- + = + + - +

ïỵ Û

c a a

0

3

ì = ¹ í = + ợ

ị c a A C

c a A C

3 (3 3;2), (3 3;5 3) 3 ( 3;2), ( 3; 3)

é = = + Þ + + +

ê

= = - - Þ - - - - -ë

2) Viết lại

x t

d y t

z t

1

1

1

:

2 ì = + ï = - + í

ï = ỵ

,

x t

d y t

z t

2

2

2 :

1 ì = + ï = í ï = -ỵ

(P) có VTPT nr=(2;1;5)

Gọi A = d Ç d1, B = d Ç d2 Giả sử: A(1 ; 1+ t1 - +t t1;2 )1 , B(2+t t2 2; ;1 )- t2 Þ uuurAB=(t2-2t1+1;t2- + -t1 1; 2t2-2t1+1)

d ^ (P) Û uuur rAB n, phương Û t2 2t1 t2 t1 2t2 2t1

2

- + - + - - +

= = Û tt1

1 ỡ = = -ợ ị A(–1; –2; –2) Þ Phương trình đường thẳng d: x y z

2

+ = + = + Câu VIIa.Điều kiện: x

x 34 é £ -ê >

ë (*) PT Û x x

2

2

log ( +3) +3 log ( +3) -10 0= Đặt t= log (2 x+3) (2 t³0) PT trở thành t2+ -3 10 0t = Û =t

Với t=2 log (2 x+3)2 =2 Û x= -7 Câu VIb.

1) Tọa độđiểm Nđđối xứng với điểm N qua I lỏ N 3;5 ỗ ữ đố ứ

Đường thẳng AB qua M, N¢ có PT: x-3y+ =2 Þ IH d I AB( , )

10 10

- +

= = =

Do AC=2BD nên IA=2IB Đặt IB a= >0

IA2 IB2 IH2 + =

Û a

a2 a2

1 2

8

+ = Û = Đặt B x y( ; ) Do IB= B ABỴ nên tọa độ B nghiệm hệ:

(x ) (y ) y y x yx

x y

x y y

2 2 14 4 3

3 18 16

8

3

3

5 ì

=

ì ì ï

ï - + - = Û - + = Ûï Ú ì = >

í í = - í í =

ỵ

- + = ỵ

ï ï

ỵ =

ïỵ Do xB<3 nên ta chọn B 14 8;

5 ổ ỗ ữ

è ø Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x y- -18 0= 2) Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Þ (Q): x y z+ - - =3

Gọi d = (P) Ç (Q) Þ d: xy t z t

1 ì = ï

= + í ï = ỵ

M ẻ d ị M t(2; 1; )+ t ÞAM= 2t2- +8 11t , AB = 12 DMAB MA = MB = AB 2t2 0t t 18

2 ±

Û - - = Û = M 2;6 18 4; 18

2

ổ

ị ỗ ÷

è ø

Câu VIIb. Xét đa thức: f x( )=x(1+x)2011=x C( 20110 +C12011x C+ 20112 x2+ +C20112011 2011x ) =C20110 x C+ 20111 x2+C20112 x3+ +C20112011 2012x

Ta có: f x¢( )=C20110 +2C20111 x+3C20112 x2+ 2012+ C20112011 2011x ị fÂ(1)=C20110 +2C20111 +3C20112 + 2012+ C20112011 ( )a Mặt khác: f x¢( ) (1= +x)2011+2011(1+x)2010.x= +(1 x)2010(1 2012 )+ x Þ f/(1) 2013.2= 2010 ( )b

Từ (a) (b) suy ra: S=2013.22010

TRUNG TÂM THÀNH ĐẠT Đề số 60

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ): Câu I. Cho hàm số y x= 3-3x2+m2- +m (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu A B cho diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; )

Câu II

1) Giải phương trình:

x x x

x

2

cos 2cos sin

4 0

2cos

p p

æ ổ

- ỗ + ữ ỗ - ÷

-è ø è ø =

2) Giải phương trình: x2- -3 x- +1 x2- - =x (xỴ¡ ) Câu III Tìm nguyên hàm: x

x e

I dx

e =

+ ò

Câu IV Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM a

2

= , cạnh AC cắt MD H Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a

Câu V. Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a b c

a b c b c a c a b

3 3

3 ( )3 ( )3 ( )3

= + +

+ + + + + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có tọa độđỉnh B(3; 5) , phương trình đường cao hạ từ đỉnh A đường trung tuyến hạ từđỉnh C d1: 2x – 5y + = d2: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh A C tam giác ABC

2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1;0;0), C( 1;2;0)- , D( 1;0;0)- , S(0;0; 3) Gọi M, N trung điểm đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM BN vng góc với xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB

Câu VII.a Tìm số hạng chứa x19trong khai triển biểu thức P=(2x-1) (9 x+2)n Biết n

n n n n

C0+C1+C2+ + C =2048 n số nguyên dương B Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x-2)2+ -(y 3)2=2 (C’):

x y

( -1) + -( 2) =8 Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) tam giác ABC có diện tích Gọi M trung điểm CC’ Biết điểm A¢(0; 0; 2) điểm C có tung độ dương Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB¢C¢M

Câu VII.b. Cho hàm số y x x x

2

2

1 + =

+ có đồ thị (C) Tìm m đểđường thẳng d y x m: = + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

Hướng dẫn Đề số 60

Câu I. 2) Ta có y' 3= x2-6x; y' 0= Û3x2-6x= Û =0 x 0;x=2 Þ Hàm số ln có CĐ, CT Các điểm CĐ, CT đồ thị là: A m(0; 2- +m 1), B m(2; 2- -m 3) , AB= 22+ -( 4)2 =2 Phương trình đường thẳng AB: x y m2 m

2

- = - +

Û 2x y m+ - 2+ - =m

ABC m m

S 1d C AB AB( , ) 1.2 m2 m

2 5

D = = - + = - + = Û ê = -é =ëmm 32 Câu II.

1) Điều kiện: 2cosx x l2 p p - ¹ Û ¹ ± + (*)

Khi đó: PT Ûsin 22 x+sin2x- =2 Û x k2 (k )

p p

= + ẻÂ

2) iu kiện: x³ 3 Đặt u= x2-3 (u³0); v= x-1 (v³0)

Ta PT: u v u- + 2-v2 =0 Û(u v- )(1+ + =u v) Û u v= Þ x2- =3 x- Û =1 x Câu III. x

x e

I dx

e =

+

ò Đặt t= ex Þex = Þt2 e dxx =2tdt t

I dt

t

1

Þ = =

+

ò 2t3 t2 2lnt t C

3 - + - + + e ex x ex ex ex C

2 2 2ln 1

3

= - + - + +

Câu IV. Hai tam giác vuông AMD DAC đồng dạng, AM AD

AD DC

1 = = Suy ·ADH DCH=· , mà · ·ADH HDC+ =90o Þ·DHC=90o

DADC vng D: AC2 =AD2+DC2ÞAC a= Trong DADC: DH DC DA a

AC

5

= = ; DDHC vuông H: HC DC2 DH2 4a

= - =

HCD a

S 1DH HC

2

= = Þ VS HCD. 1SH S HCD 4a3

3 15

= =

DSHD vuông H nên: HE a HE2 SH2 HD2

1 1

3

= + Þ = Vậy d SD AC( ; ) HE 2a = =

Câu V. Theo BĐT Cơ-si, với x>0, ta có

x x x x

x3 x x x2 (1 ) (1 2)

1 (1 )(1 )

2

+ + - +

+ = + - + £ = +

Áp dụng kết với a > 0, b > c > 0, ta

( )

a a

b c a b c

a b c b c b c

a a

a

3

3 3 2 2 2

3

2

1 1

1 1

1

1 2

= ³ ³ =

+ + +

ỉ

+ + ỉ + ư + +

+

+ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Tương tự, ta có: b b c c

b c a a b c c a b a b c

3

3+ +( )3 ³ 2+ 2+ 2; 3+ +( )3 ³ 2+ 2+ Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế , ta được:

a b c a b c

a a b b c a c a b a b c a b c a b c

3 3 2

Câu VIa.

1) Gọi M trung điểm AB M Ỵ d2 nên M a( ;5-a) Đỉnh A Ỵ d1 nên A 5b 3;b ỉ -

ỗ ữ

ố ứ M l trung điểm AB: A B M

A B M

x x x

y y y

2 ì + = í + = ỵ

a b a

a b b

4

2

ì - = ì =

Ûí Ûí

+ = =

ỵ ỵ Þ A(1; 1)

Phương trình BC: 5x+2y-25 0= ; C d= 2ầBC ị C(5; 0)

2) uuur uuurAB DC= Þ B(1; 2; 0) M trung điểm SB, N trung điểm CD ÞM 1;1;

2

ổ

ỗ ữ

ỗ ữ

è ø, N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN Vì DONB nằm mp(Oxy) nên tâm I đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy) Gọi I x y( ; ; )0 Ta có: ìíIO INIO IB=

=

ợ ị I

1 7; ;0 6

ổ

ỗ ữ

ố ứ

Câu VIIa. Ta có: 2n = +(1 1)n =Cn0+Cn1+Cn2+ + Cnn =2048 2= 11Þ =n 11 Với n = 11, P=(2x-1) (9 x+2)11

Ta có: (2x-1)9=C90(2 )x 9-C91(2 )x 8+C92(2 )x 7- - C99

(x+2)11=C x110 11+C111 2.x10+C112 92 x +C113 82 x + + C1111 112 Do số hạng chứa x19 là: C90(2 ) x C9 1112.x10-C19(2 )x C x8 1111 =8960x19 Câu VIb.

1) (C) có tâm I(2; 3) bán kính R= 2; (C¢) có tâm I¢(1; 2) bán kính R' 2= Ta cú: II'= 2= -R RÂ ị (C) v (CÂ) tip xỳc ị Ta tip im M(3; 4)

Vì (C) (C¢) tiếp xúc nên chúng có tiếp tuyến chung đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyn l IIuur = - -( 1; 1) ị PTTT: x y+ - =7 0

2) Ta có: AB= SDABC =5 nên AC=2

Vì AA’ ^ (ABC) A, B Ỵ (Oxy) nên C Î (Oxy) Gọi C x y( ; ; )0 ABuuur=(1;2;0),uuurAC=( ; ;0)x y

Ta có: AB AC x y xy xy

AC x2 y2

2 4

2

2 20

ì

ì ^ Û + = Ûì = - Úì =

í = í + = í = í =

-ỵ ỵ

ỵ ỵ Vì yC >0 nên C(–4; 2; 0)

Do CCuuur uuur'=AA' ị CÂ(4; 2; 2), BBuuur uuur'=AA' ị B¢(1; 2; 2) M trung điểm CC¢ nên M(–4; 2; 1) PT mặt cầu (S) qua A, B’, C’ M có dạng: ( ) :S x2+y2+z2+2x+2by+2cz d+ =0

A S

B S a b c d

C S

M S

(0;0;0) ( )

3 3

'(1;2;2) ( ) ; ; ; 0

'( 4;2;2) ( ) 2

( 4;2;1) ( )

ì Ỵ

ïï Ỵ Û = = - = - =

í - Ỵ

ï

- Ỵ

ïỵ

(thoả a2+b2+c2- >d 0) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( ) :S x2+y2+z2+3x-3y-3z=0

Câu VIIb. PT hoành độ giao điểm (C) (d) là:

x x x m f x x m x m x x

2

2

2 ( ) (2 ) 0 (1), 1

1 +

= + Û = + - - = ¹

-+

(d) cắt (C) hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác –1 Û f( 1) 00 m2

1

D ì

ì > Û + > - ạ ớ- ạ

ợ ợ (thỏa mãn với m Ỵ ¡)

Hồnh độ giao điểm (d) (C) là: x1 m m2 4,x2 m m2

2

- - + - + +

= = (x1<x2) Ta có: x1<x2<1 x2 m m2 m2 4 m

2 - + +

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ

Đề số 61

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011–2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 4-2mx2+m (1) , m tham số

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Biết A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ bằng Tìm mđể khoảng cách từđiểm B 3 ; 1

4 ổ ử ỗ ữ

è ø đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A lớn nhất Câu II

1) Giải phương trình: 2.cos5x sin( 2 ) sinx 5 2 cot x x 2

p

p ỉ ư

- + = ỗ + ữ

ố ứ

2) Gii hệ phương trình: x y x y

x y x y

2

4 22 2 32 415 05 0 ìï + + - = í

+ - - - = ïỵ

Câu III Tính nguyên hàm: I x dx

x x2

3 9 1

=

+

-ị

Câu IV. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, hình chiếu vng góc của đỉnh S (ABCD) trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của DACD có độ dài

a 3

2 , góc giữa (SCD) (ABCD) bằng 30

0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Câu V. Cho x y z, , số thực dương thoả mãn x y z³ ³ x y z+ + =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z y

z y 3

= + + II PHẦN RIÊNG(3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo d x y: 3 + - =7 0, điểm B(0;–3) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20

2) Giải phương trình: log(10.5x +15.20 )x = +x log25.

Câu VII.a Cho khai triển (1 + 2x)10 (x2 + x + 1)2 = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14 Hãy tìm giá trị của a6.

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD vng tại A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình d1:3x y- =0, đường thẳng BD có phương trình

2 2 0

d x: - y= , góc tạo bởi hai đường thẳng BC AB bằng 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 điểm B có hồnh độ dương

2)Giải bất phương trình:1 log+ 2x+log (2 x+2) log (6> 2 -x) Câu VII.b Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng:

Hướng dẫn Đề sô 61 Câu I 2) A Cmẻ( ) nờn A(1;1-m) y' 4= x3-4mxịy'(1) 4= - m

Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y- -(1 m)=y¢(1).(x-1) Û (4 )- m x y- -3(1-m) 0= Khi d B

m

( ; )

16(1 )

D = - £

- + , Dấu ‘=’ xảy Û m = Do d B( ; )D lớn m =

Câu II

1) Điều kiện: sin3x¹0

PT Û cos5 ( sin3x x- =1) Û x k2 ;x k2 ;x k

12 10

p p p p p p

= + = + = +

2) HPT Û x y x y

x y

2

2 2

( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) ( 1) ( 2) 10

ìï - - + - + - =

í

- + - =

ïỵ Đặt

u x v y

2 1 ì = í =

-ỵ

Ta có HPT u v uv u v

2 10 4( ) ì + = í + + =

ỵ

u v 31 ì =

Û í = -ỵ ì = -í =uv 31 ỵ Kết luận hệ có nghiệm: (2; 1), (–2; 1), (0; 5)

Câu III I x dx x x x dx x dx x x dx x x

2 2

2 (3 1)

3

= = - - = -

-+

-ò ò ò ò

· I1=ò3x dx x2 = 3+C1 · I2 =òx 9x2-1dx x d x x C

2 2 2

2 9 1 (9 1) (9 1)

18 27

= ò - - = - +

Þ I x x C

3 2 (9 1) 27

= - + +

Câu IV Ta có cos·ACD=600 ÞDACD HC AM a

= = HC CD^ ÞCD^(SHC) Suy ·((SCD ABCD),( ))=·SHC =300 SH HC.tan300 a

2

= = , SABCD AB CH a2

= =

SABCD ABCD a

V 1S SH 3

3 12

Þ = =

Gọi G trọng tâm DABC Ta có GA GB GC a

= = = Do HS HB HA a

= = = nên tam giác GHA, GHB, GHS tam giác vuông nên GA = GB = GS Suy G tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R GC a

3

= = Diện tích mặt cầu S R2 a2 p p

= =

Câu V Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: x xz x z yz z z+ ³2 ; y+ ³2 Suy ra: P x z y x xz z yz y

z y 2

= + + ³ - + - + =2(x z y x y z+ +) ( + + -) xz yz

=2(x z+ +) y2+x y z( - )³2(x z y+ +) =2(3- +y) y2 =(y-1)2+ ³5 (vì y z³ ) Dấu "=" xảy Û x y z= = =1 Vậy minP=5khi x y z= = =1

Câu VIa

1) Ta có B( ; )0 3- Ïd Þ A, C Îd Ph.trình BD: x-3y- =9 Gọi I AC BD= Ç ÞI(3; 2) -Þ D(6; 1)- BD=2 10 Gọi A a( ;7 )- a Ỵd

ABCD a a

S d A BD BD

2 3(7 )

( , ) .2 10 20

1

- -

-= Þ =

+ Û

a a 24 é = ê =

ë Do đó:

A C

A12 1C2 (2;1); (4; 5)

(4; 5); (2;1)

é

-ê

2) PT Û10.5x+15.20x =25.10x Û Û15.4x-25.2x+10 0= Û 2 12 2

3 x x é = ê ê = ë

Û

2 0

2 3 x

x log é = ê

= ê ë

Câu VIIa Ta có k k

k

x 10 10 C10 x

(1 ) (2 )

=

+ = å (x2+ +x 1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 Þ Þa6=C102.22+2.C103.23+3.C104 24+2.C105 25+C106.26 =41748

Cõu VIb

1)D d= 1ầd2ịD( ; )0 0 ºO VTPT đ.thẳng AD BD nr1=(3; 1),- nr2= -(1; 2) ·ADB ·ADB

cos 45

2

= Þ = Þ AD = AB

Vì (·BC AB, )=450 nên ·BCD=450 ÞDBCD vng cân B Þ DC = 2AB

ABCD AB

S 24 1(AB CD AD) 24

2

= Û + = = Þ AB = Þ BD=4 2 Gọi B xB;xB d x2, B

2

ỉ

ẻ >

ỗ ữ

ố ứ

B

B B

x

BD x x

2

2 4 2 10

2

ổ

= +ỗ ữ = Û =

è ø uuur

Þ B 10 10;

5

ỉ

ỗ ữ

ỗ ữ

ố ứ

Đường thẳng BC qua B vng góc với d2 ÞPhương trình BC là: 2x y+ -4 10 0= 2) BPT Û x

x2 x x

2

0

log (2 ) log (6 ) ì < <

í + >

-ỵ

x x2 x

0

16 36 ì < <

Û í + - >

ỵ Û 2< <x Cõu VIIb Xột hm s f x( )=x(1+x)2nị f xÂ( ) (1= +x)2n+2 (1nx +x)2 1n- (1)

Mặt khác: f x( )=x C( 20n+C x C x21n + 22 2n + + C x22nn 2n)

Þ f x¢( )=C20n+2C x21n +3C x22 2n + + (2n+1)C x22nn 2n (2) Thay x= -1 vào (1) (2) ta đẳng thức cần chứng minh

TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đề số 62

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m- , với m tham số thực 1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm sốđã cho ứng với m=1 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1 2, cho x1-x2 £2 Câu II

1) Giải phương trình: x x x

x x

1 cot sin 2 2sin

sin cos 2

2

p ỉ ư

+ = ỗ + ữ

+ ố ứ 2) Giải phương trình: 2log (35 x- + =1) log (235 x+1) Câu III. Tính tích phân: I x dx

x x

1 3 1

+ =

+

ị

Câu IV. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB=1,CC'=m m( >0). Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB' BC' bằng 600

Câu V. Cho số thực không âm x y z, , thoả mãn x2+y2+z2=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A xy yz zx

x y z 5 = + + +

+ + II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6), phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt d1: 2x y- +13 0=

d2: 6x-13y+29 0= Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5;3; 1)- , P(2;3; 4)- Tìm toạđộđỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) :R x y z+ - - =6 0.

Câu VIIa. Cho tập E={0,1,2,3,4,5,6} Từ chữ số của tập E lập được số tự nhiên chẵn gồm chữ sốđơi một khác nhau?

B Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp ( )E đi qua điểm M( 2; 3)- - có phương trình một đường chuẩn x+ =8 0 Viết phương trình tắc của ( ).E

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2)B C mặt phẳng ( ) :a x+2y+ =2 0. Tìm toạđộ của điểm M biết rằng M cách đều điểm A B C, , mặt phẳng ( ).a

Câu VIIb. Khai triển rút gọn biểu thức 1- +x 2(1-x)2+ + n(1-x)n thu được đa thức n

n

P x( )=a0+a x1 + + a x Tính hệ số a8, biết rằng n số nguyên dương thoả mãn:

n n n

C2 C3 1 + 7 = 1

Hướng dẫn Đề sô 62 Câu I 2) Ta có y' 3= x2-6(m+1)x+9

Hàm sốđạt cực đại, cực tiểu x x1, 2 PT y' 0= có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

m m

m

2

( 1)

1

D¢ é > - +

Û = + - > Û ê

<

-ë (1)

Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1);x x1 2=3 Khi đó:

( ) ( )

x1-x2 £ Û2 x1+x2 2-4x x1 2£ Û4 m+1 2-12 4£ Û(m+1)2£ Û - £ £4 m (2) Từ (1) (2) suy giá trị m - £ < - -3 m - +1 3< £m

Câu II

1) Điều kiện: sinx¹0, sinx+cosx¹0 PT cos sinx x sin2x

4 p

ổ ổ ử

ỗ ỗ + ữ- ữ=

ố ứ

ố ứ Û x k

p p

= + ; x k2 , k Z

4

p p

= + Ỵ

2) Điều kiện x

> PT Ûlog (35 x-1)2+ =1 3log (25 x+1) Û(x-2) (82 x- =1) Û x=2 Câu III I x dx

x x

1 3 1

+ =

+

ò Đặt t 3x dx 2tdt

= + Þ =

Þ

t

tdt I

t t 2

2

1 1

3 2

3 ỉ -

+

ỗ ữ

ỗ ữ

ố ứ

=

-ò t dt dt

t

4

2

2

2

2 ( 1)

9 1

= - +

-ò ò t t t

t

3 4

2 ln 100 ln 9

9 2 2 27

ổ

-= ỗ - ữ + = +

+

è ø

Câu IV K BD ABP ÂịÃ(AB BC', ') (=ÃBD BC, ') 60= Þ·DBC' 60= ·DBC' 120= · Nếu ·DBC¢ =600 Ta có: BB' ( ' ' ').^ A B C BD BC= '= m2+1, DC'= Þ DBDC' Do m2+ = Û =1 m

· Nếu ·DBC¢ =1200 Áp dụng định lý Cosin cho DBDC'suy m=0 (loại) Vậy: m=

Câu V Đặt t x y z= + + Þ t2 2(xy yz zx) xy yz zx t2

-= + + + Þ + + =

Ta có 0£xy yz zx x+ + £ 2+y2+z2 =3 nên 3£t2£ Þ9 3£ £t 3 t>0 Khi đó A t

t

3

-= + Xét hàm số f t t t

t 5 3

( ) , 3

2

= + - £ £ Ta có f t t t

t t 2

5

( ) -

¢ = - = > với 3£ £t 3 Suy f t( ) đồng biến [ 3, 3] Do đó f t( ) f(3) 14

3

£ = Dấu đẳng thức xảy t= Û = = =3 x y z Vậy GTLN của A 14

3 , đạt được x y z= = =1 Câu VIa.

Vì A, B, CỴ (C) nên mm n pn p m n p

52

80

50

ì + + + = ï + + + = í ï - - + = î m n p 72 ì = -ï Ûí = ï = -ỵ Suy pt đường tròn: x2+y2-4x+6y-72 0=

2) Gọi I tâm hình vng Þ 7 3 5

2 2

Iổỗ ; ;- ửữ

ố ứ Gi N a b c( ; ; ) ( )Ỵ R MP= -( ; ; )3 3

-uuur

7 5

3

2 2

IN =ổỗa- ;b- ;c+ ửữ

ố ứ

uur

; MP=3 2 Þ 3 2 2

IN =

Ta có: 3 2 2 N R IN MP IN ( ) ì Ỵ ïï ^ í ï = ïỵ uur uuur Û 2 6 0 7 5

3 3 0

2 2

7 5 9

3

2 2 2

a b c

a c

a (b ) c

ì + - - = ù ổ ử ổ ử ù- ỗ - ữ- ỗ + ữ= ố ứ ố ứ ớ ùổ ử ổ ử ù -ỗ ữ + - +ỗ + ữ = ố ứ ố ứ ợ

2 3 1

3 1 2

a b c

a ,,b ,,c é = = = -ê = = = -ë

·Nếu N(2;3 1)- Q(5;3; 4).- · Nếu N(3;1; 2)- Q(4;5; 3) -Câu VIIa Giả sử abcd số thoả mãn YCBT Suy dỴ{0, 2, 4, 6}

· d =0 Số số abc A63 · d =2 Số số abc A63-A52 · Với d=4 d=6 kết giống trường hợp d=2

Do ta có số số cần tìm A63+3(A63-A52)=420 Câu VIb

1) Giả sử E x y a b a b

2 2

( ) : + =1 ( > >0) Ta có: a b a

c 2

4 9 (1) (2) ì + = ïï í ï = ïỵ Û 2 2

2 16 12

13 39

52

2 4

c a b

c a b

, , , , é = = = ê ê = = = ë

Þ ( ) :E x2 y2 16 12+ =

x y E 2

( ) :

39 52

4 + = 2) Giả sử M x y z( ; ; )0 0

Ta có:

MA MB MB MC MA d M( ,( )) ì =

ï = í ï =

ỵ a

x y z x y z

x y z x y z

x y

x y z

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0 0

2

2 2 0

0 0

( 1) ( 1) (1)

( 1) ( 3) ( 2) (2)

( 2)

( 1) (3)

5 ì - + + = + - + ï ï Ûí + - + = + - + -+ + ï - + + = ïỵ

Û 0

0

1 1 2

23 23 14

3 3 3

x y z

x y z

, , , , é = = = ê ê = = = -ë

Þ M(1; 1; 2) M 23 23; ; 14

3 3

ổ

-ỗ ÷

è ø

Câu VIIb Ta có

n n

n n

C2 C3 n n n n n n

1 2 7.3! 1

( 1) ( 1)( 2) ì ³ ï + = Û í + = ï - - -ỵ n n

n2 n

3 9.

5 36 ì ³

Ûí - - = Û = ỵ

Suy a8 hệ số x8 biểu thức 8(1-x)8+9(1-x) Đó 8.C88+9.C98 =89

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

Đề số 63

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): Câu I: Cho hàm số y x

x 2

1 -=

+ (C)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Tìm mđể đường thẳng d y: = 2x m+ cắt đồ thị (C) tại điểm phân biệt A, B cho AB = 5

Câu II:

1) Giải phương trình: 2cos5 cos3x x+sinx=cos8x 2) Giải hệ phương trình: x y x y y

x y

2 (1)

5 (2)

ìï + + - = í

+ =

ïỵ

Câu III: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y= ex+1, trục hoành, x = ln3 x = ln8

Câu IV: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a cắt tại O Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a

4 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu V: Cho số thực x, y thoả x y, >1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y x y x y 3 2

( ) ( )

( 1)( 1)

+ - +

=

- -

II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx+4 0y= , đường trịn (C): x2+y2-2x-2my m+ 2-24 0= có tâm I Tìm m để đường thẳng D cắt đường trịn (C) tại hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB bằng 12

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y z

2 1

+ = - =

; d2: x y z

1

- = - = +

mặt phẳng (P): x y- -2z+ =3 0 Viết phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d2

Câu VII.a Giải bất phương trình: 2log22x+x2log2x-20 0£ B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x y- - =2 0, phương trình cạnh AC: x+2y- =5 0 Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC

2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x y z

1

-

-= = điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng D đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng D mặt phẳng (P) bằng

Câu VII.b Giải phương trình nghiệm phức : z i z

Hướng dẫn Đề sô 63

Câu I 2) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: 2x2+mx m+ + =2 0(x¹ -1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt A, B Û (1) có nghiệm phân biệt khác –1

Û m2-8m-16 0> Û 4 2 4 2 m

m é < -ê

> +

ë (2)

Khi A x x( ;1 2 1+m B x), ( ;2 2x2+m) với x x1, 2 nghiệm (1) Do đó:

m x x

m x x

1 2

2 2 ì

+ = -ïï

í +

ï =

ïỵ 5

AB = Û (x1-x2)2+4(x1-x2)2 =5 Û m2-8m-20 0= Û m=10; m= -2 (thoả (2)) Câu II

1) PT Û 2sin2x-sinx- =1 0 Û 1 1 2 x x sin sin é = ê

= -ê

ë

Û x k2 ;x k2 ;x k2

2 6

p p p p p p

= + = - + = +

2) Điều kiện: x³0,y³0, x y- ³0

Ta có: (1) Û 2x+2 x2-y2 =4yÛ x2-y2 =2y x- y x yy x y2 xy y x

2 (3)

2

0 (4)

5 5 4

ì - ³

ì - ³ ï

Ûí = Û é =í ê

ỵ ïỵë =

· Với y=0 Từ (2) ta x=9, không thoả (3)

· Với 5y=4x Từ (2) ta x+2 x = Û =3 x Þ 4 5 y= Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y 1;4

5 ổ = ỗ ữ ố ø Câu III S ex dx

ln8 ln3

1

= ò + Đặt t= ex+ Û1 t2=ex+ Þ1 ex = -t2

Þ S t dt dt

t t

3

2

2

2 2

1

ổ

= = ỗ + ÷ =

- è - ø

ị ị t t

t

1

2 ln ln

1 2

æ + - = +

ỗ + ữ

ố ø

Câu IV Tam giác ABO vuông tại O AO = a 3, BO = a , ·ABD=600 ÞDABD

Gọi H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH^AB DH = a 3; OK // DH a

OK 1DH

2

= = Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)

Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Trong DSOK, ta có: SO a OI2 OK2 SO2

1 1

2

= + Þ =

ABCD ABO

S =4SD =2 .OA OB=2 3a2 Þ VS ABCD. 1SABCD.SO 3a3

3

= =

Câu V Đặt t x y t= + , >2 Áp dụng BĐT: 4xy£(x y+ )2, ta có: xy t2 £ t t xy t

P

xy t

3 (3 2)

- -

-=

- + Do 3t- >2 0và

t xy

4

- ³ - nên ta có:

t t

t t t

P

t t t

2

3 2

2

(3 2)

2

4

-³ =

Xét hàm số f t t f t t t

t t

2

2 ( ) ; ( )

2 ( 2)

-¢

= =

- - f t¢ = Û =( ) 0 t 0;t=4 Dựa vào BBT, ta suy ra: minP = f t

(2;min ( )+¥) = f(4) = đạt

x y x

xy 4 y 22 ì + = Ûì =

í = í =

ỵ ỵ

Câu VIa

1) (C) có tâm I m( ; )1 , bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB

m m m

IH d I

m2 m2

4

( , )

16 16

+

= D = =

+ + ;

m AH IA IH

m m

2 2

2 2

(5 ) 20

25

16 16

= - = - =

+ +

IAB

SD =12 Û d I AH m m m

m

2

( , ) 12 25 48 16

3 é = ± ê

D = Û - + = Û

= ± ê ë

2) Gọi A = d1 ÇD, B = d2ÇD Vì DÌ (P) nên A = d1 ầ (P), B = d2ầ (P) ị A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) ÞD đường thẳng AB Þ Phương trình D: x y z

1

- = = Câu VIIa BPT Û 24log22x+x2log2x-20 0£ Û

2 2 2

4 t 2 t 20 0 t log x

ì = ï í

+ - £

ïỵ Û

2 2

2 1

20 0 t

y y

y y

, ìï = ³ í

+ - £ ïỵ

2

2 1

5 4

t

y y

y , ì = ³ Û í

- £ £

ỵ Û

t2 t

2

2 £ Û4 £2 Û - £ £1 t Û - £1 log2x£1 Û x 2£ £ Câu VIb

1) A AB AC= ầ ị A(3; 1) Gi B b b( ; - Î2) AB C, (5 2- c c; )ÎAC Do G trọng tâm DABC nên ì + + -í + - + =13 bb 25 2cc=69

ỵ Û

b c 25 ì = í =

ỵ Þ B(5; 3), C(1; 2) Þ Phương trình cạnh BC: x-4y+ =7 0

2) Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz+ + +2b=0 (a2+b2+c2¹0) Dđi qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP ur=(1;1;4)

Ta có:

a b c

P a b

d A P

a2 b2 c2

( ) 5

4 ( ;( ))

ì + + = ï

ìD Û +

í = í =

ỵ ï

+ + ỵ

P Û a c

a 42c ì = í =

-ỵ

· Với a=4c Chọn a=4,c= Þ = -1 b 8Þ Phương trình (P): 4x-8y z+ -16 0= · Với a= -2c Chọn a=2,c= - Þ =1 b 2 Þ Phương trình (P): 2x+2y z- + =4 0 Câu VII Giả sử z a bi a b R a= + ,( , ẻ , 2+b2ạ0) ị z a bi a bi

z a bi a b2

1

;

-= - = =

+ +

Khi PT a bi a bi i a2 b2

25( - ) 6

Û - + =

-+ Û

a a b a b

b a b a b

2 2

2 2

( 25) 8( )

( 25) 6( )

ìï + + = +

í

+ + = +

ïỵ Û

4 3 a b ì = í = ỵ Vậy: z= +4 3i

SỞ GD&ĐT TP ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Đề số 64

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y f x= ( )=x4-2x2

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ lần lượt a b Tìm điều kiện đối với a bđể hai tiếp tuyến của (C) tại A B song song với

Câu II

1) Giải phương trình lượng giác: x x

x x x

1 2(cos sin )

tan cot 2 cot 1 -=

+

-2) Giải bất phương trình: 3 x2 x 1 x 1(x )

3

1

log 5 6 log 2 log 3

2

- + + - > +

Câu III Tính tích phân: I x 4x 4x dx

cos2 (sin cos )

p

= ò +

Câu IV Cho một hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ một góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích của hình trụ

Câu V. Cho phương trình x+ 1- +x 2m x(1-x) (1- 4x -x)=m3 Tìm mđể phương trình có một nghiệm nhất

II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng D định bởi:

C x2 y2 x y x y

( ) : + -4 -2 =0; D: +2 -12 0= Tìm điểm M D cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến với (C) hai tiếp tuyến lập với một góc 600

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0) Tìm tọa độ tâm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu VII.a Có 10 viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi vàng Các viên bi màu đều có bán kính khác Hỏi có cách chọn viên bi có đủ ba màu?

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng d x y: - - =3 0 có hoành độ xI 9

2

= , trung điểm của một cạnh giao điểm của d trục Ox Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình là:

S x2 y2 z2 x y z P x y z

( ) : + + -4 +2 -6 + =5 0, ( ) : 2 +2 - +16 0= Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác định vị trí của M, N tương ứng

Câu VII.b Cho a b c, , số dương thỏa mãn: a2+b2+c2=3 Chứng minh bất đẳng thức

a b b c c a a2 b2 c2

1 1 1 4 4 4

7 7 7

+ + ³ + +

+ + + + + +

Hướng dẫn Đề sô 64

Câu I 2) Ta có f x'( ) 4= x3-4x Gọi a, b hoành độ A B (a b¹ ) Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B là: kA = f a'( ) 4= a3-4 ;a kB= f b'( ) 4= b3-4b Tiếp tuyến A, B có PT là: y f a x f a af a= '( ) + ( )- '( ); y f b x f b bf b= '( ) + ( )- '( ) Hai tiếp tuyến song song trùng Û kA =kB Û(a b a- )( 2+ab b+ 2- =1) (1) Vì a b¹ nên (1) Û a2+ab b+ 2- =1 (2)

Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi:

a ab b (a b) a ab b

f a af a f b bf b a a b b

2

2

4 04

( ) '( ) ( ) '( ) 3

ì

ì + + - = ¹ Ûï + + - =

í - = - í

- + = - +

ï

ỵ ỵ

Giải hệ ta nghiệm ( ; ) ( 1;1)a b = - ( ; ) (1; 1)a b = - , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( 1; 1)- - (1; 1)-

Vậy hai tiếp tuyến (C) A B song song với Û a2+ab b+ 2- =1 0;a¹ ±1;a b¹ Câu II

1) Điều kiện: cos sin2 sin (tanx x x x+cot ) 0; cotx ¹ x¹1 (*) PT Û2sin cosx x= sinx cosx x k2

2

p p

Û = Û = - +

2) Điều kiện: x>3 BPT [ x x ] x x

3

log ( 2)( 3) log

3 ỉ -

- - > ỗ ữ

+

ố ø x x

2 9 1 10 Û - > Û >

Câu III I x x dx 2 x d( x)

0

1 1

cos2 sin sin sin2

2 2

p p

ổ ổ

= ỗ - ữ = ỗ - ữ =

ố ứ è ø

ò ò

Câu IV Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB CD Khi OM^AB O N CD' ^ Gọi I giao điểm MN OO’ Đặt R = OA h = OO’

Khi đó: DIOM vng cân O nên: OM OI 2IM h a h a

2 2 2

= = Þ = Þ =

Ta có: R2 OA2 AM2 MO2 3a2

= = + = V a3

16 p

Þ = , Sxq a2 p =

Câu V Điều kiện: 0£ £x Ta nhận thấy PT đối xứng x 1-x Do xỴ ë ûé0;1ù thỏa mãn PT 1-x thỏa mãn PT Do để (1) có nghiệm cần có điều kiện

x x x

= - Þ = Thay x

= vào PT ta được: m m3 mm 01

2

ì = + - = ị =

ợ Ã Vi m=0 thỡ PT trở thành: (4x 41 x)2 x

2

- - = Û = Þ PT có nghiệm · Với m= -1 PT trở thành: x+ 1- -x (1x -x) (1- 4x -x)= -1

(4x 41 x) (2 x x)2

Û - - + - - = Û x x x

x x

4 41 0 1

2

1

ìï - - = Û = í

- - =

ïỵ Þ PT có nghiệm · Với m=1 PT trở thành: x + 1- -x 2 (14x -x) (1= - x -x)

(4x 41 x) (2 x x)2

Û - - = - - Û x 0,x

2

= = Þ PT khơng có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm m=0,m= -1

Câu VIa

Mặt khác M ỴD nên: x y x y

2

( 2) ( 1) 20 12

ì - + - = í + - =

ỵ Û

x y

x y

9 3;

2 27; 33

5 10

é

= = ê

ê

ê = =

êë

Vy M 3;9 ổ ỗ ữ

è ø M

27 33; 10

ổ

ỗ ữ

ố ứ 2) Ta tính AB CD= = 10,AC BD= = 13,AD BC= = Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đơi Từđó ABCD tứ diện gần Do tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trọng tâm G tứ diện

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm G 3;0;3 2

ỉ

ỗ ữ

ố ứ, bỏn kớnh l R GA 14 = = Cách khác: Ta xác định toạđộ tâm I mặt cầu thoảđiều kiện: IA = IB = IC = ID. Câu VIIa Số cách chọn viên bi tùy ý : C189 (cách)

· Số cách chọn viên bi có màu: C109 (cách, bi đỏ) · Số cách chọn viên bi có hai màu:

+ đỏ, xanh: C159 -C109 (cách) + đỏ, vàng: C129 -C109 (cách) + xanh, vàng: khơng có Þ Số cách chọn viên bi có đủ ba màu: C189 -(C109 +C159 -C109 +C129 -C109 )=42910 Câu VIb

1) I 3; 2 ổ ỗ ữ

è ø Giả sử trung điểm M cạnh AD giao điểm d OxÞ M(3; 0) AB=2IM=3 2; SABCD AB AD AD SABCD

AB

12 2

= = Û = = Þ MA MD= = AD d

M AD ỡ ^ ẻ

ợ ị phng trỡnh AD: x y+ - =3 Vậy tọa độ A, D nghiệm hệ: x y

x y2

( 3)

ì + - = ï

í

- + =

ïỵ Û

x y 12 ì = í =

ỵ x y 41 ì = í = -ợ Vy A(2; 1), D(4; 1) ị C(7; 2), B(5; 4)

2) (S) có tâm I(2; –1; 3) R = d d I P= ( ,( )) 5= >R Do (P) (S) khơng có điểm chung Þ minMN = d – R = – =

Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễ thấy N0 hình chiếu vng góc I mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S)

Gọi D đường thẳng qua điểm I vng góc với (P), N0 giao điểm D (P) PT đường thẳng D:

x t

y t

z t 2

1 ì = + ï = - + í

ï = -ợ

ị N0 13 14; ; 3

ổ

-ỗ ữ

è ø Ta có IM0 IN0 . = uuuur uuur

Suy M0(0;–3; 4)

Câu VIIb Áp dụng bất đẳng thức: x y x y x y

1 1+ ³ 4 ( 0, 0)> > +

Ta có:

a b b c a b c b c c a a b c c a a b a+b+c

1 ; 1 ; 1

2 2

+ ³ + ³ + ³

+ + + + + + + + + +

Ta lại có: a b c a b c

a b c a2 b2 c2 a2 2

1 2 2 4 4 2 2 0

2 + + ³2 + + +4= +7Û + + + - - - ³ a b c

2( 1) ( 1) ( 1)

Û - + - + - ³ Tương tự:

b c a b2 c a b c2

1 ;

2 + + ³ +7 + + ³ +7 Từđó suy

a b b c c a a2 b2 c2

1 1 4

7 7

+ + ³ + +

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT PHƯƠNG SƠN

Đề số 65

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I. Cho hàm số y 1x4 2mx2 m

4

= - + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=1

2) Tìm giá trị của tham sốmđểđồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trịđó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

Câu II

1) Giải phương trình: x x x

x x

2cos 3

(2sin 1)tan

sin 1 cos

- = +

2) Giải hệ phương trình: x y( x )

y2 y x x

2 1 1 2 1 8

2 1 2 13 ì - - + = -ï

í

ï + - + = ỵ

Câu III Tính nguyên hàm: I x x dx

x x

2

8cos sin 2 3 sin cos

-

-=

-ò

Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên của hình chóp bằng bằng a 2

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

2) Gọi M, N, E, F lần lượt trung điểm của cạnh AB, CD, SC, SD Chứng minh đường thẳng SN vng góc với mặt phẳng (MEF)

Câu V Cho x y z, , số thực dương thoả mãn: 2 xy+ xz =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P yz zx xy

x y z

3 4 5

= + + II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn. Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0) đường chéo BD có phương trình d x y: – + =1 0 Tìm toạđộ đỉnh B, C, D , biết BD=4 2

2) Cho lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác đều Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC bằng 18 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Câu VII. Giải phương trình: 1log (2 x 3) 1log (4 x 1)8 log 42 x

2 + + 4 - =

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; 2)- đường cao AH x y: - + =3 0 Tìm tọa độ đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d x y:2 + - =1 0 diện tích tam giác ABC bằng

2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a; AC = 2a; AA' 5;= a BAC· =1200; I trung điểm của CC’ Chứng minh rằng IB IA^ ' tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IA’B)

Câu VIIb Giải hệ phương trình: logx2(yy 23x 7)y x63 1 2.8 2 + 17.2 +

-ì + + =

ï í

+ = ïỵ

Hướng dẫn Đề sô 65 Câu I 2) y x mx y x mx x

x m

3

2

4 ;

4 é = ¢= - ¢= Û - = Û ê

=

ë Þ Hàm số có ba cực trịÛ m>0 Khi ba cực trị hàm số : A(0;m B), (2 m m; -4m2) (,C -2 m m; -4m2)

A, B, C tạo thành tam giác cân đỉnh A Gọi H trung điểm BC Þ H(0;m-4m2)

ABC

S 1AH BC 14 4m2 m 8m m2

2

D = = = SDABC =32 2Û8m m2 =32 2Û =m

Câu II

1) Điều kiện: cosx¹0 PT Û x x k k Z

x k

2

1 6

sin 5 ( )

2 2

6

p p

p p

é

= + ê

= Ûê Ỵ

ê = + êë

2) Điều kiện: x

³ Đặt t= 2x-1,t³0 HPT trở thành: t y t t y ty

y2 yt t2 t y ty

(1 ) 8

12 ( ) 12

ì - + = - Ûì - - =

-í + + = í - + =

ỵ ỵ Û

2 8

3 2

t y ty

t y

t y

ì - - = -ïïé =

íê ï + =ê ïë ỵ · Với t y 2ty 8

t y

ì - - = -ớ =

ợ ị t y= =2 Þ t x x

2 2

2

= Þ - = Û = Vậy x y

5 2 ìï = í ï = ỵ

nghiệm

· Với

2 8

3 2 t y ty y t

ì - - = -ï

í = +

ùợ ị t t t (dot )

2 61

4 13 0

4 - +

+ - = Û = ³

y y

x x

3 61

3 61

4

2

43 61 61

2

16

ì

ì - + +

=

= + ï

ïï ï

Þí Ûí

+

ï - = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Vậy hệ pt có hai nghiệm ( )x y; 5;2 , 43 61 3; 61

2 16

ìỉ ư ỉ - + ưü

ï ù

=ớỗ ữ ỗỗ ữữý ố ứ

ù ố ứù

ợ ỵ

Cõu III I x x xdx ( x x x x dx)

x x

2

(sin cos ) 4cos2 sin cos 4(sin cos sin cos

- + é ù

= = ë - - + û

-ò ò

x x C

3cos 5sin

= - +

Câu IV 1) Gi O = AC ầ BDị SO^(ABCD) AC AB2 BC2 a AO a

= + = Þ =

a SO2 SA2 AO2

4

= - = SO a

2

Þ = Þ VS ABCD. 1SO S ABCD a3

3

= =

2) Gọi K trung điểm EF, K trung điểm SN SM MO2 SO2 a2 3a2 a

4

= + = + =

Þ SM MN= ÞDSMN cân M Þ SN MK^ Mặt khác SN EF^ Þ SN^(MEF) Câu V Ta có: P yz zx xy yz zx yz xy zx xy

x y z x y x z y z

3 ỉ 2ỉ 3ỉ

= + + =ỗ + ữ+ ỗ + ữ+ ỗ + ữ

ố ứ ố ứ ố ø

yz zx yz xy zx xy z y x x y x z xy xz

x y x z y z

2 2.2 3.2 4( ) 2( ) 4.2 2.2

( xy xz)

4

= + = Dấu đẳng thức xảy : x y z x y z xy xz

1

2

ì = = Û = = =

í + =

ỵ Vậy Pmin 4khi x y z

3

= = = =

Câu VIa

1) AC ^ BD Þ Phương trình AC: x y+ - =1 0 Gi I AC BD= ầ ị I(0;1) ÞC(-1;2) 4 2

BD= Þ IB=2 2 PT đường trịn tâm I bán kính IB=2 2: x2+( )y-1 2=8 Toạđộ B, D nghiệm hệ : x ( )y x B(( ) (D) ( ))

B D

y x x y

2

2 1 8 4 2;3 , 2; 1

2; , 2;3

1

ì ì é

-ï + - = Û = Û ê

í í = +

+ = ỵ ê

ï ë

ỵ

2) Gọi AK đường cao tam giác ABC Giả sử CK = x Ta có A K BC' ^ ịẳAKA' 30=

AK AK x

A K' 0 ; AK=2 x A K' 2x A A AK' tan300 x

3 cos30

= = = Þ = Þ = =

A BC ABC A B C

S ' =CK A K Â =18ịx x.2 =18ị = ịx V ' ' ' =CK AK AA ¢=x3 27 3= Câu VIIa Điều kiện: 0< ¹x PT Û(x+3)x- =1 4x

· Với x>1 PT Û x2-2x= Û =0 x

· Với 0< <x PT Û x2+6x- = Û =3 x 3 -Vậy tập nghiệm PT T ={2;2 3- }

Câu VIb

1) Phương trình BC x y: + + =1 C = BC ầdị C(2, 3- )

Gi A x y( 0 0; ),A AHẻ ịx0-y0+ =3 (1); BC 2,AH d A BC( , ) x0 y0 + +

= = =

ABC

x y x y

S AH BC 0 x0 y0

0

1 1 (2)

1 . 1 1. 1

1 (3)

2 2

D

+ + é + + =

= = Û = Û ê + + =

-ë Từ (1) (2) yx0 A( )

0

1 1;2

2 ỡ =

-ịớ = ị

-ợ Từ (1) (3) ( )

x A

y00

3 3;0

0 ì =

-ịớ = ị -ợ

2) Ta cú:

IA'2=A C' '2+IC'2=9 ;a BC2 =AB2+AC2 =7 ;a BI2 =BC2+IC2=12a2 A B' 2=AA'2+AB2 =21a2ÞA B' =IA'2+BI2ÞIB IA^ '

Hai hình chóp IBAA’ CBAA’ có chung đáy tam giác BAA’ đường cao nên thể tích

Vậy: VI BAA. ' VC BAA. ' 1AA S' ABC a3 15 d A IA B( ,( ' )) a

3 3

= = = Þ =

Câu VIIb logx2(yy 23x 7)y x6 (1)3 1 2.8 + 17.2 + - (2)

ì + + =

ï í

+ =

ïỵ

(1)Û3x y+ + = Û = -7 y 3x

Thay vào (2) ta được: 2.23x+23 3- x =17 Û xx 11 ( 2)(yy 2)

é = = -ê

= - = ê

ë Vậy hệ pt có hai nghiệm ( ) ( )x y; 1; , 1;2

3

ì ổ ửỹ

ù ù

=ớ - ỗ- ữý

ù ố ứù

ợ ỵ

SỞ GD&ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ

Đề số 66

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

3

= - + + + (1) (m tham số thực) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị (1) nằm phía (phía phía ngồi) đường trịn có phương trình (C): x2+y2-4x+ =3

Câu II

1) Giải phương trình: x x x x

2

cos2 sin2 6sin 2cos

2

+ +

=

2) Tìm mđể bất phương trình sau nghiệm với " Î ë ûx é0;2ù: (x2+2)2+ £m x x2+ +4 Câu III Tìm nguyên hàm: I = x x dx

x x

+ +

ị

Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân, đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD, chiều cao đáy a (a > 0) Bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài 4a Tính thể tích khối chóp theo a

Câu V Cho a, b, c số thực thoả mãn: ì > -í +(aa 1)(1,b b> -2) (2, cb> -2)(3c 3) (c 3)(a 1) 3

+ + + + + + + =

ỵ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S =

a b c a b b c c a

1

( +1)( +2)( +3) +( + +3)( + +5)( + +4) II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm):

A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ( ) :d1 x y+ + =1 0, ( ) : 2d2 x y- - =1 Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(1; –1) cắt ( )d1 ( )d2 A B thỏa mãn:

MA MB 2uuur uuur uur+ =

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b c bc

2

+ = Từ đó, tìm b, cđể diện tích tam giác ABC nhỏ

Câu VIIa Giải bất phương trình sau tập số thực: log (4 x2- - £ +x 8) log3x B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD) Biết A(0; 2), D(–2; –2) giao điểm I AC BD nằm đường thẳng có phương trình d x y: + - =4 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang góc ·AOD=450

2) Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y– +2z–3 0= hai đường thẳng (d1), (d2)

có phương trình x y z

2

- = - =

-

x y z

2

+ = + =

Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), cắt ( )d1 ( )d2 A B cho AB =

CâuVII.b Giải bất phương trình sau tập số thực: (6x x x4)(2x2 10x 9)

8

-+ - + + ³

-

Hướng dẫn Đề số 66 Câu I 2) y¢ =x2-2(m+1)x y¢ = Û ê =0 é =xx 02(m 1)

+

ë Hàm số có cực trịÛ m ¹ -1 (1) Gọi hai điểm cực trị đồ thị là: A 0; (4 m 1)3

3

ổ

+

ỗ ÷

è ø, B m(2( +1);0) (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = IA 16(m 1)6

9

= + + , IB= 4m2

A, B nằm hai phía (C) Û (IA2-R IB2)( 2-R2) 0< Û 4m2 1 m

2

- < Û - < < (2) Kết hợp (1), (2), ta suy ra: m

2

- < < Câu II

1) Điều kiện: cosx¹0 PTÛsinx- cosx- =2 (vì sinx- ¹1 0) Û x k2

p p

= + 2) Đặt t x x= 2+4, 0£ £t PT trở thành: t2+ £ +m t Û - + + ³t2 t m (*) Xét hàm số y= - + +t2 t éë0;4 2ùû

Dựa vào BBT ta suy BPT (*) nghiệm với " Ỵ ët é0;4 2ùû Û £ - +m 29 Câu III I = x x dx

x x

+ +

ò x dx x dx

x x x x

2

1

= +

+ +

ò ò

· I x dx x x

1 =

+

ò Đặt t = 1+x x Û - =t2 x x Ûx3=(t2-1)2 x dx2 ( 1)t t2 dt

Û =

-Þ 4(t2 1)dt 4t3 4t C - =9 -3 +

ò = ( x x) x x C

3

1

4 1 1

9 + -3 + +

· I x dx x x

1 =

+

ò = d x x

x x

(1 )

2

3 1

+ +

ò = x x C2

3 + +

Vậy: I 1( x x)3 C

= + +

Câu IV Gọi H chân đường cao hình chóp Khi H cách cạnh đáy Þ H tâm đường tròn (C) nội tiếp tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Þ MN = a

Giả sử ( C) tiếp xúc với BC E HM = HN = HE = a

2; SE = SM = SN = 4a SH 63a

2

Þ = Đặt CN = x (x > 0) BM = 4x, CE = x, BE = 4x HBC

D vuông H nên HE2=EB EC. Þ a2 4x2 x a CD a,AB 2a = Û = Þ4 =2 = Suy S ABCD a2

4

= Vậy VS ABC. a2 631 a 63a3

3 24

= =

Câu V Đặt x a= +1; y b= +2; c z= +3 Từ GT Þ xy yz zx+ + =3 (*) với x ,y , z dương Bài tốn trở thành: Tìm Min S =

xyz x y y z z x

1

( )( )( )

+

+ + + với điều kiện (*) Từ (*) Þ xyz£1 Khi ta có P =

xyz x y y z z x xyz x y y z z x

1 2

2 +( + )( + )( + )³ ( + )( + )( + ) Mà 3(xy xz yx yz zx zy)( )( ) 2(xy yz zx)

3 + +

Vậy S P xyz

1

2

= + ³ minS

Þ = a=0,b= -1,c= -2 Câu VIa

1) Aẻ( ),d B1 ẻ( )d2 ị A x( ;1 - -x1 1), ( ;2B x2 x2-1) uuurMA=(x1- -1; x1), MBuuur=(x2-1;2 )x2 MA MB

2uuur uuur r+ =0 xx1

1 ì =

Û =ợ ịMBuuur=(0;2) Vy (D): x=1 2) Phng trỡnh mp (P) có dạng: x y z

b c

2+ + = Vì MỴ( )P nên 1 12+ + =b c Û

bc b c

2 + = Ta có uuurAB( 2; ;0)- b , ACuuur( 2;0; ).- c Khi S= b2+c2+ +(b c)2

Vì b2+c2³2 ; (bc b c+ )2³4bc nên S³ 6bc

Mà bc=2(b c+ ³) bcÞbc³16 Do S³ 96 Dấu "=" xảy Û b c= =4 Vậy: minS= 96 b c= =4

Câu VIIa Điều kiện x 32 +

> Đặt t=log3xÞ =x 3t BPT trở thành: 4.4t- - £t t

t t t

4 1

4

9

ỉ ỉ ỉ ỗ ữ ỗ ữ+ + ỗ ữ

è ø è ø è ø Xét hàm số:

t t t

f t( ) 4

9

ỉ ổ ổ = ỗ ữ +ỗ ữ + ỗ ữ

ố ứ ố ứ ố ứ Hàm số ln nghịch biến Ta có: f(2) 1= Do đó: f t( ) 1³ = f(2)Û £t Û x£9

Vậy BPT có tập nghiệm S 32 ;9

æ + ù

= ỗ ỳ

ố ỷ Cõu VIb

1) I dẻ ịI x( ;4-x) AD=2 5;IA= 2x2-4x+4; ID= 2x2-8x+40 Trong DAID có: IA ID AD ·AID

IA ID

2 2

cos

+ - = x

x 24 é = Þ ê =ë · Với x=2 Þ IA = 2, ID = ID ID IB

IB

Þuur= - uur ÞB(2+ 2;2+ 2), C(2 2;2 2+ + ) · Với x=4 ÞB(4 2;2+ + 2), C(4 2; 2+ - )

2) AỴ( )d1 Þ A (4 ;1 ; )+ t + t t- ; Bẻ( )d2 ịB( ; ;7 )- + t¢ - + t¢ - t¢ AB= - +( 2t¢-2 ; 3t - + t¢-2 ;7 2t - t t¢+ )

uuur

, nrP=(2; 1;2)- Từ giả thiết ta có: AB nP

AB

ì =

í = ỵ

uuur r

Û ì =ớ = -tt 21

ợ ị A(2; 1;1),- AB= -( 1;2;2) uuur

Þ Phương trình đường thẳng (D): x y z

1 2

- = + =

Câu VIIb Xét hàm số f x( ) 6= x-3+ -x Hàm số đồng biến f(3) 0= Xét hàm số g x( ) 8= x-2-1 Hàm số đồng biến g(2) 0=

Do BPT trở thành x x x x

2

( 3)( 10 9) 0

- + + ³

- Lập bảng xét dấu ta suy tập nghiệm BPT là:

( ] [ ) [ )

S= -¥ - È -; 1;2 È 3;+¥

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

Đề số 67

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-3mx+2 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số ( )C1 m=1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm)có tiếp tuyến tạo với đường thẳngd x y: + + =7 0 góc a , biết cos

26 a = Câu II

1) Giải phương trình: 2cos3 cosx x 3(1 sin2 ) cos 2x x p

ổ

+ + = ỗ + ÷

è ø

2) Giải phương trình: x+ =3 3x+ + -1 x Câu III Tính tích phân:

( x )

dx I

e 3ln2

2

0 2

=

+ ị

Câu IV Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A, AB a= 2 Gọi I trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vng góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn

IA= -2IH uur uur

Góc giữa SC mặt đáy (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).

Câu V Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2 =1 Chứng minh rằng:

a a a b b b c c c

b c c a a b

5 5

2 2 2

2 2

3

- + + - + + - + £

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I giao điểm của đường thẳng d x y: - - =3 0 d x y' : + - =6 0 Trung điểm một cạnh giao điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- N( 1;1;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N cho khoảng cách từ K(0;0;2) đến (P) đạt giá trị lớn nhất

Câu VII.a Cho khai triển n n nk n k k k

a b C a b

0

( )

-=

+ = å với quy ước số hạng thứ i của khai triển số hạng ứng với k i= -1 Hãy tìm giá trị của x biết rằng số hạng thứ khai triển

x

x 1

3 1 log (32 1) log2

2

æ - - - +

ỗ + + ữ

è ø 224

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1) Cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh AB, BC lần lượt x+2y- =1 0 x y

3 - + =5 0 Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;–3)

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1;2;0)- , C(1;1; 2)- Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn Đề sô 67

Câu I 2) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT nr1=( ; 1)k - , d có VTPT nr2 =(1;1)

Ta có: n n k k k

n n k

1

2

1

cos

2

26 2 1

a = Û = - Û = Ú =

+ r r

r r

YCBT Û hai phương trình y

¢ = y

¢ = có nghiệm x x m có nghiệm

x m có nghiệm 2 3 2 3 é - = ê Û ê ê - = êë Û m m 3 2 3 é + ³ ê ê ê + ³ êë

Û m ³ -Câu II

1) PT Û sin 4x sin 2x

6

p p

ỉ ổ

+ + + =

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø x 18 k3;x k

p p p p

Û = - + = + 2) Điều kiện: x

3

³ - PT Û 3x+ -1 x+ + - =3 x x x

x x

2( 1) ( 1) 0

3

-Û + - =

+ + + ( )x

x x

2

1

3

æ

- ỗ + ữ=

+ + +

è ø Û x=1 (thoảđk) Câu III ( ) x x x e dx I e e 3ln2 3 3 2 =

+

ò Đặt

x x

t e3 dt 1e dx3

= Þ = Þ I ln3

4

ỉ

= ỗ - ữ

ố ứ

Cõu IV Ta có IAuur= -2IHuurÞH thuộc tia đối tia IA IA=2IH; BC AB= 2= a Þ IA a IH, a AH IA IH 3a

2

= = Þ = + = HC2 AC2 AH2 2AC AH .cos450 HC a

= + - Þ =

·SCH 600 SH HC.tan600 a 15

= Þ = = Þ VS ABC. 1S ABC.SH a3 15

3 D

= =

BI AH BI SAH

BI SH ( )

ỡ ^ ị ^

ớ ^ ợ

d K SAH SK d K SAH d B SAH BI a d B SAH SB

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

( ,( )) 2 2

Þ = = Þ = = =

Câu V Do a, b, c > a2+b2+c2=1 nên a b c, , Ỵ(0;1) Ta có: a a a a a

b c 3 2 - + = - + + ;

b b b b b c a 3 2 - + = - + + ;

c c c c c a b 3 2 - + = - + +

BĐT Û ( a3 a) ( b3 b) ( c3 c) 3

- + + - + + - + £ Xét hàm số f x( )= - +x3 x x, Ỵ(0;1) Ta có: f x f a f b f c

(0;1)

2 3

max ( ) ( ) ( ) ( )

9

= Þ + + £ Dấu “=” xảy Ûa = b = c= Câu VIa

1) I 3; 2 ổ ỗ ữ

ố ø Giả sử M trung điểm AD ÞM d Ox= ầ ịM( )3;0 AB=2IM=3 AD i qua M vng góc với dÞ Phương trình AD: x y+ - =3

ABCD

S =AB AD =12ÞAD=2 ÞMA MD= = 2Þ tọa độ điểm A, D nghiệm hệ:

x y x x

A D

y y

x y2

3 2 4

(2;1); (4; 1)

1

( 3)

ì + - =

ï Ûì = Úì = Þ

-í í = í =

+ = ợ ợ

ùợ ị C(7; 2), B(5; 4)

d K P

B C BC

B

( ,( ))

2

4

=

+ +

· Nếu B = d(K,(P)) = (loại) · Nếu B¹0thì d K P B

B C BC C

B

2 2

1

( ,( ))

2

4

2

= = £

+ + ỉ ư

+ +

ỗ ữ

ố ứ

Du = xy B = –C Chọn C = Khi PT (P): x y z+ – + =3

Câu VIIa Ta có ( ) ( ) ( )

x

x x x

3 2

2

1 1 log 1

log 5

2 -+ = - +7 ; 2- -+ = - +1 - Số hạng thứ khai triển ứng với k = là:

( x ) ( x ) ( x )( x )

C

3

1 1

5 1

8 56

-

- -

-é ù é ù

ê + ú ê + ú = + +

ë û ë û

Ta có: 56 9( x 3)( x 1) 224 9xx 11 xx 12

3

-+ é =

+ + = Û = Û ê =

ë

+

Câu VIb

1) Đường thẳng AC có VTPT: nr1=(1;2) Đường thẳng BC có VTPT nr2=(3; 1)- Đường thẳng AC qua M(1; –3) nên PT có dạng: a x( - +1) b y( + =3) (a2+b2 ¹0) DABC cân đỉnh A nên ta có: cos(AB BC, ) cos(= AC BC, )

a b a b

2 2 2 2

3

1 3

-

-Û =

+ + + + a ab b a b a b

2 2

22 15

2 11

Û - + = Û = Ú =

· Với a 1b

= , chọn a = 1, b = ta AC: x+2y+ =5 (loại AC//AB) · Với a b

11

= , chọn a = 2, b = 11 ta AC: 2x+11y+31 0= 2) H x y z( ; ; ) trực tâm DABC ÛBH^AC CH AB H, ^ , Ỵ(ABC)

BH AC

CH AB x y z

AB AC AH

2 29

; ;

15 15

,

ì =

ï ì

Ûí = Ûí = = =

-ỵ ïéë ùû = ỵ

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur Þ H 15 152 29 1; ;

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

I x y z( ; ; ) tâm đường tròn ngoại tiếp DABC ÛAI BI CI I= = , Ỵ(ABC) AI BI

CI BI AB AC AI

2 2

,

ì = ï Ûí =

ïéë ùû = ỵ

uuur uuur uur x 1415;y 6130;z 13 I 14 61 115 30 3; ;

ì ỉ

Ûí = = = - ị ỗ - ữ

ợ ố ứ

Cõu VIIb Điều kiện: x>0 BPT Û3(x-3)log2x>2(x-1) (1) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình (1) · TH1: Nếu x > x x

x

3

(1) log

2

-Û >

- Xét hàm số f x 2x ( ) log

2

= g x x x

1 ( )

3 -=

-Ta có f x( ) đồng biến khoảng (0;+¥), g x( ) nghịch biến khoảng (3;+¥)

+ Với x > f x( )> f(4) 3= =g(4)>g x( ) Þx > nghiệm BPT

+ Với x£4 f x( )£ f(4) 3= =g(4)£g x( )Þ x£4 nghiệm BPT · TH2: Nếu x < x x

x

3

(1) log

2

-Û <

-+ Với x³ thìf x( )³ f(1) 0= =g(1)³g x( ) Þ x³1 khơng phải nghiệm BPT + Với x < f x( )< f(1) 0= =g(1)<g x( )Þ < x <1 nghiệm BPT

Đề số 68

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm)

Câu I Cho hàm số y x= 3+6mx2+9x+2m (1), với m tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số (1) m =

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4

5 Câu II

1) Giải phương trình: x x x x x x

3

8sin cos sin 4 sin3 2cos2 1 2 cos

+ = - +

2) Giải hệ phương trình: x y x y xy

x y x2 y2 xy

(3 )( 3 ) 14

( )( 14 ) 36

ìï + + = í

+ + + =

ùợ ( ,x y Rẻ )

Câu III. Tính tích phân : (x x ) x dx x

4

2

ln 9 3

9 + +

-+ ị

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a (với a > 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600 Tam giác ABC vng tại B, ·ACB=300 G trọng tâm của tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a

Câu V. Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy yz zx+ + =3 Chứng minh rằng:

P

xyz x y y z z x

1 4 3

( )( )( ) 2

= + ³

+ + + II PHẦN TỰ CHỌN(3 điểm):

A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2+4 3x- =4 0 Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường trịn (C¢), bán kính R¢ = tiếp xúc với (C) tại A 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC=2 Viết phương trình tham số của đường thẳng BC

Câu VIIa Tìm số phức z biết: z(1 ) (3 )(2 )- i = + i -i B Theo chương trình Nâng cao

CâuVIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: 2 1 0

x- y- = , đường chéo BD: x-7y+14 0= đường chéo AC đi qua điểm M(2; 1) Tìm toạđộ đỉnh của hình chữ nhật

2)Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x y z– – –3 0= Gọi M một điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2+MB2+MC2

Câu VIIb. Tìm số phức z x yi= + thoả mãn : z3=18 26+ i

Hướng dẫn Đề sô 68

Câu I 2) Ta có: y¢ = 3x2 +12mx+9 Hàm số có điểm cực trịÛ PT y¢ =0 có nghiệm phân biệt 2

3 0

3 4

'= - > Û > D

Û m m

2 3 -<

m (*)

Khi ta có: y x 2m y (6 )m x2 4m 3

ỉ ư ¢

=ỗ + ữ + -

-ố ứ

Þ đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có PT là: D:y= -(6 )m x2 -4m

m

d O m m

m

4

2

4

( , ) 64 101 37

5 (6 )

D = - = Û - + =

- +

m

m loại

37 ( ) é = ± ê Û ê = ± êë

Û m= ±1 Câu II

1) Điều kiện: cosx¹0 PT Û4sin3x-4sin2x-sinx+ =1 x k p p

Û = ± + 2) Điều kiện: xy³0 HPT Û x y xy xy

x y x y xy

2

[3( ) ] 14

( )[( ) 12 ] 36

ìï + + =

í

+ + + =

ïỵ (1) Đặt 0

a x y b xy = + ìï í = ³ ïỵ Ta được: a b b a b b

a a b a ab

2 2

2

(3 ) 14 14

( 12 ) 36 12 36

ì ì

ï + = Ûï + =

í í

+ = + =

ï ï

ỵ î (2)

Nhận thấy a = nghiệm hệ (2) Đặt b ka= , ta được: a k k

a k

3

3(3(1 12 ) 36(1)4 ) 142

ìï + =

ớ

+ =

ùợ ị 72k3-84k2+54k- =7 0 k a 3,b

6

Û = Þ = =

x y x y x

xy xy

y

3 2

3

2

1

3 2

2 ì + ì + = ì + = ï = ï ï ï Þí Ûí Ûí = = -ï ï ï ỵ î = ïî

x y

3 2 2

2 ì -= ïï í + ï = ïỵ

Câu III I (x x ) x dx (x x )dx x dx I I

x x x

4 4

1

2 2

0 0

ln ln 3 3

9 9

+ + - + +

= = - =

-+ + +

ò ò ò

· Tính I (x x )dx x 2 ln 9 + + = +

ò Đặt ln(x+ x2+9)=u Þ du dx

x2 = + u

I1 ln5udu 2 ln3

ln ln ln5

ln3

2

-= ò = =

· Tính I x dx x 2 = +

ò Đặt x2+ =9 v Þ dv x dx x v

x

2

2 9 ,

= =

-+ Þ I2 u2 du u3 u

3

44 ( 9) ( )3

3

=ò - = - =

Vậy I (x x ) x dx I I x

4 2

1 2

0

ln 3 ln ln 44

2 + + - -= = - = -+ ò

Câu IV Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB ·

SG^(ABC SAG), =600, SG đường cao hình chóp S.ABC ·SAG SG SG SA ·SAG a

SA

3

sin sin

2

= Þ = = ; ·SAG AG AG SA ·SAG a SA

3

cos cos

2

Đặt AB = x (x > 0) suy BC x 3,BM x

= =

x AM AB2 AM2

2

= + = ; AG 2AM x

3

= = (2) Từ (1) (2) suy x 3a x 9a

3 = Û =2 7

ABC a

S 1AB BC 1x2 81

2 56

= = = ; VS ABC. 1SG S ABC 3 81 a a2 243a3

3 56 112

= = =

Câu V Ta có 3=xy yz zx+ + ³33 xy yz zx =3 (3 xyz)2 Þxyz£1 Đặt Q

xyz x y y z z x

1

2 ( )( )( )

= +

+ + + Þ Q

xyz x y y z z x xy yz yz zx zx xy

2 2

( )( )( ) ( )( )( )

³ =

+ + + + + +

Mà 3(xy yz yz zx zx xy)( )( ) 2(xy yz zx)

+ +

+ + + £ = Suy Q³1 Ta có P Q

xyz

1 1

2 2

= + ³ + = Dấu "=" xảy Û x y z= = =1 Câu VIa

1) (C) có tâm I(-2 0; ), bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I¢ tâm của (C¢) PT đường thẳng IA : 2 3

2 2

x t

y t ì = ï ớ

= +

ùợ , 'I ẻIA ị (2 ; 2I¢ t t+2) 1

2 '( 3;3)

2 Â

= = ị

uur uur

AI I A t I Þ (C¢): (x- 3)2 +(y-3)2 =4 2) BC: {x= +2 ;t y= -2 ;t z=0

Câu VIIa z= +5 10i Cõu VIb

1) B BD= ầABịB(7;3) PT ng thẳng BC: 2x y+ –17 0= (2 1; ), ( ;17 ), 3, 7

A ABỴ ị A a+ a C BCẻ ịC c - c a¹ c¹

2 1 2 17

;

2 2

+ + - +

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ

a c a c

I trung điểm của AC, BD IẻBD3c a- -18 0= =a 3c-18ịA c(6 -35;3c-18)

M, A, C thẳng hàng Û MA MCuuur uuuur, phương Þ c2–13c+42 0= Û c loại c (6 ) é =

ê = ë Với c = Þ A(1; 0), C(6; 5) , D(0; 2), B(7; 3)

2) Gọi G trọng tâm DABC Þ G 8; ;3 3

ổ

ỗ ữ

ố ø; GA GB GC

2 2 56 32 104 64

9 9

+ + = + + =

Ta có F MA= 2+MB2+MC2 = 3MG2+GA2+GB2+GC2

F nhỏ Û MG2 nhỏ nhất Û M hình chiếu của G lên (P) Û MG d G P( ,( )) 19 3

= =

Vậy F nhỏ

2

19 64 553

3

3

3 ổ

+ = ỗ ữ

è ø M hình chiếu G lên (P) Câu VIIb : z= +3 i

Đề số 69

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ðiểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+2

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến của (C) tại A B song song với và độ dài đoạn thẳng AB bằng

Câu II.

1) Giải phương trình: x x

x x

2

2 1 3 2

1 3 = + +

-+ -+

-2) Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x =cosx+cos2x+cos3x+cos4x Câu III Tính tích phân: ( )

3

1

1 ln 2 1 2 ln

e x x x

I dx

x x

+ + +

=

+

ò

Câu IV. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân, AB = BC = 3a, AC=2a Các mặt phẳng ( 'B AB),( 'B AC),( 'B BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính th0 ể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu V. Cho x, y, z những số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9 9 9

6 3 6 3 6 3

x y y z z x

P

x x y y y y z z z z x x

+ + +

= + +

+ + + + + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng 3 2 trọng tâm G thuộc đường thẳng D: 3x y– –8 0= Tìm tọa độđỉnh C

2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 mặt phẳng (P) có phương trình:( ) :d1 x 1 y 2 z

1 2 1

+ = + =

, ( ) :d2 x 2 y 1 z 1

2 1 1

- = - =

-; ( ) :P x y+ -2z+ =5 0 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt( ) ( )d , d l1 2 ần lượt tại A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Câu VII.a Tìm số phức z thỏa mãn z2+ =z z B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2–6x+ =5 0 Tìm M thuộc trục tung cho từ M kẻđược hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng D:x y z

2

+ = - =

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B cắt đường thẳng D tại điểm C cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất

Câu VII.b Tìm giá trị của tham số m để phương trình: m x2-2x+ = +2 x 2 có nghiệm phân biệt

Hướng dẫn Đề sô 69 Câu I 2) Đặt A a a( ; 3-3a2+2), ( ;B b b3-3b2+ ẻ2) ( )C vi a bạ

H số góc tiếp tuyến với (C) A, B là: kA =y x'( ) 3A = a2-6 ;a kB =y x'( ) 3B = b2-6b Tiếp tuyến (C) A B song song với Û kA=kB Û3a2-6a=3b2-6bÛ = -b a

AB= (a b- )2+éëa3-b3-3(a2-b2)ûù2 = 4(a-1)2+4(a-1) (2 éë a-1)2-3ûù2

Đặt t=(a-1)2 AB=4 Û +t t t( 3)- = Û -8 ( 4)(t t2- +2 2) 0t = Û =t Û ê - = -é - =aa 21 2 ë

· Với a= Þ = -3 b 1Þ A(3;2), ( 1; 2)B - - · Với a= - Þ =1 b Þ A( 1; 2), (3;2)- - B Câu II

1) Điều kiện: - £ £1 x Đặt t= x+ +1 3-x t, >0 Þ 2x x2 t2

-+ - = Ta PT: t3- - =2 0t Û t=2 Þ x+ +1 3-x =2Û ê =é = -xx 31

ë (thoảđiều kiện) 2) PT Û(sinx-cos ) 2(sinx ëé + x+cos ) sin cosx + x xùû=0

Û x k x; k2 ;x k2

4

p p p p p p

= + = + = - +

Câu III

e e x

I x dx dx

x x

1

1 ln ln

+

= +

+

ò ò ·

e

e x e

x dx2 3 1

1

3

-= =

ò

· e x dx ed x x x x e

x x x x

1

1 ln (2 ln ) ln ln

2 ln ln

+ = + = +

+ +

ò ò lne

2 +

= Vậy: I e3 lne

3

- +

= +

Câu IV Gọi H hình chiếu B' mp(ABC), M, N, P hình chiếu H AC, AB BC Khi AC HM AC B H^ , ^ ' ÞAC^( 'B BM) Þ·(( 'B AC BAC),( ))=·B MH'

Tương tự ta có · · ·B MH B NH B PH' = ' = ' =600

Do DB MH' = DB NH' = DB PH' ÞHM HN HP= = Vậy H tâm đường tròn nội tiếp DABC S= p p a p b p c( - )( - )( - )= a a a a=2 2a2 S pr r HM S a a

p a

2

2 2

4

= Þ = = = =

DB HM¢ có B H HM' tan600 a

= = Þ VABC A B C ' ' ' SABC 'B H 2 a2 a 3a3

= = =

Câu V Đặt a x b y c z a b c= 3, = 3, = 3( , , >0;abc=1) Khi đó:

a b b c c a

P

a ab b b bc c c ca a

3 3 3

2 2 2

+ + +

= + +

+ + + + + + Ta có:

a b a b a ab b a ab b a ab b

3 2

2 ( ) 2

+ = + - +

+ + + +

Mà a ab b a ab b

2

2

1 - + ³

+ + (biến đổi tương đương) nên

a b a b

a ab b 3

2 (3 )

+ ³ +

+ + Tương tự: b c b c c a c a

b bc c c ca a

3 3

2 2

1( ); 1( )

3

+ ³ + + ³ +

+ + + + Þ P a b c abc

3

2 ( ) 2

3

³ + + ³ = Dấu "=" xảy Û a b c= = = Û = = =1 x y z Vậy: minP= Û = = =2 x y z

Câu VIa

1) Ta có: AB = 2, trung điểm M 5; 2

ổ

-ỗ ữ

ố ứ Phương trình AB: x y- - =5

ABC

S 1AB d C AB ( , ) d C AB( , )

2 2

= = Þ =

Gọi G t t( ;3 8)- ẻD ị d G AB( , )

= Þ t (3 8) 5t

2

- - - =

· Với t=1 Þ G(1; –5) Þ C(–2; –10) · Với t=2 Þ G(2; –2) Þ C(1; –1)

2) Đặt A( 1- + - +a; 2 ; ), (2 ;1a a B + b +b;1+b), ta có uuurAB= - +( a 2b+ - + + - + +3; 2a b 3; a b 1) Do AB // (P) nên: AB nuuur r^ P=(1;1; 2)- Û = -b a Suy ra: uuurAB=(a- - - -5; a 1; 3)

AB= (a-5)2+ - -( a 1)2+ -( 3)2 = 2a2-8a+35= 2(a-2)2+27 3³ Suy ra: minAB=3 3Û í = -ì =ab 22

ỵ , A(1;2;2), AB= - - -( 3; 3; 3) uuur

Vậy d:x y z

1 1

- = - = - Câu VIIa Giả sử z x yi= + , z2+ = Ûz z (x yi+ )2+ x2+y2 = -x yi

x y x y x x y x y xyi x yi

xy y

2 2

2 2

( )

2

ìï - + + =

Û - + + + = - Û í

=

-ïỵ Û

x y x y x x

y

2 2

1

ì - + + =

ïïé íê = -ïê ï =ë ỵ · TH1: Với x

2

= - Þ y2 y2 4- + 4+ = -2

y y

y y

2

4

3 5 5

4 2

16 40

ì +

³ ï

Ûí Û = ±

ï - + =

ỵ · TH Với y= Þ0 x2+ x x= Û = Þ = =x x y Vậy có số phức thỏa mãn là: z 0;z 5i

2

+ = = - ± Câu VIb

1) (C) có tâm I(3; 0) v bỏn kớnh R = 2; M ẻ Oyị M(0; m)

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) Þ ··AMB AMB

0 60 (1) 120 (2)

é =

ê =

êë

· Với ·AMB=600 Þ·AMI =300 MI IA 0 sin30

Û = Û MI = 2R Û m2+ = Û = ±9 m · Với ·AMB=1200 Þ ·AMI =600 MI IA 0

sin60

Û = Û MI =

3 R Û m2

4

3

+ = (VN) Vậy có hai điểm M1(0; ,) (M2 0;- 7)

2) Phương trình tham số D:

x t

y t z t

1 2 ì = - + ï

= -í ù = ợ

im C ẻD nờn C( ;1 ;2 )- + t -t t AC= - +( 2 ; ;2 );t - -t t AB=(2; 2;6)

-uuur uuur

; éëuuur uuurAC AB, ù = - -û ( 24 ;12 ;12 )t - t - t AC AB, 18t2 36 216t

é ù

Þ ëuuur uuurû = - + Þ S AC AB,

2 é ù

= ëuuur uuurû = 18( 1) 198t- 2+ ≥ 198 Vậy Min S = 198 t=1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: x y z

2

- = - =

- -

Câu VIIb Ta có: x2-2x+ ³2 1nên m x2-2x+ = +2 x m x x2 x

2 2 + Û =

- + Xét f x x

x2 x ( )

2 + =

- + , ta có:

x f x

x2 x x2 x '( )

( 2) 2

-=

- + - +

( ) x x

f x' x 4;f 10; lim ( )f x 1; lim ( ) 1f x

3 đ-Ơ đ+Ơ

ổ

= = ỗ ữ= = - =

ố ứ

Đề số 70

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I Cho hàm số y x

x 1 =

- (C)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn nhất

Câu II

1) Tìm nghiệm của phương trình: 2cos4x-( 2)cos2- x=sin 2x+ 3, biết xỴ[ ]0;p 2) Giải hệ phương trình: x y x x y

x y y y x y x

3

2

3 5.6 4.2 0

( 2 )( 2 )

-

-ìï - + =

í

- = + - +

ïỵ

Câu III Tính tích phân: I x ex x dx x

1

2

0 1

ỉ ư

= ỗỗ + ữữ +

ố ứ

ũ

Câu IV Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích của tứ diện ABCD.

Câu V Cho x, y, z số thực dương lớn hơn thoả mãn xy yz zx+ + ³2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1).

II PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm)

A Theo chương trình nâng cao Câu VIa

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x-3y-12 0= (d2): 4x+3y-12 0= Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2) trục Oy

2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng Gọi M trung điểm của đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu đi qua điểm B, C’, M, N

Câu VIIa Giải bất phương trình: x x

x x

2

3

2

log ( 1) log ( 1) 0 5 6

+ - +

> -

-B Theo chương trình chuẩn Câu VIb

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 4x2+16y2 =64 Gọi F2 tiêu điểm bên phải của (E) M điểm bất kì (E) Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 tới đường thẳng :x 8

3

D = có giá trị không đổi

2) Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) mặt phẳng (Q):

2 3 3 0

x+ y+ z+ = Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B vng góc với (Q) Câu VIIb Giải hệ phương trình: xy xy

x y x x y

3

log log

2

4 4

4 2 ( ) (1)

log ( ) log 2 log ( 3 ) (2) ìï = +

í

+ + = + +

ïỵ

Hướng dẫn Đề sô 70 Câu I 2) (C) có tâm đối xứng I(1; 1) Giả sử M(x0 ; y0) Ỵ(C)

PTTT D (C) M: y x x x x x 0 0

1 ( )

1 ( 1) = - - + -x x y x x 2 0 0

( 1) ( 1)

Û - - + = - -x d I x ( , ) 1 ( 1)

D =

-+ +

Xét hàm số f t t t t4

( ) ( 0)

1

= >

+ Ta có:

t t t f t

t t

2

4

(1 )(1 )(1 ) ( )

(1 )

- + +

¢ =

+ +

Dựa vào BBT, ta có f t( ) đạt GTLN t=1Þ d I( , )D đạt GTLN x0 xx0

2 1 é =0 - = Û ê =ë · Với x0=0 ta có tiếp tuyến y= -x · Với x0=2 ta có tiếp tuyến y= - +x 4 Câu II

1) PT x x x x x x

x x x

2 cos

4cos3 cos cos 2sin cos

2cos3 cos sin

é = Û = + Û ê = + ë Û x k x k k x 12 24 p p p p p p é = + ê ê ê Û = - + ê ê = + ê ë

Vì x [ ]0; x ;x 11 ;x ;x 13

2 12 24 24

p p p p

p

ẻ ị = = = =

2) Điều kiện: ìí ³x yx y, ³0

ỵ HPT Û ( )( )

x y x x y

y x y x x y y

3

3 5.6 4.2

(2 )

- -ì - + = ï Û í é ù - + - + + = ï ë û ỵ

x y x x y

y x

3

3 5.6 4.2

2

-

-ì - + =

Û í - =

ỵ (do ( 2y+ x)( x y- + y) 0+ ¹ )

x x x

y x

2

3 5.6 4.2

2

ì - + =

Û í = ỵ

x y

x 3 y 3

2

0;

1 log log 4; 2 é = = ê Û = = ê ë

Câu III I x e dxx x dx x

3

1

2

0 01

= +

+

ị ị

· Tính I x e dxx3

2

0

=ò Đặt t x= Þ I1 1e dtt et1 e 0

1 1

3 3

= ò = = - · Tính I x dx

x 01 = +

ị Đặt t=4 x Þ I t dt t 2 4 p ổ = = ỗ- + ữ ố ứ + ũ ị I 1e

3 p = +

-Câu IV Qua B, C, D lần lượt dựng đường thẳng song song với CD, BD, BC cắt M, N, P

Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC Từđó ta có tam giác AMN, APM, ANP vuông A Đặt x = AM, y = AN, z = AP

Ta có: x= 2(a2+c2-b2), y= 2(b2+c2-a2),z= 2(a2+b2-c2)

Vậy V = VABCD 1VAMNP 1 xyz 2(a2 c2 b b2)( c2 a a2)( b2 c2)

4 12

= = = + - + - + -

Câu V Ta có xy yz xz xyz

x y z 1

2

y z y z

x y z y z yz

1 ³ - + - =1 1 -1+ -1³2 ( -1)( 1) (1) Tương tự: x z

y xz

1³2 ( -1)( 1)

-(2), x y

z xy

1³2 ( -1)( -1)

(3) Nhân (1), (2), (3), vế theo vế , ta (x 1)(y 1)( 1)z

8

- - - £ Dấu "=" xảy Û x y z = = = Vậy: maxA x y z

8

= Û = = = Câu VIa

1) Gọi A d= 1Çd B d2, = 1ầOy C d, = 2ầOy ị A( ; ), ( ; ), ( ; )3 0 B 0 4- C 0 4 ÞDABC cân đỉnh A AO phân giác góc A Gọi I, R tâm bán kính đường trịn nội tiếp DABC

Þ 4 0 4

3 3

Iổỗ ; ,ửữ R= è ø

2) Chọn hệ trục toạđộ Oxyz cho: D º O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D¢(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C¢(0; 2; 2)

PT mặt cầu (S) qua điểm M, N, B, Cđ cụ dạng: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz D+ =0 M, N, B, Cđẽ (S) í

A D

B C D A B C D

A C D B C D

1

5

2 2 ; ; ; 4

8 4 2

8 4

ì + + =

ï ì

ï + + + = Û = - = - = - =

í + + + = í

ỵ ï

+ + + =

ïỵ

Vậy bán kính R = A2+B2+C2-D = 15

Câu VIIa Điều kiện: x> -1 BPT

x x

x x 3

3 3log ( 1) 2log ( 1)

log ( 1)( 6)

+ +

-Û >

+

-x x3

log ( 1) 0

+

Û <

-

x

0

Û < < Câu VIb

1) Ta có: F2( 12;0) Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ẻ E

ị

2

8 3

2 x

MF = -a ex = - , 0 8 8 3

3 3

x

d M( , )D = x - = - (vì - £4 x0£4)

Þ 3

2 MF

d M( , )D = (khơng đổi)

2) Ta có uuurAB=(1;1;1),nrQ=(1;2;3),ëéAB nuuur;rQùû=(1; 2;1)-

(P) qua A(1; 0; 1) nhận éëAB nuuur r; Qûù làm VTPT Þ (P): x-2y z+ - =2 0 Câu VIIb Điều kiện: x>0,y>0

(1) Û 22log3xy-2log3xy- =2 0Û

3

3

1 3

xy xy y

x log = Û = Û = (2) Û log4( x4 2+4y2) log (= 4 2x2+6xy)Ûx2+2y2=9 Kết hợp (1), (2) ta nghiệm hệ: ( 3; , 6;)

2

ổ

ỗ ữ

ố ứ

Đề số 71

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TỐN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: ( điểm)

Câu I: Cho hàm số y x x

2

1

-=

+

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai

đường tiệm cận có tích hệ số góc –9

Câu II:

1) Giải phương trình:

x

x x x x x

x

4cos3 cos 2cos4 4cos tan tan

2 0

2sin

- - + +

=

-2) Giải bất phương trình: x2-3x+2.log2x2£ x2-3x+2.(5 log 2)- x

Câu III: Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y x= 3–2x2+ +x tiếp tuyến (C)

điểm có hồnh độx0 = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng (H)

quanh trục Ox

Câu IV: Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A’C a 15

5 Tính thể tích khối lăng trụ

Câu V: Giải hệ phương trình: y x x y

x y x y

2 2

2

3

2012

2011 (1)

2012

3log ( 6) 2log ( 2) (2)

-ì +

ï =

í +

ï + + = + + +

ỵ

II PHẦN RIÊNG (3 điểm):

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a:

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C): x2+y2 =1 phương trình: x2+y2–2(m+1)x+4my–5 0= (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường trịn với m Gọi đường trịn tương ứng (Cm) Tìm mđể (Cm) tiếp xúc với (C)

2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y z

1 1

- = + =

mặt phẳng (P): 2x y+ –2z+ =2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; –1; 0)

Câu VII.b: Cho x, y số thực thoả mãn x2+y2+xy=1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P=5 –3xy y2

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b:

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1( 3;0); ( 3;0)- F2 qua điểm A 3;1

ổ

ỗ ữ

ố ứ

Lp phương trình tắc (E) với điểm M elip, tính biểu thức: P F M= 1 2+F M2 2–3OM2–F M F M1 2 .

2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình

x y z

d1: 3

1

- = - =

x y z

d2:

1

- = - =

Chứng minh đường thẳng d1, d2 điểm A

nằm mặt phẳng Xác định toạđộ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao

BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC

Câu VII.b: Tính giá trị biểu thức:

Hướng dẫn Đề sô 71 Câu I: 2) Giao điểm đường tiệm cận (C) I(–1; 2)

Gọi M x C kIM

x x

0 2

0 0

3

;2 ( )

1 ( 1)

æ

ẻ ị =

ỗ + ÷

+

è ø

Hệ số góc tiếp tuyến M: kM y x x

0 2

0 '( )

( 1)

= =

+

YCBT Û k kM IM = -9 Û

x0 x0

3 . 9

( 1) ( 1)

- =

-+ + Û

x x00

0

é = ê =

-ë Þ M(0; –3), M(–2; 5)

Câu II:

1) Điều kiện: sinx

2

¹ , cosx

2 ¹ cosx¹0 (*)

PT Û 4cos cos3x-4 2x– cos x+ =1 0 x

x

cos

1 cos

2

é =

ê Û

= ± ê

ë

Đối chiếu với điều kiện (*), ta suy PT có nghiệm: 2 2 2 2

3 3

x k= p;x= - +p k p;x= - p +k p 2) Điều kiện: 0< <x x³2 (*)

BPT Û 22x x 2x

2

2log 5log

0 log

- +

£ Û

2

0 0 1

1

2 2 4

2

x x

x x

log log

é < é < < ê Û ê

ê £ £ ë £ £ ë

Kết hợp với điều kiện (*), kết luận tập nghiệm BPT là: S=( ; )0 1 È[ ]2 4;

Câu III: Phương trình tiếp tuyến d: y x= +4

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x3–2x2 =0 x

x 20

é = Û ê =ë

V = x dx x x x dx

2

2 2

0

( 4) ( 4)

pò + -pò - + +

Câu IV: Gọi M, M¢ trung điểm AB A’B’ Hạ MH ^ M’C AB // (A’B’C) Þ d AB A C( , ’ )=MH HC = a 15

10 ; M’C =

a 15

2 ; MM’ = a

Vậy: V = 3a3

4

Câu V: Điều kiện: 2 6 0

2 0

x y

x y

ì + + > í + + >

ỵ (*)

Ta có: (1) Û x2+log2011(x2+2012)=y2+log2011(y2+2012)

Xét hàm số f t( )= +t log2011( 2012),t+ t³0 Þ f t( ) đồng biến với t³0 Do đó: (1) Û x2 =y2 Û = ±x y

· Với x y= Ta có: (2) Û 3log (3 x+2)=2log (2 x+1) Đặt 3log (3 x+2)=2log (2 x+ =1) 6t

Khi (2) Û

t t

1 1

9

ỉ ỉ

+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø Û t=1Þ x y= =7 (thoả (*))

· Với x= -y Ta có: (2) Û log (3 y+6)=1 Û y= -3 Þ x=3 (thoả (*))

Câu VI.a

OI = (m+1)2+4m2 , ta có OI < R¢

Vậy (C) (Cm) ch tip xỳc ị RÂ R = OI ( R’ > R) Þ 1 3 5

m= - ;m= 2) Gọi I tâm (S) Þ I(1+t t; – ;2 t) Ta có d(I, (P)) = AI Û 1 7

13

t= ; t= Vậy: ( ) : ( – )S x 2 2+ +(y 1)2+( – )z 12 =1

hoặc

2 2

20 19 7 121

13 13 13 169

S x y z

( ) : ổỗ ữử +ỗổ + ửữ +ổỗ ửữ = ố ứ ố ứ ố ø

Câu VII.a P xy y

x xy y

2

2

5 -3

=

+ +

· Với y = Þ P =

· Với y≠ đặt x ty= Ta có: P t Pt P t P

t t

2

5 ( 5) 3 0

1

-= Û + - + + =

+ + (1)

+ P = 0 phương trình (1) có nghiệm 3

5

t=

+ P≠ phương trình (1) có nghiệm Û 22 25 0 25 1

3

P – P P

D¢ =- + ³ Û - £ £ Từđó suy maxP = 1, minP = 25

3

-

Câu VI.b:

1) (E): x y

a b a b

2

2 2

3

1

4

+ = Þ + = , a2 =b2+3 Þ x2 y2

4 + =

Þ P=(a ex+ M)2+( –a exM) – (2 2 xM2 +yM2 ) –(a2-e x2 2M) =1

2) d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP ar=(1;1; 2)- ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP br=(1; 2;1)

Ta có éëa burr, ùû¹0 , , r r r uuuuuurëéa b M Mûù 1 2=0 Þ d d1, 2 cắt

Phương trình mặt phẳng chứa d d1, 2: x y z+ + –8 0= A mp d dỴ ( , )1 2 Giả sử B(2+t;3+t;3 2- t d) ẻ 1 ị trung im ca AB M t 5;t 5;3 t

2

ổ + + -

ỗ ữ

ố ứ

2

M dẻ ị t= - ị1 M( ; ; )2 4 Þ B( ; ; )1 5

Giả sửC(1+t;4 3- t; + ẻt) d2 uuur rAC a^ ịt = ị C(1;4;2)

Câu VII.b: Xét biểu thức T= +(1 i 3)2012+ -(1 i 3)2012

Ta có: T =2(C20120 -3C20122 +32 4C2012+ + - ( 1) 3k kC20122k + - 31005 2010C2012 +31006 2012C2012)

Mà T 22012 cos2012 i.sin2012 22012 cos 2012 i.sin 2012

3 3

p p p p

æ ổ - -

= ỗ + ữ+ ỗ + ữ

ố ứ ố ứ

2.22012cos 670 22012

3

p p

ổ

= ỗ + ữ=

-ố ø

Vậy: S= -22011

Đề số 72

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I. Cho hàm số y=(x +1) (2 x -1)2

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Tìm trục hồnh những điểm mà từđiểm đó kẻđược ba tiếp tuyến phân biệt đến (C)

Câu II

1) Giải phương trình: x x x

x x

2

cos (cos 1) 2(1 sin ) sin cos

-= +

+

2) Giải phương trình: 7-x2+x x+ =5 3 2- x x-

Câu III Tính tích phân: I x dx

x x

3

0

3

3

-=

+ + +

ò

Câu IV Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng Gọi M, N điểm lần lượt di động cạnh AB, AC cho (DMN) (^ ABC) Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x y Chứng minh rằng: x y+ =3 xy

Câu V Cho số không âm x, y, z thoả mãn x y z+ + >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )

x y z

P

x y z

3 3

3 16

+ +

=

+ +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( )d : 2x my+ + -1 0= đường tròn: C x2 y2 x y

( ) : + -2 +4 - =4 Gọi I tâm đường tròn ( )C Tìm m cho ( )d cắt ( )C hai điểm phân biệt A B Với giá trị m diện tích tam giác IAB lớn tính giá trịđó

2) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : – –5 P x y z+ = hai đường thẳng

x y z

d1: 1

2

+ = - =

-, d2:x y z

1

- = + =

- Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2

Câu VII.a. Tìm phần thực của số phức z= +(1 )i n, biết rằng nỴ N thỏa mãn phương trình: log ( –3) log (4 n + 4 n+9) 3=

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai

đỉnh B C lần lượt nằm hai đường thẳng d x y1: + + =5 d x2: +2 –7 0y = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z

2 1

- + +

= =

- mặt phẳng (P):

x y z+ + + =2 0 Gọi M giao điểm của d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), vng góc với dđồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42

Câu VII.b. Giải hệ phương trình: y x y

x y

1

4

2

( 1

log ) log 1 25

ì ï í ï ỵ

- - = + =

Hướng dẫn Đề sô 72

Câu I. 2) Gọi A a( ; )0 ỴOx PT đường thẳng dđi qua A có hệ số góc k: y k x a= ( - ) d tiếp tuyến (C) Û HPT sau có nghiệm: x x k x a I

x x k

4

3

2 ( ) ( )

4

ì - + =

-ï í

- =

ïỵ

Û k A

x2

0 ( )

1

ì = í - =

ỵ

x x k B

x ax

2

4 ( 1) ( )

3 (1)

ìï - =

í

- + =

ùợ

T (A) ị PTTT y=0 ị T A kẻđược tiếp tuyến phân biệt tới (C) Û hệ (B) phải có nghiệm phân biệt (x; k) với x¹±1 Û (1) có nghiệm phân biệt, khác ±1

Û a

2

- ¹ < - a

2

¹ >

Câu II.

1) Điều kiện: sinx+cosx¹0 PT Û +(1 sin ) (1 cos ) 0x + x = Û êésincosxx= -11 = -ë

x k

x k

2

2

p p

p p

é

= - + ê

Û

ê = + ë

2) PT x x

x x x x x

2

2

3

7

ìï - - ³ Û í

- + + = -

-ïỵ

x x

x x

x

3 1;

2

5

ì- £ £ ¹ ï

Ûí + = - +

ïỵ

x x x2

2

( 1)( 16)

ì- £ <

Û í + - =

ỵ

x

Û =

-Câu III.Đặt t= x+ Þ1 2tdu dx= Þ I t t dt t dt dt

t t t

2 2

2

1 1

2 (2 6) 6

1

-= = - +

+ + +

ò ò ò 6ln3

2

= - +

Câu IV. Dựng DH ^ MN Þ DH ^ (ABC) Þ H tâm tam giác ABC

Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH

2

2 12

3

ỉ

= - = -ỗỗ ữữ =

ố ứ

AMN

S 1AM AN .sin600 xy

2

= = ; VD AMN. 1SAMN.DH xy

3 12

= =

Ta có: SAMN =SAMH+SAMH 1xy.sin600 1x AH .sin300 1y AH .sin300

2 2

Û = + Û x y+ =3 xy

Câu V. Ta chứng minh được: x3 y3 (x y)3

4

+

+ ³ Đặt x y z a+ + =

Khi P x y z a z z t t

a a

3 3

3

3

( ) 64 ( ) 64

4 ³ + + = - + = -(1 ) +64 (với t z

a

= , 0£ £t 1)

Xét hàm số f t( ) (1 )= -t 3+64t3 với 0£ £t f t( ) 64t2 (1 ) , ( ) 0t f t t [0;1]

9

é ù

¢ = ë - - û ¢ = Û = Î

Dựa vào BBT, ta suy được:

[ ]0;1 ( ) 64 min

81

Ỵ =

t f t Þ

16

81 =

P đạt x = y = 4z >

Câu VIa.

1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R =

(d) cắt ( )C1 điểm phân biệt A, B Ûd I d( ,( ))<R Û 2- m+ -1 2< +m2

m2 m m R

5 17

Û + + > ẻ

Ta cú: SIAB 1IA IB sinẳAIB 1IA IB

2 2

Vậy : SIAB lớn

2 ¼AIB=900 Û AB =R 2= Û d I d

3 ( ,( ))

2

= Û 2m 2 m2

2

- = + Û m= -4

2) PTTS d1 d2 là:

x t x m

d y t d y m

z t z m

1

1 2

: ; :

2

ì = - + ì = +

ï = + ï = - +

í í

ï = + ï =

-ỵ ỵ

; (P) có VTPT nrP =(2; 1; 5)- - Giả sử M d d N d d= Ç 1, = ầ 2 ị M( ;1 ;2 )- + t + t +t , N(2+m; ; )- + m - m

MN (3 m ; 5t m ; 2t m t)

Þuuuur= + - - + - - -

-Do d^ (P) nên MN nuuuur r, P phương Û 3+ -m2 2t= - +3 5m1 -3t =- -2 25m t

- Û

m t 11

ì = í = ỵ

Khi điểm M(1; 4; 3) ÞPhương trình d:

x t

y t

z t

1

ì = + ï = -í ï = -ỵ

Câu VIIa.Điều kin: ỡ ẻớ >ợn Nn 3 PT n2+6n91 0= Û =n 7

Khi đó: z= +(1 )i 7= +(1 ) (1 )i ëé +i2ùû3= +(1 ).(2 )i i3 = -8 8i Vậy phần thức z

Câu VIb.

1) Giả sử B( 5- -b b; )Ỵd C1; (7 ; )- c c Ỵd2 Vì G trọng tâm DABC nên ta có hệ: B C

B C

x x y y

2

ì + + =

ớ + + =

ợ ị B(1;4) , C(5; 1)

Phương trình BG: 4x–3y–8 0= Bán kính R d C BG( , )

5

= =

Þ Phương trình đường trịn: ( –5)x ( –1)y 81

25

+ =

2) PTTS d:

x t

y t

z t

3 2

ì = + ï = - +

ù = -ợ

M(1; 3;0)

ị - (P) có VTPT nrP=(1;1;1), d có VTCP urd =(2;1; 1)

-Vì D nằm (P) vng góc với d nên VTCP urD=éëu nr rd, Pùû=(2; 3;1)

-Gọi N(x; y; z) hình chiếu vng góc M D, đóuuuurMN =(x-1;y+3; )z Ta có

MN u

N P

MN

( ) 42

D

ì ^

ï Ỵ í

ï =

ỵ

uuuur r

Û x y zx y z

x y z2

2

2 11

( 1) ( 3) 42

ì + + + =

ï - + - =

í

ï - + + + =

ỵ

Þ N(5; –2; –5) N(–3; – 4; 5)

· Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình :x y z

2

- + +

D = =

-· Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình :x y z

2

+ +

-D = =

-Câu VIIb. Điều kiện: ì - >í >ỵy xy 0

HPT ( ) y

y x y x

y

x y

x y

4

2

2

1

1 log log 1

25 25

ì ì

+

ï ï

Ûí Ûí

ï ïỵ

ỵ

= - =

+ = + =

x y y2

3 25 10

ì = ï Û í =

ïỵ Û

15 10 5 10

x y

ì = ïï í ï = ïỵ

(loại)

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm

Đề số 73

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I Cho hàm số y = x4-2(m-1)x2+ -m 2 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1) m=2 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 3)

Câu II.

1) Giải phương trình: cos2x+ =5 2(2 cos )(sin- x x-cos )x

2) Giải hệ phương trình: x x y y y x

x xy y

2 3 ( 1) ( 3) 4 (1)

2 1 (2)

ì - - + + - = í - - =

ỵ

Câu III. Tính tích phân: I =

e x x

x dx

x x

1

( 2)ln (1 ln ) +

-+

ị

Câu IV Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD hình thoi tâm O, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC=2 3a,BD=2a, khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) a 3

4 Tính thể tích khối chóp S ABCD.

Câu V. Cho ba số thực dương a b c, , thay đổi thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

a b

1

1+ + + 1+b+c 1

+

a c+ +

1

1 £

a

1

2+ + b

1

2+ + c

1 2+

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C d x y1: + - =1 0 d2: 3x y- - =9 0 Tìm tọa độ đỉnh B, Ccủa tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) đường thẳng D:x 1 y 2 z

1 1 2 - +

= =

- Tìm toạđộđiểm M D cho:MA MB

2+ 2=28

Câu VIIa. Giải phương trình:

x

x x 21

3 1 2

(3 2)log 4 .9

3 3

+

=

-B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0; 2) hai đường thẳng d1, d2có phương trình 3x y+ + =2 0và x-3y+ =4 0 Gọi A giao điểm d1và d2 Viết phương trình

đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1và d2lần lượt B, C (BvàCkhácA) cho

AB2 AC2

1 1

+ đạt giá trị nhỏ

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) đường thẳng d có

phương trình x y z

3 2

- = =

Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B

là nhỏ

Câu VIIb Tính giá trị biểu thức A C C C C C

0 1 2 3 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

2 2 2

1 2012

= - + - + -

Hướng dẫn Đề sơ 73

Câu I. 2) y¢ =4x3-4(m-1)x; y =4x3-4(m-1)x=0 x xộở 2-(m-1)ựỷ=0 à Nu mÊ1ị Hm sng bin trờn khong (0; +Ơ) ị mÊ1 tho YCBT

à Nu m>1 ị y = =0 x 0;x= ± m-1

Hàm sốđồng biến khoảng (- m-1;0 ,) ( m- +¥1; ) Hàm sốđồng biến khoảng (1; 3) Û m- £ Û < £1 1 m Vậy hàm sốđồng biến khoảng (1; 3) Û m£2

Câu II.

1) PT Û 2(sinx-cos ) sin cosx - x x- =2 0 Đặt t=sinx-cos ,x - 2£ £t

PT Û t2+ - = Û =4t 5 0 t 1Û sinx-cosx=1 Û x k

x k

2

2

p p

p p

é

= + ê

ê = + ë

2) (1) Û (x y- )2+3(x y- - =) 4 0 Û é - =ê - = -x yx y 14

ë

· Với x y- =1 Ta được: x y

x xy 12y

ì - = í - - =

ỵ Û

1 1

0 2

x x

y y

ì = Ú ì = -í = í = -ỵ ỵ

· Với x y- = -4 Ta được: ì - = -í - - =x yx xy 24y 1

ỵ (hệ vơ nghiệm)

Câu III. I = edx e x dx

x x

1

ln

(1 ln )

-+

ò ò = e e x dx

x x

1 ln

(1 ln )

-+ ị

Tính J =

e x

dx

x x

1 ln (1 ln )+

ò Đặt t= +1 lnx Þ J t dt t

2

1

1 1 ln2

-=ò = -

Vậy: I e= - +3 2ln

Câu IV.SO^ (ABCD) SABCD 1AC BD 3a2

1

= = 1

3

S ABCD ABCD

V . = SO S.

DABO vuông O AO = a 3, BO = a , ·ABD=600 Þ DABD Do đó, với H trung

điểm AB, K trung điểm HB, ta có DH^AB DH = a 3; OK // DH a

OK 1DH

2

= = ÞOK^ABÞAB^ (SOK)

Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI^SK; AB^OIÞOI ^ (SAB) , hay OI khoảng cách từO

đến mặt phẳng (SAB)

DSOK vuông O, OI đường cao Þ SO a

OI2 OK2 SO2

1 1

2

= + Þ =

Þ VS ABCD. 1SABCD.SO 3a3

3

= =

Câu V Do vai trò a, b, c nên ta giả thiết 0< £ £a b c

Khi đó 0 1< + + £ + + £ + +a b a c b c 0 2< + £ + £ +a b c Ta có:

a b c a b b c c a

1 1 1

2 2 1

ổ

+ + -ỗ + + ữ

+ + + è + + + + + + ø=

= b

a a b

1

(2 )(1 )

-+ + + +

c

b b c

1

(2 )(1 )

-+ + + +

a

c a c

1

(2 )(1 )

-+ + + ≥

≥ b

c b c

1

(2 )(1 )

-+ + + +

c

c b c

1

(2 )(1 )

-+ + + +

a

c b c

1

(2 )(1 )

-+ + + =

a b c

c b c

3

(2 )(1 )

+ +

≥ abc

c b c

3

3 0

(2 )(1 )

-=

+ + + Vậy a b

1

1+ + + 1+b+c 1

+

a c+ +

1 1

£

a

1

2+ + b

1

2+ + c

1 2+

Câu VIa.

1) Gọi C c c( ;3 - Ỵ9) d2 M trung im ca BC ị M m( ;1-m)ẻd1

ị B m c(2 - ;11 2- m-3c)

Gọi I trung điểm AB, ta có I 2m c 2; m 3c

2

æ - + - -

ỗ ữ

ố ø

Vì IỴ ( )d2 nên 3.2m c 2m 3c

2

- + - - - - =

Û m=2 Þ M( ; )2 1

-Þ Phương trình BC: x y- - =3 0

2 3 0 1 2

C BC d= ầ ịC( ; )ịB( ; )- 2) PTTS

1

: 2

2

= -ì ï

D í = - + ï = ỵ

x t

y t

z t

Mẻ ịD M(1- - +t; 2 t t; )2

Ta có: MA2+MB2 =28Û12t2-48t+48 0= Û =t 2 Þ M( ; ; )-1 4

Câu VIIa.Điều kiện: x > PT Û (3x-2) log (éë 3 x- +1) 1ùû=0Û x x

3

log ( 1)

é - =

ê =

-ë

Û xx log (4 loại)

é = ê ê = ë

Û 4

3

x=

Câu VIb.

1) A d= 1ầd2ị A( ; )-1 1 Ta cú d1^d2 Gọi D đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A D ta có:

AB2 AC2 AH2 AM2

1 + = ³

(khơng đổi)

Þ

AB2 AC2

1 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng

AM2

1 H ºM, hay

D đường thẳng qua M vng góc với AM Þ Phương trình D: x y+ - =2 0

2) Giả sử M(2 3+ t;-2 2t; + t)Ỵd, AB dP

Gi AÂi xng vi A qua dị MAÂ = MA ị MA+ MB = MAÂ + MB AÂB MA + MB đạt GTNN bằng A¢B Û A¢, M, B thẳng hàng

Û MA = MA¢ = MB Û M(2; ; 4)

Câu VIIb. Xét khai triển (1-x)2011=C20110 -C12011x C+ 20112 x2- - C20112011 2011x

· x dx x

2

2011 2012

0

1

(1 ) (1 )

2012

- = - - =

ò

· 2(C20110 C20111 x C20112 x2 C20112011 2011x )dx

0

- +

-ò =

= C x C x C x C x

2

1 2011

0 2011 2011 2011 2012

2011

0

2 2012

æ

ỗ - + - - ữ

ố ø

= C C C C

0 1 2 2011 2011

2011 2011 2011 2011

2 2

2

1 2012

ổ

ỗ - + - - ữ

ố ứ = 2A ị A =

Đề số 74

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+12mx-3m+4 (C) 1) Khảo sát vẽđồ thị hàm số m = 0

2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị A B cho hai điểm với điểm C 1;

ỉ

-ỗ ữ

ố ứlp thnh

tam giỏc nhn gốc tọa độO làm trọng tâm

Câu II

1) Giải phương trình: cos sin2x( x) cos3x 4cos 2x

2

p

ổ

+ = - ỗ - ữ

è ø

2) Giải hệ phương trình: x y y x

x x y y

2 3 8 5

( 8) ( 3) 13

ìï + + + =

í

+ + + =

ïỵ

Câu III. Tính tích phân: I x xdx

x

2

2

sin cos cos

p

p

-= ò

Câu IV. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D Biết AB = 2a, AD =a, DC= a (a > 0) SA^ (ABCD). Góc tạo mặt phẳng (SBC) với đáy 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từB tới mặt phẳng (SCD) theo a

Câu V Cho số dương a, b, c thoả mãn a2+b2+c2+abc=4 Chứng minh a b c+ + £3

II PHẦN RIÊNG

A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I 1;

2

ổ

ỗ ữ

ố ứ Cỏc đường thẳng AB, CD

qua điểm M( 4; 1)- - , N( 2; 4)- - Tìm toạđộ đỉnh hình vng biết B có hồnh độ âm 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng d có phương trình

x y z

d: 1

2 1

- = + =

- Viết phương trình đường thẳng Dđi qua điểm M, cắt vng góc với đường

thẳng d tìm toạđộđiểm M¢đối xứng với M qua d

Câu VIIa Trong mặt phẳng toạđộOxy, góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt, thếở góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục toạđộ) Trong 14 điểm ta lấy điểm Tính xác suất đểđoạn thẳng nối hai điểm cắt hai trục toạ độ

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb

1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho đường tròn (C): x2+y2-2x+4y+ =2 Viết phương trình

đường trịn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) hai điểm A, B cho AB= 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x y 1 z 1

1= 2- = -+1 hai điểm A(1;1; 2)- ,

B( 1;0;2)- Viết phương trình đường thẳng D qua A, vng góc với d cho khoảng cách từB tới D

là nhỏ

Câu VIIb Cho hai số phức liên hợp z z1 2, thoả mãn điều kiện z z1- 2 =2 z z

1 2

số thực Tìm số phức z1

Hướng dẫn Đề sô 74

Câu I. 2) Ta có y' 3= x2-3(m+1)x+12m Hàm số có hai cực trịÛ y¢ =0 có hai nghiệm phân biệt Û

m m

( 1)

D = - > Û ¹ (*) Khi hai cực trị A(2;9 ), (2 ; 4m B m - m3+12m2-3m+4)

DABC nhận O làm trọng tâm Û m m

m3 m2 m

2 1

9

4 12

2

ì + - =

ï Û =

-í- + + + - =

ïỵ (thoả (*))

Câu II.

1) PT Û sin2 sinx( x cosx 2) x k ;x k2

2

p p p

Û + - = Û = = +

2) Điều kiện: x y

y x

2

2 38 00

ìï + ³ í

+ ³

ïỵ Đặt a x y b y x (a b )

2 3 , 8 0, 0

= + = + ³ ³

Khi ta có: a b a

b a2 b2

5 13 ì + = Ûì = í + = í = ỵ

ỵ

a b 23

ì = í = î

· Với a b 23

ì = í =

ỵ , ta có:

y x

x y

y x x x x

2

2 83 94 4 (43 2 )

8 72 65

ì ì = -ï + = Ûï í í + = ï ï ỵ ỵ - + - = Û x x

y 11 y 75

ì = Úì = -í = í =

-ỵ ỵ

· Với a b 32

ì = í =

ỵ , ta có:

y x

x y

y x x x x

2

2 83 94 4 (93 2 )

18 72 45

ì ì = -ï + = Ûï í í + = ï ï î î - + - = Û x x y y

3 6

2 2

ì ì ï = - + Úï = -í í = - = + ï ï î î

Vậy hệ có nghiệm: ( ; )x y Ỵ{(1;1);( 5; 7);( 3- - - + 6;2 2);( 3- - - 6;2 2)+ }

Câu III. I x x dx x x dx

x x

4

2

2

3

sin 1 cos sin sin

cos cos

p p

p p

-

-= ò - = ò x x dx x x dx

x x

0

2

0

sin sin sin sin

cos cos

p

p

-= ò + ò

= x dx x dx

x x

0

2 sin sin cos cos p p

ò +ò

12

p

= - -

Câu IV.DACB vuông C Þ ·SCA=·((SBC ABCD),( )) 45= Þ SA = AC = a

ABCD a

S 1(AB DC AD)

2

= + = Vậy VS ABCD. 1a 23a2 2a3

3 2

= =

Ta có S DCB BCD S DCB

BCD

V

V S d B SCD d B SCD

S

3

1 ( ;( )) ( ;( ))

3

= Û =

Trong VS BCD. 1SBCD.SA 2a3

3

= = Vậy S DCB

BCD

V a a

d B SCD

S a

3

2

3

( ;( ))

3

= = =

Câu V. Giả sử (a-1)(b- ³ Û + £1) a b ab+1

Khi ta cần chứng minh: c£ -2 abÛ +c ab£2

Theo giả thiết: 4=a2+b2+c2+abc³2ab c+ 2+abcÛ ³4 2ab c+ 2+abc

Û (c+2)(ab c+ - £ Û2) ab c+ - £2 Dấu "=" xảy Û a b c= = =1

Trong trường hợp ngược lại (b-1)( 1) 0c- ³ ( 1)(c- a- ³1) Thực tương tự ta

được kết

Câu VIa.

1) Gọi Mđ, Nđ lỏ cõc điểm đối xứng với M, N qua I Þ Mđ(7;2), Nđ(5;5) Ta cụ: Nđẽ AB Phương trớnh đường thẳng AB: 2x-3y+ =5 Gọi H lỏ hớnh chiếu I lởn AB Þ H 1;2

2

ỉ

ỗ ữ

Gi B a b a( ; ), <0 Ta có

a b

B AB a

HA HI a b b

2

1

1 ( 2) 13 1

2

ì - = -ï

ì Ỵ Û Ûì =

-í = íỉ í =

- + - =

ợ ùốỗ ữ ợ

ứ ợ

Þ B( 1;1)- Khi A(2;3), (1; 2), (4;0)C - D

2) PTTS d:

x t

y t

z t

1

ì = + ï = - + í

ï = -ỵ

d có VTCP ur=(2;1; 1)-

Gọi H hình chiếu vng góc M dÞ H(1 ; ; )+ t - + -t t Þ MHuuuur=(2 1; ; )t- - + -t t Ta có MH ^dÛ MH uuuuur r =0 Û t

3

= Þ H 2; ; 3

ổ

-ỗ ữ

ố ứ, MH

1; 4;

3 3

ổ

=ỗ - - ữ

ố ứ

uuuur Phương trình đường thẳng D: x y z

1

- = - = - -

Gọi M¢ điểm đối xứng M qua dÞ H trung điểm MMÂị M 4; ; 3

ổ

Âỗ - - ữ

ố ứ

Câu VIIa. Sốđoạn thẳng nối hai điểm là: C142 =91

Đểđoạn thẳng nối hai điểm chon cắt hai trục hai đầu đoạn thăng phải góc phần tư thứ

nhất thứ ba phần tư thứ hai thứ tư Do số cách chọn số đoạn thẳng là: C C1 12 4+C C3 51 1=23(cách) Vậy xác suất cần tìm là: 23

91

Câu VIb.

1) (C) có tâm I(1; –2), bán kínhR= PT đường thẳng IM: 3x-4y-11 0= AB= Gọi H x y( ; ) trung điểm AB Ta có: H IM

IH R2 AH2

2

ì Ỵ ï

í = - =

ïỵ Û

x y

x y

3 11

9

( 1) ( 2)

4

ì - - =

ï

í - + + = ïỵ

Û x y

x y

1; 29

5 10

11; 11

5 10

é

= - = -ê

ê

ê = =

-êë

Þ H 29; 10

ổ- -

ỗ ữ

è ø H

11 11;

5 10

ổ -

ỗ ữ

ố ứ

· Với H 29; 10

æ

-ỗ ữ

ố ứ Ta có R MH AH

2 2 43

 = + = ị PT (CÂ): (x-5)2+ -(y 1)2 =43

· Với H 11 11;

5 10

ổ

-ỗ ữ

ố ø Ta có R MH AH

2 2 13

 = + = ị PT (CÂ): (x-5)2+ -(y 1)2=13

2) d có VTCP urd =(1;2; 1)- Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d Gọi H hình chiếu vng góc B lên (P) đường thẳng Dđi qua A H thỏa YCBT

Ta có: (P): x+2y z- - =5 Giả sử H x y z( ; ; ) Ta có:

d

H P

BH u phương

( ) ,

ỡ ẻ

ợuuur r ị H

1 2; ; 3

ỉ

ỗ ữ

ố ứ

ị urD=3uuurAH= -( 2;5;8) Þ Phương trình D: x y z

2

- = - = +

-

Câu VIIb. Gọi z1= +a bi (a b, Ỵ¡), z2 = -a bi

· z z1- 2 =2 3Û 2bi =2 3Û = ±b · z (a ab ) (b a b i)

z a b

3 2

1

2 2

2

1 3 3

( )

é ù

= ë - + - û

+

Vì z z

1 2

số thực nên b a(3 2-b2) 0= Û 3a2=b2=3 Û a= ±1 Vậy: z1= +1 3i z1= -1 3i z1= - +1 3i z1= - -1 3i

Đề số 75

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y f x= ( ) 2= x3+3(m-3)x2+ -11 3m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C2 hàm số m =

2) Tìm mđể (Cm) có hai điểm cực trị M M1, 2 cho điểmM M1, 2và B(0; –1) thẳng hàng

Câu II

1) Giải phương trình x x x x x

x

2

2

(sin cos ) 2sin 2 sin sin 3

2 4

1 cot

p p

æ æ ổ ửử

+

-= ỗ ỗố - ữứ- ỗố - ữứữ

ố ứ

+

2) Giải hệ phương trình: x y

y x x

3

2

7

2( 2)

4

ì

- + =

ïï í

ï + - + =

-ïỵ

Câu III Tính tích phân: I dx

x x

6

0

1 sin cos

p

=

+

ị

Câu IV Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a BC= , =2 ,a ACB· =1200và đường thẳng A C' tạo với mặt phẳng (ABB A' ') góc 300 Tính thể tích khối lăng trụđã cho khoảng cách hai đường thẳng A B CC' , '

Câu V Cho phương trình 6+ -x x2 -3x m x= ( + +2 3-x) Tìm m để phương trình có nghiệm thực

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn ( ) :C x2+y2-18x-6y+65 0= C x2 y2

( ) :¢ + =9 Từđiểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường trịn (C¢), gọi A, B tiếp điểm Tìm tọa độđiểm M, biết độ dài đoạn AB 4,8

2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) x t

d y t

z

:

1

ì = ï = - + í

ï = ỵ

điểm A( 1;2;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (P)

Câu VII.a Giải bất phương trình: log (3 x3 1) log (29 x 1)2 1log (3 x 1)

2

+ = - + +

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) AC=2BD Điểm M 2;4

3

ổ

ỗ ữ

ố ứ thuc ng thẳng AB, điểm N

13 3;

3

ổ

ỗ ữ

ố ứ thuc ng thẳng CD Viết phương trình đường

chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y+ -2z+ =5 hai đường thẳng

x y z

d1

( ) :

1

+ +

= = , ( ) :d2 x y z

2 1

- -

-= = Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt ( ), ( )d1 d2 A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ

Hướng dẫn Đề sơ 75 Câu I. 2) y¢ =6x2+6(m-3) y¢ =0 Û é =ê = -xx 30 m

ë Hàm số có cực trịÛ m¹3 (*)

Chia f x( ) cho f x¢( ) ta được: f x( ) f x( ) 1x m (m 3)2x 11 3m

3

ỉ -

¢

= ỗ + ữ- - +

-ố ứ

Þ phương trình đường thẳng M1M2 là: y= -(m-3)2x+11 3- m

1

M M B, , thẳng hàng Û B M MỴ 1 2 Û m=4 (thoả (*))

Câu II.

1) Điều kiện: sinx¹0(*) Khi đó: PT Û (sin 1 cos 2) 0 4 p

ổ ử - ỗ - ữ=

ố ø

x x

Û 2 ; 3 ( ).

2 8 2

p p p p

= + = + k Ỵ

x k x k ¢

2) Điều kiện: x³ -2;y³ -2 Đặt u= x+2;v= y+2 với u v, ³0(*) HPT Û u v

v u u

2

2

7 (1)

2

1

2( 4) (2)

4

ì

- = ïï

í

ï + - =

ùợ

ị (u-1)(u-2)(u2+5u+6) 0= u= Ú =1 u 2

· Với 1 5 2

u= Þ = -v (khơng thoả (*)) · Với 2 1 2

u= Þ =v Þ yx 27

ì = ï í = -ïỵ

Câu III. I dx

x x

6

0

1 sin cos

p

=

+

ò = dx

x

6

0

1

2 sin

p

p

ổ +

ỗ ữ

è ø

ò =

x

dx x

6

2

sin

1 3

2 1 cos

3

p p

p

ổ

+

ỗ ữ

ố ứ

ổ

- ỗ + ÷

è ø

ị

Đặt t cos x dt sin x dx

3

p p

ổ ổ

= ỗ + ữị = - ỗ + ữ

ố ứ è ø Þ I t dt

1

2

1 1 ln3

2 1

= =

-ò

Câu IV. K CH^AB (H ABẻ ) ị CH ^(ABB A' ') nên A¢H hình chiếu vng góc A¢C (ABB’A’) Do đó: ·ëéA C ABB A' ,( ' ')ù =û ·( ' , ' )A C A H =·CA H' =300

ABC a

S 1AC BC .sin1200

2

D = = ; AB2=AC2+BC2-2AC BC .cos1200 =7a2ÞAB a=

ABC

S a

CH

AB

2 21

7

D

= = Suy ra: A C CH0 21a

7 sin30

¢ = =

Xét DAA’C ta được: AA' A C' AC2 a 35

7

= - = Þ V S ABC.AA' a3 105 14

D

= =

Do CCÂP AAÂịCCÂP (ABB AÂ Â)

Suy ra: d A B CC( ' , ') d CC ABB A( ',( ' ')) d C ABB A( ,( ' ')) CH a 21

7

= = = =

Câu V.Điều kiện: - £ £2 x 3.Đặt t= x+ +2 3-x với xỴ -éë 2,3ùû

Ta có: t x x

x x x x

1 2

'

2 2

- - +

= - =

+ - + - ; t' 0= Û 3- =x x+ Û = -2 x

Dựa vào BBT ta suy tỴ ëé 5,5ùû Do t= x+ +2 3- Ûx 6+ -x x2 -3x t= -2 14

f t t t t

2

14

( ) + 0, ộ 5;5ự

 = > " ẻ ở û Þ f t( ) đồng biến éë 5;5ùû

Do đó: PT có nghiệm Û f( )5 m f(5) m 11

5

£ £ Û - £ £

Câu VIa.

1) (C’) có tâm O( )0;0 , bán kính R OA= =3 Gi H AB OM= ầ ị H l trung điểm AB Þ AH 12

5

= Suy ra: OH OA2 AH2

5

= - = OM OA

OH

2

= =

Giả sử M x y( ; ) Ta có: OMM C x y x y x y

2

2

( ) 18 65

5 ìï 25

ì Ỵ Û + - - + =

í = í

+ =

ỵ ïỵ

x x

y 34 y 50

ì = ì =

Ûí Úí

= =

ỵ ỵ

Vậy M(4;3) M(5;0)

2) (d) qua điểm M(0; 1;1)- có VTCT ur=(1;2;0) Gọi nr=( ; ; )a b c với a2+b2+c2¹0 VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a x( - +0) b y( + +1) c z( 1) 0- = Ûax by cz b c+ + + - =0 (1)

Do (P) chứa (d) nên: u nr r = Û +0 a 2b= Û = -0 a 2b (2)

( ) a b c b c

d A P b c b c

a b c b c

2

2 2 2

3

,( ) 3 5

5

- + + +

= Û = Û = Û + = +

+ + +

( )

b2 bc c2 b c c b

4 2

Û - + = Û - = Û = (3)

Từ (2) (3), chọn b= -1 Þ a=2,c= -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2x y- -2 0z+ =

Câu VIIa.Điều kiện: x> -1 x

2

¹ PT Û x2- + =x 2x-1 Û x=0;x=1;x=2

Câu VIb.

1) Gọi N’ điểm đối xứng với điểm N qua I Þ N' 3;5

ổ ỗ ữ

ố ø Þ Phương trình AB: x-3y+ =2

Suy ra: IH d I AB( , )

10 10

- +

= = = Do AC=2BD nên IA=2IB Đặt IB x= >0

Ta có:

2 2

1 1 1

IB +IA =IH Û x x x x

2

2

1 2 2

8

+ = Û = Û =

Đặt B x y( ; ): IB 2

B AB

ì = í Ỵ

ỵ Û

x x

x y

y

x y y

2 14 4 3

( 3) ( 3)

8

3

5

ì = ï

ì - + - = Ûï Úì = >

í í í =

- + = î

î ï =

ïî

Chọn B 14 8; 5

ổ

ỗ ÷

è ø

Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x y- -18 0=

2) Đặt A( 1- + - +a; 2 ; ), (2 ;1a a B + b +b;1+b), ta có uuurAB= - +( a 2b+ - + + - + +3; 2a b 3; a b 1)

Do AB // (P) nên: AB nuuur r^ P=(1;1; 2)- Û = -b a Suy ra: uuurAB=(a- - - -5; a 1; 3) Do đó: AB= (a-5)2+ - -( a 1)2+ -( 3)2 = 2a2-8a+35= 2(a-2)2+27 3³

Suy ra: minAB=3 3Û í = -ì =ab 22

ỵ , A(1;2;2), AB= - - -( 3; 3; 3)

uuur

Þ d:x y z

1 1

- -

-= =

Câu VIIb.Điều kiện: x< Ú >0 x BPT Û log 22 x- ³1 log (2 x2-2 )x Û 2x- ³1 x2-2x

· Nếu x<0 Ta hệ: x x x

x x2 x x2

0 1 0

1 2

ì < ì <

Û Û - £ <

í - ³ - í £

ỵ ỵ

· Nếu x>2 Ta hệ: x x

x x2 x x2 x

2

2

ì > ì >

Û

í - ³ - í - + £

ỵ î Û < £ +2 x

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN

Đề số 76

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng (d): y mx m= + cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(–1; 0), B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 1

Câu II

1) Giải hệ phương trình: ( )

( )

x y x y

x y xy x y

2

2

2 2 2 0 (1)

2 0 (2)

ì + + - + = ï

í

+ + + + =

ïỵ

2) Giải phương trình: 2 sin 2x 3sinx cosx 2

4

p

ỉ ư

+ = + + ỗ ữ

ố ứ

Câu III. Tính tích phân: I x ex x dx

x

2

3

4 ổ - ử

ỗ ữ

=

-ỗ ữ

ố ứ

ũ

Câu IV Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đơi một vng góc với

AB BC CD a= = = Gọi C’ D’ lần lượt hình chiếu của điểm B AC AD Tính thể

tích tích tứ diện ABC’D’

Câu V. Cho ba số dương x y z, , thoả mãn x y z yz

x

3

+ + = Chứng minh: x 2 3 ( )y z

6

-£ +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, tìm toạđộ đỉnh của một tam giác vuông cân, biết

đỉnh C(3; 1)- phương trình của cạnh huyền d x y: 3 - + =2 0 2) Giải phương trình: x+log (55 x+1-4) 0=

Câu VII.a(1,0 điểm) Từ chữ số 1, 2, 3, 5, 6, 7, có thể lập được số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau? Hãy tính tổng tất cả số vừa lập được

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(1; 1)- tâm của một hình vng, một trong cạnh của có phương trình d x: -2y+12 0= Viết phương trình cạnh cịn lại của hình vng

2) Giải bất phương trình: x4 log+ 3x >243.

Hướng dẫn Đề sô 76

Câu I 2) Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x3-3x2+ =4 mx m+ x

x m

1

( 2)

é =

-Û ê - - =

ë

(d) cắt (C) điểm phân biệt m m 09

ì >

ạợ Khi ú to cỏc giao điểm là:

( ) ( )

A( 1;0),- B 2- m m m m C;3 - , 2+ m m m m;3 +

m

BC m m d O BC d O d

m

2

2

2 , ( , ) ( , )

1

= + = =

+

OBC m

S m m m m m m

m

2

2

1 1 1

2

D = + = Û = Û = Û =

+

Câu II.

1) Ta có (2) Û(x y x y+ )( + +2) 0= Û é + =ê + + =x yx y 2 00

ë

· Với x y+ =0 Ta được: x y y x xy xy

x2 y2 x y x2 x

0

1

4

ì + = Ûì = - Ûì = - Úì =

-í + + - + = í + + = í = í =

ỵ ỵ

ỵ ỵ

· Với x y+ = -2 Ta được: x y y x xy yx

x2 y2 x y x2 x

2 2

0

4 10 12

ì + + = Ûì = - - Ûì = - Úì =

-í í í = í =

+ + - + = + + = ỵ ỵ

ỵ ỵ

Kết luận: Hệđã cho có bốn nghiệm ( ; )x y Ỵ -{( 1;1),( 2;2),( 2;0),( 3;1)- - - } 2) PT Û (sinx+cosx+1)(2cosx- =3) Û sinx+cosx+ =1 x k

x k

2

2

p p

p p

é

= - + ê

Û

ê = + ë

Câu III. I = xe dxx

2

1

ò + x dx

x

2

2

4

-ị

· Tính I xe dx ex

2

2

1

=ò = · Tính I x dx

x

2

2

1

-=ò Đặt x=2sint, t 0;

p

é ù

Ỵ êë úû

Þ I tdt t t

t

2

2

2 2

6

cos ( cot )

sin

p

p p p

= ò = - - =

3

p

-Vậy: I e2

3

p

= +

-Câu IV. Vì CD BC CD AB^ , ^ nên CD^(ABC)Þ VABCD 1 BA BC CD= a3

3

=

C¢ trung điểm AC; BD a= 2; AD a= 3; AD a 1AD

3

¢ = =

ABC D ABCD

V AB AC AD

V AB AC AD

1

6

  =  Â= ị

ABC D ABCD a

V 1V

6 36

¢ ¢= =

Câu V. Ta có x y z yz y z x y z x y z

x x

2

2

( ) 12 12( ) ( )

3 12

+

+ + = £ Û + + £ +

x x

y z y z

2

12.ỉ 12

ỗ ữ + - Ê

+ +

è ø Suy

x y z

2 3

-£

+ Do x 3 ( )6 y z

-£ +

trung điểm AB Phương trình đường thẳng CI: x+3y=0 I CI AB= ầ ị I 1;

5

ổ

-ỗ ữ

è ø Þ AI BI CI

72

= = =

Ta có:

A B d AI BI

,

72

ì Ỵ

ï

í = =

ïỵ Û

x y

x y

2

3

3 72

5 5

ì - + = ï

ỉ ổ

ớ +ỗ ữ +ỗ - ữ = ï

è ø è ø

ỵ

Û x y

x y

3; 19

5

9; 17

5

é

= =

ê ê

ê = - = -êë

Vậy toạđộ đỉnh cần tìm là: 19; , 17;

5 5

ổ ổ

-ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø

2) Điều kiện: 5x+1> Û >4 x log 15 - PT Û 5x+1- =4 5-x Û x=0

Câu VIIa. Số số có bốn chữ số lập là: A74 = 840 số

Ta có chữ số xuất hàng đơn vị 120 lần Þ Tổng chữ sốở hàng đơn vị là: 120(1 + + + + + + 9)

Tương tự cho chữ số xuất hàng chục, hàng trăm hàng nghìn

Do tổng số lập là: 120(1 + + + + + + 9).(1 + 10 + 100 + 1000) = 4399560

Câu VIb.

1) Giả sử cạnh AB nằm đường thẳng d x: -2y+12 0= Gọi H hình chiếu E lên đường thẳng AB Þ H( 2;5)- Þ AH BH EH= = = 45

Ta có:

45

A B d AH BH

, ì ẻ ớ = =

ợ

x y

x y

2 12

( 2) ( 5) 45

ì - + =

í + + - =

ỵ Û

4 8

8 2

x y

x ;; y

é = = ê = - =

ë Þ A(4;8), ( 8;2)B

-Þ C( 2; 10)- - Þ Phương trình cạnh cịn lại: AD x y: + -16 0= ; BC x y: + +14 0= ; CD x: -2y-18 0=

2) Điều kiện: x>0 BPT Û(4 log+ 3x)log3x>5 Û x

243

< < 3< x

Câu VIIb. Xét khai triển: (1+x)n=Cn0+C x C xn1 + n2 2+ × × × +C xnn n

Þ x(1+x)n =C x C xn0 + n1 2+C xn2 3+ × × × +C xnn n+1

Lấy đạo hàm vế ta được: (1+x)n+nx(1+x)n-1=Cn0+2C xn1 +3C xn2 2+ × × × + +(n 1)C xnn n Với x=1 ta được: S C= n0+2Cn1+3Cn2+ × × × + +(n 1)Cnn= +(2 n)2n-1

SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN

Đề số 77

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-5x2+3x+9 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số (1)

2) Gọi D đường thẳng đi qua A( 1;0)- có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị (C) tại ba

điểm phân biệt A B C, , cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) (O gốc toạđộ)

Câu II

1) Giải phương trình: x x x

x

cos2

tan 1 cot 3 3 1 cos2

ỉ ư

+ +ỗ ữ = +

ố ứ

2) Gii hệ phương trình:

y x

y x

x y3 x y2 xy y3

1 6

4 2 5 1

ì

+ = ï

í

ï - + + = ỵ

Câu III Tính tích phân: I = ln23ex dx

0

1

-ò

Câu IV Cho hình chóp S.ABC có SA a SB b SC c= , = , = ;·ASB BSC=· =60° ·CSA=900 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu V Cho a b c, , số thực thỏa mãn a2+b2+c2=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a b c

P

a b c

4 4 4

= + + - -

-PHẦN RIÊNG (3 điểm):

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD đó A thuộc đường thẳng

d x y1: + - =1 0 C D, nằm đường thẳng d2: 2x y- + =3 0 Tìm tọa độ đỉnh của hình vng biết hình vng có diện tích bằng

2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), B(0; 1;2)- , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến

P

( ) bằng khoảng cách từ C đến ( )P

Câu VII.a Tìm số phức z thỏa mãn z3+(2 1)i- z2- +( 2)i z i- + =2 0

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( ) :E x2 y2 1

25+ 9 = điểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt elip tại hai điểm A B, cho M trung điểm của AB

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z+ + - =1 0 ba điểm

A(2;1;3), (0; 6;2), (1; 1;4)B - C - Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( )P cho

MA MB MC+ +

uuur uuur uuur

đạt giá trị bé nhất

Câu VII.b Giải hệ phương trình: x y x y

x23 y2

log (2 ) log (2 ) (1)

4 3 (2)

ì + - - = í

- = ỵ

Hướng dẫn Đề sô 77

Câu I. 2) PT đường thẳng D: y k x= ( +1) PT hoành độ giao điểm (C) D: x3-5x2+3x+ =9 k x( +1) Û é = -ê - =(xx 3)12 k

ë

D cắt (C) ba điểm phân biệt Û(x-3)2 =k có hai nghiệm phân biệt khác -1 Û 0

16 k k ỡ > ớ ạ ợ (*)

Khi toạđộ giao điểm là: A( ; )-1 0 , B(3+ k k; 4( + k)), C(3- k k; 4( - k)) Do tọa độ trọng tâm DOBC: G

G x k y 2 ì = ï í = =

ïỵ Û k

3

= (thoả (*))

Câu II.

1) Điều kiện: ìísin3cos2xx¹01

¹

-ỵ PT Û Û(tanx- cot3 (tan)ëé - x x+ 3)ùû=0

Û 3 1

3 3 2 2

x

x x

tan ( )

cot (tan ) ( ) é =

ê

+ = ë

· (1) Û x k

3

p p

= + (loại)

· (2) Û 2tan3= x-tanx Û sin 3x sinx

3 p ổ - = ỗ ÷ è ø Û x k

x k loại

12 ( ) p p p p é = + ê Û ê -ê = + êë

Vậy PT có nghiệm: x k

12

p p

= +

2) Điều kiện: xy¹0 Đặt z y

1

=

HPT Û

x z

x z xz xz

x x x x x z xz z

z

z z z

3 2

3

6

( )

5

4

ì + = ï ì + = ï Û í í - + - = -ỵ ï - + + = ïỵ

Û x z xz

x z3

( )

( )

ì + =

í - = î

Û 2 2 3 0

1

x x x

z x ( )( ) ì - + + = í = -ỵ Û 2 2 1 1 x x z y ì = ịỡ = ớ = ớ = ợ ợ

Câu III. I = ln23ex dx

0

1

-ị Đặt 3ex- =1 t Þ dx t dt t 3 =

+ Þ I = t dt

1 3 1 ổ -ỗ ữ + ố ø

ò = dt

t 3 -+

ị Tính

dt I t 1 3 = + ò = 1 2 1 1 t dt

t t t

ỉ + - ư ỗ + ữ

- +

ố ứ

ò = ln2

3

p + Þ 3 2

3

I = -ln - p

Câu IV. Gọi A B C', ', ' nằm tia SA BC SC, , cho SA'=SB'=SC' 1= Ta có tam giác SA B' ', SB C' 'đều, tam giác SA C' ' vng cân S Do A B' '=B C' ' 1= C A' '= Þ tam giác A B C' ' ' vuông cân B' Gọi I trung điểm A C' ' Do SA'=SB'=SC' IA'=IB'=IC'

nên SI^( ' ' ')A B C

Ta có: SI SB B I SB A C

2

2 2 ' '

' '

2 2

ổ

Â

= - = -ỗ ÷ = - =

è ø

Do VSA B C' ' ' 1SI S A B C' ' ' 1SI A B B C ' ' ' '

3 D 12

Mặt khác S ABC

S A B C

V SA SB SC abc

V ' ' ' SA SB SC

' ' '

= = Vậy VS ABC. 2abc

12

=

Câu V. Trước hêt, nhận xét rằng, với x<2 ta có x x x

2

2

4

+ £

- (1)

Thật vậy, (1)Û9x£(4-x)(2x2+ Û1) 2(x-1) (2 x- £2) 0, với x<2 Với giả thiết a2+b2+c2=3, suy a b c, , <2 Do đó:

a b c a b c a b c

P

a b c

2 2 2

2 2 2( ) 1

4 4 9 9

+ + + + + +

= + + £ + + = =

- -

-Dấu "=" xảy Û a b c= = =1 Vậy GTLN P 1, đạt a b c= = =1

Câu VIa.

1) Giả sử A a( ;1- Ỵa) d1 Ta có SABCD= Û5 d A d( , )2 = Û a=1 a

3

-=

· Với a=1 Þ A(1;0) Þ Phương trình cạnh AD: x+2y- =1 Þ D( 1;1)- Giả sử C x y( ; ) Ta có: C d

DC

ì Ỵ í

=

ợ ị C( ; )0 3 hoc C( 2; 1)

-+ Với C( ; ) 0 3 Þ Trung điểm I AC I 3; 2

ổ

ỗ ữ

ố ø ÞB( )2;2

+ Với C( 2; 1)- - Þ Trung điểm I AC 1 1

2 2

Iổỗ- ;- ửữ

ố ứ ị B(0; 2- )

· Với a

3

-= A 10; 3

ổ-

ị ỗ ữ

ố ứ Tng tự ta tìm được: D

1 7; 3

ổ-

ỗ ữ

ố ø,C

4 1; 3

ỉ-

ỗ ữ

ố ứ, B

10 4; 3

ổ-

ỗ ữ

ố ứ

hoặc D 7; 3

ỉ-

ỗ ữ

ố ứ, C

2 13; 3

ổ

ỗ ữ

ố ø, B

4 16; 3

ỉ-

ỗ ữ

ố ứ

Vy cú hình vng ABCD thỏa mãn u cầu tốn: A(1;00, (2;2), (0;3), ( 1;1)B C D

-hoặc A(1;0), (0; 2), ( 2; 1), ( 1;1)B - C - - D - A 10; ,B 10 4; ,C 1; ,D 7;

3 3 3 3

ỉ- ỉ- ỉ- ổ-

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷

è ø è ø è ø è ø

hoặc A 10; ,B 16; ,C 13; ,D 7;

3 3 3 3

ỉ- ỉ- ỉ ổ-

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷

è ø è ø è ø è ø

2) Vì O Ỵ (P) nên ( ) :P ax by cz+ + =0, với a2+b2+c2 ¹0

Do A ẻ (P) ị a+2b+3c=0 (1) v d B P( ,( ))=d C P( ,( ))Û - +b 2c = + +a b c (2) Từ (1) (2) Þ b=0 c=0

· Với b=0thì a= -3c Þ ( ) : 3P x z- =0 · Với c=0 a= -2b Þ ( ) : 2P x y- =0

Câu VIIa. PT Û ( 1)(z- z2+2iz i+ - =2) Û é =ê + + - =zz2 12iz i 2 0

ë

Xét phương trình z2+2iz i+ - =2 Giả sử z a bi= + , vào ta được: a bi i a bi i

( + ) +2 ( + )+ - =2 Û(a2-b2-2b- +2) (2a+2ab+1)i=0

a b b

a ab

2 2 2 0

2

ì - - - =

Û í + + =

ỵ

a b

a b

2 ( 1)2 1 ( 1)

2

ì - + =

ï

Û í + = -ïỵ

a b

a

2

2 1

2

ì +

= ïï Û í

ï + = -ïỵ

Kết luận: z=1; z 1 i

2

ổ

+ ỗ - ữ

= - +ỗ ữ

ố ứ ; z i

2 1

2

ổ

+ ỗ - ữ

= - - -ỗ ữ

ố ứ

Cõu VIb.

Xét đường thẳng D qua M(1; 1) có PT: y k x= ( - +1) Toạ độ giao điểm A B, D ( )E nghiệm hệ: x y

y k x

2

1 (1)

25

( 1) (2)

ì

ï + =

í

ï = - +

ợ

ị (25k2+9)x2-50 (k k-1)x+25(k2-2k- =9) (3) PT (3) ln có nghiệm phân biệt x x1 2, với k Theo Viet: x x k k

k

1 50 (2 1)

25

-+ =

+

Do M trung điểm AB x x xM k k k

k

1 2 50 (2 1) 259

25

-Û + = Û = Û =

-+

Vậy PT đường thẳng D: 9x+25y-34 0=

2) Dễ thấy A B C, , không thẳng hàng Gọi G trọng tâm tam giác ABC, G(1; 2;3- ) Khi với MỴ( )P ta có uuur uuur uuurMA MB MC+ + =3MGuuuur, MA MB MCuuur uuur uuur+ + đạt giá trị bé ÛMGuuuur đạt giá trị bé ÛM hình chiếu vng góc G ( )P

(P) có VTPT nr=(1;1;1) Giả sử M x y z( ; ; ) ( )0 0 ẻ P ịx0+y0+z0- =1 (1)

M hình chiếu vng góc G ( )P ÛGMuuur=(x0-1;y0+2;z0-3) phương với nr x0 y0 z0 (x0 1) (y0 2) (z0 3)

1 1 1

- + - - + + +

-Û = = =

+ +

x0 y0 z0

( 1) 1

3

+ + - -

-= =

Û x0 2,y0 7,z0

3 3

-= = = Vậy M 8; ; 3

ổ -

ỗ ữ

ố ø

Câu VIIb. HPT Û log (2x y3 x yx y) log 2(22 x y)

(2 )(2 )

ì + =

-í + - =

ỵ

Đặt t=log (23 x y+ ) log 2(2= 2 x y- ) x y tt

x y

2

2

-ỡù + = ị

- = ùợ

Thay vào (2) ta được: 2t t-1= Û3 6t= Û =6 t Do ìí22x yx y+ =13Ûìíxy=11

- = =

ỵ ỵ

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC

Đề số 78

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+4 ( )C 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

2) Gọi d đường thẳng qua điểm A(–1; 0) với hệ số góc k Tìm k đểđường thẳng d cắt (C) ba

điểm phân biệt A, B, C hai giao điểm B, C với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích

Câu II

1) Tìm nghiệm phương trình: sin cos4x x sin 22 x 4sin2 x

4 2

p

ổ

- = ỗ - ÷

-è ø (1)

thoả mãn điều kiện : x- <1 (2)

2) Giải phương trình sau: 2(x2-3x+2) 3= x3+8

Câu III Tính tích phân: I x e dxx

x

2

0

1 sin cos

p

+ =

+ ò

Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với

đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM a

3

= Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Câu V Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z+ + =1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

P xy yz zx

xy z yz x zx y

= + +

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác ABC, với A(2; 1) , (1; 2)- B - , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng d x y: + - =2 Tìm tọa độđỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27

2

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- N( 1;1;3)- Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (Oxy) cho IM IN+ nhỏ

Câu VIIa Giải bất phương trình: x x

x 2.5

5

5

+ >

-

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng dđi qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y - 4 = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết

điểm E(1; -3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2)- , đường thẳng D: 2x- = + =2 y z mặt phẳng (P): 2x+2y z+ + =5 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện hình trịn có chu vi 8p Từ lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D tiếp xúc với (S)

Câu VIIb (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: z4 z3 z2 z

2

Hướng dẫn Đề sô 78

Câu I. 2) PT đường thẳng d: y k x= ( +1) PT hoành độ giao điểm (C) d: x3–3x2+ =4 kx k+ (1)Û (x+1)( –4x2 x+4 – ) 0k = Û x

g x x2 x k

1

( ) 4 (2)

é =

-ê = - + - =

ë

d cắt (C) điểm phân biệt Û (2) có nghiệm pb khác –1 Ûì >í - ¹gD( 1) 0' Û < ạ0 k

ợ (*)

Khi giao điểm A(–1; 0), B, C Do x xB C, nghiệm (2) Ta có: BC= (xC -xB)2+(yC -yB)2 = xC-xB 1+k2 ; h d O d k

k2

( , )

= =

+

k

S h BC k k k k

k

2

2

1 . 2 1 8 4

2 2 1

= = + Û = Û =

+ (thoả (*))

Câu II.

1) PT (cos4x 2) sinx

2

ổ

+ ỗ + ữ=

è ø

x k

x k

2

7 2

6

p p

p p

é

= - + ê

Û ê

ê = + êë

Mặt khác: x- < Û - < <1 x

· Với k2 k

p p

- < - + < Þ = Þ x

6

p

=

-· Với k2 k

p p

- < + < Þ = Þ x

6

p

=

2) Điều kiện: x³ -2 PT Û3 (x+2)(x2-2x+4) 2(= x2-2x+ -4) 2(x+2)

Vì x= -2 khơng phải nghiệm nên chia vế PT cho x+2, ta được:

PT x x x x

x x

2

2( 4) 3 2 0

2

- + - +

Û - - =

+ + Đặt

x x

t

x

2 2 4

2

- +

=

+ , t³0

Ta có: PT Û2t2- - = Û =3 0t t Þ x= ±3 13 (thoảđiều kiện)

Câu III. I e dxx x e dxx

x x

2

2

0

1 sin

2 cos cos

2

p p

= +

+

ị ị

· Tính x x

x x

x

I e dx e dx

x x

2

1

2

0

2sin cos

sin 2 2

1 cos 2cos

2

p p

= =

+

ò ò x e dxx

0 tan

2

p

= ò

· Tính I e dxx

x

2

2 cos

2

p

= ò Đặt

x

x

u e

du e dx dx

dv v x

x

2 tan

2cos 2

ì =

ì =

ïï Þï

í = í

=

ï ïỵ

ïỵ

Þ I e2 xe dxx

2

0 tan

2

p p

= -ò

Do đó: I I I e2

1

p

= + =

Câu IV. Ta có: MN // AD; ·SBA=600; SA a= 3; SM 3a

3

= SM SN

SA SA

2

Þ = =

Ta có: VS ABCD. =VS ABC. +VS ADC. =2VS ABC. =2VS ADC. VS BCNM. =VS BCM. +VS CNM.

Do đó: S BCNM S BCM S CNM S BCM S CNM

S ABCD S ABCD S ABC S ADC

V V V V V

V.. V . 2V.. 2V..

+

= = +

SM SB SC SM SN SC

SA SB SC SA SD SC

1. . . 1. . .

2 9

Mà VS ABCD. 1SA dt ABCD ( ) 3a3

3

= = VS BCNM. 10 3a3

27

Þ =

Câu V. Do xy z xy+ = +1.z xy z x y z= + ( + + =) (x z y z+ )( + ) nên: xy

xy z+ =

x y x y

x z y z x z y z

1

2

ổ

Ê ỗ + ÷

+ + è + + ø (1)

Tương tự: yz y z

yz x x y x z

1

ỉ

£ ỗ + ữ

+ ố + + ứ (2),

xz x z

xz y x y y z

1

ổ

Ê ỗ + ÷

+ è + + ø (3)

Cộng (1) , (2) (3), vế theo vế, ta được: P xy yz zx xy z yz x zx y

= + +

+ + +

3

£ Dấu "=" xảy Û x y z

3

= = = Vậy giá trị lớn nhất của P x y z

2

= Û = = =

Câu VIa.

1) AB= 2; Phương trình AB: x y- - =3 0 Giả sử: G t( ; )- ẻt d ị d G AB( , ) 5t

-=

ABG t

S 1AB d G AB ( , )

2

-= = Mặt khác SABG 1SABC

3

= = , nên: 9t

2

- = Û t

t 72

é = ê = -ë

· Với t=7 Þ G(7; 5)- Þ C(18; 12)- · Với t= -2 Þ G( 2;4)- Þ C( 9;15)

-2) PT mp (Oxy): z=0 M, N nằm phía đối với mp (Oxy) Gọi M¢ điểm đối xứng với M qua (Oxy)

Ta có: IM IN IM IN M N+ = ¢+ ³ ¢ Dấu "=" xảy Û M¢, I, N thẳng hàng Û I = MÂN ầ (Oxy) Ta tỡm c: MÂ - -(0; 1; 2) ị MÂN: x y z

1

+ -

-= =

- I = MÂN ầ (Oxy) ị I

2 1; ;0 5

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

Cõu VIIa.Điều kiện: x>log 25 (*) Đặt t=5 ,x t>2

BPT t t

t2

2 3 5

4

Û + >

- Û

t

t t

t t t

4

2 2

20

4 45

4

é >

+ > Û ê

- - ê <ë

x x

5 log 20

1

é > ê Û ê <

êë

(**) Kết hợp (*) (**) ta được: log 25 x x log 205

2

< < Ú >

Câu VIb.

1) Gọi H chân đường cao xuất phát từ A Þ H đối xứng với A qua dÞ H( 2; 2)- -

Þ PT đường thẳng BC: x y+ + =4 Gi s B m( ; 4- -m)ẻBC ị C( 4- -m m; ) Þ CEuuur= +(5 m; 3- -m , AB) uuur=(m- - -6; 10 m)

Vì CE AB^ nên uuur uuurAB CE = Û0 (m-6)(m+ +5) (m+3)(m+10) 0= Û m=0;m= -6 Vậy: B(0; 4), ( 4;0)- C - B( 6;2), (2; 6)- C -

2) Ta có: d d I P= ( ,( )) 3= Gọi r bán kính hình trịn thiết diện Ta có: 2pr=8p Þ =r

Suy bán kính mặt cầu: R2=r2+d2 =25 Þ ( ) : (S x-1)2+ -(y 2)2+ +(z 2)2=25

Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với ( )D điểm M 5 4; ; 3

ổ

-ỗ ữ

ố ứ

Do đó: (Q) chứa ( )D tiếp xúc với (S) qua M 5 4; ;

3 3

ổ

-ỗ ÷

è ø có VTPT MI

2 11 10; ;

3 3

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

uuur

Þ PT mặt phẳng (Q): 6x-33y+30 105 0z- =

Câu VIIb. Phương trình có nghiệm z ;i z ;i z i 1;z i

2

-

-= + = - = =

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

Đề số 79

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I. Cho hàm số y x

x

2

1

+ =

- có đồ thị (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm giá trị mđể đường thẳng y= - +3x m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d x: -2y- =2 (O gốc tọa độ)

Câu II.

1) Giải bất phương trình: x3+(3x2-4x-4) x+ £1

2) Giải phương trình: cosx cos3x sin 2x

4

p

ỉ

+ = + ỗ + ữ

ố ứ

Cõu III. Tớnh tích phân: I x 2xdx

0

1 3sin2 2cos

p

= ò - +

Câu IV.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a AD= , =2 2a Hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo a

Câu V Cho x, y, z số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

x xy y yz z zx

y zx z z xy x x yz y

2 2

2 2

2 2 1

( ) ( ) ( )

+ + + + + ³

+ + + + + + (1)

II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y+ + =5 0, d2: 3x y+ + =1 điểm I(1; 2)- Viết phương trình đường thẳng Dđi qua I cắt d d1, 2 A B cho AB=2

2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x+3y z- + =2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi D giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc D cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ

Câu VIIa Tìm số phức z thỏa mãn (1 )- i z số thực z- +2 5i =1

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y+ + =5 0, d x2: -3y+ =5 điểm I(1; 2)- Gọi A giao điểm d d1, 2 Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d d1, 2 B C cho

AB2 AC2

1 +

đạt giá trị nhỏ

2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) C(2; 2; 1) mặt phẳng (P): x+3 –y z+ =2 Tìm tọa độđiểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ

nhất

Câu VIIb Giải hệ phương trình: x y

x y

xy y x x

y x

2

1

1

2log ( 2) log ( 1) (1)

log (-- 5) log + ( 4) 1+ (2)

ì - + - + + - =

ï

í + - + =

ïỵ

Hướng dẫn Đề sơ 79

Câu I. 2) PT hoành độ giao điểm: x x m

x

2 3

1

+ = - +

- x m x m

2

3 (1 )

Û - + + + = (1), (x¹1) d cắt (C) A B Û (1) có nghiệm phân biệt khác Û ê < -é >mm 111

ë (*)

Gọi x x1 2, nghiệm (1) Khi A x( ; 31 - x1+m B x), ( ; 32 - x2+m)

Gọi I trung điểm AB xI x1 x2 m,yI 3xI m m

2

+ +

-Þ = = = - + =

Gọi G trọng tâm tam giác OAB OG 2OI G m m;

3

ỉ + -

Þ = ị ỗ ữ

ố ứ

uuur uur

m m

G d 2 m 11

9

ỉ

+

-ẻ - ỗ ữ = =

-è ø (thoả (*)) Vậy m

11

= -

Câu II.

1) Điều kiện : x³ -1 Đặt y x y y2 x

0

1

ì ³

= + Û í

= +

ỵ BPT Û x x y y

3+(3 2-4 )2 £0 · Nếu y= Û = -0 x thoả BPT

· Nếu y> Û > -0 x Chia hai vế cho y3 ta được: x x

y y

3

3

æ ổ

+ - Ê

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø Đặt

x t

y

= Ta được: t3+3t2- £4 Û t£1 Þ

x

x x x x

y x2 x

1

0

1

1

é- £ < êì ³

£ Û £ + Û êí

- - £ êỵ

ë

x

1

2

+ Û - £ £

Kết hợp x> -1 ta x

2

+

- < £ Vậy tập nghiệm BPT S = 1;1

é + ù

-ê ú

ë û

2) PT Û êé(coscosxx+sinsin )(2cosxx=0 x 1) cosx sinx

- - = +

ë Û x k x; k x k;

p p p p p

= - + = + =

Câu III. I x x dx

0

sin cos

p

= ò - = I x x dx x x dx

0

3

sin cos sin cos

p p

p

=ò - + ò - = -3

Câu IV. Gọi H trọng tâm DBCD Þ SH ^(ABCD) Suy ·SAH=450ÞSH AH=

Gọi O AC BD CH 2CO 1AC a AH AC HC 2a

3

= ầ ị = = = ị = - = Þ SH =2a

Þ V 1SABCD.SH 1a.2 2a a 2a3

3 3

= = =

Gọi M trung điểm SB Þ SD // (ACM) Do d SD AC( ; )=d SD ACM( ;( ))=d D ACM( ;( ))

Chọn hệ trục Oxyz, cho: A(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 ;0),B a D a S 2a; a;2 , ( ;2 ;0)a C a a

3

ổ

ỗ ữ

è ø

Khi đó: M 2a; a;a

6

ổ

ỗ ữ

è ø; AC=( ;2 ;0)a a

uuur

; AM 2a; a;a

6

ổ

= ỗ ữ

ố ứ

uuur AC AM, (2 ;a2 a2; )a2

é ù = -

-ëuuur uuurû

Phương trình (ACM): 2x y 2z d D ACM( ;( )) 2a 2a

8 11

= Þ = =

+ +

Câu V. Đặt P x xy y yz z zx

y zx z z xy x x yz y

2 2

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

+ + +

= + +

Ta có (y+ zx z+ )2 =( y y+ x z + z z )2£(y x z y z z+ + )( + + )

x xy x xy

x y z y z x y z y z

y zx z y zx z

2

2

1 2

( )( ) ( )( )

( ) ( )

+ +

Þ ³ Û ³

+ + + + + +

+ + + +

x xy x x x xy xz x

x y z y z x y z y z

2

1 2 2

( ) ( )

ổ + ổ + +

= ỗỗ + - ữữ= ỗỗ - ữữ

+ + ố + ø + + è + ø

x x

y z x y z

2

=

-+ + +

Tương tự, ta được: y yz y y

z x x y z z xy x

2

2

2

( )

+ ³

-+ + +

+ + ;

z zx z z

x y x y z x yz y

2

2

2

( )

+ ³

-+ + +

+ +

Cộng BĐT, vế theo vế, ta được:

P x y z

y z z x x y

2 2 1

2 2

³ + +

-+ + +

x y z x y z

xy xz yz yx zx zy xy yz zx

2 2 2( )2

2 1

2 2 3( )

ỉ + +

= ỗỗ + + ữữ-

-+ + + + +

è ø

Mặt khác, ta chứng minh được: (x y z+ + )2³3(xy yz zx+ + ) Suy P ³ - =2 1 Dấu "=" xảy Û x y z= =

Câu VIa.

1) Giả sử A a( ; 3- - Ỵa 5) d B b1; ( ; 3- - Îb 1) d2; uurIA=(a- - -1; 3a 3); IBuur=(b- - +1; 3b 1)

I, A, B thẳng hàng ÞIB kIA= Û í- + = - -ì - =b3b1 1k a(k( 3-1)a 3) ỵ

uur uur

· Nếu a=1 b=1 Þ AB = (khơng thoả)

· Nếu a¹1 b b a a b

a

1

3 ( 3)

1

+ = - - Û =

-AB= (b a- )2+éë3(a b- +) 4ûù2 =2 2Û +t2 (3 4)t+ =8 (với t a b= - )

t2 t t t

5 12 2;

5

Û + + = Û = - =

-+ Với t= - Þ - = - Þ =2 a b b 0,a= -2 Þ D:x y+ + =1

+ Với t a b b 4,a

5 5

-

-= Þ - = Þ = = Þ D: 7x y- - =9

2) Gọi I trung điểm AB I 3 3; ; ; AB ( 1; 1; 1) 2

ổ- -

ị ỗ ữ =

-ố ø

uuur

Þ PT (Q): x y z

2

+ + + =

D giao tuyến (P) (Q) Þ PTTS D: x ;t y t z; t

4

ì

= - + = - = -í

ỵ

Giả sử M ; ;t t t ; OM 6t2 15t 25

4

æ

- + - - Ỵ D = - +

ỗ ữ

ố ứ

OM nhỏ t M 3; ;

8 8

ỉ

= ị ỗ- - - ữ

ố ứ

Cõu VIIa Giả sử z a bi= + , (1 )- i z= -(1 )(i a bi+ )= +a 3b b+ -( )a i

· (1 )- i z số thực Û -b 3a= Û =0 b 3a

· z- +2 5i = Û - + -1 a (5 )a i = Û1 (a-2)2+ -(5 )a =1 Û aa 27 bb 621

5

é = Þ = ê

= Þ = ê

ë

Vậy z= +2 6i z 21i

5

= +

Câu VIb.

1) Ta cú: d1^d d2 1, ầd2= ịA A( 2;1)- Gọi H hình chiếu A BC

DABC vuông A nên

AB2 AC2 AH2

1 + =

Do đó:

AB2 AC2

1 +

nhỏ

AH2

1

AH

Û lớn ÛH Iº Khi D qua I có VTPT n AIr=uur= - -( 1; 1) Þ Phương trình D: x y+ + =1

2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Þ G 1; ;4

3

æ

ỗ ữ

ố ứ

Ta cú: MA2+MB2+MC2 =3MG2+GA2+GB2+GC2

Do đó: MA2+MB2+MC2 nhỏ Û MG nhỏ Û M hình chiếu G (P)

Þ M 22 61 17; ;

3 3

ổ

-ỗ ữ

è ø

Câu VIIb.Điều kiện: íì1 21 1¹ - >xy 00Ûìí02¹ <xy 1 ¹ + > < ¹

-ỵ ỵ

Ta có: (1)Û2log (11-x -x y)( + +2) 2log2+y(1-x) 6= Û +2 2log (1-x y+ +2) 2log2+y(1-x) 6= Đặt t=log (1-x y+2) ta t t t t

t

2

2

Û + + = Û - + = Û = Þ y+ = -2 x

Thế vào (2) ta được: x x x x x x x x

x x

1 1 2

log ( 2) log ( 4) log 1

4

- + - - + = Û - ++ = Û ++ =

-Û x x x thoả

x loại

2 4 2 0 ( )

2 ( )

é = - = Û ê

= +

ë Vậy x= -2 6,y= - -1

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN

Đề số 80

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012

Mơn thi: TỐN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y x

x

3

2

+ =

+ có đồ thị (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Tìm tọa độ M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ (I giao điểm

đường tiệm cận )

Câu II.

1) Giải phương trình: sin sinx x cos sinx 2x 2cos2 x

2

p

ỉ

+ - = ỗ - ữ

ố ứ

2) Giải hệ phương trình:

x y x y

y

x y

x

2

3

2

2

ì - + + =

ï í

+ =

ï ỵ

Câu III Tính tích phân: I x x x xdx

x x

2

3

3

( sin )sin sin sin

p p

+ + =

+ ị

Câu IV.Cho hình lăng trụABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách điểm A, B, C Mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

a2

8 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Câu V. Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: P

a a bc b b ac b b ac c c ab c c ab a a bc

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + +

+ + + + + + + + +

II PHẦN RIÊNG(3điểm).

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho tam giác ABC cân đỉnh C biết phương trình đường thẳng AB là: x y+ –2 0= , trọng tâm tam giác ABC G 14 5;

3

ổ

ỗ ÷

è ø diện tích tam giác ABC

bằng 65

2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z+ - + =1 đường thẳng:

d: x y z

1

- = - =

- Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm

trong (P), vng góc với d cho khoảng cách từ I đến D

Câu VIIa. Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình:

1 1 0

d x y: + + = , phương trình đường cao kẻ từ B d x2: -2y–2 0= Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ đỉnh C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương trình x y z

2

-

-= -= Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d cho khoảng cách từd tới (P) lớn

Câu VIIb. Giải phương trình: 42x+ +x 2+2x3=16.2 8x+ +2x3+ -4 4x

Hướng dẫn Đề sơ 80 Câu 1: 2) (C) có hai tiệm cận: d x1: + =2 0;d y2 - =3

Gọi M a a C a

a

3

; ( ),

2

ổ + ửẻ ạ

-ỗ + ữ

è ø PTTT (C) M là:

a

y x a

a

a

4

: ( )

2 ( 2)

D = - + +

+

+

Các giao điểm D với d d1 2, : A a a

3

2;

ổ- -

ỗ + ÷

è ø, B a(2 +2;3)

Tam giác IAB vng I ÞAB đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB

Þ Diện tích hình trịn S AB a

a

2

2

2 64

4( 2)

4 ( 2)

p

p é ù p

= = ê + + ú³

+

ë û

Dấu "=" xảy Û a aa

a

2

2

16

( 2) 4

( 2)

é =

+ = Û ê =

-ë +

Vậy có hai điểm M thỏa mãn tốn M(0; 1) M(–4; 5)

Câu II.

1) PT sin sinx x cos sinx x

2

ổ

ỗ - - ÷=

è ø

x

x x x

sin

sin cos sin

2

é =

ê Û

- - =

ê ë

x kp

Û =

2) Điều kiện: ì -í ¹3xx 02y³0;4x y+ ³0

ỵ

HPT x xy y x y x y

x y x y

x y x y

2 (2 )( 2 ) 0

2

3

3

ì ì - - =

ï - + =

Ûí Ûí

- + + =

- + + =

ï ỵ

ỵ

· Với y=2x HPT Û íì =y3x2-x2y+ 4x y+ =5

ỵ (hệ vơ nghiệm)

· Với x=2y HPT Û íì =x3x2-y2y+ 4x y+ =5

ỵ Û

y x 12

ì = í =

ỵ Vậy hệ có nghiệm (2; 1)

Câu III. I x dx dx

x x

2

3

2

3 sin sin

p p

p p

= +

+

ị ị

· Tính I x dx

x

2

1 2

3 sin

p p

=ò Đặt

u x du dx

dx

dv v x

x

2 cot

sin

ì =

ï Þì =

í = í =

-ợ

ùợ ị I1

p

=

· Tính I = dx dx dx

x x x

2 2

3 3

2

2

3 3

4

1 sin 1 cos 2cos

2

p p p

p + = p ỉp ư = p ỉp ư=

-+ ç - ÷ ç - ÷

è ø è ø

ò ò ò

Vậy: I

3

p

= + -

Câu IV. Gọi O tâm DABC Do A¢A = A¢B = A¢C nên A¢O ^ (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc B lên AA¢ Khi (P) º(BCH) Gọi M trung điểm BC MH ^ AA¢ ·A AM' nhọn H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) DBCH

DABC cạnh a nên AM a 3,AO 2AM a

2 3

= = = ; HB = HC = a2+AH2 ÞHM BC^

BCH a a a

S 1HM BC HM

8

= Þ = Þ = ; AH AM2 HM2 3a2 3a2 3a

4 16

= - = - =

Hai tam giác A¢AO MAH đồng dạng Þ A O HM

AO AH

' = Þ A O AO HM a a a

AH a

3

'

3 3

Vậy: V A O S' ABC 1A O AM BC' 1a a 3a a3

2 12

= = = =

Câu V. P

a2 b2 b2 c2 c2 a2

1 1

2 3

= + +

+ + + + + +

Ta có: a2+b2³2 ,ab b2+ ³1 2bÞ

ab b a2 b2 a2 b2 b2

1 1.

2

2 3= £ + +

+ + + + + +

Tương tự:

bc c ca a

b2 c2 c2 a2

1 1. , 1.

2

2 3£ + + 3£ + +

+ + + +

Do đó: P ab b

ab b bc c ca a ab b b ab ab b

1 1 1 1

2 1 1

£ + + = + + =

+ + + + + + + + + + + +

ổ ổ

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø

Dấu "=" xảy Û a b c= = =1 Vậy GTLN P

2 a b c= = =1

Câu VIa.

1) Gọi H trung điểm AB ÞCH^AB Þ CH: x y- - =3 Þ H 1; 2

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ ị C(9;6)

Gi A(a a; - ẻ) AB ị B(5-a a; -3) AB (5 ;2a a 5); CH 13 13;

2

ỉ

Þ = - - = -ỗ - ữ

ố ứ

uuur uuur

ABC a

S 65 1AB CH 65 8a2 40a a 50

2 2 é =

= Û = Û - = Û ê =

ë V

· Với a=0 ÞA(0;2); (5; 3)B - · Với a=5 ÞA(5; 3), (0;2)- B

PT đường trịn (C) ngoại tiếp DABC có dạng: x2+y2+2ax+2by c+ =0 (a2+b2- >c 0)

(C) qua A, B, C nên

a b c

a b c b

a b c

c

137 26

4 59

10 34

26

18 12 117 66

13

ì = -ï

ì + = - ï

-ï - + = - Ûï =

í í

ï + + = - ï

ỵ

ù = ùợ

ị (C): x2 y2 137x 59y 66

13 13 13

+ - - + =

2) (P) có VTPT nrP =(1;1; 1)- d có VTCP ur=(1; 1; 3)- - I d= ầ( )P ịI(1;2;4)

Vỡ Dè( );P D^ Þd D có véc tơ phương urD=éën ur rP, ùû= -( 4;2; 2)

-Gọi H hình chiếu ca I trờn D ị ẻH mp Q( )qua I vng góc D

Þ Phương trình (Q): -2(x- + - - -1) (y 2) (z 4) 0= Û -2x y z+ - + =4

Gọi d1=( ) ( )P ầ Q ịd1cú VTCP ộởn nr rP Q; ù =û (0;3;3) 3(0;1;1)= d1 qua I

x

d y t

z t

1

1

:

4

ì = ï

Þ í = +

ï = + ợ

Gi s H dẻ ị1 H(1;2 ;4 )+t + Þt uurIH=(0; ; )t t Ta có: IH =3 2Û 2t2 =3 2Û ê = -é =tt 33

ë

· Với t= Þ3 H(1;5;7) Þ Phương trình :x y z

2 1

D - = - =

-· Với t= - Þ3 H(1; 1;1)- Þ Phương trình :x y z

2 1

D - = + =

-

Câu VIIa. Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a= 1 7 · Giả sử a1 0:

+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C72 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C53 + Số cách xếp cho vị trí cịn lại là: A82

+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C62 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C43 + Số cách xếp cho vị trí cịn lại là:

Vậy số số cần tìm là: C C A72 .5 83 2-C C62 .7 1134043 = (số)

Câu VIb.

1) Ta cú: B d= 1ầd2 ịB(0; 1) uuurBM=(2;2) Þ MB ^ BC Kẻ MN // BC cắt d2 N, tam giác ABC cân Þ BCNM hình chữ nhật

PT đường thẳng MN: x y+ - =3 0; N = MN ầ d2 ị N 1; 3

ổ

ỗ ữ

è ø

NC ^ BC Þ PT đường thẳng NC: x y

3

- - = C = NC ầ d1 ị C 5; 3

ổ

-ỗ ÷

è ø

AB qua B AB ^ CM Þ PT đường thẳng AB: x+2y+ =2 AC qua C AC ^ BN Þ PT đường thẳng AC: 6x+3y+ =1

2) Gọi H hình chiếu vng góc A dÞ H cốđịnh AH = const Do (P) //d nên d d P( ,( ))=d H P( ,( ))

Gọi I hình chiếu vng góc H (P) Þd H P( ,( ))=HI HA£ ÞHI lớn Û A Iº Þ (P) mặt phẳng qua A vng góc với AH

d có VTCP ur=(2;1;3 Giả sử H(1 ; ;1 )+ t t + t Ỵd

Ta có: uuur rAH u =0 ÞH(3;1;4)ÞuuurAH( 7; 1;5)- - Þ PT mặt phẳng (P): 7x y+ -5z-77 0=

Câu VIIb.Điều kiện x³ -2 PT Û (24 4x- -1)(42+ x+2 -2 ) 0x3 = · Với 24 4x- = Û1 4x- = Û =4 x

· Với 24 2+ x+2 =2x3 Ûx3=2 x+ +2 4Û x3- =8 2( x+ -2 2)

Û x x x x

x

2 2( 2)

( 2)( 4)

2

+ + =

+ +

x

x x

x

2

2 (*)

2

2

é - = ê

Ûê + + =

ê + +

ë

Giải (*): VT = x2+2x+ =4 (x+1)2+ ³3 3; VP = x

2 1

2 2£ Þ

+ + (*) vơ nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm: x=1, x=2

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

Đề số 81

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: Cho hàm số: y f x x

x

2

( )

1

+

= =

- (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (C)

2) Tìm giá trị m cho đường thẳng (d): y x m= + cắt (C) điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (I tâm đối xứng (C))

Câu II:

1) Giải phương trình lượng giác: x x x x

x

cos2

cot –1 sin sin2

1 tan

= +

-+

2) Giải bất phương trình sau: log log1 5( x2 x) log log3 1( x2 x)

3 5

+ + > +

-Câu III: Tính tích phân: x dx

x x

I

2

0

sin2 cos 4sin p

+

=ò

Câu IV: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc

0

45 Gọi P trung điểm BC, chân đường vng góc hạ từ A¢ xuống (ABC) H cho AP 1AH

2

= uuur uuur

Gọi K trung điểm AA¢, (a) mặt phẳng chứa HK song song với BC, cắt BB¢ CC¢ M, N Tính tỉ số thể tích ABCKMN

A B C KMN V

V ' ' '

Câu V: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c

2

+ + £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

S a b c

b c a

2 2

2 2

1 1

= + + + + +

II PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a

1)Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân giác vẽ từ C d x: +2y- =8 Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x-2y+5 0z- =

Q x y z

( ) : -4 - +8 12 0= Lập phương trình mặt phẳng ( )a qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc 450

Câu VII.a: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z, thỏa mãn đẳng thức:

i z

i

4 2

1

- =

-

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b:

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ +(y 1)2 =2 điểm A(0; –4), B(4; 0) Tìm tọa độ điểm C D cho đường trịn (C) nội tiếp hình thang ABCD có đáy AB CD

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình

S x2 y2 z2 x y z P x y z

( ) : + + -4 +2 -6 + =5 0, ( ) : +2 - +16 0= Điểm M di động (S) điểm N di

động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Khi xác định vị trí điểm M, N tương ứng

Câu VII.b: Tìm giới hạn:

x

x x x x

A

x

3

2

2

1 ln(1 )

lim

3

®

+ + + - +

Hướng dẫn Đề số 81

Câu I. 2) Tâm đối xứng (C) I(1; 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C):

x

x x m

x f x x2 m x m

1

2

1 ( ) ( 3) 1 0

ì ¹

+ = + Û íï

- ïỵ = + - - - =

d cắt (C) điểm phân biệt M, N Û f x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt x xM, N khác

m m

f

2 2 13 0

(1)

D

ìï = - + >

= -

ùợ (ỳng vi m) Tọa độ giao điểm M x y( M; M), ( ; )N x yN N

M N M N

MN = (ëé x +x )2-4x x ûù = 2(m2-2m+13); d d I d( , ) m

2

-= =

IMN

S 1MN d m m2 2m 13

2

= Û = Û - - + = Û m=3;m= -1 Câu II.

1) Điều kiện: x

x

sin2

tan

ì ¹

ớ

ạ

-ợ PT x x x x x

2

(cos sin )(1 sin cos sin )

Û - - + =

x x

x x 2x

cos sin

1 sin cos sin

é - =

Û ê - + =

ë x k

p p

Û = +

2) BPT Ûlog log3 5( x2+ +1 x)<0 Û <0 log5( x2+ +1 x)<1 Û <1 x2+ + <1 x

x x x x x

x x x x

2

2

1 5 0 12

5

1 1

ì + + < ì + <

-ï ï

Ûí Ûí Û < <

ï + + > ïỵ + > -ỵ

Câu III. x x dx

x

I

2

2sin cos 3sin p

=

+

ò Đặt u= 3sin2x+1 Þ udu du u

I 2

1

2

2

3

3

= =

=ò ò

Câu IV. Gọi Q, I, J trung điểm B’C’, BB’, CC’ ta có: AP a

2

= ÞAH a=

Vì D'AHA' vng cân H nên A H a' = SABC 1a.a a2

2

= =

Vậy: VABCA B C' ' ' SABC 'A H a 3.a2 3a3

4

= = =

Vì D'AHA' vng cân ÞHK AA^ 'ÞHK^(BB C C' ' ) Gi E = MNầKH ịBM = PE = CN AA’ = A H' 2+AH2 = 3a2+3a2 =a AK a BM PE CN a

2

Þ = Þ = = =

a

KE 1KH 1AA

2 ¢

= = = SMNJI MN MI a .a a2

4

= = =

KMNJI MNJI a a a

V 1S KE 6

3 4

Þ = = = Do vậy: ABCKMN

A B C KMN

a a

V

V a a

3

2

' ' '

3

1

8

2

8

-= =

+ Câu V. Biến đổi sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski

( )

a a a

b

b b

2 2

2

1 1 1 4

17 17

æ ổ

+ = ì ỗ + ữ + ìỗố + ữứ

ố ứ (1)

Tương tự: b b c c

2

1

17

ỉ

+ ìỗ + ữ

ố ứ (2), c2 a2 c a

1

17

æ

+ ìỗ + ữ

S a b c

a b c

1 4

17

ỉ

ìỗ + + + + + ữ

ố ø a b c a b c a b c

1 1 15 1

4 4

17

é ỉ ứ

= ìờ + + + + + + ỗ + + ÷ú

è ø

ë û

abc

a b c a b c abc

6

3

1 6 1 15 3 1 1 3 45

4 4 4

17 17

é ỉ ứ ỉ ư

ê ú

³ × ì ì ì + ỗ ì ì ì ữ = ỗỗ + ì ữữ

ờ ố ứỳ

ở û è ø

a b c

1 3 45 1 3 45 2 17

4

17 17

3

ỉ ổ

ỗ + ì ữ ỗ + ì ữ=

+ + ố ứ

ỗ ữ

è ø

Dấu "=" xảy Û a b c

2

= = =

Vậy MinS 17

2

= a b c

2

= = = Câu VIa.

1) Gọi E điểm i xng ca A qua dị E ẻ BC Tỡm E(1;1) Þ PT đường thẳng BC: 4x+3y+ =1 C d BC= ầ ị C( 2;5)-

Phng trình đường trịn (ABC) có dạng: x2+y2-2ax-2by c+ =0; a2+b2- >c

Ta có A, B, C Ỵ (ABC) Þ

a b c

a b c a b c

a b c

4 10 29

1 99

6 10 34 ; ;

2

8 25

ì - + =

-ì

-ï- - + = - Û =í = =

í ỵ

ï + + = -ỵ

Vậy phương trình đường trịn là: x2 y2 x 5y 99

4

+ - - - =

2) Giả sử PT mặt phẳng (a): ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0)

Ta có: ( ) ( )a ^ P Û5a-2b+5c=0 (1); ·Q a b c

a b c

0

2 2

4

cos(( ),( )) cos45

2

a = Û - - =

+ + (2) Từ (1) (2) Þ 7a2+6ac c- 2= Û ê =0 é = -ca 7ac

ë

· Với a= -c: chọn a=1,b=0,c= -1 Þ PT mặt phẳng ( ) :a x z- =0 · Với c=7a: chọn a=1,b=20,c=7 Þ PT mặt phẳng ( ) :a x+20y+7z=0 Câu VIIa. Giả sử z a bi (a b= + , , Ỵ¡) Ta có: z i a b i

i

4 2 ( 2) ( 2) 2

1

- = Û + + - =

-a b a b

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

Û + + - = Û + + - =

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z đường trịn có PT: (x+2)2+ -(y 2)2 =4 Câu VIb.

1) ( ) : (C x-1)2+ +(y 1)2=2 có tâm I(1; 1)- R=

Phương trình cạnh AB: x y- - =4 Phương trình cạnh CD có dạng: x y c- + =0; c¹ -4 CD tiếp xúc với (C) Þ d I CD( , ) R 1 c c

2

+ +

= Û = Û = Þ Phương trình CD: x y- =0 Nhận thấy đường thẳng x=0,x=4 tiếp tuyến (C)

Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx y- - =4 (k¹1)

Ta có: d I AD( , )= Û - =R k 2(k2+ Û1) k2+6k- = Û = -7 k

Þ PT cạnh AD là: 7x y+ + =4 Þ D 1; 2

ổ- -

ỗ ữ

ố ứ PT cạnh BC là: x+7y- =4 Þ C

1 1; 2

ổ ỗ ữ ố ø 2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; –1; 3) bán kính R = 3; d d I P= ( ,( )) 5= Þ >d R

Þ (P) (S) khơng có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 =

góc với (P), N0 giao điểm D (P) Đường thẳng D có VTCP nrP =(2;2; 1)- qua I nên có phương trình {x= +2 ;t y= - +1 ;t z= -3 t

N0 = ÇD ( )P Þ N0 13 14; ;

3 3

ổ

-ỗ ữ

ố ø Ta có IM0 IN0

3 .

5

= uuuur uuur

Suy M0(0; –3; 4)

Câu VIIb.

x

x x x

A

x

x x

3

2

2

0

1 1 ln(1 )

lim

3

3

®

ỉ + - - + +

ỗ ữ

= ỗ + + ÷

è ø

· Tính:

x

x x

2

1 5

lim

6

®

+

-= · Tính:

x

x x

3

2

1 1

lim

9

®

- +

= · Tính: ( )

x

x x

0

ln 1

lim

3

®

+

= Vậy A 23

18

=

Đề số 82

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0điểm) Câu I. Cho hàm số y x= 3-3mx+2 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số ( )C1

2) Tìm mđểđường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của( )Cm cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IABđạt giá trị lớn nhất

Câu II.

1) Giải phương trình: 2sin 2x 9 7 sinx 2 sin x 11 4 0

4 2

p p

ỉ ư ỉ ư

+ + + + - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

2) Giải hệ phương trình:

xy x y

x y x x x y

2

3

8 16 (1)

3 (2)

ì + + =

ï +

í

ï + + - =

ợ

vi x y; ẻĂ

Cõu III Tính tích phân: ( )

x x

x x x x

e e dx I

e e e e

ln15

3ln2

24

1 5 3 1 15

-=

+ + - +

-ò

Câu IV. Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A' cách ba

điểm A, B, C Góc giữaAA' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

và khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a

Câu V Cho a b c, , số thực dương a b c+ + =3 Chứng minh : 2a 3b ab bc 3abc 7

4

+ + + + £

II PHẦN RIÊNG ( điểm) :

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C): x2+y2+2x-4y- =8 0 đường thẳng (D): 2x-3y- =1 0 Chứng minh (D) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độđiểm M đường trịn (C) cho diện tích tam giác ABM lớn

2) Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , (3;1;4)B Tìm tọa độ điểm C

thuộc mặt phẳng( ) :P x y z- - - =1 0 cho tam giác ABC cân C có diện tích 2 17 Câu VII.a Cho số phức z thỏa mãn i z i i

i i

11

1 2

.

1 1

ổ + ử ổ ử

=ỗ ữ +ỗ ữ

- +

è ø è ø Tìm môđun số phức w z iz= +

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác ABC có đường cao BH x: 3 +4y+10 0= , đường phân giác góc A AD có phương trình x y- + =1 0, điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB

đồng thời cách C khoảng 2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho ba điểmA( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3)- B - C - I tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm Ivà tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)

Câu VII.b Giải hệ phương trình ( )

y x

x y

y x

2

3

2

2 2

2.log log 1

,

log (log 1).log 3

ì =

-ï ẻ

ớ

ù =

-ợ

¡

Hướng dẫn Đề số 82

Câu I. 2) Ta có y' 3= x2-3m Hàm số có CĐ, CT Û PT y' 0= có hai nghiệm phân biệt Ûm>0 Vì y 2x y mx

3 ¢

= - + nên đường thẳng D qua điểm CĐ, CT đồ thị hàm số có phương trình là: y= -2mx+2

Ta có d I( ) m R m2

2

,

4

D = - < =

+ (vì m > 0) Þ D ln cắt đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R =

điểm A, B phân biệt Với m

2

¹ : D khơng qua I, ta có:S ABI 1IA IB .sinAIB 1R2

2 2

D = £ =

Nên SDIAB đạt GTLN

2 sin·AIB=1 hay DAIB vuông cân I

R

IH

2

Û = =

m

m m2

2 1 2 3

2

4

- ±

Û = Û =

+ (H trung điểm AB) Câu II.

1) PT Û(2sinx-1)(cosx-sinx+ =3) sinx

2

Û = Û x k2 ; x k2

6

p p p p

= + = +

2) Điều kiện x y+ >0 Khi đó (1)Û (x2+y x y2)( + +) 8xy=16(x y+ )

x y x2 y2 x y

( 4)é 4( )ù

Û + - ë + + + û= Û + =x y 4 (Vì x y+ > Þ0 x2+y2+4(x y+ ) 0> ) Thay x y+ =4vào (2) ta được: x3+2x- = Û = Þ =3 x y 3 Vậy hệ có nghiệm (1; 3)

Câu III.Đặt t= ex+ Þ - =1 t2 ex Þe dxx =2tdt.

( )

t t dt

I dt t t t

t t

t

4 4

2 3

3

(2 10 ) 2 2 3ln 2 7ln 2

2

4

ổ

-= = ỗ - - ÷ = - - - +

- +

- è ø

ò ò = -2 3ln2 7ln6 7ln5- +

Câu IV. Gọi G trọng tâmDABC Ta có A G' ^(ABC)và ·(AA ABC';( ))=·A AG' =600,

a

AG

3

= Xét DA AG' cóA G AG' = tan600=a SABC a2

4

=

ABC A B C ABC a a

V ' ' ' S 'A G 3.a 3

4

= = =

Kẻ CK ^A H' ÞCC'P AA'Þd CC AA( ', ')=d CC AA B B( ',( ' ' ))=CK

Ta có CK A G CH a a A G HG a a a

A H

2

2

' . 3: ' 3: 39 13

' 2 13

= = + = =

Câu V. Ta cóM 2a 3b ab bc 3abc 2a 3b a b.4 b c.4 13a b.4 16c

4 2

= + + + + = + + + +

Þ M 2a 3b a 4b b 4c a 4b 16c

4 4 12

+ + + +

£ + + + + 28(a b c)

12

+ +

= =

Dấu "=" xảy a 16,b 4,c

7 7

= = =

Câu VIa.

1) Đường tròn (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 d I( , ) R

13

D = < Þ đường thẳng (D) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt

Gọi M điểm nằm (C), ta có S ABM 1AB d M ( , )

D = D Trong AB khơng đổi nên SDABM lớn

Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với (D) PT đường thẳng d 3x+2y- =1

Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình: x y x y

x y

2 2 4 8 0

3

ì + + - - = í + - =

ỵ Û

x y

x 1,3,y 15

é = = -ê = - =

ë Þ P(1; –1); Q(–3; 5) Ta có d P( , )

13

D = ; d Q( , ) 22 13

D = Như d M( , )D lớn Û M trùng với Q Vậy tọa độđiểm M(–3; 5)

2) Giả sử: C x y x y( ; ; - - Ỵ1) ( )P AB=4

AC BC= Þ (x-3)2+ -(y 5)2+ - -(x y 5)2 = (x-3)2+ -(y 1)2+(x y- -5)2 Þ =y

Gọi I trung điểm AB ÞI(3;3;4)

IAB

S =2 17ÞCI AB =4 17ÞCI= 17Û (3-x)2+ -(8 x)2 = 17Û ê = Þé = Þxx 47 CC(7;3;3)(4;3;0)

ë

Câu VIIa. Ta có i z i i i i z i z i

11 8

2

(1 ) (1 )

16 16 16

2

ỉ + ỉ - ư

=ỗ ữ +ỗ ữ = - ị = - - Þ = - +

è ø è ø

Do w z iz= + = - -1 16i i+ - +( 16 )i = - -17 17iÞ w = 172+172 =17 Câu VIb.

1) Gọi Nđối xứng với M quaAD Ta cóN ACỴ N (1;1) Þ Phương trình AC x: -3y- =1

A AC AD= ầ ịA(4;5) ABi qua M, A Þ Phương trình AB x: -4y+ =8 Þ B 3;

4

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

Gi C a b( ; )ẻACị4a-3b- =1 0, ta cú MC= 2ịC(1;1) C 31 33;

25 25

ỉ

ỗ ữ

ố ứ Kim tra iu kin B, C khác phía với AD ta có hai điểm thỏa mãn 2) Phương trình (ABC) : 2x y z- + + =1 Gọi I x y z( ; ; )

IA IB IC= = Þ + - - =x y z 0,y z+ - =3 (1); Iẻ(ABC)ị2x y z- + + =1 (2)

Từ (1) (2)ÞI(0; 2;1) Bán kính mặt cầu R d I Oxz= ( ,( )) 2= Þ(S):x2+ -(y 2)2+ -( 1)z =4

Câu VIIb.Điều kiện ì >í >yx 00

ỵ Khi đó hpt

y x

y x

2

3

3

2.log log

log log

ìï =

-Û í =

-ïỵ Û

x

y 12

ì = í = ỵ

Đề số 83

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= 4-4(m-1)x2+2m-1 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m

2

=

2) Xác định tham sốmđểđồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác Câu II (2điểm)

1) Giải phương trình: sin 2x 17 16 3.sin cosx x 20sin2 x

2 12

p p

ỉ ỉ

+ + = + +

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø

2) Giải bất phương trình: x x

x2 x

1 2( 1)

-³

- - +

Câu III (1điểm)Tính tích phân: I x e x x dx x

1

2

2

0

ỉ

= çç - ÷÷

-è ø

ị

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt đáy (ABCD) Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng CD SB

Câu V (1điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn ab bc ca+ + =1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

a b c

A

a2 b2 c2

1 1

= + +

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2điểm)

1) Trong mặt phẳng toạđộOxy, cho D ABC có phương trình cạnh AB: x y+ –3 0= , phương trình cạnh

AC: 3x y+ –7 = trọng tâm G 2;1

3

ổ ỗ ữ

ố ứ. Vit phng trỡnh đường tròn qua trực tâm H và hai đỉnh

B, C tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x t

d y t

z t

1

1

:

1

ì = + ï = + í ï = + ỵ

, đường thẳng d2 giao tuyến hai mặt phẳng (P): – –1 0x y = (Q): 2x y+ +2 –5 0z = Gọi I giao điểm d d1 2, Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d d1 2, B C cho tam giác BIC cân đỉnh I

Câu VIIa.(1 điểm) Tìm số thực x y, thoả mãn đẳng thức: x(3 )+ i +y(1 )- i3 = - +35 23i B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb.(2điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với B(1; 2)- đường cao AH có phương trình x y- + =3 Tìm tọa độ đỉnh A, C DABC biết C thuộc đường thẳng d có phương trình

x y

2 + - =1 diện tích DABC

2) Trong không gian toạđộ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1) mặt phẳng (P): x y z- - - =3 Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

MA2+MB2+MC2 Khi tìm toạđộ M

Câu VIIb.(1 điểm) Giải hệ phương trình: x y x

y2 y3 y

log (1)

(2 12).3 81 (2)

ì + =

ï í

- + =

Hướng dẫn Đề số 83 Câu I. 2) Ta có y¢ =4x3-8(m-1)x=4 (x x2-2(m-1)) y x

x2 m

0

2( 1)

é = ¢ = Û ê =

-ë Hàm số có cực trịÛ m>1 Khi điểm cực trị đồ thị là:

( ) ( ) ( )

A 0;2m-1 ,B 2(m-1); 4- m2+10m-5 , B - 2(m-1); 4- m2+10m-5

Ta có: AB2 =AC2=2(m- +1) 16(m-1) ,4 BC2 =8(m-1)

DABC Û AB2=AC2 =BC2 Û2(m- +1) 16(m-1)4 =8(m-1) Û m 33

= + Câu II.

1) PT 2cos2 x 5cos x

6

p p

æ ổ

ỗ + ữ+ ỗ + ÷+ =

è ø è ø Û x k2

p p

= + ; x k2

6

p p

= - + 2) Điều kiện: x³0 BPT Û x x x x

x x

2

1 2( 1) 0

1 2( 1)

- - + - + ³

- - +

Vì: 1- 2(x2- + <x 1) nên BPT Û x- x - +1 2(x2- + £x 1)

Û 2(x2- + £ - +x 1) x x +1 Û x x

x x x x

1

( 1) ( 1)

ìï- + + ³ í

- + - + £

ïỵ Û

x x

x x

1

( )

ìï- + + ³ í

- + £

ïỵ Û x

2

-=

Câu III. I x e dxx x dx

x

1

2

2

0

=

-ị ị · Tính I x e dxx xe x e x e

1

1 2

2

1

0

1

2

ổ +

= = ỗ - ữ =

è ø

ị · Tính I x dx

x

1

2 2

0

=

-ò Đặt t= 4-x2 Þ I2 3 16

= - + Vậy: I e2 3 61

4 12

= +

-Câu IV. Gäi H = AC Ç BD Þ SH ^ (ABCD), BH =

3BD Kẻ HE ^ AB ị AB ^ (SHE)

ịÃ((SAB ABCD);( ))=ÃSEH=600 Mà HE =

3AD =

a

2

3 Þ SH =

a

2 3

Þ VS ABCD. 1SH S ABCD a3

3

= =

Gọi O trung điểm AD Þ ABCO hình vng cạnh aÞ DACD có trung tuyến CO =

2AD

CD ^ AC Þ CD ^ (SAC) BO // CD hay CD // (SBO) BO ^ (SAC) d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO))

DBCO có IH =

3IC =

a

6 Þ IS =

a

IH2 HS2

6

+ =

Kẻ CK ^ SI mà CK ^ BO Þ CK ^ (SBO) Þ d(C;(SBO)) = CK Trong DSIC có : SSIC=

2SH.IC =

2SI.CK Þ CK =

SH IC a

SI

5

= Vậy d(CD;SB) = 3a

5

Câu V. Ta có: a a a a a b a c

a b a c a b a c

a2 ab bc ca a2

( )( )

( )( )

( )( )

1

+ +

= = =

+ +

+ +

+ + + +

Áp dụng BĐT Côsi: (a b) (a c) (a b a c)( )

2

Do đó: a a a b[ a c ] a a

a b a c a b a c

a2

( ) ( )

2( )( )

1

ỉ

+ + +

Ê = ỗ + ữ

+ + ố + + ø

+

Tương tự: b b b c c c

b c b a c b c a

b2 c2

1 ;

2

1

ỉ ỉ

Ê ỗ + ữ Ê ỗ + ữ

+ + + +

è ø è ø

+ +

Suy ra: A a b c a a b b c c

a b a c b c b a c b c a

a2 b2 c2

1( )

2

1 1

= + + £ + + + + + =

+ + + + + +

+ + +

Dấu “=” xảy

a b a c

b c b a a b c

c b c a ab bc ca

3

ì + = + ïï + = +

Ûí + = + Û = = = ï

+ + = ïỵ

Vậy maxA

2

= a b c

3

= = = Cõu VIa.

1) A AB AC= ầ ịA(2;1) Gi sử B m( ;3 – ), ( ;7 –3 )m C n n

G 2;1

3

ổ ỗ ữ

ố ứ l trng tõm DABC nên:

m n m

m n n

2

1 3

ì + + = Ûì = í + - + - = =

ợ ợ ị B(1; 2), C(3; –2) H trực tâm DABC Û AH BC

BH AC

ìï ^ í

^ ïỵ

uuur uuur

uuur uuur Û H(10;5)

PT đường trịn (S) qua B, C, H có dạng: x2+y2+2ax+2by c+ =0 (a2+b2- >c 0) Do B, C, H Ỵ (S) Û aa b cb c ab

a b c c

2

6 13

20 10 125 15

ì + + = - ì = -ï - + = - Ûï =

-í í

ï + + = - ï =

ỵ ỵ

Vậy (S): x2+y2–12 –4x y+15 0= 2) PTTS d2:{x t y= '; = - +1 ';t z= -3 't I d= 1ầd2 ị I(1;1;1)

Giả sử: B(1 ;1 ;1 )+t + t + t Ỵd C t1, ( '; ';3 ')- + t - t Ỵd t2 ( ¹0, ' 1)t ¹ DBIC cân đỉnh I Û ìí[IB ICAB AC=, ] 0=

ỵuuur uuur ur Û

t t' 21

ì = í =

ỵ Þ Phương trình d3:{x=2;y=3;z= +1 2t Câu VIIa. PT Û(3x-11 ) (5y + x+2 )y i= - +35 23iÛìí35xx-112yy= -2335Ûíìyx=43

+ = =

ỵ ỵ

Câu VIb.

1) Phương trình cạnh BC: x y+ + =1 C d BC= ầ ị C(2; 3)- BC=

Giả sử: A x x( ;0 0+ Î3) AH; AH d A BC( , ) x0 y0 2x0

2

+ + +

= = =

ABC

x x

S AH BC x0

0

2 2 4 2

1 . 1 1. 1

2

2 2

D

+ é + =

= = Û = Û ê

+ =

-ë Û

x y

x00 y00

1 ( 2) ( 0)

é = - = ê = - = ë

Þ A( 1;2)- A( 3;0)-

2) Gọi G trọng tâm DABC Þ G(2; 1; 3)

Ta có: MA2+MB2+MC2 = 3.MG2+GA2+GB2+GC2

Do đó: MA2+MB2+MC2 đạt GTNN Û MG đạt GTNN Û M hình chiếu G (P) Tìm M 11 4; ;

3 3

ổ -

ỗ ữ

ố ứ Vy (MA MB MC )

2 2

min + + =65 M 11 4; ; 3

ổ -

ỗ ữ

è ø

Câu VIIb.Điều kiện: y>0 PT (1) Û x= -3 log3y Thay vào (2) ta được:

y y y

y

2 27

Đề số 84

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+m (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số (1) ứng với m =

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại của đồ thị hàm sốđến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từđiểm cực tiểu của đồ thị hàm sốđến gốc tọa độ O

Câu II.

1) Giải phương trình: 2cos3 cosx x 3(1 sin2 ) cos 2x x

4

p

ỉ

+ + = ç + ÷

è ø

2) Giải phương trình:

21 x 2 x 2 1x x 2 x 2 x 2 x

2

log (5 ) log (5 ).log- + - + (5 ) log (2- = -5) +log (2 +1).log (5 )-

Câu III. Tính tích phân: I x dx

x

6

tan cos2 p ổ pử

-ỗ ÷

è ø

= ò

Câu IV. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy ABCD

SA = a Gọi M, N lần lượt trung điểm của SB SD; I giao điểm của SC mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vng góc với AI tính thể tích khối chóp MBAI

Câu V Cho x, y, z ba số thực dương có tổng bằng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=3(x2+y2+z2) 2- xyz

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm):

A Theo chương trình chuẩn:

Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho điểm C(2; –5) đường thẳng D có phương trình:

x y

3 -4 + =4 0 Tìm D hai điểm A B đối xứng qua I 2;5

ổ ỗ ữ

ố ứ cho diện tích tam

giác ABC bằng15

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x2+y2+z2-2x+6y-4z- =2 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ

vr=(1;6;2), vuông góc với mặt phẳng( ) :a x+4y z+ -11 0= tiếp xúc với (S)

Câu VIIa. Tìm hệ số của x4 khai triển Niutơn của biểu thức : P= +(1 2x+3 )x2 10

B Theo chương trình nâng cao:

Câu VIb.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho elíp ( ) :E x2 y2

9 + = hai điểm A(3; –2), B(–3; 2)

Tìm (E) điểm C có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm M(3; 10; 1) hai đường thẳng có phương

trình: 1: 2 1 3

3 1 2

- + +

= =

x y z

d 2: 3 7 1

1 2 1

- -

-= =

-

-x y z

d Viết phương trình đường thẳng Dđi qua M cắt cả hai đường thẳng d1 d2

Câu VIIb. Tìm số nguyên dương n cho thoả mãn: Cn Cn Cn n Cnn

n n

2

0 2 121

2 1

+ + + + =

+ +

Hướng dẫn Đề số 84 Câu I. 2) Ta có y, =3x2-6mx+3(m2-1)

Hàm số có cực trịÛ y¢ =x2-2mx m+ 2- =1 có nghiệm phân biệt Û = > "D 0, m

Cực đại đồ thị hàm số A m( -1;2 )- m cực tiểu đồ thị hàm số B m( + - -1; 2 )m Ta có: OA OB m m m

m

2 2

2

3 2

é = - +

= Û + + = Û ê

= -ë

Câu II.

1) PT x x x x x k

x k

18

sin sin 2sin cos

6 6

2

p p

p p p

p p

é

= - + ê

ỉ ỉ ỉ

ỗ + ữ+ ỗ + ữ= ỗ + ÷ = Û ê

è ø è ø è ø ê = +

êë 2) Điều kiện: x 5; 0x

2

- < < ¹

PT Û log (5 ) log (22 - x ( 2 x+ +1) log (5 ) 2log (2) ( 2 - x - 2 x+1))=0Ûx 1;x 1;x

4

-= = =

Câu III.

x x

I dx dx

x x

2

6

2

0

tan tan 1

4

cos2 (tan 1)

p ổ pử p

-ỗ ữ +

è ø

= =

-+

ò ò Đặt

2 1

t anx dt= dx x dx

cos x

2

t (tan 1)

= Þ = +

Þ I dt t t

1 1

3 3

2 0

0

1

1

( 1)

-= - = =

+ +

ị

Câu IV. Ta có: AM BC BC SA BC AB

AM SB SA AB,(,( ), )

ì ^ ^ ^

í ^ =

ợ ịAM SC^ (1) Tng t: AN SC^ (2)

Þ AI SC^ Vẽ IH // BC cắt SB H Khi IH ^ (AMB) Ta có SABM a2

4

= ; IH SI SI SC SA a IH BC a

BC SC SC SA AC a a

2

2 2 2

1

3 3

2

= = = = = Þ = =

+ +

Suy : VABMI 1SABM.IH

3

= 1a a a2

3 36

= =

Câu V. P=3 (éë x y z+ + )2-2(xy yz zx+ + )ùû-2xyz=3 2(éë - xy yz zx+ + )ûù-2xyz

x y z yz x

27 ( ) ( 3)

= - + - + 27 (3x x) (y z)2(x 3) 1( x3 15x2 27x 27)

2

+

³ - - - + = - + - +

Xét hàm số f x( )= - +x3 15x2-27x+27, với 0< <x

x f x¢( )= -3x2+30x-27 0= Û ê =é =x 19

ë Từ BBT suy MinP = Û = = =x y z Câu VIa.

1) Gọi A a;3a B a;16 3a

4 D

ổ + ửẻ ị ổ - -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø Khi SABC AB d C AB

1 ( , ) 3

2 D

= = Þ AB =

a a

AB a a

2

2

5 (4 ) 25 0

2

æ - ộ =

= - +ỗ ữ = Ûê = ë

è ø Vậy hai điểm cần tìm A(0; 1) B(4; 4) 2) (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT ( )a nr=(1;4;1)

Þ VTPT (P) là: nrP=[ ]n vr r, =(2; 1;2)- Þ Phương trình (P) có dạng: 2x y- +2z m+ =0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4= m

m 321

Câu VIIa. Ta có: k k k k ki k i i k i

k k i

P x x2 10 10 C10 x x2 10 C C10 x

0 0

(1 ) (2 ) ( 3- + )

= = =

= + + = å + = å å

Theo giả thiết ta có:

k i i i i

i k k k k

i k N

4 0 1 2

0 10 4 3 2

,

ì + =

ï £ £ £ Ûì = Úì = Úì =

í í = í = =

ợ ợ ợ

ù ẻ î

Vậy hệ số x4 là: C104 42 +C C10 33 22 3+C C10 22 23 =8085 Câu VIb.

1) PT đường thẳng AB: 2x+3y=0 Gi C(x; y) ẻ (E), vi x>0,y>0 ị x2 y2 + =

ABC x y

S 1AB d C AB ( , ) 85 2x 3y 85

2 2 13 13

= = + = + 85 x2 y2 170

13 13

ổ

Ê ỗỗ + ữữ=

ố ø

Dấu "=" xảy Û

x y

x

x y y

2

2

1 3

9 2

2

ì ì

+ =

ïï Ûï =

í í

ï = ïỵ =

ïỵ

Vậy C ;

2

ổ

ỗ ữ

è ø

2) Giả sử A(2 ; 1+ a - + - +a; )a =d1ÇD B(3+b;7 ;1- b -b)=d2ÇD

( ) ( )

MA= 3a-1;a-11; ,- + a MB= b; 2- - -b 3; b

uuur uuur

A, B, M thẳng hàng Û MA kMBuuur= uuur aa kbkb k ak

a kb b

3 1

11

4

ì - = ì =

ï ï

Ûí - = - - Ûí = ï- + = - ù =

ợ ợ

ị MAuuur=(2; 10; 2- - ) Vậy: Phương trình đường thẳng D là:

x t

y t

z t

3 10 10

ì = + ï = -í

ï = -ỵ

Câu VIIb. Xét khai triển: (1+x)n=Cn0+C x C xn1 + n2 2+ + C xnn n

Þ x dxn Cn0 C x C xn1 n2 C x dxnn n

0

(1+ ) = ( + + + + )

ò ò

Þ n Cn Cn Cn n Cnn

n n

1

0

3 2 2

1

+ - +

= + + + +

+ +

Û Cn Cn Cn n Cnn n n n n

n n n n

2 1

0 2 121 3 243 4

2 2( 1) 2( 1)

+ +

+

-

-+ + + + = Û = Û = Û =

+ + + +

Đề số 85

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 3-3x2+2 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm mđểđường thẳng qua hai điểm cực trị (C) tiếp xúc với đường trịn (S) có phương trình

x m y m

( - ) + - -( 1) =5

Câu II

1) Giải phương trình: x

x x

2

3 2(cot 3)

sin2

cos + = +

2) Giải phương trình:

x x

x

2

2

1 1 log 1

log - log+ - 2- = +

Câu III Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y x x

ln( +2)

= ,y=0,x=1 x e= Tính thể

tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox

Câu IV Cho lăng trụđứngABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân với AB AC a= = , góc ·BAC=1200, cạnh bên BB a¢ = Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB I' vng A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB I¢ )

Câu V Chox y, số thực thỏa mãn x2+y2-xy=1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: F x= 6+y6-2x y2 2-xy

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC vuông cân, biết đỉnh

C(3; 1)- phương trình cạnh huyền d x y: - +10 0=

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y- +2z- =1 đường thẳng

x y z

d

1

1

:

1 2- = - =-2, d2:x-35= =4y z+25 Tìm điểm A d B dỴ 1, Î 2 cho AB // (P) AB cách (P) khoảng

Câu VIIa Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển

n x

x

1

+

ổ

ỗ ữ

ố ứ , biết n số nguyên dương thỏa mãn: Cn1+2Cn2+3Cn3+ + -L (n 1)Cnn-1+nCnn=64n

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộOxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(0; 0), B(– 1; 2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng d y x: = -1 Tìm tọa độ đỉnh C D 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, có phương trình

x y z

d1: 2

2

- = - =

-, d2:x y z 1,

2

- = - =

Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d d1 2,

Câu VIIb Tìm hệ số x20 khai triển biểu thức

n x x

5

2

ổ +

ỗ ữ

ố ø , biết rằng: Cn Cn Cn n Cnn

n

1 1

0 2 ( 1)

2 13

- + + + - =

+

Hướng dẫn Đề số 85

Câu I. 2) Phương trình đường thẳng Dđi qua hai điểm cực trị 2x y+ - =2 0 (S) có tâm I m m( , +1) bán kính R=

D tiếp xúc với (S) Û 2m m 3m 5

+ +

-= Û - =

m m

2

é = ê

Û

-ê = êë

Câu II.

1) Điều kiện: sin2x¹0 PT Û tan2x+2tan x- 0= Û x k

x k

3

p p p p

é

= - + ê

ê

ê = + ë

(thoảđk)

2) Điều kiện x>2,x¹3 PT Û (x-2)(2x- =1) 2(x+1) Û x

2

=

Câu III. V x dx x

2

ln( 2)

p +

= ò Đặt

u x

dv dx

x2

ln( 2)

ì = + ï

í = ï ỵ

du dx

x v

x

1 1

2

ì = ïï + Þ í

ï = -ùợ

ị V e e

3ln3 1 ln( 2)

2 2

pộ ổ ự

= + -ỗố + ÷ø + ú

ë û

Câu IV. Ta có BC a= 3Þ AI 5a AB, ' , 'a B I 13a

2

= = = Þ AI2+AB'2 =B I' ÞDAB’I vng A

AB I

S ' 1AI AB ' 10a2

2

= = ; SABC 3a2

4

=

Gọi a góc hai mặt phẳng (ABC) (AB¢I) Sử dung cơng thức diện tích hình chiếu ta có:

A BI ABC

S ' cos S 10cos

4

a = Û a = cos 10

a

Û =

Câu V. Ta có F=(x2+y2 3) -3x y x2 2( 2+y2) 2- x y2 2-xy = -2( )xy 3-2( )xy 2+2xy+1

Đặt xy t= Ta có f t( )= -2t3-2t2+ +2 1t

Vì x2+y2-xy= Û1 (x y+ )2-3xy=1 xy

3

-Þ ³

và x2+y2-xy= Û1 (x y- )2+xy=1Þxy£1 Do đó: t 1;1

3

é ù Ỵ -ê ú ë û Ta tìm được: maxF = f t

1;1

37 max ( )

27

é- ù

ê ú

ë û

= t

3

= suy x 1 ,y 1

2 6

= + =

minF = f t

1;1

min ( )

é- ù

ê ú

ë û

= - t=1 suy x y= =1 Câu VIa.

1) Goi H trung điểm AB suy CH x: +3y=0 Þ H( 3;1)

-Giả sử A(t 3t 1; + 0)Ỵd, ta có AH2=CH2Û +( 3)t 2+(3 9)t+ =40 t

t

1

é = -Û ê =

-ë · Với t= -1 Þ A( 1;7), ( 5; 5)- B - - · Với t= -5 Þ B( 1;7), ( 5; 5)- A - - 2) Giả sử: A t(21+1,t1+ -3, )t1 Ỵd1, B t(32+5,4 ,2t2 t2- Ỵ5) d

AB=(3t2-2t1+4,4t2- -t1 3,2t2+2t1-5)

P

AB n = Û0 2(3t2-2t1+ -4) 4t2+ + +t1 2(2t2+2t1- =5)

uuur r t t

2

6

Û + + =

t t t t

AB ( )P d AB P( ,( )) d A P( ,( )) 41 41 1

3

+ - - - - +

Þ = = = =

P t1t

1

5

é = -Û ê =

ë · Với t1 t2 A( 9; 2;10),B 7; ;8 11

3 3

ỉ -

= - Þ = ị - - ỗ ữ

ố ứ

à Với t1 t2 A(3;4; 2),B 4; 17;

3 3

ỉ

-

-= ị -= ị - ỗ ữ

ố ứ

Câu VIIa. Xét khai triển (1+x)n =Cn0+C x C x1n + n2 2+ + Cnn-1xn-1+C xnn n

Lấy đạo hàm hai vế ta được: n(1+x)n-1=Cn1+2C xn2 + + - (n 1)Cnn-1xn-2+nC xnn n-1

Với x=1 ta có: Cn1+2Cn2+3Cn3+ + -L (n 1)Cnn-1+nCnn=n2n-1 Û64n n= 2n-1Û =n

Khi đó: ( )

k k

k k

x C x

x x

7 7 7

7

4

0

1

2

-=

ổ ổ

+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ồ ố ứ

Số hạng chứa x2 có hệ số C7k 1k

2 với k thoả mãn

k k k

7 2 2

2

- - = Û = Suy hệ số chứa x2 1C72 21

4 =

Câu VIb.

1) Phương trình đường thẳng AB: 2x y+ =0 AB=

ABCD ABI ABI

S =4S ÞS =1 1AB d I AB ( , ) d I AB( , )

2 5

Û = Û =

Giả sử I x y( 0 0, ) Ta có: d I AB

I d

2 ( , )

5

ì

= ù

ớ ù ẻ ợ

x y x y

x y

y x

0 0 0

0

0

2 2 1, 0

1

5 ,

3

1

ì + é = =

=

ï ê

Û -

-í ê = =

ï = - ở

ợ Ã Vi I(1; 0) ị C(2; 0) D(3; –2) · Với I 4;

3

ổ- -

ỗ ữ

è ø Þ C

2 8; 3

ổ- -

ỗ ữ

ố ứ D

1 14; 3

æ -

ỗ ữ

ố ứ

2) Ta có d1 qua A(2;2;3) , có urd1=(2;1;3), d2 qua B(1;2;1) có urd2 =(2; 1;4)- Do (P) cách d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, Þ nrP =éëu ur rd1, d2ùû=(7; 2; 4) -Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x-2y-4z d+ =0

Do (P) cách d d1 2, suy d A P( ,( ))=d B P( ,( )) Û 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d

69 69

- - + - - +

=

d d d

2

Û - = - Û = Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14x-4y- + =8 0z Câu VIIb. Xét khai triển: (1-x)n =Cn0-C x C x1n + n2 2- ( 1)+ - n n nC xn

Þ x dxn Cn0 C x C xn1 n2 n n nC x dxn

0

(1- ) = ( - + - + - ( 1) )

ò ò

Û

n

1

+ = Cn0 Cn1 Cn2 nn Cnn

1 ( 1) 1

2 13

- + + + - =

+ Û Þ + =n 13Þ =n 12 Khi đó:

k

k k k k k

k k

x C x C x

x x

12

12 12 12

5 12 36

12 12

3

0

2 . - ( ) .2 - .

-= =

æ ổ

+ = =

ỗ ữ ç ÷

è ø å è ø å

Đề số 86

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y x= 3–3x2+2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số (1)

2.)Tìm điểm M thuộc đường thẳng d y: =3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

Câu II

1) Giải phương trình: cos2x+2sinx- -1 2sin cos2x x=0

2) Giải bất phương trình: (4x-3) x2-3x+ ³4 8x-6

Câu III Tính tích phân: I x dx

x x

3

6

cot sin sin

4

p

p p

=

ổ ử

+

ỗ ữ

ố ứ

ị

Câu IV Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) tam giác đều cạnh a Chân đường vng góc

hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) một điểm thuộc BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC SA biết SA = a SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300

Câu V Cho số dương a, b, c thoả mãn a2+b2+c2 =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P a b c

b c a

3 3

2 3 3 3

= + +

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) : x2+y2+2x-8y- =8 0 Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d x y: 3 + - =2 0 cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài bằng

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa

độđiểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

Câu VII.a Tìm số phức z thoả mãn : z- + =2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực đơn vị

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b.

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết A có tọa độ dương, B, C thuộc trục Ox, đường thẳng AB có phương trình d y: =3 7(x-1), chu vi của tam giác ABC bằng 18 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d x t y:{ = ; = -1;z= -t mặt phẳng (P): x+2y+2z+ =3 0 (Q): x+2y+2z+ =7 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q)

Hướng dẫn Đề số 86

Câu I. 2) Tọa độđiểm cực đại A(0; 2), điểm cực tiểu B(2; –2) Xét biểu thức P x y( , )=3x y- -2 Với điểm A(0; 2), ta có: P( , )0 2 = - <4 0, với điểm B(2; –2), ta có: P( , )2 2- = - >6 0

Þ A, B nằm phía đường thẳng d

Do đó: MA + MB nhỏ Û điểm A, M, B thẳng hng M = AB ầdị 4 2; 5 5

Mổỗ ửữ

ố ứ

Cõu II.

1) PT Û (cos 2x-1 2sin)( - x)=0 Û x k= p ; 2 6

x= +p k p ; 5 2 6

x= p +k p 2) BPT Û (4x-3)( x2-3x+ -4 2)³0

Lập bảng xét dấu vế trái, ta kết luận tập nghiệm BPT là: 0;3 [3; ) 4

é ù

=ê úÈ +¥

ë û

S

Câu III.

( )

3

6

cot 2

sin 1 cot p

p

=

+

ò x

I dx

x x Đặt 1+cotx t=

1

sin xdx dt

Þ =

-Þ ( )

3 3 1

3 3

3

1 2

2 2 ln 2 ln 3

3

t

I dt t t t

+ +

+ +

- ỉ ư

= = - = ỗ - ữ

ố ứ

ũ

Câu IV. Gọi chân đường vng góc hạ từ S xuống BC H Þ AH SAcos300 a

= =

Þ H trung điểm cạnh BC Þ AH ^ BC, mà SH ^ BC Þ BC^(SAH)

Từ H hạ HK ^ SA Þ HK khoảng cách BC SA Þ HK AHsin300 AH a

2

= = =

Vậy khoảng cách hai đường thẳng BC SA a

4

Câu V. Ta có: a a b a a

b b

3

3

2

3 3

16 64

2 3

+

+ + ³ =

+ + (1)

b b c c c

c c

3

3

2

3 3

16 64

2 3

+

+ + ³ =

+ + (2)

c c a c c

a a

3

3

2

3 3

16 64

2 3

+

+ + ³ =

+ + (3)

Cộng (1), (2), (3), vế theo vế, ta được: P a2 b2 c2 (a2 b2 c2)

16

+ + +

+ ³ + +

Vì a2+b2+c2=3 nên P

2

³ Dấu "=" xảy Û a b c= = =1

Vậy minP khi a b c

2

= = = = Câu VIa.

1) (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = PT đường thẳng D có dạng: 3x y c+ + =0, c¹2 Vì D cắt (C) theo dây cung có độ dài nên:

( ) c c

d I

c

2

3 4 10 1

,

4 10

D - + + é =

-Þ = = Û ê

= - -ë

+

2) Ta có uuurAB= - - -( 1; 4; 3) Phương trình đường thẳng AB:

x t

y t

z t

1 4

ì = ï = -í ï = -ỵ

Gọi D(1-a;5 4 3- a; - a)ẻAB ịDCuuur=( ;4a a-3;3a-3)

Độ dài đoạn CD ngắn Û D hình chiếu vng góc C cạnh AB Û uuur uuurAB DC^ Û - -a 16a+12 9- a+ =9 Û a 21

26

= Vậy: D 49 41; ; 26 26 26

ỉ

ỗ ữ

ố ứ

Cõu VIIa. Gi số phức z a bi= + Ta có: a b i a b

b a b a

2

2 ( 1) ( 2) ( 1) 4

3

ì - + + = Ûì - + + =

í í =

-= - ỵ

ỵ Û a b

a b

2 2;

2 2;

é = - = -Û ê

= + = - +

ë Vậy: z= -2 2+ - -( 1 2)i z= +2 2+ - +( 1 2)i Câu VIb.

1) B d Ox= ầ ị B(1; 0) Gi s A a( ;3 7(a-1))Ỵd, (a>1) Gọi AH đường cao của tam giỏc ABC ị ( ;0)H a ẻBC ị C a(2 -1 0; )

Do đó: BC=2(a-1), AB AC= =8(a-1)

Vì chu vi tam giác ABC bằng 18 nên 2(a- +1 16) (a- =1) 18 Û a=2

Þ C(3;0), A(2; )

2) Giả sử: I t( ; ; )- - Î1 t d Vì (S) tiếp xúc với (P) (Q) nên d I P( ,( ))=d I Q( ,( ))=R

Û t t

3

-

-= Û t=3 Suy ra: 2 3 3

3

R= , ( ; ; )I - -

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x 3) (2 y 1) (2 z 3)2

9

- + + + + =

Câu VIIb. Ta có: D=24 70+ i Þ bậc hai D là:7 5+ i hoặc - -7 5i Vậy: z= +2 i hoặc z= - -5 4i

Đề số 87

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I. Cho hàm số y x

x

2

1

-=

-

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng

2.

Câu II

1) Giải phương trình: sin 2x 17 16 3.sin cosx x 20sin2 x

2 12

p p

ỉ ỉ

+ + = + +

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

2) Giải hệ phương trình: x x y x y

x y x xy

4 2

3 11

ìï - + = í

- + = -ïỵ

Câu III Tính tích phân: I = x x dx

x

4

tan ln(cos ) cos p

ò

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a, mặt bên

các tam giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy góc

0

60 Tính cơsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) (SBC)

Câu V Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng: a b b c c a

ab c bc a ca b

+ + + + + ³

+ + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a.

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng D: 2x+3y+ =4 0 Tìm

điểm B thuộc đường thẳng D cho đường thẳng AB D hợp với góc 45 0

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng

x y z

d1

( ) :

1

+

= =

- -

x y z

d2

( ) :

1

-

-= = Chứng minh rằng điểm M d d, ,1 2 nằm một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó.

Câu VII.a Giải phương trình: logx(24 1)x+ x+logx2(24 1)x+ x2 =log(24 1)x+ x .

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b.

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2+y2=1, đường thẳng ( ) :d x y m+ + =0 Tìm mđể ( )C cắt ( )d tại A B cho diện tích tam giác ABO lớn nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x y z– + + =1 0, (Q):

2 3 0

x y– + z+ = , (R): x+2y–3z+ =1 0 đường thẳng D1: x y z

2

- = + =

- Gọi D2 giao

tuyến của (P) (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) cắt cả hai đường thẳng D1, D2

Hướng dẫn Đề số 87

Câu I. 2) PTTT D (C) điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 Ỵ C : y f x x x= '( )(0 - 0)+ f x( )0

Û x+(x0-1)2y-2x02+2x0- =1 (*) Ta có: d I x

x

0

2

( , ) 2

1 ( 1)

D = Û - =

+ - Û

x x00

0

é = ê = ë

Þ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x y+ - =1 x y+ - =5 Câu II.

1) PT 2cos2 x 5cos x

6

p p

ỉ ổ

ỗ + ữ+ ỗ + ữ+ =

è ø è ø Û x

1 cos p ổ + = -ỗ ữ è ø Û x k x k 2 2 p p p p é = + ê ê ê = - + êë

2) HPT Û x xy x y

x y x xy

2

3

( )

( )

ìï - = -í

- - =

-ïỵ Đặt

x xy u

x y v

2

ìï - = í

=

ïỵ , ta được:

u v v u 1 ì = í = -ỵ Û u v

u 1;2;v0

é = = ê = - = -ë

ị ỡ =ớ =xy 10 ợ hoc

x

y 01

ì = -í = ỵ

Câu III.Đặt t=cosx Þ dt= -sinxdx Þ I tdt tdt

t t 1 2 1 ln ln = - ò = ò Đặt u t dv dt t2 ln ì = ù = ùợ ị du dt t v t 1 ì = ïï í ï = -ïỵ

Þ I 2ln2

=

-Câu IV. Gọi E, H, F trung điểm cạnh AB, BC, CA Þ AB ^ (SHE), AC ^ (SFH) Þ SH ^ (ABC) Þ Góc hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy · ·SEH SFH= =600

EH = FH Þ AB = AC Þ AH ^ BC Þ AH ^ (SBC) Þ AH ^ SB

Trong DSBC, kẻ HK ^ SB Þ góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) ·HKA

AC AB a= = , HA a

2

= , SH HFtan600 a

2

= = ; KH a

HK2 HS2 HB2

1 1

10

= + Þ = ;

·AKH AH KH

20 tan

3

= = cos·AKH

23

Þ =

Câu V. Ta có: a b c c

ab c ab b a a b

1

1 (1 )(1 )

+ = - =

-+ + - - - -

Tương tự: b c a

bc a c b

1

(1 )(1 )

+ =

-+ - - ;

c a b

ca b c a

1

(1 )(1 )

+ =

-+ - -

Từđó VT c b a

a b c a c b

1 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

- -

-= + +

- - -

≥ c b a

a b c a c b

3 1

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

- -

- - = Dấu "=" xảy Û a b c

3

= = = Câu VIa.

1) D có phương trình tham số: ì = -í = - +xy 32 2t t

ỵ VTCP u= -( 3;2)

AB

( , ) 45D = Þ cos( ; )AB u

2

=

uuur r AB u

AB u

Û uuur rr = 169t2 156 45 0t t 15;t

13 13

Û - - = Û = =

- Vậy điểm cần tìm là: B1 32 4; , B2 22 32;

13 13 13 13

ổ- ổ -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

2) d1 qua M1(0; 1;0)- có ur1=(1; 2; 3)- - , d2 qua M2(0;1;4) có ur2=(1;2;5)

Ta có éëu uuur uur1 2; ù = - -û ( 4; 8;4) 0ạr, M Muuuuuur1 2=(0;2;4)ị ộởuur uur uuuuuuru u M M1 2; ùû 1 2=0 Þ d d1 2, đồng phẳng

Gọi (P) mặt phẳng chứa d d1 2, Þ (P) có VTPT nr=(1;2; 1)- qua M1 nên có phương trình

x+2y z- + =2 Kiểm tra thấy điểm M(1; –1;1) Ỵ (P) Câu VIIa.Điều kiện: x>0

· Với x=1: thoả mãn PT Þ x=1 nghiệm PT · Với x¹1 PT Û

x x x x x x

1

1 2log (24+ +1) log (24+ + +1) log (24= +1)

Đặt log (24x x+ =1) t , ta được:

t t t

1

1 2+ +2+ = Û t t

2 1;

3

= = -+ Với t=1 log (24x x+ =1) 1Þ Phương trình vơ nghiệm + Với t

3

= - log (24x x 1)

3

+ = - Ûx2.(24x+1)3=1 (*) – Nhận thấy x

8

= nghiệm (*) – Nếu x

8

> VT (*) > Þ x

8

> nghiệm (*) – Nếu x

8

< VT (*) < Þ x

8

< nghiệm (*) Vậy PT có nghiệm: x 1,x

8

= = Câu VIb.

1) (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = (d) cắt (C) A, B Ûd O d( ; ) 1<

Khi đó: SOAB 1OA OB .sin·AOB 1.sin·AOB

2 2

= = £ Dấu "=" xảy Û·AOB=900 Vậy SAOB lón Û·AOB=900 Khi d I d( ; )

2

= Ûm= ±1

2) D1 có PTTS: {x= -2 ;t y= - +1 ;t z=3t; D2 có PTTS: {x= +2 ;s y= +5 ;s z s= Gi s dầD1=A d; ầD2 =B ịA(2 ; ;3 ), (2 ;5 ; )- t - +t t B +s + s s

AB= +(s ;3t s t- +6;s-3 )t

uuur

, (R) có VTPT nr=(1;2; 3)-

d^( )R Ûuuur rAB n, phương s 2t 3s t s 3t

1

+ - +

-Û = =

- t

23 24

Þ = Þ A 1 23; ; 12 12

ổ

ỗ ữ

ố ø

Vậy phương trình d: x y z

23

1

8

12 12

1

-= =

- Câu VIIb.Điều kiện : x

x x

3

0

log (9 72)

9 72

ì >

ï - > í

ï - > ỵ

Û x>log 73 19 >

Đề số 88

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I Cho hàm số y = x

x

2

2

+

+ (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B cho DOAB cân tại gốc tọa độ O

Câu II

1) Giải phương trình: cotx+ tan+ x+2cot 2x =3

2) Giải phương trình: x2-2(x+1) 3x+ =1 2x2+5x+ -2 8x-5

Câu III Tính tích phân: I x xdx

x

4

cos sin sin2 p

-=

-ị

Câu IV Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh CD, A¢D¢ Điểm P thuộc cạnh DD¢ cho PD¢ = 2PD Chứng tỏ mặt phẳng (MNP) vng góc với mặt phẳng (A¢AM) tính thể tích của khối tứ diện A¢AMP

Câu V Cho a, b, c cạnh của tam giác có chu vi bằng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P a b c b c a c a b

c a b

3 3

( ) ( ) ( )

3 3

+ - + - +

-= + +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2+4x+4y+ =6 0 đường thẳng D: x my+ –2m+ =3 0 với m tham số thực Gọi I tâm của đường tròn (C) Tìm mđể D cắt (C) tại điểm phân biệt A B cho diện tích DIAB lớn nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x–2y+2z–1 0= hai đường thẳng 1:x y z

1

D + = = + , 2:x y z

2

D - = - = +

- Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

D cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng

Câu VII.a. Giải phương trình: log 12( +3x)=log7x

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng dđi qua A chia DABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x y z

1

-

-= = mặt phẳng (P):

3 2 2 0

x+ y+ z+ = Lập phương trình đường thẳng Dđi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng d

Câu VII.b.Tìm mđể phương trình sau có nghiệm thực: 4+ -x2 =m( 2- +x 2+x)

Hướng dẫn Đề số 88

Câu I. 2) Gọi ( ; )x y0 0 toạđộ tiếp điểm DOAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai

đường thẳng y x= y=–x Suy ra: y x

x

0 2

0

1

( )

(2 3)

-¢ = = ±

+ Û

x y

x y

0

0

1

2

é = - Þ = ê

= - Þ =

êë

Þ D1:y- = -1 1(x+ Û = -1) y x (loại); D2:y- = -0 1(x+2)Û = - -y x 2 (nhận) Câu II

1) Điều kiện: sin cos

2

p

¹ Û ¹

x x x k

Ta có:

2 cos cos sin

2cot 2 cot tan

sin 2sin cos

-= x= x x=

-x x x

x x x

PT Û cot cot cot ,

p p

+ x = - xÛ x= Û = +x k kẻÂ 2) iu kin:

3 ³

-x

PT Û é( +1)2-2( +1) 3 + +1 ( 3 +1)2ù é+ ( +2)2-2 2 2+5 + +2 ( 2 +1)2ù=0

ë û

ë x x x x û x x x x

( ) ( )

2 1

( 1) 2 1

2

ì + = + ï

é ù

é ù

Ûë + - + û +ë + - + û = Ûí Û =

+ = + ïỵ

x x

x x x x x

x x

Câu III.Đặt u=sinx+cosx

2

2 Þ =

-ị du

I

u Đặt u=2sint

4 6

2cos

12 4sin

p p

p p p

Þ = = =

-ò tdt ò

I dt

t

Câu IV Gọi Q giao điểm NP AD Do PD¢ = 2PD nên D¢N = 2DQ

2

4

= =a Þ ^

AD DQ MD QM AM (đpcm)

Ta có: ' ' ' ' ' 2

DA AP = ADD A - DAPD- DA D P =

a

S S S S Þ '

1 D = A AP

V MD S

12 =a

Câu V. Áp dụng BĐT Cô-Si cho số dương ( )3,

3

+

-a b c c c

1

3 ta được:

3

( ) ( )

3 3 3

+ - + + ³ + - Þ + - ³ + -

-a b c c a b c c a b c a b

c c (1)

Tương tự: ( )3

3 3

+ - ³ + -

-b c a a b c

a (2),

3

( )

3 3

+ - ³ + -

-c a b b c a

b (3)

Cộng (1), (2) (3), vế theo vế, ta suy ra: P³ Þ1 minP=1 a b c= = =1 Câu VI.a.

1) (C) có tâm I (–2; –2); R = 2 Giả sử D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻđường cao IH DABC, ta có SAIB sinIA IB ·AIB sin·AIB

2

= = £

Do SAIB lớn Û sinsin·AIB=1 Û DAIB vuông I Û IH = IA

2 = (thỏa IH < R) Û

m m2

1 1

-= + Û

2 2

1 8– m+16m =m + Û1 15m –8m=0 Û m m

15

= Ú =

2) Giả sử M(–1+t t ; ; –9 6+ t)ỴD1; D22 qua A (1; 3; –1) có VTCP ar=(2;1; 2)

-AM=( –2; –3; –8)t t t

uuur

Ta có : d M( , )D2 =d M P( ,( ))Û 261t2-792 612 11 20t+ = t -Û 35t2–88t+53 0= Û t t 53

35

= Ú = Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 53 3; ; 35 35 35

ổ

ỗ ữ

è ø Câu VII.a. Điều kiện: x>0 Đặt t=log7xÛ =x 7t

PT Û ( )

t t

t t t t

t

t 3

3 3

2

log 7

8

ỉ ỉ + = + = + = ỗ ữ +ỗ ữ - =

ố ứ ố ứ (*) Hàm số

t t

f t( )

8

ỉ ổ =ỗ ữ +ỗ ữ

-ố ứ ố ø nghịch biến f(3) 0= nên (*) có nghiệm t = Vậy phương trình có nghiệm x = 343

Câu VI.b (2 điểm)

1) Gọi M d BC= Ç Ta có: SMAB=2SMAC SMAC =2SMAB

· Với SMAB =2SMAC Û MBuuur= -2MCuuur Û M( ; )8 1 Þ Phương trình d x:2 +5y-21 0= · Với SMAC =2SMAB Û MCuuur= -2MBuuur Û M( ; )5 0 Þ Phương trình d x:3 +2y-15 0= 2) Chn N dẻ ịN t( ;1 ;2 )+ t + Þt uuuurMN= -( 2;2 1;t t- t-2)

( )

P x y z

MN ( )P MN n 0 M ( )P t N(1;3;3) : 3

1 1

D - -

-Û = Ï Û = Û Þ = =

-uuuur r

P

Câu VII.b.Điều kiện - £ £2 x Đặt t= 2- +x 2+x , ta có 2£ £t 2 PT Û t m

t

2+5

= , 2£ £t 2 Xét hàm số: f t x x

2 5

( )= + , với 2£ £t 2 Dựa vào BBT, ta suy PT có nghiệm Û m 13

4

Đề số 89

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: (7 điểm)

Câu I: Cho hàm số y=4x3+mx2–3x

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị tại x x1, 2 thỏa x1= -4x2

Câu II:

1) Giải hệ phương trình: 2 0 (1)

1 4 1 (2)

ì - - =

ï í

- + - =

ïỵ

x y xy x y

2) Giải phương trình: cos 8sin3

6

p

ỉ ư

= ỗ + ữ

ố ứ

x x

Câu III: Tính tích phân: A =

2

ln ln

ò

e e

dx x x ex

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại

C; M, N lần lượt hình chiếu của A SB, SC Biết MN cắt BC tại T Chứng minh rằng tam giác AMN vuông AT tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB

Câu V. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 2 a3 2 2 b3 2 2 c3 2 1

a +ab b+ +b +bc c+ +c +ca a+ = Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức S a b c= + +

II PHẦN RIÊNG: (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x+4)2 +(y-3)2 =25

đường thẳng D: 3x-4y+10 0= Lập phương trình đường thẳng d biết d^( )D d cắt (C) tại

A, B cho AB =

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương trình xy t t

z t

1

ì = + ï = í ï = + ỵ

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d khoảng cách từd tới (P) lớn nhất

Câu VIIa. Biết (d) (d¢) hai đường thẳng song song Trên (d) lấy điểm, (d¢) lấy nđiểm nối điểm ta được tam giác Tìm nđể số tam giác lập được bằng 45

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb.

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: –3y–4 0= đường trịn (C): x2+y2–4y=0 Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1)

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4; 5; 6); B(0; 0; 1); C(0; 2; 0); D(3; 0; 0) Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng

D vng góc với mặt phẳng Oxy cắt được đường thẳngAB, CD

Hướng dẫn Đề số 89

Câu I. 2) y =12x2+2mx3 Ta cú: D =m2+ 0,> "m ị Hàm số ln có cực trị x x1 2, Khi đó: x1 ;x x2 1 x2 m;x x1 2

6

ì

= - + = - = -í

ỵ m

9

Þ = ± Câu II. 1) Điều kiện: x 1;y

4

³ ³ Ta có: (1) x x

y y

Û - - = Û x=4y Hệ có nghim: 2;1

ổ ỗ ữ ố ứ 2) PT Û 3sin3x+9sin cos2x x +3 sin cosx 2x+cos3x-cosx =

· Với cosx=0: nghiệm PT

· Với cosx¹0 Ta có: PT Û 3 tan3x+8tan2x+3 tanx=0 Û tanx= Û =0 x kp

Câu III. e e

e e

dx d x

A

x x x x x

2

(ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln )

= =

+ +

ò ò = e

e

d x

x x

2

1 (ln )

ln ln

æ -

ỗ + ữ

ố ứ

ũ = 2ln2 – ln3 Câu IV. Ta có: BC ^ (SAC) Þ AN ^ BC, AN ^ SC ÞAN ^ (SBC) Þ AN ^ MN

2

SA = SM.SB = SN.SC Þ DMSN ~ DCSB Þ TM đường cao DSTB Þ BN đường cao DSTB Ta có: AB ^ ST Þ AB ^ (SAT) hay AB ^ AT (đpcm)

Câu V. Trước hết ta chứng minh: a a b

a ab b

3

2

2

-³

+ + (1) Thật vậy: (1) Û a b a b

2

( + )( – ) 0³ Tương tự: b b c

b bc c

3

2

2

-³

+ + (2) ,

c c a

c ac a

3

2

2

-³

+ + (3)

Cộng (1), (2) (3), vế theo vế, ta được: a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

3 3

2 2 2 3

+ +

+ + ³

+ + + + + +

Suy ra: S£3 Dấu "=" xảy Û a b c= = =1 Vậy maxS=3 a b c= = =1 Câu VIa.

1) (C) có tâm I(– 4; 3) có bán kính R = Gọi H trung điểm AB, AH = Do d ^D nên PT d

có dạng: 4x+3y m+ =0

Ta có: d I( ,( ))D1 = IH = AI2-AH2 = 52-32 =4 Û m m

m

2

27

16 4

13

4

é = - + +

= Û ê = -ë +

Vậy PT đường thẳng cần tìm là: 4x+3y+27 0= 4x+3y-13 0=

2) Gọi H hình chiếu A d, (P) qua A (P)//d, d d P( ,( ))=d H P( ,( )) Gọi I hình chiếu H lên (P), ta có AH HI³ Þ HI lớn A Iº

Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận uuurAH làm véc tơ pháp tuyến Tìm H(3;1;4)ÞAHuuur( 7; 1;5)- - Vậy (P): 7x y+ -5z-77 0=

Câu VIIa. Số tam giác tạo thành là: nC52+5Cn2 Do nC52+5Cn2 = 45 Û n2+3 –18 0n = Û n=3

Câu VIb. 1) Giả sử: M b(3 +4; )b Ỵd Gọi N điểm đối xứng M qua A(3; 1) Þ N(2 –3 ;2 – )b b Ta có: N Ỵ (C) Û (2 –3 )b 2+(2 – ) –4(2 – ) b b = Û b b

5

= Ú = Vậy có hai cặp điểm: M(4; 0), N(2; 2) M 38 6; , N 4;

5 5

ỉ ỉ- Âỗ ữ Âỗ ữ ố ứ ố ứ

2) BAuur=(4;5;5), CDuuur=(3; 2;0)- , CAuur=(4;3;6)Þ éëBA CD CAuur uuur uur, ựỷ ạ0 ị AB, CD chộo Gi (P) mặt phẳng qua AB (P) ^ (Oxy) Þ Phương trình ( ) : – 4P x y=0

(Q) mặt phẳng qua CD (Q) ^ (Oxy) Þ Phương trình ( ) : 2Q x+3 –6 0y = Ta có D = (P) Ç (Q) Þ Phương trình D

Câu VIIb.Đặt t=5 ,x t>0 BPT Û t2+ +(5 )m t m+ 2+5m>0 (*) Ta có: D = 25 > 0, "m Do đó: BPT nghiệm với xÛ (*) nghiệm với t>0

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Đề số 90

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7đ)

Câu I. Cho hàm số y 1x3 ax2 3ax

3

= - - + (1) (a tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị hàm số a =

2) Tìm ađể hàm số (1) đạt cực trị tạix1,x2 phân biệt thoả mãn điều kiện:

2

9 2 9

2

1

2

2 2

1 =

+ + + + +

a ax x

a a

a ax x

(2)

Câu II

1) Giải phương trình: (cos 3sin ) 1 0 4

tan + =

úû ù êë

ép x- x

2) Giải hệ phương trình:

ï ï ỵ ïï í ì

=

-=

-24 216

3

x y xy

xy y x

Câu III. Tính tích phân: = ò3

-16 ln

3 ln

4

3e dx

I x

Câu IV. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a; M N lần lượt trung điểm của SB SC Biết rằng (AMN) ^ (SBC) Tính thể tích khối chóp S.AMN

Câu V. Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: 1

1 1 1

1 1

1

3 3

3

3 + + + + + + + =

+x y y z z x

Chứng minh rằng: xyz£1

II PHẦN RIÊNG (3đ)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho DABC, với đỉnh A (1; –3) phương trình đường phân giác BD: x+y-2=0 phương trình đường trung tuyến CE: x+8y-7=0 Tìm toạđộ

các đỉnh B, C

2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z+8=0 điểm A (–1; 2; 3) , B (3; 0; –1) Tìm điểm MỴ (P) cho MA2 +MB2 nhỏ nhất

Câu VIIa. Giải phương trình: 4 9.2 2 0

= +

- -+

-+ x x x

x

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ đỉnh của tam giác vng cân ABC, có phương trình hai cạnh AB x: -2y+ =1 0, AC:2x+y-3=0 cạnh BC cha im ữ

ứ ử ỗ ố ổ ;1

3 8

I 2) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z+6=0 điểm A(– 1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7) Tìm điểm MỴ(P) cho MA2 +MB2 +MC2 nhỏ nhất

Câu VIIb Giải phương trình: x2+(2x-9)x+2x+1-22 0=

Hướng dẫn Đề số 90

Câu I. 2) y¢ =x2-2ax-3a Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có nghiệm phân biệt x x1, 2

a2 a

4 12

D

Û = + > Û é < -ê >aa 03

ë (*) Khi x1+x2=2a, x x1 2= -3a Ta có: x12+2ax2+9a=2a x( 1+x2)+12a=4a2+12a>0

Tương tự: x22+2ax1+9a=4a2+12a>0

Do đó: (2) Û a a a

a a a

2

2

4 12 2

4 12 + + = + a a a 2

4 +12 1

Û = Û3a a( +4)=0 Û = -a

Câu II.

1) PT (cosx sinx) k

4

p p p

Û - = - + Ûcosx- 3sinx=4k-1 (*),(k ZỴ )

(*) có nghiệm Û + ³1 (4k-1)2Þ =k

Khi đó: PT Û cosx- sinx= -1 Û x m2 ; m2

p

p p p

ì ü

ẻ - +ớ + ý

ợ ỵ

2) Đặt: ( )

x

a xy ab x

y b xy 0; ì =

ù ạ = >

ớ ù = ợ

HPT Û a b bb b ab a 2 216 9 24 27 ì - = ì ï Û = í - = í = ỵ ïỵ a

b 327

ì = Û í =ỵ Từđó x y

y2

3

ỡ = =

ợ ị ( , )x y Ỵ - -{( 9; 3),(9;3)} Câu III.Đặt: t 3ex ex t2

3

+

= - Þ = dx tdt

t2 Þ = + t dt

I dt dt

t t

2 2 3

2

2 2

2 2 8

4

Þ = =

-+ +

ò ò ò =4 8( - -) I1 , với I dt

t 2 = + ị

Tính I dt t 2 = +

ò Đặt: t 2tan ,u u ; 2

p p

ổ

= ẻ -ỗ ÷

è ø dt u du

2

2(1 tan )

Þ = +

I1 du

4

1

2 24

p

p

p p p

ổ

ị = = ỗ - ữ=

è ø

ò Vậy: I 4( 1)

3

p

= - -

Câu IV. Vẽ SH ^ (ABC) Þ H tâm DABC Gọi E trung điểm BC Þ SE ^BC Þ SE ^MN Þ SE ^ (AMN) Þ SE ^ AI (I: trung điểm MN) ÞDASE cân A Þ SA = AE = a

2 ; SABC a2

= ; AH =

3AE =

a

3 Þ SH = SA2-AH2 =

a

2

Þ VSABC 1SABC.SH

3

= = 5a3

24 Þ V(SAMN) = VSAMN VSABC

= = 5a3

96

Câu V. Giả sử xyz>1 Khi đó: x y xy x y xyzx y x y

z z

3+ 3³ ( + )= + > +

z

x y z x y

x y

z

3

1

1 1

Þ < =

+ + +

+ + + Tương tự:

x x y z

y3 z3

1

1+ + < + +

y y z x

z3 x3

1

1+ + < + + Suy ra:

x3 y3 y3 z3 z3 x3

1 1 1

Câu VIa.

1) Gọi E trung điểm AB Giả sử B b( ;2- Ỵb) BD E b 1; b CE

2

ỉ + +

ị ỗ - ữẻ

ố ứ ị b= -3

Þ B( ; )-3 5 Gọi Ađ lỏ điểm đối xứng A qua BD Þ Ađẽ BC Tớm Ađ(5; 1) Þ Phương trớnh BC: x+2y- =7 0; C CE BC= ầ :ớ +ợ + - =xx 82yy- =7 07 0ịC(7;0)

ợ

2) Gọi I trung điểm AB Þ I(1; 1; 1) Ta có: MA2 MB2 2MI2 AB2

2

+ = +

Do đó: MA2+MB2 nhỏ ÛIM2nhỏ Û M hình chiếu vng góc I (P) Û IM n phươngP

M P

, ( )

ì í

Ỵ ỵ

uuur r

Û

x t t

y t x

z t y

x y z z

1

1

1

2

ì = + ì =

-ï ï

ï = - ï =

Ûí Ûí

= + =

ï ï

- + + = =

-ï ï

ỵ ỵ

Vậy M(0; 3; –1)

Câu VIIa. PT Û 2.(2x+ x2-1 2) -9.2x+ x2-1 + =4 Û

x x

x x

2

2

1

2

1

2

+

-+

-é =

ê

ê =

êë

Û x

x

5

é = ê ê = -ë

Câu VIb.

1) Ta có: AB ^ AC ÞDABC vng cân A Þ A(1;1)

Gọi M(x ; y) thuộc tia phân giác At góc ·BAC Khi M cách hai đường thẳng AB, AC Hơn M I phía đường thẳng AB phía đường thẳng AC, tức là:

x y x y

x y x y

x y

2

5

8

( 1)

3 16

(2 3)

3

ì - + +

-= ï

ï

ỉ

ù

- + ỗ - + ữ> ị + - = í

è ø

ï

ỉ

ù + - ỗ + - ữ>

ï è ø

ỵ

BC

At BC^ Þnr =(3; 1)- ÞBC x y: - - =7 0; B AB BC= Ç :ì -í - - =3xx y2y+ =1 07 0ịB(3;2)

ợ ;

x y

C AC BC= Ç :ìí - - =23x y+ - =7 03 0ịC(2; 1)

-ợ

2) Gọi G trọng tâm DABC Þ G(1;2;3)

Ta có: MA2+MB2+MC2 =3MG2+GA2+GB2+GC2

Do đó: MA2+MB2+MC2 nhỏ Û MG2 nhỏ Û M hình chiếu vng góc G (P) Û GM n phươngP

M ,( )P

ì

í Ỵ

ỵ

uuur r x t t

y t x

z t y

x y z z

1

2

3

2

ì = + ì =

-ï ï

ï = - ï =

Ûí Ûí

= + =

ï ï

- + + = =

ï ï

ỵ ỵ

Vậy M (0; 4; 1)

Câu VIIb. PT Û xx

x

2

2 11

é = -Û ê + - =

ë

x

x 32

é = -Û ê =ë

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

Đề số 91

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. Cho hàm số: y= -2x3+3mx2-1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm giá trị của mđể hàm số (1) đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2- =x1 1

Câu II.

1) Giải phương trình:

sin cos2 2cos 3cos

4 1

1 cos

x x x x

x

p

ổ

+ - ỗ + ữ+

ố ø =

+

2) Giải bất phương trình: x 2- x + >1 0

Câu III. Tính tích phân: ( 4 2)

1

3

2

-

-=ò x dx

I

x

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, AB=AC =2a 3, ·BAC=120o Mặt

bên (SBC) vng góc với đáy hai mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy một góc a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a a

Câu V. Tìm tất cả giá trị của ađể phương trình sau có nghiệm thực: 3x2 +2x+ =3 a x( +1) x2+1

II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộOxy, biết toạđộ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC lần lượt H(2;2), I(1;2) trung điểm 5 5; 2 2

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ

M của cạnh BC Hãy tìm toạđộ đỉnh

, ,

A B C biết xB >xC (xB, xClần lượt hoành độđiểm B C)

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng ( )P : 6x+2y+3z- =6 0 với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCđồng thời vng góc với mặt phẳng (P)

Câu VII.a. Giải bất phương trình:

2

log (4x+4)³ +x log (2x+ -3).

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho đường tròn (C): x2+y2-6x+2y- =6 0 điểm

(3;3)

A Lập phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường trịn (C)

2) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm E(2;1;5), (4;3;9)F Gọi D giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): 2P x y z+ - + 0= ( ) : Q x y- +2z- =7 0 Tìm điểm I thuộc D sao cho: IE IF- lớn nhất

Câu VII.b. Giải bất phương trình:

3

log (3x -1).log (3x+ -3) 6<

Hướng dẫn Đề số 91 Câu I. 2) y'= -6x2+6mx, y' 0= Û = Ú =x x m

· Nếu m = ị Ê " ẻy 0, x Ăị hàm số nghịch biến ¡ Þm = khơng tho YCBT

à Nu mạ0, y " Î0, x (0; )m m>0 y¢ ³ " Î0, x ( ;0)m khi m<0

Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2-x1=1Û x xx x1 mm

1

( ; ) (0; ) ( ; ) ( ;0)

é =

ê =

ë x2-x1=1

Û é - = Û = ±ê - =m0 m0 11 m

ë

Câu II.

1) Điều kiện: cosx¹ -1 (*) PT Û sin (cosx x-sinx+ =1) 0Û x kx k2

2

p

p p

é = ê

= + ê

ë

Đối chiếu với điều kiện (*), suy PT có nghiệm: x k2 ; x k2

2

p

p p

= = +

2) Điều kiện: x

2

£ Đặt t 2x x t2

2

-= - ³ Þ =

Khi đó: BPT Û t3- - < Û +3 0t ( 1) ( 2) 0t t- < Û £ <0 t 2Û 2x x

2

£ - < Û - < £

Câu III. I dx x dx

x x

2 2

4

1

3

2

-=ị -ị

· Tính I1= dx

x

2

3

ò = x dx

2

3

2ị - =16

· Tính I x dx

x

2

2

1

2

-=ị Đặt x=2sintÞdx=2 costdt

Þ I tdt t dt t d t

t t

2

2 2

2

2 4 2

6 6

1 cos cot 1 cot (cot )

8 sin sin 8

p p p

p p p

ỉ

= = ỗ ữ = - =

ố ø

ò ò ò

Vậy: I 3( )

16

= -

Câu IV. Gọi I hình chiếu vng góc S BC , (SBC) (^ ABC)nên SI ^ (ABC)

Gọi H, K hình chiếu vng góc I AB và AC, suy AB SH AC SK^ , ^

Þ a =· ·SHI SKI= ÞIH IK= ÞI thuộc đường phân giác góc A DABC nên I trung điểm BC

Ta có: IH IK a

IH2 IK2 IA2 IB2 a2 a2

1 1 1

2

3

= = + = + Þ = =

Trong DSHI ta có: SI = IH.tana=3a

2 tana; SABC a a a2

1 36 3 3

2

= =

Vậy VSABC 1SI S ABC 3a3 tan

3 a

= =

Câu V. PT Û 2(x2+ +1) (x+1)2 =a x( +1) x2+1 Û x a x

x x

2

2

1

2

1

æ + ổ +

ỗ ữ ỗ ữ

+ =

ỗ + ữ ỗ + ữ

è ø è ø

Đặt

( )

x x

t t

x2 x2

1

1 1

+ ¢

-= Þ =

+ + ; t¢ = Û =0 x Dựa vào BBT, suy t ( 1;

ù

Ỵ - û

Ta có: g t t

t2

2

( )

¢ = - = Û = Dựa vào BBT suy PT có nghiệm Û a< -3 ;a³2 2

Câu VIa.

1) Gọi G trọng tâm DABC ta có : GHuuur= -2GIuur Þ G 4;2

3

ổ

ỗ ữ

ố ứ

Mt khác GAuuur= -2GMuuur nên A( 1;1)- Phương trình BC: 3x y+ -10 0= Đường tròn (C) ngoại tiếp D

có tâm I(1; 2) bán kính R= 1+ = Do (C) : (x-1)2+ -(y 2)2=5

Khi toạ độ B ;C nghiệm hệ : x y x x

y y

x y

2 2 3

( 1) ( 2)

4

3 10

ì - + - = Ûì = Úì =

í + - = í = í =

ỵ ỵ

ỵ

Vì xB>xC nên B(3;1) ; C(2;4) Vậy : A(–1; 1); B(3; 1) ; C(2; 4)

2) Ta có: ( )P ÇOx A= (1;0;0); ( )P ÇOy B= (0;3;0); ( )P ÇOz C= (0;0;2)

Gọi D đường thẳng vng góc (OAB) trung điểm M AB; (a) mặt phẳng trung trực cạnh OC;

I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I = ÇD ( )a Þ I 3; ;1

2

æ

ỗ ữ

ố ứ

Gi J tâm đường trịn ngoại tiếp DABC IJ ^ (ABC) , nên d đường thẳng IJ

Þ Phương trình đường thẳng d:

x t

y t

z t

1 2 ì

= + ï ï í = + ï ï = + ỵ

Câu VIIa. BPT Û 4xx 14 (2x x 3)

2

+ +

ìï + ³

-í

- >

ïỵ Û

x

3

2< £ Û x

3

log

2< £

Câu VIb.

1) (C) có tâm I(3; –1), R = Ta có: A(3 ;3) Î (C)

PT đường thẳng d có dạng: a x( - +3) b y( - =3) 0, a2+b2¹0 Û ax by+ -3a-3b=0 Giả sử d qua A cắt (C) hai điểm A, B ÞAB = Gọi I tâm hình vng

Ta có: d I d( , ) 2 ( 1AD 1AB)

2

= = = a b a b

a2 b2

3 3

2

- -

-Û =

+

b a2 b2 a2 b2 a b

4 2

Û = + Û = Û = ± Chọn b = 1thì a = a = –1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x y+ - =6 0 x y- =0

2) PTTS D:

x t

y t

z t

1 3 ì = + ï = -í ï = -ỵ

PTTS EF:

x t

y t

z t

2

¢ ì = +

ï = + ¢

í

ù = + Â

ợ

Xét hệ:

t t t

t t t

t t

1 0

5 1

3 ¢ ì + = +

ï- = + ¢ Ûì =

ớ ớ Â =

-ợ

ù - = + Â

ợ

ịEF ct D ti A(1;0;3)

Trong mp(D,EF) điểm I Ỵ Dta có IE IF EF- £ (hiệu cạnh 1tam giác nhỏ cạnh thứ

3) Dấu "=" xảy ÛI, E, F thẳng hàng, từ suy I trùng A Vậy điểm I(1;0;3)

Câu VIIb. Điều kiện: 0x- > Û >x (*)

BPT Û - <3 log (33 x- <1) 2Û log328 x log 103

27< < (thoả (*))

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Đề số 92

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I. Cho hàm số y x= 4-2m x2 2+m4+m (1), m tham số thực 1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số m= -1.

2) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32

Câu II.

1) Giải phương trình: tanx cos x sin tan x x

2

p

ổ

- ỗ - ữ=

è ø

2) Giải hệ phương trình: x y

y x y x

3

2

8 63 (1)

2 (2)

ìï - =

í

+ + - =

ïỵ

Câu III Tính tích phân: e

e

x x x x

I dx

x x

3

2

2 ln ln

(1 ln )

- +

=

-ị

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân tại A, BC=2a Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích hình chóp khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a, với I là trung điểm SB.

CâuV. Cho x y, số thực thỏa mãn: 2x-2 2y+ =8 x+ -1 y Tìm giá trị lớn nhất nhỏ

nhất của biểu thức P=4x+2y-16

II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)

A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-4x-8y- =5 0 Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm Q( )5;2 cắt đường tròn (C) tại hai điểm M, N cho MN=5 2

2) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hình vng ABCD, biết B(3;0;8), D( 5; 4;0)- -

đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độđiểm C

Câu VII.a. Tìm mơđun của số phức z+1, biết z i i

i i

(1 )(3 ) (1 )

+ +

=

-

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho đường thẳng d x: -3y- =6 0 điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích bằng15

2

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y- =4 0 mặt phẳng (P):x z+ - =3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1 1- ) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu VII.b. Giải hệ phương trình

y x

x y

x y

9

log log

3

3

2log log

ì + =

ï

- =

í ï ỵ

Hướng dẫn Đề số 92 Câu I. 2) y¢ =4x3-4m x2 =4 (x x2-m2); y,= Û ê = ±0 é =xx 0m

ë

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị Û PT: y =0cú ba nghim phõn bit mạ0 (*) Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A(0;m4+m), B m m C m m( ; ), (- ; )

Suy AB =AC = m2+m8 , BC = 2m , tam giác ABC cân A

I(0; m) trung điểm BC S ABC 1AI BC 32 1m4.2m m

2

D = Û = Û = ± (thỏa (*))

Câu II. 1) Điều kiện: cosx¹0 PT Û sin (1x + cosx-sin ) 0x = Û x k ; x 2k

6

p

p p

= = +

2) Nhân (2) với –6 cộng vế theo vế với (1), ta được:

x3 y2 x2 y x y3 x y y x

8 -6 -12 -12 +6 - = Û9 (2 -1) =( +2) Û =2 -3 (*)

Thế (*) vào (2), ta x x x x x x x

x

2 2

(2 3) 2(2 3)

2 é = ê

- + + - - = Û - - = Û

= -ê ë

Vậy nghiệm hệ là: (2; 1), ;

2

ổ

-ỗ ữ

ố ứ

Câu III.

e e

e e

I dx xdx

x x

3

2

1

3 ln

(1 ln )

=

-ò ò = -3ln2 4- e3+2e2

Câu IV. Gọi H, J trung điểm BC, AC Ta có SHHJ ^(ACABC)ỹý

^ ỵ ịAC SJ^

ịÃSJH=600 v AB BC ,a HJ AB 2a

2

2

= = = = , SH HJ.tan600 6a

2

= =

S ABC AB AC a

V . 1SH

3

= =

Gọi E hình chiếu H lên SJ, ta có HE SJHE AC^ ỹýịHE^(SAC)

^ ỵ

Mt khỏc IH SCP ÞIHP (SAC) Þ d I SAC( ,( )) d H SAC( ,( )) HE HJ.sin600 6a

4

= = = =

Câu V. Ta có: 2x 2y x y x y x y

2

ỉ

- + = + - + = ỗ + + + ÷

è ø (1)

Gọi S tập giá trị x y

2

+ , m SỴ Û

y

x m

y m

x

2 (*)

1

2

ì + = ïï í

ï + + + =

ïỵ

có nghiệm

Đặt

a x x a

a b y

y b

b

2

1 1

( , 0)

2

2

ì = + ì =

-ï ³ Þï

í í =

-= +

ï ïỵ

ỵ

(*)

m a b

a b m

m m m

a b ab

2

2

3 2

(**)

2 8 2 2

ì

ì + = + ï + =

ï ï

Ûí Ûí

+ =

ï ï = -

-ỵ ïỵ

Hệ (*) có nghiệmÛhệ (**) có nghiệm (a; b) với a, b ³0

Û PT: 8X2-4mX m+ 2-4m-12 0= có nghiệm khơng âm

Û mm m m

m m

2

8 24

0 10

4 12

ì - - £

ï ³ Û £ £ +

í

ï - - ³

ỵ

Mặt khác P x y 16

2

ỉ

= ỗ + ữ

Suy ra: maxP=8 10 x 10 ; 10y

2 +

= = + ; minP=8 ì = -í =xy 141

ỵ

x

y 84

ì = í =

-ỵ

Câu VIa.

1) (C) có tâm I(2; 4) R = PTD qua Q(5;2) có dạng: A x( - +5) B y( - =2) 0, A2+B2 ạ0

Ta cú MN =5 ịDMIN vng cân I Þ d I( , )

2

D = Þ A B

A2 B2

(2 5) (4 2)

2

- + - =

+

B A A2 B2

2

Û - = + Û17B2+24AB+7A2=0 Û é = -ê7AA= -B17B

ë

· Với A= -B Chọn B = –1, A = Þ PT đường thẳng D: x y- - =3

· Với 7A= -17B Chọn B = –7, A = 17 Þ PT đường thẳng D: 17x-7y-71 0=

2) Ta có trung điểm BD I(–1;–2; 4), BD = 12 điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0)

ABCD hình vng Þ

AB AD AI BD 2 2 ì = ù ổ ử = ù ỗ ữ ố ø ỵ

a b a b

a b

2 2 2

2 2

( 3) ( 5) ( 4)

( 1) ( 2) 36

ìï - + + = + + +

Û í

+ + + + =

ïỵ

b a

a a

4

( 1) (6 ) 20

ì =

-Û í + + - =

ỵ

a b 12 ì =

Û í =ỵ a

b 17 14 ì = ïï í -ï = ùợ

ị A(1; 2; 0) hoc A 17 14; ;0

5

ổ -

ỗ ÷

è ø

· Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A 17 14; ;0

5

ổ -

ỗ ữ

è ø Þ C

27 6; ;8

5

ổ- -

ỗ ữ

ố ø

Câu VIIa. Ta có z=5i Þ z+ = -1 5i Þ z+ =1 12+52 = 26

Câu VIb.

1) Ta có ONuuur=(3;4), ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x-3y=0 Giả sử M m(3 +6; )m Ỵd

Khi ta có S ONM d M ON ON d M ON S ONM

ON

2

1 ( , ) ( , )

2 D

D = Û = =

Û 4.(3m 6) 3m 9m 24 15 m 1; m 13

5

+ - = Û + = Û = - =

-· Với m= - Þ1 M(3; 1)- · Với m 13 M 7; 13

3

ỉ

-

-= ị ỗ- ữ

ố ứ

2) (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT nrP=(1;0;1)

PT (Q) qua M có dạng: A x( - +3) B y( - +1) C z( 1) 0,+ = A2+B2+C2 ¹0

(Q) tiếp xúc với (S)Ûd I Q R A B C A B C A B C

A B C

2 2

2 2

4

( ,( ))= Û - + + = Û -3 + + =3 + +

+ + (*)

Q P

Q P n n A C C A

( ) ( )^ Û r r = Û + = Û = -0 (**)

Từ (*), (**) Þ B-5A =3 2A2+B2 Û8B2-7A2+10AB=0 Û A=2B Ú 7A= -4B

· Với A=2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2x y+ -2z- =9

· Với 7A= -4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4x-7y-4z- =9

Câu VIIb. Điều kiện: x, y > (*) HPT Û ylogx9x y

3

2

log log

ìï = í + = ïỵ x y x y 3

log log

log log

ì = Û í + = ỵ x y x y 3 3

log log

log log

ì = Û í + = ỵ Û x y 3 log log ì = í =

ỵ

x y 3 log log ì = í = ỵ

· Với x

y 3 log log ì = í = ỵ x y 93 ì =

Û í =ỵ (thoả (*)) · Với x

y 3 log log ì = í = ỵ x y 39 ì =

Đề số 93

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I:Cho hàm số: y= -(2 m x) 3-6mx2+9(2-m x) -2 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =

2) Tìm m để đường thẳng d y: = -2 cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 2)- , B C cho diện tích

tam giác OBC 13

Câu II:

1) Giải phương trình: tan2x tanx 1(sin4x sin2x)

6

- = +

2) Giải hệ phương trình: x x y y y

x y x y

(3 1) ( 1) (1)

2 (2)

ì - + = -

-í + + + =

ỵ

Câu III: Tính tích phân:

e

x

x x x

I e dx

x

2

ln

+ +

=ò

Câu IV: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = a; AD =2a Hai mặt bên

(ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 300 600 Tính thể tích khối hộp theo a, biết

cạnh bên a

Câu V: Cho a b, 1;

é ù

Ỵ ê ú

ë û c

1 3;

é ù

Ỵ ê ú

ë û Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

( )

a b c c

a b b a

P

ab c

4

2

3 3

2

2

ổ + ử+ ổ + ử+ + +

ỗ ữ ỗ ữ

-

-ố ứ ố ứ

=

+ +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ +(y 2)2=9 đường thẳng

d x y m: + + =0 Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) cho tam giác ABC vuông (B, C hai tiếp điểm)

2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x-2y+2 0z- = đường thẳng

x y z

d1: ,

2

-

-= =

-x y z

d2: 5

6

- +

= =

- Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song

với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng

Câu VIIa. Giải hệ phương trình: xx 2y yx y 2xy

3 3

log log log

log 12 log log

ì + = +

í + = +

ỵ

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân C có diện tích 10, phương trình

cạnh AB x-2y=0, điểm I(4; 2) trung điểm AB, điểm M 4;9

2

ổ

ỗ ữ

ố ø thuộc cạnh BC Tìm tọa độ

các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B lớn

2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y+2z- =6 0, gọi A, B, C lần

lượt giao điểm (P) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ

diện OABC, tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn (C) giao tuyến (P) (S)

Câu VIIb. Gọi z z z z1 2, , ,3 4 bốn nghiệm phương trình z4-z3-2z2+6z- =4 tập số phức Tính tổng: S

z12 z22 z32 z42

1 1

= + + +

Hướng dẫn Đề số 93

Câu I. 2) Phương trình hồnh độ giao điểm là: (2-m x) 3-6mx2+9(2-m x) - = -2 (1)

x

m x2 mx m

0

(2 ) 9(2 ) (2)

é =

Û ê - - + - =

ë

d cắt (C) điểm phân biệt A(0; –2), B, C Û (2) có nghiệm phân biệt khác

Û m m mm

m

2 1

9 9(2 )

2

2D

ì = - - > Ûì >

í - ¹ í ¹

ỵ

ỵ (*) Giả sử B x( ; 2), ( ; 2)B - C xC - (xB¹xC)

Khi đó: B C

B C m x x m x x ì ï + = í -ï = ỵ

Ta có: S OBC ( , ).d O BC BC 13

2

D = =

( B C) B C

BC 13 x x 4x x 13

Þ = Û + - = Û mm m

m

2 14

6 36 13

13 14 é ỉ ê = - = ỗ - ữ ờ

ố ø ë = (thoả (*))

Câu II.

1) Điều kiện: x

x

cos2

cos

ỡ

ớ ạ

ợ PT Û x x x x

2

sin (cos2 -1)(2cos +5cos2 +6) 0= Û x=pk

2) Điều kiện: x y

x y2

4

ì + ³

í + ³

ỵ (1) Û

y x

x y x y x 3y

(3 - +1)( -2 ) 0= Û ê =é =2 +

ë Ta được:

· ì =íy7x3+ +x2+1 7x+ =1 5

ỵ Û x y 17 25 76 25 ì = ïï í ï = ïỵ

· ì =íx4y2y 9y 5Ûì =í =xy 12

+ = ỵ

ỵ

Câu III.

e e e x

x x e

I xe dx xe dx dx

x

1 1

ln

=ò +ị +ị · Tính

e e e

x x x e

I1 xe dx xe e dx e e

1

( 1)

=ị = -ị =

-· Tính

e e e x e x

x x e e e

I e xdx e x dx e dx

x x

2 1

1 1

ln ln

=ò = -ò = -ò Vậy:

e xe

I I I dx

x

1

1

= + +ò = ee+1

Câu IV. Kẻ A¢H ^ (ABCD) Gọi I, J hình chiếu H cỏc cnh AD v AB Vỡ AD ^(AÂHI) ịÃA IHÂ =600, AB ^(AÂHJ) ịÃA JHÂ =300

A H

HJ ' 0 A H'

tan30

= = ; HI A H' 0 A H'

3 tan60

= = ;

A H A H

A'A2 AH2 A H' 10 ' A H' 13 '

3

= + = + = a2 13 'A H2 A H' a

3 13

Û = Û =

Suy ra: V SABCD 'A H a2 a 2a3

13 13

= = =

Câu V. Ta có:

a b

a b c c

a b b a

P

ab c

4

2

3( ) 2

2

2

+ + + + + +

-

-=

+ +

· Với a b, 1;3

é ù

Ỵ ê ú

ë û

a b

a b

2 - ³

b a

b a

2 - ³ Dấu "=" xảy Û a b=

· 3(a b+ +2 )c ³( a+ b+ 2c)2 Dấu “=” xảy Û a b= =2c

· 24ab£ a+ b Dấu “=” xảy Û a b=

Do đó: P ( a b c) ( a b c)

a b c

2

2 2

2

+ + + + + +

³

+ + + Đặt t= a+ b+ 2c Þ t

Xét hàm số: f t t t t

2 2 5

( )

1 + + =

+ , với t

3 3;

2

é ự

ẻ ỳ

ở ỷ ị f t t

4

( )

( 1)

¢ = - >

+ , với t

3 3;

2

é ù

Ỵ ê ú

ë û

Dựa vài BBT ta suy được: minP=5 Û a b 1;c

2

= = =

Câu VIa.

1) (C) có tâm I(1; –2), R = Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (C) AB AC^ Þ ABIC hình

vng cạnh 3ÞIA=3 m m mm 75

2

- é =

-Û = Û - = Û ê =

ë

2) Giả sử: M(1 ;3 ;2+ t - t t)Ỵd N1, (5 ';4 '; 5 '+ t t - - t)Ỵd2 Ta có: d M P( ;( )) 2= Û 1t- = Û =t 0; t=1

· Với t= Þ0 M(1;3;0), uuuurMN=(6 ' 4;4 ' 3; ' 5)t+ t- - -t MN nuuuur r^ PÛ = Þt' N(5;0; 5)

-· Với t= Þ1 M(3;0;2), ( 1; 4;0)N

-Câu VIIa. Điều kiện: x

y 00 ì > í >

ỵ HPT Û

x y xyx yxy

3

12

ìï =

í =

ïỵ Û x y

y x

y x

2

3

ì =

í =

ỵ

x y

4 log 2log ì =

ï Û í =ï

ỵ

(thoả đk)

Câu VIb. 1) Giả s B y y(2 ; )ẻB B AB ị A(8 ;4- yB -yB) Phương trình CI: 2x y+ -10 0= Gọi C x( ;10 )C - xC Þ CIuur = 4-xC ; uuurAB = 20 yB-2

ABC B C C B

S CI AB 10 4y 2x x y

2

= = Û + - - = C B B C

C B B C

x y y x

x y y x

4 (1)

4 10 (2)

é - - =

-Û ê - - =

-ë

Vì C ( B )

C B

x k y

M BC CM kMB

x k y

4

11 2

2

ì - =

-ù

ẻ ị = ớ- + ổ

= ỗ - ữ

ù

ố ứ

ỵ

uuur uuur

C B B C

x y y x

2 16

Þ - - + = (3)

· Từ (1) (3): C B B C B

C B B C B

x y y x y

x y y x y

4

2 16 1 2

ì

ì - - = - Þï =

-í - - + = í

= - +

ỵ ïỵ (loại, yB³3)

· Từ (2) (3): C B B C B

C C B B C

x y y x y

x

x y y x 10 32

2 16

ì - - = - Ûì =

í - - + = í =

ỵ

ỵ (thoả)

Vậy A(2; 1), B(6; 3), C(2; 6)

2) Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3)

PT mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz D+ =0 (A2+B2+C2- >D 0)

A, B, C, O Ỵ (S) Û

D

A A B C D

B C

0

3

36 12 3; ; ; 0

9 2

9

ì =

ï ì

ï + = Û = - = - = - =

í + = í

ỵ ï

+ =

ïỵ

Vậy (S): x2+y2+z2-6x-3y-3z=0 có tâm I 3; ;3

2

ổ

ỗ ÷

è ø, bán kính R

3

=

Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Þ H tâm (C) Tìm H 5; ;

3 6

ổ

ỗ ữ

è ø

Þ Bán kính (C): r R2 IH2 27

2

= - = - =

Câu VIIb. PT Û -( 1)(z z+2)(z2-2z+2) 0= Þ PT có nghiệm: z1=1;z2= -2;z3= +1 ;i z4= -1 i

Þ S

z12 z22 z23 z24 i2 i

1 1 1 1

4 (1 ) (1 )

= + + + = + + + =

- +

Đề số 94

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y x

x

2

1 + =

-

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(2; 5) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B Tính diện tích tam giác OAB

Câu II.

1) Giải phương trình: x x

x x

(1 2cos )sin 3

cos2 cos

-=

-

2) Giải phương trình: 35x- -2 11- + =x 0.

Câu III Tính tích phân: I 3x x xdx

0

(cos )cos

p

= ị

-Câu IV Cho hình chóp S.ABCD hình thang vng tại A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) bằng 60 Bi0 ết hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu V Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z, ta có:

x y z y z x z x y

y z x z x y x y z

15

+ + +

+ + + + + ³

+ + + Dấu đẳng thức xảy nào?

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(2; 2) giao điểm của hai đường chéo AC BD Điểm M(–3; 1) thuộc đường thẳng AB trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D:x+2y- =4 0 Viết phương trình đường thẳng AB

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+2y z+ - =2 0 mặt cầu (S):

2 2 6 4 2 11 0

x +y +z - x- y- z- = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một

đường trịn Xác định tâm bán kính của đường trịn đó

Câu VIIa Giải bất phương trình: x2 2x 1 x2 2x 1

(2 3) (2 3)

2

- + -

-+ + - £

- B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-2x-4y- =5 0 đường thẳng D: x my+ - =2 0, với m tham số thực Gọi I tâm của đường tròn (C) Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y+ +2z- =1 0 hai đường thẳng 1:x y z

1 1

D - = - =

- ,

x y z

2: 41 21 13

D - = - = - Xác định tọa độ M thuộc D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng

Câu VIIb Giải hệ phương trình:

x xy y

x y xy

2

2

3

2

log ( 17) log ( ) (1)

3 - + 16 (2)

ì + + = +

ï í

= ïỵ

Hướng dẫn Đề số 94 Câu I. 2) PTTT (C) M(2; 5): y= - +3x 11 Þ 11 0 0 11

3

Aổỗ ; , ( ; )ửữ B

ố ứ Þ S OAB

121

D =

Câu II.

1) Điều kiện: x m2

3

p

¹ PT Û 2

6 6

x x

cosổỗ +p ửữ=cosổỗ -p ửữ

è ø è ø Û x 3 k2

p p

= - +

2) Điều kiện: x£11 Đặt: u=35x-2,v= 11-x Ta được: u v

u3 v

1

5 53

ì - + = ï

í

+ =

ïỵ Û

u x

v

2 2

3 ì =

Û = í

= î

Câu III. I

16 16

p ỉp p

= -ỗ - ữ= - +

ố ứ

Câu IV. SABCD =3a S2; ACD =a S2; ABC =2a2; S ABC 1AM BC 1AM a AM 4a

2 5

D = = Þ =

a

SA AM.tan600

5

= = Þ VSABCD 1SA S ABCD 3a3

3 5

= =

Câu V.· S x y z x y z

y z z x x y y z z x x y

1= + + + + + =( + + )ổỗ 1+ + +1 + +1 ư÷-3

è ø

y z z x x y

y z z x x y

1( )( )( ) 1 3 3

2 2

æ

= + + + ỗ + + ữ- ³ - =

+ + +

è ø

· S y z z x x y x y y z z x

x y z xyz

2 = + + + + + ³3 ( + )( + )( + ); (x y y z z x+ )( + )( + ) 8³ xyz Do đó: S2 ³6

Vậy: S S S1 2 15

2

= + ³ Dấu “=” xảy Û x y z= =

Câu VIa.

1) Gọi M ¢ đối xứng với M qua I ịMÂ(7;3) Ta cú: EM EI 0

E .D

ỡ =

ớ ẻ ợ

uuur uur

Û 4 0

2 1

E E( ; )( ; )

é êë · Với E( ; )4 0 Þ Phương trình AB: x y- + =4 0

· Với E( ; )2 1 Þ Phương trình AB: 3x-5y+14 0=

2) (S) có tâm I(3; 2; 1) R = 5; d I P( ;( ))= < =3 5 R Þ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Gọi H

và r tâm bán kính (C) Ta cú: ỡớ ẻIHH ^( )P( )P ịH( ; ; )1 0

ỵ ; r R IH R d

2 2 4

= - = - =

Câu VIIa. BPT Û (2+ 3)x2-2x+ -(2 3)x2-2x£4 Đặt t x2 2x t

(2 3) - ( 0)

= + >

BPT Û t

t

1

+ £ Û - + £t2 0t Û -2 3£ £ +t (thoả đk)

Û 2- (2£ + 3)x2-2x£ +2 Û - £1 x2-2x£1 Û x2-2x- £ Û -1 2£ £ +x

Câu VIb.

1) (C) có tâm I(1;2) R = 10 SIAB 1IA IB .sin·AIB 1IA IB

2

= £

Do đó: Smax ÛDIABvuông I Ûd I( ; )D = Ûm = -2

2) Giả sử M(3 ;5 ; )+t + - Ỵt t D1 Ta có: d M P( ;( )) t 10

3 +

= ; d M( ;( ))2 14t

3

D = +

t M

d M P d M P

t M

1 (2;4;1)

( ;( )) ( ;( ))

4 ( 1;1;4)

é = - Þ

= Û ê

= - Þ

-ë

Đề số 95

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÌ SINH (7 điểm) Câu I Cho hàm số y x= 4-2mx2+m (1) , m tham số

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng

Câu II.

1) Giải phương trình: 2sin sin sin 11

4

p p

æ + ử+ + ổ + ử- =

ỗ ữ ç ÷

è x ø x èx ø

2) Giải bất phương trình: x2+2x+92 ³x2 +2x+ x- +1 1

Câu III.Tính tích phân:

ln 3

0

2

4

-=

- + ò x xx x

e e

I dx

e e

Câu IV. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có đáy tam giác đều cạnh 2a, điểm A¢ cách đều ba điểm A, B, C Cạnh bên A¢A tạo với mặt phẳng đáy một góc a Hãy tìm a, biết thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ bằng 2 3a3

Câu V. Cho a,b,c số dương thỏa mãn a b c+ + =3 Chứng minh rằng:

2 3 7.

4

a+ b+ ab+ bc+ abc £

II PHÂN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình cạnh AB, AC lần lượt x+2y- =2 0 2x y+ + =1 0, điểm M(1; 2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DCuuur uuur. có giá trị nhỏ nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3; 5; 4), B(3; 1; 4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P): x y z- - - =1 0 cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng

2 17

Câu VIIa. Giải phương trình: ( )2

4

log x+1 + =2 log 4- +x log (4+x)

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1: ( – )m 1 x+( – )m 2 y+2–m=0; d2: ( – )2 m x+( – )m 1y+3m–5 0= Chứng minh d1 và d2 ln cắt Gọi P = d1Çd2 Tìm m cho PA+PB lớn nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụđứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) Gọi M trung điểm của AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với O1A cắt OA, OA1 lần lượt tại N, K Tính độ dài đọan KN

Câu VIIb. Tìm m thực để phương trình sau có nghiệm thực đoạn 5;4

2

é ù

ê ú

ë û:

m 21 x m 1 x m

2

1

( 1).log ( 2) 4( 5)log 4

2

- - + - + - =

-

Hướng dẫn Đề số 95

Câu I. 2) y x mx x x m y x

x m

3

2

' 4= -4 =4 ( - ); ' 0= Û êé =

= ë

Hàm số có điểm cực trị Û y’ 0= có nghiệm phân biệt Ûm>0

Khi đó, điểm cực trị đồ thị là: A(0;m), B(- m m;- 2+m C m m), ( ;- 2+m)

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(0; a)

Ta có:

m a

m a m a

IA IB IC

m m m a m m m a

2

2 2

2

2

1

( ) 1

1

( ) ( ) 1 (*)

ìé - =

ìï - = ïê =

-= = = Ûí Ûíë

+ - + - =

ï ï

ỵ ỵ + - + - =

· Với m a- = -1 thay vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm " >m

· Với m a- =1 thay vào (*) ta có m 1;m

2

-= = (thoả đk)

Câu II.

1) PT Û (2sinx-1)(cosx-sinx+ =3) Û x k2 ;x k2

6

p p p p

= + = +

2) Điều kiện: x³1 BPT Û x2+2x+92 10 (- ³ x2+2x- +8) ( x- -1 1)

x x

x

x2 x

1

( 2) ( 4)

1

2 92 10

é ỉ ư ù

ờ ỳ

- + ỗ - -ữ

ỗ ữ

ờ ố + + + ø - + ú

ë û

Ta có: x x

x

x2 x

1

( 4)( 1) 0,

1

2 92 10

+ - - < " ³

- +

+ + + Do BPT Û - £ Û £x x

Kết luận: BPT có nghiệm: 1£ £x

Câu III. Đặt t= 4e3x-3e2x Þt2 =4e3x-3e2xÞ2tdt=(12e3x-6e2x)dx (2e3x e2x)dx tdt

3

Þ - =

tdt

I dt

t t

9

1

1 (1 )

3

Þ = =

-+ +

ị ò 1( lnt t 1)19 ln5

3

-= - + =

Câu IV. Ta có: SABC =a2 A1A = A1B = A1C Þ A1ABC chóp tam giác Gọi G trọng tâm

DABC Þ A1G đường cao DABC có AG =

3AH =

a

2 3

DA1AG có: ·A AG1 =a , A1G =AG.tana=2 3a

3 tana

VLT = A1G.SABC = 3a3 Þtana = 3Þ =a 600

Câu V. Ta có: M 2a 3b ab bc 3abc 2a 3b a b.4 b c.4 13a b.4 16c

4 2

= + + + + = + + + +

a b b c a b c

a 3b 4 16

2

4 4 12

+ + + +

£ + + + + 28(a b c)

12 + +

= =

Dấu "=" xảy Û a 16,b 4,c

7 7

= = =

Câu VIa.

1) Phương trình BC có dạng: a x( - +1) b y( - =2) 0,a2+b2 >0

DABC cân A nên B C a b a b aa bb

a2 b2 a2 b2

2

cos cos

+ + é =

-= Û = Û ê =

ë

+ +

· Với a= -b: chọn b= -1,a=1 Þ BC: x y- + =1 B(0;1), C 1;

3

ổ-

ị ỗ ữ

· Với a b= : chọn a b= =1 Þ BC x y: + - =3 ÞB(4; 1), ( 4;7)- C - Þ M thuộc đoạn BC

Gọi trung điểm BC làI(0;3) Ta có: DB DC (DI IB DI IC).( ) DI2 BC2 BC2

4

= + + = - ³

-uuur -uuur uur uur uur uur

Dấu "=" xảy Û D Iº Vậy DB DCuuur uuur nhỏ D(0; 3)

2) Giả sử C a b a b( ; ; - - Î1) ( )P DABC cân C Û AC = BC Û b=3 (1)

Trung điểm AB I(3;3;4) S ABC CI AB 17 CI 17

2

D = = Þ = Þ a= Ú =4 a (2)

Vậy C(4; 3; 0) C(7; 3; 3)

Câu VIIa. Điêù kiện: é- < < -ê- < <41 xx 41

ë (*) PT Û x x

2

4 - =1 16- Û x= - +2 24;x= -2 (thoả (*))

Câu VIb.

1) Xét Hệ PT: ìí -((2m-m x1))x+((mm-2)1)y my= -3m2 5

+ - = - +

ỵ Ta có

m m

D m m m m

2

3

1 2 2 0,

2 2

ổ

-

-= = ỗ - ữ + > "

- - è ø

Þ d d1 2, ln cắt Ta có: A(0;1)Ỵd B1, (2; 1)- ẻd d2, 1^d2 ịD APB vuụng ti P Þ P nằm đường trịn đường kính AB Ta có: (PA PB+ )2 £2(PA2+PB2) 2= AB2=16

Þ PA PB+ £4 Dấu "=" xảy Û PA = PB Û P trung điểm cung »AB

Û P(2; 1) P(0; –1) Û m=1 m=2 Vậy PA PB+ lớn Û m=1 m=2

2) A1(2;0;4), (0;4;4)B1 , M(1;2;0), O Auuur1 =(2;0; 4)- Þ Phương trình (P): x-2 0z- = PTTS OA:

x t y z 00 ì = ï = í ù = ợ

ị OAầ( )P =N(1;0;0); PTTS

x t

OA y

z t

1:

2 ì = ï = í ï = î

Þ OA1 ( )P K 1;0;

3

ổ

ầ = ỗ- - ÷

è ø

Vậy KN

2

2

1 2

1 (0 0)

3 3

ỉ ỉ

= ỗ + ữ + - +ỗ + ÷ =

è ø è ø

Câu VIIb. PT m 21 x m 1 x m

2

( 1).log ( 2) ( 5)log ( 2)

Û - - - + - =

Đặt t 1 x x t [ ]

2

5

log ( 2), ;4 1;1

2

é ù

= - Ỵê ỳị ẻ

-ở ỷ Ta c:

t t

m f t

t t

2

5 ( )

1 - +

= =

- +

t

f t f t t

t t

2

2

4

'( ) ; '( )

( 1)

-= = Û = ±

- + Dựa vào BBT suy PT có nghiệm Û m

7 3;

3

é ù

Ỵ -ê ú

ë û

Đề số 96

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. Cho hàm số y x m

x

- + =

+ có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số m=1

2) Tìm giá trị của mđểđường thẳng d x: +2y- =1 0 cắt (Cm) tại hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích bằng (O gốc tọa độ)

Câu II.

1) Giải phương trình: x x x x x

x x

2

sin sin tan2 (sin sin3 )

cos + cos3 = +

2) Giải phương trình: 2x2+ + +x x2- + =x 3x

Câu III. Tính tích phân: I x x x dx2

0

( 1)

=ò - -

Câu IV. Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a góc ABC bằng 30 Tính th0 ể tích của khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB CB' bằng a

2

Câu V. Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2+y2+xy=1 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S x y xy= - 2

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2–8x+6y+21 0=

đường thẳng d x y: + - =1 0 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A

Ỵd

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) mặt phẳng (P): x y z+ + =0 Tìm điểm M Ỵ (P) cho MA2 + MB2 nhỏ nhất

Câu VIIa. Cho số phức z x yi x y Z= + ; , Ỵ thỏa z3=18 26+ i Tính T= -(z 2)2010+ -(4 z)2010

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác BD Biết H( 4;1),M 17;12

5

ổ

- ỗ ữ

è ø BD có phương trình x y+ - =5 0 Tìm tọa

độđỉnh A của tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :x y z

2

+ +

D = =

- hai điểm

A(1;2; 1),- B(3; 1; 5)- - Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cắt đường thẳng D

sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất

Hướng dẫn Đề số 96

Câu I. 2) PT hoành độ giao điểm d (Cm): - +xx m2 = - Û12 x x2- +x 2m- =2 (1),x¹ -2

+

d cắt (Cm) điểm A, B Û (1) có nghiệm phân biệt khác –2 Û m

8 - ¹ < (*)

Khi giao điểm là: A x1;1 x1 ,B x2;1 x2

2

ỉ ỉ

-

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ AB= 2(9 )- m

OAB

S 1AB d O d ( , ) 2(9 ).m 1 8m m

2 2 2

= = - = - = Û = - (thảo (*))

Câu II.

1) · Với x£0: PT thoả mãn

· Với x>0 PT

x x2 x x2

1 1

2

Û + + + - + = Đặt t t

x

1 ,

= >

Ta 2+ +t t2 + 1- +t t2 = Û3 2+ +t t2 = -3 1- +t t2 Û t=1 Þ x=1

2) Điều kiện: cosx¹0,cos3x¹0 PT Û x x x x

x x x x

sin( ) sin sin sin3 0

cos cos2 cos3 cos2

- + =

Û x kp=

Câu III. I x x x dx2 x2 x x x x2 dx

0

( 1) ( 1) ( 1)

=ò - - =ò - + - - Đặt t= 2x x- Þ I

15

= -

Câu IV. Gọi M, N trung điểm AB A'B' DCAB cân C suy AB ^ CM Mặt khác AB

^ CC'ÞAB^(CMNC')ÞA B' ' (^ CMNC') Kẻ MH CN^ Þ MH ^A B' ' Þ MH^(CA B' ')

Mp(CA B' ')chứa CB' song song với AB nên:

a d AB CB( , ') d AB CA B( ,( ' ')) d M CA B( ,( ' ')) MH

2

= = = = ; DBCM có: CM BM.tan300 a

3

= =

DCMN có: MN a

MH2 MC2 MN2 a2 a2 MN2

1 = + Û = + Û =

Þ VABC A B C ' ' ' SABC.MN a3

3

= =

Câu V. S xy x y= ( - Þ) S2 =( ) (xy x2 2+y2-2 ) ( ) (1 )xy = xy - xy Đặt t xy=

Ta có: x2 y2 xy 1 3xy (x y)2 t

3

+ + = Û - = - ³ Þ £

x2+y2+xy= Û1 (x y+ )2 = +1 xy³ Þ ³ -0 t

S2 f t( ) t2(1 ),t t 1;1

é ù

ị = = - ẻ -ờ ỳ

ở û

t

f t t t

t

2

'( )

9 é = ê

= - = Û

= ê ë

f( 1) 4, (0)f f 0,f S2 S

3 243

ỉ ỉ

- = = ỗ ữ= ỗ ữ= ị Ê - £ £

è ø è ø

S= Û = -2 x 1,y= Þ1 maxS=2;S= - Û =2 x 1,y= - Þ1 minS= -2

Câu VIa.

1) (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Ta thấy I dỴ Vậy AI đường chéo hình vng ngoại

tiếp đường trịn Ta có: x=2 x=6 tiếp tuyến (C) nên:

– Hoặc A giao điểm đường (d) x=2 Þ A(2; –1)

– Hoặc A giao điểm đường (d) x=6 Þ A(6, –5)

2) PTTS AB:

x t

y t

z t

3

5 ì = - + ï = -í

ï = - + ỵ

Gọi H trung điểm đoạn AB Þ H(1; 1; 1)

DMAB có trung tuyến MH nên: MA2 MB2 2MH2 AB2

2

+ = +

Do đó: MA2+MB2 nhỏ Û MH nhỏ Û MH ^ (P) Khi M º O(0; 0; 0)

Câu VIIa. z3=18 26+ i Û(x3-3xy2) (3+ x y y i2 - 3) 18 26= + i x xy x y y

3

2

3 18

3 26

ì - =

ï Û í

- =

ïỵ Û

3 1

x y

ỡ = ớ = ợ ị z= +3 i Þ T = +(1 i)2010+ -(1 i)2010 =0

Câu VIb.

1) Đường thẳng D qua H vuông góc với BD có PT: x y- + =5 D ầBD I= ịI(0;5)

Gi s D ầAB H= ' DBHH' cân B Þ I trung điểm HH'ÞH'(4;9)

Phương trình AB: 5x y+ -29 0= B = AB ầ BD ị B(6; 1)- ị A 4;25

5

ổ

ỗ ữ

è ø

2) Giả sử d cắt D M ÞM( ;3 ; )- + t t - -t , uuurAM= - +( 2 ;3 2; ),t t- -t ABuuur=(2; 3; 4) -Gọi H hình chiếu B d Khi d B d( , )=BH BA£ Vậy d B d( , ) lớn BA

H A

Û º ÛAM AB^ Ûuuur uuurAM AB =0 Û - +2( 2 ) 3(3 2) 4t - t- + t= Û =0 t ÞM(3;6; 3)

-Þ PT đường thẳng d:x y z

1

- = - = +

-Câu VIIb. Giả sử z x yi x y= + , , Ỵ¡,x>0 z3+12i z= Û(x yi+ ) 123+ i x yi= -

Û x xy x

x y y y

3

2 3 (1)

3 12 (2)

ìï - =

í

- + =

-ïỵ Do x>0 nên (1) Û x y

2 =3 2+1 Thế vào (2) ta được:

y2 y y3 y y3 y

3(3 +1) - +12= - Û2 + + =3 Û y= - Þ1 x2=4 Þ x=2

Vậy z= - Þ =2 i z

Đề số 97

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I Cho hàm số y x

x

1 =

-

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0)

Câu II.

1) Giải phương trình: x x x

x x

1 cot sin2 2sin

sin cos

2

p

ổ

+ = ỗ + ÷

+ è ø

2) Giải bất phương trình: x2+35 5< x- +4 x2+24

Câu III Tính tích phân: xdx

x x x

I 4 22

4

sin

cos (tan 2tan 5)

p

p

- - +

= ị

Câu IV. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB=1,CC'=m m( >0). Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB' BC' bằng 600

Câu V. Tìm mđể phương trình sau có nghiệm phân biệt: 10x2+8x+ =4 m x(2 +1) x2+1

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x1: -7y+17 0= , d x y2: + - =5 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0; 1) tạo với d d1, 2 một tam giác cân tại giao điểm của d d1, 2

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

Câu VIIa.Giải phương trình sau tập số phức (z2+3z+6)2+2z z( 2+3z+ -6) 3z2=0

B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: –5y–2 0= đường tròn (C):

x2+y2 +2x-4y- =8 0 Xác định tọa độ giao điểm A, B của đường tròn (C) đường thẳng d (cho biết điểm A có hồnh độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường trịn (C) cho tam giác ABC vuông ở B

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2;–1) đường thẳng d có phương trình

ï ỵ ï í ì

+ = =

+ =

t z

t y

t x

3 1

2 1

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất

Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: z4 z3 z2 z

- + + + =

Hướng dẫn Đề số 97 Câu I. 2) Ta có C y

x

2

( ) :

1 = +

- ; Gọi B b b C c c

2

( ;2 ), ( ;2 ),

1

+ +

- - với ( b< <1 c)

Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox, ta có: AB AC CAK BAH= ;¶ ·+ =900

Þ DABH = DCAKÞìíHB AKAH CK=

= ỵ Û { b b c c c b 2 1 2 - = + = Û = + = -ì ïï í ï ïỵ

Vậy B( 1;1), (3;3)- C

Câu II.

1) Điều kiện: sinx¹0, sinx+cosx¹0 PT Û cosx sin x sin2x

4 p = ổ ổ ử + -ỗ ữ ỗ è ø ÷ è ø

Û x k

2

p p

= + ; x k2

4

p p

= +

2) BPT Û x x x x

x x

2 2

11

5 11 (5 4)( 35 24)

35 24 < - Û < - + + +

+ + +

· Với x

5

£ : không thỏa mãn BPT

· Với x

5

> : Xét hàm số y=(5x-4)( x2+35+ x2+24), với x

5 >

( )

y x x x

x x

2

2

1

5 35 24 (5 4)

35 24

ỉ

 = + + + + - ỗ + ữ

ỗ + + ữ

ố ứ ị y

¢ > với x

5 >

Do hàm số đồng biến 4

5;

ổ ử

+Ơ

ỗ ữ

è ø Þ BPT Û y x( )>11=y( )1 Û x>1

Câu III. Đặt t x dx dt

t2

tan

1

= Þ =

+ Þ

t dt dt

I

t t t t

2

1 2 1

2 ln

3

2 5

-

-= = +

+ - +

ò ò

Tính I dt

t t

1 2

1

-=

- +

ò Đặt t u I1 du

4 tan

2 p

p

-= Þ = ị = Vậy I ln2

3

p

= + -

Câu IV. Kẻ BD AB D A BP ' ( ẻ ' ')ị(AB BC', ') (= BD BC, ') 60= Þ·DBC' 60= v ·DBC' 120=

· Nếu ·DBC' 60= Vì lăng trụ nên BB' ( ' ' ')^ A B C BD BC= '= m2+1 DC'=

Þ DBDC' Þ m2+ = Û =1 m

· Nếu ·DBC' 120= Áp dụng định lý cosin cho DBDC'suy m=0 (loại)

Vậy m=

Câu V. PT Û x m x

x x

2

2

2

2

1

ỉ + - ỉ + ư+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ + ữ ç + ÷

è ø è ø

Đặt x t

x2

2

1

+ =

+ , điều kiện : - < £2 t

Từ đó: PT Û m t f t

t

2

2 +2 ( )

= = Dựa vào BBT hàm số f t( ), ta suy PT có nghiệm phân biệt

m 12

4

5

< £ - < < -5 m

Câu VIa.

1) Phương trình đường phân giác góc tạo d d1, 2 là: xx yy ( ) ( )1

2

3 13

3 DD

é + - =

ê - - = ë

d x: +3y- =3 d x y: - + =1 2) PTTS AB:

x t

y t

z t

1 4 ì = ù = -ớ ù = -ợ

D ẻ AB, CD ngắn Û CD ^ AB Þ D 49 41; ;

26 26 26

æ

ỗ ữ

ố ứ

Cõu VIIa. Ta thấy z=0 không nghiệm PT Chia hai vế cho z2 đặt t z z

z

2+3 +6

= , ta được:

2 2 3 0

t + - =t Û t=1;t= -3

· Với t=1: ta có: z2+3z+ =6 z Û z2+2z+ =6 0 Û z= - ±1 5.i

· Với t= -3: ta có: z2+3z+ = -6 3z Û z2+6z+ =6 0 Û z= - ±3 3

Câu VIb.

1) (C) có tâm I(–1; 2) Toạ độ giao điểm d (C) A(2; 0), B(–3;–1) Vì ·ABC=900nên AC

đường kính (C), tức C đối xứng với A qua tâm I Þ C(–4; 4)

2) Gọi H hình chiếu của A d Þ H(3;1;4) Mặt phẳng (P) đi qua A (P)//d, đó

d d P( ,( ))=d H P( ,( ))=HI (I hình chiếu của H lên (P)) Ta có AH ³HIÞ HI lớn nhất

I Aº .Vậy (P) cần tìm mặt phẳng đi qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến Þ Phương trình (P): 7x y+ -5z-77 0=

Câu VIIb. Ta thấy z=0 không phải nghiệm của PT Chia vế của PT cho z2 ta được:

2

1 1 1

0 2

z z

z z

æ ử ổ ử

+ -ỗ - ữ+ =

ỗ ữ ố ứ

ố ứ

2 5 0 1

2

t t t z

z

ổ ử

- + = ỗ = - ÷

è ø Û t i

1 2

= + t 3i

2 =

-· Với t 3i

2

= + Þ z i

z

1 2

- = + Û 1 1 1

2 2

z= +i z; = - + i

· Với t 3i

2

= - Þ z i

z

1 2

- = - Û 1 1 1

2 2

z= - - i z; = -i

Đề số 98

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: Cho hàm số: y x= 3-3x2+2 có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Tìm đường thẳng d y: =3x-2 điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cực trị nhỏ nhất

Câu II:

1) Giải phương trình: sin sinx x cos sinx 2x 2cos2 x

2

p

ổ

+ - = ỗ - ữ

è ø

2) Giải hệ phương trình: x x y x y

x y x xy

4 2

3 11

ìï - + =

í

- + =

-ïỵ

Câu III: Tính tích phân:

ln

ln ln

e

x

I x dx

x x

ổ

= ỗ + ữ

+

è ø

ò

Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' Có đáy ABCD hình thoi cạnh a, µA=600 Góc giữa mặt phẳng ( 'B AD) mặt phẳng đáy bằng 300 Tính thể tích khối lăng trụ

ABCD A B C D ' ' ' ' khoảng cách từđường thẳng BC đến mặt phẳng ( 'B AD)

Câu V: Cho x y, số thực lần lượt thỏa mãn phương trình: x2+2ax+ =9 0,(a³3),

y2-2by+ =9 0,(b³3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y

x y

2

2 1

3( ) ổ

= - +ỗ - ữ

è ø

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa:

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có A( 2;6)- , đỉnh B thuộc

đường thẳng d x: -2y+ =6 0 Gọi M, N lần lượt hai điểm 2 cạnh BC, CD cho BM = CN Xác định tọa độđỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm I 14;

5

ổ

ỗ ữ

ố ứ

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng có phương trình

P x y z

( ) : +2 -2 + =5 0, ( ) :Q x+2y-2 13 0z- = đường thẳng d yx tt

z t

2

:

1 ì = + ï = + í ï = -ỵ

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng dđồng thời tiếp xúc cả 2 mặt phẳng (P) (Q)

Câu VIIa: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

z z- + -1 2i =3

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb:

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d x: -2y+ =2 0 Tìm

đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông ở B AB = 2BC

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) mặt phẳng ( ) :P x y z+ + + =4 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích bằng 6

Câu VIIb: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất thỏa mãn: z i

z i

1 2

3

+ - =

+ -

Hướng dẫn Đề số 98

Câu I. 2) Ta có điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2; 2)- Ta thấy, A B, nằm phía đường

thẳng y=3x-2 Do đó: MA MB+ nhỏ điểm A M B, , thẳng hàng M nằm đoạn

AB, tức tọa độ điểm M giao điểm đường thẳng AB y: = -2x+2 đường thẳng y=3x-2

M 2; 5

ổ

ị ỗ ÷

è ø

Câu II

1) PT sin sinx x 2sin2 x 2sinx x k k,

2 2 p

æ ửổ

ỗ - ữỗ + + ữ= Û = Ỵ

è øè ø Z

2) HPT Û x xy x y

x y x xy

2

3

( )

( )

ìï - =

-í

- - =

-ïỵ Đặt

x xy u

x y v

2 ìï - = í

=

ïỵ , ta hệ:

x y

u v

x y

v u

2 1 1; 0

1;

1

ì = - Þé = - =

í - = - ê = =

ë

ỵ

Câu III · Tính 1

1

ln ln

=

+

òe x

I dx

x x Đặt t= 1 ln+ x Þ

4 2

3 3

=

-I

· Tính

2

ln

=ịe

I xdx Lấy tích phân phần lần I2= -e 2 Vậy 2 2

3 3

=

-I e

Câu IV. Gọi I trung điểm AD, K hình chiếu B xuống B I' Vỡ àA=600ịDABD u

à a

BI AD AD BIB BIB BB BI

BB' AD ( ') ' 300 ' tan300

ü

^ Þ ^ ị = ị = =

ý

^ ỵ

ABCD A B C D ABCD ABD a

V ' ' ' ' S BB' 2S BB' 3

4

= = =

Ta thấy, BC ADP ÞBCP ( 'B AD)Þd BC B AD( ,( ' ))=d B B AD( ,( ' ))

( )

BK B I BK B AD BK d B B AD

BK^^AD' ỹýỵị ^( ' )ị = ,( ' )

Tam giác B BI' vuông B, có: BK a

BK2 BI2 BB2

1 1

4 '

= + Þ =

Câu V: Vì a³3 nên phương trình x2+ = -9 2ax có nghiệm x<0

b³ nên phương trình y2+ =9 2by có nghiệm y>0 Đặt x= -t t, >0, A t y t y

t y t y

2

2 1 1

3( ) ỉ 3( ) ỉ

= - - + - -ỗ ữ = + +ỗ + ÷

è ø è ø

Vì y>0,t>0 nên có:

t y t y

1 1+ ³

+ , suy A t y t y

2

2 16

3( )

( )

³ + + ³

+

Đẳng thức xảy khi:

y

t y t y

t y y

x t y

4

2 4

2

4

3

16 1

3( )

3

( )

3 ì

ì = ì = ï =

ï Ûï Ûï

í + = í = í

ï + ïỵ ï =

-ỵ ïỵ

Khi đó:

a

a b b

a b

2

4

2

4

4

1 2 9 0

3

9

1 2 9 0

2

3

3

ỡổ ổ

ù -ỗ ữ + ỗ- ÷+ =

ïè ø è ø

ï +

ùổ ổ = =

ớỗ ữ - ỗ ữ+ =

ùố ứ ố ứ

ï ³ ï

³ ïỵ

Câu VI.a:

1) Giả sử B y(2 -6; )y ẻd Ta thy DAMB=DBNC ịAI ^BIịIA IBuur uur = Þ = Þ0 y B(2;4)

Phương trình BC x y: - = Þ0 C c c( ;2 ), AB=2 5, BC= (c-2)2+(2c-4)2

AB BC= Þ - = Þc 2 C(0;0); (4;8)C

Vì I nằm hình vng nên I C, phía với đường thẳng ABÞC(0;0)

2) Giả sử I(2 ;1 ;1 )+t + t - Ỵt d tâm (S) Þ d I P( ,( ))=d I Q( ,( ))

t t t t t t

2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 13

3

+ + + - - + + + + -

-Û = Û t I 16 11 5; ; ;R

7 7

ỉ

= Þ ỗ ữ =

ố ứ

Vy: S x y z

2 2

16 11

( ) :

7 7

ỉ ỉ ỉ

- + - + - =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø è ø

Câu VIIa. t z x yi= + , (x y, ẻĂ)ị z x yi= - Ta có: z z- + -1 2i = Û = ±3 y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng y= ±1 song song trục hoành

Câu VI.b:

1) Giả sử B b(2 -2; ), (b C c2 -2; )c Ỵd

Vì DABC vuông B nên AB ^dÛ AB uuuur r. d =0 2 6

5 5

Bổỗ ; ửữ

ố ứ ị

2 5 5

AB= Þ 5

5

BC=

2 1

125 300 180

5

BC= c - c+ = 5

5 Û

1 0 1

7 4 7

5 5 5

c C

c C

( ; ) ;

é = Þ

ê ỉ ư

ê = ị ỗ ữ

ố ứ

ở

2) Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d+ + + =0(dạ4) Gi s B=( )Q ầOx C, =( )Q ầOy

ị B d( ; ; ), ( ; ; ) (- 0 0 C 0 -d 0 d<0) 1 6 2

ABC

S = éëuuur uuurAB AC, ùû = Û d = -2

Þ ( ) :Q x y z+ + - =2 0

Câu VII.b Đặt z x yi= + (x y, Ỵ¡)Þ = -z x yi Ta có: z i x y i

z i x y i

1 ( 1) ( 5)

3 ( 3) ( 1)

+ - = + +

-+ - + - +

Þ z i x y x y x y

z i x y

2

2

2

( 1) ( 5)

1 2 10 14 6 0

3 ( 3) ( 1)

+ +

-+ - = = Û + + + - =

+ - + + + (*)

(*) PT đường trịn (C) mặt phẳng phức có tâm I( 5; 7)- - , R=4 5 Ta có: OI = 74 <R Þ

O nằm (C) PT đường thẳng IO:ì = -í = -xy 75tt

ỵ Gọi M x y( ; )

Để z = x2+y2 =OM nhỏ M giao điểm OI với (C) OM < R

t t t loại

t choïn

2 37 370 ( )37

37 74

37 370 ( )

37

é +

= ê ê

Þ - - = Û

-ê =

êë

z 537 370 737 370i

37 37

-

-Þ = -

Đề số 99

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: Cho hàm số: y x

x

2

1 + =

+ có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến

đường thẳng d x: +4y- =2 0 bằng 2

Câu II:

1) Giải phương trình: 9sinx+6cosx+cos2x-3sin2x=8

2) Giải hệ phương trình: x y x y x y

x y

x y

2 2

(2 ) 5(4 ) 6(2 ) (1)

1

2 (2)

2

ì + - - + - =

ï

í + + =

ï

-ỵ

Câu III: Tính tích phân: I x xdx

x x

2

3

3sin 2cos

(sin cos )

p

-=

+

ị

Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân tại B,

AB BC a= = Mặt bên ACC A' ' hình vng cạng bằng a 2, M trung điểm BC. Tính thể

tích khối tứ diện B MCA' khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM B C, '

Câu V: Cho 3 số thực a b c, , Ỵ[ ]0;2 thỏa mãn a b c+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a b c

M

ab bc ca

2+ 2+ =

+ +

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa:

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2=4 im 1 8 3

Aổỗ ;- ửữ

è ø,

3 0

B( ; ) Tìm toạđộđiểm M thuộc (C) cho tam giác MAB có diện tích bằng 20 3

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)B C - đường thẳng

x y z

d:

2

- +

-= =

- Tìm điểm M d để thể tích tứ diện MABC bằng

Câu VIIa: Giải hệ phương trình:

3 2

4

4

2 2 2

2 3

3 2

2

y x y x y

x y

. log ( log )

- +

-ì

+ =

ïï í

ï + =

ïỵ

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb:

1) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, cho hình vng ABCD đoạn AC lấy điểm M cho AC = 4AM N trung điểm của cạnh CD Chứng minh rằng BMN tam giác vuông cân.

2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)B C - đường thẳng

x y z

d:

2

- = + =

Tìm điểm N dđể diện tích tam giác NAB nhỏ nhất

Câu VIIb: Giải phương trình: x x x x x

x

2

2

2 2

2

log (5 )

log (5 ) 2log (5 ) 2log (5 )log (2 1)

log (2 1)

+ = - + - +

+

Hướng dẫn Đề số 99 Câu I. 2) Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 ẻ C ị y x

x0 0 + = +

Ta có: d M d x0 y0

2

3

( , ) 2

3

+

-= Û =

+ Û3x0+4y0-12 0= 3x0+4y0+ =8

· Với x y x x

x0

0 0

0

2

3 12 12

1 ổ + + - = + ỗỗ ữữ- = Û + è ø x M x M (0;3)

1 11;

3

é = Þ ê ỉ ư = ị ỗ ữ ố ứ

· Với 3x0+4y0+ =8 x x

x0

0

0

2

3

1 ổ + + ỗỗ ữữ+ = + è ø x M x M 5;

4 4 ; 1

3 ộ = - ị ổ- ỗ ÷ ê è ø Û ê ỉ ê = - ị ỗ- - ữ ố ứ

Þ PTTT M1(0;3) y= - +x 3; PTTT M2 11;

3

ỉ

ỗ ữ

ố ứ l y x

9 47

16 16

= - + ;

PTTT M3 5;7

4

æ

-ỗ ữ

ố ứ l y x

1 23

16 16

= - + ; PTTT M4 4;

3

ổ

-ỗ ữ

ố ø y= -9x-13

Câu II

1) PT Û (1 sin )(2sin- x x+6cosx- =7) Û x k2

2

p p

= +

2) Điều kiện: 2x y- ¹0 x y x y

x y x y

2

2

(1)

2

ổ + +

ỗ ữ - + =

-

-è ø Đặt

x y t x y 2 + =

- , ta có:

t2- + = Û =5 0t t 2;t=3

· Với t x y

x y

2 2 (3)

2 +

= =

- Từ (2) (3) ta suy

x y ì = ïï í ï = ïỵ

x

y ì = ïï í ï = ïỵ

· Với t x y

x y

2 3 (4)

2 +

= =

- Từ (2) (4), ta suy hệ vô nghiệm

Câu III Đặt x t dx dt

2

p

= - Þ = - Þ I t tdt x xdx

t t x x

2

3

0

3cos 2sin 3cos 2sin

(cos sin ) (cos sin )

p p

-

-= =

+ +

ò ò

Þ I I I x xdx x xdx dx

x x x x x x

2 2

3

0 0

3sin 2cos 3cos 2sin

2

(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )

p p p

-

-= + -= + =

+ + +

ò ò ò =

Câu IV Vì ACC A' ' hình vng nên AC a= 2, nên DABC vuông cân B

AMC ABC a

S 1S 1 BA BC

2 2

D D

Þ = = = ÞVB MCA' 1S MCA 'B B 2a2 a a3

3 D 12

= = =

Gọi N trung điểm BB', ta có

CB'P MNÞCB' (P AMN)Þd CB AM( ', )=d CB AMN( ',( ))=d C AMN( ,( )) Vì B C, đối xứng qua M nên d C AMN( ,( ))=d B AMN( ,( ))

Xét tứ diện NABM có BA BM BN, , đơi vng góc Kẻ BI MA I MA^ , Î ÞNI MA^

Kẻ BH ^(AMN)Þ ÎH NI Khi d B AMN( ,( ))=BH

a BH

BH2 BN2 BI2 BN2 BM2 BA2 a2

1 1 1

7

= + = + + = Þ = Vậy d CB AM( ', ) BH a

7

= =

abc 2(ab bc ca) 4(a b c)

Û - + + + + + - £ Þ ab bc ca abc 4(a b c) 12

2

+ + + -

-+ + ³ ³ =

Lại có: Ta có: (a b c+ + )2=a2+b2+c2+2(ab bc ca+ + )Þa2+b2+c2= -9 2(ab bc ca+ + )

Khi đó: M

ab bc ca

9 2 2

2

= - £ - =

+ + Dấu "=" xảy Û ( ; ; ) (0;1;2)a b c = hoán vị

Câu VI.a:

1) AB 64 10; AB x: 3y 12

9

= + = - - = Gọi M(x;y) h d M AB= ( , )

Ta có: 1h AB 20 h 4x 3y 12 44xx 33yy 032 0

2

- - é - + =

= Û = Û = Û ê - - =

ë

· x y M M

x2 y2

4 ( 2;0); 14 48;

25 75

ì - + = ị - ổ-

ỗ ữ

ớ + = è ø

ỵ ·

x y

x2 y2

4 32

4

ì - - =

í + =

ỵ (vơ nghiệm)

2)

x t

d y t

z t

1

:

3 ì = + ï = -í

ï = + ỵ

Giả sử M(1 ; ; )+ t - -t + t Ỵd n AB AC; (1; 2; 2)

3é ù

= - ëuuur uuurû=

-r

Þ SABC

2

= PT mặt phẳng (ABC): x+2y-2z- =2 h d M ABC( ,( ) 11t

3

-= =

MABC t

V 11 t

3

+

= = Û = - t 17

4

= - Þ M 3; 1;

2

ỉ

-

-ỗ ữ

ố ứ hoc M

15 11; ;

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

Cõu VIIa: Điều kiện: x>0,y>0 HPT Û 2y xx y xy

2

2 2 (1)

log (log 2) (2)

-

-ì + =

í + =

ỵ Đặt 2 0

y x

t= - ,t>

(1) Û t2+ - = Û = Þ =t t y x Thay vào (2):

x y

x x

x y

2

2

2 ( 2)

log 2log 1

8

é = =

ê

+ - = Ûê = ỉ

=

ỗ ữ

ố ứ

ở

Câu VI.B:

1) Goi a độ dài cạnh hình vng ABCD Chọn hệ tọa độ Oxy cho A(0;0), B(a;0), C(a;a)

D( a0; ) Þ M 1a a; 4

ỉ

ỗ ữ

ố ứ, N ;2a a

ổ

ỗ ữ

ố ứ MN a a

1 3; 4

ỉ

ị = ỗ ữ

ố ứ

uuuur

, MB 3a; 1a

4

ổ -

= ỗ ữ

ố ứ

uuur

Từ có MN MBuuuur uuur =0 MN MB a

8

= = ÞDBMN vuông cân M

2 Giả sử N(1 ; ; )+ t - -t + t Ỵd Ta có: SABN NA NB; (4 8)t

2 é ù 2

= ëuuur uuurû = + + ³

ABN

S t t N

max ( 3;0;1)

2

Þ = Û + = Û = - Þ -

Câu VIIB. Điều kiện:

1 5

2 2

0

x x

ìï- < < ớ

ù ạ ợ

HPT

x

x x x x x

x

2

2

2

log (2 1) 1 1

log (5 ) 2log (2 1) ; ;

4

log (5 )

é + =

-ê

Ûê - = + Û = = =

- =

êë

Đề số 100

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: Cho hàm số y x

x

2

2 -=

- , có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị (C) của hàm số

2) Gọi M điểm bất kì (C) I giao điểm 2 đường tiệm cận Tiếp tuyến d của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A B Tìm tọa độđiểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2 p

Câu II:

1) Giải phương trình: sin 2x 17 16 3.sin cosx x 20sin2 x

2 12

p p

ỉ ỉ

+ + = + +

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

2) Giải hệ phương trình: x y x y x y

x2 y x

4 (1)

16 (2)

ì + - - =

-ï í

ï - = +

-ỵ

Câu III: Tính tích phân: I x x xdx

x x

2

2

2

1

- +

=

- +

ò

Câu IV: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a, gọi M N, lần lượt trung điểm cạnh

A B B C' ', ' ' Tính thể tích khối tứ diện AD MN' khoảng cách từ A đến đường thẳng D N'

Câu V: Cho số thực a b c, , thỏa a2+b2+c2=2a+4b+6c+2 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ

nhất của biểu thức A=2a b- +2c

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa:

1) Trong mặt phẳng toạđộ với hệ toạđộ Oxy, cho DABC với AB= 5, đỉnh C( 1; 1)- - , phương trình cạnh AB x: +2y- =3 0 trọng tâm G của DABC thuộc đường thẳng d x y: + - =2 0 Xác định tọa độ đỉnh A B, của tam giác

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d x y z m

1: 2-6= +42 = --31,

x y z

d2:

4

- = - =

Tìm m để đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm đó

Câu VIIa: Gọi z nghiệm phức của phương trình z2-2z+ =2 0 Tính giá trị của biểu thức:

Q z

z

2012 2012

1

= +

B Theo chương trình nâng cao Câu VIb:

1) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 Gọi M(2;0) trung

điểm của AB, phân giác của góc A có phương trình: d x y: - -10 0= Đường thẳng AB

tạo với d một góc a thỏa mãn cos =

a Xác định đỉnh của tam giác ABC

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x-3y+2z- =5 0 đường thẳng

x y z

:

2

D + = - = - Lập phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc của đường thẳng D mặt phẳng (P)

Câu VIIb: Chứng minh rằng: C1000 -C1002 +C1004 -C1006 + - C10098 +C100100= -2 50

Hướng dẫn Đề số 100

Câu I. 2) Ta có: I(2; 2) Gọi M x x C x

x0

0

0

2

; ( ),

2

æ -

ẻ

ỗ ữ

ỗ - ÷

è ø PTTT d:

x

y x x

x x 0 0

1 ( )

2 ( 2) -= - +

-d cắt tiệm cận A x B x

x00

2

2; , (2 2;2)

2 æ - -ỗ ữ ỗ - ữ ố ứ IAB

D vuông I SIAB x xx MM

x

2

( ) 2

0

1 (1;1)

1

2 ( 2) 3 (3;3)

( 2)

p é = Þ

= Û - + = Û ê = Þ

- ë

Câu II:

1) 2cos2 x 5cos x cos x x k2

6 6

p p p p p

ỉ ỉ ổ

ỗ + ữ+ ỗ + ữ+ = ị ỗ + ữ= - ị = - +

è ø è ø è ø x k2

p p

= +

2) Điều kiện: x³4,y³0,x2 ³y x y y,4 ³ , ³3x

x x2 y x y x2 y y x y

(1)Û2 -2 - =4 - Û2 - = -2 Û =0 y=4x-4

· y=0 không thỏa x³4,y³3x · y=4x-4: x x

x x2

5

(2) ( 5)

4 16 ổ + ỗ ữ - ỗ - ữ= - + - + ố ứ

x y 16

Û = Þ = x x

x

x2 x2

5 1

4

16 3

+ > + > ³

- +

- + + Vậy hệ PT có nghiệm

x y 165 ì = í =

ỵ

Câu III: I x x x dx

x x

2

2

( )(2 1)

1

-

-=

- +

ò Đặt t= x2- +x I t2 dt

1

4

2 ( 1)

3

Þ = ị - =

Câu IV: SD MN' SA B C D' ' ' ' SB MN' SD C N' ' 3a2 VAD MN' a3

8

= - - = Þ =

Gọi H hình chiếu A D N' j=·AD D N', '

a a a

AD' a 2; 'D N 5; AN ; sin cos2 ; ( , ' )d A D N AH AD'sin

2 j j 10 j

= = = = - = = = =

Câu V: Ta có: (a-1)2+ -(b 2)2+ -(c 3)2=16 Xét điểm M a b c( ; ; )

Vì a b c, , thỏa a b c

a b c A

2 2

( 1) ( 2) ( 3) 16

2

ì - + - + - =

í - + - =

ỵ nên M thuộc giao mặt cầu (S) có tâm

I(1;2;3),R=4 mặt phẳng ( ) : 2P x y- +2z A- =0 Do đó: a b c, , tồn Û (P) (S) có điểm

chung Û d I P( ,( ))£R A A 12 A 18

3

-Û £ Þ - £ Û - £ £ Gọi N hình chiếu I lên (P)

· A= - Þ6 ( ) : 2P x y- +2z+ =6 Phương trình

x t

IN y t N

z t

1 5 10 1

: ; ;

3 3 ì = + ỉ ư ï = Þ -í ỗ ữ ố ứ ù = + ợ

à A=18Þ( ) : 2P x y- +2 18 0z- = Tương tự

x t

IN y t N

z t

1 11 17

: ; ;

3 3 ì = + ỉ ư ï = - Þ ỗ ữ ố ứ ù = + ợ

Vậy, minA= -6 đạt Û ( ; ; )a b c 10 1; ; 3

ổ

= -ỗ ữ

ố ứ; maxA=18 đạt Û a b c

11 17

( ; ; ) ; ;

3 3

ổ

= ỗ ữ

ố ø

Câu VI.a:

1) Gọi I x y( ; ) trung điểm AB, G x y( ; )G G trọng tâm G

G

x x

ABC CG CI y

G d x yỴ : + - =2 nên có: xG+yG- =2 Û 2x3-1 2+ y3-1 0- =

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: x2x 21 2y 0y 1 0 I(5; 1)

3

ì + - =

ï - - Þ

-í + - =

ïỵ

Gọi A x yA A IA xA yA AB

2

2 2

( ; ) ( 5) ( 1)

2

ổ

ị = - + + =ỗ ữ =

è ø Hơn A AB xỴ : +2y- =3 suy tọa

độ điểm A nghiệm hệ:

(AA ) (A A ) AA AA

x y x x

x y y y

2

5

5

4 2

ì + - = ì = ì =

ï Ûï Ú ï

í - + + = í = - í =

-ï ï ï

ỵ ỵ ỵ

Vậy: A 4, ,B 6;

2

ỉ ổ

-

-ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø B A

1

4, , 6;

2

ỉ ổ

-

-ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

2)

x t x t

d y t d y t

z m t z t

1

6 4 '

: : '

3 ( 1) 2 '

ì = + ì = +

ï = - + ï =

-í í

ï = + - ï = +

ỵ ỵ

d d1 2, cắt

t t

t t

m t t

6 4 '

2 '

3 ( 1) 2 '

ì + = + ï + = -í

ï + - = +

ỵ

có nghiệm

Û ì = =í + -t t3 (m' 11).1 2 m 2ÞA(8; 1;4) -= + ị -=

ợ

Cõu VII.a: PT Û ( 1)z- = -1 ta có z2 =2( 1)z- , suy z4=[2( 1)z- ]2=4( 1)z- = - = -4( 1)

Q z z

z z

503

2012 503 503

2012 503 503 503

1 ( ) ( 4) 16

( ) ( 4)

+

= + = + = - + =

-Câu VIb

1) Gọi M' đối xứng với M(2;0) qua d x y: - -10 0= ÞM'(10; 8)-

PT đường thẳng AB qua M(2;0) có dạng: a x( - +2) by=0

AB tạo với d x y: - -10 0= góc a a b ab ba

a2 b2

3

cos 7

5

- é =

Þ = = Û ê =

ë

+ a

· Với a=7b Þ AB: 7x y+ -14 0= AB cắt d AÞA(3; 7)- Þ B(1;7) ÞAB=10

AM B ABC

S ' 1AB d M AB ( ', ) 48 1S AC 2AM' C(17; 9)

2

D D

Þ = = = Þuuur= uuuurÞ

· Với b=7a Þ AB: x+7y- =2 AB cắt d AÞA(9; 1)- Þ B( 5;1)- Þ AB=10

AM B ABC

S ' 1AB d M AB ( ', ) 48 1S AC 2AM' C(11; 15)

2

D D

Þ = = = Þuuur= uuuurÞ

-Vậy, A(3; 7), (1;7), (17; 9)- B C - A(9; 1), ( 5;1), (11; 15)- B - C - 2) PTTS

x t

y t

z t

1

:

2

D ì = - +ï = +í

ï = + ỵ

A P D 3 0t t t

Þ = Ç Þ - + - - + + - = Û =t 1Þ A( 1; 2; 5)

Chọn B( 1; 1; 2)- ỴD Gọi C hình chiếu B (P) Þ C ; ;1 38 14 14 14

ổ -

ỗ ÷

è ø Đường thẳng AC

đường thẳng cần tìm Þd x:{ = +1 23 ;m y= +2 29 ;m z= +5 32m, mỴ¡

Câu VIIb: Ta có: (1 )+i100=C1000 +C i C i1001 + 1002 2+ + C i100100 100

C1000 C1002 C1004 C100100 C1001 C1003 C10099 i

( ) ( )

= - + - + + - +

-Hơn nữa: (1 )+i2 = + + = Þ +1 2i i2 2i (1 )i100=(2 )i 50= -250 Vậy C1000 -C1002 +C1004 - + C100100= -2 50

www.VIETMATHS.com