Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4.. Giải..[r]
(1)
KHẢO SÁT HÀM SỐ
PP VẼ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ĐTHS y=|f(x)| : Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( ) f x khi f x f x
f x khi f x
+ Từ ĐTHS y=f(x) suy ĐTHS y=|f(x)| cách:
- Giữ nguyên phần ĐTHS y=f(x) Ox
- Lấy đối xứng phần ĐTHS y=f(x) phía Ox qua Ox
ĐTHS y=f(|x|) : Ta có
( )
( )
( )
f x khi x f x
f x khi x
+ Từ ĐTHS y=f(x) suy ĐTHS y=f(|x|) cách: - Giữ nguyên phần ĐTHS y=f(x) bên phải Oy
- Lấy đối xứng phần ĐTHS y=f(x) bên phải Oy qua Oy (do y=f(|x|) hàm chẵn) Bài 1: Cho hàm số y x 3 3x24 (C) Khảo sát vẽ ĐTHS (C) Từ suy giá trị m để phương trình: x3−3x2+4=log2m có nghiệm phân biệt
Bài 2: Khảo sát vẽ (C): y=2x3−9x2+12x −3
a, Tìm m để phương trình: 2|x3|−9x2+12|x|−+1−m=0 có nghiệm phân biệt b, Tìm m để phương trình: |2x3−9x2
+12x −3|=m có nhiều nghiệm Bài 3: Khảo sát vẽ (C): y=2x4−4x2
Tìm m để phương trình: x2|x2−2|=m có nghiệm phân biệt (Đ/s: 0<m<1 ) Bài 4: Cho (C): y=1
2x
−3x2+5
2 Khảo sát vẽ (C)
Tìm m để phương trình: |x4−6x2+5|=1−2 log3m có nghiệm phân biệt Bài 5: Khảo sát vẽ (C): y=− x+1
x −2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: | − x+1
x −2 |=m Bài 6: Khảo sát vẽ đồ thị (C): y
2 x
x
Từ suy đồ thị hàm số: y
| | | |
x x
. BÀI TỐN LIÊN QUAN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tính đơn điệu hàm số:
+ Hàm số y f x( ) đồng biến khoảng (a;b) '0,(;).yxab
+ Hàm số y f x( ) nghịch biến khoảng (a;b) y' 0, x ( ; ).a b Chú ý
+ Điều kiện để tam thức bậc hai f x( )ax2 bx c không đổi dấu R:
0 ( ) 0,
0
a f x x
R
0 ( ) 0,
0
a f x x
R
+ Hàm số yf x( ) đồng biến khoảng (a,b) với a x 1 b f a( )f x( )1 f b( ). Bài 1: Tìm m để
2 6 5 2 3
mx m x m
y
x
nghịch biến [1, ) ĐS: m - 7/3
Bài 2: Tìm m để
3
1 1 3 4
3
y x m x m x
đồng biến (0, 3) ĐS: m 12/7
Bài 3: Tìm m để
3 1 3 2
3
m
y x m x m x
(2)Bài Cho hàm số
3
1 1 2 1 3 2
3
y m x m x m x m
Tìm m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài ĐS: m =
7 61
BÀI TOÁN LIÊN QUAN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cực trị hàm số:
+ Hàm số yf x( ) đạt cực trị x0 y x'( ) 00
+ Hàm số yf x( ) đạt cực đại x0 đạo hàm y' đổi dấu từ + sang – qua x0 + Hàm số yf x( ) đạt cực tiểu x0 đạo hàm y' đổi dấu từ – sang + qua x0 Chú ý Cách tìm cực trị hàm số: Dùng đạo hàm cấp 2:
Nếu y x''( ) 00 x0 điểm cực đại Nếu y x''( ) 00 x0 điểm cực tiểu Phương trình đường thẳng qua điểm Cực trị hàm số:
+ y ax 3bx2 cx d Lấy y chia cho y’, thương q(x) số dư r(x) Khi y r x ( ) đường thẳng qua hai điểm cực trị
Bài 1: Cho hàm số
3 3 3 1 3 1 yx x m x m
(1), m tham số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ ( ĐS :
1 m
.)
Bài : Cho hàm số
4 9 10 y mx m x
(1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị ( ĐS : m 3, 0m3)
Bài : Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với y 3x ( ĐS: | |m 21, m3 10 / 2)
Bài 4: Tìm m để hàm số f x x3 3x2 m x m2 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua ():
5 2 y x
( ĐS: 3m 3, m0)
Bài 5: Tìm m để hàm số y x 2m x2 1 có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân ( ĐS : m 0, m1)
Bài Tìm m để f x x4 2mx22m m 4 có CĐ, CT lập thành tam giác ( ĐS: m > 0, m33) Bài Tìm m để ĐTHS y=2 mx4− x2−4m+1 có điểm cực tiểu khoảng cách chúng
(Đ/s: m=1/25 )
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) PTTT (C) M x y( ; )0 là: y=y,(x0)(x − x0)+y0 Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Gọi Δ tiếp tuyến cần tìm, M(x ; y) tiếp điểm Δ có hệ số góc k ⇔f,
(x)=k (*) giải phương trình (*)được N0 x1, x2… ⇒ y1, y2…
+ Viết PTTT M1(x1; y1): (Δ1):y=k(x − x1)+y1 + Viết PTTT M2(x2; y2): (Δ2):y=k(x − x2)+y2
Chú ý: đường thẳng song song có hệ số góc, đường thẳng vng góc tích hệ số góc ¿−1
(3)+ Gọi Δ tiếp tuyến cần tìm , Δ qua M(x0; y0) với hệ số góc k ⇒(Δ):y=k(x − x0)+y0 (**)
+ Đường thẳng (Δ) tiếp tuyến (C) ⇔{f (x)=k(x − x0)+y0
f,(x)=k (*) + Giải (*) tìm k thay vào (**) tiếp tuyến cần tìm
Chú ý: Số N0 (*) số tiếp tuyến kẻ đựơc từ M
Bài 1: Viết pt tiếp tuyến hàm số (C) trường hợp sau:
a, (C): y=− x4+x2+1 vng góc với (Δ):x+2y −3=0 Đ/s: y=2x+3 b, (C): y= 4− x
2x −4 song song với (Δ):y=− x+3
c, (C): y=x3−3x2+2 qua A(−1;−2) Đ/s: y=9x+7 và y=−2
Bài 2: Cho hàm số
1
2 1
x y
x
(C) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M C , biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân ĐS: yx 1 3, yx 1
Bài 3: Cho hàm số (C): y =
1 x
x
Viết pt tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song đường thẳng x – 3y = đồng thời tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 1/6 ĐS: x – 3y – = Bài 4: Cho hàm số (C): y
2 1 x x
Viết pt tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến ĐS: x + y – = 0, x + y – =
Bài 5: Viết pt tiếp tuyến (C): y
2 3x x
, biết tiếp tuyến cắt 0x, 0y A, B cho OB = 2OA ĐS: y = - 2x +
Bài 6: Cho hàm số (C): y
2 1 x x
I giao điểm hai đường tiệm cận Tìm điểm M thuộc đồ thị (C), cho tiếp tuyến (C) M IM có tích hệ số góc – ĐS: (0; -3), (- 2; 5)
Bài 7: Trên đường thẳng y=−2 mà từ kẻ đựơc tiếp tuyến tới (C): y=x3−3x2+2 có
tiếp tuyến vng góc (Đ/s: a=55/27 ) Bài 8: Cho hàm số y=x+1−m(x+1) (Cm)
a) Viết PTTT (Cm) giao điểm (Cm) với Oy
b) Tìm m để tiếp tuyến nói chắn trục toạ độ tam giác có diện tích
(Đ/s: a) y=−mx+1−m , b) m=9±4√5;m=−7±4√3 )
Bài 9: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx + Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng
d: x + y + = góc biết
1 os
26 c
ĐS: m1/ 2, m3 / SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI HÀM SỐ
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2)
+ Phương trình giao điểm (C1) (C2) : f(x) = g(x) (1)
Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1)
(1) vô nghiệm Û (C1) (C2) khơng có điểm chung
(1) có n nghiệm Û (C1) (C2) có n điểm chung
(1) có nghiệm đơnx1 Û (C1) (C2) cắt N(x1;y1)
(1) có nghiệm képx0 Û (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0)
Bài 1: Tìm m để:
a) Đường thẳng y=− x+m cắt (C) y= x
(4)b) Đường thẳng (d): y=mx+8
3 cắt (C): y= 3x
3− x2−4x +8
3 điểm phân biệt (Đ/s: −35
8 <m≠ −4 )
c) (Cm): y=mx4+2(2−m)x2− m−4 cắt Ox điểm phân biệt (Đ/s: −4<m<0 )
d) Đường thẳng d: y=−1 cắt (Cm): 3m+2x
2 +3m y=x4−
¿ điểm phân biệt có hoành độ lớn
ĐS: - 1/3 < m < 1, m
Bài 2: Tìm m để đt (d): y=x+m cắt (C): y=2x −1
x −1 điểm phân biệt A, B cho ΔOAB vuông O
Bài 3: Đường thẳng (d): y=− x+m cắt (C): y=2x+1
x+2 điểm phân biệt A, B cho ABmin
(Đ/s: m=0, ABmin=√24 )
Bài 4: Cho (d): y=1 (Cm): y=x3+3x2+mx+1 Tìm m để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt C, D ,E
sao cho tiếp tuyến điểm vng góc (Đ/s: m < 9/4, m0, m=9±√65 Bài 5: (Cm): y=x4−2(m+1)x2+2m+1 cắt Ox điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng
(Đ/s: m=2;m=−4 Bài 6: Cho (C): y=−2x −4
x+1 Xét (dk) qua M(0;k) với hệ số góc -2 Chứng minh (dk) cắt (C) điểm
M, N với k tuỳ ý xác định k để MNmin
Bài 7: Cho (Cm): y=x3+2 mx2+(m+3)x+4 (d): y=x+4 , điểm K(1;3) Tìm m để (d) cắt (Cm)
điểm phân biệt A(0;4), B, C cho SΔKBC=8√2 (Đ/s: m=1±√137
2 )
Bài 8: Cho hàm số y=1 3x
3
−mx2− x+m+2
3 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ
x1, x2, x3 thoả mãn: x12+x22+x32>15 (Đ/s: |m|>1 ) Câu 9: Cho hàm số
1
2
x y
x
(C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng dm: y mx 2m 1 điểm
phân biệt A, B cho:
a) Tiếp tuyến A, B vng góc với ĐS: m b) Thỏa mãn điều kiện 4OA OB. 5
ĐS: m = 1/2, m = - 3/4
CÁC BÀI TỐN TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM
Để tìm quỹ tích điểm M ta thực bước sau :
B1 : Tìm điều kiệm tham số m
B2 : Tìm điểm M(x ;y) theo tham số m khử m x y ta hàm số y = g(x)
B3 : Tìm điều kiện x, y (nếu có)
B4 : Kết luận : quỹ tích điểm M hàm số y = g(x) với điều kiện x, y (nếu có)
Bài : Tìm m để hàm số: y=x4+2(m+1)x2+1 có điểm cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị
(Đ/s: m<−1, y=(m+1)x2+1 ) Bài : Cho (C): y=−2x −4
x+1 Tìm để đt (dm): y=2x+m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi I
trung điểm A, B Tìm quỹ tích điểm I
Bài : Cho hàm số y = (x + 2)(x – 1)2 (C) đt d qua A(- ;0) có hệ số góc k.
a) Tìm k để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N ĐS : k > 0, k 9
(5)Bài 1. Tìm m để
2 6 5 2 3
mx m x m
y
x
nghịch biến [1, )
Giải: Hàm số nghịch biến [1, )
2
2 7 0 1
1 mx mx y x x
mx2 2mx 7 m x 2x7 x
7 1
2
u x m x
x x
Minx1 u x m Ta có:
2
7 2 0 1
( ) x
u x x
x x
u(x) đồng biến [1, )
Min
3 x
m u x u
Bài 2. Tìm m để
3
1 1 3 4
3
y x m x m x
đồng biến (0, 3)
Giải Hàm số tăng (0,3) y x22m1xm3 0 x 0, 3 (1) Do y x liên tục x x nên (1) y x[0, 3]
m x2 1x2 2x 3 x 0, 3
2 2 3
0,
x x
g x m x
x
0,3
Max
x g x m
Ta có:
2
2 8 0 0, 3
x x
g x x
x
g(x) đồng biến [0, 3] 0,3
12
Max
7 x
m g x g
Bài 3. Tìm m để
3 1 3 2
3
m
y x m x m x
đồng biến 2,
Giải: Hàm số tăng / 2, y mx2 2m1x3m 2 0 x (1) m x 12 22x6 x 2
2
2 2
1 x
g x m x
x
Ta có:
2
2 0
( 3) x x g x x x 6 x x x x
; xlim g x 0
Từ BBT
Max
3 x g x g m
Bài Cho hàm số
3
1 1 2 1 3 2
3
y m x m x m x m Tìm m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài
Giải Xét y m1x2 2 2 m 1x 3m20 Do 7m2 m 3 0 nên y 0 có nghiệm x1x2 Khoảng nghịch biến hàm số có độ dài y 0; x x x1; 2;x2 x1 4 m 1 0 và
2
x x Ta có
x 3
g x _ +
(6)2
x x
2
2
2 2
4
16
1
m m
x x x x x x
m m
2 2
4 m 2m 3m m
2 61
3
6
m m m
kết hợp với m 1 0 suy
7 61 m GIẢI BÀI TẬP CỰC TRỊ
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với y 3x
Giải: Hàm số có CĐ, CT f x 3x2 2mx7 0 có nghiệm phân biệt m2 21 0 m 21. Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:
13 221 2 3
9 9
m f x x m f x m x
Với m 21 phương trình f x 0 có nghiệm phân biệt x
1, x2 hàm số y f (x) đạt cực trị x1, x2
Ta có: f x 1 f x 20 suy ra
2 2
1 29 21 79m ; 2 29 21 79m y f x m x y f x m x
Đường thẳng qua CĐ, CT ():
2
2 21
9
m y m x
Ta có () y 3x
2 45 10
2 21 21
9 m m 2 m
Bài 4: Tìm m để hàm số f x x3 3x2 m x m2 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua ():
5 2 y x
Giải: Hàm số có CĐ, CT f x 3x2 6x m 0 có nghiệm phân biệt 3m2 0 m 3 Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:
1 1 2 3
3 3
m f x x f x m x m
Với m 3 phương trình f x 0 có nghiệm phân biệt x
1, x2 hàm số y f (x) đạt cực trị x1, x2
Ta có: f x 1 f x 20 nên
1 23 m3 ; 2 23 m3
y f x m x m y f x m x m
Đường thẳng qua CĐ, CT (d):
2
2 3
3
m y m x m
Các điểm cực trị A x y 1, 1,B x y 2, 2 đối xứng qua
5 :
2 y x
(d) () trung điểm I AB (*) Ta có
1 1 I
x x x
suy
(*)
2
2
2 3 1
0
3
0
2 3 1 1
3 2
m m
m
m m m
m m
Bài 5: Tìm m để hàm số y x 2m x2 1 có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân
Giải Hàm số có cực trị y4x x m20 có nghiệm phân biệt m0, đồ thị có điểm cực trị A0,1 ; Bm,1 m4,C m ,1 m4 Do y hàm chẵn nên YCBT uuur uuurAB AC 0 m1
(7)Giải f x 4x3 4mx4x x m Ta có: f x 0 x0 x2 m Để hàm số có CĐ, CT f x 0 có nghiệm phân biệt m >
nghiệm là: x1 m x; 0 ; x3 m điểm CĐ, CT là:
, 2 ; 0, 2 ; , 2 A m m m m B m m C m m m m
AB BC m m ; AC2 m Để A, B, C lập thành tam giác thìAB BC AC m m 2 m
4 4 3 33
m m m m m m
GIẢI BÀI TẬP TP TIẾP TUYẾN Bài 2:
Tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến k 1 Gọi
0; 0
M x y C
tiếp điểm
- Nếu
0
2
3
1
2
2
k x x
x
Với 0
1 3
2
x y
tiếp tuyến là: y x 1
Với 0
1 3
2
x y
tiếp tuyến là: y x 1 3
- Nếu
2
2
3
1
2
k x
x
: Vơ nghiệm
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán là: y x y x 1 GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
Câu 9: Cho hàm số
1
2
x y
x
(C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng dm: y mx 2m 1 điểm
phân biệt A, B cho:
c) Tiếp tuyến A, B vng góc với ĐS: m d) Thỏa mãn điều kiện 4OA OB. 5
ĐS: m = 1/2, m = - 3/4 Giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
xx10x3 f 000+f A
(8)
1 2 1 5 1 2 2 0
2 1
x mx m f x mx m x m
x
với
1 2 x
C
cắt dm điểm phân biệt A, B f x 0 có nghiệm phân biệt khác
1
2
0
0
17 2 9 0
6
1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m
m
f m
(*)
a. Hệ số góc tiếp tuyến A B là:
2 2
3 3
' ; '
2 1 2 1
A A B B
A B
k y x k y x
x x
2 2
3 3
. . 0
2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
nên hai tiếp tuyên A, B khơng thể vng góc với Vậy khơng tồn m thảo mãn tốn
b. Gọi x x1; 2 nghiệm f(x) Giả sử A x mx 1; 12m 1 ; B x mx 2; 2m 1
Theo viet ta có:
1
1
5 1
2 2
m x x
m m x x
m
Có:
5
4
4 OA OB OA OB
(9)
1 2
2
1 2
2
3
2
5
2
4
5
1 2
4
1 2
4
4
4
2
4
1
2
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m
m m
m m
Đáp số:
1 3
; 2 4 m
(10)