bai tap the tich pp giai hay wa

 Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa[r]

(1)

A

B

C D

E S

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 1 Thể tích khối chóp

Trong phần ta sử dụng định lý: Thể tích khối chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V =

1

3B.h

đó: B diện tích đáy, h chiều cao Bài

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA (ABC) Từ A kẻ AD SB AE SC Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích khối chóp S.ADE?



Phân tích - tìm lời giải

Ta có: AD, AE đường cao tam giác SAB, SAC Để tính thể tích chóp S.ADE

ta phải tìm diện tích đáy độ dài đường cao

- Xác định đường cao:

BC AD BC (ASB) ta AD (SBC) đó:

AD SC

Kết hợp giả thiết vớiAE SC

 SC (ADE) đó: SE(ADE) Suy ra: SE đường cao chóp S.ADE - Diện tích tam giác ADE:

AD, AE đường cao xuất phát từ góc vng nên: AS.AB = AD.SB, AE.SC = AS.AC

2 2

AS.AB AS.AB a.c

AD

SB AS AB a c

   

(2)

2

2 2 2

AS.AC SA.AC c a b

AE

SB SA AC a b c



  

  

Áp dụng định lý Pytago ADE ta có: DE = AE2AD2

Từ ta tính diện tích Độ dài đường cao: SE =

2 2

c

SA AE

a b c

 

  Thể tích cần tính :

V =

1

.SE .AD.DE

3



Trình bày lời giải

Tính đường cao: ABC vuông B nên AB BC

Giả thiết cho:SA (ABC)  SA BC  BC (ABC) 

ADBC

AD đường cao tam giác SAB  AD SB

 AD (SBC)  AD SC Mặt khác : AE SC  SC (ADE)

Hay SE đường cao hình chóp S.ADE

Độ dài SE:

2 2

AS.AB AS.AB a.c

AD

SB AS AB a c

   

 

2

2 2 2

AS.AC SA.AC c a b

AE

SB SA AC a b c



  

(3)

Áp dụng ĐL Pytago tam giác SAE có:

2 2 2

2 2

c (a b )

SE AS AE c

a b c



   

  =

2

2 2

c a b c

Diện tích tam giác ADE:

DE = AE2AD2 =

2

2 2 2 c b

(a b c ).(a c )

S =

1

.AD.AE

2 =

2

2 2 2 2

1 c b ac

2 (a b c ).(a c ) a c

=

3

2 2 2

1 a.c b

2 (a b c ).(a c )

Thể tích: V =

1

.SE .AD.DE

3

=

3

2 2 2 2 c a.c b

3 a b c (a b c ).(a c )

2 2 2

1 a.b c

6 (a c )(a b c )



  



Nghiên cứu lời giải

Xét cách giải khác sau: DE (SAB) BC (SAB) => DE // BC

Áp dụng ĐL Pytago tam giác vuông ASD, ASE, ASC ta có:

(4)

SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2

Lập tỷ số:

2 2 2

SA SD SE

SA SB SC =

2 2

SD SE SB SC

2 2

2 2 2

SA AD SA AE

SA AB SA SB SC

 



  

2 2 2

2

2 2 2 2 2

c a c (a b )

c c

a c . c a b

a c c a b

          =

2 2

2 2 2 2

c b c

(a c )  (a b c )

=>

3

2 2 2

SA SD SE b.c

SA SB SC(c a b )(a c )

SADE SABC

V SA SD SE

V SA SB SC =

3

2 2 2

b.c

(c a b )(a c )

=>VSADE =

3

2 2 2

b.c

(c a b )(a c ).VSABC

=

3

2 2 2

b.c

(c a b )(a c ).

1

.SA .AB.BC

3

=

2 2 2

1 a.b c

6 (c a b )(a c ) (đvtt)

(5)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a Cạnh SA (ABC) , gócBAC 120  0 Tìm thể tích khối chóp S.ABC?

Bài

Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi AC cắt BD gốc tọa độ O Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2) Gọi M trung điểm SC mặt phẳng (ABMD) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN?

Bài 4

Cho hình vng ABCD có cạnh a, nửa đường thẳng Ax Cy vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía so với mặt phẳng đáy Lấy điểm M A trên Ax, lấy N C trên Cy

Đặt AM = m, BN = n

Tính thể tích khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Bài 5

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh SA (ABC) , SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCNM

Bài 6

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) 600 Tam giác ABC vng C, góc BAC 60  0, hình chiếu vng góc E lên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích tứ diện D.ABC?

(6)

Cho tứ diện ABCD gọi d khoảng cách hai đường thẳng AB CD,  góc hai đường thẳng Tính thể tích tứ diện ABCD?

Bài 8

Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M trung điểm CG Tính thể tích khối tứ diện BDEM theo a b?

Bài 9

Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cạnh đối

AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c? Bài 10 ( Khối A – 2007 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác đều, (SAD) (ABCD) , gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Tính thể tích khối chóp CMNP theo a?

Bài 11 ( Khối A – 2009 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AD = AB = a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600, gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SDI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a?

Bài 12 ( Khối B – 2006 )

(7)

A B

C E

F

G H

K

D

Bài 13 ( Khối A – 2008 )

Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên 2a Đáy ABC tam giác vuông A, AB = 2a, AC = a Hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) trung điểm G cạnh BC Tính thể tích khối chóp G.ABC? 2 Thể tích khối lăng trụ

Trong phần ta sử dụng định lý: Thể tích hình lăng trụ diện tích đáy nhân với chiều cao

V = B.h : B diện tích đáy h chiều cao Bài 1

Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có khoảng cách hai đường thẳng AD ED Độ dài đường chéo mặt bên Tính thể tích khối lăng trụ ?

 Phân tích - tìm lời giải

Thể tích cần tìm V = AESABCD để tính thể tích ta phải xác định độ dài đường cao AE diện tích đáy SABCD

đường cao AE tính nhờ vào hệ thức AK2 = KE.KD

Để tính diện tích đáy SABCD ta tìm chiều dài chiều rộng đáy

AD, ED hai đường thẳng chéo nên khoảng cách chúng độ dài đoạn vng góc chung chúng

(8)

Nếu đặt KE = x AK đường cao tam giác ADE từ hệ thức

AK2 = KE.KD ta tính x, với x ta tính AE,

từ ta tính thể tích

 Trình bày lời giải

Gọi K hình chiếu vng góc A lên ED  AKED

Ta có: AB // EF (EFD) AB // (EFD)  d(A,EFD)

= d(AB,ED) Mà EF(EFDA)

nên EFAK  AB AK

 AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2

Đặt EK = x (



 = x(5-x)



x x

     Với x = ta có AE = AK2KE2 

 V = AE.SABCD = 5 (đvtt) Với x = ta có AE =  V = 10 5(đvtt)

Bài 2

Đáy khối lăng trụ đứng ABC.DEF tam giác Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) góc 300 Tam giác DBC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ đó? Bài 3

(9)

đáy góc 450 600 Chiều cao lăng trụ Tính thể tích lăng trụ đó?

Bài 4

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC tam giác vuông cân, cạnh huyền Biết mặt phẳng (AED) vng góc với mặt phẳng (ABC), AE = Góc AEB góc

nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) 600 Tính thể tích lăng trụ?

Bài 5

Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy hình thoi có độ dài cạnh a Góc BAD =600 , AF BH Tính thể tích khối lăng trụ đó?

Bài 6

Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy tam giác vng cân A, BC = 2a M trung điểm AD, góc BMC = Tính thể

tích lăng trụ đó?

3 Thể tích khối hộp chữ nhật Trong phần ta sử dụng định lý sau:

Thể tích khối hộp tích độ dài ba kích thước khối hộp

V = a.b.c = B.h đó: a, b, c ba kích thước

B diện tích đáy

(10)

Bài 1

Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cạnh a, BAD = EAD =  (



 Phân tích - tìm lời giải

Ta xác định đường cao AMAC



Thể tích: V = AB.AD.EM.sin, đặt EAO =  ta có: cos = cos2

 cos

Hay cos =

cos cos

2

 

, EM = a.sin =

2

a

cos cos

2 cos

2



 



Hạ EMAC(M AC) (1)

Tam giác EBD cân E ( EB = ED )BDEO

Mà BDAC



cos2



cos =

AM AK

AE AM = AK

AE = cos

cos =

cos cos

2

 



2

cos a

cos

 



=

2

a

cos cos cos

2



  

(11)

V = AB.AD.EM.sin

= a sin2 

2

a

cos cos cos

2



 



= a sin

2

 cos2 cos2

2



 

(đvtt)

Bài 2

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy hình chữ nhật có AB = 3, AD = , hai mặt bên (ABDE) (ADEH) tạo với đáy góc 450 600, độ dài tất cạnh bên Tính thể tích khối hộp đó?

Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo d, đường chéo tạo với đáy góc , tạo với mặt bên lớn góc , tính thể tích khối hộp đó?

Bài 4

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc BAD , đường chéo AD tạo với đáy góc  Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó?

Bài 5

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua cạnh tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, mặt phẳng nhận xác định hình hộp:

1) Chứng minh hình hộp nói hình hộp chữ nhật?

A

B C E

F

G H

K D

(12)

A

B

C S

N M

2) CMR Vhhcn 3VABCD

3) Gọi IJ, EF, MN đường trung bình tứ diện CMR: ABCD

1 V

3



IJ.MN.EF Bài 6

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M trung điểm AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG I, tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng (EBM) cắt hộp?

4 Bài tốn cực trị thể tích Bài 1

Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, cạnh lại 1, với giá trị x, y thể tích khối chóp lớn nhất, tìm giá trị lớn đó?

 Phân tích - tìm lời giải

Gọi M, N trung điểm SA, BC (MBC) chia khối chóp làm hai phần S.MBC A.MBC, ta có SM(MBC) SM đường cao,

SM =

x

2

là tam giác cân nên:

SMBC =

1

2 MN.BC =

2

y x y

1

2

(13)

S.MBC V =

2

xy x y

1

12

 

, VS.ABC =

2

xy x y

1

6

 

, sau ta

đánh giá dựa vào BĐT Cauchy thu kết V

2 27



Dấu “=” xảy x = y =

2

Gọi M, N trung điểm SA, BC ta có: VS.ABC = 2.VS.MBC, tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS



ACS tam giác cân

Ta có: BM SA,CM SA 



x

Tính diện tích đáy: MB = MC =

2

x

4



, MN =

2 BC BM  = 2 x y  

SMBC =

2MN.BC =

2

y x y

1

2

 

Thể tích:VS.MBC =

1 x y 2 

2 x y   = xy 12

VS.ABC =

2

xy x y

1

6

 

Ta có: ( x-y)2





2

x y xy

4

 

S.ABC

V =

2

xy x y

1    xy xy  

22 xy

(xy)

(14)



xy xy

2 (2 xy)

2 

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số

xy ,

xy

2 , (2-xy)

ta có:

xy

2 (2-xy)



3

xy xy

(2 xy)

2

3

 

  

 

 

=

16 27

V



1

16 27 =

2

27 , dấu xảy

2

x y 2xy

xy

2 xy

   



  





2

Bài 2

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) 2a, gọi  góc mặt bên với mặt đáy, với giá trị  thể tích khối chóp lớn nhất?

Bài 3

Cho tam giác OAB có AB = a, đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M, đặt OM = x Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích khối chóp ABMN nhỏ nhất?

Bài 4

(15)

Bài 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, góc



xAy 45 chuyển động đáy quay quanh điểm A cạnh Ax, Ay cắt CB CD M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích VAMCN đạt GTLN?

Bài 6

Cho hình chóp S.ABC SA (ABC) , ABC tam giác vuông cân C Giả sử SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất, tìm giá giá trị lớn đó?

Bài 7 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm góc tam diện Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện nhỏ nhất?

2.2.5 Chứng minh hệ thức hình học phương pháp thể tích

Để chứng minh hệ thức khối đa diện ta sử dụng kiến thức thể tích để giải sau:



(16)

A

B C

D

H

Bài 1

Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi h , h , h , hA B C D khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện

CMR: A B C D

1 1 1 r h h h h

Hướng dẫn giải

Khối tứ diện ABCD chia thành khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC Ta có:

OBCD ABCD A

V r

V h , OCAD ABCD B

V r

V h

OABD

ABCD C

V r V h ,

OABC ABCD D

V r

V h

Cộng vế với vế đẳng thức ta có:

OBCD OCAD OABD OABC

ABCD A B C D

V V V V 1 1

r

V h h h h

 

  

     

 



ABCD A B C D

V 1 1

r

V h h h h

 

     

 



1 1 1

r h h h h ( đpcm )

Khóa luận hướng dẫn giải đưa tập đề nghị phần

(17)

Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm nằm tứ diện đến mặt đối diện khơng phụ thuộc vào vị trí điểm nằm tứ diện đó?

Bài

Cho góc tam diện vng Oxyz đỉnh O Ox, Oy, Ox lấy điểm A, B, C cho: OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V thể tích tứ diện ABCD CMR:

3

L ( 1) V

162

 

Bài 4

Cho OABC tứ diện vuông đỉnh O, với OA = a, OB = b, OC = c, gọi r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện

CMR:

1 1 3

r  a bc a b c   Bài 5

Chứng minh khoảng cách từ điểm nằm hình lăng trụ đến mặt khơng phụ thuộc vào vị trí điểm nằm lăng trụ đó?

Bài 6

Cho hình chóp tam giác có

a b c

(18)

từ điểm O mặt đáy đến mặt xung quanh hình chóp số?

Bài 7 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = a, gọi S1, S2là diện tích hai mặt (CAB) (DAB),



CMR: V =

1 2S S sin

3a

