[r]
(1)DẠNG CÂU HỎI ĐIỂM
Câu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctg xy chứng minh z’’xx + z’’yy=
Z = artag y
x
Z’X = )
2 ) ( (
1
y x y
= x2 y2
y
2 2 ) (
1 '
y x
x y
x y
x y z
Nên
' ) 2 (
'' x
y x
y xx z
= -y
) 2 (
2 ) 2 (
2
y x
xy y
x x
y
y x
x yy
z '
2
2 )
( ''
= 2 ( 2)2
2 ) (
) (
y x
xy y
x y x
Vậy z''xxz''yy ( 2)2 2
y x
xy xy
(đpcm )
Câu 3: (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) hàm số khả vi, CMR xz’x-yz’y=x
Z =x + f(xy) f(t) khả vi f’(t) = f’(xy)
z'x(x f(xy')x 1(xy ')x.f'(xy) (a);
Z’Y = (xf ('xy))'y0(xy')y.f ('xy) x.f'(xy)
(b) Thay (a) (b) ta có x.z'x y.z'yx(1yf'(xy)) y(x.f'(xy)) =xxyf'(xy) xyf'(xy)x (đpcm)
Câu 4: (1đ) Cho hàm số z = y f (x2-y2), với f(t) hàm số khả vi CMR
y z 'x+
1 yz 'y=
z y2 ) 2
(x y
yf
z z'x(yf(x2 y2)'x y.(x2 y2)'x.f'(x2 y2)2xy.f'(x2 y2)
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) (
( 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' 2
'y yf x y f x y y x y f x y f x y y f x y
z y y
Khi x zxy zy ' '
1 1.2 '( 2) 1.(f(x2 y2) 2y2f'(x2 y2))
y y x xyf
x = y
y x f( 2 2)
(đpcm)
Câu : (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= √x2+y2 CMR z’’xx + z’’yy=0
r r zln1ln
,với r x y2
Ta có: r
x y x
x x
r
2 2
2 '
r y y x
y y
r
2 2
2 '
2 / 1.' 1.
) ln ( '
r x r x r r r r
zx x x
) (
' )' (
'' 4
2
2
2
2 r a
r x r
r r x x r r
r r x r r
x
z x
x xx
Với vai trò x y tương đương biểu thức tính tương
tự ta : ) (
2 2
'' b
r r y yy
z
Cộng vế (a) (b)
2 2
2
2
2 2 2( ) 2
2 '' ''
r r y x r
r y r
r x z
z xx yy
(2)Câu 6: (1đ) Cho hàm số x y x xy y x arctg x y x y x y x arctg z y x y x xarctg
z x 2
) ( 1
' 2 2
2 2
Khi ' 2 2( )
2 a y x y x x y x xarctg z x x ) ( ' 2 ) ( 1 ' 2 2 2 2
2 x y y b
y x z y y y x x y y x y x x
zy y
Cộng vế (a) (b) ta
) ( ' ' ) ( 2 '
' 2 2
2
2
2 x y xz yz z x y
y x xarctg y y x y x x y x xarctg z y
xzx y x y
Câu 7: (1đ) ) 2 , 1 , 1 2 2
2 y z ,A( x
u
Ta có :
2 z 2 y 2 x x 2 z 2 y 2 x 2 x 2 x u
x2 y2 z2
y 2 z 2 y 2 x 2 y 2 y u
x2 y2 z2
z 2 z 2 y 2 x 2 z 2 z u 2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 x ) A ( u 2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 y ) A ( u 2 2 2 ) 2 ( 2 1 2 1 2 z ) A ( u
Biết rằng: lOAtạo với trục Oxyz cỏc gúc ,,cosin Chỉ phương:
2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 cos 2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 cos 2 2 2 ) 2 ( 2 1 2 1 2 cos Vậy: cos ) ( cos ) ( cos ) ( ) ( 2 2 2 2 l A u y A u x A u l A u
Câu 8: (1đ) Cho trường vơ hướng
A(1,0),
T¹i TÝnh
u (1, 1) )
ln(
2x xy x y l
u l
Bg: Ta có 2 x y
1 y xx ) y x ln( 2 x u y x 2 1 y x2x x u
3 11 ) ln( ) (
uxA y 12.10 2 11 0 25
) A ( u
Biết l(1,1) véctơ Chỉ phương
2 ) ( 1 ) ( 1
0 (cos ,cos )cos 2 cos 2
lx ly
l
Biết cos
y ) A ( u cos x ) A ( u l ) A ( u
22
2 2
3. .
(3)Câu 9: (1đ) Cho trường vô hướng (gradu) div TÝnh ) 3 x 2 y ( e
u xy 2
Bg: Ta có
y
u x u gradu kh¸c
MỈt
; ) ( ) ( ) ( ) (
.e y2 x e e y3 xy y xe y2 x ye e y2x x2 x y
y xy xy xy
x u xy xy xy x u
và x yexy y xy y yexy
u . ( 2 3 2) 2. 2 ) y 4 y 3 xy 2 y (
exy 4 2 2
) 3 2 2 ( 2 ) 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 xy x x x y y y xy y xy e x u y u xy x x x y xy e xy xy e y x x x y xy e x y u 2 2 (gradu) div
Câu 10: (1đ) Cho hàm ẩn z z(x,y)
Có PT z x
y arctg x z
Ta có dz(x,y) z'xdxz'ydy
mà (, ,) 0
x z
x z y arctg F x z y arctg x
z xyz
2 ) ( 2 ) ( 1 ' ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ' x z y x z x z y x z y F x z y x z y y x z y y x z y x z y x F ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ' x z y x z y y x z y x z y y x z y y x z y x z y z F 2 2 2 2 2 ) ( ' ' ' ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ' ' ' x z y y x z F F z x z y x z y y x z y x z y y F F z z y y z x x n nª VËy dy x z y y x z dx dy z dx z
dz(x,y) x y 2
) ( ' ' dã, Do
Câu 11: (1đ) cho hàm ẩn
) , (y z x
x có PT :
2 3 xy x x 4
z
Víi F(x,y,z)zx3 4x xy2 ' 1
2 '
4
' 2
(4)Như = x y dy x y dz xy dz x dy x
dx(y,z) y z 2 2 4 ' '
Câu 12: (1đ) cho hàm ẩn
) , (y z x
x có PT ze2x(xy22y) o z y y x e F x z y
x
( , ,) ( 2 )
Ta có: '
) ( ) 2 ( ' ) ( ) (
' 2 2 2
z x x y x x x x F y e y e F y y x e e y y x e F ) ( ' ' ' ) ( ) ( ) ( ' '
' 2 2 2 2 2
2 y y x e F F x y y x y y y x e y e F F x x x z z x x x y y
Như (2 )
) ( '
' 2 2
2 ) , ( y y x e dz dy e y dz x dy x d x x z y z y x
DẠNG CÂU HỎI ĐIỂM
Câu 1: (2đ) Tìm cực trị hàm số )
4 )(
(
e x y x y
z x
Mxđ :(x,y)R ta có
( )( 4) 4
) ( ) ( ) )( (
' e xy x y e x y e xy e xy x y x
z x x x x
x
y
e y x e y x e
z x x x
y ( 4) ( )
'
Xét tọa độ điểm tới hạn h/số : M(x,y)
) ( ' ) ( ' M y z M x z
( ' )1
2 ) ( ) )( ( ) (
2
x y x y x y x x y x y x y x e y e y x x
Hàm số có điểm tới hạn: M1(2,2)và M2(4,2)
Ta lại có: rAz''xxex(xy)(x y4)2x4
xy yx
x x y x y x s B z z
e y
x y
x 4) ( ) ( )( 4) 10 '' '' (
x
y x
yy x
x
x y e yt C z e y e
e (4 )/ (4 ) '' (4 )/ 2
Tại M1(-2,2),ta có:
) ( '' ) ( '' 10 ) ( ) 2 ( ) ( '' ) ( ) ( 4 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 e A e e AC B e M z C e z B e e M z M A M yy M M xy M xx
Hàm số không đạt cực trị M1(-2,2)
Tại M2(-4,2),ta có :
(5)Vậy hàm số đạt cực đại
M2(-4,2) 4
) , (
max ( 2)( 4)
z e e
z
Câu 2: (2đ) Tìm cực trị hàm số
xy y x
z 2 23
Ta có MXĐ :
(x,y) R2 D
và zy y x
y x x z
3 '
3 '
Xét tọa độ điểm tới hạn M(xo,yo) Z(x,y) :
) (
) (
3
0 3 '
0 '
2 2
2
x y
y x x
y y x z
z
y x
Thay (2) vào (1) y4y
0
) ) )(( ( ) (
2
3
y y y
y y y
y
Với :y11 x1y121
Với : y20 x2y220
Ta có điểm tới hạn :M1(1,1) M2(0,0): ta có
y z
z z
x z
yy yx xy xx
6 ''
3 '' ''
6 ''
Tại M1(1,1) ( 3) (6.6) 27
6 ) ( ''
3 ''
6 ''
2
) (
) (
AC B
M z C
z B
z A
yy M xy
M xx
Vậy
0
A H/s đạt cực tiểu M1(1,1)
Tại M2(0,0) ta có
0 ) ( ''
3 ''
0 ''
2 ( ) 6.0
) (
) (
2 2
AC B z C
z B
z A
M yy
M xy
M xx
hàm số không đạt cực trị M2(o,o) Như hàm số cho đạt cực
tiểu M1(1,1) = -
Câu 3: (2đ) Tìm cực trị hàm số z(2ax x2)(2by y)2,ab0 MXĐ :(x,y)R2
Ta có :
2( ) ( )
) ( '
) ( ) ( 2
) ( '
) ( ) ( ) )(
( 2
a x x b y y b y a x x z
b y y a x x a x b y y z
b y y a x x y bx x ax z
y x
Xét hệ PT:
0 ) )( (
0 ) ( ) ( '
0 '
b y a x x
b y y a x y
(6) b y a x y a x b y x o y x b y a x b y a x o x b y y a x 2 2 0 2
Kết hợp khả với ab 0a 0 ,b0, ta có điểm tới hạn
sau :M1(0,0) , M2(0,2b), M3(a,b) , M4(2a,0) ,M5(2a,2b) Ta xét điểm tới hạn với
4( )( )
) ( '' '' ) ( )) ( ) ( ( '' ' b y a x y b y a x yx z xy z b y y b y y a x
z xx x
và z''yy2x(x 2a) với M1(0,0)rz''xx(M1) 2.0.(0 2b)0
0 ) ( ) ( '' ) )( ( ) ( '' a M yy z t ab b a M xy z s
s2 rt (4ab)2 0.0 16a2b20 (ab 0) mà r =
M1(0,0) không điểm cực trị
Với M2(0,2b)
0 ) 2 ( ) (
'' 2
z xx M b b b
r ) ( ) ( '' ) ( ) )( ( ) ( '' 2 a M yy z t ab b b a M xy z s 2 16
2
s rt a b
M2(0,2b) không điểm cực trị
Với M3 (a,b)
2 3 ) ( ) ( '' ) )( ( ) ( '' ) ( ) ( '' a a a a M yy z t b b a a M xy z s b b b b M xx z r
s2 rt 02 16a2b2 16a2b20 mà r= -4b2
hàm số đạt cực đại M3 (a,b)
* Với M4 (2a,0)
0 ) ( ) ( ''
z xx M b
r o b a ab rt s a a a M yy z t ab b a a M xy z s 2 2 4 16 ) ( ) 2 ( ) ( '' ) )( ( ) ( ''
Hệ số không đạt cự trị M4(2a,0)
Với M5 (2a,2b) ta có:
0 16 ) 2 ( ) ( '' ) )( ( ) ( '' ) 2 ( ) ( '' 2 5 b a rt s a a a M yy z t ab b b a a M xy z s b b b M z r
Hệ số không đạt cự trị M5(2a,2b) Như hệ số đạt cực đại M3
(7)2 2 2 ) , (
max Z (2a a )(2b b ) ab
Z ab
Câu : (2đ)
y x y xy x
z 2 2 4ln 10ln
Mxđ:D(x,y):x0,y0
ta có: z x x y x
4
'
y x y y
z' 2
; Xét hệ pt tọa độ cỏc điểm tới hạn M (x,y):
0
0 '
0 '
y x y
x y x y
z x z
0 ) ( ) (
0 4
xy y x y x
y x y x
0 ) )( (
0 ) )( (
xy y x
xy y x
0
x y
y x
y x
loại Với khụg D
3 3
4
4
0
y x xy
y x xy
y x
4
0
2
x y x y
x xy (vụ n0)
3 4
0
0
xy xy
xy xy
( vụ n0)
vậy hệ pt có n0
3
y x
Hệ số có điểm tới hạn )
3 ,
3 ( M
Xét:
4 ''
x z
r xx
2 ''
1 '' ''
y yy z t
yx z xy z s
(8)0 15
4 ''
1 ''
4 ''
)
3 ,
3 (
2
4 ) (
) (
3 ) (
rt s
z t
z s
z r M
M yy
M xy
M xx
và r = > h/số cực tiểu tại:
)
3 ,
3 (
M
4 ln 4 ln 14 )
3 ,
3 (
min z
Z
Câu : (2đ)
y x y x
z 3 3
MXĐ:(x,y)R2
Ta có : z'x 3x2
z'y3y2
Xét hệ PT tọa độ điểm tới hạn h/số:
3
3
3
3
3 3
3
3
3
0
0 '
0 '
2
y x y x y x y x
y y x x
y x z
z y x
h/số có điểm tới hạn:
1 1
) , ( ), , (
1 M
M
(9)Ta lại có: rz''xx6x
y yy z t
yx z xy z s
6 ''
'' ''
lần lượt xét điểm tới hạn ta có : Tại
) , (
M
0
0 12
3 2
3 ) ( ''
3 ) ( ''
r rt s
M yy z t s
M xx z r
h/số đạt cực đại
) , (
M
và
9 max
) , ( max
Z z Z
Tại 3)
1 , (
M
0 12
3 '' ''
3 ) ( ''
2 ) (
) (
2
rt s
z t
z s
z r
M yy xy
M xx
h/số ko đạt cực trị M2
Tại
3 ) ( ''
0 ''
3 '' ) , (
) (
) (
3
M yy xy M xx
x t
z s
z r M
0 12
2
S rt
h/số dạt cực trị : 3)
1 , (
3
(10)Tại 3) , (
M
3 ) ( ''
'' ''
3 ) ( ''
M yy z t
yx z xy z s
M xx z r
0 12
2
S rt
mà r 2 30
h/số đạt cực tiểu 3)
1 , (
M
với
3 ) , (
min z Z
Như h/số đạt cực đại 93
4 max
1 );
3 ,
( Z
M
Đạt cực tiểu tại:
3
4 );
3 ,
( Z
M
Câu 6 : (2đ)
Tỡm cực trị hàm số
z = x4+y4 – 2x2 + 4xy -2y2
z’x = 4x3 – 4x + 4y
z’y = 4y3 – 4y + 4x
z’’xy = 4, z’’x2 = 12x2 – 4
z’’y2 = 12y2 – 4
0 x y y
0 y x x 0 'z
0 'z
2 2 y
x
0 y x 3 x
0 ) xy 2 y 2 x )( y x ( 0 y x 3 x
0 3 y 3 x
(11)
0 y
0 x
0 x 2 3 x
0 y x
0 y x 3 x
0 xy
0 y x 3 x
0 y x
2 y
2 x
2 y
2 x
0 y
0 x
+ Xét A(0,0) z’’x2 = - = z’’y2
z’’x2y – z’’x2 z’’y2 = 0
+ Xét (x,y) theo đường (0,y) =>
z(0,y) – z(0,0) = y2(y2-2)<0
Khi y lõn cận y 2
+ Xét (x,y) theo đường (x=y)
=> z(y,y) – z(0,0) = 2y4 >0
Khi y lõn cận
Từ trường hợp => (0,0) k0 l Cc tr
* Xột A 2, 2thayvàocựcdại
* Xét B 2, 2thayvµocùctiĨu
Câu 7 : (2đ)
Tỡm cực trị hàm số:
z = xy+ y
20 x 50
với x>0, y>0 Giải: Bước
2 y 20 x
2 x 50 x
'z y 'z
Tỡm cỏc điểm dừng
) (
) ( 0
0
2 2
2
20 50 20
50
y x y
x
x y x
y
Thay (2) vào (1) ta có 0
y . y 0
y 2 81 4
2 y 20
50
(12)
0 ) 2 )( (
0
y y y y
y
2 ( 1)2
2
y y y y
2 y
5 x
ra bµi theo lo¹i
Vậy có điểm dừng M1(5,2)
Bước 2: Tính B2 AC
3
4000
40 ''
1 ''
100 ''
2
3
y z
C z
B x
z A
y
y x xy
x
Tại điểm dừng M(5,2) ta có
0 3 4 1 ) 2 , 5
(
=> hàm số đạt cực trị ta lại có
0
) 2 , 5 (
A 125100
Tại M hàm số đạt cực tiểu
Câu 8 : (2đ)
Tỡm cực trị cuả hàm số
z= x3 + y3 – x2y
Giải: Bước 1:
2 2 y
2 x
x y 3 'z
xy 2 x 3 'z
Tỡm cỏc điểm dừng
có hệ
) ( 2
) ( 2
x y
xy x
(13)
xx y x y
3
2
0
thay x=0 vào (2) ta có 3y2=0 =>y=0
thay x=2/3.y vào (2) ta có
0 27
3y2 94 y2 y2 y2
23 y2= => y=0
Vậy ta có điểm dừng M(0,0)
Bước 2:
Tớnh B2 AC
y x z
A ''x2 6
y z
C y
y y x x x xy z B
6 ''2
6 ) ( ''
xét điểm dừng M(0,0) ta có
0 ) 0 , 0
(
=> chưa có k.luận cực trị, xét hàm số (0,0): z=0; z>0 với x=y
Câu 9 : (2đ)
Tỡm cực trị hàm số
1 2
2 2
y x
y x z
1 2
) 2 ( 2 2 '
y x
y x y x
x y x x
z
2 2
2
2 2
1 2
) 2 ( ) (
y x
x xy y y
x
x xy x y x
3 2
1 2
'
y x
y xy x y
(14)Ta có
0 2 2
0 2 2 '
0 '
y xy x
x xy y y
zx z
0 2
2
0 ) 2 )( (
2 xy y x
y x y x
0 2
2
0 2
2
2
2
y xy x
y x
y xy x
y
x
x=y=2
Ta có: 2x2y1 222212x2y21 3 x2y21 1 3
1 2
2
2
z y
x y x
=> max z=3
2
2
2
x y x y
=> A(2,2) cực đại Với Zmax=3
Câu 10 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ lớn hàm số:
Z= x2+2xy - 4x +8y
trờn miền D:
2 00 yx
Giải: Ta có:
8 x 2 'z
4 y 2 x 2 'z
y x
Tỡm cỏc điểm tới hạn
6 y
4 x 0
8 x 2 y 'z
0 4 y 2 x 2 x 'z
Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k0 thuộc miền D
17 ) , (1,0) (0,2) 16 (0,0) (
z z z z :
XÐt
(15)Câu 11 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ lớn hàm số:
Z= x2+y2 -12x +16y
trờn miền D: x2y225
Giải: Ta có:
16 y 2 ' z
12 x 2 ' z
y x
Tỡm cỏc điểm tới hạn
8 y
6 x 0 16 x 2 y ' z
0 12 x 2 x ' z
Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k0 thuộc miền D
70 ) 5 , 5 ( z
90 ) 5 , 5 ( z
190 ) 5 , 5 ( z
30 ) 5 , 5 ( z
: XÐt
=> Gớa trị Max =190 Giỏ trị Min = -90
Câu 12 : (2đ)
y
2 y x
y=1
(16)3
1
Đổi thứ tự lấy t/phân
dy I
2
) , ( y
y
dx y x f
miền lấy t/phân D =
2
2 : ) , (
y x y
y R y x
D giới hạn đường
y =0 ; y =1 ;
2
y x
; x 3 y2 x2y23
Miền D = D1D2D3với
2
3 : ) , (
1
2 : ) , (
0
2 : ) , (
x y
x y x D
y x y x D
y x
x y x D
Vậy
2
0
dx
I
x dy y x f
2
) ,
(
2
2
dx
1
) , (x y dy
f
3
0
2
) , (
x
dy y x f dx
Câu 13 : (2đ)
Đổi thứ tự lấy t/phân:
x
x x
dx
I
2
0 f(x,y)dy
y 2
y x
(17)1/2 x
Miền lấy t/phân D =
x y x x
x R y x
2 2
2 : ) , (
D g/hạn đường
x =0 ; x =2
2 1
2 1
1 2 ) ( 2
y x
y x
y x x x y
2 2x x y
y
DD1D2D3với D1 =
2 1
2 : ) , (
y x y
y y x
2
2 : ) , (
x y
y y x D
2 1
1 : ) , (
x y y y x D
Vậy
2 1
y
y dy I
dx y x f( , )
dx y x f dy
y
) , (
2
1 1
0
dx y x f dy
y
) , ( 2
2
Câu 14 : (2đ)
1
1
) , (
y y
dx y x f dy
y
y=1
-1 x
x=1-y
(18)(x,y)
D
y x y y
1
1
Miền D giới hạn đường: y=0 ,y =1 ,x=1-y
2
1 y
x x2y21
(lấyphầnx0) DD1D2 Với:D1(x,y):
0
0
y x x
x y xy x D2 ( , ):00 11
x
dy y x f dx
x dy y x f dx I
1
) , (
1
1
0 ) (
Câu : (3đ)
L
dx ) y x xy ( I
dy ) y x xy
(
Theo công thức Green:
D
dxdy ) x y ( I
cos a r
2 : D
D
dxdy ) x y ( D
dxdy ) x y ( I
Trong D hình trịn :
2 a y ) a x
(
đổi toạ độ cực thì: D
cos a r
0
4
Câu 2 : (3đ)
L ydx xdy I
y a L
(19)*Tính trực tiếp : Ta có PT đường cong nửa đường tròn :
) ( , 2
2y a a
x
a x a
x a
y 2
dx x a
x dx
x a
x dy
2
2 2
2
vậy L
ydx xdy I
dx a
a a x
x x x a
2 2
a a a x
dx a
a a
dx x a
dx a
a a x
a x a
dx a
a a x
x x a
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
a
a a
a
x a
dx a
dx x a I
2 2
2
2
a a
dx x a
I1 2
,đặt x=asint
2
t
2
2 sin 2
t a a I
.d(asint)
2
2 cos
2
cos cos
tdt a
dt t a t a
=
2 2
2 cos
dt t a
2
) sin( sin
) ( 2
2 sin
2
2
2
a a
t t a
a a
ax ax a
a
d x a
dx I
2
2
) (
) (
a a
a a a
a a x
arcsin
(20)0 2
2
2 2
a a
I a I I
b.Dùng công thức Green: y
a B L
D
A C -a a x
Xét miền kín tạo đường cong L đ/thẳng y=o
L ABC
ydx xdy ydx xdy I
ABC CA
ydx xdy ydx
xdy
-Ta có:
ABC ydxx xdy I1
Theo đ/lý Green với:
D
dxdy y p x Q I
x Q x Q
y p y p
) (
1
D
dxdy ) 1 (
-Mặt khác:
A C
ydx xdy I2
Với:
0 :
dy y
a x a A C
a a
dx x
I2 0
VậyII1I2000
Câu 3(3đ)
L
xydy dx y
x )
(
(21)x=y2 B
m L A n
O x y=x
a.Tính trực tiếp tacó:LAmBBmA
Trong AmBcó PT:
xydy dx yy
x
2
A
Bn có PT:
1
2
2
0
2
1
3
) (
) (
) (
2 ) (
) (
) (
) (
dy y y
dy y y
dy y y y
dy y y y y
xydy dx y x
xydy dx y x
xydy dx y x I
dy dx yy
x
A B
B A
L
n m
1
2
3 2 )
3
( y y ydy
12 ) (
3
3
0
y y y
b.Sử dụng công thức Green
L xy xy
dy Q dx p
I ( , ) (, )
Với:
y x Q y p xy y x Q
y x y x
p
) , (
) , (
Theo công thức Green ta có:
D
dxdy y p x Q
I ( )
Với D miền kín biểu diễn h/vẽ D
dxdy y I ( 1)
1
) (
y y
(22)12 12
6
0 )
1 (
) (
) (
) )( (
1
2
2
y y y
dy y y y
dy y y y
Câu4(3đ)
c
dy x dx y I
Y
CR
-R R X Cách1:Đường trịn có Pt tham số:
R R
o x odx
dt ) t cos R ( t cos R
o
) t sin R ( t sin R I
t , t sin R y
t cos R x
o
dt t t R3 (sin3 cos3 )
4 t cos t cos t cos
4 t sin t sin t sin
dt ) t cos t cos
o
t sin t sin (
3 R I
3 R 16
3 R
3 3
3 R
o
t sin
t sin 3
t cos t cos
3 R
(23)
o R o
rdr ) sin r cos r ( d
o y
2 R y x
dxdy ) y x ( I
3 R
o ) cos (sin
3 R
o
d ) sin (cos
3 R
d ) o R
o
3 r ).( sin (cos I
Câu5(3đ):
AB dy y x
Y
B a
t A a X
2 t o , t sin a y
t cos a x : B
A
Nhận xét :xykhi o t
y
x 4 t 2
2
dt ) t cos t sin t (cos a
4 o
dt ) t cos t sin t (cos a I
o
4
tdt cos ) t sin t (cos a
4 o
tdt cos ) t sin t (cos a I
0
4
t cos
t sin t 2 a
o4
t cos
t sin t 2 a
2
dt )
t sin
t cos ( a
4
dt )
t sin
t cos ( a
(24)Câu6(3đ)
dy ) y
AB y
2 x ( ydx ln x
2
Y B
C A
X
Đặt :p = 2xlny y2
y x
Q
Nhận xét: y
x x Q y p
Vậy tích phân ko phụ thuộc dạng đường cong Bằng cách lấy tích phân dọc theo biên tam giác ACB ,với C(o,1)
2
dy ) y o ( o
o dx ) ln x (
AC CB
Qdy pdx Qdy pdx I
)
5 ln
3 ( dy
2 y I
2
dy y
2 y 2 y y I
dy y V
2 y
y dU
dy dV
2 y U
dy
(25))
5 ln( 2
2 I
) ln( ) ln(
) ( I
1 ) y y ln( I
1 2 y y
2
1 y2
dy dy y
2 y y dy y
1 y
1 2 y y I
Câu7(3đ)
c x2 y2
dy ) x y ( dx ) y x (
Biểu diễn Pt đường tròn dạng tham số:
2 t o , t sin a y
t cos a x
dt ) t cos a )( t cos a t sin a (
2
o a2
) t sin a )( t sin a t cos a ( I
2 o
2 dt
o
dt ) t cos t (sin
t
a x
Câu8(3đ)
c x2 y2 xdy ydx I
(26)t x
Pt tham số:
2 t o , t sin y
t cos x
I=
2 o
2 dt
o cos2t sin2t dt t cos t cos ) t sin )( t sin (
Câu9(3đ)
Cho hàm số Q(x,y) excosy mx2siny y cos x m y sin x e ) y , x ( p
a.
Qdy pdx
y mx y e x Q
y m y e y p
x x
sin cos
sin cos
2
là vi phân toàn phần :
o m m x Q y p
nhận m = o,m =
b.theo cơng thức ta có :
x
o y
2 y cos x e ( dx x e ) y , x ( U
2 dy ) y sin
x
1 y cos x y sin x
e
Câu10(3đ)
dx ) y cos y y sin x AB
dy ) y sin y y cos x ( ) x ( h
a.Đặt Q h(x)(xcosy ysiny)
) y cos y y sin x ( ) x ( h p
Điều kiện để tích phân ko phụ thuộc đường : x
Q y p
(27)A(o,)
B(,o) x
o
o o
A oB
ydy y
dx o dy y y
Qdy Pdx Qdy Pdx I
sin
) sin (
0
Sử dụng cơng thức tích phân phần : y
v dy du ydy dv
y u
cos sin
o o y o y y
ydy o y y I
o
sin cos
cos cos
Câu11(3đ)
AB x2 y2
dy ) y nx ( dx ) y mx (
a.Ta có :
) y x (
xy 2 nx ny y p
2 ) y x (
mxy 2 x y y p
Điều kiện để biểu thức dấu tích phân vi phân toàn phần hàm số U(x,y) với m = n =1
1
1 , ,
0 )( 1) (1 ) (
2
2
2
2
m n m nx y
m xy n y x
xy nx ny
mxy x y
b/
B(a,o) C(a,a)
(28)dx a x
a x dy y a
y a I
y x
y x Q y x
y x p
Qdy pdx Qdy pdx I
a a
o C
A CB
0 2 2
2 2 ,
2 ) ( ) arctgo arctg (
o a a
o a
x arctg a a dx x a
a
a o
dx x a
x a a
o dx x a
x a a o
a o
dx x a
x a dy y a
y a
Câu12(3đ)
Tính tích phân mặt loại sau đây:
dxdy z dzdx y dydz s
2
x
z
a
a
y a
x
a o
a o
a o a o a o a
o v
a a
o a o
v v
v
zdz dy dx dz ydy dx
dz dy xdx zdxdydz
ydxdydz xdxdydz
dxdydz z y x I
2
2
2
2
) (
0
) )( ( ) )( )(
(x2ao yao zoa xao y2ao
( ) ( )( )( )
o a z o a y o a x o a
z
4 a a a
a
Câu13(3đ)
Cho trường vectơ
) zx yz , xy ( F
dxdy zx
dzdx yz s
dydz xy
áp dụng công thức :Ostrogratski
1 :
) (
2 2
2 2
z y x V
dxdydz x z y
(29)Đổi qua toạ độ cầu :
1
r o
V
5
2
o o
1 o
dr r d d d
Câu14(3đ)
Đổi qua toạ độ trục
2
2
2
2
r z r
dz r d dr I
r
2 3 2
2
dr r
r 2
2
3 )
2 (
3 16 ) (
) 12 (
4
0
r r
Câu 15 (3đ)
2 z y x U
2 z y x U
u x x u x x u u
2
tương tự ;
u y y
u
u z z
u
) u z , u y , u x ( gradu
Thông lượng trường vectơ gradu qua mặt cầu S:x2y2z1là
s
dxdy u z dzdx u y dydz u x
zdxdy ydzdx s
xdydz
vì 1
(30)áp dụng c/thức ostrogradsky ta có
v dxdyz
V h/cầux2y2z21
(thể tích V) 3 4
4
3
Câu1(4đ)
x y y y
x y y y y y x y
cos ln '
1 cos ln ' ln cos '
Đặt y
y z y zln ' '
thay vào ,ta :zz cosx
1 '
dx x x
z dx x zdx z
2
2
sin
cos cos
'
) sin )( sin (
) (sin
x x
x d
) ( ln
2
ln sin
sin ln
sin
) (sin sin
) (sin
x tg C z
C x x
x x d x x d
Thay lại ,ta có nghiện tổng quát PT: 2ln (2 4)
2
ln y Ctg x
b/ y''yxsin2x
+Đây PT vi phân tuyến tính cấp ko +Xét PT tương ứng
0 ''y
y PT đặc trưng :
1
1 1
k k k
PT đặc trưng có nghiệm thực phân biệt nghiệm tổng quát
PT đặc trưng :
x
x C e
e C
y . .
2
+Ta tìm No riêng Pt vi phân tuyến tính cấp ko cho:
) ( ) ( cos 2
)
2 cos ( sin ''
x f x f x x x
x x x x y y
với ( )
2 )
( 1
1 x x e P x
f ox
= 0, n = nên no riêng có dạng
yR1= Ax +B y’R1 = A y’’R1=
thay vào pt : y’’- y = f1(x) =
(31) (Ax+B)=2
x
0
B A
No riêng : yR1 =
x Với f2(x) = xcos2x
2
P x x Q x x
ox
e 1( )cos2 0( ).sin2
pt : y’’-y= f2(x)2xcos2x
có N0 riêng dạng
yR2= (Ax+B)cos2x + Csin2x y’R2 =Acos2x –2(Ax + B)sin2x
+2Ccos2x
= (A+2C)cos2x – 2(Ax +B)sin2x
y’’R2 = - 2(A +2C)sin2x – 2Asin2x – 4(Ax+B) cos2x =
-4(A+C)sin2x –4(Ax+B)cos2x Thay vào pt ta :
(-4A –5C)sin2x – 5(Ax+B)cos2x
= xcos2x
2
25 10
1
4 10
1
2
0 ) (
C B A B A
C A
No riêng: yR x x sin2x
25 2 cos 10
1 ' 2
Như vậy, No riêng pt vi phân khg cho :
yR = yR1 +yR2 x x x sin2x
25 2 cos 10
1
Vậy No tổng quát pt cho x
x x x
e C e C y y
ytq R x x
2 sin 25
2 cos 10
1
2
1
Câu2(4đ)
a Tìm No riêng PT:
1 ln
'
0 ' ln
x y y
y x y y y
đặt y
y z y zln ' '
Thay vào ta được:
1
'
x z
z
(32)2 ) (
1 2
1
'
C x z
C x z
x dx z
dx z
Thay zlnyta có:
2 ) (
ln y x C
do )2
16 15 ( e y
thay vào:
8
2 ) (
2 ) 16
15 ).( ( ln
C C
C e
Vậy,No riêng Pt cho :
2 ) (
ln y x
b.Tìm No tổng quát :
) ( 2 '
'' y x eoxp x
y
-Đây PT tuyến tính cấp ko
- PT đặc trưng tương ứng PT tuyến tính cấp
0 ' '' y
y là:
3
0
0 ) (
k k
k k k k
no t/quát PT là:
x e C C
x e C ox e C y
3
3
ta tìm No riêng PT vi phân cấp Ko cho có dạng :
) (ax bx C x
R
Y
(Vì k10)
2
2 ' ''
2 ''
2 '
2
x C bx ax
b ax R y R y
b ax R y
C bx ax R y
C bx ax
27
1 3
9
0 ) (
1
2
) (
b C
b a
c b
b a
a x C b
x b a ax
(33)) 2 (
) 27
2 9 (
x x x
x x x R y
No t/quát Pt cho :
) 2 (
1
x x x x e C C
R y y tq Y
Câu3(4đ)
a.y'ysinxsinxcosx
) cos ( sin
' x y x
y
(*)
Đặt zycosx x z y x y
z' 'sin ''sin
Thay vào (*) ta được: x
z z
z x z
z x x z
sin '
) ( sin '
sin sin '
Tích phân vế :
C z
xdx z
dz
xdx z
dx z
cos ln
sin
sin '
(C số )
+Thay zycosxta No t/quát Pt : y x e x C
C x e x y
C x x
y
cos cos
cos cos
cos cos ln
b.y''yxcos2x x
x x
2 cos 2
- Đây PT vi phân tuyến tính cấp Ko
- Xét PT vi phân tương ứng :y''y0PT đặc trưng :k210k1,21
vậy PT có No t/quát
x e C x e C
y 1 2
- Xét Pt Ko cho :
) ( ) (
2 cos 2 ''
x f x f
x x x y y
Ta tìm No riêng ứng với Pt : y’’- y = f1(x) (1) yR1
và y’’ – y = f2(x) (2) yR2
ta có : 1( )
x x
f
) ( P x ox e
(k1,k2)
Ta tìm N0 riêng dạng :
yR1 = e0X (Ax + B)
y’R1 = A y’’R1 = Thay vào (1) :
– (Ax +B) =x
0
1
(34) N0 riêng yR1 =
x
Ta có : f2(x) =
P x x
ox
e 1( )cos2 Q0(x).sin2x
Ta tìm N0 riêng dạng
yR2 = e0x.((ax+b)cos2x+ Csin2x)
yR2 = (ax+b)cos2x + Csin2x
y’R2 = acos2x –2(ax+b)sin2x
+ 2Ccos2x
= (a+2c)cos2x – 2(ax+b) sin2x
y’’R2 = -2(a+2c)sin2x – 2asin2x – 4(ax+b)cos2x
= -4(a+c)sin2x – 4(ax+b)cos2x
Thay vào (2) - (4a +5c)sin2x – 5(ax+b)cos2x = 2xcos2x
25
10
4 10
1
2
0
0
c b a
a b
c a
Vậy yR2 = x x 25sin2x
2 cos 10
1
Như theo n/lý chồng chất N0, N0 riêng pt cho : x
x x x
R Y R Y R Y
2 sin 25
2 cos 10
2
Vậy N0 tq pt cho : x
x x x
e C e C Y Y
Ytq R x x
2 sin 25
2 cos 10
2
Câu : (4đ)
a) 2ydx + (y2 – 6x)dy = 0
2 '
0
y x y x
y x y dy dx
Đây pt vi phân t2 cấp không với :
2 ;
) ( )
( y Q y
Py y
C/thức N0 t/quát :
e Pydy e Pydy
x ( ) ( )
C dy Q(y) Đặt
dy
y dy y p
(35)
ydy y dy y y
dy Q e J
y y dy
y dy Py
ln
3 ln
ln 3
) ( ) (
Đặt
2 ln
y v
y dy du ydy dv
y u
2 ln
4 ln
2 ln
2
y y y
ydy y y
y dy y y y J
Vậyno t/quát pt là:
y y y y C
x
8 ln ln
(C số )
b.y''9y'20ye4x
+Đây Pt vi phân t2 cấp ko nhất
+Xét Pt tương ứng :
0 20 ' '' y y
y Pt đặc trưng:
5
4 ) )( (
0 20
k k k
k k k
Pt đặc trưngcó 2No thực phân biệt
5 , 1 k
k nên no t/quát Pt :
x e C
y14 C2.e5x
-Xét Pt vi phân ko cho
1
) (
) (
) (
4
20 ' ''
k p e e f
f e y y y
x o x x x
x x
Ta tìm No riêng có dạng:
x e x A
x e x x e A R y
x e x A
x e Ax x Ae R y
A x xe R y
4 ) (
4 ) ( 4 ''
4 ) (
4 4 '
thay vào ta có :
1
20
) ( ) (
20 ' ''
4
4
4
4
A e Ae
e e Ax
e x A e x A
e y y y
x x
x x
x x
x R R R
no riêng :yRx.e4x Vậy, No t/quát pt cho :
x e x x e C x e C
R y y tq Y
4
1
(36)a.Tìm No riêng: x x x
y
y ln
ln ' - Đặt:
t y t e t e t y dx dt dt dy
dx dy y t e x dx dt
xdt dt t e dx t e x
'
'
'
thay vào Pt ta :
t e t t q
t t p t e t y t y
t e t t e t
y t y t e
2 ) (
1 ) ( '
'
Đây Pt vi phân t2 cấp ko t No t/quát:
C dt q e e
y ptdt ptdt t
() () () +Ta có :Ip(t)dt
2 2
2 ln
) ( ) (
ln
t e dt t e
dt t e t t dt t e t t e
dt t q dt t p e J
t dt t
VậyNo t/quát:
) 2 ( 2
ln et C t C t e t e
y
Thay t = lnx , )
2 ( lnx x C y
x t
e
do:
2 ) (e e
y
thay vào ta có :
0 2
) ).( ln(
2
2 )
(
C e C e
C e e ye
Vậy N0 riêng pt
2 ) (
ln ln '
e x y
x x x x
y y
=> y x lnx
2
b) Tìm N0 t/quát: x
e x y y y''2 '
Đây pt viphân t2 cấp không
Xét pt tương ứng: y’’ –2y’ + y =
pt đặc trưng k2 – 2k + =
(k – 1)2 =
N0 kép k1 = k2 =
(37)Ta tìm N0 riêng pt khơng t/nhất cho có dạng:
) ( 2ex ax b x
R
y f(x)x.e21k1
yR = eX (ax3 + bx2) yR
bx x b a ax bx
x b a ax e y
b x a b ax e
bx ax bx ax e
x R x x
2 ) (
) ( ''
2 ) (
2
2
2
2
2
b x b
ae ax a bx
y R x
2 ) (
2'' (6 )
2
Thay vào pt cho ta được:
x
xR R R
xe b x b b a
x b b a b a e
y y y
2 ) (
) (
' ''
2
(6a – 2b) x + 2b = x
0
2
b a b
b a
Vậy N0 riêng: ex
x x x e x R
y
6 ) (
2
N0 t/quát pt cho là:
1
3
6
) (
C x C x e e x
x C C e Y Y Y
x x
x R tq
Câu : (4đ)
a)Tìm N0 riêng y’ + tgy = y
x
cos
y’cosy + siny = x
Đặt z = siny z’ = y’cosy
Thay vào ta có: z’ + z = x
Đây trở thành pt vi phân t2 cấp khg t/nhất với :
x x q
x p
) (
1 ) (
CT N0 t/quát Z =
C dx q e e pxdx pxdx x
) (
) ( ) (
Ta có : Ip(x)dxdxx xdx
x e dx x q dx x p e
J( ) ( )
Đặt:
x e v
dx du dx x e dv
x u
) (
) (
x x e c
c x e x x e x J
Như vậy:
) (
sinycex x (c h/số)
do: y(0) = =c.e0 + (0 – 1) = c –
c =
(38)siny = exx1 yarcsin(exx1)
b) Tìm N0 t/quát pt: x
e x y y
y''5 '6 Đây pt vi phân t2 cấp khg
Xét pt tương ứng: y’’ – 5y’ + 6y =
pt đặc trưng k2 – 5k +6 =
(k - 2) (k – 3) =
3
2
k k
pt có N0 thực phân biệt
pt có N0 t/quát yc1.e2xc2.e3x - Xét pt khg cho:
y’’–5y’+6y =xex= f1(x)+f2(x)
+ Với f1(x) = x
y’’–5y’+6y = f1(x) =eox.p1(x) (0k1,k2)
Ta tìm N0 riêng có dạng :
b ax b ax ox e R
y 1 ( )
y’R1 =a y’’R1 =
Thay vào ta có: –5a + 6(ax +b) =x
6ax + 6b –5a = x
36 6
0
1
a b a
a b a
No riêng: 36
5 1 x R y
+ Với : 2
2
, ( ) )
(
6 ' '' )
(
k kQ x e x f
y y y e x f
o x x
ta tìm No riêng dạng:
x e A R y
R y A x e R y
''
2 '
Thay vào ta : x
e R y
A x e x e A
x e x e A x e A x e A
2
2
2
Theo n/lý chồng chất No riêng Pt cho :
36
2
x e
R y R y R y
(39)36
3 2
x x e
x e C x e C R y y tq y
(C1 ,C2 số)
Câu7(4đ)
a. ' x2y4
x y y
2
' x
x y y
y
Đặt
2 ' '
y y y z y
z
z y
y y
y
3 ' '
4
Thay vào ,ta có :
2 3 '
2 '
1
x z x z
x z x z
Với p(x)x3,q(x)3x2
đây Pt vi phân t2 cấp ko c/thức No t/quát:
C x
x
C x e
Z
x x dx
dx x x
dx x e
dx x Q e J
x dx x dx P I
C dx Q e
e Z
x x
dx P x
x dx P
dx P
x x
x
ln
ln ln 3
) ( ( )
) (
ln 3
3 ln
2
2 ln
) (
) (
) ( ) (
) (
Thay: Z y y x C 3lnx
1
1
3
3
No t/quát:
C x
x
y 3ln
3
(C hằngsố)
b. y''4y'3yx.ex
Đây Pt vi phân t2 cấp ko
xét Pt t.ứng:y''4y'3y0
xét Pt đặc trưng t.ứng:
3
1 ) )( (
0
k k k
k k k
Pt đặc trưng có No thực phân biệt No t/quát Pt :
x
x C e
e C
Y 1 2.3
- Xét Pt ko cho :
) (
' ''
1
) (
x P e
f e x y y y
x x
x
(40)) (ax bx x
e
2 2 ''
) (
2 '
ax b a ax x e R y
b x b a ax x e
bx ax b ax x e R y
b x b a (2 )
e x ax2 (4a b)x 2(a b)
Thay vào ta :
x b ax
b x b a ax
b a x b a ax e
y y y
x R R
R
3
4 ) (
) ( ) ( ' ''
2
2
4 ) (
1
) (
a b a b a a
x e x b a ax x e
No riêng
x x
R xe x xx e
Y
4 ) (
) (
Vậy No t/quát Pt:
4 ) (
3
1
x x e e C
e C Y Y Y
x x
x R tq
Câu8(4đ)
a.Tìm No riêng Pt:
2
2 '
' x y ex y y y e y
y
Đặt:Z= 2'
'
'
' z
y y y y z
y
Thay vào 2z'ze2x
2 ' z ex
z
với
2
2
) (
2 ) (
x e qx
x P
Đây Pt vi phân t2 cấp ko ,No tổng quát : Z =
e Qxdx
e P(x)dx P(x)dx ()
C
x x x x
dx x P
e dx e dx e e
dx x Q e J
x dx dx x P I
2 2
) (
2 ) (
2
) (
2 2
2
x x
x
e e C
C e e
Z x
no t/quát 2
1
x x
e e C
y
Thay :
7 2
1 )
( 20 20
C C
e e C o Y
- Vậy No riêng Pt :
2
7 x x e e
(41)b.Tìm No t/quát Pt: x
e x y y
y''6 '5
- Đây Pt vi phân t2 cấp ko hệ số số!
- Xét Pt tương ứng:
6 '
'' y y
y Pt đặc trưng:
5
1 ) )( (
0
k k k
k k k
Pt có No thực phân biệt, No t/quát Pt :
x
x C e
e C
Y 1 2.5
- Xét Pt ko cho:
) ( ) (
5 ' ''
x f x f
x e x y y y
với ( 1, 2) ) ( )
(
k k
x p ox e x x f
Ta tìm No riêng dạng :
) (
1 e ax b
YR ox Của Pt:
) ( '
'' y y x f x
y (1)
0 ''
' yR a y R
thay vào
5 6
5
a b a o b a a
x b ax a
5
1 YR x
+Với
) ( )
(
1
k p e e
f x x x ox
Ta tìm No riêng dạng:
x
R Axe
Y
2 Pt:
x
Ae y
e f y y y
x R
x x
1 '
) (
' ''
2
) (
) (
) (
''
x x Ae
x x
Ae R y
thay vào PT (2) Y''R26Y'R25YR2
4
5 ) (
A e Ae
x x x
Ae
x x x
No riêng:YR xex
4
2
- Theo nguyên lý chồng chất No No riêng Pt :
x xe x
R y R y R y
4
6
- Vậy ,No t/quát Pt cho:
x x
x R tq
e x x e C
e C y y y
4
6
5
1
(42)a.y''ytgx
-Đây Pt vi phân t2 cấp ko
- Xét Pt tương ứng :
'' y
y pt đặc trưng:
i i k
k210 1,20
Pt đặc trưng có cặp No phức liên hợp k1,20iNo tổng quát Pt
thuần : x C x C
x C x C ox e y
cos sin
) cos sin (
-Xét Pt vi phân ko cho: y’’+y = tgx ta tìm No riêng
của Pt t2 ko dạng:
x x C x x C R
y 1( )sin 2()cos
theo P2 biến thiên số Largrange ,ta có C1(x),C2(x)
là No hệ :
)
()cos ' ( )sin (
'0(1)
cos ) ( ' sin ) ( '
2
2
tgxx x C x x
C
x x C x x C
) ( '
) ( ' cos sin ) ( ' ) (
1
1
x tgxC
x C x x x C
Thay vào (2)
x tgx x
tgxC x
tgxx x tgx xC x C
sin cos
) (
' sin ' ( ) cos
) ( '
1
1
=
x sin x cos
x sin x cos
x cos
x sin
dx x
x dx
C C
x C dx xdx
x
C x
x x
x
x tgx x C
x ' sincos
cos( ) ' sin cos
1 cos cos sin
sin ) ( '
2
) (
1
2
2 (sin )
cos sin
x d x x
(đặt t=sinx)
t t t
dt t t dt
dt t t
dt t t dt t t
1 ln
1
1
1
) )( (
1
1 1
1
2
2
x x x
x C
sin
sin ln sin ) (
2
Vậy No riêng :
x x x
x x x
x
x x
y C x x C x x
y
R R
sin
sin ln cos
) sin
sin ln (sin cos
cos sin)sin ( )cos
( 2
1
(43)Như vậy,No tổng quát Pt cho :ytqyyR x
x x
x C x C
sin
sin ln cos
cos sin
b.y''3y'4ye4x
-Đây Pt vi phân t2 cấp ko hệ số số
-Xét Pt tương ứng:
y’’- 3y’- 4y =0 Pt đặc trưng:
1
4 ) )( (
0
k k k
k k k
Pt đặc trưng có no thực phân biệt no t/quát Pt
x
x C e
e C
y
2
-Xét Pt vi phân cấp ko cho:
1 ) (
4 ) ( 4 ' ''
k x
o p x e
x e x f x e y y y
Ta tìm no riêng Pt dạng:
) (
)) ( 4 ( ''
) ( '
4
x x Ae
x x
Ae R y
x x Ae R y
x Axe A x e x R y
Thay vào ta có :
5 1
4 12 16
) ( ) (
8 ' ''
4 4
4
4
A A
e e A
x x x e A
e Ax x Ae x
Ae y y y
x x x
x x
x R R R
No riêng :
x e x yR Vậy No t/quát Pt:
x x x
R tq
e x e C e C
y y y
4
4
1 5
Câu10(4đ)
a. y y cos2x
1 ''
- Đây Pt vi phân t2 cấp ko hệ số
- Xét Pt vi phân tương ứng :y’’+ y = Pt đặc trưng:
i k k210 1,2
Pt đặc trưng có No phức liên hợp nên No t/quát Pt nhất:
x C x C
x C x C ox e y
cos sin
) cos sin (
-Xét Pt cho :y y cos2x
1 ''
Ta tìm No riêng có dạng:
x x C x x C
(44)theo p2 biến thiên số Largrange ,C1(x) C2(x) No hệ :
x x C x C
x C x C
2 cos
1 sin ' cos 1'
0 cos ' sin 1'
x tg x x
x x
x x x C
tgxC C
2
2
2
1
1 sin
cos cos
) cos sin (cos cos
1 '
' '
x tg
dx dx ' C C
x x d x xdx
2
2 1 2sin
) (sin sin
2
cos
2
2 t
dt
b Giải PT: y''5y'4ye4x
- Đây Pt vi phân t2 cấp hệ số
- Xét Pt tương ứng:
y’’+5y’ +4y =0 Pt đặc trưng:
4
1 ) )( (
0
k k k
k k k
Pt đặc trưng có no thực phân biệt No t/quát Pt :
x e C x e C
y1 2 4
- Xét Pt vi phân ko cho : y''5y'4ye4xf(x)
4
) ( ) (
k x o p x e x f
nên ta tìm No riêng có dạng:
) (
) ( 4 ''
) ( '
4
x x Ae
x x
e A R y
x x Ae R y
x e Ax R y
Thay vào pt y''R5y'R4yR=
x x x
e
A.4x16 85(14 )4
4
3
Ae x e x A
Vậy yR x.e 4x
3
Như ,no t/quát Pt cho : x
xe x e C x e C
R y y tq y
4
1
Câu11(4đ)
a. 1 e2x
1 y ' y ' ' y
-Pt đặc trưng
3 k
2 k k k
No t/quát Pt :
x e c x e c
y
(45) x x x x x e e C e C e C e C 2 2 1
1 ' ' ' ' dx e e C e e C e e C x x x x x x 2 2 1 ' 1 '
Đặt texdtexdxtdx t dt dx k arctgt t dt ) t 1 ( t dt t t dt t t C k x arctge x
e
x e x e x e x e x e x e ' C x e x e ' C ' C dx x e x e C
Đặt t
dt dx x e
t
1 k ) x e ln( 1 k ) t ln( dt t t t dt t t C
Pt ko có No
x x x
x x e arctge e K e e K y 2 21ln(1 )
x arctge x e x e ) x e ( ln x e x e K x e K
b) Pt đặc trưng
2 k 1 k k k
Pt có No t/quát e2x
2 C x e C
y Ta tìm No riêng pt ko
nhất có dạng: yx(axb)ex(ax2bx)ex2ax b 2a
b ax bx ax x e *'' y b ax bx ax x e *' y
Thay vào pt ban đầu bx) x.ex ex 2ax 2a b
2 ax ( ) b ax bx ax ( ) b a bx ax ax ( x e x e ) x ( x x e ) x ( x * y a b ; a b a a x xe
vậy Pt ko có No t/quát
(46)Câu12(4đ)
a.y''2y'y3ex 1x
-Pt đặc trưng k22k10có No kép k1k21Pt có dạng t/quát:
) (C C x x e
y
-áp dụng p2 biến thiên số lagrange:
x e e x C C
e xC C
x x x
1 ) ( ' '
0 ) ' ' (
2
2
x C x C
xC C
1 ' ) ( 1'
0 ' 1'
1
2
2
2
2
2 2
3
) (
) (
2
3 3(1 ) )
1 (
1 ' '
) (
1 '
k x
x C
x x
x x xC C
k x C
x C
2
3
2
) ( )
1 (
) (
2
x x x k x
x k
e
y x
2
2
) (
) )( (
2
2
x x k k e
x x
k k e
x x
b. x
y x y y' sin
Đặt: x
y z
' xz z ' y xz
y
x
dx z cos
zdz sin dx zx sin
dz
x z sin
' z z sin z ' xz z
z zx
dx z
z d
cos
cos ln
1
cos ) (cos
2
2 cos
2 sin ln ln
2
z z Cx
xarctgCx z
Cx z Cx
2 ln ln
Câu13(4đ)
a. y'cos(x y)
Đặt z = x-y z’ = – y’ thay vào Pt ta : – z’ = cosz
z’ = 1-cosz z dx
dz
cos
x C y x g x C
z g dx z dz
) ( cot
2 cot
2 sin
b.y''7y'12ye3x (2)
pt đặc trưng k27k120
có No:k13,k24 Pt có No t/quát : yC1e3xC2e4x Pt (2)có No riêng
dạng y*Axe3x
) ( '* '
) ( '*
x x Ae y
x x Ae y
(47)thay vào (2) : 12 ) (
A x e
x x x x Ae
Vậy (2) có No t/quát: x
xe x e C x e C
y 13 2
câu14(4đ)
a. x
x y y'
-Đây Pt vi phân t2 bậc dạng:
y’+ py = q có No t/quát:
e C Qe dx
y Pdx Pdx
x x dx
dx x x dx Qe
x x dx Pdx
Pdx
2
1 ln
No t/quát yx(C2 x)
b.y''4y'3ye3x
-Pt đặc trưng :k24k30
có No:k13,k21 Pt có No t/quát :
x e C x e C
y ta tìm No riêng Pt ko dạng:
) x ( x Ae '* ' y
) x ( x Ae '* y
x Axe * y
Thay vào Pt đồng hệ số :
x xe * y x e
x ) x ( x x Ae
Pt có No t/quát y(o) C1 C2 1(1) x e x x e C x e C y
) ( 2 C C ) o (' y
x xe x e
x e C x e C ' y
-Giải hệ y e x ex xe x
C C
C C
C C
C C
3
1
1
2
2
2 11 15
1
11 15 1
4 15
15
) ( 17
) (