LUYEN THI VAO LOP 10

Cho  ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M [r]

(1)

Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

1. Chứng minh:BEDC nội tiếp

2. Chứng minh: góc DEA=ACB

3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân giác góc MAN

5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB.

Gợi ý:

y A

x

N E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE

Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB= 12 sđ cung AB Mà sđ ACB= 12 sđ AB góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)

xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA laø phân giác góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA đường trung trực MN.(Đường kính vng góc với dây)AMN cân A AO phân giác góc MAN

5.C/m :AM2=AE.AB.

Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM MAAB =MAAE  MA2=AE.AB



1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng

2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD ntDMB+DCB=2v

Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1)

(2)

Baøi 2:

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ I

1.Tứ giác ADBE hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp

3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý:

D

I

A M O B O’ C

E

3.C/m B;I;E thẳng hàng

Do AEBD hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vng góc với DC B;I;E thẳng hàng

C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; EID vuông IMI đường trung tuyến tam giác vuông DEI MI=MD

C/m MC.DB=MI.DC

chứng minh MCI∽DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp)

5.C/m MI tiếp tuyến (O’)

-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE cân B góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ suy góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI O’I I nằm đường tròn (O’) MI tiếp tuyến (O’) 

1.Do MA=MB ABDE

tại M nên ta có DM=ME

ADBE hình bình hành

Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình thoi 2.C/m DMBI nội tiếp

BC đường kính,I(O’) nên

Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt)

BID+DMB=2vđpcm

(3)

Bài 3:

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường trịn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E.Cmr:MR phân giác góc AED C/m CA phân giác góc BCS

Gợi ý:

D S A M

O

B E C

AEM=MED

4.C/m CA phân giác góc BCS -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vậy góc ADB=SCAđpcm





1.C/m ABCD nội tiếp: C/m A D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng 2.C/m ME phân giác góc AED

Hãy c/m AMEB nội

tiếp

Góc ABM=AEM(

chắn cung AM)

Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD)

Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD)

(4)

Bài 4:

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường trịn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác góc AED C/m: Goùc ASM=ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý:

A

S D

M

B E C

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

Do MC đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD Góc MEA=MEDđpcm

3.C/m góc ASM=ACD

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD

Vậy Góc A SM=ACD

4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy

Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) AC cắt BD MM trực tâm tam giác KBCKM đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm





1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: Góc MDC=BDC=1v Từ suy A vad D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng…

2.C/m ME phân giác góc AED

Do ABCD nội tiếp

(5)

Bài 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB<AC nội tiếp đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DEAC

4 Gọi M trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý:

A

N E O I

B D M C

F

A’

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E làm với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA A’CA đồng dạng

3/ C/m DEAC

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy góc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Mà góc ACA’=1v nên DEAC

4/C/m MD=ME=MF

Gọi N trung điểm AB.Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DEAC MNDE (Đường kính qua trung điểm dây…)MN đường trung trực DE ME=MD

 Gọi I trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình) A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C)

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI đường trung trực DFMD=MF Vậy MD=ME=MF





(6)

Baøi 6:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE

1/C/m MFEC nội tiếp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ 4/C/m góc PQM=90o.

Giải:

A M F

P

B E C

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM) Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).Góc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy :EFM∽ABM đpcm 3/C/m AMP∽FMQ

Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên) ABFE =AMMF m AM=2AP;FE=2FQ (gt)  AP

2 FQ= AM MF ⇒

AP FQ=

AM

FM góc PAM=MFQ (suy từ EFM∽ABM) Vậy: AMP∽FMQ

4/C/m goùc:PQM=90o.

Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc AFM=1vMQP=1v(đpcm)





1/C/m MFEC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)

2/C/m BM.EF=BA.EM

C/m:EFM∽ABM:

Ta có góc ABM=ACM (Vì chắn cung AM)

(7)

Baøi 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD.Có nhận xét I F

A

B O C

F I

D

G E

Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).

BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.đpcm

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vng cân F Cung BF=FC=90o sđgóc GBF= 12 Sđ cung BF=

2 90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG dây BF) Mà góc FED=45o(tính chất hình vng)

Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vng cân FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do

GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC FG nằn đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m I F

Baøi 8:

1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC

2/C/mBFC vuông cân:

Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông)

Góc BCF=45o

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)đpcm C/m F tâm đường tròn

ngoại tiếp BDC.ta C/m F

cách đỉnh B;C;D Do BFC vng cân nên

(8)

Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp C/m: DC2=DE.DF.

3 C/m:DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

A

F O I B C E

D

Ta có: sđgóc BAC= 12 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC= 12 sđcungBC (2) Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vng góc với dây cung EFI trung điểmEF





1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)

2/C/m:DC2=DE.DF.

Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung

SđgócECD= 12 sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây)

Sđ góc E FC= 12 sđ cung EC(Góc nội tiếp)góc ECD=DFC

DCE ∽DFCđpcm

(9)

Bài 9:

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H.Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM

3 C/m Mn phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn

Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau C/m hình 9-a

M

P A I H B Q O

N

1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường trịn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vng

-Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai vuông NQM NAH đồng dạng

3/C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M  Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2

AB×MN

2 =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn MN lớn nhấtMN đường kính M điểm cung AB

Hình 9a

(10)

Bài 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A

2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn

3/ Chứng tỏ : BC2= Rr

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải:

B E

C N F O A I

AEBEO đường trung trực AB hay OEAB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC2=4Rr.

Ta có tứ giác FANE có góc vng(Cmt)FANE hình vngOEI vng E EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu)

Mà AH= BC2 vaø OA=R;AI=r BC

4 =¿ RrBC

2=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông SBCIO= OB+2IC×BC S= (r+R2)

√





1/C/m ABC vuoâng:

Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC=

1

2 BC.ABC vng A

2/C/m A;E;N;F nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân

(11)

Baøi 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm đoạn OB).Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1 C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI

3 Từ O vẽ đường vng góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Giải:

A

O M B H

K I

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o OKH vuông cân KOH=KH

4/Tập hợp điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm đường trịn đường kính OB

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K 14 đường trịn đường kính OB





1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) vaø OBAH=M

Nên M trực tâm tam giác ABI

IM đường cao thứ IMAB

góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng

vuông góc)

Mà  vng OAB có OA=OB OAB vng cân O góc

OBA=45o

góc OMI=45o

3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngồi OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) Góc

(12)

Baøi 12:

Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E

1 C/m AM phân giác góc CMD C/m EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4 Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường trèon nội tiếp CIM

Giaûi:

C

N M A F O B

I D

AMB+EFB=2vñpcm 3/C/m AC2=AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD chắn cung AD vaø AMD=CMA cmt ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn cung nhau) hay NMI=NBIM B làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc nhauMNIB nội tiếpNMB+NIM=2v mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD

5/Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp ICM

Ta phải C/m N giao điểm đường phân giác CIM Theo c/m ta có MN phân giác CMI

Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN phân giác CIM Vậy N tâm đường tròn……

1/C/m AM phân giác góc CMD Do ABCD AB phân giác

tam giác cân COD. COA=AOD

Các góc tâm AOC AOD nên cung bị chắn

cung AC=ADcác góc nội tiếp

chắn cung nhau.Vậy CMA=AMD

2/C/m EFBM nội tiếp

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

(13)

Baøi 13:

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE.Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE.C/m AB2=AI.AH.

4 BH cắt (O) K.C/m AE//CK

B E H

I D

O A

K C

1/C/m:A;B;O;C;H nằm đường tròn: H trung điểm EBOHED(đường kính qua trung điểm dây …)AHO=1v Mà

OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C nằm đường trịn đường kính OA

2/C/m HA phân giác góc BHC

Do AB;AC tiếp tuyến cắt BAO=OAC AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC

COA=BOH CHA=AHBđpcm

3/Xét hai tam giác ABH AIB (có A chung CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ABH∽AIBđpcm

4/C/m AE//CK

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) sđ BKC= 12 Sđ cungBC(góc nội tiếp)

Sđ BCA= 12 sđ cung BC(góc tt dây) BHA=BKCCK//AB

(14)

Baøi 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN.Cmr:AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào?

M C A O B K

D

H I

N

MNIHMN IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường cách I

Do H trung điểm MNAhlà trung tuyến vuông AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD

Gọi K giao điểm AH DO ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông KAHCD mà OICDOI//AH AHIO hình bình hành

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O I nằm đường thẳng // với xy cách xy khoảng R





Baøi 15:

1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân OOCA=CAO; góc

CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM

Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội

tiếp

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ACD∽ANM

3/C/m AOIH hình bình hành

 Xác định I:I tâm đường

tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI giao điểm

(15)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D điểm cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG vng góc với cạnh AB;BC;AC.Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE

3 C/m:QM=AB

4 C/m DE.DG=DF.DH

5 C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) A

H

P O

G B F C

E

M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH

Xeùt hai tam giác DEH DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1)

Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3)

FGD=FCD(cùng chaén cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6)

Từ (2);(4) BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7)

Từ (6)và (7)EDH∽FDG EDDF =DHDG đpcm

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v EDG=BDC

mà EDG=EDB+BDG BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng

haøng





Baøi 16:

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vng đồng dạng: HAP EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM

Mà sđHAB= 12 sñ cung AB; SñHDM= 12 sñ cung QM

cung

AM=QMAB=QM

Q

(16)

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ IKBC(K nằm BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp đường trịn tâm O C/m góc BMC=2ACB

3 Chứng tỏ BC2=2AC.KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC nội tiếp

N

M

A K

B I C

KBC=KCB Vậy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC

Xét  vuông ACB ICK có C chungACB∽ICK  AC

IC = CB

CK IC= BC

2  AC

BC

=BC

CK đpcm 4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi IAC) IAC Cân IIAC=ICA

AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do MNA cân M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA MAN=IAC(đ đ)… 5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C làm thành với hai đầu…) 



Baøi 17:

1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)

2/C/m BMC=2ACB ABMK vaø

MA=AK(gt)BMK

cân BBMA=AKB

Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngồi tam giac KBC)

Do I trung điểm BC KIBC(gt)

KBC cân K

(17)

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động nửa đường tròn.Tia phân giác ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K hình chiếu M lên AC AB

1 C/m:MOBK nội tiếp

2 Tứ giác CKMH hình vuông C/m H;O;K thẳng hàng

4 Gọi giao điểm HKvà CM I.Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào?

C H

A O B I

P Q K

M

2/C/m CHMK hình vuông:

Do  vng HCM có góc 45o nên CHM vuông cân H HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK hình chữ nhật có hai cạnh kề CHMK hình vng

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I giao điểm HK MC;do MHCK hình vngHKMC trung điểm I MC.Do I trung điểm MCOIMC(đường kính qua trung điểm dây…)

Vậy HIMC;OIMC KIMCH;O;I thẳng hàng

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm đường trịn đường kính OM

-Giới hạn:Khi CB IQ;Khi CA IP.Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM





Bài 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác góc ACD,từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1/Chứng minhAHDC nt đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a

1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

CM tia phân giác góc BCAACM=MCB=45o cungAM=MB=90o

dây AM=MB có O trung

điểm AB OMAB hay

gócBOM=BKM=1v

BOMK nội tieáp

(18)

2/HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI

3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường cắt HC K cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt

Xét hai HCAABI có A=H=1v ABH=ACH(cùng chắn cung AH) HCA∽ABI  HCAB=ACBI mà HB=HCđpcm

3/Gọi tiếp tuyến H (O) Hx

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân OOHAD

và OHHx(tính chất tiếp tuyến) neân AD//Hx(1)

Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay điểm B;C

cùng làm với hai đầu đoạn MN góc MNCB nội

tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= AD2 maø cung AD=BCcung

BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ đường kính HDJ= 1v Góc HJD=ACH(cùng chắn

cung nhau)OJK=OCKCJ làm với hai đầu đoạn OK góc

nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp 



x A B

M

H I O J

N K

(19)

Baøi 19 :

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M điểm cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM

3 Gọi giao điểm OH với BC I.MI cắt (O) D.Cmr:CDBM hình thang cân

4 BM cắt OH N.Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN.MC=IN.MA

C N D

Sñ CMA= 12 sđcung

AC=45o.

CHM vng cân M

C/m OH phân giác góc COM:Do CHM vng cân HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm

3/C/m:CDBM thang cân:

Do OCM cân O có OH phân giácOH đường trung trực CM mà IOHICM cân IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân IIDB=IBD MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM thang cân

4/C/m BNI AMC đồng dạng:

Do OH đường trung trực CM NOH CN=NM

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc CMH=45o

NHM=45oMNH vng cân M CHMN hình vng INB=CMA=45o

Do CMBD thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…

và CAM=CBM(cùng chắn cung CM) INB=CMA đpcm

Bài 20:

Cho  ABC nội tiếp (O;R).Trên cnạh AB AC lấy hai điểm M;N

cho BM=AN

1/C/m AOHC nội tiếp: (học sinh tự chứng minh)

2/C/mCHM vuông

cân:

Do OCAB trại trung

điểm OCung

AC=CB=90o. Ta lại coù: M

I

H

(20)

1 Chứng tỏ OMN cân

2 C/m :OMAN noäi tieáp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E.C/m BC2+DC2=3R2.

4 Đường thẳng CE AB cắt F.Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J.C/m BI qua trung điểm AJ

F

A I E M

B J C

AOC=120oAOE=60oAOE tam giác có ADOEOD=ED= R2

p dụng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)

Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R R2 +CD2-CD2=3R2

4/Gọi K giao điểm BI với AJ

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60o

BFC=30o

BC= 12 BF maø AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) vaø AJBCAI//BC có A trung

điểm BFI trung điểm CF Hay FI=IC

Do AK//FI.p dụng hệ Talét BFI có: AKEI =BKBI

Do KJ//CI.p dụng hệ Talét BIC có: KJCJ =BK BI

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)





Bài 21:

Cho ABC (A=1v)nội tiếp đường tròn tâm (O).Gọi M trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D

1 C/m ABNM nội tiếp CN.AB=AC.MN

1/C/m OMN caân:

Do ABC tam giác nội tiếp

(O)AO vaø BO laø phân giác ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R

BM=AN(gt)OMB=ONA OM=ON OMN cân O

2/C/m OMAN nội tiếp:

do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO

mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v AMON nội tiếp

3/C/m BC2+DC2=3R2.

Do BO phân giác đều BOAC hay BOD vuông D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta

coù:

BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2= =BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)

Mà OB=R.AOC cân O có OAC=30o

K D

N O

Hình 20

AK FI =

(21)

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB E.C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

A

M D

B O N C

E

Hay BDDC Qua điểm D có hai đường thẳng BD DM vng góc với DCB;M;D thẳng hàng

C/m OM tiếp tuyến (I):Ta có MO đường trung bình ABC (vì M;O trung điểm AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO tiếp tuyến đường tròn tâm I

3/C/m BMOE hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I trung điểm MC;O trung điểm BCOI đường trung bình MBCOI//BM hay

OE//BMBMOE hình bình hành 4/C/m MN phân giác góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM) MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD) ANM=MNDđpcm





Bài 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a.Gọi I điểm đường chéo AC.Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt

AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ hình vng

1/

C/m ABNM nội tiếp:

(dùng tổng hai góc đối)

C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông ABC NMC đồng dạng

2/C/m B;M;D thẳng hàng Ta có

MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC

BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

I

(22)

2 Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F.C/m MFIN nội tiếp đường tròn.Xác định tâm

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích theo a C/m MFIE nội tiếp

A M D F

E P I N B Q C

Hay NQACNQ//DB

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vng)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai điểm F;I làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp

Tâm đường tròn giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP hình thang có PN=MQMNQP thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 12 SAMIP+ 12 SMDNI+ 12 SNIQC+ 12 SPIQB

= 12 SABCD= 12 a2

5/C/m MFIE noäi tiếp:

Ta có tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp





Bài 23:

Cho hình vng ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC E.BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE noäi tiếp

2 Chứng tỏ BEN vng cân

1/C/m INCQ hình vng: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vng N có

ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vng)NIC vng cân N

INCQ hình vuông

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD hình vuông DBAC

Do IQCN hình vuông NQIC

(23)

3 C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC IE F vng

5 C/m FIE tam giác vuông

Q B A

M

D N C

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

BIMN Mà ENBM(cmt)BI EN hai đường cao BMNGiao điểm EN BI

là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng

Do H trực tâm BMNMHBN(1)

MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)

MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v maø

MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)

Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng

4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung

NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ

với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) ECB=45oEIB=45o

Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN

vng cân)HIF=45o Từuvà vEIF=1v đpcm

5/ * C/mBM đường trung trực QH:Do AI=BC=AB(gt cmt)ABI cân B.Hai vuông

ABM BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân B có

BM phân giác BM đường trung trực QH

*C/mMQBN thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội

tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o

MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)

 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o

MNB=QBNMQBN thang cân

Bài 24:

Cho ABC có góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM vng góc với AB;AC.Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK nội tiếp C/m JA.JH=JK.JM

1/C/m MDNE nội tiếp

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

MEN=1v;MDN=1v(t/c hình

vuông)

MEN+MDN=2vđpcm

2/C/m BEN vuông cân: NEB vuông(cmt) Do CBNE nội tiếp

ENB=BCE(cùng chắn cung

BE) mà BCE=45o(t/c hv)ENB=45oñpcm

3/C/m MF qua trực tâm H

BMN

E

H I

(24)

3 Từ C kẻ tia Cxvới AC Cx cắt AH kéo dài D.Vẽ HI;HN vuông góc với DB DC Cmr : HKM=HCN

4 C/m M;N;I;K nằm đường tròn

A

J M K

B H C I

N

D

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH)

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN

4/C/m: M;N;I;K nằm đường tròn

Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)

Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)

Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH

mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K nằm đường tròn

Baøi 25 :

Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường trịn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O đường tròn C?m AMDE

4 C/m AHOM hình bình hành

1/C/m AMHK nội tiếp: Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xét hai tam giác:JAM JHK có: AJM=KJH (đđ).Do AKHM nt

HAM=HKM(

chắn cung HM)

JAM∽JKH đpcm

3/C/m HKM=HCN AKHM nội tiếp

HKM=HAM(cùng

(25)

A

E

B H M C

D

O

BDE=BCEHai điểm D;C làm với hai đầu đoạn thẳng BE… Xác định tâm O:O giao điểm hai đường trung trực BE BC 3/C/m:AMDE:

Do M trung điểm BCAM=MC=MB= BC2 MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE

Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v AMED 4/C/m AHOM hình bình hành:

Do O tâm đường trịn ngoại tiếp BECDOM đường trung trực BC OMBCOM//AH

Do H trung điểm DE(DE đường kính đường trịn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM hình bình hành





1/C/m D;H;E thẳng hàng: Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)DE đường kính

D;E;H thẳng hàng 2/C/m BDCE nội tiếp:

HAD cân H(vì

HD=HA=bán kính đt tâm H)HAD=HAD maø

HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

I

(26)

Baøi 26:

Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K điểm dối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC.E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI=AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ABC

5 Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC

I A

K

B H C

2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB đường trung trực KHAH=AK AI=AK(=AH)

3/C/m A;E;H;C;I nằm đường tròn: DoEABvà ABlà trung trực KHEK=EH;EA

chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân A(theo c/m AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I

cùng nằm đường tròn ký hiệu (C)

Theo cmt A;I;CV;H nằm đường trịn(C’)  (C) và (C’) trùng có

chung điểm A;H;I không thẳng hàng) 4/C/m:CE;BF đường cao ABC

Do AEHCI nằm đường tròn có AIC=1vAC đường kính.AEC=1v

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE đường cao ABC.Chứng minh tương

tự ta có BF đường cao…

5/Gọi M giao điểmAH EC.Ta C/m M giao điểm đường phân giác HFE

EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)

HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

C/m tương tự có EC phân giác FHEđpcm

1/C/m AICH nội tiếp: Do I đx với H qua ACAC trung trực

của HIAI=AH

HC=IC;AC chung

AHC=AIC(ccc) AHC=AIC mà

AHC=1v(gt)AIC=1v AIC+AHC=2v AICH

nội tiếp F

E

M

Hình 26

EHM=MHF

(27)

Bài 27:

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O).Gọi M điểm cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC tia BA laáy AD=AC

1 C/m: BAC=2BKC

2 C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm đường tròn Gọi giao điểm DC với (O) I.C/m B;O;I thẳng hàng C/m DI=BI

D

A

I K M

B C

AD=AC(gt)ADC cân AADC=ACDBAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp

ưXác định tâm:Do AB=AC=ADA trung điểm BD trung tuyến CA= 12

BDBCD vuông C

.Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD

vng K có trung tuyến KAKA=

2 BD AD=AB=AC=AK A tâm đường

troøn…

3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI đường kính B;O;I thẳng

hàng

4/C/mBI=DI:

ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AIDB,có A trung

điểmAI đường trung trực BDIBD cân IID=BI ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân

DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân Iđpcm

Baøi 28:

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngồi MKC)

Mà

MK=MC(gt)MKC

cân MMKC=MCK BMC=2BKC

BAC=2BKC

2/C/mBCKD nội tiếp: Ta có

BAC=ADC+ACD(góc ngồi ADC) mà

(28)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I điểm cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC ID cắt AB M;N

1 C/m D;M;N;C nằm đường tròn C/m NA.NB=NI.NC

3 DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB

4 C/m :IA2=IM.ID.

E F I B A

D C

IAB=ICB(cuøng chắn cung BI)

INA=BNC(đ đ)NAI∽NCBđpcm 3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung IA=IB) hay EDF=ECF hai điểm D C làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),maø ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB 4/C/m: IA2=IM.ID.

AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung nhau) đpcm

ÐÏ(

&

Bài 29:

Cho hình vng ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F.Kẻ trung tuyến AI AEF,AI kéo dài cắt CD K.qua E

dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G

1/C/m D;M;N;C nằm đường trịn

Sđ IMB= 12 sđcung(IB+AD) Sđ NCD= 12 Sđ cungDI Mà cung IB=IAIMB=NCD IMB=NCD

Ta lại có IMN+DMN=2v

NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp

2/Xét 2NBC NAI có:

M N  O

(29)

1 C/m AECF nội tiếp C/m: AF2=KF.CF

3 C/m:EGFK hình thoi

4 Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi

5 Gọi giao điểm EF với AD J.C/m:GJJK

Giaûi:

F

A J D G

I K

B

3/C/m: EGFK hình thoi -Do AK đường trung trực FEGFE cân G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vng góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI

đường trung trực GKGI=IK,mà I F=IEGFKE hình thoi

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông

cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK ưC/m chu vi tam giác CKE khơng đổi:Gọi chu vi C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi

5/C/m IJJK:

Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình

vng) JIK=45oJIK vng vân IJI=IK,mà IK=GI JI=IK=GI= 12 GKGJK vuông J hay GJJK

Baøi 30:

Cho ABC.Gọi H trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O So sánh BAH OAC

3 CH cắt OD E.C/m AB.AE=AH.AC

1/C/m AECF nội tiếp: FAE=DCE=1v(gt)

 AECF nội tiếp

2/C/m: AF2=KF.CF.

Do AECF nội tiếp

DCA=FEA(cung chắn cung

AF).Mà DCA=45o

(Tính chất hình vuông)

FEA=45oFAE vuông

cân A có FI=IEAIFE

FAK=45o

FKA=ACF=45o.Vaø KFA

chung

FKA∽FCA  FA

FC= FK

FA ñpcm

C E

(30)

4.Gọi giao điểm AI OH G.C/m G trọng tâm ABC A

Q B

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm đường trịnAD đường kính.Vậy O trung điểm AD

2/So sánh BAH OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD hình bình hành) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)ABH∽ACEđpcm

4/C/m G trọng tâm ABC.ta phải cm G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= 13 AI

Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét AGH  OIAH=GI

AG Do I trung điểm HDO trung ñieåm AD OI AH=

1

2 (T/c đường trung bình) OIAH=GI

AG=

2 GI=

2 AG Hay GI=

3 AIG laø trọng tâm ABC

ÐÏ(

&

Bài 31:

Cho (O0 cung AB=90o.C điểm tuỳ ý cung lớn AB.Các đường

cao AI;BK;CJ ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM AN gặp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường trịn c/m: BI.KC=HI.KB

3 C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành C/m:OC//DH

1/c/m:ABDC nội tiếp: Gọi đường cao

ABC AN;BM;CN

Do

AQH+HMA=2vAQHM

nội tiếpBAC+QHM=2v

mà QHM=BHC(đ đ) BHC=CDB(2 góc đối hình bình hành)

BAC+CDB=2VABDC

nội tiếp

Cách xác định tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành) M

H G

N I C

D Hình 30

Bài có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí C.Cách c/m tương tự

(31)

N

D A M

K B C I J

H

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH tam giác vuông cân.Ta

lại có:

AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà sđMAB= 12 sđMB

SđABM= 12 sđAM cung MA+AM=AB=90o.

AMD=45o AMD=BMH(đ đ) BMI=45oBIM vuông cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN

đường kính (O) 5/C/m OH//DH

Do MN đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) mà CAN =45o MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung

MC=90o

MOC=90oOCMN

Do DBNH;HADN;AH DB cắt MM trực tâm DNH MNDHOC//DH

ÐÏ(

&

Bài 32:

Cho hình vng ABCD.Gọi N điểm CD cho CN<ND;Vẽ đường trịn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tieáp

3 Gọi giao điểm ME NF Q.MN cắt (O) P.C/m B;Q;P thẳng hàng

 O

(32)

4 Chứng tỏ ME//PC BP=BC C/m FPE tam giác vuông

A B F

M

Q

P

D N C

FME=45o MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o MABE nội tiếp

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBMQ trực tâm BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay BPMN(2) Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng

4/C/m MF//PC

Do MFN=MEN=1vMFEN noäi tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF) Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF (O)

FEM=FCPME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP MEBNCPBN.Đường kính MN vng góc với dây CPBN đường trung trực CP hay BCP cân BBC=BP

5/C/m FPE vuoâng:

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm ÐÏ(

&

Baøi 33:

Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB.AB CD cắt E.BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE c/m:AQEC nội tiếp

3 C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD

1/c/m:BFN vuông cân:

ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o (tính chất hình vuông)

ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

BFN vuông cân F

2/C/m MEBA Nội tiếp: DoFBN vuông cân F

 O

E

(33)

Q

E B A C

O D

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A C làm với hai đầu đoạn QE…đpcm

3/C/m: KA.KC=KB.KD C/m KAB∽KDC 4/C/m:QE//AD:

Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) maø QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD

ÐÏ(

&

Baøi 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE CF cắt (O) M N.Dựng hình bình hành AECD

1 C/m:D nằm đường thẳng BF C/m ADCF nội tiếp

3 C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC

5 Gọi giao điểm AF với MN I.Cmr:DF qua trung điểm NI C

D

B

E N J A O

1/C/m CB phân giác góc ACE: Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v

Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD

Do AB=AC(gt)BAD cân

BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA

(Cùng chắn cung AB)BCE=BCA đpcm

2/C/m AQEC nội tiếp:

Ta có sđ QAB= 12 SđAB(góc tiếp tuyến dây)

Sđ ADB=Sđ 12 AB K

Hình 33

1/C/m:D nằm đường thẳng BF

Do ADCE laø hình bình

hànhDE AC hai đường

chéo.Do B trung điểm AC B trung điểm DE

hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng D nằm BF

2/C/m ADCF nội tiếp: Do ADCf hình bình hành

DCA=CAE(so le)

(34)

I

F

M

hai điểm F C làm với đầu đoạn AD…đpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM ta c/m CEF∽CNM

4/C/m:MN//AC

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE hình bình hành DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN

5/C/m:DF qua trung điểm NI:Gọi giao điểm NI với FE J Do NI//AC(vì MN//AB)

NJ//CB,theo hệ talét JEFB=NJBC Tương tự IJ//AB JFFB=JI

AB MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

ÐÏ(

&

Bài 35:

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M điểm cung nhỏ CB

1. C/m:ACBD hình vuông

2. AM cắt CD ;CB P I.Gọi J giao điểm DM AB.C/m IB.IC=IA.IM

3. Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM

4. Tính diện tích AID theo R

C

M

A O

Hình 34

JI AB=

NJ BC

1/C/m:ACBD hình vuông:

Vì O trung điểm AB;CD nên ACBD hình bình hành

Mà AC=BD(đường kính) ACDB

(gt)hình bình hành ACBD hình

vuông

2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét IAC IBM có CIA=MIB(đ đ)

IAC=IBM(cùng chắn cung CM)

IAC∽IBMđpcm

3/C/m IJ//PD

Do ACBD hình vuông CBO=45o

Và cung AC=CB=BD=DA

AMD=DMB=45o

P I

(35)

D

IMJ=IBJ=45oM B làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp IJB+IMB=2v mà IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Mà PDAB(gt) IJ//PD

C/m IJ laø phân giác góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp  IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM) -Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM)

 IJC= IJMđpcm

4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có ICB khoảng cách từ đến AD CA.Ta lại có IAD CAD chung đáy đường cao



S

1

2 SABCD.

S

1

2 SABCD.SABCD=

1

2 AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc)SABCD= 12 2R.2R=2R2SIAD=R2

ÐÏ(

&

Baøi 37:

Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N

1. C/m:  OHO’ tam giác vuông 2. C/m:HB.HO’=HA.HO

3. C/m: HOO’∽HBA

4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp

5. C/m AMN vuông cân

A

M O O’ N

B H C Hình 35

1/C/m:OHO’ vuoâng:

Do AHB=1v O tâm đường tròn nội tiếp AHBO giao

điểm ba đường phân giác tam giácAHO=OHB=45o

Tương tự AHO’=O’HC=45o.

O’HO=45o+45o=90o

hay O’HO vuông H

2/C/m: HB.HO’=HA.HO Do ABC vng A

AHBCABH=CAH(cùng phụ

(36)

Phân giác hai góc trênOBH=O’AH OHB=O’HA=45o HBO∽HAO’ HBHA=OH

O ' H(1) ñpcm

3/c/m HOO’∽HBA Từ (1) HBHA=HO

HO' 

HO'

HA = HO

HB (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO HO’ HOO’tỉ lệ với cặp cạnh HBA góc xen

BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA

4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm

C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) hai tam giác vuôngHBA HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm

5/C/m AMN vuông cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà

AMO+OMB=2vAMO=OHB mà OHB=45oAMO=45o.Do AMN vng A có AMO=45o.

AMN vng cân A

ÐÏ(

&

Baøi 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường tròn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1. C/m:AIMD nội tiếp

2. C?m CM.CA=CI.CD

3. C/m ND=NC

4. Cb cắt AD E.C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM

5. Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R D

N

M K

1/C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai CMD CAI

đồng dạng 3/C/m CD=NC:

sđNAM= 12 sđ cung AM (góc tt dây) sđMAB= 12 sđ cung AM

(37)

E C A

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC NDM=NMDNMD cân NND=NMNC=ND(đpcm)

4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường phân giác EMI (xem câu 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO  đềuKI= R2

√

R

√

R

2 16 +

R2

4 =

R

√

4 CIA∽BMA( hai tam giác vuông có góc CAI chung) CABA =IA

MA MA=

AB×AI

AC = 2R

R

2 :

R

√

= 4R7

√

R

√

R

√

&

Bài 38:

Cho ABC.Gọi P điểm nằm tam giác cho goùc

PBA=PAC.Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp C/m HB.KP=HP.KC

3 Gọi D;E;F trung điểm PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F

A

H K P

I O B Hình 37

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối)

2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai  vuoâng HPB vaø KPC

đồng dạng

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO DF//EP (FE FD đường trung bình

PBC)DPEF hình bình

hành.DP=FE.Do D trung

(38)

D E

B F C

tuyến  vng HBPHD=DPDH=FE C/m tương tự có:DF=EK

4/C/m đường trung trực HK qua F

Ta phải C/m EF đường trung trực HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngồi tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP

Maø ABP=ACD(gt)

Do PEFD laø hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH đpcm

ÐÏ(

&

Baøi 39:

Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vng góc với

AD;DB;AB

1. C/m DEFC nội tiếp

2. C/m:CF2=EF.GF.

3. Gọi O giao điểm AC DB.Kẻ OICD.Cmr: OI qua trung điểm AG

4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp

A G B E

F O

D J I C

1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F làm với hai đầu đoạn thẳng CD)

Hình 38

 HDP=KEP(1)

(39)

2/C/m: CF2=EF.GF: Xeùt

ECF CGF có:

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE

-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm

3/C/m Oi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường tròn tâm O đường kính AC J Do AG//CJ CGAGAGCJ hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I trung điểm CJ(đường kính  với dây…)đpcm

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt (O)AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)EOG=2.ADC(1)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn  vuông EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o

-GBC(ßß).Từ (ß)và(ßß)EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

Từ (1) (2)EOG=EFGEOFG nt

ÐÏ(

&

Baøi 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F

1.C/m:C;B;F thẳng hàng

2.C/m CDEF nội tiếp

3.Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

4.C/m A tâm đường tròn nội tiếp BDE

5.Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’) D E

A O

I O’ C

B

F

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D làm với hai đầu đoạn CF… đpcm

(40)

3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai  vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ)  DAC ∽ø EAFñpcm

4/C/m A tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân giác DBE (Xem cách c/m 35 câu 3)

5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE tiếp tuyến chung ODDE O’EDE.Vì OA=OD AOD cân OODA=OAD.Tương tự O’AE cân O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ) ODO’=OEO’D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O)

(O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE tt chung hai đường trịn hai đường trịn có bán kính nhau.(hai đường trịn nhau)

ÐÏ(

&

Baøi 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF

1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn

2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2.

3. Khi A di động xy I di động đường nào?

4. C/m KE vaø KF laø hai tiếp tyuến (O)

B

O

I F y H

E

A C

1/

C/m:A;B;C;H;O nằm đường trịn: Ta có

ABO=ACO(tính chất tiếp

tuyến).Vì H l;à trung điểm dây FE nên OHFE

(đường kính qua trung điểm dây) hay kính AO

(41)

K

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H nằm đường trịn đường kính AO 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng B có BI đường cao.Aùp dung hệ thức lượng tam giác vng ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.

OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA OIK có IOH chung.AHO∽KIO OAOK=OHOI OI.OA=OH.OK (2)

Từ (1) (2)đpcm

4/C/m KE KF hai tt đuờng tòn (O)

-Xét hai EKO EHO.Do OH.OK=R2=OE2 OHOE =OEOK EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE mà OHE=1vOEK=1v hay OEEK điểm E nằm (O)EK tt (O)

-c/m

ÐÏ(

&

Baøi 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D.Qua A kẻ AE AF vng góc với BN CM.Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1 C/m AFDE nội tiếp C/m: AB.NC=BN.AB C/m FE//BC

4 Chứng tỏ ADIC nội tiếp Chú ý toán AB>AC

A

(42)

K

B I C

1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D giao điểm đường phân giác BN CM củaABN  BDDN=ABAN (1) Do CD phân giác  CBN BDDN=BC

CN (2) Từ (1) (2)  BCCN=ABAN đpcm

3/c/M fe//bc:

Do BE phân giác ABI BEAIBE đường trung trực AI.Tương tự CF phân giác ACK CFAKCF đường trung trực AK E F trung điểm AI AK FE đường trung bình AKIFE//KI hay EF//BC

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF ntDAE=DFE(cùng chắn cung DE) Do FE//BCEFD=DCI(so le)

ÐÏ(

&

Baøi 43:

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường trịn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC.Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1.Chứng tỏ D nằm BC

2.Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC

3.C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng

4.Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o. 5.Tính diện tích tam giác AMC

A

O N O’ Hình 42

DAI=DCIADIC nội tiếp

1/Chứng tỏ:D nằm đường thẳng BC:Do

ADB=1v;ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn)

ADB+ADC=2v

D;B;C thẳng hàng

(43)

B D E C M

-Tính DB: Theo PiTaGo  vuông ABC có: BC=

√

hệ thức lượng tam giác vng ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE AMC.Có ADE=1v(cmt) AMC=1v (góc nt

chắn nửa đường trịn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau)

DAE∽MAC DA

MA= DE MC=

AE

AC (1)Ñpcm

3/C/m:AN=NE:

Do BAAO’(ABC Vuông A)BA tt (O’)sđBAE=

2 sđ AM

SđAED=sđ 12 (MC+AD) mà cung MC=DMcung MC+AD=AM

 AED =BAC BAE cân B mà BMAENA=NE

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON đường TB ABEON//BE OO’//BE

O;N;O’ thẳng hàng

4/Do OO’//BC cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vng O’ có O’I trung

tuyến INO’ cân IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân

OONA=OANOAI=IO’OOAO’I ntOAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v OIO’=1v

5/ Tính diện tích AMC.Ta có SAMC= 12 AM.MC Ta có BD= AB

2

BC =9 DC=16

Ta lại có DA2=CD.BD=16.9

AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE=

√

Từ(1) tính AM;MC tính S

ÐÏ(

&

Bài 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60o, cung BC=90o

cung CD=120o.

1. C/m ABCD laø hình thang cân

2. Chứng tỏ ACDB

3. Tính cạnh đường chéo ABCD

4. Gọi M;N trung điểm cạnh DC AB.Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN

cắt DB Q.C/m MN phân giác goùc PMQ

P

A J N K B

Q

I O

Hình 43

1/C/m:ABCD hình thang cân:Do cung BC=90o

BAC=45o (goùc nt

bằng nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o



AD=90o

ACD=45o

BAC=ACD=45o.AB//CD

Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.

 BCD=CDA ABCD

thang cân 2/C/mACDB:

Gọi I giao điểm AC BD.sđAID=

2 sđ

cung(AD+BC)=180o=90o.ACDB.

(44)

D

M

C E

Do cung BC=90o BOC=90o BOC vuông cân OBC=AD=R

√

DOC=120o.Keû OKCDDOK=60osin 60o= DK

OD DK=

R

√

2 CD=2DK=R

√

-Tính AC:Do AIB vng cân I2IC2=AB2IA=AB

√

R

√

2 Tương tự IC=

R

√

2 ; AC =

DB=IA+IC =

3 1+√¿

¿

R

√

¿

R

√

R

√

4/PN cắt CD E;MQ cắt AB I;PM cắt AB J

Do JN//ME  JN ME=

PN PE

Do AN//DE  AN

DE = PN PE Do NI//ME  NI

ME= NQ QE

NB//ME  NB

DE= NQ QE

NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN phân giác… ÐÏ(

&

Bài45:

Cho  ABC có cạnh a.Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc

B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC Gọi O trung

điểm EB

1 C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

2 Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC thang cân.Tính diện tích

3 c/m EC phân giác góc DAC C/m FD đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

6 Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường trịn

E A Hình 44

AN DE =

JN

ME Vì NB=NA

 JNME=NI ME NI

(45)

N O 

D

B F C M

1/Do ABC tam giác có D giao điểm đường phân giác góc A BBD=DA=DC mà DB=DEA;B;E;C cách DAEBC nt (D)

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác ta có: DB=

AB Sin180

o n

=AB

2sin 60o=¿ a

√

Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giác vng EDB có:EB2=2ED2=2.( a

√

3 )

2. EB= a3

√

a

√

2/C/m EBMC thang cân:

Góc EDB=90o góc tâm (D) chắn cung EB

Cung EB=90ogóc ECN=45o.

EFC vng cân FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o)

EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vuông cân FBC=EM EBMC thang cân

Do EBMC thang cân có hai đường chéo vng gócSEBMC= 12 BC.EM

(BC=EM=a)SEBMC= 12 a2

3/C/m EC phân giác góc DCA: Ta có ACB=60o;ECB=45o

ACE=15o

Do BD;DC phân giác đều ABC DCB=ACD=30o ECA=15o ECD=15o ECA=ECDEC phân giác góc ECA

4/C/m FD đường trung trực MB:

Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45o

BEF=DEC vaø

DEC=DCE=15o.Maø BE F=BDF(cùng chắn cung BF) NED=NBD(cùng chắn

(46)

DF EC.Do DC//BM(vì BMCE hình thang cân)DFBM nhưmg BFM vuông cân FFD đường trung trực MB

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB)

ENB=90o(cmt);ENA góc ngồi

ANCENA=NAC+CAN=45o ENA+ENB+BND=180oA;N;D thẳng hàng

6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB

S(O)=.OE2=.

(

a

√

6

)

a2π

6 S

2 (O)= a

π

12 S quạt EBD= π ×BD

2 90o 360o =

π

4×

(

a

√

)

a

π

1

2 DB2= a

Svieân phân=S quạt EBD - SEDB=

a2π

12

-a2

6 =

a2(π −2) 12

S =

a

2

π

12

-a2

(π −2) 12 =

a2

6

ÐÏ(

&

Baøi 46:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1 C/m BD phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB

4 C/m goùc AFD=AED

F A

B O C

1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung

AD=DC(gt)ABD=

DBC(hai góc nt chắn hai cung

nhau)BD phân giác

của góc ABC *Do cung AD=DC

góc AOD=DOC(2

cung hai góc tâm nhau) D E

I

(47)

Hay OD phân giác  cân AOCODAC Vì BAC góc nt chắn nửa đường tròn BAAC 2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp 3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA= 12 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD= 12 sđ cung DC (góc tt dây)

Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD phân giác ICE.Nhưng CDDB (góc nt chắn nửa đt)CD vừa đường cao,vừa phân giác ICEICE cân CIC=CE

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC chắn cung DC) 4/Tự c/m:

ÐÏ(&(ÐÏ Baøi47:

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EFAD F

1 C/m:ABEF nt

2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA

3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp CJD

4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

C B

E

I M

A F O D

Gọi M trung điểm ED

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông

FEDFM=EM=MD= 12 EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA phân giác góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF OD//BA

ADB=AFE

1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA FDE coù goùc D chung

BDA∽FDEđpcm 3/C/m IE tâm đường trịn ngoại tiếp FBC:

Xem câu baøi 35.

4/ C/m: BI2 =BF.BC-IF.IC

(48)

BMF=BCFBCMF nội tiếp

*Ta có BFM∽BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt) BMF=BCI(cmt)  BFBI =BMBC BF.BC=BM.BIu

* IFM∽IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn cung CM) IBFI =ICIM IC.IF=IM.IB v

Lấy utrừv vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2 ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường trịn.Tia PR cắt (O) C

1 C/m ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J.C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP RR

I P

J Q A

R

C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP

Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ AIC=APC(cùng chắn cung AC) APC=JPQ=45o

JIC=QPJ

Hơn PCI=IAP( chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ 4/

ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 49:

1/ C/mABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR hvuông có PC đường chéo

PC pg góc APB cung

AC=CB dây AC=CB ABC

vuông cân

2/C/m JANQ nội tiếp:

Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQPAJ=QPJ  góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ

và PQJ+JQB=2v

JAB+JQB=2vJQBA nt

ÂO

B

(49)

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường tròn lấy điểm M cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tt Ax By D C

1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp

2. Chứng tỏ AD.BC=R2.

3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh:AMFN hình thang cân

4. Xác định vị trí M nửa đường trịn để DE=EF

F

C E

M D

N A O B

1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối 2/C/m: AD.BC=R2.

ßC/m:DOC vng O: Theo tính chất hai tt cắt ta có ADO=MDO

MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v

ßp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOC có OM đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) OM=R

ñpcm

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD đường trung trực AM hay

DOAM Vì FAON;NMFO(t/c tt) FA cắt MN D D trực tâm FNODOFN.Vậy AM//FN

Vì OAM cân OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO AMO=NFO FNO=NFO FNAM thang cân

4/Do DE=FE nên EM trung tuyến  vuông FDMED=EM.u Vì DMA=DAM

DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân D hay DM=DEv.Từ uvà vEDM  ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm vị trí cho cung

AM=1/3 nửa đường trịn

ÐÏ(&(ÐÏ Bài 50:

(50)

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh:BHCD nt

1 Tính góc CHK

2 C/m KC.KD=KH.KB

3 Khi E di động BC H di động đường nào?

A D

B E C H

K

KCB KHD đồng dạng

4/Do BHD=1v không đổi E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB

1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H C làm với hai đầu đoạn thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt DBC=DHK(cùng

chắn cung DC) mà DBC=45o (tính chất hình

vuông)DHC=45o mà

DHK=1v(gt)CHK=45o

3/C/m KC.KD=KH.KB