Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Lê Phương Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG : NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN 1.2 THỨ PHÂN TRỌNG TÂM 1.3 ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH 11 1.4 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 13 1.5 NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO 15 1.6 KHÔNG GIAN TOPO 18 1.7 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG 18 1.8 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH 20 1.8.1 Các định nghĩa 20 1.8.2 Các phép biến đổi xích xích đồng luân 30 1.8.3 Đồng cấu cảm sinh 34 1.8.4 Đồng điều tương đối 37 CHƯƠNG : ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 42 2.1 ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ 42 2.1.1 Đơn hình kỳ dị xích kỳ dị 42 2.1.2 Đồng cấu biên Phức kỳ dị 44 2.1.3 Nhóm tương đối, dãy khớp dài 52 2.2.TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ PHÂN TRỌNG TÂM… 61 2.3 ĐỊNH LÝ KHOÉT 66 CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 86 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG 86 3.2 ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN 100 KẾT LUẬN 102 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Topo đại số nhánh tốn học sử dụng cơng cụ đại số để nghiên cứu khơng gian topo Có nhiều định lý topo định lý Jordan, định lý bất biến miền phát biểu đơn giản việc chứng minh chúng phức tạp thường phải dùng đến topo đại số Định lý đường cong Jordan mang tên nhà toán học người Pháp Camille Jordan, người đưa chứng minh cho định lý Định lý phát biểu hiển nhiên để có chứng minh hồn chỉnh thật không dễ chút Trong nhiều thập kỉ chứng minh Jordan coi có thiếu sót chứng minh đầy đủ Oswald Veblen, nhiên điều gần bị Thomas C Hales người khác nghi ngờ Ngày đa số chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ tô pô đại số Định lý tổng qt hóa lên khơng gian có số chiều cao Do đề tài tìm hiểu lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan Tôi hi vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết đồng điều kỳ dị hy vọng tìm số ứng dụng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nêu định nghĩa, tính chất lý thuyết đồng điều kì dị ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong Jordan, định lý bất biến miền” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị Phạm vi nghiên cứu không gian Topo Topo đại số Phương pháp nghiên cứu 4.1 Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức 4.2 Thu thập báo khoa học, giảng tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Tham gia buổi thảo luận để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị Chứng minh chi tiết làm rõ mộ số định lý mà phải dùng đến topo đại số giải Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm có ba chương: Chương 1: Những kiến thức Trình bày kiến thức đại số phạm trù, hàm tử, phép biến đổi tự nhiên topo tính liên thơng, liên thơng đường, topo thương, phép đồng phép dán, nhóm topo, ví dụ khơng gian topo cầu, mặt cầu, mặt xuyến, nhóm topo cổ điển phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân đồng điều đơn hình Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị Trình bày hàm tử đồng điều kỳ dị, đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ dị Chương 3: Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị Trình bày chứng minh định lý khái quát đường cong Jordan định lý bất biến miền CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN Định nghĩa 1.1.1 Đơn hình Trong khơng gian n , cho tập hợp điểm  p , , p  độc lập affine Tập k hợp tất điểm  x n  x   i pi , i  0,1,  i  k k i 0 i 0 gọi đơn hình k – chiều hay k – đơn hình Ta ký hiệu    p0 , , pk  , p0 , , pk đỉnh đơn hình  dim  k chiều đơn hình  Nhận xét 1.1.1 Mỗi đơn hình tập đóng, compact Với x    p0 , , pk  ,  p , , p  độc k lập affine nên x biểu diễn cách dạng k x   i ( x) p i i 0 Trong đó,   ( x)  1,  ( x)  0,1 với i  0, k k i 0 i i Định nghĩa 1.1.2 Phức đơn hình Một phức đơn hình họ hữu hạn K    gồm đơn hình khơng gian n thỏa tính chất sau (i) Nếu  K mặt  thuộc K (ii) Nếu  ,  K         mặt chung Cặp ( K , K ) gọi đa diện Khi đó, K  sdK gọi phân tích đơn hình đa diện, K  K gọi giá K Chiều đa diện ( K , K ) , ký hiệu dim( K , K ) định nghĩa sau dim( K , K )  max dim /   K Đường kính K ký hiệu meshK đường kính định nghĩa sau meshK  max  ( ) /   K Định nghĩa 1.1.3 Đa diện Cho ( K , K ) đa diện, L  K Nếu L phức đơn hình L gọi phức đơn hình K Khi đó, ( L, L ) gọi đa diện đa diện ( K , K ) , với L giá L Nhận xét 1.1.2 Cho K phức đơn hình   L  K Khi đó, L phức đơn hình K với đơn hình  L , mặt  thuộc L Nhận xét 1.1.3 Với r  , ta đặt K r    K dim  r Khi đó, K r phức đơn hình K Nhận xét 1.1.4 Nếu  K , K  đa diện K phức đơn hình K gọi tập hợp đỉnh đa diện  K , K  Với đơn hình  K, đặt F ( ) tập hợp tất mặt  Khi đó,  , F ( )  đa diện  K , K  Định nghĩa 1.1.4 Cho ( K , K ) đa diện  K Hợp tất mặt thật  ký hiệu Bd Định nghĩa 1.1.5 Cho ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó,  K gọi giá x , ký hiệu  ( x) ,  đơn hình có chiều nhỏ chứa x  ( x) biểu diễn dạng  ( x)    K , x   Nhận xét 1.1.5 Cho  K với ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó,    ( x) x  \  Nhận xét 1.1.6 Cho  K với ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó, x   ( x) mặt  Y liên tục Nhận xét 1.1.7 Với không gian topo Y , ánh xạ f : K  f  :   Y liên tục, với  K Định nghĩa 1.1.6 Cho ( K , K ) đa diện Với đỉnh p K, tập hợp K\   K , p   gọi hình p, ký hiệu Stp Nhận xét 1.1.8 Stp tập mở chứa p không chứa đỉnh khác đa diện ( K , K ) Định lý 1.1.1 Cho p0 , p1 , , pn đỉnh đa diện ( K , K ) Khi (i) n i 0 Stpi    p0 , p1 , , pn  đơn hình K (ii) Nếu    p0 , p1 , , pn  đơn hình K n i 0 Stpi tập hợp gồm tất điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt Ta nhận xét  p0 , p1 , , pt  đỉnh đa diện K với x K , x biểu diễn cách dạng x  i 0 i ( x) pi , t i  0,1, với i  1, t Ta có i ( x)  0,1 pi  ( x) Khi đó, i ( x) gọi tọa độ x pi Ngược lại, i ( x)  pi  ( x) 89 Ta xét X không gian n (hoặc S n ), A tập đóng X Do X \ A mở X nên X \ A liên thông đường địa phương Từ X \ A liên thông X \ A liên thông đường Sử dụng Bổ đề trên, việc chứng minh X \ A liên thông đồng với việc chứng minh H ( X \ A) nhóm tầm thường  ,i  n  i  Bổ đề 3.1.2 Cho n  1, H i ( S n )   0, i  n  i  Chứng minh Cho X1  S n \ {(0,0, ,1n1 )} mở S n X  S n \ {(0,0, ,-1n1 )} mở S n X  X1  X  S n A  X1  X  S n \ {(0,0, ,1n1),(0,0, ,-1n1)} X , X mở X nên ta sử dụng dãy Mayer-Vietoris: H i 1 ( X )  H i 1 ( X )  H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X )  H i ( X ) X , X đồng phôi với n nên acylic Suy ra, ánh xạ đẳng cấu, mà A đồng phôi với S n1 nên H i 1 (S n )  H i (S n1 )   H i n1 (S ) Khi i  n, H i (S n )  H i n (S )  Khi i  n, H i (S n )  H (S )  Khi i  , S n liên thông nên H ( S n )  Khi  i  n, H i (S n )  H i 1 (S n1 )   H (S ni ) S ni liên thông đường nên H ( S ni )   ,i  n  i  Vậy n  1, H i ( S n )   0, i  n  i  90 Định nghĩa 3.1.2 Mỗi không gian đồng phơi với cầu đơn vị đóng k chiều, B k gọi k  cell Định lý 3.1.1 Cho B k  cell S n S n \ B acylic (có nghĩa H p ( S n \ B)  0, p ) Trường hợp riêng B không tách S n Chứng minh Với n cố định, ta quy nạp theo k Khi k  B tập điểm nên S n \ B tập điểm n  , S n \ B đồng phôi với n n  , S n \ B acylic Bây ta giả sử định lý cho k   cell S n Cho B k  cell S n ; Cho h : I k  B đồng phôi (với I  [0,1] ) Cho B1 B2 k  cell xác định   1 B1  h  I k 1  0,   ,  2   1   B2  h  I k 1   ,1  S n 2    1  Cho C k   cell h  I k 1     S n 2  Giả sử  phần tử Zi ( S n \ B) mà   Bi ( S n \ B) ta đặt     Bi (S n \ B)  H i (S n \ B) Ta ảnh  qua hai đồng cấu cảm sinh phép nhúng i : (S n \ B)  (S n \ B1 ) j : (S n \ B)  ( S n \ B2 ) khác không 91 Để chứng minh điều ta đặt X  S n \ C , theo giả thiết X acylic; Cho X  S n \ B1 X  S n \ B2  X1  X  (S n \ B1 )  (S n \ B2 )  S n \ ( B1  B2 )     1 1   S n \  h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1   h đơn ánh  2 2        1 1  nên h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1   2 2      1  1    h  I k 1  0,    I k 1   ,1    2  2     1   h  I k 1      C 2   X1  X  S n \ C  X X1  X  (S n \ B1 )  (S n \ B2 )  S n \ ( B1  B2 )     1 1   S n \  h  I k 1  0,    h  I k 1   ,1    2 2       1  1    S n \ h  I k 1  0,    I k 1   ,1    2  2     S n \ h  I k 1  0,1  S n \ B Ta đặt A  X1  X Do X1 , X , X , A tập mở S n , Sử dụng dãy khớp Mayer-Vietoris: H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X )  H i ( X )  H i ( X ) Do X acyclic nên đồng cấu đẳng cấu Ta thấy đồng cấu biến  thành (i* ( ),  j* ( )) 92 i* ( )   j* ( )   j* ( )  * Trường hợp i* ( )  , ta đặt a1  0, b1  ảnh  qua đồng cấu cảm sinh phép nhúng S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  khác không * Trường hợp j* ( )  , ta đặt a1  , b1  ảnh  qua đồng cấu cảm sinh phép nhúng S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  khác không Cứ tiếp tục trình ta tìm dãy an  ,bn   [0,1] mà [a1 ,b1 ]  [a ,b2 ]  [a ,b3 ]  , bn  an  , n  2n * j0 : S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1   a1 , b1  j1 : S n \ h  I k 1  [a1 ,b1 ]  S n \ h  I k 1   a2 , b2    j p : S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]  S n \ h I k 1  a p 1 , bp 1  , p  phép nhúng  j p *  j0 * ( )  Sử dụng Định lý dãy đoạn thắt Cantor, e [0,1]: e   p 1 [a p ,b p ] Cho j : S n \ h  I k 1  0,1  S n \ h  I k 1  e   phép nhúng, giả thiết quy nạp H i S n \ h  I k 1  e  93   j* ( )      nqTq  Ci 1 S n \ h  I k 1  e  mà i 1 ( nqTq )   Do ánh xạ Tq có ảnh compact nằm S n \ h  I k 1  e mà S n \ h  I k 1  e   p 1 S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] (do h đơn ánh) nên ta tìm p  * mà ánh xạ Tq có ảnh nằm S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] Cho T ' q : i 1  S n \ h  I k 1  [a p ,b p ] mà T ' q (u)  Tq (u); u i 1  i 1 ( nqT 'q )  ( j p ) # ( j0 ) # (  )  ( j p j0 ) # (  )  ( j p j0 )# (  )  Bi ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  ( j p j0 )# (  )  Bi ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]) phần tử không H i ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  ( j p j0 )* ( )  ( j p j0 ) # (  )  Bi ( S n \ h  I k 1 [a p ,b p ] ) phần tử không H i (S n \ h  I k 1  [a p ,b p ])  j p* j0* ( )  ( j p j0 )* ( ) phần tử H i ( S n \ h  I k 1  [a p ,b p ]) Đây điều mâu thuẫn nên Zi (S n \ B)  Bi (S n \ B)  H i (S n \ B) nhóm tầm thường, ( S n \ B) acylic không 94 Định lý 3.1.2 Cho n  k  0, h : S k  S n phép nhúng đồng phơi Khi  ,i  n  k 1 H i ( S n \ h( S k ))   0, i  n  k  Chứng minh Cho n cố định ; Ta chứng minh qui nạp theo k : Đầu tiên cho k  0, h(S ) tập gồm hai điểm nên S n \ h( S ) đồng phôi với n \ {0} cấu với n \ {0} kiểu đồng luân với S n1 H i (S n \ h( S )) đẳng i  n  tầm thường i  n  Bây ta giả sử Định lý với k  1,(1  k  n) ta chứng minh Định lý cho k : Cho h : S k  S n phép nhúng đồng phôi Ta xây dựng dãy Mayer_Vietories : Cho X , X tập mở S n sau : X1  S n \ h( Ek ), X  S n \ h( Ek ) X  X  X   S n \ h( Ek )    S n \ h( Ek )   S n \  h( Ek )  h( Ek )   S n \ h  Ek  Ek   S n \ h(S k 1 ) Ở Ek  x  ( x1 , , xk 1 )  S k / xk 1  0 Ek  x  ( x1 , , xk 1 )  S k / xk 1  0 A  X  X   S n \ h( Ek )    S n \ h( Ek )   S n \  h( Ek )  h( Ek )   S n \ h  Ek  Ek   S n \ h( S k ) 95 Do X , X mở S n nên X , X mở X Sử dụng dãy Mayer_Vietories : H i 1 ( X1 )  H i 1 ( X )  H i 1 ( X )  H i ( A)  H i ( X )  H i ( X ) Cả hai X , X acylic theo Định lý 3.1.1 nên ánh xạ đẳng cấu Vì H i 1 (S n \ h(S k 1 ))  H i ( S n \ h( S k )), i Theo giả thiết quy nạp, nhóm bên trái cyclic vơ hạn i   n  (k  1)  tầm thường trường hợp khác Do nhóm bên phải cyclic vơ hạn với i  n  k  tầm thường trường hợp khác Định lý 3.1.3 (Tổng quát hóa Định lý đường cong Jordan) Cho n  Cho C tập S n mà đồng phơi với (n  1) -mặt cầu Khi S n \ C có hai thành phần liên thông hai thành phần liên thông nhận C làm biên Trước chứng minh Định lý ta chứng minh Bổ đề sau : Bổ đề 3.1.3 Cho X khơng gian topo Khi H ( X )  X có hai thành phần liên thơng đường, ngược lại X có hai thành phần liên thơng đường H ( X )  Chứng minh "  " Gọi U ,V hai thành phần liên thông đường X z   niui   m j v j  Z ( X ) với n  m i j 0 ta đặt tương ứng với phần tử  ( z )   ni  Khi  đồng cấu nhóm, tồn ánh, ta cần Ker  B0 ( X ) H ( X )  96 Thật z   niui   m j v j  B0 ( X ) (ở ui U , vi V )   pkTk   ql Sl  C1 ( X ) mà 1 ( pkTk   ql Sl )   niui   m j v j (Tk : 1  U , Sl : 1  V )  1 ( pkTk )   niui   ni    ( z )   z  Ker Ngược lại z   niui   m j v j  Ker   ( z )    ni    m j  Do U liên thông đường nên  pkTk , (Tk : 1  U  X ) liên tục mà 1 ( pkTk )   niui Do V liên thông đường nên  ql Sl , (Sl : 1  V  X ) liên tục mà 1 ( ql Sl )   m j v j 1   pkTk   ql Sl    niui   m j v j  z  z  B0 ( X )  B0 ( X )  Ker H ( X )  Z0 ( X ) / B0 ( X )  "  " Cho H ( X )  Sử dụng Bổ đề 3.1.1, ta thấy X không liên thông đường Ta dùng phản chứng: Giả sử X khơng có hai thành phần liên thơng đường Ta có trường hợp sau:  Trường hợp số thành phần liên thông đường X hữu hạn, gọi n số thành phần đường X  n  Gọi X1 , X , , X n thành phần liên đường X z   m x   m x    m x  Z ( X ) k1 Với m 1k1 k1 k2 k2 nkn   m2 k    mnk  n nkn 97 ( x  X , x  X , , x  X n ) k1 k2 nkn  : Z0 ( X )    z ( n  lần) ( m1k ,  m2 k , ,  mnk ) n Ta chứng minh  đồng cấu nhóm, tồn ánh, Ker  B0 ( X )  H ( X )     H ( X ) khơng đẳng cấu nhóm với  Vơ lý  Trường hợp số thành phần liên thông đường X vô hạn, ta gọi  X    họ tất thành phần liên thông đường X Khi ta chứng minh H0 ( X )   Z với Z    \{ }  phần tử tùy ý   H ( X ) khơng thể đẳng cấu với  X có hai thành phần liên thông đường Bây ta chứng minh Định lý 3.1.3: Áp dụng Định lý 3.1.2, cho k  n   H (S n \ C )  Do theo Bổ đề 3.1.3, S n \ C có hai thành phần liên thơng đường  S n \ C có hai thành phần liên thông (ta biết S n \ C mở S n , S n không gian liên thông đường địa phương nên thành phần liên thông S n \ C thành phần liên thông đường S n \ C nhau) Cho W1 , W2 thành phần liên thông đường Do S n liên thông đường địa phương nên W1 , W2 mở S n \ C nên W1 , W2 mở S n Ta chứng minh điều x  W1 , S n \ C liên thông đường địa phương nên tồn lân cận T x S n \ C mà lân cận liên thông đường, xét W1 hợp với lân 98 cận liên thông đường W1 T liên thông đường giao chúng khác rỗng; Do W1  T  W1  T  W1  W1 mở S n \ C  W1 mở S n , tương tự ta chứng minh W2 mở S n Do W1  W1 \ W1 , W2  W2 \ W2 Ta cần chứng minh đẳng thức thứ x0  W1 \ W1 , giả sử x0  C  x0  W1  W2 mà x0  W1  x0  W2 W2 mở x0  W1  W1  W2   , W1 , W2 liên thông đường nên W1  W2  S n \ C liên thông đường  Vô lý  W1 \ W1  C Ta chứng minh C  W1 \ W1 x  C cho lân cận mở U x , ta cần U giao với tập W1 \ W1 ( x thuộc bao đóng W1 \ W1 mà W1 \ W1 đóng S n  x  W1 \ W1 ) Do C đồng phôi với S n1 , ta viết C dạng hợp 2_ cell C1 , C2 mà C1 đủ bé để nằm U Do C2 không tách S n ta chọn đường  S n \ C2 nối điểm p W1 điểm q W2 ; W1 , S n \ W1 tập mở rời p  W1 , q  W2 ; 99 W2 mở  q  S n \ W1    W1  ,   S n \ W1   ,  liên thông nên   (  W1 )  (  S n \ W1 )  y  , y  W1 , y  S n \ W1  y  W1 \ W1  y  C y  S n \ C2  y  C1  U U  W1 \ W1    C  W1 \ W1  C  W1 \ W1 Tương tự ta có  C  W2 \ W2 Định lý 3.1.4 Cho n  C tập n n đồng phơi với S n1 Khi \ C có hai thành phần liên thơng C biên chung hai thành phần liên thông Chứng minh Ta chia chứng minh bước sau: Cho U tập mở liên thông S n (n  1) , p điểm U U \  p liên thông: Giả sử U \  p không liên thơng, chọn cầu mở B tâm p bán kính  nằm U Ta có B \  p liên thơng, B \  p nằm thành phần liên thông U \  p , gọi C thành phần liên thông Cho D hợp thành thành phần liên thông khác, p không điểm giới hạn D C   p  , D  , C   p  D  U , C   p  D    U không liên thông đường  Vô lý  U \  p liên thông Chứng minh định lý 100 Khơng giảm tổng qt ta thay n S n \  p với p điểm cố định mặt cầu S n S n \ C có hai thành phần liên thơng W1 , W2 Cho p  W1 Do kết bước 1, W1 \  p liên thông, từ W1 \  p , W2 hai thành phần liên thông ( S n \  p) \ C C biên W1 \  p , W2 (trong không gian S n \  p ) 3.2 ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN Định lý 3.2.1 (Định lý bất biến miền) Cho U tập mở f (U ) mở n n , f :U  n ánh xạ liên tục đơn ánh Khi f phép nhúng Chứng minh Khơng giảm tổng qt ta thay n S n Ta chia chứng minh thành bước Với điểm y  f (U ) , ta f (U ) chứa lân cận y Điều chứng tỏ f (U ) mở S n Cho x U mà f ( x)  y Chọn cầu mở B tâm x bán kính  mà bao đóng nằm U Cho S  B \ B , f ( S ) đồng phôi với S n1 nên f ( S ) tách S n thành hai thành phần liên thông W1 , W2 , chúng mở S n Tập f ( B ) liên thông không giao với f ( S ) Do f ( B ) nằm W1 nằm W2 Giả sử f ( B ) nằm W1 Ta f ( B )  W1 Thật vậy, giả sử ngược lại x0  W1 \ f ( B ) Ta có  S n \ f ( B )  \ f ( S )  S n \ f ( B ) x0  W1  S n \ f (S ) 101  x0   S n \ f (S )  \ f ( B )   S n \ f ( B )  \ f (S )  S n \ f ( B )  W1  S n \ f ( B )   Chọn y0  W2 ,W2  S n \ f (S ), giả sử y0  f ( B )  y0  W1  Vô lý  y0  f ( B )  y0   S n \ f ( S )  \ f ( B )  S n \ f ( B )  W2  S n \ f ( B )    S n \ f ( B ) không liên thông, mà theo Định lý 3.1.1, S n \ f ( B ) liên thông  f ( B )  W1  f (U ) chứa lân cận W1 y  f (U ) mở S n Cho V tập mở U  V mở S n , theo phần f (V ) mở S n  f (V ) mở f (U )  f : U  f (U ) phép đồng phôi Nhận xét 3.1.1 Trong Định lý đường cong Jordan tổng quát W1 , W2 thành phần liên thông S n \ C ( C (n  1)  cell ) dường W1 , W2 n  cell Nhưng điều không đúng, điều không W1 , W2 đồng phôi với cầu mở n chiều Có ví dụ phép nhúng S vào S tập Wi không đơn liên Về tập Wi , trường hợp n  ; Nếu C tập S đồng phơi với S C tách S thành hai thành phần W1 , W2 mà W1 , W2  cell 102 KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu đọc hiểu làm rõ số nội dung sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm định nghĩa phức đơn hình, phạm trù, hàm tử, nhóm Abel tự do, topo, liên thông, liên thông đường, đồng điều đơn hình Trình bày hàm tử đồng điều kỳ dị, đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số không gian topo đơn giản, định lý khoét số tính chất liên quan, dãy Mayer - Vietoris Trình bày ứng dụng đồng điều kỳ dị để chứng minh định lý khát quát đường cong Jordan định lý bất biến miền 103 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Topo đại cương, độ đo tích phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Tiếng Anh: [2] Aleen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Copyright 2002 by Cambridge University Press [3] Dugundji – Granas (2002), Theory of Fixed point, Spinger [4] Edwin H Spanier (1966), Algebraic Topology, the United states of America [5] Godbillon (1971), Éléments De topologie algébrique, Hermann Paris [6] Marvin J.Greenberg – John R.Harper (1981), Algebraic Topology, the benjamin/cummings publishing company [7] James R.Munkers, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley Publishing Company, Inc ... khoa học, giảng tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao... nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan nhằm xây dựng tài liệu... Mệnh đề 1.7.2 Ảnh không gian liên thông đường qua ánh xạ liên tục không gian liên thông đường Chứng minh Giả sử f : X  Y liên tục, X liên thông đường Ta chứng minh f(X) liên thông đường Cho u, v