Phương pháp tọa độ trong không gian r3

Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Sinh viên thực hiện: Trịnh Thị Ngọc Hiền Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: Th.S Phan Thị Quản Đà Nẵng, tháng 5/2013 SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Bằng thực tiễn toán học, lý luận khẳng định kiến thức vectơ, tọa độ cần thiết thiếu chương trình tốn Trung học phổ thơng Phương pháp tọa độ phương pháp toán lớp 10, nhiên việc ứng dụng học sinh chưa nhận thấy hết Đến lớp 12 phương pháp tọa độ cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học đại số Để giúp em thấy tầm quan trọng phương pháp tọa độ – phương pháp chuyển từ việc nghiên cứu hình học Ơclit phương pháp sơ cấp (phương pháp tổng hợp) sang việc nghiên cứu cơng cụ đại số giải tích, em chọn đề tài nhằm hướng dẫn học sinh giải tốn hình học hay đại số Trong thực tế số toán giải nhanh gọn, dễ hiểu ta sử dụng Phương pháp tọa độ để giải so với phương pháp sơ cấp khác, giúp em kiểm tra kết số toán đại số sơ cấp cách nhanh chóng xác Trong năm gần đây, đa số học sinh “bị dị ứng” với mơn hình học tốn đại số sơ cấp có phương trình dài phức tạp, với phần hình học khơng gian, mơn học khó, địi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ tính tư cao, khơng phải học sinh học Sâu xa hơn, đề thi “thời nay” lại trọng đến lĩnh vực kiến thức này, mà “sự học” học sinh lại gắn liền với kỳ thi! Bởi vậy, nhiều học sinh không làm tốn hình học khơng gian kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại học - Cao đẳng Tuy nhiên, học sinh lại học tương đối tốt phần kiến thức: “phương pháp tọa độ không gian” (được gọi mơn “Hình học giải tích” chương trình 12) Vậy lại không tạo mối liên kết hai phần kiến thức ? II Mục đích nghiên cứu: Với lý em chọn đề tài nhằm mục đích sau: SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản - Làm sáng tỏ sở khoa học phương pháp tọa độ không gian - Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải tốn phương pháp tọa độ III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng: Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn hình học đại số phương pháp tọa độ - Phạm vi: Hình học 12 số tốn sơ cấp trích chương trình đại học IV Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nhắc lại kết phương pháp tọa độ - Xây dựng quy trình giải tốn phương pháp tọa độ - Thực hành V Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm VI Kết cấu bài: Ngồi phần mở đầu viết gồm có chương: - Chương I: Cơ sở lý luận - Chương II: Phương pháp tọa độ giải toán đại số - Chương III: Phương pháp tọa độ giải tốn hình học Bài viết hoàn thành nhờ bảo hướng dẫn tận tình Phan Thị Quản Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn chân thành đến cô Do kinh nghiệm, kiến thức, thời gian cịn hạn chế nên viết khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận ý kiến tham gia đóng góp thầy (cơ) giáo bạn để viết hoàn thiện SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN I Cơ sở lý luận phương pháp tọa độ không gian Hệ tọa độ không gian Hệ tọa độ gồm trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục tọa độ không gian r r r Nếu ta lấy vectơ đơn vị i , j , k nằm Ox, Oy, Oz thì: r r r r r r r rr i  j  k  1, i j  j k  k i  Tọa độ điểm tọa độ vectơ r r r r r Nếu a  x.i  y j  z.k ba số (x,y,z) gọi tọa độ vectơ a r r Kí hiệu: a  ( x, y, z ) x hồnh, y tung độ z cao độ a uuuur Trong không gian Oxyz, tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M uuuur Kí hiêu: OM =(x,y,z) ta viết M(x,y,z) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ Cho A( xA , yA , zA ); B( xB , yB , zB ); C( xB , yB , zB ) Ta có: uuur + AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A ) + AB2  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2 r r + cos(u, v)  x1.x2  y1 y2  z1.z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22 r r ( x1 y2  x2 y1 )2  ( y1z2  y2 z1 )2  ( z1x2  z2 x1 )2 + sin(u, v)  x12  y12  z12 x22  y22  z22 SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản ( xA  xB )   xM   ( y  yB )  + Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB là:  yM  A  ( z A  zB )   zM   ( xA  xB  xC )  x  M   ( y  yB  yC )  + Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:  yM  A  ( z A  zB  zC )   zM   Vectơ Tọa độ vectơ tổng vectơ hiệu r r Cho u( x1, y1, z1 ), v ( x2 , y2 , z2 ) Khi đó:  x1  x2 r r  u  v   y1  y2 ; z  z 1 r r u  v  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 ) r k.u  (k.x1; k y1; k.z1 ), k  R r r m.u  n.v  (m.x1  n.x2 ; m y1  n y2 ; m.z1  n.z2 ), m, n  R Hai vectơ phương r r r r Hai vectơ u( x1, y1, z1 ), v ( x2 , y2 , z2 ) phương (u  0) r r  k  R : v  k.u , tức là:  x2  k.x1   y2  k y1  z  k z  Tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ độ dài vectơ r r r Cho hai vectơ u( x1, y1, z1 ), v ( x2 , y2 , z2 ) , t  ( x3 , y3 , z3 ) r r rr r r Kí hiệu: tích vơ hướng hai vectơ u , v u.v ; tích có hướng hai vectơ u , v r r [u, v] Khi đó: rr r r r r + u.v | u | | v | cos(u, v)  x1.x2  y1 y2  z1.z2 SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản r r rr + u  v  u.v   x1.x2  y1 y2  z1.z2  r + | u | x12  y12  z12 r r  y1 z1 z1 x1 x1 y1  , , + [u, v]     y2 z2 z2 x2 x2 y2  r r r r r + u v phương  [u, v]  r r + [u, v]  r r r r r r + u, v t đồng phẳng  [u, v].t  2 r r r r y1 z1 z1 x1 x1 y1   | u | | v | sin(u, v) y2 z2 z2 x2 x2 y2  Các công thức tính diện tích thể tích: Xét : A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ), C( x3 , y3 , z3 ), D( x4 , y4 , z4 )   uuur uuur uuur uuur  AB, AC   AB AC  AB.AC   uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  AD  AB, AC  VABCD S  hbhABCD     uuur uuur uuur  AB, CD  AC uuur uuur uuur     Vhôp ABCDA' B 'C ' D '   AB, AD  AA ' d  AB, CD   uuur uuur  AB, CD     SABC  Phép quay không gian + Nếu mặt phẳng ta có phép quay quanh tâm quay khơng gian chiều ta có phép quay quanh trục Vây ta có cơng thức phép quay quanh trục góc :  x  X cos   Y sin   Trục Oz:  y  X sin   Y cos  z  Z   x  X cos   Z sin   Trục Oy:  y  Y  z   X sin   Z cos   x  X  Trục Ox:  y  Y cos   Z sin   z  Y sin   Z cos   + Mọi phép quay quanh gốc tọa độ O thực dạng tổ hợp phép quay liên tiếp Phép quay góc  quanh trục Oz: QO Phép quay góc  quanh trục Oy: QO Phép quay góc  quanh trục Ox: QO SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản z z x y x y Phép quay quanh trục Oz Phép quay quanh trục Ox z y x Phép quay quanh trục Oy Một số mặt bậc hai khơng gian (Dạng tắc): Cho a, b, c số thực khác x2 y +   1: Mặt trụ eliptic a b x2 y +   1: Mặt trụ tròn xoay a a SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản + x2  2ay  : Mặt trụ parabolic + x2 y   1: Mặt trụ hyperbolic a b2 x2 y z +    : Mặt nón eliptic a b c + x2 y z    1: Mặt elipsoid thực a b2 c z x2 y z +    : Mặt cầu a a a x y + x2 y z    : Mặt hyperboloid tầng a b2 c SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản x2 y z +    1: Mặt hyperboloid tầng a b c + x2 y   cz  : Mặt hyperbolic paraboloid a b2 + x2 y   cz  : Mặt eliptic paraboloid a b2 x2 y +   cz  : Mặt eliptic paraboloid tròn a a xoay II Một số ý giảng dạy vấn đề phương pháp tọa độ  Cần hướng dẫn học sinh ôn tập giúp cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt kiến thức tọa độ phép toán vectơ để làm sở cho nghiên cứu tọa độ Cần cho học sinh thấy rõ tương ứng – tập hợp điểm tập hợp số - Trên đường thẳng: điểm ứng với số thực xác định - Trên mặt phẳng: điểm ứng với cặp số thực thứ tự - Trên không gian: điểm tương ứng với số thực thứ tự Từ đây, làm bật cho học sinh thấy hình tập hợp điểm thứ tự theo quy tắc đó, hình xác định hệ ràng buộc định tương ứng mối liên hệ tọa độ điểm hình Việc thể học sinh cần có kỹ sau: SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ - GVHD: Cô Phan Thị Quản Khi lấy điểm M thuộc hình H tọa độ M phải thỏa mãn hệ ràng buộc tọa độ điểm hình H - Ngược lại, có điểm M có tọ độ thỏa mãn hệ ràng buộc tọa độ điểm hình H M thuộc hình H  Hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp tọa độ Với tốn hình học phẳng có chứa quan hệ hình học: thẳng hàng, song song, vng góc,… hay có chứa yếu tố khoảng cách, tính góc ta chọn hệ tọa độ thích hợp ta chuyển tốn đại số với quan hệ số vectơ, phép tốn Các tốn có khả tìm lời giải nhanh chóng xác Và số tốn đại số giải hệ phương trình,… phức tạp ta chuyển tốn tọa độ cách vẽ đồ thị, cách ta kiểm tra lại kết số toán nhanh Việc giải toán bẳng phương pháp tọa độ đòi hỏi học sinh phải luyện tập vận dụng tổng hợp kiến thức liên quan SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 10 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho B '(0;0;0) , B(0;0;0) , A(a;0; a ) , A '(a;0;0) giả thiết suy ra: t   t  t t  M ;0; ; ; a  N   (0  t  a 2) 2   2  uuuur  t t   MN   0;  ;  a 2   t2  t   MN     a   t  a 2t  a 2   2  a  a2  MN  t  a 2t  a   t    2    a  a2 a2  a   Mà  t      Vậy ta suy điều phải chứng minh  2    uuur BD  a  BD  (a; a;0)  a(1;1;0)  + Ta có: uuuur   B ' A  (a;0; a)  a(1;0;1)  B ' A  a  uuur uuuur  | BDMN |  cos   BD MN  Khi đó:   uuuur uuuur  | B ' AMN |  cos   B ' A.MN  Ta có MN  t 2 t  a 2t  a  t   a    (1) t  a  a2 a a Dấu “=” xảy t  thay vào (1) ta có: 2  cos        600  cos    SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 50 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cơ Phan Thị Quản III Tìm quỹ tích Phương pháp: + Bước 1: Xem xét kỹ giả thuyết đề cho, vẽ hình gắn tọa độ thích hợp cho liệu tốn + Bước 2: Ứng dụng kiến thức hình học liên quan thích hợp để tìm quy luật kiện đề Liên hệ đến phương trình đường thẳng, mặt,… học từ cho kết luận quỹ tích Bài tốn 1: [2, tr 62] Cho ABC vng A Tìm quỹ tích điểm M không gian thỏa mãn: MB  MC  MA2 z Giải: Bước 1: Bài toán cho ABC vng A nên ta chọn A làm gốc tọa độ cạnh AB, AC nằm trục tọa độ Đối với A trục tọa độ thứ ta dựng cách C vẽ vng góc với (ABC) A Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: B y x A(0;0;0) , B(b;0;0) , C (0; c;0) ( với AB  b  , AC  c  ) Bước 2: Ta sử dụng giả thiết đề Khi M(x; y; z) thỏa: MB  MC  MA2  ( x  b)2  y2  z  x2  ( y  c)2  z  x2  y2  z  ( x  b)2  ( y  c)2  z  x  b    y  c  M (b; c;0) z   Vậy quỹ tích điểm M điểm M(b; c;0) SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 51 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản Bài tốn 2: [1, tr 62] Cho hình chữ nhật ABCD, AB  a, AD  2a Trên tia Az  ( ABCD) lấy điểm S Mặt phẳng ( ) qua CD cắt SA, SB K L Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az z Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0;0;0) , B(a;0;0) , S I C (a;2a;0) , D(0;2a;0) S  Az  S (0;0; s), s  N s  s a  M  ; a;  , N  0; a;  2  2  M 2a A uuuur BM    a; 2a; s  , D a B uuur AN   0;2a; s  x C  x  a  at1   Phương trình tham số (BM):  y  2at1 ,  z  st  x   Phương trình tham số (AN):  y  2at2 (t1 , t2  ¡ )  z  st  uur uur uuur Theo đề I  AN  BM  I (0;2a; s) ta có: ID  (0;0; s)  ID / / AS Vậy quỹ tích điểm I nửa đt Dt  ( ABCD) (trừ điểm D, s  ) Bài toán 3: [1, tr 62] Cho góc tam diện vng Oxyz có A, B, C điểm di động Ox, Oy, Oz cho OA  OB  OC  2008 Tìm quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 52 y Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản Giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz z Với A(0;0;0) , B(0; b;0) , C (0;0; c) , (a, b, c  0) R Khi đó: a  b  c  2008 phương trình mặt phẳng trung trực (H1), (H2), (H3) đoạn thẳng OA, OB, OC theo thứ tự là: x a c b , y , z 2 Q x y P Tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC giao điểm (H1), (H2), (H3) nên có tọa độ là: a  x   x y z b abc    1 I y   x  y  z   1004  1004 1004 1004 2  c  z   Đây phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (P, Q, R) với P(1004;0;0) , a Q(0;1004;0) , x  R(0;0;1004) Vậy quỹ tích tâm I điểm nằm PQR kể cạnh tam giác gạch hình SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 53 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản IV Các toán chứng minh qua điểm (đường thẳng) cố định Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) gọi điểm cố định họ đồ thị cho đồ thị họ ứng với giá trị m  A qua M Phương pháp: Để giải toán theo phương pháp tọa độ thông thường ta giải theo bước: + Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp Viết phương trình họ đồ thị với tham số m + Bước 2: Coi phương trình ẩn m cho hệ số với m + Bước 3: Giải suy tọa độ x0 ; y0 ; z0 M Bài toán 1: [2, tr 62] Cho ABC cạnh a Trên đường thẳng d  (ABC) A lấy điểm S, SA= h Gọi   (SBC) trực tâm H  SBC, chứng tỏ  luông qua điểm cố định S di động d Giải: Bước 1: Nhận thấy SA  (ABC) nên ta chọn hệ trục tọa độ có chứa SA hai cạnh AB AC trục z tọa độ lại xây dựng cách dựng tia vng góc với hai trục S trước Gọi I trung điểm AB Trong a (ABC) dựng Ay  AB Ta có CI  h A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0;0;0) , B(a;0;0) , S (0;0; h) a a   C ; ;0  2   y O H I C a B x Gọi ( )  ( S , ),(  )  ( B, ) ( )  BC ,(  )  SC Ta có: SH  BC,   BC, BH  SC, BH  SC,   SC ) SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền (do Trang 54 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản uuur  a a uuur  a a   a BC    ; ; h   a; a 3; 2h ;0    1;  3;0 , SC   ; 2  2        pt ( ) : x  y  , pt ( ) : a( x  a)  a y  2hz  Ta lại có  giao điểm mặt phẳng ( ),(  ) nên phương trình  là:  x  3y    ax  a y  2hz  a  (*) Bước 2: Coi phương trình (*) phương trình với ẩn h Để  qua điểm cố định h thay đổi hệ số với z không  x  3y  qua điểm cố định h thay đổi ta có:   hz  ( ax  a y  a )     a x  x  3y   a a    qua điểm G  ;  z  ;0  cố định z  2    a x  y  a  y   Bài toán 2: [1, tr 62] Cho chữ nhật ABCD, AB  a , AD= b Trên tia Az vuông góc với (ABCD) lấy điểm S, SA= h Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh (AB’C’D’) qua đường thẳng cố định z Giải: S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0; b;0) , uuur S (0;0; h) , C (a; b;0)  SC  (a; b; h) h C'  phương trình (P) qua A nhận D' B' O uuur SC làm vectơ pháp tuyến là: a ax  by  hz  B D A b C x SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 55 y Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cơ Phan Thị Quản Lại có phương trình (ABCD): z  z  Gọi (d )  ( ABCD)  ( AB ' C ' D ') Vậy phương trình (d):  ax  by  hz  r  phương trình (d):  A  (d ) n( d )   b; a;0 không đổi Vậy (d) cố định (điều phải chứng minh) Bài tốn 3: [1, tr 62] Cho góc tam diện vuông Oxyz A, B, C điểm di động Ox, Oy, Oz cho: 1    2008 Chứng minh (ABC) OA OB OC qua điểm cố định Giải: z C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A(a;0;0) , B(0; b;0) , C (0;0; c) (Với OA  a , OB  b , OC  c ) Khi phương trình (ABC) x y z    a b c y O B A x Hơn nữa: thuyết) 1    2008 (do giả a b c  M (2008;2008;2008)  (ABC) Vậy (ABC) qua điểm cố định M (2008;2008;2008) V Các toán tính tốn Phương pháp: + Bước 1: Xem xét kỹ giả thuyết đề cho, vẽ hình gắn tọa độ thích hợp cho liệu tốn + Bước 2: Ứng dụng kiến thức hình học liên quan thích hợp để tính tốn SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 56 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cơ Phan Thị Quản Bài tốn 1: [4, tr 62] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, đường cao SO Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng ( ) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt cạnh SC, SD M, N Tính góc AN với (ABCD) BD Tính khoảng cách AN BD Tính thể tích khối ABCDMN Giải: Bước 1: Giả thuyết đề cho hình chóp từ ta chọn tâm hình vng làm gốc tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho a   a  O(0;0;0) , A  ;0;0  , B  0; ;0  2       a  a   C ;0;0  , D  0;  ;0  2     Gọi I, J trung điểm AB, CD  AB  ( SIJ )   ¶  600  (· SAB),( ABCD)  SIJ  SIJ  SO   a a 3  S  0;0;  2       AN ,( ABCD) ,   · AN , BD Muốn tính góc Bước 2: Gọi   · ta sử dụng cơng thức tính cos sin Vậy ta cần tìm vectơ pháp tuyến đt haymặt phẳng liên quan SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 57 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản ·  300  K  ( ) Gọi K trung điểm SI  KIJ  MN / / AB M, N trung điểm SC, SD   a a 3 a a 3  M  ;0; ;   , N  0;  4      AN    a 2; 2;  uuuuu · r uuur  sin  | cos(nABCD , AN ) |  uuur uuur AN BD 3 , cos   uuur uuur  13 13 | AN | | BD | Vậy ta dễ dàng suy góc cần tìm Để tính khoảng cách AN BD ta áp dụng cơng thức tính khoảng cách uuur uuur uuur  AN , BD AB   d ( AN , BD)  a uuur uuur 22  AN , BD   Tính thể tích hình khối ABCDMN ta lưu ý chưa có dạng đặc biệt để áp dụng cơng thức ta tính thể tích hình chóp S.ABCD trừ thể tích hình chóp S.MNAB kết Trước tiên ta tính đường cao hình chóp S.ABMN cách tính khoảng cách từ S đến (ABMN) a a   a a a 3 I ; ;0  , J   ; ;  4 8     uuur uur a a (1; 1;0)  KI  (3 2;3 2; 2 3) , AB   r uur uuur  n   KI , AB  2 3(1;1; 6)  pt ( ) : x  y  z  a  Áp dụng cơng thức tính khoảng cách ta có: d (S ;( ))  SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền a Trang 58 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản (Lưu ý SK  MN, SK  KI  SK  ( ) K  d (S ;( ))  SK  a ) IK  AB AB  MN 3a  S ABMN  IK    AB / / MN  VS ABMN  a3 a3 Mặt khác VS ABCD  SO.S ABCD  16 Vậy ta tính thể tích hình khối cần tìm: V  VS ABCD  VS ABMN 5a3  48 Bài toán 2: [4, tr 62] Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ·  1200 , cạnh bên BB’=a Gọi I trung điểm ABC cân với AB=AC=a BAC CC’ a Chứng minh tam giác AB’I vng A b Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) c Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’ Giải: Từ giả thiết tốn, khơng có đường thẳng xuất phát từ điểm đôi vuông góc, nên ta phải cố gắng tìm mối liên kết thích hợp, để từ chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho xác định tọa độ điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải Để làm điều ta cần ý, lăng trụ cho lăng trụ z đứng tam giác đáy tam giác cân Từ đây, gọi O, O’ trung điểm C A B’C’ BC ta có ba tia OO’, O B’C’ OA’ đôi vuông gọc với B I Gọi O, O’ trung điểm B’C’ BC C' A' O' x SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền y B' Trang 59 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản Ta có OO'  OA ', OO'  B ' C ' Tam giác A’B’O nửa tam giác có cạnh A’B’=a nên A’O= a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: a a a ;0;0), C '( ;0;0), A(0;  ; a) 2 a a a a B( ;0; a), C ( ;0; a), I ( ;0; ) 2 2 B '( Từ đây, ta dễ dàng chứng minh tam giác AB’I vng A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Đối với câu c, sữ dụng phương pháp tổng hợp khác tốn khơng dễ giải chút Cịn sữ dụng phương pháp tọa độ hồn tồn ngược lại Bài tốn 3: (Trích đề thi khối A - 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc nhị diện  B, A ' C, D Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0; a;0) , A '(0;0; b) (a, b  0) M trung điểm cạnh CC’ a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b/ Xác định tỉ số a để (AB’D) vng góc với (MBD) b Giải: z A' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1)  C (1;1;0) D' C' B' (Cạnh hình lập phương 1) I y A D B x SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền C Trang 60 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản uuuur Gọi (P) mặt phẳng qua BD vng góc với A’C Ta có: A ' C  (1;1; 1)  phương trình (P): x  y  z   x  t  Phương trình tham số (A’C):  y  t (t  ¡ ) z   t   2 1 · Gọi I A ' C  ( P)  I  ; ;    B, A ' C, D  BID  3 3 uur uur ·  IB.ID    BID ·  1200 Ta có: cos BID IB.ID Vậy  B, A ' C, D  1200 b  a/ Ta có: C (a; a;0) , C '(a; a; b)  M  a; a;  2   uuur uuur  uuuur b  a2b  BD , BA ' BM  (  a ; a ;0),(  a ;0; b ) 0; a ;0     6   r r uuuuur uuuur n1  n( A ' BD)   A ' B ', A ' D   (ab; ab; a )    b/ Ta có:  r r uuur uuuur  ab ab 2 n2  n( MBD )   BD, BM    ; ; a   2   r r ( A' BD)  (MBD)  n1.n2   a 2b  a  a  b  VBDA ' M  Vậy SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền a  b Trang 61 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản KẾT LUẬN Qua viết em thống kê hình thành phương pháp giải cho dạng tốn đại số hình học Giúp em học sinh biết cần thiết phiên dịch yêu cầu đề toán sang ngơn ngữ tọa độ, sau dùng kiến thức tọa độ để giải tốn, viết cịn giúp em biết cách chọn hệ trục tọa độ cách thích hợp Trong phương pháp tổng hợp, để giải toán ta cần trang bị kiến thức rộng đầy đủ; cần có kỹ vẽ hình dựng hình, chứng minh tính tốn; cần có khả tư cao; phạm vi liên kết kiến thức rộng Cịn phương pháp tọa độ cần có kiến thức vững vectơ tọa độ vectơ khơng gian; nhớ cơng thức, phương trình đường thẳng, mặt phẳng mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng; cần có kỹ tính tốn; khả tư bình thường phạm vi liên kết kiến thức hẹp (chủ yếu tập trung vào việc chọn hệ trục tọa độ gắn tọa độ vectơ thích hợp) Phương pháp tọa độ phương pháp hỗ trợ, thay phương pháp tổng hợp, dù chưa phải phương pháp tối ưu áp dụng phạm vi rộng tốn hình có chứa quan hệ vng góc, khắc phục khiếm khuyết học sinh tư thời gian, nhược điểm lớn phương pháp biểu thức tính tốn cồng kềnh Tuy nhiên phương pháp hữu hiệu giải toán Phương pháp tọa độ phương pháp toán học cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải đối tượng khơng mặt phẳng mà cịn khơng gian Bài viết ngồi việc giúp em củng cố kiến thức tọa độ giúp em thấy rõ ứng dụng to lớn phương pháp tốn hình học đại số Do trình độ, thời gian kinh nghiệm thân cịn hạn chế nên viết khơng tránh khỏi sai sót mong thầy bạn thơng cảm SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 62 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản TÀI LIỆU THAM KHẢO ThS Võ Giang Giai (2007), Chuyên đề ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số toán sơ cấp, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội ThS Đoàn Vương Nguyễn 2004, Giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Phú Khánh, Trần Văn Thương 2008, Cách tìm lời giải tốn Đại số THPT, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Phú Khánh 2011, Bộ đề luyện thi mơn tốn 12 (tái ), NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Phú Khánh, Võ Quốc Bá Cẩn 2011, Kiến thức kinh nghiệm làm qua kì thi Đại học mơn tốn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu 2011, Phương pháp giải tốn chun đề Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Bất đẳng thức, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội Bùi Văn Nghi (2009), Vận dụng lý luận thực tiễn dạy học mơn tốn trường Trung Học Phổ Thông, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội Đào văn Tam (2005), Phương pháp dạy hình học trường Trung Học Phổ Thông, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội 10 http://ww.vi.wikipedia.org/wiki/Mặt_bậc_hai 11 Diễn đàn toán học: http://www.artofproblemsolving.com/Forum SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 63 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 11 I Đưa phương trình P(x,y,z)=0 dạng tắc vẽ đồ thị hàm số cho phương trình .11 II Giải phương trình, hệ phương trình .19 Giải phương trình 19 Biện luận phương trình theo tham số 22 Giải hệ phương trình .27 III Giải bất phương trình, hệ bất phương trình 30 Bất phương trình 30 Hệ bất phương trình 32 IV Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 35 IV Chứng minh bất đẳng thức 38 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC 41 I Tìm cực trị hình học 41 II Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học 45 III Tìm quỹ tích 51 IV Các toán chứng minh qua điểm (đường thẳng) cố định 54 V Các toán tính tốn .56 KẾT LUẬN .62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 SVTH: Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 64 ... Hiền Trang Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản - Làm sáng tỏ sở khoa học phương pháp tọa độ không gian - Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải toán phương pháp tọa độ III Đối... CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN I Cơ sở lý luận phương pháp tọa độ không gian Hệ tọa độ không gian Hệ tọa độ gồm trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc gọi hệ trục tọa độ không gian r r r Nếu ta lấy vectơ đơn vị i... Trịnh Thị Ngọc Hiền Trang 40 Phương pháp tọa độ không gian ¡ GVHD: Cô Phan Thị Quản CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC Phương pháp tọa độ khơng gian ứng dụng tốn hình học