Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi K là hình chiếu của H trên AB... 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)
1) Cho biểu thức
4 x A
x
Tính giá trị biểu thức A x = 36.
2) Rút gọn biểu thức
4 16
:
4
x x
B
x x x
(với x 0, x16).
3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên
Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung công việc
12
5 xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2
1 x y x y
2) Cho phương trình : x2 (4m1)x3m2 2m0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện
2
1
x x
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB
1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minhACM ACK
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C
4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB
AP MB
R
MA .
Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK
Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ của biểu thức M =
2
x y
xy
(2)
-BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm)
1) Với x = 36, ta có : A =
36 10 36
2) Với x , x 16 ta có :
B =
x( x 4) 4( x 4) x x 16 x 16 x 16
=
(x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16
3) Biểu thức B (A – 1) =
x x x x 16 x
=
2
x 16 số nguyên
x – 16 = 1 hay x – 16 = 2 x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18
Bài II: (2,0 điểm)
Đặt x số người thứ hoàn thành công việc x + số người thứ
hai hồn thành cơng việc Vậy ta có phương trình : 1
x x 12 x = 4
Vậy người thứ làm xong công việc người thứ hai làm xong công việc
Bài III: (1,5 điểm)
1)
2 x y x y
2 x y
5 5 [pt(2) 3pt(1)] y
y x
x y
2) = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m
Ta có : x1 + x2 =
b a
= 4m – x1.x2 =
c
a = 3m2 – 2m
Do đó, ycbt (x1 + x2)2 – 2x1x2 =
(4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = m = hay m =
3 Bài IV: (3,5 điểm)
A B
C M
H
K O Q
(3)1) Tứ giác CBKH có hai góc đối HCB HKB 900 nên tứ giác CBKH nội tiếp trong vòng trịn đường kính HB
2) Góc ACM ABM chắn cung AM ACK HCK HBK chắn cung HK
Vậy ACM ACK
3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc
MAC = MBC chắn cung MC nên tam giác Vậy ta có CM = CE CMB 450vì chắn cung CB 900.
Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM OBM Theo giả thuyết ta có
AP MB AP OB
R
MA MAMB Mặt khác ta có PAM ABM cùng chắn cung AM tam giác đồng dạng
Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM
Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vng AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ) Bài V: (0,5 điểm)
M =
2
x y xy
với x, y số dương x 2y
Ta có 2
1 x(2y) M 2(x y )
2 2 2
2 2
x 4y x y 3y 4(x y ) 4(x y )
(Bất đẳng thức Cauchy) =
2
2 2
1 3y 3y
4 4(x y ) 4(4y y ) 20 5 (Thay mẫu số số nhỏ hơn). Suy Max
1
M 5 x = 2y, giá trị nhỏ M =
2 đạt x = 2y. TS Nguyễn Phú Vinh