Chuyen de so phuc

Không có trường hợp phương trình vô nghiệm.. Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất.[r]

ĐẶT VẤN ĐÊ

Số phức đóng vai trò quan trọng là công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp

Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết quan điểm áp dụng các tính chất của số phức

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC

II BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

PHẦN I ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

Số Phức (dạng đại sô) có dạng z = +a bi với a, bỴ R, a gọi là phần thực,

b gọi là phần ảo, i là số ảo, i2 = –1.

z là số thực  phần ảo của số phức z bằng (b = 0)

z là số thuần ảo  phần thực của số phức z bằng (a = 0)

Số vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo

Hai số phức

'

' ' ( , , ', ' )

'

a a

a bi a b i a b a b R

b b

ìï = ï

+ = + Û íï = Ỵ

ïỵ .

Tập hợp các sớ phức kí hiệu là £ và ¡ Ì £ 2 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi (a, bỴ R) xác định một điểm M(a; b) hay xác định một véc tơ u =( ; )a b

r

trong mặt phẳng (oxy) Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa tập các số phức với tập hợp điểm mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian véc tơ hai chiều Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức

3 Tổng hai số phức, hiệu hai số phức

(a bi+ ) (+ a b i'+ ' ) =(a a+ ') (+ +b b i') . (a bi+ ) (- a b i'+ ' ) =(a a- ') (+ -b b i') .

Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số phức z là –z Vậy –z = -a – bi.

Véc tơ ur biểu diễn số phức z, véc tơ ur' biểu diễn số phức z' thì véc tơ u ur+r' biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ u ur- r' biểu diễn số phức z – z’.

4 Nhân hai số phức.

(a bi a b i+ ) ( '+ ' ) =( aa bb'- ') +(ab' + ba i') .

y

O a

5 Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số z = -a bi

1

2

; ' ' ; ' '; z z

z z z z z z z z z z

z z

ổ ửữ ỗ ữ

= = = ỗ ữỗ ữ=

ỗố ứ ; z z. =a2+b2

z là số thực  z=z ; z là số ảo  z= - z

6 Môdul của số phức Số thực

2 z = a +b Ỵ ¡

gọi là môdul của số phức z = a + bi

2

z = a +b = zz =OMuuur với M a b( ); là điểm biểu diễn số phức z.

0, , 0

z ³ " Ỵz C z = Û z=

' '

z z = z z ; ' '

z z

z = z ; z - z' £ z z± ' £ z +z'.

7 Chia hai số phức.

Số nghịch đảo của số phức z là số phức z- thoả mãn z z - 1=1 Kí hiệu

1 z

z - =

;

1

2

1

z z

z - =

(z  0);

1

2

' ' '

'

z z z z z

z z

z z z z

-= = =

;

'

'

z

w z wz

z = Û =

8 Căn bậc hai của số phức.

w= +x yi là bậc hai của số phức z= +a bi và chỉ khi

2

w =z 

2

2

x y a

xy b

ìï - =

ïïí

ï =

ïïỵ .

Số 0 có một bậc hai là số w = 0.

Sớ z ¹ có hai bậc hai đối là w và – w Hai bậc hai của số thực a > 0 là ± a Hai bậc hai của số thực a < 0 là ± -i a

9 Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, CỴ £ , A ¹ 0).

* Tính D =B2- 4AC =d2, d là bậc hai của 

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt B z

A d

- ±

=

* D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) B z

A

=

-

Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ sô thực, z là nghiệm của pt(*) z cũng là nghiệm của pt(*) Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ sơ thực ta biết được nghiệm còn lại.

10 Dạng lượng giác của số phức

Mỗi góc lượng giác j =( ,Ox OM) gọi là một Acgumen của số phức z Khi đó số phức

( )

2

2 2 cos sin

a b

z a bi a b i r i

a b a b j j

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

= + = + ỗ + ữữ= +

ỗ ữ

ố + + ø

với

2 2,cos a,sin b

r a b

r r

j j

= + = =

gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1 cos sin ( )

z = Û z= j +i j j Ỵ R

11 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.

Cho z =r(cosj +isin ) ,j z'=r'(cos 'j +isin ')j Khi đó z z '=rr ' cos(ëé j +j ')+isin(j +j ')ùû

' ' cos( ') sin( ')

z r

i

z =r éë j - j + j - j ùû. 12 Công thức Moa–vrơ:

(cos sin ) n n(cos sin )

r j i j r nj i nj

é + ù = +

ê ú

ë û ,(n NỴ *) .

(cosj +isinj )n =cosnj +isinnj .

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Số phức z =r(cos j +isin )j , (r > 0) có hai bậc hai là

2

cos sin cos sin , 0,1

2 2

k k

rỗổ j i j ữửữ rổỗ j + p i j + pửữữk

ççç + ÷÷= ççç + ÷÷ =

è ø è ø .

Mở rộng: Số phức z=r(cos j +isin )j (r > 0) có n bậc n là

2

cos sin , 0,1, ,

nr ỗổ j +k p +i j +k pửữữk = n

PHẦN II BÀI TẬP

VẤN ĐÊ TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA MỢT SỚ PHỨC Để tìm phần thực, phần ảo của một sô phức ta đưa sô phức đó về dạng đại sơ.

1.1 MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1 Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a z=(2 5+ i) ( - i) +7 3( - i)

b ( ) ( ) ( )

2

1 2 3

z = - i - - i + i

c

3

1

i i

z

i i

- +

=

-+

Bài giải

a z =(26 2+ i) (+ 28 21- i) =54 19- i

Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19 b z = - -( 4i) (- 12 5- i) = - 15+i

Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là

c

( )( )

( ) ( )

3 3 1 3 1

1 2

2 2

i i

z= - - - - i = - - + i- - i

3 2

2 i

- -

-= +

Vậy phần thực của z là

3

-, phần ảo của z là

2

2

-

-VÍ DỤ 2 Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau

a ( )

10

1

z = +i

b ( ) ( ) ( )

2 20

1 1

z = + + + +i i + + +i

Bài giải

a Ta có ( )

2

1+i =2i

suy ( ) ( )

10

1+i = 2i =32i

b Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là (1+i) Suy ra:

( )

( )

( )210 ( ) ( ) ( )

21 10

10 10

1

1 1 2 1 2

1

i i

i i i i

z

i i i

i

é ù

- ê + ú +

- + êë úû - + + +

= = = =

- -

+

( )

10 10

2 1i

= - + +

Vậy phần thực của z là - 210, phần ảo của z là 210+1 VÍ DỤ 3 Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( )

10

3

z= +i Bài giải

Ta có ( )

10 10

10 5

3 cos sin cos sin

6 3

z= +i =ộờờỗổỗỗỗ p+i pữữữửữỳựỳ = ổỗỗỗỗ p+i pữữữữử

è ø è ø

ë û

10 10 10 10 9

2 cos sin 2

3 i 2 i i

p p ổỗỗ ửữữ

= + = + ỗ- ữữ=

-ỗ ữ

ỗố ứ

Vậy phần thực của z là 29, phần ảo của z là - 39

VÍ DỤ Tìm phần thực, phần ảo của số phức

( )

( )

10

5

3

i z

i

+ =

+

Bài giải

Ta có

( )

( )

( )

( )

10

10 10

5

5

2 cos sin

3 6 6

3

3 2 cos sin

6

i

i i

z

i

i i

p p

p p

ộổỗ ửữự

ờỗ + ữữỳ

+ + ờởỗỗố ữứỳỷ

= = =

éỉ - - ứ

- ç ÷

+ êç + ÷ú

÷

ờỗỗố ữứỳ

ở ỷ

5

5

cos sin

3

2

5

cos sin

6

i i

p p

p p

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

=

ổ - - ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

5 5

2 cos sin

2 i i

p p

ổ ữử

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ=

ỗố ứ .

( ) ( )2 ( )10

1 3

z = +i + +i + + +i

Bài giải

Tổng là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân Ta có

( ) ( ) ( )

10

10 10

1 3 10 10

1 cos sin

3

3

i i

z i i

i

p p

+ - - ổỗ ổỗ ửữ ửữ

ữ ữ

= + = ỗỗ +ỗỗỗ ữữ- ữữ

ỗ ố ứ

ố ứ

(Hs làm tiếp)

VÍ DỤ 6 Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết z =5 và (z- 3)i Ỵ ¡ Bài giải

Gọi phần thực, phần ảo của z lần lượt là x, y (x y; Ỵ ¡ ) Ta có

2

5 25

z = Û x +y =

(1)

(z- 3)i =(x yi- - 3)i = +y (x- 3)i Ỵ ¡ Û x=3

(2) Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4

VÍ DỤ 7(KD.2010) Tìm số phức z thỏa mãn z = và z2 là số ảo Bài giải

Giả sử số phức z đó là z = x+iy, x y, ẻ Ă ị x2+y2=2 (1)

Ta lai có ( )

2 2 2

z = x - y + xyi

là số ảo Û x2- y2=0 (2)

Từ (1) và (2) có hệ phương trình

2

2

1 1

1

1

x y x y

x x y

y x y

x y

é = = ê

ê = = -ê

êì

ì ï

ï + = êï =

ïï Û íê

í ï =

-ï - = êï

ï ỵ

ïỵ êìïê

=-ïêí êï =ïêỵë

Vậy có sớ phức z thoả mãn là 1+ - -i; i;1- i; 1- +i

VÍ DỤ CĐ 2010. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( )

2

2 3- i z+ 4+i z = - 3+ i

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

Giả sử số phức z đó là z = x+iy, x y, ẻ Ă ị z = -x yi Ta có (2 3- i z) +(4+i z) =(6x+4y) (+ - 2x- 2y i) , ( )

2

1 3i 6i

- + =

-

Suy

( ) ( ) ( )2

2

2

x y x

i z i z i

x y y

ì ì

ï + = ï =

-ï ï

- + + = - + Û íï Û íï

- - = - =

ï ï

ỵ ỵ .

Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, VÍ DỤ 9 Tìm các bậc hai của số phức 16 30+ i Bài giải

Giả sử w = x+iy, x y, Ỵ ¡ là bậc hai của số phức 16 30+ i và chỉ

khi

2 16 5

3

2 30

x x y

y xy

ì ì

ï - = ï =

ï ï

ï Û

í í

ï = ï =

ï ïỵ

ïỵ hoặc

5

x y

ìï = -ïí ï =

-ïỵ .

Vậy có hai bậc hai của số phức 16 30+ i là ; 3+ i - - i 1.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1 Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau

a ( ) ( )

3

2+i - 3- i

b

7

1

2i i i

ổ ửữ

ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

c ( ) ( ) ( )

33

10

1

1 3

1

i

i i i

i i

ổ+ ữử

ỗ ữ + - + + - +

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-è ø

Bài 2 Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau

a

( )

( )

50

49

1

i z

i

+ =

+

b ( )

7

cos sin

3 i i i

p p

ổ ửữ

ỗ - ữ +

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

c

10 10

1

z

z

+

biết

1

z z

+ =

Bài 3 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết z =5 và

7

z i z

-Ỵ

+ ¡

Bài 5 Cho số phức z = +x yi (x y; Ỵ ¡ ) Tìm điều kiện của x; y để số phức

(2- z i)( )+z

là số thuần thực

Bài 6 Biết số (2- z i)( +z) là một số thuần ảo, hãy tìm 2z- (2+i)

Baøi 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

(3 )(2 )

(3 )

(4 )

i i

z i

i

+ +

= - +

+

Bài 8. Viết sớ phức sau dưới dạng a+bi.

a) (1+i)2- (1– )i b) (2+i)3- (3- i)3 c) (3 )+ i

d)

3

1

2 i

ổ ửữ

ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ e)

2

2

(1 ) (1 )

(3 ) (2 )

i i

i i

+ -

-+ - + f) (2- i)6

Bài 9.Cho các sớ phức z1= +1 2,i z2= - +2 3,i z3= -1 i Tính

a)z1+ +z2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 c) z z z1

d) z12+z22+z32 e)

1 3

z z z

z +z +z f)

2 2

2 2

z z

z z

+ +

Baøi 10. Tìm x, y cho

a) (1 )- i x+ +(1 )y i = +1 i b)

3

3

x y

i

i i

-

-+ =

+

-Baøi 11. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử, với a, b, c  R:

a) a2+1 b) 2a2+3 c) 4a4+9b2 d)

2

3a +5b

e) a4+16 f) a3- 27 g) a3+8 h) a4+a2+1

Baøi 12. Tìm các bậc hai của các số phức sau

a) - +1 3i b) 5+ i c) - -1 6i d) - +5 12i

Baøi 13. Tìm các bậc hai của các số phức sau

e)

2

1

i i

ổ+ ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ f)

2

1

3

i i

ổ- ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

VẤN ĐÊ 2: DANG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP

Biến đổi

( )

2

2 2 cos sin

x y

z x yi x y i z i

x y x y j j

ỉ ư÷

ỗ ữ

ỗ

= + = + ỗ + ữữ= +

ỗ ữữ

ỗ + +

è ø

Sau đó sử dụng linh hoạt công thức Moa–vrơ Sau một số ví dụ bản. 2.1 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ Viết số phức z= - +1 3i dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một acgument của z.

Bài giải

Biến đổi

1 2

1 2 cos sin

2 3

z = - + i = ỗổỗỗ- + iữữữửữ= ỗỗỗỗổ p+i pữửữữữ

ỗ ữ ố ứ

ỗố ứ Suy

z có một acgument là

2

p j =

VÍ DỤ Viết số phức z cos5 isin5

p p

=

dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một acgument của z.

Bài giải

Biến đổi

cos sin cos sin

5 5

z = p- i p =ổỗỗỗ ỗỗổ ửỗỗ- pữữữữ+i ỗỗổ ửữỗỗ- pữữữữữữữử

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ Suy z có một

acgument là p

-

Nhận xét: Thường học sinh hay nhầm lẫn z cos5 isin5

p p

=

là dạng

lượng giác và z có một acgument là p

VÍ DỤ Tìm một acgument của số phức

40 20

(2 )

i

z i

i

ỉ+ ư÷

ỗ ữ

ỗ

= + ỗỗố ữữ

ø

Biến đổi: ( )

20

20 20 20

(2 ) cos sin cos5 sin5

4

i ổỗ p i pửữữ p i p

+ = ỗỗ + ữữ = +

ỗố ứ

( )40 40

40 40 40 40

1 cos sin cos sin

3 3

i ỗổ p i pữữử ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗỗ + ữữ = ỗỗỗ + ÷÷

è ø è ø

( )40 40 ( ( ) ( ))

1 cos sin cos 10 sin 10

4

i ổỗ - p i - ÷pư÷ p i p

- =ỗỗ + ữ = - +

-ữ

ỗố ø

Suy

( ) ( )

( )

40 40

20 20

40

1

1

(2 ) 2

1 1

i i

z i i

i i

ỉ+ ư÷ +

ỗ ữ

ỗ

= + ỗỗố ÷÷ = +

ø

-

( )

( ) ( )

( )

40 20

40 40

2 cos sin

3

2 cos5 sin5

cos 10 sin 10

i i

i

p p

p p

p p

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

= +

- +

60 25 25

2 cos sin

3 i

p p

æ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứ

60

2 cos sin

3 i

p p

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứ Võy z có một acgument là

3

p

Các em H.S thường gặp phải khó khăn cố gắng khai triển luỹ thừa

( )40 ( )40

20

(2 ) , 1+ i + 3i , 1- i

Khi gặp luỹ thừa bậc cao, ta nên đưa về dạng lượng giác, sau đó vận dụng công thức Moa–vrơ

Chúng ta sẽ bàn kĩ về ứng dụng dạng lượng giác được trình bày VẤN ĐỀ 6, áp dụng cho một số bài toán: Chứng minh đẳng thức lượng giác, giải hệ phương trình

2.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Tìm mợt Acgument của số phức sau:

a) - +2 3.i b) – 4i c) 1- 3.i

d) cos4 i.sin4

p p

-e) sin8 i.cos8

p p

-

a) cos18( o +isin18 cos72o) ( o +isin72o) b) cos85 sin85 cos40 sin40 i i + + o o o o c) 0 0

2(cos45 sin45 ) 3(cos15 sin15 )

i i

+

+ d)

2

2(cos sin )

3

2(cos sin )

2 i i p p p p + +

Baøi 3. Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau

a) 1- i b) (1- i 3)(1+i) c) .( 3i - i)

d) i i -+ e) tan i p + f)

(1 )(1 )

i

i i

+

+

-Baøi 4. Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau:

a) (2+i)6 b) ( )

60

1 i

- + c)

40

(2 ) i i i ổ+ ửữ ỗ ữ ỗ - ỗỗố ữữ ứ -d) 100 cos sin

1 4

i i i p p ổ+ ữử ổ ửữ ỗ ữ ỗ + ữ ç ÷ ç ÷ ç ç

è - ø è ø e) ( )17

1 3- i Baøi 5. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau

a) ( )

5

cos12o + sin12i o

b) ( )

7

0

2 cos30 isin30

é + ù

ê ú

ë û

c) (1+i)2010+ -(1 i)2010 d)

2010 i i ổ+ ữử ỗ ữ ç ÷ ç ÷ çè ø e)

(cos sin ) (1 )

3 i i i

p p - + f) 2011 2011 z z + , biết 1 z z + =

Baøi 6. Chứng minh

a) sin5t =16sin5t- 20sin3t+5sint b) cos5t =16cos5t- 20cos3t+5cost

c) sin3t =3cos2t- sin3t d) cos3t =4cos3t- 3cost

Baøi 7. Chứng minh

30 i i ổ + ữử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗố + ứ la số ảo.

Trong mục này ta xét việc giải phương trình đó ẩn số của mỗi phương trình là một số phức z Chú ý rằng các phương trình mẫu mực, các phương pháp giải mẫu mực phương trình với các hệ số và ẩn số là số thực được chuyển thể nguyên vẹn sang phương trình phức Điểm khác biệt với phương trình tập số thực là phương trình phức bậc n luôn có n nghiệm, tính cả nghiệm bội Không có trường hợp phương trình vô nghiệm Sau ta xét một số ví dụ bản sau

3.1 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

Dạng Phương trình bậc nhất phương trình quy về bậc nhất. VÍ DỤ Giải phương trình sau tập số phức:

a 2iz+ -1 i =0 b

z i i z i

-=

+ c (1 2- i z) - 2+ =i

Bài giải a

(1 ) 1 1

2

2 2

i

iz i z i

i

-

-+ - = Û = = +

b ( )

2

2

z i z i

i

z i i z i z i

ìï ¹

ïï

= Û í

ï - = +

+ ïïỵ

(1 2)

z i

i z i

ìï ¹

-ïï

Û íï - = - +

ïïỵ

2

1 5

z i z i

i

z z i

i

ì ì

ï ¹ ï ¹

ï ï

ï ï

Û íï - + Û íï

= = -

-ï ï

ï - ï

ỵ ỵ

Vậy phương trình có nghiệm là

4 5

z= - - i c

2

1 5

i

z z i

i

-= Û = +

- Vậy

4 5

z = - i VÍ DỤ Giải các phương trình sau

a ( ) ( )

2

2

z z i+ - z- i = iz+ - i

b 2

z i

iz i

z + - + - =

Bài giải

a Khai triển vế trái và thu gọn ta đưa phương trình về dạng

( ) ( )2 5

2

3 3

i

z z i z i iz i iz i z i

i

-+ - - = + - Û = - Û = = -

-Vậy phương trình có nghiệm là

5 3

b ĐK: z¹ ±i z, ¹ - +3 2i

Thực hiện quy đồng vế trái của phương trình ta được phương trình

( )

( )( )

2

2

0

2

1

i z i

z i

iz i

z z iz i

-

= Û =

+

-+ + +

( ) ( )

3

2 /

13 13

i z i z - i t m

Û - - = Û = +

Vậy phương trình có nghiệm là

3

13 13

z=- + i .

Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm cho rằng z2+ ¹1 0,"z Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng i2= -

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức

Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, Cẻ Ê , A ạ 0).

* Tính D =B2- 4AC =d2, d là 1căn bậc hai của 

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt B z

A d

- ±

=

* D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép)

B z

A

=

-

Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ sô thực, z là nghiệm của pt(*) z cũng là nghiệm của pt(*) Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ sơ thực ta biết được nghiệm còn lại Không có trường hợp phương trình bậc hai vơ nghiệm.

VÍ DỤ Giải phương trình tập số phức:( ) ( )

2

1- i z - 2+ i z- 4=0

Bài giải

Pt: ( ) ( )

2

1- i z - 2+ i z- 4=0

( )

2 21 1 0

1

i

z z i

i

+

Û - - + =

- Û z2+ -(1 3i z) - 1( + =i) 1( )

Ta có: ( ) ( )

2

1 3i i 2i

D = - + + =

2 0 1; 1

1;

1

x y

x y

x y

xy

ì é

ï - = = =

ïï Û ê

í ê

ï = ê = - =

-ï ë

ïỵ

Khi đó, D có một bậc hai là + i Vậy (1) có hai nghiệm là

1

3 1 1

2,

2

i i i i

z = - + + = i z = - - - = - +i

Nhận xét: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lý Viét vẫn đúng trường hợp xét phương trình bậc tập hợp số phức

VÍ DỤ Giải phương trình sau tập số phức

(2 3- i z) 2+(4i - 3)z+ -1 i =0

Bài giải

Cách Giải theo biệt thức D Cách Nhẩm nghiệm.

Ta có: (2 3- i) (+ 4i- 3) + -1 i =0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm z= và

( ) ( )

1 1

1

2 13 13

c i i

z i i

a i

- +

= = = - - =

.

VÍ DỤ 3 Cho a, b, c là ba số phức phân biệt khác và a =b =c Chứng minh rằng nếu một nghiệm của phương trình az2+bz c+ =0 có môđul bằng thì b2 =ac

Bài giải

Giả sử z z1, là các nghiệm của phương trình az2+bz c+ =0 với z1 =1

Theo định lý Viét ta có 2

1

c c

z z z

a a z

= Û =

suy

1

c z

a z

= =

Bởi vì ,

b

z z a b

a

+ = - =

1

z z

Þ + =

Suy

( 2)( 2) ( 2)

1

1

1

z z z z z z

z z

ổ ửữ

ỗ ữ

+ + = + ỗỗ + ữ=

÷

( )

2

2 2

1 2

b c

z z z z b ac

a a

ổ ửữ

ỗ ữ

+ = -ỗỗ ữữ= =

ỗố ứ (đpcm).

Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai

VD4.(Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – 2009). Giải phương trình sau tập số phức

4

2

z i

z i z i

-

=

.

Đây là phương trình chứa ẩn mẫu Trước giải ta nên đặt ĐK cho phương trình

Bài giải

Với điều kiện z ¹ i, đó pt:

( ) ( ) ( ) ( )

4z- 7- i = z i z- - 2i Û z - 3i +4 z+ +1 7i =0

Ta có ( ) ( )

2

3i 4 7i 4i

D = + - + =

-Gỉa sử z x yi x y= + ( , Î ¡ ) là bậc hai của D đó ta có hệ sau để xác định x, y:

2 3 2; 1

2;

2

x y

x y

x y

xy

ì é

ï - = = =

-ïï Û ê

í ê

ï = ê = - =

ï ë

ïỵ

D có mợt bậc hai là – i Pt(1) có hai nghiệm là z= +3 i t m( / ),

( )

1 /

z = + i t m

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là z = +3 i, z = +1 2i VÍ DỤ Giải phương trình với z là số phức:( ) ( )

2

2 4 12 0

z +z + z + -z =

Phương trình là phương trình bậc phải có đủ nghiệm ( Tính cả nghiệm bội ) Trong phương trình có biểu thức z2+z chung nên ta giải sau

Bài giải

Đặt

2

t =z +z

, ta có pt:

2 4 12 0

2

t

t t

t

é = -ê

+ - = Û ê =

ê ë

1 2 23

6 1 23

2

1

i z

z z i

z z z z z é - + ê = ê ê é + + = ê -ê Û ê = ê + - = ê ê ê ë = ê ê = -ê ë

KL: Pt có nghiệm là

1 23 23

; ; 1;

2

i i

z =- + z =- - z = z =

- VÍ DỤ Giải phương trình với ẩn z là số phức:

2

4 1 0

2

z

z - z + + + =z

Bài giải

Vì z = không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có

( )

2

2

1 1 1

0

2

z z z z

z z z z

ỉ ư÷ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ - + + + = ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ = ố ø è ø Đặt , t z z æ ửữ ỗ ữ =ỗỗ - ữữ

ỗố ứ giai pt:

2

1

5 2

0 2

1

2

i t

t t t t

i t é + ê = ê - + = Û - + = Û ê -ê = ê ë

+ Nếu

1

i t = +

, ta có: ( ) ( )

2

1

2 2

2

i

z z i z

z

+

- = Û - + - =

Vì D = +8 6i , có bậc hai là 3+i và -3-i, nên

( )

2

1 3

1

2

1 3 1

4 2

i i z i i i z i é + + + ê = = + ê Û ê + - -ê = = - + ê ë . + Nếu i t =

-, ta có : ( )

2

2z - 3- i z- 2=0

3 1 2 z i z i é = -ê ê Û ê = -ê ë

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

1

1 ;

2

z = +i z = - + i

3

1

1 ;

2

Phương trình xuất phát từ phương trình bậc đối xứng hoặc bán đối xứng

quen thuộc tập số thực dạng ( )

4 0, 0

ax - bx +cx +bx a+ = a¹

,

( )

4 0, 0

ax +bx +cx +bx a+ = a¹

Sau ta xét mợt số ví dụ khác được suy từ những phương trình thường gặp tập số thực dạng:

 Bậc trùng phương.

 Dạng (x a x b x c x d- ) ( - ) ( - ) ( - ) =e với a b c d+ = + .  Dạng

2

2 , '

' ' ' ' ' '

ax bx a cx dx c

e aa a x b x a c x d x c

+ + + +

+ = ¹

+ + + + .

 Dạng ( ) ( )

4

x a- + x b- =c

 Nhẩm nghiệm sau đó hạ bậc bằng phép chia đa thức hoặc sư dụng lược đồ HoocNe.

 Phương trình quy về dạng tích bằng 0. VÍ DỤ Giải phương trình 2

2 13

6

2 3

z z

z - z+ + z + +z = HD: Đặt

3

t z z

= +

VÍ DỤ 8 ( Dạng bất thường) Giải phương trình 3z+2 i z+ -1 4i =0

HD Sử dụng phương pháp tìm phần thực, phần ảo số phức z= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) VÍ DỤ Tìm giá trị tham số m  cho (z i z- )( 2+2mz m+ 2- 2m) =0

a Chỉ có đúng một nghiệm phức b Chỉ có đúng một nghiệm thực c Có ba nghiệm phức

Bài giải

Kí hiệu phương trình ( )( ) ( )

2 2 2 0 1

z i z- + mz m+ - m =

( )1 2 2 ( )2

z i Pt

z mz m m

é = ê

Û ê +ê +

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm thực.

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có một nghiệm thực, không có nghiệm phức.

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm phức, không có nghiệm thực Do vậy

a Phương trình (1) Chỉ có đúng một nghiệm phức   ' 2m 0 m0.

b Phương trình (1) chỉ có đúng một nghiệm thực   ' 2m 0 m0.

c Phương trình (1) có ba nghiệm phức    ' m0 3.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài Giải các phương trình sau tập số phức

a) 3

Z

i i = +

- +

b) ( ) ( ) ( )

2

2 3- i Z+ 4+i Z+ +6 3i = - 3+ i

c) Z2+ =Z

d)

2

4

5

1

z z

z z

ổ + ửữ ổ + ửữ

ỗ ữ- ỗ ữ+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ç ÷

ç - ç

-è ø è ø

e) ( )

4

4 4 82

Z + Z - =

f) ( ) ( )

2

2 3 6 2 3 6 3 0 Z + Z + + Z Z + Z + - Z =

g) ( )

2 os i sin os sin 0

Z - c j + j Z c+ j j i =

Bài Tìm những số thực a, b để có thể phân tích

( )( )

4 2 3 2 2 1

Z + Z + Z + Z+ = Z + Z +aZ b+

rồi giải phương trình Z4+2Z3+3Z2+2Z + =2 £ Baøi Giải các phương trình sau tập số phức ( x là ẩn)

a) x2- 3.x+ =1 b) 2.x2- 3.x+ 2=0

c) 3x2- x+ =2 d) 2x4+16=0 e) (x+2)5+ =1 Baøi Giải các phương trình sau tập số phức ( z là ẩn)

Baøi Giải các phương trình sau tập số phức ( z là ẩn)

a) (3 ) (- i z i2 + =) 3i b)

2

1

i i

z

i i

+ - +

=

- + c)

1

3

2

zổỗỗỗ - iửữữữ= + i

ữ

ỗố ứ

d)

3

2

i

i z

+

=

-e) (z+2)i =(3i - z) (- +1 3i)

f) (z+3 )(i z2- 2z+5)=0 g) ( )

3

7

2

2

i i

z i

+ +

= +

-h) (z2+4)(z2+2z+10)=0 i)

4

1

z i z i

æ+ ữử

ỗ ữ =

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ

Baứi Giai các phương trình sau tập số phức ( z là ẩn)

a) i z2- 2z- 4+ =i b)z2+2(1+i z) + +4 2i =0

c)( ) ( )

2

2 +2

z+ i z+ i - =

Bài Giải các phương trình sau tập sớ phức

a) (z z z z+ )( - )=0 b) z2+ + =z c) z2 = +z d) 2z+3z = +2 3i e)

2

4z +8z =8 f) z3 =z

g) 4z2+8z2=8 h)

2 0

z +z =

i)

2

2 0

z + z =

k) z+2z= -2 4i l) z - 2z = - -1 8i m) z2- z =0 Baøi Giải các phương trình sau tập số phức

a)

2

4

5

z i z i

z i z i

ổ + ửữ +

ỗ ữ- + =

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ -

-ố ø b) (z+5i z)( - 3)(z2+ +z 3) =0

c) z2- 2iz+ -2i 0= d) z3- (1+i z) 2+(3+i z) - 3i =0 e) (z + i z)( 2  - z + ) = f)

2 80 4099 100 0

z - z+ - i =

Baøi Giải các pt sau tập số phức biết chúng có một nghiệm thuần ảo

a)z3- iz2- 2iz- 2=0 b) z3+ -(i 3)z2+ -(4 )i z- 4+ i =0

b) Chỉ có đúng một nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Baøi 11 Tìm m đê phương trình sau: z3+ +(3 i z) 2- 3z- (m i+ =) có ít nhất mợt nghiệm thực

Bài 12 Tìm tất cả các số phức z cho (z- 2)(z +i) là sớ thực Bài 13 Giải các phương trình trùng phương

a) z4- 6z2+25=0 b) z4- 24(1- i z) 2+308 144- i =0 c) z4+6(1+i z) 2+ +5 6i =0 d) z4- 8(1- i z) 2+63 16- i =0

Baøi 14 Cho z z1, 2 là nghiệm của phương trình:

( )

2 1 2 2 3 0

z - +i z+ - i =

Tính giá trị của các biểu thức sau

a)

2 2

z +z

b) z z1 22 +z z1 22 c)

3

z +z

d) 2

1 2

z z

z z z z

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ + ữ+ ỗ + ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ e) z z2 13+z z1 23 f)

1 2

z z

z + z Baøi 15 Cho x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2- x+ =1 0

Tính giá trị của các biểu thức:

a) x12010+x22010 b)

2011 2011

1

x +x c) 2,

n n

x +x n NỴ

Bài 16 Tìm hai sớ biết tởng và tích của chúng là

a) 3+ i và - +1 3i b) 2i và - +4 4i

Bài 17 Tìm phương trình bậc hai với hệ sớ thực nhận  làm nghiệm

a) a = +3 4i b) a = 7- i c) a = -2 5i

d) a = - -2 i e) a = 3- i f) a = - i

g) a =(2+i)(3- i) h) a =i51+2i80+3i45+4i38 i)

5

i i a = +

-Bài 18 Tìm tham sớ mỴ ¡ để phương trình z2- mz m+ + =1 có hai nghiệm z1, z2thoả mãn điều kiện:

2

1 2

z +z =z z + .

nghiệm z1, z2thoả mãn điều kiện:

3

1 18

z +z = .

Baøi 20 Cho z z1, là nghiệm phương trình

(1+i 2)z2- (3 )+ i z+ -1 i =0

Tính giá trị của biểu thức sau

a)

2 2

A =z +z

b)

2

1 2

B = z z +z z

c)

1 2

z z

C

z z

= +

VẤN ĐÊ 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

BÀI TOÁN: TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIÊU KIỆN CHO TRƯỚC – MAX, MIN MÔĐUL

4.1 PHƯƠNG PHÁP ĐAI SỐ: Tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo

Giả sử số phức z có dạng z= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) Từ giả thiết đề bài ta thiết lập biểu thức giữa x, y Sau là một số biểu thức thường gặp

Biểu thức Đường tương ứng

( 2 )

0,

ax by c+ + = a +b ¹ Đường thẳng

2 , 0

y=ax +bx c a+ ¹ Đường parabol

( )

,

ax b

y ad bc

cx d

+

= - ¹

+ Đường hyperbol

( ) (2 )2 2

x a- + y b- =R Đường tròn

2 2

x y

a +b = Elíp

4.1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn

a z- 1+ = +i z b 2z i- = -z z+2i

c ( )

2 4

z - z =

Giả sử z= +x yi x y( ; Ỵ ¡ ) và M x y( ); là điểm biểu diễn của z a z- 1+ = + Ûi z (x- 1) (+ y+1)i = (x+ -2) yi

( ) ( ) ( )

2 2 2

1

x y x y

Û - + + = + + Û 3x y- + =1 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường thẳng có phương trình là

3x y- + =1

Mở rộng: giả thiết đề bài sửa thành z- 1+ > +i z ta biến đổi được

3x y- + <1 và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn sô z là nửa mặt phẳng

không chứa gôc tọa độ bờ là đường thẳng 3x y- + =1 b 2z i- = -z z+2i Û 2x+ -(y 1)i = 2(y+1)i

( ) ( )

2

2

2 1 1

4

x

x y y y

Û + - = + Û =

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một parabol có phương trình là

2

4

x y=

Mở rộng: ta kết luận thế nào nếu biểu thức lien hệ là

2

4

x y>

?

c ( )

2

2 4 4 4

z z xyi y

x

- = Û Û = Û = ±

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là hai hyperbol có phương trình

1

y x

=

và

1

y

x

=

-

d ( )( ) ( ) ( )

2

2- z i+z = = - x - y +2x y+ + -2 2y x i

-là số thuần ảo

phần thực bằng ( )

2

2

1

2

x ổỗy ửữữ

- +ỗỗ - ữữ=

Võy tõp hợp các điểm biểu diễn số z là một đường tròn có phương trình

( )2 12

1

2

x- + -ổỗỗỗy ửữữữữ=

ỗố ứ .

M rụng: ta kờt luõn nh thế nào nếu hệ thức tìm được là

( )2 12

1

2

x- + -ổỗỗỗy ửữữữ< ữ

ỗố ứ ?

4.1.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài Tìm mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a Phần thực của z bằng -2 b Phần ảo của z bằng

c Phần thực của z thuộc (- 1;2) d Phần ảo của z thuộc é ùê úë û1;3 e Phần thực của z thuộc (- 1;2)và phần ảo của z thuộc é ùê úë û1;3

Bài Tìm mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z =1 b z- 3+ i =3 c.z i- £

d 1£ 4i- z £

Bài Tìm mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z i+ = -z 3- i b

3

z i z i

-=

+ là số thực c

z i z i

-= +

d z = -z 4+ i e z2 là số ảo f z2 =( )z

g

3

z i z i

-=

+ h z- = (1+i z) i z z+ + =3

4.2 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: Sư dụng các quỹ tích hình học bản Chú ý rằng, mỗi số phức z = x + yi tương ứng với một điểm M(x;y) mặt phẳng phức oxy, và ngược lại Môdul z z- o là khoảng cách giữa hai điểm

tương ứng M(x; y) và Mo(xo; yo) tương ứng với hai số phức z, zo. Sau ta xét một số tập hợp điểm bản hình học

Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi

( )

,

o

z z- =R R > Đường tròn tâm Mo, bán kính R, với Mo

là điểm ứng với zo

1 2

z z- + -z z = a> c> Elip tâm sai là F1, F2 tương ứng với M1,

M2 và khoảng cách F1F2 = 2c

1 2

z z- - z z- = a> Hyperbol tâm sai là F1, F2 tương ứng với

M1, M2 và khoảng cách F1F2 = 2c

4.2.1.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z biế a z- 3+ i = + -z i b z+ -4 2i =5

c z- 4+ + =z 10 d z- 2- z+2 =3

Bài giải

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi a Xét hai điểm A(2;-3) và B(-1;1)

Nhận thấy ( ) ( )

2

2 3

z- + i = x- + y+ =MA Tương tự z+ -1 i =MB

Vậy giả thiết z- 3+ i = + -z i Û MA =MB

Suy tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB b Xét điểm I(-4;2)

Từ giả thiết: z+ -4 2i = Û5 IM =5

Suy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-4;2), bán kính R = c Xét hai điểm F1( )4;0 và F2(- 4;0)

Giả thiết z- 4+ + =z 10Û MF1+MF2 =10

Suy tập hợp các điểm M là Elip có tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ

dài trục nhỏ 2b = phương trình chính tắc là:

2

1

25

x y

+ =

d Xét hai điểm F1( )2;0 và F2(- 2;0)

Giả thiết: z- 2- z+2 = Û3 MF1- MF2 =3 Suy tập hợp các điểm M

Phương trình chính tắc là :

2

4

1

9

x y

- =

VÍ DỤ 3. Trong các số phức z thỏa mãn z- 1+ £i 2, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Bài giải

Tập số phức z thoả mãn z- 1+ £i 2hình tròn tâm I( 1; -1 ), bán kính R =

có phương trình là ( ) ( )

2

1

x- + y+ £

Môđul z là khoảng cách từ gốc

O(0; 0) đến điểm M(x; y) tương ứng với số phức z

A I O

Giải hệ phương trình ta suy được điểm A

VÍ DỤ Cho số phức z¹ thỏa mãn z ³ Tìm GTLN- GTNN của z i

P

z

+ =

Bài giải Đặt

z i w

z

+ =

Ta có 1,( 1)

z i i

w z w

z w

+

= Û = ¹

-Do

1

2

1

i

z w

w

³ Û ³ Û - £

- Như vậy tập hợp số phức w là hình

tròn tâm I(1; ), bán kính

1

R =

, (Bỏ điểm I) giá trị P = w là khoảng cách từ gốc O đến điểm M(x; y) thuộc hình tròn tương ứng với số phức z

1

A I( 0; ) B

O( 0; )

Số phức z có môđul nhỏ nhất ứng với điểm A(x; y) (trên hình vẽ) Điểm A hình vẽ thoả mãn hệ sau

( ) (2 )2

1

0

OA tOI

x y

t

ìï =

ïï

ïïï - + + =

íï ï < ïï ïïỵ

uuur uur

Như vậy giá trị P lớn nhất là

1

2 +

tại điểm

1

1 ;0

4.2.2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a 1- z = +z 2i b 2z- (4 6- i) =

c z- 3+ + =z 10 d z- 5- z+ =5

Bài Trong các số phức z thỏa mãn

a z- =2, hãy tìm số z có môđun nhỏ nhất

b |z – 2+3i| =

3

2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Bài 6.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

a z iz+ là số thuần ảo, hãy tìm số z cho z- (3+i) nhỏ nhất

b (2+i z) + -(2 i z) =3 Tìm số phức z thỏa mãn z- 2+ i nhỏ nhất Bài Tìm số phức z thỏa mãn:

1 10

2

z i

z z i

ìï - - = ïïï

í

-ï =

ïï + ïỵ

Bài 8. Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức w=z2 các trường hợp sau:

1/ z = +1 yi 2/ z = +x i

3/ z = +x yi, x y+ =1 4/ | | 2z < , arg< z<p Bài Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức

1 w

z

=

các trường hợp sau:

1/ | | 1z < 2/ z= +x yi,0< <x 3/ argz p

< <

Bài 10. Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng biểu diễn số phức w, các trường hợp sau:

a

1 w

1

z z

-=

+ với | | 1z < b w

z i z i

+ =

c w

z i z

-=

với z= +x yi với y>1

d

1 w

2

z z

+ =

+ với 1 | | 2< z <

e w

z i z i

-=

+ với | | 1z < và |z- 1|< 2.

Bài 11. Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau:

a Một acgumen của z- (1 2+ i) bằng p

b Một acgumen của z i+ bằng một acgumen của z-

Bài 12. Xác định tập hợp các điểm M mặt phẳng biểu diễn các số phức z

sao cho

2

z z

-+ có một acgumen bằng 3

p .

VẤN ĐÊ 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC 5.1 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình hai ẩn Z1, Z2 sau tập các số phức

1 2 2

4

Z Z i

Z Z i

ìï + = +

ïïí

ï + =

-ïïỵ

Bài giải

Ta có

( )2 ( 2 2) ( ) ( )

1 2

1

4

5

2

Z Z Z Z i i

Z Z = + - + = - - = + i

Hệ phương trinh trình đã cho tương đương với hệ

( ) ( )

1

1

4

5

Z Z i

Z Z i

ìï + = +

ïïí

ï = +

ïïỵ

Theo định lý Viet, Z1 và Z2 là các nghiệm của phương trình sau( xét tập số

phức) ( ) ( )

2 4 5 5 0 3

t - +i t+ + i =

Giải PT(3) ta có :

( )

2

3

1

t i

t i

é = -ê

(Z Z1, 2) (= 3- i;1 ,+ i) (Z Z1, 2) = +(1 ; 3i - i)

VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình hai ẩn Z, W tập các số phức :

( )

( )

3

W

W

Z i

Z i

ìï + = +

ïïí

ï + = - +

ïïỵ

Bài giải

Biến đởi ( ) ( )

3

3 W3 W 3 W W

Z + = Z + - Z Z +

( ) ( )3 ( )

9 i 27 i W.3 1Z i

Þ - + = + - +

( ) ( ) (3 )

W 1 5 W

Z i i i i Z i

Û + = + - - + = - + Þ =

Vậy hệ đã cho tương tương với hệ sau

( )

W

W

Z i

Z i

ìï + = +

ïí

ï =

ïỵ .

Theo định lý Viet thì Z, W là các nghiệm của phương trình bậc hai sau ( xét

tập số phức) ( ) ( )

2 3 1 5 0

t - +i t+ i =

Giải pt(3) ta có

2 ; W

1 ; W

Z i i

Z i i

é = + = +

ê

ê = + = +

ê ë

Vậy hpt có nghiệm là (Z W, ) (= 2+i;1 , ,+ i) (Z W) (= +1 ;2i +i) 5.2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Baøi 1. Giải các hệ phương trình sau:

a)

1 2 2

4

z z i

z z i

ìï + = + ïïí

ï + =

-ïïỵ b)

1 2 2

5

5

z z i

z z i

ìï =

-ïïí

ï + = - +

ïïỵ c)

3 2

0

.( )

z z z z

ìï + = ïï

íï =

ïïỵ

d)

1 3

1

1

z z z

z z z

z z z

ìï + + =

ïï

ï + + =

íï

ï =

ïïỵ e)

2 2

5

z z i

z z i

ìï + = + ïïí

ï + =

-ïïỵ

f)

2

1 2

1

4

2

z z z z

z z i

ìï + + =

ïïí

ï + =

ïïỵ

a)

2

3

x y i

x y i

ìï + = -ïí

ï + =

-ïỵ b) 2

5

8

x y i

x y i

ìï + = -ïïí

ï + =

-ïïỵ c)

4

x y

xy i

ìï + = ïí

ï = +

ïỵ

d)

2

1 1

2 2

i x y

x y i

ìïï + = -ïï

íï

ï + =

-ïïỵ e)

2 6

1

5

x y x y

ìï + = -ïïï

íï + =

ïïïỵ f)

3

1 17

26 26

x y i

i x y

ìï + = + ïïï

íï + = + ïïïỵ

g)

2

5

x y i

x y i

ìï + = -ïïí

ï + = +

ïïỵ h) 3

1

2

x y

x y i

ìï + = ïïí

ï + =

-ïïỵ i)

3

3

3

3

x xy y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

-ïïỵ

VẤN ĐÊ MỢT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Một phương trình ẩn phức f z( ) =0 với z= +x yi có thể giải bằng cách tách phần thực phần ảo Ta đưa phương trình về dạng:

( ) ( ), ( ), ( )( ), ( )*

,

h x y f z h x y g x y i

g x y

ìï =

ïï

= Û + = Û í

ï =

ïïỵ

Như vậy việc giải phương trình ẩn phức quy về việc giải hệ phương trình đại số (*)

2 Từ nhận định trên, ta có thể tiến hành quy trình ngược lại Giải hệ phương trình đại số (*) quy về giải phương trình với ẩn phức Chú ý rằng cho số phức z =r(cosj +isinj ) thì có n số phức w thoả mãn wn =z (số phức w gọi là bậc n của z), và w được tính công thức

2

cos sin , 0,1,2, ,

n k k

w r i k n

n n

j p j p

ổ + + ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ =

-ỗố ứ .

Sau õy là một số VD và bài tập minh hoạ 6.1 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ Giải hệ phương trình sau

( )

3

2

3

, ,

3

x xy

x y x y y

ìï - =

ïï Ỵ

íï - =

ïïỵ ¡ .

thì cũng gặp nhiều khó khăn vì phương trình bậc thu được không có nghiệm hữu tỷ Để ý thấy vế phải của hệ phương trình là 1, 1, vế trái của hệ có bậc nên ta xuất phát từ số phức 1+i

Bài giải

Ta tìm số phức w= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) cho w3 = +1 i Khai triển vế trái

( )3 ( 3 2) ( 2 3)

2

3

1 3

3

x xy

x yi i x xy x y y i i

x y y

ìï - =

ïï

+ = + Û - + - = + Û í

ï - =

ïïỵ

Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w

Mặt khác w là bậc ba của số

1 cos sin

4

i ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ nên

62 cos4 sin , 0,1,2

3

k k

w i k

p p

p p

ỉ ư÷

ỗ + + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

= ỗ + ữ =

ỗ ữ

ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗố ø .

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là

( ), 62cos , 2sin6 , 0,1,2.

12 12

k k

x y =ổỗỗỗ ỗỗổỗỗp + pữữữữử ỗỗỗỗổp + pữữửữữữữữửữk=

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ

VI DỤ Giải hệ phương trình

4 2

3

6

1

x x y y x y y x

ìï - + =

ïïï

íï - =

ïïïỵ

Ta nhận thấy vế trái của hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, vế phải của hệ là các hệ số 3,1 nếu ta nhân hai vế của phương trình hai hệ với

Bài giải Ta tìm số phức w= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) cho w4 = 3+i Khai triển vế trái

( )4 ( 4 4 2 2) ( 3 3)

3 4

4 2

3

6

4

x y x y

x y xy

ìï + - =

ïï Û íï

- =

ïïỵ

Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w Mặt khác w là bậc bốn

của số

3 cos sin

6

i ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ nờn

42 cos6 sin , 0,1,2,3

4

k k

w i k

p p

p p

ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

= ỗ + ữ =

ỗ ữ

ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗố ứ .

Hờ phng trinh co nghiệm là

( ), 42cos , 2sin4 , 0,1,2,3.

24 24

k k

x y =ổỗỗỗ ỗỗổỗỗp + pữữữữử ỗỗỗỗổp + pữữửữữữữữửữk=

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ

Li bàn: Qua hai ví dụ chúng ta thấy có thể đưa rất nhiều các ví dụ khác với bậc của vế trái là một số nguyên dương n tuỳ ý và vế phải là các hằng số dương cho trước.

VÍ DỤ 3.(Việt Nam 1996) Giải hệ phương trình

1

3

1

7

x

x y y

x y

ì ổ

ù ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ÷ø

ïỵ

Bài giải

Trước hết, ta nhận thấy điều kiện cho x, y là x³ 0,y³ Đặt

0,

x = ³u y = ³v Hệ phương trình đã cho trở thành

2

2

1

3

1

7

u

u v v

u v

ì ỉ

ï ÷

ù ỗ + ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùùớ ổ ử

ù ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗỗố + ữứ ùùợ

2 2

2 2 2

3 7

u iv z

u iv i z i z i

z

u v z

-+ -+ = + Û + = + Û + = +

+

Giải phương trình

2

1 2

1

3 7

z i z i z

z

ỉ ư÷

ỗ ữ

ỗ

+ = + - ỗ + ữữ + =

ỗ ữ

ỗố ø

1 2

2

3 21

1 2

2

3 21

z i

z i

ộ ổỗ ửữ

ờ = + + ỗ + ữữ

ờ ỗỗỗ ữữ

ờ ố ứ

ổ ử

ờ ỗ ữữ

ờ = - + ỗỗ - ữữ

ờ ỗỗố ữứ

ờ

Suy

( ), 2 2, , ,( ) 2 2,

3 21 21

u v =ổỗỗỗ + + ửữữữữu v =ỗỗỗổ - - ữữữửữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ.

Võy hờ phương trình đã cho có hai nghiệm

( ) ( )

2

2

1 2 2 2

, , , , ,

3 21 21

x y x y

æ æ ửửữ ổ ổ ửửữ

ỗổ ỗ ữữ ỗổ ỗ ữữ

ỗỗ ữỗ ữữ ỗỗ ữ ỗ ữữ

ỗ ữ ỗ ữ

=ỗỗỗỗ + ữữỗỗ + ữữữữ =ỗỗỗỗ - ữữ ỗỗ - ữữữữ

ỗố ứ ỗố ữứữ ỗố ứ ỗố ứữữ

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø

VÍ DỤ Giải hệ phương trình

12

1

3 12

1

3

x

x y y

x y

ì ổ

ù ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ứữ

ùợ

Bi giai

Trc hờt, ta nhận thấy điều kiện cho x, y là x³ 0,y³ Đặt

3x = ³u 0, y = ³v 0.

Hệ phương trình đã cho trở thành

2

2

12

3 12

u

u v v

u v

ì ỉ

ù ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ïỵ

có

( )

2 2

12 2 2 12 2

6 12 6

3 3

u iv z

u iv i z i z i

z

u v z

-+ - = + Û - = + Û - = +

+

Giải phương trình

2

12 2

6 12

3

z i z i z

z

ổ ửữ

ỗ ữ

- = + - ỗỗ + ữữ - =

ỗố ứ

tương tự VD4 ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho

VÍ DỤ 5.(Tạp chí Kvant) Giải hệ phương trình

2

2

3

3

0

x y x

x y

x y

y

x y

ìï

-ï + =

ïï +

ïí

ï +

ï - =

ïï +

ïỵ

Bài giải Nhận thấy x2+y2 là bình phương Mô đun số phức x yi+ Đặt

0

z = +x iy¹ , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế với vế với phương

trình thứ nhất ta có

( ) ( ) ( )

2 2 2

3 3

3

x y x y i x iy y ix

x iy x iy

x y x y x y

- - + - +

+ + = Û + + - =

+ + +

Ta có z= +x iy,

( )

2 2

3 x iy 3z 3

z

x y z

-= =

+

,

( )

2 2

y ix iz i

z

x y z

+ -

= =

+

nên phương trình được viết dưới dạng

2

3

3 3

1

z i

i

z z z i

z i

z z

é = + ê

+ - = Û - + - = Û ê =

-ê ë

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ) ( ) (x y, = 2,1 , ,x y = 1, 1- ) 6.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

a

3

3

3

3

x xy y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

-ïïỵ b

3

3

3

3

x xy y x y

ìï - =

ïï

íï - =

Bài Giải hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡ :

( )

( )

2

2

3

3

x x y y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

ïïỵ

Bài Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

a

4 2

3

6

3

x x y y x y y x

ìï - + = ïï íï - = -ïïỵ b ( ) ( )

4 2

4 2

10

10

x x x y y

y y x y x

ìï - + =

ïï

íï - + =

-ïïỵ

Bài Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Î ¡

a

3

10

5 1 x x y y x y ỡ ổ ù ữ ù ỗ + ữ= ù ỗỗ ữ ù ỗố + ữứ ùớ ổ ử ù ỗ ữ ù ỗ - ữ= -ù ỗ ữ ù ỗố + ứữ ùợ b

2

2

7

5

2 x x y y x y ỡ ổ ù ữ ù ỗ + ữ= ù ỗỗ ữ ù ỗố + ữứ ùớ ổ ử ù ỗ ữ ù ỗ - ữ= ù ỗ ữ ù ỗố + ữứ ùợ

c ( )

15

2

2 15

2 3

2 x x y y x y ỡ ổ ù ữ ù ỗ - ữ= + ù ỗỗ ữ ù ỗố + ứữ ùớ ổ ử ù ỗ ữ ù ỗ + ữ= -ù ỗ ữ ù ỗố + ữứ ùợ

Bi Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

a 2 2 16 11 11 16 x y x x y x y y x y ìï -ï + = ïï + ïí ï + ï - = -ïï + ïỵ b 2 2 10 10 x y x x y x y y x y ìï + ïï + = ïï + ïí ï -ïï + = ï + ïïỵ c 2 2 78 20 78 15 y x x y x y x y ìïï + = ïï + ïí ïï + = ïï + ïỵ

VẤN ĐÊ MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Dạng lượng giác của số phức có thể biến đổi bằng hai cách:

1 Sử dụng công thức Moa – Vrơ cho ta biểu thức góc bội của acgumen Sử dụng các phép toán thông thường của số phức: cộng, trừ, nhân, chia

cho ta một biểu thức khác

Chú ý rằng, các tính chất của số thực được bảo toàn nguyên vẹn cho số phức, đặc biệt các phép toán khai triển luỹ thừa, công thức Niu - Tơn, cấp số nhân Mặt khác việc sử dụng số phức cùng một phép biến đổi có thể chứng minh nhiều đẳng thức khác Sau ta xét một số ví dụ áp dụng số phức để chứng minh một số công thức lượng giác thường gặp và khái quát hoá một số công thức lượng giác khác, từ đó thấy rõ xuất phát điểm hay gốc rễ của nhiều bài toán quen tḥc trường sớ thực

7.1 MỢT SỐ VÍ DỤ MINH HOA VÍ DỤ Chứng minh

3

,sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos

x x x x x x x

" Î ¡ = - =

- Bài giải

Xét số phức dưới dạng lượng giác z =cosx i+ sinx

Theo công thức Moa–vrơ ta có ( ) ( )

3

3 cos sin cos3 sin3 1 z = x i+ x = x i+ x

Mặt khác khai triển

( )3 ( 3 ) ( 3 ) ( )

cosx i+ sinx = 4cos x- 3cosx + 3sinx- 4sin x i

Từ (1) và (2) suy cos3x =4cos3x- 3cos ;sin3x x=3sinx- 4sin3x  Nếu vận dụng khai triển Niu - Tơn, ta có thể khai triển sinnx, cosnx theo các góc bội của x. Sau ta xét đến công thức hạ bậc

VÍ DỤ 2(B.tập 4.36b SBTNC) Chứng minh

a ( )

4

,cos cos4 4cos2

8

x x x x

" Ỵ ¡ = + +

b ( )

5

,sin sin5 5sin3 10sin

16

x x x x x

" Ỵ ¡ = - +

Bài giải Xét số phức dưới dạng lượng giác z=cosx i+ sinx Ta có

1

2cos ; sin

n n

n n

z nx z i nx

z z

+ = - =

4

4 2

4

4

1 1 1

cos

2

x z z C z C

z z z

ộ ổỗ ửữự ổỗ ổỗ ửữ ửữ

ờ ữỳ ữ ữ

=ờ ỗỗỗ + ữữỳ = ỗỗ + + ỗỗỗ + ữữ+ ữữ ỗ

( )

1

cos4 4cos2

8 x x

= + +

5

5

5 5

5

1 1 1

sin

2

x z C z C z C z

i z i z z z

ộ ỗ ữự ộ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữỳ ữ ữ ữỳ =ờ ỗỗỗ - ữữỳ = ờ ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ ỗỗỗ - ữữỳ ố ứ ố ứ ố ứ è ø ë û ë û ( )

sin5 5sin3 10sin

16 x x x

= - +

( )

0

5 5

1

sin5 sin3 sin

16 C x C x C x

= - +

(đpcm) Một cách tổng quát ta xét ví dụ sau

VÍ DỤ Chứng minh " ẻx Ă ,"mẻ Ơ ta co

a ( )

2

2 2

2

1

cos cos2 cos 2 cos2

2

m m m

m m m m

m

x= - ỗỗỗổC mx C+ m- x+ +C x+ C ữữữửữ

ỗố ứ ( ) 2 1 cos2 m m k m m m k

C - C m k x

-= é ù ê ú = ê + - ú ë å û. b ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

2 2

2

1

sin sin sin 1 sin

2

m

m

m m

m m m

m

x C m x C m x C x

+ + + + - é ù = êê + - - + + - úú ë û ( ) ( ) ( ) 2

1 sin 2

2 m m k k m m k

C + m k x

=

-= å - - +

Bài giải

a Xét số phức dưới dạng lượng giác z=cosx i+ sinx Ta có

1

2cos ; sin

n n

n n

z nx z i nx

z z

+ = - =

Do vậy

2 2

2

2

1 1

cos

2

m m m k

m k k

m m

k o

x z C z

z z -= ộ ổỗ ửữự ổửỗ ữ ữỳ ữ =ờ ỗỗỗ + ữữỳ = ỗỗỗ ữữ ố ứ ố ø ë û å

Vì 22

k m k

m m

C =C

nên thu gọn công thức được

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

cos

2

m m m m m

m m m m

m m m

x C z C z C z C

z z z

( )

0 1

2 2

2

1

cos2 cos 2 cos2

2

m m

m m m m

m C mx C m x C x C

-é ù ê ú = ê + - + + + ú ë û ( ) 2 1 cos2 2 m k m m m m k

C m k x C

-= é ù ê ú = ê - + ú

ëå û (đpcm)

b Từ công thức

1

2 sin

n n

z i nx

z

- =

ta có

2

2 1

sin

2

m

m x z

i z + + =ộờ ổỗ - ửữữựỳ ỗ ữ ỗỗố ứữỳ ỷ

( ) 2 1

2

1 1

2

m m k

m k k m m k o C z z i + -+ + + = ổ - ỗ- ữ ữ = ỗỗ ữữ ỗố ứ ồ

Vi 22

k m k

m m

C =C

nên thu gọn công thức được

( ) ( )

2 1

2 2

2 2

1 1 1 1

sin

2

m

m

m m m m

m m m

m m m

x C z C z C z

z

i z z

+ + -+ + + + + -é - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ữỳ = ờ ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ + - ỗỗỗ - ữữỳ è ø è ø è ø ë û

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

1

sin sin sin

2

M

m m

m m m

m C + m x C + m x C x

- é ù = êê + - - + + - úú ë û ( ) ( ) 2

cos 2

2 m m k m m k

C + m k x

=

-= å - +

(đpcm)

Thay một số giá trị đặc biệt của m:m=1,m=2 cho ta một số kết quả quen

thuộc sau: Với m=1

2

2

1 cos2

cos cos2

2 2

x x= ỗỗỗổC x+ C ửữữữữ= +

ỗố ứ .

( ) ( )

3

3

2

1 1

sin sin3 sin 3sin sin3

4

x = - êëéC x C- xúùû= x- x

Với m=2.

4

4 4

3

1

cos cos4 cos2

2

x = ổỗỗỗC x C+ x+ C ửữữữ ữ

ỗố ứ

( )

1

cos4 4cos2

8 x x

= + +

5 1

Sau là một ví dụ quen thuộc các đẳng thức lượng giác thường gặp VÍ DỤ Cho a k b, k c, k k,

p p p

p p p

¹ + ¹ + + ẻ Â

Chng minh rng a tana+tanb+tanc=tan tan tana b cÛ a b c+ + =kp.

b tan tana b tan tanb c tan tanc a a b c k p

p

+ + = Û + + = +

Bài giả Xét số phức z= +(1 itan 1a) ( +itan 1b) ( +itanc)

Khai triển số phức z trên theo quy tắc nhân hai số phức ta được

( )

( ) ( )

1 tan tan tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan

z a b b c c a

a b c a b c i

= - -

-+ + +

-Mặt khác, sử dụng công thức Moa – Vrô cho số phức z trên ta có

(cos sin cos) ( sin cos) ( sin )

cos cos cos

a i a b i b c i c

z

a b c

+ + +

=

( ) ( ) ( )

cos sin

cos cos cos cos cos cos

a b c a b c

i

a b c a b c

+ + + +

= +

Từ (1) và (2) suy ra:

a tana+tanb+tanc=tan tan tana b cÛ sin(a b c+ + ) =0

Û a b c+ + =k kp, ẻ Â(pcm).

b tan tana b+tan tanb c+tan tanc a = Û1 cos(a b c+ + ) =0 a b c k

p p

Û + + = +

(đpcm) Tương tự vậy ta có bài toán

VÍ DỤ Cho a¹ k bp, ¹ k cp, ¹ k kp, Î ¢ Chứng minh rằng a cot cota b+cot cotb c+cot cotc a= Û1 a b c+ + =kp. b cot cot cota b c cota cotb cotc a b c k

p p

= + + Û + + = +

Bài giải. Do dạng lượng giác của số phức là cosa+isina nên ta xét số phức

(cot ) ( cot ) ( cot )

z= a i+ b i+ c i+

( )

( ) ( )

cot cot cot cot cot cot

cot cot cot cot cot cot

z a b c a b c

a b b c c a i

= - - - +

+ + +

-Mặt khác, sử dụng công thức Moa – Vrơ cho số phức z trên ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos sin cos sin cos sin

sin sin sin

cos sin

sin sin sin sin sin sin

a i a b i b c i c

z

a b c

a b c a b c

i

a b c a b c

+ + +

=

+ + + +

= +

Từ (1) và (2) suy ra:

a cot cota b+cot cotb c+cot cotc a= Û1 sin(a b c+ + ) =0.

,

a b c k kp

Û + + = ẻ Â (pcm).

b cot cot cota b c=cota+cotb+cotcÛ cos(a b c+ + ) =0 a b c k k,

p p

+ + = + ẻ Â

(đpcm). VÍ DỤ Chứng minh rằng

a

3

cos cos cos

7 7

p p p

+ + =

. b

3

sin sin sin cot

7 7 14

p p p p

+ + =

Bài giải

Xét số phức z cos7 isin7

p p

= +

Áp dụng công thức Moa - Vrơ có

( )

3 cos cos3 cos5 sin sin3 sin5 1

7 7 7

z z+ +z =ỗỗổỗỗ p+ p + pữữử ổữữ+ỗỗỗỗ p + p+ pữữữửữi

è ø è ø

Mặt khác

7

2 1 z z z z z

z

-+ + =

- Do z7 =cosp+isinp= - 1, suy ra ( )

3 1 1cot 2

1 2 14

z z z i

z

p

+ + = = +

-Từ (1) và (2) ta có

3

b

3

sin sin sin cot

7 7 14

p p p p

+ + =

(đpcm) Tổng quát ta có bài toán

VÍ DỤ Với "a b, Ỵ ¡ ,b¹ k p2 Chứng minh rằng:

a ( ) 1 sin sin 2 sin sin n k n nb a b a kb b = ổ + ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ + = ồ b ( ) 1 cos sin 2 cos sin n k n nb a b a kb b = æ + ữử ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø + = å Bài giải

Xét số phức ( )

cos n k a kb = + +

å n1sin( )

k

a kb i =

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗốồ ứ Đặt zo =cosa i+ sina,

cos sin

z = b i+ b Theo công thức Moa – Vrơ ta có

(cos sin )(cos sin ) cos( ) sin( ), 1,2, ,

k o

z z = a i+ a kb i+ kb = a kb+ +i a kb k+ " = n

Như vậy, tổng ( )

cos n k a kb = + +

å n1sin( )

k

a kb i =

ỉ ư÷

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗốồ ứ c biờn ụi nh sau:

( ) cos n k a kb = + +

å n1sin( ) n1 cos( ) sin( ) n1 k

o

k k k

a kb i a kb i a kb z z

= = = ổ ửữ ỗ + ữ= ộ + + + ự= ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữ ỷ ỗốồ ứ ồ ồ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 *

1 1 1

n n

n

o o o

z z

z

z z z z z z z z z

z z z

- -= + + + + = = - - - Mặt khác ( )( ) ( ) ( )

1 cos 4sin

2

b

z- z- =z z- z z+ + = - b =



2

1 2sin 2sin cos 2sin cos sin

2 2 2

b b b b b b

z- = - - i = - ỗỗỗổ p- +i p- ữữửữ ữ

ỗố ứ

2

1 2sin 2sin cos 2sin cos sin

2 2 2

n nb nb nb nb nb nb

z - = - +i = ỗỗỗổ p+ +i p+ ÷÷ư÷÷

Áp dụng cơng thức Moa – Vrơ thu được

( )( )

( ) ( )

sin

1 1 1

2 cos sin

2

1 4sin

2

n

o

nb

z z n n

z z a b i a b

b

z z p p

- ổỗ ổỗ + ữử ổỗ + ửữửữ ữ ữ ữ = ỗỗ ỗỗỗ + + ữữ+ ỗỗỗ + + ữữữữ ỗ ố ứ ố ø è ø - -( )

sin 1 sin 1

2 .cos . .sin * *

2

4sin 4sin

2

nb nb

n n

a b i a b

b b ỉ + ư÷ ỉ + ư÷ ç ÷ ç ÷ = çç + ÷+ çç + ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ

Từ (*) và (**) so sánh phần thực và phần ảo của tổng ban đầu ta có

a ( ) 1 sin sin 2 sin sin n k n nb a b a kb b = ổ + ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ + = ồ b ( ) 1 cos sin 2 cos sin n k n nb a b a kb b = æ + ữử ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø + = å (đpcm)

Như vậy, với mỗi giá trị của a, b cho ta một công thức Chẳng hạn cho a= - x, với b=2x¹ k p2 ta có

( )

1

1

cos sin

2 cos sin sin2

cos

2 sin 2sin

sin

n

k

n n x

x x

nx nx nx

k x

x x x

= ổ + ửữ ỗ- + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ - = = = å

Nhận xét rằng, với những giá trị đặc biệt của n, x cho sin2nx=sinx ¹

thì ta có ( )

1 cos n k a kb = + = å

, Ví dụ ta chọn x 2n p

=

+ .

Từ đó, ta có một số kết quả quen thuộc sau: Với n = 2, chọn x

p

=

, ta có

3

cos cos

5

p p

+ =

Với n = 3, chọn x

p

=

, ta có

3

cos cos cos

7 7

p p p

+ + =

Với n = 5, chọn x 11 p

=

, ta có

3

cos cos cos cos cos

11 11 11 11 11

p p p p p

+ + + + =

Thông qua phép lấy đạo hàm ta có bài toán VÍ DỤ Với x ¹ k p2 Chứng minh rằng:

a. ( ) ' 1 sin sin 2 cos sin n k n nx x k kx x = ộ ổỗ + ửữ ự ỗ ữ ỳ ữ ỗỗố ứữ ỳ ỳ = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û å b ( ) ' 1 cos sin 2 sin sin n k n nx x k kx x = ộ ổỗ + ửữ ự ỗ ữ ỳ ữ ỗỗố ữứ ỳ ú = - ê ú ê ú ê ú ê ú ë û å Bài giải

Từ ví dụ ta có

( ) 1 sin sin 2 sin sin n k n nx x kx x = ổ+ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ çè ø = å ( ) 1 cos sin 2 cos sin n k n nx x kx x = ổ+ ửữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷ çè ø = å Lấy đạo hàm hai vế ta được điều phải chứng minh 7.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1 Chứng minh rằng a

3 11

cos cos cos cos cos cos

13 13 13 13 13 13

p p p p p p

+ + + + + =

b

9 11

sin sin sin sin sin sin

26 26 26 26 26 26

p p p p p p

-Bài 2 Chứng minh rằng

2

cos cos cos cos

2 2 2

n

n n n n

p p p p

-+ + + + =

+ + + + .

Bài 3. Chứng minh rằng:

a

1

sin sin

2

sin sin2 sin ,

sin

n nx

x

x x nx

x

ổ + ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

+ + + =

với x ¹ k p2

b

( )

sin

1 cos2 cos4 cos2 ,

2sin

n x

x x nx

x

+

+ + + + =

với x ¹ kp

c

( )

sin sin

sin2 sin4 sin2 ,

sin

nx n x

x x nx

x

+

+ + + =

với x ¹ kp

Bài 4(*) Chứng minh rằng

( )

1

1

sin sin sin

2 2 2m

m m

m m m

p

p p

-=

Bài Chứng minh rằng

a 1+acosx a+ 2cos2x+ + ancosnx

( )

2

2

cos cos cos

2 cos

n n

a nx a n x a x

a a x

+ - + + - +

=

- + .

b asinx a+ 2sin2x+ + ansinnx

( )

2

2

sin sin sin

2 cos

n n

a nx a n x a x

a a x

+ - + + + +

=

- + .

Bài Sử dụng công thức Moa – Vrơ biến đổi tan5x qua tanx III BÀI TẬP TỞNG HỢP

Bài 1. Tìm sớ phức z, biết z =2 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực

của nó

Baøi 2. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng và tích của chúng bằng

Baøi 5. Giải phương trình ( )

2 1 2 0

x + +i x- - i =

tập sớ phức Bài 6. Giải phương trình ( )

2

(1- i z) - 2+ i z- 4=0

tập sớ phức Bài 7. Giải phương trình ( )

2

(2 )- i z + 4i - z+ -1 i =0

tập số phức

Baøi 8. Giải phương trình z4- 6z2+25=0 tập sớ phức

Bài 9. Giải phương trình ( )

2 2

(z +z) +4 z +z z- 12=0

tập số phức

Baøi 10. Giải phương trình z4- 4z3+7z2- 16z+12=0 tập sớ phức Bài 11. Giải phương trình 2z4- 2z3+z2+2z+ =2 tập sớ phức

Bài 12. Giải hệ phương trình

2 2

1

5

z z i

z z i

ìï + = -ïïí

ï + = +

ïïỵ trên tập sớ phức.

Bài 13. Giải hệ phương trình

3

3(1 )

9( 1)

x y i

x y i

ìï + = +

ïïí

ï + =

-ïïỵ trên tập sớ phức.

Bài 14. Tìm tham sớ m để phương trình x2+mx+3i =0 có hai nghieäm

z1, z2

thoả mãn điều kiện: z12+z22=8

Baøi 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn đẳng thức 2+ = -z i z

Baøi 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn đẳng thức z z- +2i =2z i-

Baøi 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn đẳng thức 1< -z i <2

thỏa mãn đẳng thức z+ + -4 z =10

Baøi 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z- 4i + +z 4i =10

Bài 20. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

1

z z i

-=

- và

3

z i z i

-=

+ .

Bài 21. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

12

8

z z i

-=

- và

4

z z

-=

- .

Bài 22. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

2

1

z i z

z i z

ìï - =

ïïí

ï - =

-ïïỵ .

Bài 23. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

phức

4

;(1 )(1 );

1

i i

i i

i i

+

- +

- - .

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD là hình vng Bài 24. Giải phương trình z2+ =z tập số phức

Bài 25. Tìm sớ phức z thỏa mãn đẳng thức: z2+ =z Bài 26. Tìm sớ phức z thỏa mãn đẳng thức: z + = -z 3i

Bài 27. Cho sớ phức z= +1 3i Hãy viết dạng lượng giác của số phức

5. z

Bài 28. Viết dưới dang lượng giác của sớ phức z= +(1 i)19 và tính

0 2008 2010

2011 2011 2011 2011 2011 2011

C - C +C - C + +C - C

Bài 29. Cho sớ phức z= -1 sinj +icosj

0

2

p j

ổ ửữ

ỗ < < ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

Tim mụt acgumen của số phức z.

1

6

p

-

Baøi 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm mặt phẳng

phức biểu diễn số phức z cho số phức

2

z z

-+ có một acgumen bằng

p

Baøi 32. Cho số phức

7

m i z

i

ổ + ữử

ỗ ữ

= ỗỗỗ - ữữ

ố ứ Tìm m nguyên dương để z là số thực.

Bài 33. Tính tởng S = +(1 i)2011+ -(1 i)2011

Baøi 34. Cmr các điểm biễu diễn bậc ba của lập thành một tam giác đều

Bài 35. Tìm sớ phức z có phần thực; phần ảo là số nguyên và thỏa z phương trình: z3 =18 26+ i

Bài 36. Tìm a b, Ỵ ¡ để pt: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b),

nghiệm đúng với  z C Baøi 37. Cho biết

1

|z |

z

+ =

Tìm số phức z có môdun lớn nhất, nhỏ nhất Baøi 38. Tìm giá trị nhỏ nhất của | |z nếu |z- 2 | 1+ i =

ĐÊ THI ĐAI HỌC VÀ CAO ĐẲNG ĐÃ QUA

Bài 1. (CĐKA2009)

Cho sớ phức z thỏa mãn (1+i) (22 - i z) = + + +8 i (1 ) i z Tìm phần thực và phần ảo của z

Baøi 2. (CĐKA2009) Giải phương trình sau tập số phức

4

2

z i

z i z i

-

=

-Baøi 3. (ĐHKD2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện: z- (3 )- i =2

25

z z=

Baøi 5. (ĐHKA2009) Gọi z1 và z2 la hai nghiệm phức của phương trình 2 10 0.

z + z+ = Tính giá trị của biểu thức

2 1

A = z + z

Baøi 6. (ĐHKA2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết

2

( ) (1 )

z = +i - i .

Bài 7. (ĐHKA 2010) Cho sớ phức z thỏa mãn

2

(1 )

1

i z

i

-=

- Tìm môđun của

số phức z iz+

Bài 8. (ĐHKB2010) Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện: z i- = (1+i z)

Bài 9. (ĐHKD2010) Tìm sớ phức z thoả mãn z = và z2 là số thuần

ảo

Baøi 10. (CĐKA2010) Giải phương trình z2- (1+i z) + +6 3i =0 tập số