Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt p[r]
(1)ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
1/ Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) Ta có: a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến khoảng (a ; b) - f’(x) < khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) khoảng (a ; b) - f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) ⇒f '(x)≤0 khoảng (a ; b) 2/ Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số
- Tìm TXĐ hàm số
- Tính y’, giải phương trình y’ = - Lập bảng xét dấu y’
- Sử dụng điều kiện đủ tính đơn điệu để kết luận
Chú ý:Trong điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) kết luận Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
Nếu Δ<0 f(x) ln dấu a
Nếu Δ=0 f(x) dấu a ∀x ≠ − b 2a
Nếu Δ>0 f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:
x - ∞ x1 x2 + ∞
f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a
Đặc biệt: +
f (x)≥0∀x∈R⇔ a>0 Δ≤0
¿{
+
f(x)≤0∀x∈R⇔ a<0 Δ≤0
¿{ BÀI TẬP Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số
a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + c) y = -
3x
3−3x2+7x+1
d) y = x3 + 3x + 1
e) y = 43 x3−2x2+x −3 f) y = x4 – 2x2 + g) y = -x4 + 2x2 – h) y = x4 + x2
k) y = 3x+1
1− x l) y = x+1
x −1 Tìm m để hàm số sau đồng biến R
a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ĐS : −2
3≤ m≤1 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS : m =
2 3, Tìm m để hàm số sau nghịch biến TXĐ
a) y = −x3
3 +(m−2)x
2+(m−8)x+1 ĐS : −1≤ m≤4 b) y = (m−1)x
3 +mx
2+(3m−2)x+3 ĐS : m≤1 Tìm m để hàm số :
(2)b) y = mx− m+10
x+m nghịch biến khoảng xác định hàm số ĐS : −5
2<m<2
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định liên tục (a ; b) x0 (a ;b)
a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) ∀x∈(x0− h;;x0+h) x x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0
b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) ∀x∈(x0− h ;x0+h) x x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) có đạo hàm K
K \{x0}, với h > Khi đó:
a) Nếu
¿
f '(x)>0,∀x∈(x0=h ; x0) f '(x)<0,∀x∈(x0; x0+h)
¿{
¿
x0 điểm cực đại f(x)
b) Nếu
¿
f '(x)<0,∀x∈(x0−h ; x0) f '(x)>0,∀x ,∈(x0; x0+h)
¿{
¿
x0 điểm cực tiểu f(x)
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai (x0 – h ; x0 + h) với h > Khi đó:
a) Nếu
f '(x)=0
f \( x \) >0 \{\} # right no \} \} lbrace \} \{ ¿{
¿
x0 điểm cực tiểu f(x).b) Nếu
f '(x)=0
f \( x \) <0 \{\} # right no \} \} lbrace \} \{
¿{
¿
x0 điểm cực đại f(x)
* Quy tắc tìm cực trị y = f(x). Quy tắc 1:
1 Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) khơng xác định Lập bảng biến thiên;Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc
1.Tìm TXĐ
Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm
Tính f”(x) f”(xi).; 4, Dựa vào dấu f”(xi) suy tính chất cực trị xi
BÀI TẬP Tìm điểm cực trị hàm số
a) y = x2 – 3x – b) y = 2x3 – 3x2 + c) y = −1
3x 3+4x
d) y = x3 – 3x2
+3x
e) y = 2x
4
−4x2−1 f) y = −1 4x
4
+x2 Tìm m để hàm số :
a) y = x3 – 2mx2 + có cực đại cực tiểu ĐS : m 0
b) y = m x
3−2x2+(3m+1)x −1
có cực đại cực tiểu ( có cực trị) ĐS : −4
3<m<1;m≠0 c) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS : m > 0
d) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1
e) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
(3)- Số M giá trị lớn f(x) D : f(x)≤ M ,∀x∈Dvà∃x0∈D:f(x0)=M Kí hiệu : M = maxD f(x) .
- Số m giá trị nhỏ f(x) D : f(x)≥m ,∀x∈Dvà∃x0∈D:f(x0)=m Kí hiệu : m = minD f(x)
* Định lí : y = f(x) liên tục [a ; b] tồn max [a; b]
f(x),min [a ;b]
f(x) . * Cách tìm :
Tìm điểm x1, x2, … , xn (a ; b) mà f’(x) = f’(x) khơng xác định
Tính f(a), f(x1), ……., f(xn), f(b) (1)
Tìm số lớn M số nhỏ m số (1) Ta có : M = max [a; b]
f(x), m=min [a ;b]
f(x) . BÀI TẬP
1 Tìm GTLN GTNN ( có) hàm số
a) y = x3 – 3x2 + đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 đoạn [-4 ; 4]
c) y = x4 – 2x2 + đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + đoạn [1 ; 4]
e) y = x + 1x khoảng (0 ; + ∞¿ f) y = x -
x khoảng (0 ; 2] g) y = x −x+11 đoạn [2 ; 5] h) y = 2x
2
+5x+4
x+2 đoạn [-3 ; 3] k) y = √6−3x đoạn [-1 ; 1] l) y = √100− x2 doạn [-8 ; 6] m) y = (x + 2) √1− x2 n) y = x+1
√x2+1 doạn [1 ; 2] p) y = x + √4− x2 q) y = √3+x+√6− x
r) y = √2 cos 2x+4 sinx [0;π
2] s) y = 2sinx - 3sin
3
x [0; π]
u) y = sin2x + 2sinx – t) y = cos22x = sinxcosx + 4
o) y = sin4x + cos2x + w) y = x – sin2x [−π
2 ;π] 5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
a) Tiệm cận đứng. Nếu
x → x+0¿
f(x)=+∞ ;lim x → x0
−f
(x)=+∞ lim
¿
x → x+0¿
f(x)=− ∞;lim x→ x0
−f
(x)=− ∞ lim
¿
đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng (C)
b) Tiệm cận ngang. Nếu x →lim
+∞f(x)=y0 x →− ∞lim f(x)=y0 đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang (C) BÀI TẬP.
Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số a) y = 32x −x+12 b) y = x+3
x2−4 c) y =
x −5 − x+3 6 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thi hàm số. 1o Tìm TXĐ.
2o Xét biến thiên.
a) Giới han – Tiệm cận b) Lập bảng biến thiên 3o Vẽ đồ thị.
- Vẽ đường tiệm cận (nếu có)
- Xác định số điểm dặc biệt đồ thị ( Giao điểm đồ thị với trục tọa độ) - Nhân xét đồ thị : Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng
2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0¿
(4)a > a < Pt y’ = có hai
nghiệm phân biệt
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = có nghiệm kép
2
2
Pt y’ = vô nghiệm
2
4
2
BÀI TẬP Khảo sát biến tiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x3 – 3x2 + 1 2 y = -x3 + 3x + 2 3 y = 2x3 – 3x2 +1
4 y = 13 x3=4x 5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1 6 y = -x3 – 3x + 2
3/ Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0¿
a > a <
Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt
-2
2
Pt y’ = có nghiệm
2
-2
(5)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x4 – 2x2 – 3 2 y = -x4 + 2x2 – 1 3 y =
2 x
4−4x2−1 y = −1
4 x
+x2 y = x4 + 2x2 – 3
4/ Hàm số y = ax+cx+bd (c ≠0,ad−bc≠0)
D = ad – bc > D = ad – bc <
4
2
4
2
-2
BÀI TẬP Khào sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau :
1 y = x −2x+1 y = 2− x+x −11 y = x −22x y =
x −2
x y =
2 x −2
7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 1/ Giao điểm hai đồ thị.
Hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiêm phương trình f(x) = g(x) (1)
Do số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm hai đường cong 2/Tiếp tuyến.
a) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C)
Phương trình : y = y’(x0)(x – x0) + y0
b) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Gọi M0(x0 ; y0) tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến (C) M0 :
y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 y0
BÀI TẬP 1.Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị :
a) y = x3 + 4x2 + 4x + y = x + b) y = x3 + 3x2 + y = 2x + 5
c) y = x3 – 3x y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – y = x2 + 1
2 Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y = (x – 1)(x2 + mx + m) cắt trục hoành điểm phân biệt.
b) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + khơng cắt trục hồnh.
c) y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hoành điểm phân biệt.
3 Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = 2x −1
x+1 hai điểm phân biệt Tìm m để đường thẳng qua A(- ; - 1) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = x+2
2x+1 hai điểm phân biệt
5.Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :
(6)a) Tại điểm uốn (C) (Là điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f”(x) = 0) b) Tại điểm có tung độ -1
c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : y = 9x –
d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y =
6.Cho (C) : y = x −2
x+2 Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –
c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x
TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(-1; -2)
2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 =
3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −
24 x+2
4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt
5) Cho hàm số y = x
3− x2+1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(0 ; 1) 6) Cho hàm số y =
3 x 3− x2
+x+1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hòanh 7) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 8)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hịanh độ x = √2 9) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số 10) Cho hàm số y = x
4 −3x
2 +3
2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 6x2 + – m = 0.
11) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(1 ; 0)
(7)11) Cho hàm số y = x
4
−2x2−1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – + m = có nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung 12)Cho hàm số y = x+1
x −1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm M0(2 ; 3)
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = -2x + 13) Cho hàm số y = 2x+1
x+1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hịanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = -x +
14) Cho hàm số y = 12− xx
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b) Tìm (H) điểm có tọa độ số nguyên
c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục tung 15) Cho hàm số y = x −1
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục hịanh c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) hai điểm phân biệt
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ α Cơ số a Lũy thừa aα
α=n∈N❑ a∈R n
aα=an
=a.a a¿ thừa số )
α=0 a ≠0 aα
=a0=1 α=− n(n∈N❑
) a ≠0 aα
=a− n= an α=m
n(m∈Z , n∈N ❑
) a>0 aα
=a
m n
=√nam(√na=b⇔bn=a)
α=limrn(rn∈Q, n∈N❑
) a>0 aα=limarn
* Một số tính chất bậc n. 1) ❑
√ab=n √a.n
√b 2) √n a b=
n √a
n
√b(b>0) 3) n
√ap=(√na)p (a > 0) 4) m√n
√a=m.n√a 5) n
√a=n.m√am 2 TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có ab¿α=aα.bα;(a
b) α
=a α bα aα¿β=aα.β;¿
aα.aβ=aα+β ;a
α aβ=a
α − β ;¿
a > : aα
>aβ⇔α>β
(8)< a < : aα>aβ⇔α<β
3 ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT. * Với số 0<a≠1, b>0
logab=α⇔a α
=b logb=α⇔10
α =b lnb=α⇔eα=b
4 TÍNH CHẤT CỦA LƠGARIT
* loga1=0;logaa=1;alogab=b * loga(b.c)=logab+logac
loga(b
c)=logab−logac logabα=α logab Đặc biệt: loga1
b=−logab ;loga n √b=1
nlogab * logbc=logac
logab
⇒logab logbc=logac Đặc biệt : logab=
1
logba ;logaαb= αlogab 0<a>1 :loga<1: logab>logac⇔b>c>0
ab>logac⇔0<b<c 5 BẢNG ĐẠO HÀM.
(ex)'=ex (ax)'=ax lna
(ln|x|)'=1 x (loga|x|)'=
axlna (xα)'=α.xα −1(α ≠0, x>0)
(√n x)'= n√n xn−1
(eu)'=u'.eu (au)'=u '.au lna
(ln|u|)'=u ' u (loga|u|)'= u'
u lna (uα)'=α.uα −1u ' (√nu)'= u '
n.√nun −1
I LŨY THỪA
* Tính giá trị biểu thức 1) 81−0,75+(
125) −1
3−
(321 ) −3
5 2)
90¿2
−2¿−2 64
2 3−8−1
1
+¿
0,001− 3−
¿
3) 27
+( 16)
−0,75
−250,5 4)
−3¿−3
−0,5¿−4−6250,25−(21
4) −11
2+19¿
¿
* Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
1) 18√725 ax3 2) √3a5.√4a 3) √8b3.√4b 4) 13√427 √3a * Tính
1) ((√3)√3)√3 2) 41−2√3 161+√3 3) 27√2
33√2 4) (2
5
√8)√54
(9)II LƠGARIT.
* Tính giá trị biểu thức
1) log915 + log918 – log910 2) log1
6−1 2log1
3
400+3 log1 3 √45 3) log362−
1 2log1
6
3 4) log1
4
(log34 log23) * Tính giá trị biểu thức
1) (8114− 2log94
+25log1258) 49log72 2) 161+log45
+42
1
2log23+3 log55 3)
72(49
2log79−log76
+5−log√54)
* Tìm x biết
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63 2) log4x =
3log4216−2 log410+4 log43 * Tính
1) 2−√3
¿20
2+√3¿20+log¿
log¿
2) log(√2+1)+log(5√2−7) 3) ln√e+ln1
e 4) lne−1+4 ln(e2.√e) * Tìm x biết
1) logx18 = 2) logx
√2=−3
5 3) logx(2
√2)=−6 III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
* Tìm tập xác định hàm số sau 1) y = e
x
ex−1 2) y = √e
2x−1
−1 3) y = ln (2x −1
1− x ) 4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y = log
2(2x 2−3x
+1
1−3x ) * Tính đạo hàm hàm số sau
1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y = e
x − e− x ex+e− x
4) y = 2x - √ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y = lnx
x 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x2 ln
√x2
+1 9) y = 3x.log3x
* Cho hàm số :
1) y = esinx ; Chứng minh : y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; Chứng minh y’tanx – y’’ – = 3) y = ln(sinx) ; Chứng minh y’ + y’’sinx + tan x
2 = 4) y = ex.cosx ; Chứng minh 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln2x ; Chứng minh x2.y’’ + x y’ = 2
* Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau :
1) y = (x2 – 2x).ex đoạn [0 ; 3] 2) y = x2ex đoạn [-3 ; 0]
3) y = xlnx đoạn [e-2 ; e] 4) y = lnx
x đoạn [ e 2; e
2 ] 5) y = ln2x
x đoạn [1; e
3] 6) y = x2 – ln(1 – 2x) đoạn [-2 ; 0]
7) y = 2ln(x – 1) + 3lnx – 2x đoạn [2 ; ]
* CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT a) 0<a≠1af(x)
=ag(x)⇔
f(x)=g(x)
(10)
logaf(x)=logag(x)⇔ f(x)>0 hay(g(x)>0)
f(x)=g(x)
¿{ b) a>1af(x)
>ag(x)⇔
f(x)>g(x)
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0 c) 0<a<1af(x)
>ag(x)⇔f(x)<g(x)
logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x) I PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải phương trình: 1) (0,2)x-1 = 1 2)
(13) 3x −1
=3 3) 4x2−3x+2
=16 4) (1 2)
x2
−2
=24−3x
5) (3−2√2)2x=(3+2√2) 6) (√5+2)x−1
=(√5−2) x −1
x+1 7) 3|x2−5|=9x+1 8) 5x−❑
√x2
+4=25 9) 3x.2x+1 = 72 9) (12)
x+7 (1
2) 1−2x
=2 10) 4x+1 3x −3 5x+1
=20√60
27 11)
x+1 + 5x – 5x-1 = 52
12) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
* Giải phương trình
1) 4x + 2x+1 – = 0 2) 4x+1 – 2x+1 + = 0
3) 34x+8 – 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10
5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 4x
7) 4x – 52x = 10x 8) 27x + 12x = 8x
9) (2+√3)x+(2−√3)x=2 10) (√7−√48)x+(√7+√48)x=14 11) (√6+√35)x+(√6−√35)x=12 12) (7+3√5)x+(7−3√5)x=14 2x
13) 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x
* Giải phương trình 1) 3x2
−4x=2x −4 2) 2x −1=3x2
−5x+4 3)
x x+2
=36 32− x 4) 5x
x −1 x
=500
5) 53−log5x=25x 6) x−6.3−logx3=3−5 7) xlog9x
=x2 8) x4.53=5logx5 * Giải phương trình
1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = – 2x 4) 2x = – x
II PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT. * Giải phương trình
1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)
4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + =
6) log√5x log25x
log5x =log1252x 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x * Giải phương trình
1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 2) log4x8 – log2x2 + log9243 =
3) 3√log3x −log33x=3 4) 4log9x + logx3 =
5) logx2 – log4x +
6=0 6)
1+log3x 1+log9x
=1+log27x 1+log81x
7) log9(log3x) + log3(log9x) = + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x =
3 9) log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x 10) logx(2x2−5)+log2x2
5x
=3
IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT * Giải bất phương trình
1) 32x+5
>1 2) 27x < 13 3) (1
2) x2
−5x+4
>4 4) 62x+3
<2x+7 33x −1
(11)5) 9x
<3x+1+4 6) 3x – 3-x+2 + > 7) xlog3x+4
<243
9) log1
(5x+1)<−5 10) log
4 1+3x
x −1 11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 12) log1
3
(log21+2x
1+x )>0 13) log22x + log24x – > 14) logx3−logx
3 <0 15) log2(x + 4)(x + 2) −6 16) logx
3x −1
x2+1 >0 17) |log4x −3|<1 18) log2x + log3x < + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TĨM TẮT GIÁO KHOA
I Bảng tính ngun hàm bản:
Bảng Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( số) ax + C
x
1
1
x C
(ax b)
1
a
1
( )
1
ax b C
x ln x C
1
ax b lna ax b C
x
a
ln
x a
C a x
e exC eax b ax b
e C
a
sinx -cosx + C sin(ax+b) cos(ax b C)
a
cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin(ax b C)
a
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos (ax b ) (atg ax b C )
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin (ax b ) cot (a g ax b C )
II BÀI TẬP:
1/ Tìm nguyên hàm hàm số. f(x) = x2 – 3x +
x f(x) =
2x4+3
x2 f(x) = x −1
x2 f(x) =
x2−1¿2 ¿ ¿ ¿
f(x) = √x+√3x+√4x f(x) = √x−
2 √x f(x) = √
x −1¿2 ¿ ¿ ¿
f(x) = x −3
√x f(x) = sin 2x
2 10 f(x) = tan2x 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 13 f(x) =
sin2x cos2x 14 f(x) =
cos 2x
sin2x cos2x 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 +
e− x
cos2x ¿
19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 f’(x) = 4
(12)4 f’(x) = x -
x2+2 f(1) = f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = f’(x) = ax + b
x2, f '(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx
I = ∫f[u(x)].u'(x)dx=∫f(t)dt BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 5x −1¿ 3dx
¿
∫¿
3−2x¿5 ¿ ¿ dx
¿
∫¿
∫√5−2xdx ∫dx
√2x −1 2x2+1¿7xdx
¿
∫¿
x
+5¿4x2dx ¿
∫¿
∫√x2+1 xdx ∫ x
x2+5dx
∫ 3x
2
√5+2x3dx 10
1+√x¿2 ¿
√x¿
dx
¿
∫¿
11 ∫ln
x
x dx 12 ∫x.e x2
+1
dx 13
∫sin4xcos xdx
14 ∫ sinx
cos5x dx 15 ∫cotxdx 16
tan cos
xdx x
∫ 17 ∫dx
sinx 18 ∫dxcosx 19 ∫tanxdx 20 ∫e
√x
√xdx 21 ∫ exdx
√ex−3 22
tan cos
x
e dx x
∫
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
∫u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 ∫x sin xdx ∫xcos xdx ∫(x+5)sin xdx ∫(x2+2x+3)cos xdx ∫xsin2 xdx ∫xcos2 xdx ∫x.exdx ∫ln xdx ∫xln xdx 10 ∫ln2xdx 11 ∫ln xdx
√x 12 ∫e
√xdx
13 ∫ x
cos2x dx 14 ∫xtg
xdx 15 ∫sin√xdx 16 ∫ln(x2+1)dx 17 ∫ex cosxdx 18 ∫x3ex2dx 19 ∫xln(1+x2)dx 20 ∫2xxdx 21 ∫xlg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ln(1+x)
x2 dx 24 ∫x
cos xdx TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
(13)1. Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) liên tục a b; Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x)
Thì: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a
f x dx F x F b F a
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz) Bài 1: Tínhcác tích phân sau:
1/ ∫ −1
(2x2+x+1)dx 2/ ∫
(2x3− x −2
3)dx 3/ ∫−2
x(x −3)dx 4/ ∫ −3
(x2−4)dx 5/
∫
1
(x12+
x3)dx 6/ ∫
1
x2−2x
x3 dx 7/ ∫1 e √e
dx
x 8/ ∫1 16
√x dx 9/ ∫ e2
2√x+5−7x
x dx 10/
∫
1
(4x −
3√3x2)dx 11/ ∫
2
x+2
x −1dx 12/ ∫0
(2x+1x −2−3)dx 13/ ∫−1
(2x −x −21−2x+1)dx 14/
∫
0
x2+2x+3
x+3 dx 15/ ∫
−1
(x2+x+1
x −1 −2x+1)dx 16/ ∫ −π π
cos 5x.cos xdx 17/ ∫ −π π
sin 7x sin xdx
18 / ∫ π
sin x
2cos xdx 19/ ∫0 π
sin2xdx 20/ ∫ −1
e2x+3
dx 21/
∫
0
e− xdx Bài 2:
1) 3 x 1dx ∫ 2)
x 3x 2dx ∫ 3)
( x x )dx
∫ 4) 2 2 x 2dx x ∫ 5) x
2 4dx
∫
6)
1 cos2xdx
∫
7) ∫0
|x2− x|dx
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
' a
f[u(x)].u (x)dx
∫
cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: ∫
a b
f[u(x)].u '(x)dx=∫ u(a) u(b)
f(t)dt Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t=u(x)⇒dt=u'(x)dx Bước 2: Đổi cận :
¿x=b
¿x=a⇒
¿t=u(b) ¿t=u(a)
(14)Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta I=∫
a b
f[u(x)].u '(x)dx=∫ u(a) u(b)
f(t)dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý
Dấu hiệu Cách chọn
1 ∫f(sinx)cos xdx ∫f(cosx) sin xdx ∫f(ex)exdx ∫f(lnx).1
xdx
t = sinx t = cosx t = ex t = lnx Bài 1: Tính tích phân sau:
1) ∫
3
1−2xdx 2) ∫0
e3x+1
dx 3) ∫
e− x2xdx 4) ∫ −1
2x x2+1dx 5) ∫
0
√x2+1 xdx 6) ∫
x
√x2+2 dx 7) ∫ π
sin3x cos xdx 8) ∫ π π
tanx cosx dx 9) ∫
0 π
cosx 1+sinxdx
10) ∫ π
√1+cosx sin xdx 11) ∫
1 e
lnx
x dx 12) ∫e e2
dx xlnx 13) ∫
1 e
√3+lnx
x dx 14) ∫1 e
dx
x√1+lnx 15) ∫1
ln2x
x dx 16) ∫1
dx xln3x 17) ∫
1
e√x
√xdx 18) ∫0 ln
ex
ex+1dx 19) ∫ ln ln
√ex+1.exdx 20) ∫ ln ln
exdx √ex−1 21) ∫
0 π
cos2xdx 22) ∫ π
cos3xdx 23) ∫ π
sin2x cos2xdx 24) ∫ π
sin3xcos3xdx
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
cách đặt x = (t) Công thức đổi biến số dạng 2: I=∫
a b
f(x)dx=∫ α β
f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x=ϕ(t)⇒dx=ϕ'(t )dt Bước 2: Đổi cận :
¿x=b
¿x=a⇒ ¿t=β
¿t=α
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta I=∫
a b
f(x)dx=∫ α
β
f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
√a2− x2 x = asint với − π/2≤t ≤ π/2
(15)√a2+x2
x = a
sinx với t
¿
[− π/2; π/2] {0
¿
x = atant với − π/2<t<π/2
Tính tích phân sau: 1)
1
2
1 x dx
∫ 2) dx x
∫ 3) dx
4 x
∫ 4) dx
x x 1
∫ 5) x dx
x x 1
∫ 6) 2 2 x dx
1 x
∫
7)
2
2
1
x x dx
∫ 8) ∫ dx
(1+x2)√1+x2
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần:
∫ a b
u(x).v '(x)dx=[u(x).v(x)]a b
−∫ a b
v(x).u'(x)dx
Hay: ∫ a b
udv=[u.v]a b
−∫ a b
vdu Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
¿u=u(x)
¿dv=v '(x)dx⇒
¿du=u '(x)dx ¿v=v(x)
Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần : ∫ a b
udv=[u.v]a b
−∫ a b
vdu Bước 3: Tính [u.v]a
b
∫ a b
vdu Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
∫
a b
P(x) sin xdx ∫ a b
P(x) cos xdx
∫
a b
P(x).exdx
∫
a b
P(x) ln xdx
∫
a b
ex sin xdx
∫
a b
ex cos xdx
Đặt u = P(x) Đặt u = P(x) Đặt u = lnx
Đặt u = sinx u = cosx Tính tích phân sau
1) ∫
x.e3xdx 2)
∫
0 π
(x −1)cos xdx 3) ∫
0 π
(2− x)sin xdx 4) ∫
0 π
x sin xdx 5) ∫
1 e
xln xdx 6) ∫ e
(1− x2) lnx dx 7) ∫
4x lnx dx 8) ∫
(16)9) ∫
(x2+1).ex.dx 10) ∫ π
x cosx.dx 11) ∫ π
x2 cosx.dx 12)
∫
0 π
(x2+2x) sinx.dx
13) ln xdx x ∫ 14) 2
x cos xdx
∫ 15) x
e sin xdx
∫ 16) sin xdx ∫ 17) e
x ln xdx ∫ 18)
x sin xdx cos x ∫ 19)
xsin x cos xdx
∫ 20)
x(2cos x 1)dx
∫ 21) 2 ln(1 x)dx x ∫ 22) 2x
(x 1) e dx
∫
23)
e
2
(x ln x) dx ∫ 24) cosx.ln(1 cosx)dx ∫ 25) ln ( 1) e e x dx x ∫ 26) xtg xdx ∫ 27) ∫
(x −2)e2xdx 28) ∫
xln(1+x2)dx
29) ∫ e
lnx √x dx 30) ∫
0 π
(x+cos3x)sin xdx 31) ∫
(2x+7)ln(x+1)dx 32) ∫
ln(x2− x)dx III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Công thức:
(H): (C1):y=f(x)
(C2):y=g(x)
Δ1:x=a Δ2:x=b
¿{ { {
S=¿∫
a b
[f(x)− g(x)]dx∨¿
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1)
¿
y=x2−2x +2 y=0 x=−1 x=2 ¿{ { { ¿ 2) ¿
y=x2−2x y=0 x=−1 x=2 ¿{ { { ¿ 3) ¿
y=− x2+4x y=0
¿{
¿
4)
¿
y=x2+x+2 y=2x+4
¿{ ¿ x y ) (H a b ) ( :) (C1 yf x
) ( :) (C2 ygx a
x
3 (2 3i)
O
(17)5)
¿
y=x2−2x+2 y=− x2− x+3
¿{
¿
6)
¿
y=1 4x
2
y=−1 2x
2 +3x
¿{ ¿ 7) ¿ y=x y=0 y=4− x
¿{ {
¿
8)
¿
y=x2 y=1
8x
y=8 x
¿{ {
¿
9)
¿
y=¿x2−3x+2∨¿y=2 ¿{
¿
10)
¿
y=tanx y=0 x=0 x=π ¿{ { { ¿ 11) ¿ y= e−2x y=ex x=1 ¿{ { ¿ 12) ¿
y=x√x2+1 y=0 x=0 x=1 ¿{ { { ¿ 13): 2 x y 4 x y 14) :
y x 4x
y x
15) 3x y x y x
16):
y x y x
17)
ln x y x y x e x
18)
2
y x 2x
y x 4x
19)
2 3
y x x
2 y x
20)
¿
(C):y=√x (d):y=2− x
(Ox)
¿{ {
¿
21)
¿
(C):y=ex (d):y=2 (Δ):x=1
¿{ {
¿
22)
¿
y=√x x+y −2=0
y=0
¿{ {
¿
23)
¿
y=x 2 y=
1+x2
¿{
¿
24)
¿
y=lnx , y=0 x=1
e, x=e
¿{
¿
25) (P): y = x2, x = tiếp tuyến với (P) điểm có hịanh độ x = 1. 26) (P): y = -x2 + 6x + 8, tiếp tuyến đỉnh (P) trục tung. 27) (P): y = -x2 + 4x – tiếp tuyến (P) điểm M
1(0 ; -3), M2(3; 0) 28) (P): y = - x2 + 4x tiếp tuyến (P) qua điểm A (5
2;6)
IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức:
V=π∫ a b
[f(x)]2dx
a y0 b
) ( :
)
(C yf x
(18)
Bài1:Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục Ox
b) y = tanx , y = , x = , x = π
4 quay quanh trục Ox c) y =
x , y = , x = , x = quay quanh trục Ox d) y = x.lnx , y = , x = , x = e quay quanh trục trục Ox e) y=x12e
1
2 , y = , x = , x = quay quanh trục Ox f) y = 5x – x2 , y = quay quanh trục Ox.
g) y = 2x2 , y = 2x + quay quanh trục Ox. h) y=x
3
3 , y = x
2 quay quanh trục Ox
k) y=x√ln(1+x2) , y = , x= quay quanh trục Ox Bài : Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài : Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2) y =
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài : Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2; 22
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
SỐ PHỨC A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i2 1 Kí hiệu z a bi
i: đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo. Chú ý:
oz a 0i a gọi số thực (a) oz bi bi gọi số ảo (hay số ảo)
o0 0i vừa số thực vừa số ảo Biểu diễn hình học số phức:
M(a;b) biểu diễn cho số phức z z = a + bi
2 Hai số phức Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b,a ', b ' a a '
z z '
b b '
3 Cộng trừ số phức Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b,a ', b '
z z ' a a ' b b ' i
z z ' a a ' b b ' i
(19)oSố đối z = a + bi –z = – a – bi (a, b )
4 Nhân hai số phức Cho hai số phức z a bi z ' a ' b 'i với a, b,a ', b '
z.z ' aa ' bb ' ab ' a 'b i
5 Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi
o z=z ; z+z '=z+z ' ; z.z '=z.z'
oz số thực ⇔z=z ; z số ảo ⇔z=− z
6 Môđun số phức z = a + bi o
2
z a b zz OM o |z|≥0∀z∈C ,|z|=0⇔z=0
o z.z ' z z ' , z z ' z z ' z, z ' Chia hai số phức
oSố phức nghịch đảo z (z 0¿ : z−1=
|z|2z
oThương z’ chia cho z (z0): z 'z =z ' z−1=z ' z
|z|2=
z ' z z z
oVới z 0,z 'z =w⇔z '=wz , (z ' z )=
z ' z ,|
z ' z |=
|z '| |z|
BÀI TẬP
1 Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: a (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
b (2 + i)3 – (3 – i)3
c
1 3i d (2 3i)
e (1 + i)2 – (1 – i)2
f
2
3 i i g (2 + i)3 – (3 – i)3
h
2
3
(1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i)
i
2
3
2
i i
i j ( 1- i ) + 1+i2+i k
3 2i i
l (3+2i)3[(2−i)−(5−2i)] m
3
1
i i
i i
n √3−i
1+i − √2−i
i o
3 2i i i 2i p (1−34−i)(2+34i i) Tính
a 1+23 i b 11+i−i
c m
i√m
d a+i√a
a− i√a e (1−2i3+)(1i +i) f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i)
h a+i√b
i√a i (2 – i)4 j
1 2−√
3 i k 4−3i+5+4i
3+6i l (1+i)2(2i)3
−2+i m (3 – 2i)(2 – 3i)
n (2 + 3i)2 o (2 – 3i)3 p 4+21+ii q
2 i (1 i)(4 3i) 2i
r
(3 4i)(1 2i)
4 3i 2i
s i
i
+ (5 – i)2
(20)t
2 2i 2i
1 2i 2i
3 Tìm số thực x y biết: a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i b (2 – x) – i √2 = √3 + (3 – y) i
c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
4 Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a |z+z+3|=4
b 2|z – i| = |z − z+2i|
c z z 4 i
d
z i z i
e z 1 i a z + 2z = – 4i b z2− z=0 f z2+|z|=0
g 2z i z h |z| =
i |z| = |z −3+4i|
j |z −(2i)|=√10 vaø z.z ' = 25
k |z|
l |z| =1 phần ảo z
=1
m |z −(3−4i)|=2 n (z+i
z −i)
=1
o |z −iz+i|=1
p 1< |z|
q |2i−2z|=|2z −1|
r phần thực z thuộc đọan [0;1], phần ảo z thuộc đoạn [-1;2]
c z+2z=2−4i
d z2+|z|2=0
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Căn bậc hai số phức
oz 0 có bậc hai 0
oz a số thực dương có bậc a
oz a số thực âm có bậc hai a i
oz = x + yi số phức có bậc w = a + bi cho
2
2 x y a
w z
2xy b
(a, b, x, y )
2 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c là số thực cho trước, a 0 ). Tính b2 4ac
o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực
b x ,
2a
o 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức
b i x ,
2a
o Δ=0 : Phương trình có nghiệm kép
b x
2a
BÀI TẬP
1 Giải phương trình sau tập số phức: a 12+i−iz=−1+3i
2+i b 2iz + – i =
c (1 – i )z + – i = 2z + i
d ( iz –1 )( z + 3i )( z – + 3i) = e ( i) z – =
f 4 5i z i
h
3 5i
2 4i z
i (2 )
z i i
i
j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i
(21)B
h
a b c
a a a
B h
g
2
3 2i z i 3i
s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i)
m
1
z i i
2
n [(2−i)z+3+i](iz+ 2i)=0 2 Giải phương trình sau tập số phức:
a x2−√3 x+1=0 b 3√2 x2−2
√3.x+√2=0
c 3x2 x 2 d 3x2 x e x2 x
f z4–8 = 0 g x3 – = 0
h z3 + = 0 i z4 + = j 5z2 – 7z + 11 = 0 k z2 - 2 3z + = 0 l z3 – = 0
m z2 + z +7 = n z2 – z + = 0
o z2 + 2z + = 0 p 8z2 – 4z + = 0 q x2 + = 0 r x2 – 3x + = 0
s x2 –5x +7=0
t x2 –4x + 11 = 0 u z2 – 3z + 11 = Giải phương trình sau tập số phức
a z4 – 5z2 – = b z4 +7z2 – = 0 c z4 – 8z2 – = 0 d z4 + 6z2 + 25 = 0 e z4 + 4z – 77 = 0 f 8z4 + 8z3 = z + 1
g z4 + z3 +
2 z2 + z + = h z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 i
4
2
z i
z i
z i
j
3 1 0
2 2
z z z
===========================
ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: 1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B : diện tích đáy h : chiều cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
với a,b,c ba kích thước b)Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V=
1 3Bh
với
B : diện tích đáy h : chiều cao
(22)3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC SA ' B' C'
V SA SB SC
V SA ' SB' SC'
C'
B' A'
C B
A
S
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1) Dạng : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Bài tập :
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD' a 6 Tính thể tích lăng trụ
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết rằng chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt của lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ bằng trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng. Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết
BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết AC = a ACB 60 obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o
Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC'
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o
(23)Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o
Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh của mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c BD' = AC' = CA' =
2 2
a b c
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật
2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh : sin x sin y sin z 12
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Bài tập :
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật.
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh bên a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a và
o
BAC 120 biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o
2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o.
3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o
2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o
2)Tam giác BDC' tam giác 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o
2)Khoảng cách từ C đến (BDC')
a 2
3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ
(24)Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên 8 hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30 o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách đều A,B,C biết AA' =
2a 3
3 .Tính thể tích lăng trụ
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o
1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O
1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a
1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ 2) Tính thể tích lăng trụ
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đơi tạo với góc 60o
1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B'
3) Tính thể tích hộp
Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường
vng góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy
2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với
BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o
Tính thể tích hình chóp
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC đều mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC .
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 +
AC2 Tính thể tích hình chóp
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm
1) Tính thể tích ABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc BAC 120 o, biết
SA (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông biết
SA (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết
(25)SA (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a
Tính thể tích khối chóp
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o
Tính thể thích khối chóp SABCD
Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp
nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD
2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC)
1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC 2) Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính
thể tích SABC
Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30 o o; SBC tam giác cạnh a (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD,
1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp
SABCD
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
3) Dạng : Khối chóp đều Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích
hình chóp
Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC 2) Tính thể tích hình chóp SABC
Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể
tích hình chóp SABC
Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình
chóp
Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp
Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB 60 o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp
2) Tính thể tích hình chóp
(26)Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể
tích hình chóp
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường
cao chóp đến mặt bên a Tính thể tích hình chóp
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o.Tính thề tích hình chóp
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích
3
9a 2
V 2
4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Bài tập :
Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD
Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB =
2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho
a 2a
AB ;AC '
2
Tính thể tích tứ diên AB'C'D
Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD sao
cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng
qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'
Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho
2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP
Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho
SM x
SA Tìm
x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích
§ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tọa độ điểm véc tơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1 M x( M;y zM; M) OM x i y j z kM M M
a( ; ; )a a a1
a a i a j a k
2. Bi ểu thức tọa độ phép tốn véc tơ Trong khơng gian Oxyz Cho a( ; ; )a a a1
và b( ; ; )b b b1
ta có a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)
k a (ka ka ka1; 2; 3)
(27)
1
2
3
a b a b a b a b
a b
cùng phương
1
2
3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
Cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) AB(xB x yA; B y zA; B zA)
trung điểm AB M (xA+xB ;
yA+yB ;
zA+zB ) 3. Tích vơ hướng ứng dụng
Trong khơng gian Oxyz, tích vô hướng a( ; ; )a a a1
và b( ; ; )b b b1
là: a b a b c os(a; )b a b1 1a b2 2a b3
2 2
1
a a a a
2 2
( B A) ( B A) ( B A)
AB x x y y z z
1 2 3
2 2 2
1 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
(với a0 ,b0
) a
b
vng góc a b1 a b2 2a b3 0
4.Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2-D > phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính r A2B2 C2 D
B. BÀI TẬP:
Bài 1 Viết tọa độ vectơ a b c; ;
biết : a 2i j
+ 3K ; b7i 8k; c9k;
Bài 2 Cho ba vectơ →a = ( 2; -1 ; ), b→ = ( -1; -2; 2) , →c = (-2 ; 1; )
a. Tìm tọa độ vectơ : →v = -2 →a + b→ - →c u→ = →a - →c
b. Chứng tỏ →a b→ b→ →c
Bài 3 Cho vectơ →a = (1; 2; 3) Tìm tọa độ vectơ x
, biết rằng: a) a x
b) a x 4a
Bài 4 Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B C a Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
b Tính chu vi tam giác ABC
c Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
(28)d Tìm tọa độ diểm M cho GA=−2GM
Bài 5 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) a Tìm tọa độ đỉnh cịn lại
b Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ tứ diện A.A’BD C’.CB’D’ c Chứng tỏ rằng: 3GG’ = AC’
Bài 6: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây: a. x2+y2+z2−8x+2y+1=0
b. x2+y2+z2+4x+8y −2z −4=0
c. − x2− y2− z2
+4x+2y −5z −7=0 d. 3x2+3y2+3z2−6x+3y −9z+3=0
Bài 7.Viết phương trình mặt cầu:
a Tâm I(2;1;-1), bán kính R =
b Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1) c Đường kính AB với A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) e Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x
§ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG C. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng:
n ≠ 0 véctơ pháp tuyến mặt phẳng () ⇔ n ()
2 Phương trình tổng quát mặt phẳng
* Định nghĩa: Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2 ≠ gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n( ; ; )A B C
làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =
Nếu (P) có cặp vectơ a( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 b b b1
không phương có giá song song nằm (P) vectơ pháp tuyến (P) xác định
n =
2 3 1
2 3 1 2
2 3 1
a a a a a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
* Các trường hợp riêng phương trình măt phẳng
Trong khơng gian Oxyz cho mp( α¿ : Ax + By + Cz + D = Khi đó: D = ( α¿ qua gốc tọa độ
A=0 ,B0 ,C 0, D 0 ( ) song song với trục Ox A=0 ,B = ,C0, D 0 ( ) song song mp (Oxy ) A,B,C,D0 Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
Khi ( ):
x y z
a b c
(Các trường hợp lại xét tương tự)
3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
(29)Trong không gian Oxyz cho (): Ax+By+Cz+D = 0, ( ’):A’x+B’y+C’z+D’= ()cắt ( ’) A : B : C ≠ A’: B’: C’
() // (’) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ () ≡ ( ’) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt
() (’) n n1 0 A A B B C C ' ' ' 0
4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
D. BÀI TẬP
Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có vtpt n
biết a ĐiểmM 3;1;1 , n 1;1;2
b M2;7; , n 3; 0;1
c, M 4; 1; , n 0;1;3
d, M 2;1; , n 1; 0; 0
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
c Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB song song với CD d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài Lập phương trình mp qua điểm M song song với mp biết:
a M 2;1;5 , Oxy b M1;1; , :x 2y z 100 c M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 d M 3;6; , : x z 10
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1) a Song song với trục 0x 0y
b Song song với trục 0x,0z c Song song với trục 0y, 0z
Bài5: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) : a Song song với trục 0x
b Song song với trục 0y c Song song với trục 0z
Bài 6:Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biết :
a (P) qua điểm A(-1;3;-2) nhận n(2,3,4); làm VTPT b (P) qua điểm M(-1;3;-2) song song với (Q): x+2y+z+4=0 c (P) qua I(2;6;-3) song song với mặt phẳng toạ độ
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - =
a Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ O song song với mp (P) b Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)
Bài 8: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) trường hợp sau: a Đi qua hai điểm A(0;-1;4) có cặp VTCP a3; 2;1
b3;0;1
b Đi qua hai điểm B(4;-1;1) C(3;1;-1) phương với trục 0x
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD) b Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói CD
Bài 10: Viết phương trình tổng quát (P)
a Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)
(30)b Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vng góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c Chứa 0x qua A(4;-1;2) ,
d Chứa 0y qua B(1;4;-3)
Bài 11: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) khơng gian 0xyz a Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực AB
b Viết phương trình mp(Q) qua A vng góc (P) vng góc với (y0z) c Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A song song với mp(P)
Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = (Q): mx - 6y - 6z + =
a Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau, lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q)
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a Chứng minh mp(AB’D’) song song mp(BC’D) b Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng
c Chứng minh A’C vng góc (BB’D’D)
§ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN E. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình tham số đường thẳng:
* Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0(x0;y0;z0) có vec tơ phương
( ; ; )
a a a a :
0
0
0
(t R) x x a t
y y a t
z z a t
* Nếu a1, a2 , a3 khác khơng Phương trình đường thẳng viết dạng tắc
sau:
0 0
1
x x y y z z
a a a
2. Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
1 Vị trí tương đối hai đường thẳng
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
' '
2
' '
0 3
'
: ' : '
'
o o
o o
o
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
d có vtcp a=(a1; a2;a3) qua M(xo;yozo);
d’có vtcp a'=(a ' ;a
2 ' ;a
3 '
) qua M’(xo;yozo);
a. a , a' phương
d // d’
¿
a=k.a'
M∉d'
¿{
¿
;d ≡ d’
¿
a=k.a'
M∈d'
¿{
¿
b. a , a' không phương
(31)
' '
1
' '
2
' '
0 3
' ' '
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
(I)
d cắt d’ Hệ Phương trình (I) có nghiệm d chéo d’ Hệ Phương trình (I) vơ nghiệm
2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D =
1
2
0
:
o o
x x a t
d y y a t
z z a t
pt: A(xo+a1t) + B(yo+a2t) + C(z0+a3t) + D = (1)
Phương trình (1) vơ nghiệm d // (α) Phương trình (1) có nghiệm d cắt (α) Phương trình (1) có vơ số nghiệm d(α) Đặc biệt : (d) ( ) a n,
phương
E BÀI TẬP
Bài Lập phương trình tham số đường thẳng (d) trường hợp sau : a (d) qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)
làm VTCP b (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)
c (d) qua A(2; -1; 3) vng góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + =
Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2;3;-5) song song với đường thẳng
(d) có phương trình:
(d): x=−t
y=2+2t
z=1+2t
, t∈R ¿{ {
Bài Viết phương trình tham số, tắc đường thẳng (d) trường hợp sau: a Đi qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2)
b Đi qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1= Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
c (d) giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : 2P xy z40 , ( ) :Q x y2z20 Bài Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:
a d:
¿
x=−3+2t y=−2+3t z=6+4t
¿{ {
¿
d’ :
¿
x=5+t ' y=−1−4t '
z=20+t '
¿{ {
¿
b d:
¿
x=1+t y=2+t z=3−t
¿{ {
¿
d’:
¿
x=1+2t ' y=−1+2t '
z=2−2t '
¿{ {
¿
Bài Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho :
(d1): x −2
1 = y −1
2 = z −1
1
(d2): x=1+2t
y=t+2 z=−1+3t (t∈R)
¿{ {
(32)a) CMR hai đường thẳng cắt Xác định toạ độ giao điểm b) Viết phương trình tổng qt mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P), tìm giao điểm có
a)
(d): x=1+t
y=3−t
z=2+t
, t∈R ¿{ {
(P): x-y+z+3=0
b)
(d): x=12+4t
y=9+t z=1+t , t∈R
¿{ {
(P): y+4z+17=0
Bài Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng d:
¿
x=2+t y=1+2t
z=t
¿{ {
¿
a Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d b Tìm tọa độ điể A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (α):x+y+z −1=0
a. Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M (α) b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α)
c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Bài Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) c Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
d Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) (B’D’C) b Chứng tỏ AC’ vng góc mặt phẳng (A’BD) (B’D’C)
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)
1 Chứng minh tam giác ABC vng Viết phương trình tham số đương thẳng AB
2 Gọi M điểm cho MB=−2MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng BC (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + =
1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm góc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng (α)
2 Viết phương trình tham số đường thẳng ( Δ ) qua điểm E vng góc mặt phẳng
(α) (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đường thẳng (d)
có phương trình
¿
x=1+2t y=−3+t z=6−t
¿{{
¿
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đương thẳng qua hai điểm M N
(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)
(33)2. Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
(Đề thi tốt nghiệp 2008)
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): (x −1)2+(y −2)2+(z −2)2=36 (P): x + 2y + 2z +18 =
1 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đương thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao
điểm d (P)
(Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình 6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số đường thằng d qua hai điềm M N
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A,B,C
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A có đường kính
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 9: Trong KgOxyz cho điểm A(2;0;1), đường thẳng (d):
2
x t
y t
z t
và mặt phẳng (P): 2x − y+z+1=0
1 Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (d)
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0) 1. Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mp(ABC) 2. Viết phương trình tham số đường thẳng BC
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ vng góc AB
Bài 12: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) đường thẳng d có phương trình
1 1
2
x y z
1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc d. 2) Tìm tọa độ giao điểm d mặt phẳng .
Bài 13: Trong không gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) mp (Q) : x + 3y - z + = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc với (Q)
2 Tìm tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q)
Bài 14:T rong không gian Oxyz, cho điểmA3;2;0 , B0;2;1 , C1;1;2 , (3; 2; 2) D Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy DABC tứ diện
2 Viết phương trình mặt cầu ( )S tâmD tiếp xúc mặt phẳng (ABC)
Bài 15: Trong khoâng gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M song song với mặt phẳng x 2y3z 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( ).
(34)Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 17: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x y z
d :
1 2
điểm A(3;2;0) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên d
2 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 18: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2 Gọi (d) đường thẳng qua C vng góc mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (Oxy)
Bài 19: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – = đường thẳng
:
2
3
x t
y t
z t
( t tham số)
1 Tìm giao điểm I ()
2 Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()
Bài 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng (d) có
phương trình
x 2t
y t
z t
1 Viết phương trình mp(P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm hai điểm M N