D¹y cho häc sinh gi¶i to¸n kh«ng ph¶i lµ cñng cè nh÷ng bµi cã s½n mµ häc sinh chØ nghe thô ®éng vµ ghi, mµ d¹y cho häc sinh nªn sö dông bµi tËp víi dông ý nµo ®ã nh»m h×nh thµnh chi thøc[r]
(1)Môc lôc
Trang
Phần I: Mở đầu: 02
1 Lý chọn đề tài 02
Mục đích nghiên cứu 02
3 NhiƯm vơ nghiªn cøu 03
Phạm vi đối tng nghiờn cu 03
5 Phơng pháp nghiên cu 03
PhÇn II: Néi dung 03
Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn 03
Chơng II: Các biện pháp ( giải pháp) s phạm cần thực 04
BiƯn ph¸p 1: 04
BiƯn ph¸p 2: 04
Chơng III: Thực nghiệm s phạm 15
1 Mục đích thực nghiệm 15
2 Néi dung thùc nghiƯm 15
3 KÕt qu¶ thùc nghiƯm 28
PhÇn III: KÕt ln 29
Tài liệu tham khảo 30
Phần I: Mở đầu 1 Lý chọn đề tài:
-“ Dạy học toán hoạt động toán học , học sinh cần biết q trình sáng tạo khái niệm , định lý , biết vận dụng kiến thức có niền tin vào khả tốn học mình”
- Đặc trng tốn học trìu tợng hóa cao độ , có tính Lơgic chặt chẽ , trong dạy học , ngồi suy diễn lơgic phải trọng ngun tắc trực quan trìu tợng , trực quan trìu tợng , suy luận có
(2)tợng học sịnh , dự kiến khó khăn trở ngại , bẫy mà học sinh phải vợt qua
(Trớch i mi phng phỏp dy học trờng THCS - Viện khoa học giáo dục 1997-Chủ biên : Trần Kiều Trang – trang 30)
Qua nghiên cứu , tìm hiểu thực tiễn , điều tra qua thực tiễn giảng dạy môn toán trờng THCS Mỹ Thuận , đặc biệt bơì dỡng học sinh giỏi , tơi nhận thấy :
- Sè häc sinh thùc häc tốt môn toán ( Nắm vng kiến thức, có kỹ , kỹ sảo , có phơng pháp tự học , tù båi dìng ) chiÕm tØ lƯ thÊp
- Trong thực tế thi HSG học sinh gặp phải toán nghiệm nguyên gần nh bỏ trắng , lúng túng soay sở Điều thực rẽ hiểu tốn đợc đa vào dới dạng tập , lí thuyết đợc nhắc qua phần nhỏ song lại áp dụng số học nhiều
- Học giải tốn nói chung phơng trình nghiệm ngun nói riêng t sáng tạo Toán , vấn đề triù tợng hóa khó với học sinh q trình học tốn trờng THCS
- Vấn đề thừa nhận : Nêú nh em nắm dạng phơng trình nghiệm nguyên phơng pháp giải việc giải dạng toán dễ dàng ngày hăng say học tập
2 Mục đích nhiên cứu:
- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học bậc THCS
- Đáp ứng nguyện vọng HS viƯc n©ng cao kiÕn thøc cịng nh bỉ sung kiÕn thøc ngoµi SGK cho HS
- Trang bị cho HS kiến thức vững vàng, có ý thức tự học tìm tòi sáng tạo trình häc tËp
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng đợc tri thức vào sống
- Qua nghiên cứu đề tài để thân đồng nghiệp có thêm t liệu dạy tốn nói chung dạy dạngtốn nghiệm ngun nói riêng Học sinh phát huy đợc tính độc lập sáng tạo tự tìm tịi sáng tạo đúc rút kinh nghiệm , tìm tịi khám phá kiến thức cho
3 NhiƯm vơ nghiªn cøu:
- Vai trò tập việc dạy học giải bµi tËp
- Một số phơng pháp giải : “ Giải tốn phơng trình nghiệm ngun ” - Nghiên cứu soạn , dạy đồng nghiệp
- Nghiên cứu làm học sinh trớc sau giảng 4 Phạm vi i tng nghiờn cu:
1 Đối tợng: 10 học sinh giỏi khối
2 Phạm vi : Giải toán phơng trình nghiệm nguyên 5 Phơng pháp nghiên cứu :
- Phơng pháp ngiên cứu tự tìm kiến thức
- Phơng pháp đối thoại : học sinh – học sinh; giáo viên – học sinh; giáo viên – giáo viên
- Phơng pháp tổng kết rút kinh nghiệm - Phơng pháp thực nghiệm
(3)- Vic giải tập đợc coi là phơng tiện mục đích việc dạy học tốn, có tầm quan trọng lớn từ lâu vấn đề trung tâm phơng pháp dạy học toán
- Giải tập hình thức tốt nhằm củng cố đào sâu kiến thức, hệ thống hóa luyện tập kỹ năng, kỹ sảo phát huy tốt lực nhận thức học sinh Mục đích phát triển học sinh lĩnh Toán học , toán dạy cho học sinh kỹ hớng tình có vấn đề khác Dạy cho học sinh giải tốn khơng phải củng cố có sẵn mà học sinh nghe thụ động ghi, mà dạy cho học sinh nên sử dụng tập với dụng ý nhằm hình thành chi thức hay củng cố chi thức Rèn luyện thao tác t hay để kiểm tra trình độ giáo dục đợc ngơn ngữ tốn học Dạy giải tốn phải tổ chức hoạt động học sinh để em tích cực chủ động tìm tịi lời giải Kết hoạt động dạy học toán đợc xác định hệ thống giải mà học sinh có đợc qua q trình thu nhận kiến thức Vì tập phải đợc đa từ dễ đến khó, để phát huy tính tích cực, đào sâu suy nghĩ kích thích tìm tịi sáng tọa tăng mức độ khó tìm học sinh khiếu, đồng thời gieo vào lịng niềm đam mê hăng say học tốn
Vì giáo viên phải đa hệ thống tập dạng khác nhau, đặc biệt học sinh học song phải biết nắm đợc kiến thức nào, từ em vận dụng kiến thức học vào việc giải tập khác tự thân hoc sinh phát triển khả nhận thức Trong tình dạy học phải tuân việc lấy ngời học làm trung tâm
- Kế thừa kiến thức toán học từ lớp trở xuống, đặc biệt giải phơng trình, kiến thức nâng cao số sách tham khảo
- Mét sè phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Phân tích dạng toán, tìm tòi phơng pháp giải dạng toán
- Giúp học sinh khám phá tri thức mới, có lực sáng tạo học toán - Điều tra thực trạng:
+ Về giáo viên:
- ý thức chấp hành quy chế chuyên môn tốt, có ý thøc rÌn lun n©ng cao tay nghỊ, cã ý thức tìm tòi mua sắm, nghiên cứu tài liệu
- Những năm gần phong trào dạy học học sinh khiếu, học sinh giỏi có chuyển biến tích cực
- Không có tình trạng giáo viên trung bình chủ nghĩa, chậm tiến không tập trung vào chuyên môn
+ Về học sinh:
- Các em nhận thức chậm, nhiều em ý thøc tù häc tËp, tù nghiªn cøu cha cao
- Đa số em khơng có tài liệu tham khảo, khơng có đủ tài liệu cần thiết tối thiểu đáp ứng cho vấn đề học nâng cao kiến thức
- Nhiều em học sinh khơng thích học tốn nâng cao phát triển chuyên đề giải phơng trình nghiệm nguyên em lại khơng thích học * Qua điều tra thăm nắm tình hình dạy vấn đề giáo viên việc bồi dỡng học sinh giỏi, bồi dỡng học sinh khiếu nhận thấy nhiều giáo viên lúng túng, gặp khó khăn tiếp cận tốn giải phơng trình nghiệm ngun đề thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi, thi vào lớp 10, tài liệu tham khảo…
Ch¬ng II: Các biện pháp (Giải pháp) s phạm nâng cao chất lợng:
(4)- Tìm hiểu ham mê học Toán học sinh khối
- Kiểm tra kiến thức kĩ giải phơng trình học sinh đội tuyển chọn
2 Biện pháp 2: Hớng dẫn theo phơng pháp:
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
a) Những kiến thức bổ xung cho việc giải phơng trình nghiệm ngun: Để giải phơng trình nói chung phơng trình nghiệm ngun nói riêng ta phải nắm đợc cách giải tổng qt
b) Cơ thĨ: I
Ph ơng trình ẩn với hệ số nguyên
1 Dạng tổng quát :
1
1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a
(1)
Cách giải :
a Định l ý 1: phân số tói giản
p
q ( p lµ sè nguyên , q só nguyên dơng) là
một nghiệm phơng trình (1) p ớc số cđa a vµ q lµ íc sè cđa an
Chứng minh Vì
p
q mép nghiƯm cđa (1) nªn ta cã:
1
n 1
1
1
2
1
1 2
1
a
0( )
( ) 0( )
n n
n
n n n
n n
n n n
n n
n n n n
n n
p p p
a a a
q q q
a p a q a p q a q o
a p q a a pq a q I
p a p a p q a q a p II
Tõ (I) =>
n n
a p qmµ ( ; ) 1p qn a qn Tõ (II) =>
n
a q p mµ ( ; ) n
p q q p
b) HƯ qu¶ 1:
Nếu x=b nghiệm b íc cđa q0
c) HƯ qu¶ 2:
Mäi nghiệm hữu tỉ phơng trình với hệ số nguyên :
1
1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a
đều số nguyên
d) Quy t¾c tìm nghiệm nguyên ph ơng trình ( 1) : B
ớc : Tìm tất íc sè cña a0
B
íc 2: Thử tất ớc số a0 vào vế trái pt (1) ớc số nhá nhÊt
B
íc : NÕu ớc số d làm cho đa thức kết luận x= d nghiệm nguyên đa thức có giá trị khác x= d không nghiệm
Ví dơ:
(5)Gi¶i
Phơng trình có nghiệm ngun nghiệm phải thuộc tập ớc Ư (6)={ 1; 2; 3; 6}
Đặt P(a)= a2- 5a +
Khi ta tính P(x) đợc P(2)= v P(3)=
Kết luận : phơng trình có hai nghiệm nguyên : a=2 a=3 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:
x2 + 4x + = (2)
Giải
Đặt P(x)= x2 + 4x + 3
Tìm tập ớc Ư(3)= { 1; 3}
Nhiệm nguyên có phơng trình (2) phải thuộc vào tập hợp Ư(3) Bằng phép thử ta có :
P(1)=8 ; P(-1)= ; P(3)=24 ; P(-3)=0 Vậy phơng trình (2) có nghiệm x=-1 vµ x=-3
4 Bài tập đề nghị giải theo ph ơng pháp trên: x10+x7+2x3+2 = 0;
2 x3+4x2-29x+24 = 0;
3 1-6x2+6x-x3 = 0;
4 x3-4x2-8x+8 = 0;
5 x2(4+x2)+4-x2 = 0.
II phơng trình bậc hai ẩn số: ax by c
( với a, b, c hệ số nguyên) 1 Cơ sở lý thuyết:
a §Þnh lý 1:
Cho a, b hai số nguyên dơng ; gọi d=(a;b) tồn số nguyên m n cho d= a.m + b.n
Chøng minh :
Gäi D lµ số nguyên dơng bé tập hợp số nguyên cã d¹ng : a.m + b.n víi m, n Z
Gi¶ sư D= a.m0+ b.n0 ta nhËn thÊy mäi số nguyên có dạng a.m+ b.n ( m,n Z)
đều chia hết cho D
ThËt vËy gi¶ sư ngợc lại số C = a.m + b.n mà C= D.q+ r víi 0< r< D
0
0
. . . ( ). .( ) ( )
C a m b n D q r a m b n q r r a m m q b n n q
Víi m - m0.q n - n0.q số nguyên Điều trái với giả sử D số nguyên
dơng bé Vì a = a.1+ b.0 =>
.1 0
a a b a D b a b b D
(6)Mặt khác a d a m d 0 b d b n d 0 a.m
0 + b.n0 = D ⋮ d ⇒ D
d (** Tõ (*) vµ (**)
0
D d
D d a m b n d D
(đpcm)
Hệ : a p b p ( ; )a b p b Định lý 2:
Giả sử a,b,c số nguyên a,b,c khác d = (a,b) phơng trình
ax by c
nghiệm nguyên d/ c Chứng minh:
Điều kiện cần : Giả sư pt cã nghiƯm nguyªn ax0 by0 c
v×
0
/ / /
/ /
d a d ax d c
d b d by
Điều kiện đủ : d c/ c d m. (m Z)
Vì d=(a,b) theo ĐK cần ta có : d=a.s+b.t => c= m.d= as.m+bt.m=a.(sm)+ b.(st) đặt x0 = s.m ; y0= t.m ax0+ b.y0=w.f tức phơng trình 0
ax by c
có nghiệm nguyên
d Công thức nghiệm:
Xét phơng trình : ax by c (1) với a,b,c Z; Gọi d = (a,b) với d/c Khi a = d.a1 ; b = d.b1 ; (a1;b1) =1 c = d.c1 ta có
(1) <=> ax1 by1 c1 (2)
Giả sử x0; y0 nghiệm phơng trình
Ta có a x1 b y1 c1 (3) XÐt hiÖu (2)-(3) ta cã
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) a x x b y y
a x x b y y
Đặt x-x0 =u y-y0=v => a1u=b1v
Ta cã a1/b1v vµ (a1;b1) =1 => a1/v => v=a.t ( Víi t Z )
Do ú a1u=-a1b1t => u=- b1t
Ngợc lại u= -b1t ; v=a1t (với t Z ) cặp v,u,t nghiệm pt a1u=-b1v
vì x-x0 =u y-y0=v nên x= x0-b1.t y=y0 +a1.t
Vậy công thức tổng quát phơng trình ax by c
Cã d¹ng
0 1 x= x -b t y=y +a t
(7)2.Cã thĨ ph¸t biĨu trình xây dựng công thức nghiệm phơng trình
ax by c nh sau
a) NÕu (x0; y0 ) nghiệm nguyên phơng trình axby 1với
(a;b)=1 (c x0; c.y0) nghiệm phơng trình axby c
b) Nếu (x0; y0 ) nghiệm nguyên phơng trình axby c
với (a;b)=1 nghiệm ngun đợc xác định hệ thức
0 x= x -b.t y=y +a.t
víi t Z. 2 C¸c vÝ dơ:
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 8x +11y = 73 Giải:
Vì (8;11) =1 nªn pt cã nghiƯm nguyªn => x= 73-11y =>
1
8 y x y
đặt y t
(t Z) =>
1
3 t y t
Lại đặt
3 t
=u víi (u Z) => t=3.u-1
tÝnh x,y theo u =>
3 x y t y t u
t u
=>
11 x u y u
víi u Z.
VÝ dơ : Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ (x;y) phơng trình: 17x- 29y= 100
Giải:
Vì (17;29) =1 nên PT có nghiệm nguyên => x=
100 29 17 17 y y đặt 17 y
=t (t Z) =>
2 17
5 t y t y t
Lại đặt t u
với (u Z) => t=5.u +1 từ tính x; y theo u
ta cã =>
29 11 17 x u y u
với u Z để x ; y nguyên dơng 29 11
17 17 x u u y u
Vì u Z nên u = 0;1;2;3
Nghiệm nguyên nhỏ u = => x =11 y =3 3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x – 3y = ; b) 2x – 5y = 10 c) 1x -20y = 49; d) 3x + 2y = 555 Tìm tất số tự nhiên n cho :
(8)c) n 9, n+ 25 vµ n +
3 Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: a) 5x + 4y = 3;
b) 3x + 7y = 55 III
Phơng trình bậc nhiều ẩn:
1 Định nghĩa:
Phơng trình bậc nhiều ẩn có dạng:
a1x1 + a2x2 + + anxn = c ( an, c Z) (3)
2 Định lí:
(3) cã nghiƯm nguyªn ( a1, a2, , an) / c
3 Cách giải:
Đa (3) vỊ mét hai d¹ng sau:
a) Có hệ số ẩn 1, giả sử a1 = Khi đó:
x1 = - a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xn Z
Nghiệm nguyên (3) là: (- a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xn ), x2 , x3, , xn
Z.
b) Cã hai hƯ sè nguyªn tè cïng nhau, gi¶ sư ( a1,a2) =
(3) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - anxn Tìm nghiệm nguyên x1, x2 theo x3, , xn
4 C¸c vÝ dơ:
a) Giải phơng trình tập số nguyên: 6x + 15y + 10z = (3’) Gi¶i:
(3’) x + 10(y + z) + 5(x + y) = (*) Đặt u = y + z ; v = x + y, :
(*) x + 10 u + 5v =
NghiÖm tổng quát (3) :
3 10
3 10
3
x u v
y u v
z u v
C¸ch :
(3’) 6( x + z) + 15y = 4z
Đặt u = x + z, ta có phơng trình: 15y + 4z = – 6u
( - ; 4) nghiệm riêng PT15y + 4z = nên -3 + 6u ; 13 – 24u) nghiệm riêng PT 15y + 4z = – 6u Do nghiệm tổng quát :
3
( , )
12 24 15
y u t
u t Z
z u t
.
Tõ u = x +z x = u – z = u –(12 24u 15t) = -12 +25u + 15t
Vậy nghiệm nguyên PT (3) :
3 10
3 10
3
x u v
y u v
z u v
(9)b) Tìm tất số nguyên x y cho hai số 3x – y + 2x + 3y – chia hết cho
Gi¶i :
Ta tìm nghiệm nguyên hệ :
3x – y 1= 7u (1) 2x 3y – 1=7v (2)
Nhân (1) với cộng vơi (2) ta đợc: 11x + = 7( 3u + v)
Đặt z = 3u + v, ta cã PT 11x – 7z = -2 có nghiệm nguyên tổng quát :
4
( )
6 11
x t
t Z
z t
Tõ 3x – y 1= 7u y = 3x + – 7u = -11 + 7(3t – u) (mod 7)
Thử lại với x mod 7) y (mod 7) 3x – y + 2x + 3y – chia hết cho
5 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên: Giải hệ PT sau tập số nguyên:
2
) ;
3
x y
a
x y z
b)
2
;
3
x y z
x y z
c)
3 3
2 3
x y z
x y z
2 Trong tất số tự nhiên từ 200 đến 500 số chia cho 4, 5, có d lần lợt 3, 4,
3 Trên trục hồnh tìm tất điểm ngun mà ta dựng đợc đờng vng góc với trục hồnh cắt ba đờng thẳng x - 5y = ; x - 8y = ; x - 11y = điểm ngun
IV Sư dơng phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d
Phơng pháp:
Hai v ca phng trình nghiệm ngun chia cho số có số d khác PT khơng có nghiệm nguyờn
2 Các ví dụ:
a)Ví dụ 1:Tìm nghiệm nguyên PT: x2 = 2y2 (1)
Giải :
Râ rµng x = y =0 lµ nghiƯm cđa (1)
NÕu x0, y0 vµ (x0, y0) nghịêm (1) Gọi d = (x0, y0) suy :
0
x y
( , )=1
d d
x02 = 2y02
2
0 0
(x ) 2(y ) x
d d d
ch½n
0
2y y
d d
chẵn, vô lí Vậy PT (1) có nghiệm nguyên ( ; 0)
b) Ví dụ :
Tìm nghiệm nguyên phơng trình : 19x2 + 28y2 = 729.
Giải :
(10) x2 + y2 3 x 3 vµ y ( xÐt c¸c d chia x, y cho 3).
Đặt x = 3u, y = 3v, (u, v Z) Khi ta có : 19 (3u)2 + 28( 3v)2 = 19u2 28v2 = 81.
Tơng tự, ta đặt u = 3u1, v = 3v1 ( u1, v1 Z) 19u12 + 28v12 = 9, vơ lí
Vậy phơng trình cho khơng có nghiệm ngun 3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp : 1) Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x2 – 2y2 = 5
b) 7x2 + 13y2 = 1820.
2) Với giá trị x biểu thức sau số nguyên: B = 15
6
x
x x
.
3) T×m tÊt giá trị nguyên x cho x3 – 344 x – 7.
4) CMR x2 – y2 = k cã nghiƯm nguyªn k 2(mod 4).
5) CMR tổng bình phơng ba số ngun phép chia cho khơng thể có d 7, từ suy phơng trình 4x2 + 25y2 + 144z2 = 2007 khơng có nghiệm ngun. V Ph ng phỏp phõn tớch.
1 Phơng pháp:
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a(x + y) + b = cxy (1)
Ta cã : cxy - ax - ay = b y( cx – a) -
a
c ( cx – a) = a
b
c .
( cx – a) ( cy – a) = a2 + bc.
Phân tích a2 + bc = m.n với m, n Z, sau lần lợt giải hệ:
cx a m
cy a n
Từ kết luận nghiệm (1)
2 Các ví dụ:
a) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng PT: 2(x + y) + 16 = 3xy. Gi¶i:
Ta cã: 2(x + y) + 16 = 3xy 3xy – 2x – 2y = 16
y( 3x – 2) -
3 ( 3x – 2) = 16 +
3 ( 3x – 2)(3y – 2) = 52.
Giả sử x y, 3x – 3y – 52 = 1.52 = 26 = 13 Ta giải hệ sau:
3
;
3 52
x y
3 2
;
3 26
x y
3
;
3 13
x y
Giải ta đợc nghiệm nguyên dơng PT cho ( ; 18), ( 18; 1), ( ; 5), ( 5; 2)
b) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên cña PT sau: a) x + y = xy ;
(11)Gi¶i :
a) Ta cã x + y = xy xy – x – y – = ( x – )( y – ) =
1 1
1
1
x y x y
2 0
x y x y
Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên lµ : ( 1; 1), ( ; 0) b) Ta cã thĨ gi¶ sư x y
Ta cã p( x + y) = xy xy – px – py + p2 = p2 ( x – p)(y – p) = p2
Mµ p2 = p p = ( - p)(- p) = p2 = (- 1)(- p2).
Từ phơng trình cho có nghiệm nguyên ( x ; y) :
(2p ; 2p), ( ; 0), (p + ; p2 + p), (p2 + p ; p + 1), (p – p2; p – 1), (p -1; p – p2).
c) VÝ dô : Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diên tích chu vi
Gi¶i :
Gäi x, y, z cạch tam giác vuông: 1x y < z Ta cã :
2 2
(1)
2( )(2)
x y z
xy x y z
Tõ (1) ta cã : z2 = y2 + x2 (x+y)2 – 2xy = (x + y)2 – 4( x + y +z)
(x + y)2 – 4( x + y +z) + = z2 + 4
( x + y – 2)2 = (z – 2)2 x + z – = z -2 ( x + y )
Thay z = x + y – vào (2) ta đợc :
( x – 4)(y – 4) =
4
4
4
4
x y x y
5 12
6
x y x y
3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp :
1) T×m nghiƯm nguyên dơng PT x2 + x + 499 = y2;
2) Tìm nghiệm nguyên PT x2 3y2 + 2xy – 2x – 10y + = 0 ;
3) Tìm nghiệm nguyên PT x + xy + y = 4;
4) Tìm số có hai chữ số mà số bội tích hai chữ số nó; 5) Tìm số tự nhiên n để n2 + 6n + 2608 số phơng.
VI Ph ơng trình đối sứng.
1 Phơng pháp :
(12)2 C¸c vÝ dơ : a) VÝ dơ :
a) Tìm nghiệm nguyên dơng PT x + y + z = xyz (1) Giải :
Vì x, y, z có vai trò nh nên ta giả sö 1 x y z
Tõ (1) suy
2
1 1
1 x x
xy yz xz x
Víi x = 1, ta cã : + y + z = yz (y – 1)(z – 1) =
1
1
y y
z z
VËy PT (1) có nghiệm nguyên dơng (x, y, z) (1; ; 3) hoán vị b) Tìm nghiệm nguyên dơng PT 5( x + y+ z + t) + 10 = xyzt (2)
Gi¶i :
Giả sử x y z t Khi :
(2)
3
5 5 10 30
2
xyz xzt xyt yzt xyzt t
15
2
t t
t
+ Víi t = 1, ta cã :
5(x + y + z) = 2xyz
2
1
5 5 15 30
2 15
3
z
z z
xy yz xz xyz z
z
i) Víi z = 1, ta cã :
5(x + y) + 20 = 2xy (2x – 5)(2y – 5) = 65
2 65 35
2
2 13
2 5
x x
y y
x x
y y
Ta cã c¸c nghiƯm (35 ; 3; ; 1), (9; ; 1; 1) hoán vị chúng ii) Với z = 2, z = phơng trình nghiệm nguyên
+ Víi t = 2, ta cã :
5(x + y + z) + 20 = 4xyz
2
5 5 20 35 35
4
4
z
xy yz xz xyz z
< 9, Suy z = ( v× z t = 2)
Khi 5(x + y) + 30 = xy (8x – 5)(8y – 5) = 265
Do x y z nên 8x 58y 11 , mà 265 = 53 Trờng hợp phơng trình nghiệm nguyên dơng
(13)a) 5( x + y + z) = 4xyz – 24; b) x + y + z + t = xyzt; c) x + y +z + = xyz 2) T×m 12 số nguyên dơng cho tổng chúng tÝch cđa chóng
3) Một tam giác có số đo độ dài đờng cao số ngun dơng dờng trịn nội tiếp tam giác có bán kính CMR tam giác tam giác VII Dạng phơng trình vơ định x2 +y 2 =Z2 .
1 C¬ së lý thut :
Phơng trình vơ định x2y2 z2 có vơ số nghiệm xác định cơng thức x= u.v ;
2 2
;
2
u v u v y z
víi u,v thuéc Z ; u,v số lẻ ;(u;v)=1 ;u >v Chẳng hạn +) u=3 ; v=1 ta cã nghiÖm x=3; y=4; z =5
+) u=5 ; v=3 ta cã nghiÖm x=15 ; y=8; z=17
Ngoài cách xác định pt mà có nghiệm nguyên có phơng pháp xác định nghiệm tồn có số có phơng pháp tổng qt
Việc xác định nghiệm nguyên pt thờng dựa vào tính chất tập hợp số tự nhiên chẳng hạn A.B =1 <=> A=B=1 A=B = -1 ; phối hợp phơng pháp nh phân tích thừa số , tính chia hết , xét số d,
2.Ví dụ :
Ví dụ1: Tìm số nguyên x; y thoả mÃn : (x+1).(y-4) =3 (1) Gi¶i :
Vì x;y thuộc Z => x+1 ; y-4 thuộc Z Mặt khác = 1= (-1) (-3) Phơng trình (1) <=>
x+1 -1 -3
y-4 -3 -1
Vậy phơng trình có nghiệm là:
3
x
y ;
x
y ;
1
x
y ;
3
x y
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: x2 +y2-6x+4y+13 = (1)
Gi¶i :
Ta cã : PT (1) <=> ( x2- 6x+9) + (y2+4y+4) = 0
<=> ( x-3 )2 + (y+2)2 = 0
<=>
3 0 2 0
x y
<=>
3
x y
Vậy phơng trình cho có nghiệm nguyên
3
x y
3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên: 1) Giải phơng trình miền số nguyên: xy = x + y.
2) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh sau: x2 – 4xy + 5y2 = 169.
3)Tìm nghiệm nguyên bất phơng trình: x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – Chơng III: Thực nghiệm s phạm
1 Mc đích thực nghiệm:
(14)- Tìm thiếu sót, tìm khuyết điểm nh biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài ngày chất lợng
2 Néi dung thùc nghiệm: Giáo án 1:
Tiết 1: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên (tiết 1)
I Mơc tiªu:
- Học sinh vận dụng đợc số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên vào việc giải phơng trình, gồm phơng pháp:
+ Phơng trình ẩn với hệ số nguyên
+ Phơng trình bậc hai ẩn số: ax + by = c + Phơng trình bậc nhiều ẩn
- Rèn luyện kỹ giải phơng trình nghiệm ngun - Học sinh có ý thức tích cực, chủ động học tập II Chuẩn bị:
- Gi¸o viên: Máy chiếu, phiếu học tập
- Hc sinh: Ôn tập kiến thức học phơng trình kiến thức liên quan III Tiến trình dạy:
1. ổ n định tổ chức: 2 Kiểm tra kiến thức: Nêu dạng phơng trình:
a) Phơng trình ẩn với hệ số nguyên b) Phơng trình bậc hai ẩn số
c) Phơng ttrình bậc nhiều ẩn Bài dạy:
V: Ta biết giải số dạng phơng trình Hơm xét với PT có nghiệm đặc biệt, PT với nghiệm số nguyên, gọi PT nghiệm nguyên Bài học hôm xẽ xét nắm bắt đợc số phơng pháp giải loại PT
Hoạt động GV HS Nội dung
d) Hoạt động 1: Phơng trình ẩn với hệ số nguyên. GV:- Nêu dạng tổng quát
cđa PT mét Èn víi hƯ sè nguyªn ( M¸y chiÕu) HS :- Theo dâi, ghi nhí GV: ? Khi PT (1) có nghiệm nguyên?
HS: - Nªu ý kiÕn
GV:- Nêu nội dung định lí hớng dẫn HS chứng minh định lí ( Máy chiếu)
GV: - Giíi thiƯu hƯ hệ (Máy chiếu) HS: - Theo dõi ghi nhớ
I Phơng trình ẩn với hệ số nguyên. 1 Tổng quát:
1
1 0
n n
n n
a x a x a x a
(1) Cách giải :
a Định l ý 1: phân số tói giản
p
q ( p số
nguyên , q số nguyên dơng) nghiệm phơng trình (1) p ớc số a vµ q lµ íc sè
cđa an
b) Hệ 1:
Nếu x=b nghiệm b ớc q0
c) Hệ 2:
Mọi nghiệm hữu tỉ phơng trình với hƯ sè nguyªn :
1
1 0
n n
n n
(15)GV: - Nêu quy tắc tìm nghiệm nguyên PT(1) (Máy chiếu)
GV : - Đa vài ví dụ hớng dẫn HS giải theo phơng pháp
HS : - Thực theo yêu cÇu cđa GV
GV : Híng dÉn :
+ Khi PT (1) có nghiệm nguyên ?
+ Ta giải PT (1) nh nào?
HS: - PT (1’) có nghiệm ngun nghiệm phi thuc (6)
- Đặt P(a) = a2- 5a + 6, tÝnh
P(a) råi kÕt luËn vÒ nghiƯm cđa (1’)
GV: - Cho HS tù gi¶i trình bày giải
HS: - Lm bi trả lời ( Hoạt động nhóm)
đều s nguyờn
d) Quy tắc tìm nghiệm nguyên ph ơng trình ( 1) :
B
ớc : Tìm tất ớc số cđa a0
B
íc 2: Thư tất ớc số a0 vào vế trái
pt (1) ớc số nhỏ nhÊt B
íc : Nªó íc sè d làm cho đa thức kết luận x= d nghiệm nguyên đa thức có giá trị khác x= d không lµ
nghiƯm 3 VÝ dơ:
VÝ dơ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a2- 5a + = (1’)
Gi¶i :
Phơng trình có nghiệm ngun nghiệm phải thuộc tập ớc
¦ (6)={ 1; 2; 3; 6} Đặt P(a)= a2- 5a +
Khi ta tính P(x) đợc P(2)= P(3)= Kết luận : phơng trình có hai nghiệm ngun : a=2 a=3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: x2 + 4x + = (1)
Giải:
Đặt P(x)= x2 + 4x + 3
Tìm tập ớc : Ư(3)= { 1; 3}
Nghiệm nguyên có phơng trình (2) phải thuộc vào tập hợp Ư(3)
Bằng phÐp thö ta cã:
P(1) =8; P(-1) = ; P(3) =24; P(-3) = VËy ph¬ng trình (2) có nghiệm x=-1 x=-3
Hoạt động 2: Phơng trình bậc hai ẩn số.
GV : - Nêu số khái niệm tính chất dạng PT trên( Máy chiếu) HS : - Theo dõi, ghi nhớ
II Phơng trình bậc nhÊt hai Èn sè : ax + by = c (a, b, c Z) (2) 1 C¬ së lý thuyết:
a)Định lý 1:
(16)GV : Giíi thiƯu c«ng thøc nghiƯm
HS : Theo dâi, ghi nhí
GV : Cho HS đọc phần ý ( Nêu máy chiếu)
C¸c vÝ dụ:
Hệ : a p b p ( ; )a b p b Định lý 2:
Giả sử a,b,c số nguyên a,b,c khác d = (a,b) phơng trình ax by c
nghiệm nguyên d/ c d Công thức nghiệm:
Xét phơng trình : ax by c (1) víi a,b,c
Z Gäi d = (a,b) víi d/c
Khi a = d.a1 ; b = d.b1 ; (a1;b1) =1 c = d.c1
vµ ta cã:
(1) <=> ax1 by1 c1 (2)
Giả sử x0; y0 nghiệm phơng trình
Ta có a x1 b y1 c1 (3) XÐt hiÖu (2)-(3) ta cã
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) a x x b y y
a x x b y y
Đặt x-x0 =u y-y0=v => a1u=b1v
Ta cã a1/b1v vµ (a1;b1) =1 => a1/v => v=a.t
( Víi t Z )
Do a1u=- a1b1t => u=- b1t
Ngợc lại u= -b1t ; v=a1t (với t Z ) cặp
v,u,t nghiệm pt a1u=-b1v
vì x-x0 =u y-y0=v nên x= x0-b1.t y=y0 +a1.t
Vậy công thức tổng quát phơng trình ax by c
Cã d¹ng
0 1 x= x -b t y=y +a t
Chó ý :
1 Các nghiệm riêng x0 ; y0 tìm đợc nhờ
tht to¸n Ơclit
Có thể phát biểu trình xây dựng công thức nghiệm phơng trình ax by c nh sau : a) NÕu (x0; y0 ) lµ nghiệm nguyên phơng
trình axby 1với (a;b)=1 (c x0; c.y0)
nghiệm phơng trình axby c
b) NÕu (x0; y0 ) lµ mét nghiệm nguyên phơng
(17)GV : - Nêu đề ví dụ ;4
- HD häc sinh lµm vÝ dơ 3, Y/c häc sinh lµm VD HS : - thùc hiƯn theo y/c cđa GV
GV: - HD: Tìm điều kiện để PT (2’) có nghiệm nguyên Biến đổi KL v nghim
b) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ (x;y) phơng trình:17x- 29y= 100
GV: - Theo dâi vµ HD häc sinh làm (nếu cần) + Biểu diễn x theo y x = 17 y + Đặt 17 y
= t => biĨu
diƠn y theo t :
2
5 t
y t + Đặt t u
, biĨu diƠn t theo u
+ TÝnh x, y theo u råi kÕt ln vỊ nghiƯm cđa PT
với (a;b)=1 nghiệm ngun đợc
xác định hệ thức
0 x= x -b.t y=y +a.t
víi t Z. 2 C¸c vÝ dơ:
a)VÝ dơ : Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 8x +11y = 73 (2)
Giải:
Vì (8;11) =1 nªn pt cã nghiƯm nguyªn => x=
73-11y =>
1
8 y x y
đặt y t
(t Z) =>
1
3 t y t
Lại đặt
3 t
=u víi (u Z) => t=3.u-1
tÝnh x,y theo u =>
3 x y t y t u
t u
=>
11 x u y u
víi u Z
b) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ (x;y) phơng trình:17x- 29y= 100 Giải:
Vì (17;29) =1 nên PT có nghiệm nguyªn => x=
100 29 17 17 y y Đặt 17 y
=t (t Z) => 17
5
t
y t y t
Lại đặt t u với (u Z) => t=5.u +1 từ tính x; y theo u
ta cã =>
29 11 17 x u y u
với u Z để x ; y
nguyên dơng
29 11 17 17 x u u y u
Vì u Z nên u = 0;1;2;3
NghiƯm nguyªn nhá nhÊt u = => x =11 vµ y =3
Hoạt động : Phơng trình bậc nhiều ẩn. GV : - gii thiu nh bờn
(18)trên máy chiÕu
HS : - theo dâi, ghi nhí
C¸c vÝ dơ:
a)Ví dụ 5: Giải phơng trình tập số nguyên: 6x + 15y + 10z = (3’) GV : - Nêu đề nh bên - HD : Cách :
(3’) x + 10(y + z) + 5(x + y) = (*)
Đặt u = y + z ; v = x + y, từ biểu diễn x, y, z theo u v
C¸ch :
(3’) 6( x + z) + 15y = – 4z
Đặt u = x + z đợc PT 15y + 4z = – 6u
Tìm nghiệm riêng PT 15y + 4z = sau tìm nghiệm tổng quát PT 15y + 4z = – 6u, KL nghiệm PT ( 3’)
b) Ví dụ :Tìm tất số nguyên x y cho
Phơng trình bËc nhÊt nhiỊu Èn cã d¹ng: a1x1 + a2x2 + + anxn = c ( an, c Z) (3)
2 Định lí:
(3) có nghiệm nguyên ( a1, a2, , an) / c
3 Cách giải:
Đa (3) hai d¹ng sau:
a) Cã mét hƯ sè cđa Èn b»ng 1, gi¶ sư a1 = Khi
đó:
x1 = - a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xnZ
NghiƯm nguyªn cđa (3) lµ: (- a2x2 – a3x3 - –
anxn, x2 , x3, , xn ), x2 , x3, , xnZ
b) Cã hai hÖ số nguyên tố nhau, giả sử ( a1,a2) =
(3) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - – anxn T×m
nghiƯm nguyªn x1, x2 theo x3, , xn
4 Các ví dụ:
a)Ví dụ 5: Giải phơng trình tập số nguyên: 6x + 15y + 10z = (3)
Giải:
Cách : (3) x + 10(y + z) + 5(x + y) = (*)
Đặt u = y + z ; v = x + y, : (*) x + 10 u + 5v =
Nghiệm tổng quát (3)
3 10
3 10
3
x u v
y u v
z u v
C¸ch :
(3’) 6( x + z) + 15y = 4z
Đặt u = x + z, ta có phơng trình: 15y + 4z = – 6u
( - ; 4) nghiệm riêng PT 15y + 4z = nên -3 + 6u ; 13 – 24u) nghiệm riêng PT 15y + 4z = – 6u Do nghiệm tổng quát :
3
( , )
12 24 15
y u t
u t Z
z u t
.
Tõ u = x +z x = u – z = u –(12 24u 15t) = -12 +25u + 15t
(19)cả hai số 3x – y + 2x + 3y – chia hết cho
GV : - Nêu đề máy chiếu
- HD : Tìm nghiệm nguyên hệ :
3x y 1= 7u (1) 2x 3y – 1=7v (2)
råi tr¶ lêi
HS : - thùc hiƯn theo HD cđa GV
3 10
3 10
3
x u v
y u v
z u v
b) Ví dụ :Tìm tất số nguyên x y cho hai số 3x – y + 2x + 3y – chia hết cho
Giải :
Ta tìm nghiệm nguyên hệ : 3x – y 1= 7u (1)
2x 3y – 1=7v (2)
Nhân (1) với cộng với (2) ta đợc: 11x + = 7( 3u + v)
Đặt z = 3u + v, ta có PT 11x 7z = -2 có nghiệm nguyên tổng quát :
4
( )
6 11
x t
t Z
z t
Tõ 3x – y 1= 7u y = 3x + – 7u = -11 + 7(3t – u) (mod 7)
Thử lại với x mod 7) y (mod 7) 3x – y + 2x + 3y – chia hết cho
4 Cñng cè:
- Tóm tắt nhấn mạnh dạng toán vừa häc 5 H íng dÉn vỊ nhµ:
- Häc làm lại VD - Làm tập sau:
a) Phơng trình Èn víi hƯ sè nguyªn. x10+x7+2x3+2 = 0
2 x3+4x2-29x+24 = 0
3 1-6x2+6x-x3 = 0
4 x3-4x2-8x+8 = 0
5 x2(4+x2)+4-x2 = 0
b) Phơng trình bậc hai ẩn số.
1 Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x – 3y = ; b) 2x – 5y = 10 c) 1x -20y = 49; d) 3x + 2y = 555 Tìm tất số tự nhiên n cho :
a) n vµ n + 25 ; b) n 21 vµ n + 165; c) n 9, n+ 25 vµ n +
(20)a) 5x + 4y = 3; b) 3x + 7y = 55
c) Phơng trình bậc nhiều ẩn. Giải hệ PT sau tập số nguyên:
2
) ;
3
x y
a
x y z
b)
2
;
3
x y z
x y z
c)
3 3
2 3
x y z
x y z
2 Trong tất số tự nhiên từ 200 đến 500 số chia cho 4, 5, có d lần lợt 3, 4,
3 Trên trục hồnh tìm tất điểm ngun mà ta dựng đợc đờng vng góc với trục hoành cắt ba đờng thẳng x - 5y = ; x - 8y = ; x - 11y = điểm nguyên
Gi¸o ¸n :
TiÕt : Mét sè phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên ( Tiết 2)
I Mơc tiªu :
- HS nắm bắt vận dụng đợc số phơng pháp giải PT nghiệm nguyên, gồm : + Sử dụng phép chia hết phép chia có d
+ Phơng pháp phân tích + Phơng trình đối xứng + Phơng trình vô định
- Rèn luyện kỹ giải phơng ttrình nghiệm ngun - HS có ý thức chủ động, tích cực học tập
II Chn bÞ:
GV: Máy chiếu, phiếu học tập
HS : Ôn tập phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tư PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d
III Tiến trình dạy : 1.Tổ chức :
2.KiÓm tra :
? Nêu khái niệm đồng d ? Cho ví dụ
? Nªu phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mµ em biÕt? 3 Bµi míi:
ĐVĐ: Giờ trớc ta biết số phơng pháp giải PT nghiệmnguyên:Phơng trình ẩn với hệ số nguyên.Phơng trình bậc hai ẩn số.Phơng ttrình bậc nhiều ẩn Giờ học hôm xét tiếp số pơhơng pháp giải PT nghiệm ngun khác:
+ Sư dơng phÐp chia hết phép chia có d + Phơng pháp ph©n tÝch
+ Phơng trình đối xứng + Phơng trình vơ định Cụ thể:
Hoạt động GV HS Nội dung
(21)GV: - Giới thiệu phơng pháp máy chiếu
HS: - Theo dõi, ghi nhớ GV: Nêu đề:
a) VÝ dụ :Tìm nghiệm nguyên PT:
x2 = 2y2 (1)
HS theo dõi đề GV : Hớng dẫn :
+ Tìm nghiệm đặc biệt PT + Tìm nghiệm khác có
b) Ví dụ 2 :Tìm nghiệm nguyên phơng trình : 19x2 + 28y2 = 729 (2)
GV : Híng dÉn :
+ CM (2) chia hết cho 3, từ tìm quan hệ x, y
+ Đặt x = 3u, y = 3v (u, v Z) XÐt theo u vµ v
Từ kết luận nghiệm PT (2)
HS: Thực theo HD GV
1 Phơng pháp:
Hai vế phơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số d khác PT khơng có nghiệm ngun
2 C¸c vÝ dụ:
a)Ví dụ 1:Tìm nghiệm nguyên PT: x2 = 2y2 (1)
Gi¶i :
Râ rµng x = y = lµ nghiƯm cđa (1)
NÕu x0, y0 vµ (x0, y0) lµ nghịêm (1)
Gọi d = (x0, y0) suy :
0
x y
( , )=1
d d .
x02 = 2y02
2
0 0
(x ) 2(y ) x
d d d
ch½n
0
2y y
d d
chẵn, vô lí
Vậy PT (1) có nghiệm nguyên ( 0; 0)
b) Ví dụ :
Tìm nghiệm nguyên phơng trình : 19x2 + 28y2 = 729 (2)
Gi¶i :
Ta cã : 19x2 + 28y2 = 729 18x2 + 27y2 + x2 +
y2 = 243 3.
x2 + y2 3 x 3 vµ y ( xÐt c¸c d
chia x, y cho 3)
Đặt x = 3u, y = 3v, (u, v Z) Khi ta có : 19 (3u)2 + 28( 3v)2 = 19u2 + 28v2 = 81.
Tơng tự, ta đặt u = 3u1, v = 3v1 ( u1, v1Z)
19u12 + 28v12 = 9, v« lÝ
Vậy phơng trình cho khơng có nghiệm ngun
Hoạt động 2: Phơng pháp phân tích. GV: - Giới thiệu phơng pháp
trªn m¸y chiÕu
HS: - Theo dâi, ghi nhí
1 Phơng pháp:
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a(x + y) + b = cxy (1)
Ta cã : cxy - ax - ay = b
y( cx – a) - a
c ( cx – a) = a
b
c .
( cx – a) ( cy – a) = a2 + bc.
(22)GV : Đa vÝ du :
a) VÝ dơ 1: T×m nghiƯm nguyên dơng PT: 2(x + y) + 16 = 3xy (3)
GV : Híng dÉn :
+ Phân tích (3) thành nhân tử giả sử x y
+ Giải hệ PT vừa tìm đợc kết luận nghiệm (3)
b) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên PT sau : a) x + y = xy ; (4) b) p( x + y) = xy (5) GV : Híng dÉn :
a) (4) xy – x – y – =
( x – )( y – ) =
Thùc hiƯn t¬ng tù VD Lu ý: = 1 = (-1)(-1) HS : Trình bày giải
b) Ta cú th gi s x y, từ phân tích (5) theo p kết luận nghiệm (5)
HS thùc hiÖn giải
lần lợt giải hệ:
cx a m
cy a n
Từ kết luận nghiệm (1) 2 Các ví dụ:
a) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng PT: 2(x + y) + 16 = 3xy
Gi¶i:
Ta cã: 2(x + y) + 16 = 3xy 3xy – 2x – 2y = 16
y( 3x – 2) -
3 ( 3x – 2) = 16 + ( 3x – 2)(3y – 2) = 52
Giả sử x y, 3x – 3y – 52 = 1.52 = 26 = 13
Ta giải hệ sau:
3
;
3 52
x y
3 2
;
3 26
x y
3
;
3 13
x y
Giải ta đợc nghiệm nguyên dơng PT cho ( 1; 18), ( 18 ; 1), ( 2; 5), ( ; 2) b) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên PT sau: a) x + y = xy ; (4)
b) p( x + y) = xy.(5) Gi¶i :
a) Ta cã x + y = xy xy – x – y – =
( x – )( y – ) =
1 1 1 1 x y x y 2 0 x y x y
Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên : ( 1; 1), ( ; 0)
b) Ta cã thĨ gi¶ sư x y
(23) ( x – p)(y – p) = p2
Mµ p2 = p p = ( - p)(- p) = p2 = (- 1)(- p2).
Từ phơng trình cho có nghiệm nguyên ( x; y) :
(2p; 2p), ( ; 0), (p + ; p2 + p), (p2 + p ; p +
1), (p – p2; p – 1), (p -1; p – p2)
Hoạt động 3: Phơng trình đối sứng. GV : Giới thiệu nh bên (máy
chiÕu)
GV : Nêu ví dụ : a) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng PT x + y + z = xyz (6) GV : Híng dÉn :
+ V× x, y, z có vai trò nh nên ta giả sử x y z + Tìm điều kiện x (Chia hai vế cho xyz)
+ Từ ĐK (6) tìm y z
b) Ví dụ :Tìm nghiệm nguyên dơng PT :
5( x + y+ z + t) +10 =2 xyzt (7) GV : Híng dÉn :
+ Giả sử x y z t Khi biến đổi (7) để tìm t ( Tơng
tù VD 1) Ta cã :
2
t t
+ Xét (7) theo t để tìm z Từ tìm x y
+ KÕt ln vỊ nghiƯm (7) HS : Trình bày giải với tr-ờng hợp t = 1, trtr-ờng hợp t = HS nhà thực
1 Phơng pháp :
Để tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình đối sứng ta giả sử 1 x y z chặn ẩn
2 C¸c vÝ dơ :
a) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên d¬ng cđa PT x + y + z = xyz (6)
Giải :
Vì x, y, z có vai trò nh nên ta giả sö
1 x y z.
Tõ (6) suy :
2
1 1
1 x x
xy yz xz x
Víi x = 1, ta cã: + y + z = yz
(y – 1)(z – 1) =
1
1
y y
z z
Vậy PT (6) có nghiệm nguyên dơng (x, y, z) (1 ; 2; 3) hoán vị
b) Ví dụ :Tìm nghiệm nguyên dơng cña PT 5( x + y+ z + t) + 10 = xyzt (7)
Gi¶i :
Giả sử x y z t Khi :
(7)
5 5 10 30
2
xyz xzt xyt yzt xyzt t
3
15
2
t t
t
+ Víi t = 1, ta cã :
(24)2
5 5 15 30
2 15
1
z
xy yz xz xyz z
z z z
i) Víi z = 1, ta cã :
5(x + y) + 20 = 2xy (2x – 5)(2y – 5) =
65
2 65 35
2
2 13
2 5
x x
y y
x x
y y
Ta cã c¸c nghiƯm (35 ; 3; ; 1), (9; ; 1; 1) hoán vị chúng
ii) Víi z = 2, z = phơng trình nghiệm nguyên
+ Với t = ( BTVN)
Hoạt động : Dạng phơng trình vơ định x2+y2 =Z2. GV : Giới thiệu sở lí thuyết
nh bªn
HS : Theo dâi, ghi nhí
GV : Nêu đề vớ d :
a)Ví dụ1: Tìm số nguyên x; y tho¶ m·n :(x+1).(y-4) =3 (8) GV : Híng dÉn HS lµm bµi : + Chøng tá x+1; y- Z + Xét với trờng hợp tích cđa hai sè nguyªn b»ng
VÝ dơ 2: Tìm nghiệm nguyên
1 Cơ sở lý thuyết :
- Phơng trình vơ định x2y2 z2 có vơ số nghiệm xác định cơng thức :
x= u.v ;
2 2
;
2
u v u v y z
víi u,v thuéc Z ; u,v số lẻ ;(u;v)=1 ;u >v
- Việc xác định nghiệm nguyên pt th-ờng dựa vào tính chất tập hợp số tự nhiên chẳng hạn : A.B =1 <=> A=B=1 A=B = -1 ; phối hợp phơng pháp nh phân tích thừa số , tính chia hết , xét số d,
2.VÝ dô :
a)Ví dụ1: Tìm số nguyên x; y thoả mÃn : (x+1)(y-4) =3 (8)
Gi¶i :
Vì x; y Z => x+1 ; y- Z Mặt khác = 1= (-1) (-3) Phơng trình (8) <=>
x+1 -1 -3
y-4 -3 -1
(25)của phơng trình sau:
x2 +y2-6x+4y+13 = (9)
GV : HD
+ Dùng đẳng thức để biến đổi (9)
+ XÐt trêng hỵp tỉng cđa hai sè b»ng
1
x
y ;
x
y ;
1
x
y ;
3
x y
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: x2 +y2-6x+4y+13 = (9)
Gi¶i :
Ta cã : PT (9) <=> ( x2- 6x+9) + (y2+4y+4) = 0
<=> ( x-3 )2 + (y+2)2 = 0
<=>
3 0 2 0
x y
<=>
3
x y
Vậy phơng trình cho có nghiệm nguyên x = 3; y =
Củng cố:
- Tóm tắt nhấn mạnh dạng toán vừa học 5 H ớng dẫn nhà:
- Học làm lại VD - Làm tập sau:
a) Sư dơng phÐp chia hÕt vµ phÐp chia có d: 1) Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x2 – 2y2 = 5
b) 7x2 + 13y2 = 1820.
2) Với giá trị x biểu thức sau số nguyên: B = 15
6
x
x x
.
3) Tìm tất giá trị nguyên x cho x3 – 344 x – 7.
4) CMR x2 – y2 = k cã nghiƯm nguyªn k 2(mod 4).
5) CMR tổng bình phơng ba số nguyên phép chia cho khơng thể có d 7, từ suy phơng trình 4x2 + 25y2 + 144z2 = 2007 khơng cú nghim nguyờn.
b) Phơng pháp phân tích:
1) Tìm nghiệm nguyên dơng PT x2 + x + 499 = y2;
2) Tìm nghiệm nguyên PT x2 – 3y2 + 2xy – 2x – 10y + = 0 ;
3) Tìm nghiệm nguyên cña PT x + xy + y = 4;
4) Tìm số có hai chữ số mà số bội tích hai chữ số nó; 5) Tìm số tự nhiên n để n2 + 6n + 2608 số phơng.
c)Phơng trình đối sng:
1) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh:
a) 5( x + y + z) = 4xyz – 24; b) x + y + z + t = xyzt; c) x + y +z + = xyz 2) Tìm 12 số nguyên dơng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng
3) Một tam giác có số đo độ dài đờng cao số nguyên dơng dờng tròn nội tiếp tam giác có bán kính CMR tam giác tam giác d) Dạng phơng trình vơ định x2 + y2 = z2:
1) Giải phơng trình miền số nguyên: xy = x + y
2) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: x2 4xy + 5y2 = 169.
3)Tìm nghiệm nguyên bất phơng trình: x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z –
(26)Bµi tËp kiĨ tra : ( Thêi gian : 60 phót)
C©u 1( 3điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x – 3y = ; b) 2x 5y = 10
Câu 2( điểm) Giải phơng trình miền số nguyên: xy = x + y. Câu3( điểm) Tìm nghiệm nguyên dơng PT x2 + x + 499 = y2;
Câu 4( điểm) Trong tất số tự nhiên từ 200 đến 500 số chia cho 4, 5, có d lần lợt 3, 4,
KÕt qu¶ kiĨm tra :
STT Hä tên Lớp Điểm
1 Hà Thị Hồng Hạnh 8A 8,5
2 Nguyễn Thị Thơng 8A 6,25
3 Nguyễn Quốc Việt 8A 4,5
4 Trần Thị Quỳnh 8A 7,75
5 Đinh Thị Thhơng 8B 8,0
6 Đinh Thị Anh 8B 8.25
7 Hà Tiến Anh 8B 4,0
8 Hà Thị Hờng 8C
9 Hà Văn Đức 8C 7,25
10 Nguyễn Thị Hiền 8C 6,5
Thống kê :
- Điểm cha đạt yêu cầu ( dới điểm 5) : 2/ 10 Học sinh (tỉ lệ 20 %) - Điểm từ điểm trở lên : 8/ 10 Học sinh ( tỉ lệ 80 %)
- §iĨm xuất sắc từ trở lên :3/ 10 Học sinh ( tØ lƯ 30 %) PHÇN II : KÕT LN
Nh dựa đặc thù môn Toán Đặc biệt việc bồi dỡng học sinh , giỏi qua triển khai , việc cung cấp hệ thống kiến thức đầy đủ mà SGK đề cập đến qua số tập SBT qua trình bồi dỡng học sịnh , giỏi nhận hấy cung cấp cho học sịnh phong phú thể loại nh dạng tốn phơng trình nghiệm nguyên , tăng cờng , khơi dậy cho học sịnh niềm hứng thú học tập khơi dậy niềm đam mê học tốn
Qua toi rút học kịnh nghiệm sau:
+ Đối với ngời thầy “Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu dạnh toán cần truyền tải đến học sinh ” Qua nghiên cứu kỹ tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng , thảo luận tổ chuyên môn trao đổi đồng nghiệp tìm giải pháp tối u, triển khai, rút kinh nghiệm qua , cụ thể , bổ sung kiến thức qua tài liệu , tạp trí tốn học , đề thi học sinh giỏi hàng năm
(27)Trên số kinh nghiệm trình giảng dạy cịn thiếu sót mà thân khơng nhận thấy mong đợc góp ý bạn bè đồng nghiệp
T liƯu tham kh¶o 1. SGK + SBT to¸n 8,
2. SGV to¸n 8,
3. Tài liệu chun tốn , 225 toán số học chọn lọc, 225 toán đại số chọn lọc
4. Tập san tạp chí khoa học, Tạp chí tốn tuổi trẻ, đề thi học sinh giỏi năm Mỹ Thuận, ngày 28 tháng 12 năm 2010 Ngời viết: