DE CHON HSG GTQMVIOLYMPIC LOP 8

Nếu tăng thêm mỗi chữ số 3 đơn vị ta vẫn được một số chính phương có 4 chữ số.. Tìm các số chính phương đó?[r]

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH HÀ

PHÁCH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỄN HSG HUYỆN

MƠN GIẢI TỐN TRÊN MẠNG INTERNET MƠN TOÁN LỚP - NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài a, Cho a + b + c = 20112012 ( a, b, c > ) và



a b b c c a

 



abc

Ta có

Kết quả:

b, Tính giá trị biểu thức: A=

1 1

1

1 2 3 2012

       

   

       

         

       

Sơ lược cách giải:

Kết quả:

A =

Bài a, Cho a > thoả mản điều kiện:

2

1 782

a a

 

Tính giá trị biểu thức: A=

5

1

a a 

(2)

b, Cho

1 2012

a

a  a  Tính S =

2

2012

a a a  Sơ lược cách giải:

Kết quả:

Bài Giải phương trình sau: a,



x

 

x

 

x

 

x



b,



x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x



Kết quả: A,

b,

Bài a, Tìm tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A2x29y2 6xy 6x12y2012

(3)

b, Một số phương có chữ số Nếu tăng thêm chữ số đơn vị ta số phương có chữ số Tìm số phương đó?

Kết quả:

Bài Cho tam giác ABC ( AC < AB ) AD, AE phân giác tam giác. Biết BD = cm, CE = cm

a, Tính DC

b, Tính DA, AE biết chúng tỉ lệ với 5; Hình vẽ - Sơ lược cách giải:

Kết quả:

Bài Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác, gọi x, y, z khoảng cách từ M đến AB, BC, AC Tính diện tích tam giác ABC biết x = 5, y = 7, z = 9.DN

Hình vẽ - Sơ lược cách giải:

Kết quả:

(4)

Bài Cho tam gác ABC.Biết AB = cm, BC = cm, AC = cm.Gọi I giao đường phân giác, G trọng tâm Tính độ dài đoạn IG

- Sơ lược cách giải: Hình vẽ

Kết quả:

Bài Cho tam giác ABC vuông A, có cạnh BC = 289 cm đường cao AH = 120 cm Tính cạnh góc vng AB, AC

- Sơ lược cách giải: Hình vẽ

Kết quả:

Chú ý: Những câu có cách giải khác cho điểm tối đa

(5)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH HÀ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỄN HSG HUYỆN MƠN GIẢI TỐN TRÊN MẠNG INTERNET

MƠN TOÁN LỚP - NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài a, Cho a + b + c = 20112012 ( a, b, c > ) và



a b b c c a

 



abc

Ta có:



 















2 2 2

2 2

8

2

0

a b b c c a abc

a c b c bc a b b a c a abc abc c a b b c a a b c

   

       

      

Mà a, b, c > nên ta có: a = b = c mặt khác a + b + c = 20112012 Vậy a = b = c = 20112012 :3

Kết quả:

b, Tính giá trị biểu thức: A=

1 1

1

1 2 3 2012

       

   

       

         

       

Sơ lược cách giải:

Ta có:















 







1 2

1 1.2

1

1 1

n n n n

n n n n n n n

                     Khi đó:







 



1.4 2.5 3.6 2011.2014

2.3 3.4 4.5 2012.2013

(1.2.3.4 2011) 4.5.6 2014 2.3.4 2012 3.4.5 2013 2014 2012 A   Kết quả: A =

Bài a, Cho a > thoả mản điều kiện: 2 782 a a  

Tính giá trị biểu thức: A= 5 a a  Sơ lược cách giải:

Do 2 782 a a  

a > nên

1 28

a a  

Khi ta có: 4 611522 a a   Ta có: 4 1 611522.28 a a a a                5 1 17122616 a a a a      Mà 3

1 1

17122616 28

a a a a

     

         

     

 

(6)

b, Cho

1 2012

a

a  a  Tính S =

2

2012

a a a  Sơ lược cách giải:

Ta có S =

2

2012

a

a a  =



 



2

2012

1

a

a  a a  a

=





a

1 2012

a

a  a  suy a2 a 1 2012a a2  a 2014a

Khi ta có: S =

2

2012

a

a a  =





2 2012 2012 a a  a

=





2 1

a a  a =

1 2014

Kết quả:

Bài Giải phương trình sau: a,



x

 

x

 

x

 

x



b,



x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x

 

x



a,



 





 



2

1 120 5 120

x x x x   x  x x  x 





a

 

a



x

a

hoaca

Với a = 11 ta có x = x = -6 b,

 



 





 



2 2

2

* 18 20 18 20

1 1

x x x x x x x x

a a b b

a b a b

         

     

   

(với a = x2-9x+19, b=x2+9x+19)

Khi a = b ta có x = 0, a = -b khơng có giá trị x

Kết quả: a, S={1;-6}

b, S={0}

Bài a, Tìm tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A2x29y2 6xy 6x12y2012 Sơ lược cách giải:









2

2 6 12 2012

3 2008 2008

A x y xy x y

x y x

     

      

Vậy GTNN A 2008 x = y = 7/3

(7)

b, Một số phương có chữ số Nếu tăng thêm chữ số đơn vị ta số phương có chữ số Tìm số phương đó?

Gọi số cần tìm abcdx2 (1) (a, b, c, d, x số tự nhiên a khác 0) Khi đó: Ta có (a3)(b3)(c3)(d3)y2(y số tự nhiên ) (2) Từ (1) (2) ta có:



 



2

3333 33.101

y  x   y x y x  

Suy y + x = 101 y – x = 33

Kết quả:

Bài Cho tam giác ABC ( AC < AB ) AD, AE phân giác tam giác. Biết BD = cm, CE = cm

a, Tính DC

b, Tính DA, AE biết chúng tỉ lệ với 5; Hình vẽ - Sơ lược cách giải:

9

6

D

C

E

B

A

a, AD, AE đường phân giác tam giác ABC nên ta có:

DB EB DC EC hay

6 15

9

DC DC

 

suy DC215DC 54 0 khi DC = 3

b, AD, AE đường phân giác tam giác ABC nên DAE900 suy DA2AE2 DE2

mặt khác ta có DA AE



suy

2

25 49

DA AE



Từ ta có

2

25.12 25 49

DA



2

49.12 25 49

EA 

Kết quả:

Bài Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác, gọi x, y, z khoảng cách từ M đến AB, BC, AC Tính diện tích tam giác ABC biết x = 5, y = 7, z = 9.DN

Gọi a độ dài cạnh tam giác, S diện tích tam giác ABC Ta có a.x + a.y + a.z = 2.S

2 3

2

a 

2 3

2

a 

(8)

a (5+6+7)

2 3

2

a 

suy a =

36

3 S

2 3

4

a 

2

36 3

4

      

S

2

36 3

4

      

Bài Cho tam gác ABC.Biết AB = cm, BC = cm, AC = cm.Gọi I giao đường phân giác, G trọng tâm Tính độ dài đoạn IG

- Sơ lược cách giải: Ta có :

8

3.5 0.5

16

BD CD

BD DM BM DB

AB AC        

Ta dễ dàng chứng minh IG // MD Khi ta có

2

3

IG

MD   

Hình vẽ

G I

M

D

C

A

B

Kết quả:

1

IG

Bài Cho tam giác ABC vng A, có cạnh BC = 289 cm đường cao AH = 120 cm Tính cạnh góc vng AB, AC

- Sơ lược cách giải: Đặt AB = x, AC = b

Ta có x2y2 2892và x y 289.120 Khi ta có (x y )2 28922.120.289 (x y )2 2892 2.120.289 suy x + y =391 x – y = 119 từ ta tìm x y

Hình vẽ

y x

H C

B

A

(9)

Chú ý: Những câu có cách giải khác cho điểm tối đa