de thi

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT.[r]

SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010

Mơn: TỐN

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 23/12/2009

Câu 1 (5 điểm).

1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f x  x3 3x2 9x1 với x0;4. Cho hàm số

2 2 3

1

x x m

y

x

  



 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại,

điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông O. Câu 2 (6 điểm).

1 Giải phương trình.x29x20 3 x10

2 Giải phương trình 4sin(x 6) cosx 3 1 

  

.

3 Giải hệ phương trình

2

2

2 3 0

3 4 1 0

x y xy x y

x y y

     

 

   

 

Câu 3 (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Cạnh SA vng góc với đáy

Gọi B’ , D’ thứ tự hình chiếu A cạnh SB, SD Cho biết AB = 1, AD = 1, SA = 1. 1 Xác định điểm C’ giao điểm SC mặt phẳng (AB’D’).

2 Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’. Câu 4 (2 điểm)

Tìm tâm đường trịn qua hai điểm A2;5và B4;1 và tiếp xúc với đường thẳng

: 3x y 9 0

   

Câu 5 (4 điểm).

1 Giải phương trình: An3 8Cn2C1n49.

2,Có số tự nhiên có chữ số khác dạng a a a a a a a1 7 cho.

  

 

  



1

4

a a a a

a a a a .

Cõu 6(1điểm ) Tìm giá trị tham số m để phơng trình

m 

2 2 2 1 2 0

x  x   x  x

cã nghiÖm x0;1 3 .

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010

Câu ý Nội dung điểm

1 f x'  2

3x  6x 9

 

' 0 1

3 x f x x      

 , f  0 1; f  3 26; f  4 19

Vậy giá trị lớn hàm số f x trên đoạn 0;4 f  0 1 Vậy giá trị nhỏ hàm số f x trên đoạn 0;4 f  3 26

1

1 1

2

Tập xác định :D R \ 1  ,  

2 ' 1 1 m y x   

Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (x1)2m2 1 có hai nghiệm khác 1 m0.

Khi phương trình  1 

1 1 x m x m       

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A1m;4 2 m;B1 m;4 2 m

OAB

 vuông O OA OB  0

2 85

5 17

5

m m

   

( thoả mãn ĐK)

1

1

2 1

Đặt t 3x10, điều kiện t0 10

3

t

x 

 

thay vào phương trình ta

4 7 18 10 0

t  t  t 

t 12t2 2 10t  0 t 1

      

Với t=1 ta có 3x10 1 , Vậy nghiệm phương trình (1) x = -3

1 1 2 Viết lại pt:

2 sin 2 sin 3 1

6 6

x  

                       3 sin 2 6 2 x          4 5 12 x k x k             

 kZ

1 1 3 Giải hệ     2 2

2 3 0 1

3 4 1 2

x y xy x y

x y y

             

 1 x y x    2y1 0

 2 1

Với xy thay vào phương trình (2) ta 5x2 3x1 0 3 29 10 3 29 10 x x           

Với x = 2y-1 thay vào phương trình (2) ta được:

2 7

8 7 0 8

0 y y y y         

Kết luận hệ có nghiệm là:

 1;0 3 7; 3 29 3; 29 3 29 3; 29

4 8 10 10 10 10

                          1 3 1

Giả sử đường trịn (C) cần tìm có tâm I a b ;  Từ giả thiết : IA IB  a 2b 3(1)

Do (C) tiếp xúc với  ta có : d I, =IA  2  2

3 9

2 5 (2)

10

a b

a b

 

    

Thế ( 1) vào (2) ta

2 12 20 0 2

10 b b b b         

Với b 2 a 1 I1; 2

Với b10 a17 I17;10 , KL :

1

1

2 a, Gọi K trung điểm BC

Chỉ góc AKS 600,

3 2

a

AK

Chứng minh AKS nên

3 2 a SA b, 3 3 16 SAK a

S 

3

1 3

2. .

3 16

SABC SAK a

V  BK S 

2 39

16 SAC a

S 

, Vậy

 

 ,  3 3

13 SABC

SAC

V a

d B SAC

S   1 1 1 4 1

Giải phương trình : An3 8Cn2Cn149(1), Điều kiện 3

(1)  n3 7n27n 49 0  n7, Kết luận n7

Xét trường hợp sau;

TH1: Chọn chữ số khơng có chữ số có C97cách.

Sau xếp chữ số vào vị trí a a a a a a a1

Ví trí a4 có cách xếp a4 lớn

Có C63cách xếp vị trí a a a1

Còn cách xếp chữ số lại vào vị trí a a a5

Vậy có C C97. 63 số thoả mãn yêu cầu toán TH1

TH2: Chọn chữ số phải có chữ số có C96cách.

Tương tự TH1: Có C C96. 53số thoả mãn yêu cầu tốn.

Vậy có C C9 67 3C C9 56 1560(số)

2 1

1

6 Tập xác định : D R .

Đặt t x2 2x2 , Do x0;1 3  t 1; 2 .

Khi vào phương trình ban đầu ta :

2 2

1

t m

t

 

 với t1; 2 (*)

Xét hàm số  

2 2

1

t f t

t

 

 1; 2 có  

2

2 2

'

( 1)

t t

f t t

 

 

Hàm số đồng biến 1;2,    

1 2

1 ; 2

2 3

f  f 

Từ phương trình (*) có nghiệm

1 2 ; 2 3

m  

 