de thi

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT.[r]

SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010

Mơn:

TỐN

Thời gian:

180

phút (khơng kể thời gian giao đề)

Ngày thi:

23/12/2009

Câu 1

(5 điểm).

1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số

f x

 



x

3



3

x

2



9

x



1

với

x



0;4



.

Cho hàm số

2

2

3

1

x

x

m

y

x











Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại,

điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông O.

Câu 2

(6 điểm).

1 Giải phương trình.

x

2



9

x



20 3



x



10

2 Giải phương trình

4sin(

x

6

) cos

x

3 1









.

3 Giải hệ phương trình

2

2

2

3

0

3

4

1 0

x

y

xy x y

x

y

y







 



















Câu 3

(4 điểm) Cho hình chóp

S ABCD

có đáy ABCD hình chữ nhật Cạnh SA vng góc

với đáy

Gọi B’ , D’ thứ tự hình chiếu A cạnh SB, SD Cho biết AB = 1, AD = 1, SA = 1.

1 Xác định điểm C’ giao điểm SC mặt phẳng (AB’D’).

2 Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’.

Câu 4

(2 điểm)

Tìm tâm đường trịn qua hai điểm

A



2;5



và

B



4;1



và tiếp xúc với đường thẳng

: 3

x y

9 0





 

Câu 5

(4 điểm).

1 Giải phương trình:

A

n3



8

C

n2



C

1n



49

.

2,Có số tự nhiên có chữ số khác dạng

a a a a a a a1 7

cho.



















1

4

a

a

a

a

a

a

a

a

.

Cõu 6

(1điểm )

Tìm giá trị tham số m để phơng trình

m





2

2

2 1

2

0

x



x

 



x



x



cã nghiÖm

x







0;1



3





.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010

Câu ý Nội dung điểm

1

f x

'

 



2

3

x



6

x



9

 

'

0

1

3

x

f x

x





  





, f

 

0 1; f

 

3 26; f

 

4 19

Vậy giá trị lớn hàm số f x

 

trên đoạn



0;4



f

 

0 1 Vậy giá trị nhỏ hàm số f x

 

trên đoạn



0;4



f

 

3 26

1

1 1

2

Tập xác định :D R \ 1

 

,





2

' 1

1

m

y

x

 



Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (x1)2m2

 

1 có hai nghiệm khác 1



m



0

.

Khi phương trình

 

1



1

1

x m

x

m

 





 



Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A



1m;4 2 m



;B



1 m;4 2 m



OAB



vuông

O

OA OB  0

2

85

5

17

5

m

m









( thoả mãn ĐK)

1

1

2 1

Đặt

t



3

x



10

, điều kiện t0

10

3

t

x







thay vào phương trình ta

4

7

18 10 0

t



t



t







t

1



2



t

2

2 10

t



0

t

1









  

Với t=1 ta có

3

x



10 1



, Vậy nghiệm phương trình (1) x = -3

1 1 2 Viết lại pt:

2 sin 2

sin

3 1

6

6

x





















































3

sin 2

6

2

x



















4

5

12

x

k

x

k

















 

 







kZ



1 1 3 Giải hệ

 

 

2 2

2

3

0 1

3

4

1 2

x

y

xy x y

x

y

y







 



















 

1 



x y x

 

 2y1



0



2

1

Với

x



y

thay vào phương trình (2) ta

5

x

2



3

x



1 0



3

29

10

3

29

10

x

x























Với x = 2y-1 thay vào phương trình (2) ta được:

2

7

8

7

0

8

0

y

y

y

y









 







Kết luận hệ có nghiệm là:



1;0



3 7

;

3

29 3

;

29

3

29 3

;

29

4 8

10

10

10

10







 















 



 



 





 

 



1 3 1

Giả sử đường trịn (C) cần tìm có tâm I a b



;



Từ giả thiết :

IA IB





a



2

b



3

(1)

Do (C) tiếp xúc với



ta có :

d



I,



=

IA





2





2

3

9

2

5 (2)

10

a b

a

b















Thế ( 1) vào (2) ta

2

12

20 0

2

10

b

b

b

b









  





Với b 2 a 1 I



1; 2



Với b10 a17 I



17;10



, KL :

1

1

2 a, Gọi

K

trung điểm BC

Chỉ góc

AKS



60

0,

3

2

a

AK



Chứng minh



AKS

nên

3

2

a

SA



b,

3

3

16

SAK

a

S





3

1

3

2.

.

3

16

SABC SAK

a

V



BK S





2

39

16

SAC

a

S





, Vậy







,



3

3

13

SABC

SAC

V

a

d B SAC

S







1 1 1 4 1

Giải phương trình :

A

n3



8

C

n2



C

n1



49

(1), Điều kiện

3

(1)



n

3



7

n

2



7

n



49 0

 

n



7

, Kết luận

n



7

Xét trường hợp sau;

TH1: Chọn chữ số khơng có chữ số có

C

97cách.

Sau xếp chữ số vào vị trí a a a a a a a1

Ví trí

a

4 có cách xếp

a

4 lớn

Có

C

63cách xếp vị trí a a a1

Còn cách xếp chữ số lại vào vị trí a a a5

Vậy có

C C

97

.

63 số thoả mãn yêu cầu toán TH1

TH2: Chọn chữ số phải có chữ số có

C

96cách.

Tương tự TH1: Có

C C

96

.

53số thoả mãn yêu cầu tốn.

Vậy có

C C

9 67 3



C C

9 56



1560

(số)

2 1

1

6 Tập xác định :

D R



.

Đặt

t



x

2



2

x



2

, Do

x







0;1



3





 

t



1; 2



.

Khi vào phương trình ban đầu ta :

2

2

1

t

m

t







với t



1; 2



(*)

Xét hàm số

 

2

2

1

t

f t

t









1; 2



có

 

2

2

2

'

(

1)

t

t

f t

t









Hàm số đồng biến



1;2



,

 

 

1

2

1

;

2

2

3

f



f



Từ phương trình (*) có nghiệm

1 2

;

2 3

m

 











