de hsg huyen

Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Đường thẳng AM cắt CI tại N. d) IM là phân giác của góc HIC... Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP 7

Thời gian: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a)

(

161

)

200

và

(

1 2

)

1000

b) (-32)27 (-18)39 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:

a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c)

|

|x+3|−8|=20 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm số x, y, z biết :

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 b) x2=y

3=

z

4 x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức :

A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc A

b) Tính giá trị A 15x - 2y = 1004z Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M= x

x+y+z+

y x+y+t+

z y+z+t+

t

x+z+t có giá trị khơng phải số tự nhiên.( x, y, z, t N❑

)

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:

a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi.

c) Đường thẳng DN vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC Đáp án Toán 7

Bài 1: (1,5 điểm): a) Cách 1:

(

16

)

200

=

(

1 2

)

4 200 =

(

1

2

)

800

>

(

1 2

)

1000 Cách 2:

(

16

)

200

>

(

32

)

200

=

(

1 2

)

5 200 =

(

1

2

)

1000

(0,75điểm) b) 3227 = 25¿27

¿ =

135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0, 5điểm)

⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm) Bài 2: (1,5 điểm):

a) (2x-1)4 = 16 Tìm x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c)

|

|x+3|−8|=20 ⇒ |x+3|−8=20 ; |x+3|−8=−20

|x+3|−8=20 ⇒ |x+3|=28 ⇒ x = 25; x = - 31 (0,25điểm) |x+3|−8=−20 ⇒ |x+3|=−12 : vô nghiệm (0,25điểm) Bài 3: (1,5 điểm):

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 =

⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = (0,25điểm) ⇒ 3x - 5= 0; y2 - = ; x - z = ⇒ x = z =

3 ;y = -1;y = (0,5điểm) b) x2=y

3=

z

4 x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ x2

4 =

y2

9=

z2

16=

x2+y2+z2 4+9+16 =

116

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) (0,5điểm) Bài 4: (1,5 điểm):

a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A có bậc (0,5điểm) b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 15x - 2y = 1004z (0,725điểm) Bài 5: (1 điểm):

Ta có: x

x+y+z+t<

x x+y+z<

x

x+y (0,25điểm) x y

+y+z+t<

y x+y+t<

y x+y z

x+y+z+t<

z y+z+t<

z

z+t (0,25điểm) x t

+y+z+t<

t x+z+t<

t z+t ⇒ xx+y+z+t

+y+z+t<M<¿ (

x x+y+

y x+y)+(

z z+t+

t

z+t) (0,25điểm) hay: < M < Vậy M có giá trị số tự nhiên (0,25điểm)

Bài 6: (3 điểm):

a AIC = BHA  BH = AI (0,5điểm) b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c AM, CI đường cao cắt N  N trực tâm  DN AC (0,75điểm) d BHM = AIM  HM = MI BMH = IMA (0,25điểm) mà :  IMA + BMI = 900BMH + BMI = 900 (0,25điểm)

HMI vuông cân HIM = 450 (0,25điểm)

mà : HIC = 900HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC (0,25điểm)

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học : 2005 – 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b c( b + d) = 2bd Chứng minh ( a+c

b+d )

8 = a

+c8

b8+d8 Bài (2điểm) a/ Tìm x biết:

5

|

3 4−

2

3x

|

- 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+y| + |2x+y| = Bài (2điểm) a/ Tìm nghiệm đa thức 7x2 - 35x + 42

H

I

M B

A C

D

b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c số nguyên , a 0 Biết với giá trị nguyên x f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho

Bài (2điểm) a/ Tìm số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41

b/ Biết x Q < x < Chứng minh xn < x với n N, n ❑ 2

Bài (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE AF cắt H Lấy điểm M cạnh AB cho AM = AC Gọi N hình chiếu M AC ; K giao điểm MN CE a/ Chứng minh hai góc KAH MCB b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy b + d = bdc (0,5đ) Viết ab+c

+d = bc bd =

c

d (0,5đ)

Suy ab = cd = ab+c

+d (0,5đ)

Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ)

Bài (2đ) a/ Tính

|

3 4−

2

3x

|

=

4 (0,5đ)

Tìm x =

4 , x =

2 (0,5đ)

b/ Nêu |3+y| ❑ |2x+y| ❑ (0,25đ)

Để có |3+y| + |2x+y| ❑ (0,25đ)

Suy |3+y| = |2x+y| = (0,25đ)

Tìm x =

2 y = -3 (0,25đ)

Bài (2đ) a/ Viết 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)

Tìm x = , x = trả lời (0,5đ)

b/ Từ giả thiết suy f(0) = c chia hết cho (0,25đ) f(1) f(-1) chia hết cho , tức a+b+c a-b+c chia hết cho (0,25đ) Suy 2a + 2c chia hết cho để có a chia hết cho (0,25đ)

Suy b chia hết cho (0,25đ)

Bài (2đ) a/ Viết (x+1)2 = 42 + 8y2 (0,25đ)

Suy (x+1)2 số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4 (0,25đ)

Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4. (0,25đ)

Kết luận: khơng có số ngun x, y thõa mãn đề (0,25đ)

b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - ) (0,25đ)

+ < x < nên xn-1 < x > 0 (0,25đ)

Suy ra: xn - x < 0 (0,25đ)

+ Suy điều phải chứng minh (0,25đ)

Bài (2đ) a/ Nêu AK MC (0,5đ)

Suy hai góc KAH MCB (0,5đ)

b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ)

Hạ MI BD chứng minh BM > BI (0,25đ)

Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ)

Sở GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII Năm học 2007 – 2008

Mơn: Tốn 7 Thời gian: 90 phút

-Bài 1: (1,5 điểm) Cho

3

2

x

x

03y

A

x

y









biết

1

x

2



; y số nguyên âm lớn

Bài 2: (2 điểm) Cho

x 16

y 25

z 9

9

16

25











9 x 11 x

2

7

9









.Tìm x+y+z Bài 3: (1,5 điểm) Tìm

x, y Z



biết 2xy+3x = 16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng A(AB<AC) cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực CE F

a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB 300.Chứng minh tam giác BFE đều.

GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7 Bài1: (1,5 điểm)

+ Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)

+ Với x = - ; y = -1  A = - (0,5đ)

+ Với x = ; y = -1  A= - (0,5đ)

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ + = Û (2 – x)( + ) = Û x = (0,75đ) + Thay x =  = = = = = (1đ)

+  x + y + z = 100 (0,25đ)

Bài 3: (2 điểm)

+ Chỉ x, y Z  x Ư(4) 2y + lẻ (0,5đ) + Lập bảng

Bài 4: (2 điểm).

a) Chỉ được; a + b + c + d =  đpcm (0,5đ)

(hoặc tính P(1) =  đpcm) b) + Rút được: + x = (1) (0,25đ)

+ Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x +

= 3x( + x) + ( + x) – 9x + (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ)

(Học sinh giải cách khác cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm)

+ Hình vẽ (phục vụ câu 1): (0,25đ)

a) Chỉ F giao điểm trung trực  BEC (0,5đ)

 F trung trực BC BFC cân (0,5đ)

(học sinh chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)

K F

b) + Tính EBC = 15 (0,5đ)

+ Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ)

BFC vuông cân  FBC = 45 (0,25đ)

+ Kết luận BFE (0,25đ)

A

F

H

C

GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII Năm học 2006 – 2007

Mơn: Tốn 7 Thời gian: 90 phút

-Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: x

2 =

y2

9 =

z2

25 , x – y + z =

Bài 2: (1 điểm) Biết a2+ab+b

3=25 ; c

+b

3=9 ; a

+ac+c2=16 a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: 2c

a =

b+c

a+c

Bài 3: (2,5 điểm

a/ Tìm giá trị m để đa thức sau đa thức bậc theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7

x2 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương

a/ Chứng minh tam giác FCH cân AK = KI b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1: (1điểm)

x2

4 =

y2

9=

z2

25 x, y, z N, x ≠ 

x

2=

y

3=

z

5  x

2=

y

3=

z

5=

x − y+z 2−3+5=

4 4=1 x = 2; y = 3; z = Vậy xyz = 235

0,5đ 0,25đ 0,25đ

Bài 2: (1,5 điểm) Ta có: c2

+b +a

2

+ac+c2=¿ a2+ab+b

2

3 (vì + 16 = 25) Suy ra: 2c2= a(b – c)

 2c

a =

b −c

c (vì a ≠ 0; c ≠ 0)

 2c

a =

b −c

c =

2c+b− c

a+c =

b+c

a+c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

Bài 3: (2,5điểm)

a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - đa thức bậc 3 biến x khi: m2 - 25 = 20 + 4m ≠ 0

 m = ± m ≠ -5 Vậy m = f(x) đa thức bậc biến x

0,5đ 0,25đ 0,25đ

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9 g(x) = (4x2 – 9)2 + 9

Với giá trị x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥  g(x) = (4x2 – 9)2 + ≥ 9. Giá trị nhỏ g(x)

Khi (4x2 – 9)2 = 0  4x2 - =  4x2 = x2 =

4  x = ±

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Bài 4: (2 điểm)

Gọi số chia a số dư r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r

 5a < 112  a 22 (1) *a > r  5a + r < 5a + a 112 < 6a a > 112 : a ≥ 19 (2) Từ (1) (2)  a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số:

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Bài 5: (3 điểm)

a 19 20 21 22

a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF Kết luận  FCH cân C

-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh  FIG cân I - Suy ra: AH = IG, IGK = AHK

- Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g) - Suy AK = KI

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm)

Vẽ OE ^ AB E Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân A, B Suy ra: BE = BF AE = AH

BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra:  ABI cân B

Mà BO phân giác góc B, BK đường trung tuyến  ABI nên: B, O, K ba điểm thẳng hàng

A

E H K

O G

B F I C