Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Đường thẳng AM cắt CI tại N. d) IM là phân giác của góc HIC... Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP 7
Thời gian: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:
a)
(161 ) 200
và (1 2)
1000
b) (-32)27 (-18)39 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x+3|−8|=20 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 b) x2=y
3=
z
4 x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức :
A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc A
b) Tính giá trị A 15x - 2y = 1004z Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M= x
x+y+z+
y x+y+t+
z y+z+t+
t
x+z+t có giá trị khơng phải số tự nhiên.( x, y, z, t N❑
)
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:
a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi.
c) Đường thẳng DN vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC Đáp án Toán 7
Bài 1: (1,5 điểm): a) Cách 1: (
16) 200
= (1 2)
4 200 =(1
2) 800
> (1 2)
1000 Cách 2: (
16) 200
> ( 32)
200
= (1 2)
5 200 =(1
2) 1000
(0,75điểm) b) 3227 = 25¿27
¿ =
135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0, 5điểm)
⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm) Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 Tìm x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) ||x+3|−8|=20 ⇒ |x+3|−8=20 ; |x+3|−8=−20
|x+3|−8=20 ⇒ |x+3|=28 ⇒ x = 25; x = - 31 (0,25điểm) |x+3|−8=−20 ⇒ |x+3|=−12 : vô nghiệm (0,25điểm) Bài 3: (1,5 điểm):
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 =
⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = (0,25điểm) ⇒ 3x - 5= 0; y2 - = ; x - z = ⇒ x = z =
3 ;y = -1;y = (0,5điểm) b) x2=y
3=
z
4 x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ x2
4 =
y2
9=
z2
16=
x2+y2+z2 4+9+16 =
116
(2)Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) (0,5điểm) Bài 4: (1,5 điểm):
a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A có bậc (0,5điểm) b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 15x - 2y = 1004z (0,725điểm) Bài 5: (1 điểm):
Ta có: x
x+y+z+t<
x x+y+z<
x
x+y (0,25điểm) x y
+y+z+t<
y x+y+t<
y x+y z
x+y+z+t<
z y+z+t<
z
z+t (0,25điểm) x t
+y+z+t<
t x+z+t<
t z+t ⇒ xx+y+z+t
+y+z+t<M<¿ (
x x+y+
y x+y)+(
z z+t+
t
z+t) (0,25điểm) hay: < M < Vậy M có giá trị số tự nhiên (0,25điểm)
Bài 6: (3 điểm):
a AIC = BHA BH = AI (0,5điểm) b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c AM, CI đường cao cắt N N trực tâm DN AC (0,75điểm) d BHM = AIM HM = MI BMH = IMA (0,25điểm) mà : IMA + BMI = 900BMH + BMI = 900 (0,25điểm)
HMI vuông cân HIM = 450 (0,25điểm)
mà : HIC = 900HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC (0,25điểm)
TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 – 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b c( b + d) = 2bd Chứng minh ( a+c
b+d )
8 = a
+c8
b8+d8 Bài (2điểm) a/ Tìm x biết:
5 |3 4−
2
3x| - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+y| + |2x+y| = Bài (2điểm) a/ Tìm nghiệm đa thức 7x2 - 35x + 42
H
I
M B
A C
D
(3)b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c số nguyên , a 0 Biết với giá trị nguyên x f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho
Bài (2điểm) a/ Tìm số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
b/ Biết x Q < x < Chứng minh xn < x với n N, n ❑ 2
Bài (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE AF cắt H Lấy điểm M cạnh AB cho AM = AC Gọi N hình chiếu M AC ; K giao điểm MN CE a/ Chứng minh hai góc KAH MCB b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy b + d = bdc (0,5đ) Viết ab+c
+d = bc bd =
c
d (0,5đ)
Suy ab = cd = ab+c
+d (0,5đ)
Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ)
Bài (2đ) a/ Tính |3 4−
2
3x| =
4 (0,5đ)
Tìm x =
4 , x =
2 (0,5đ)
b/ Nêu |3+y| ❑ |2x+y| ❑ (0,25đ)
Để có |3+y| + |2x+y| ❑ (0,25đ)
Suy |3+y| = |2x+y| = (0,25đ)
Tìm x =
2 y = -3 (0,25đ)
Bài (2đ) a/ Viết 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)
Tìm x = , x = trả lời (0,5đ)
b/ Từ giả thiết suy f(0) = c chia hết cho (0,25đ) f(1) f(-1) chia hết cho , tức a+b+c a-b+c chia hết cho (0,25đ) Suy 2a + 2c chia hết cho để có a chia hết cho (0,25đ)
Suy b chia hết cho (0,25đ)
Bài (2đ) a/ Viết (x+1)2 = 42 + 8y2 (0,25đ)
Suy (x+1)2 số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4 (0,25đ)
Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4. (0,25đ)
Kết luận: khơng có số ngun x, y thõa mãn đề (0,25đ)
b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - ) (0,25đ)
+ < x < nên xn-1 < x > 0 (0,25đ)
Suy ra: xn - x < 0 (0,25đ)
+ Suy điều phải chứng minh (0,25đ)
Bài (2đ) a/ Nêu AK MC (0,5đ)
Suy hai góc KAH MCB (0,5đ)
b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ)
(4)Hạ MI BD chứng minh BM > BI (0,25đ)
Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ)
Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII Năm học 2007 – 2008
Mơn: Tốn 7 Thời gian: 90 phút
-Bài 1: (1,5 điểm) Cho
3
2
x x 03y
A
x y
biết
1 x
2
; y số nguyên âm lớn
Bài 2: (2 điểm) Cho
x 16 y 25 z 9
9 16 25
9 x 11 x 2
7 9
.Tìm x+y+z Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 16 - 72 + 90
Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng A(AB<AC) cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực CE F
a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB 300.Chứng minh tam giác BFE đều.
GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7 Bài1: (1,5 điểm)
+ Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)
+ Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ)
+ Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ)
Bài 2: (2 điểm)
+ Từ + = Û (2 – x)( + ) = Û x = (0,75đ) + Thay x = = = = = = (1đ)
+ x + y + z = 100 (0,25đ)
Bài 3: (2 điểm)
(5)+ Chỉ x, y Z x Ư(4) 2y + lẻ (0,5đ) + Lập bảng
Bài 4: (2 điểm).
a) Chỉ được; a + b + c + d = đpcm (0,5đ)
(hoặc tính P(1) = đpcm) b) + Rút được: + x = (1) (0,25đ)
+ Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x +
= 3x( + x) + ( + x) – 9x + (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ)
(Học sinh giải cách khác cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm)
+ Hình vẽ (phục vụ câu 1): (0,25đ)
a) Chỉ F giao điểm trung trực BEC (0,5đ)
F trung trực BC BFC cân (0,5đ)
(học sinh chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)
K F
b) + Tính EBC = 15 (0,5đ)
+ Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ)
BFC vuông cân FBC = 45 (0,25đ)
+ Kết luận BFE (0,25đ)
A F H C
GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII Năm học 2006 – 2007
Mơn: Tốn 7 Thời gian: 90 phút
-Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: x
2 =
y2
9 =
z2
25 , x – y + z =
Bài 2: (1 điểm) Biết a2+ab+b
3=25 ; c
+b
3=9 ; a
+ac+c2=16 a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: 2c
a =
b+c
a+c
Bài 3: (2,5 điểm
a/ Tìm giá trị m để đa thức sau đa thức bậc theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7
x2 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương
(6)a/ Chứng minh tam giác FCH cân AK = KI b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1: (1điểm)
x2
4 =
y2
9=
z2
25 x, y, z N, x ≠
x
2=
y
3=
z
5 x
2=
y
3=
z
5=
x − y+z 2−3+5=
4 4=1 x = 2; y = 3; z = Vậy xyz = 235
0,5đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm) Ta có: c2
+b +a
2
+ac+c2=¿ a2+ab+b
2
3 (vì + 16 = 25) Suy ra: 2c2= a(b – c)
2c
a =
b −c
c (vì a ≠ 0; c ≠ 0)
2c
a =
b −c
c =
2c+b− c
a+c =
b+c
a+c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - đa thức bậc 3 biến x khi: m2 - 25 = 20 + 4m ≠ 0
m = ± m ≠ -5 Vậy m = f(x) đa thức bậc biến x
0,5đ 0,25đ 0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9 g(x) = (4x2 – 9)2 + 9
Với giá trị x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ g(x) = (4x2 – 9)2 + ≥ 9. Giá trị nhỏ g(x)
Khi (4x2 – 9)2 = 0 4x2 - = 4x2 = x2 =
4 x = ±
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia a số dư r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r
5a < 112 a 22 (1) *a > r 5a + r < 5a + a 112 < 6a a > 112 : a ≥ 19 (2) Từ (1) (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số:
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5: (3 điểm)
a 19 20 21 22
(7)a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF Kết luận FCH cân C
-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh FIG cân I - Suy ra: AH = IG, IGK = AHK
- Chứng minh AHK = IGK (g-c-g) - Suy AK = KI
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ^ AB E Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân A, B Suy ra: BE = BF AE = AH
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra: ABI cân B
Mà BO phân giác góc B, BK đường trung tuyến ABI nên: B, O, K ba điểm thẳng hàng
A
E H K
O G
B F I C