CHO VAY HỌC SINH, SINH VIÊN TẠI NGÂN HÀNG CHÍNH SÁCH XÃ HỘI THỊ XÃ BA ĐỒN, TỈNH QUẢNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TÀI CHÍNH – NGÂN HÀNG

WWW.TOANTRUNGHOC.COM BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a0 a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a>0  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab  c  ab ; bc  a  bc ; ca  b  ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 30 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh  Một số BĐT thường dùng: + A2  + A2  B2  + A.B  với A, B  + A2  B2  AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2   ab  a  b c) a2  b2  c2   2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) e) a4  b4  c2   2a(ab2  a  c  1) f) g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc h) a2  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) i) a2  b2  c2  ab  ac  2bc 1 1 1 với a, b, c >      a b c ab bc ca k) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  HD: a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  2 2 b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  d)  (a  b  c)2  2 e)  (a  b )  (a  c)  (a  1)  a  f)    (b  c)   2  g)  (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  2 2 a  a  a  a  h)   b     c     d     e   2  2  2  2  2  1   1   1     i)        0 b  b c  c a  a 2 k)   a  b    b  c    c  a   Bài Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3  b3  a  b   a)  ; với a, b    b) a4  b4  a3b  ab3 c) a4   4a d) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > e) a4  b4  g) a 3 a 2 HD: a)  a6 b  b6 a ; với a, b  2 (a  b)(a  b)2  f) 1 a  1 b  ; với ab  1  ab h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) ; với ab > b)  (a3  b3 )(a  b)  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 31 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng c)  (a  1)2 (a2  2a  3)  d) Sử dụng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3a2b  3ab2 BĐT  (a  b  c) a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  Bài 2 2 (b  a)2 (ab  1) 0 e)  (a  b ) (a  a b  b )  f)  g)  (a2  1)2  h)  ab(a  b)(a3  b3 )  (1  ab)(1  a2 )(1  b2 ) Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2  b2  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a4  b4  c4  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d  4)  256abcd HD: a) a4  b4  2a2b2 ; c2  d  2c2d ; a2b2  c2d  2abcd b) a2   2a; b2   2b; c2   2c c) a2   4a; b2   4b; c2   4c; d   4d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a ac a (1) Áp dụng chứng   b bc b minh bất đảng thức sau: a a b b c c d a) b)       2 2 ab bc ca abc bcd cd a d ab ab bc cd d a c)     3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1)  (a – b)c < b c a ba cb ac   a) Sử dụng (1), ta được: , ,  ab abc bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a   b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b   Tương tự, abcd bcd bd c c c   abcd cd a ac d d d   abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm ab ab abd   c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) (a  b  c)  3(a  b  c ) a2  b2  c  a  b  c   b)    c) (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) d) a4  b4  c4  abc(a  b  c) 2 2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 32 Trần Sĩ Tùng e) Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com abc ab  bc  ca với a,b,c>0  3 f) a4  b4  c4  abc a  b  c  HD:  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a3  b3  a2 b  b2a  ab(a  b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c >    a3  b3  abc b3  c3  abc c3  a3  abc abc 1 b) với a, b, c > abc =    1; a3  b3  b3  c3  c3  a3  1 1    1; c) với a, b, c > abc = a  b 1 b  c 1 c  a 1 Bài d) e*) 4(a3  b3 )  4(b3  c3 )  4(c3  a3 )  2(a  b  c) ; sin A  sin B  sin C  cos A B C  cos  cos ; 2 với a, b, c  với ABC tam giác HD: (1)  (a2  b2 )(a  b)  a) Từ (1)  a3  b3  abc  ab(a  b  c)   a3  b3  abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) ab(a  b  c) d) Từ (1)  3(a3  b3 )  3(a2b  ab2 )  4(a3  b3 )  (a  b)3 (2) Từ đó: VT  (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c) e) Ta có: sin A  sin B  cos C AB C cos  cos 2 Sử dụng (2) ta được: a  b  4(a3  b3 )  sin A  sin B  4(sin A  sin B)  4.2.cos Tương tự, A , sin B  sin C  cos C C  cos 2 sin C  sin A  cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2  x  b2  y2  (a  b)2  ( x  y)2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b  thoả a  b  Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2  1  a2   b2   b2  b2 a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Chứng minh: x2  x  y2  y  z2  z2  82 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 33 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com d) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức: P= 223  x  223  y2  223  z2 HD: Bình phương vế ta được: (1)  (a2  b2 )( x  y2 )  ab  xy (*)  Nếu ab  xy  (*) hiển nhiên  Nếu ab  xy  bình phương vế ta được: (*)  (bx  ay)2  (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có:  a2   b2  (1  1)2  (a  b)2  b) Sử dụng (1) P  2 1 1   (a  b)      (a  b)2     17 a b ab 1 (với a, b > 0)   a b ab c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: Chú ý: 1  1 1 x   y   z   ( x  y  z)      x2 y2 z2  x y z 2 2  Chú ý: 2   ( x  y  z)     82  xyz 1 (với x, y, z > 0)    x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P   223   ( x  y  z)2  2010 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y Bài Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc a) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc c) (1  a)(1  b)(1  c)  1  abc  d) bc ca ab    a  b  c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc ab bc ca a b c ; với a, b, c >    ab bc ca a b c g)    ; với a, b, c > bc ca ab f) HD: a) a  b  ab; b  c  bc; c  a  ca  đpcm b) a  b  c  33 abc ; a2  b2  c2  a2b2c2  đpcm c)  (1  a)(1  b)(1  c)   a  b  c  ab  bc  ca  abc  ab  bc  ca  a2b2c2  a  b  c  33 abc  (1  a)(1  b)(1  c)   33 abc  33 a2 b2c2  abc  1  abc  d) bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c  2  2c ,  2  2a ,  2  2b đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT  2(a2 b  b2c  c2 a)  a3b3c3  6abc f) Vì a  b  ab nên  ab ab ab bc bc ca ca    ;  Tương tự: a  b ab bc ca ab bc ca ab  bc  ca a  b  c     ab bc ca 2 (vì ab  bc  ca  a  b  c )  a   b   c   1    1    1  g) VT =   bc  ca   ab   1 1    = (a  b)  (b  c)  (c  a)   3    2  bc ca ab   Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 35 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng  x y   z x   z y               3  (2    3)   y x   x z   y z   2 Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 a) (a3  b3  c3 )      (a  b  c)2 a b c Khi đó, VT = b) 3(a3  b3  c3 )  (a  b  c)(a2  b2  c2 ) c) 9(a3  b3  c3 )  (a  b  c)3  a3 b3   b3 c3   c3 a3  HD: a) VT = a2  b2  c2             a   c b  a c   b Chú ý: a3 b3   a2 b2  2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b)  2(a3  b3  c3 )   a2b  b2 a    b2c  bc2    c2a  ca2  Chú ý: a3  b3  ab(a  b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3  b3  c3 )  3(a  b  c)(a2  b2  c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2  b2  c2 )  (a  b  c)2  đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:   a b ab  1 1 1  a)        ; với a, b, c > a b c  ab bc ca   1 1 1 b)    2    ; với a, b, c > ab bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  1 1 1   1 c) Cho a, b, c > thoả    Chứng minh: 2a  b  c a  2b  c a  b  2c a b c ab bc ca abc    d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x  2y  4z  12 Chứng minh:    x  y y  4z 4z  x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    pa pb pc a b c 1 1 HD: (1)  (a  b)     Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ;   ;   a) Áp dụng (1) ba lần ta được:   a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a)   1 1 1   c) Áp dụng a) b) ta được:      a b c  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  11 1 ab  ( a  b)      d) Theo (1): ab 4a b ab Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a  b  c  12  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Bài Cho a, b > Chứng minh www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 36 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 1 4    p  a p  b ( p  a)  ( p  b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh    a b c abc BĐT sau:  1  a) (a2  b2  c2 )      (a  b  c )  ab bc ca x y z b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P =   x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: 1 P=   2 a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh:     30 2 ab bc ca a b c 1    e*) Cho tam giác ABC Chứng minh:  cos2 A  cos2B  cos2C  1 1 HD: Ta có: (1)  (a  b  c)      Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được:    a  b b  c c  a 2(a  b  c) Áp dụng (1) ta được:  VT  9(a2  b2  c2 ) 3(a2  b2  c2 )   ( a  b  c) 2(a  b  c) abc Chú ý: (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:  1  x 11 y 11 z 11 P= = 3      x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1  1 9 Ta có:     Suy ra: P    4 x 1 y 1 z 1 x  y  z  Chú ý: Bài tốn tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x  y  z  k số dương cho trước Tìm GTLN x y z   kx  ky  kz  9   c) Ta có: P  2 a  2bc  b  2ca  c  2ab (a  b  c)2  d) VT  2 ab  bc  ca a b c   1   =  2 ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca  a b c biểu thức: P =  (a  b  c)     30 ab  bc  ca 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 37 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 1 Chú ý: ab  bc  ca  (a  b  c)2  3 1     cos2 A  cos2B  cos2C  cos2 A  cos2B  cos2C   6 Chú ý: cos2 A  cos2B  cos2C  Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x x 18 b) y   ; x  y   ; x  x 1 x 3x x 1 y  ; x  1 d) y   ; x x 1 2x 1 x x3  f) y  y  ;  x 1 ; x0 1 x x x2 e) Áp dụng (1): Bài a) c) e) g) y  x2  4x  ; x0 x h) y  x  ; x0 x3 b) Miny = x = HD: a) Miny = x = 6 x = 1 5 e) Miny =  x  30  30  x = 3 f) Miny = x = 3 g) Miny = x = h) Miny = x = 5 27 Bài Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y  ( x  3)(5  x);   x  b) y  x(6  x);  x  c) Miny = 6 c) y  ( x  3)(5  x );   x  e) y  (6 x  3)(5  x );  g) y  d) Miny = d) y  (2 x  5)(5  x );  x 2 f) y  x x2   x5 ; x0 x2  x  3 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x =  b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = (  x  2 x ) 2 e) Maxy = x = g) Ta có: x   x    x  ( x  2)3  27 x  x2 ( x  2)3  27 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 38 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com  Maxy = x = 1 27 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)  Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x  y2  z2 ) Hệ quả:  (a  b)2  2(a2  b2 ) Bài  (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 3a2  5b2  a) 3a2  4b2  , với 3a  4b  c) 7a2  11b2  2464 , với 3a  5b  137 d) a2  b2  735 , với 2a  3b  47 , với a  2b  f) ( x  y  1)2  (2 x  y  5)2  e) 2a2  3b2  , với 2a  3b  HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 3a, 5b 5 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 7a, 11b 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT  a2  b2  Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2  b2  , với a  b  b) a3  b3  , với a  b  c) a4  b4  , với a  b  d) a4  b4  , với a  b  Bài HD: a)  (1a  1b)2  (12  12 )(a2  b2 )  đpcm b) a  b   b   a  b3  (1  a)3   3a  3a2  a3  1 1  b  a  3 a      2 4 3 c) (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2   đpcm d) (12  12 )(a2  b2 )  (a  b)2   a2  b2  Bài (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2   a4  b4  Cho x, y, z ba số dương x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 39 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng P  1 x  1 y  1 z P    (1  x)  (1  y)  (1  z)  HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: Dấu "=" xảy   x   y   z  x  y  z  Vậy Max P = x  y  z  Cho x, y, z ba số dương x  y  z  Chứng minh rằng: Bài x2  x  y2  y  z2  z2  82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:    1  9 9 2 (1) x   x   (1  )   x    x   x x  82  x  x  1  9 1  9 Tương tự ta có: y   z2   z    y   (2), y z 82  82  y z2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra:   1  80  1   ( x  y  z )             x y z   x y z  82    1  80 2  ( x  y  z)        82  82   x y z  x  y  z  Dấu "=" xảy  x  y  z  P Bài  1   ( x  y  z)       = 82   x y z  Cho a, b, c   thoả a  b  c  Chứng minh: (1) (2)  4a   4b   4c   21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a  1; 4b  1; 4c   (2) Chú ý: x  y  z  x  y  z Dấu "=" xảy  x = y = z = Từ  (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A   , với x + y = b) B  x  y , với   x y x 4y 2     HD: a) Chú ý: A =      x   y  Áp dụng BĐT (B) với số: x ; ta được: ; y; x y 4  25     x  y   ( x  y)      x y  x 4y  25 Dấu "=" xảy  x  ; y  Vậy minA = x  ; y  5 5 2  2  3 b) Chú ý:       x y  x   y  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 40 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Áp dụng BĐT (B) với số: ; x x; y; ta được: y 2   3 2 3  3  ( x  y)      x  y      x  y  x y x y  Dấu "=" xảy  x  Bài 3 Tìm GTLN biểu thức sau: ; y 3 Vậy minB =   3 a) A  x  y  y  x , với x, y thoả x  y2  HD: a) Chú ý: x  y  2( x  y2 )  ( x  y2 )(1  y   x )  x  y   A Dấu "=" xảy  x  y  Bài 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A   x   x , với –2  x  b) B  x    x , với  x  x y2   (12  12 )(7  x  x  2)  Dấu "=" xảy  x  c) C  y  x  , với 36 x  16 y2  d) D  x  y  , với HD: a)  A   A  (7  x)  ( x  2)  Dấu "=" xảy  x = –2 x =  maxA = x  ; b) B  minA = x = –2 x = (62  82 )( x    x )  10 Dấu "=" xảy  x = 43 25  B  ( x  1)  (3  x )   x  Dấu "=" xảy  x =  maxB = 10 x = 43 ; 25 minB = x = 1 c) Chú ý: 36 x  16 y2  (6 x)2  (4 y)2 Từ đó: y  x  y  x  1 1 y  x     16 y  36 x  4  16  15 25  C  y  2x      y  2x   4 4 15 25 2 9  minC = x  , y   ; maxC = x   , y  5 20 20 4   y  2x  d) Chú ý:  x y2   (3x )2  (2 y)2 Từ đó: x  y  3x  y 36   4 1 3x  y     x  y  9 4  5  x  y   7  D  x  y    2x  y    www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 41 Bất đẳng thức – Bất phương trình  minD = –7 x   , y  www.toantrunghoc.com ; Trần Sĩ Tùng maxD = x  , y   5 Bài a) II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm  b a>0 S =  ;   a   b  a (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x )  Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  (2) Q( x ) P( x )  Cách giải: Lập bảng xét dấu Từ suy tập nghiệm (2) Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ  Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ g( x )   Dạng 1: f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình  Dạng 2: Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com   g( x )    f ( x ) có nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )      f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )  A  B  B  A  B ; Chú ý: Với B > ta có:  A  B A B A  B Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x  1)( x  1)(3x  6)  d) 3x(2 x  7)(9  3x)  e) Bài Giải bất phương trình sau: (2 x  5)( x  2) 0 a) b) 4 x  3x  1 d) e) x 2 x3  8x  17x  10  x 3 x 5  x 1 x  2x   1 2 x 2x2  x 4 g) h)   1 x 1 2x 3x   x Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x   b) 5x  12  x 1 d) 3x  15  e) x   g) x   x  h) x   x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 2x  m 1 mx  m  0 a) b) 0 x 1 x 1 HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương: a x  b1x 0 (a1x  b1 )(a2 x  b2 )  , a2 x  b2 x – Đặt x1   c) x  x  20  2( x  11) b) (2 x  7)(4  5x)  f) x3  x  11x   x  1 2x  x 5 x 3 f)  x 1 2x 1 x  3x  i)  3x  2 x  c) c) 2x   x f) x   i) x   x  c) x  1( x  m  2)  (hoặc <  0,  0) b1 b ; x2   Tính x1  x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1  x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta a x  b1x xét dấu (a1x  b1 )(a2 x  b2 ) (hoặc ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x  b2 x   3 m  ;    m  : S  (; 1)       3 m  a)  m  : S   ;   (1; )     m  : S  R \ {  1}   m  : S  (1; ) c)   m  : S  (m  2; ) Bài Giải bất phương trình sau: a)   m 1  ;    m  : S  (;1)    m    m 1  ;1 b)  m  : S     m   m  : S  (;1)  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 44 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai 0 f(x) = ax  bx  c (a  0) a.f(x) > 0, x  R  b a.f(x) > 0, x  R \    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) a  Nhận xét:  ax  bx  c  0, x  R       ax  bx  c  0, x  R  a    Bất phương trình bậc hai ẩn ax  bx  c  (hoặc  0; < 0;  0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x  x  b)  x  x  c) 4 x  12 x  d) 3x  x  e)  x  x  f) x  x  g) (3x  10 x  3)(4 x  5) 2 h) (3x  x )(2 x  x  1) i) Bài Giải bất phương trình sau: (3x  x )(3  x ) 4x2  x  a) x  5x   b) 5x  x  12  c) 16 x  40 x  25  d) 2 x  3x   e) 3x  x   f) x  x   g) 3x  x  0 h) x  3x  x  5x  x  3x  Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 0 i) 5x  3x  x2  7x  0 a) x  mx  m   b) (1  m) x  2mx  2m  c) mx  x   HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a  – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình  2 x  x   a)   x  x   x2  4x    d) 2 x  x  10  2 x  x    g) 4  x2  2x  x2  1 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com  2 x  x   b)   3 x  10 x    2 x  x   c)    x  3x  10    x  x   e)   x  2x 1   x2  x   f)   x  6x   x2  2x  h)  1 13 x  5x  i) 1  10 x  3x   x  3x  1 VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a) (m  5) x  4mx  m   b) (m  2) x  2(2m  3) x  5m   c) (3  m) x  2(m  3)x  m   d) (1  m) x  2mx  2m  e) (m  2) x  4mx  2m   f) (m2  2m  3)x  2(2  3m)x   Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x  2(m  1) x  m   b) x  (m  1) x  2m   c) x  (m  2) x  m   d) mx  (m  1) x  m   e) (m  1) x  2(m  1)x  3(m  2)  f) 3(m  6) x  3(m  3) x  2m   Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) (m  2) x  2(m  1)x   b) (m  3) x  (m  2) x   c) (m2  2m  3) x  2(m  1) x   d) mx  2(m  1) x   e) (3  m) x  2(2m  5) x  2m   f) mx  4(m  1) x  m   Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ  f ( x)  C1  g( x )  C2   f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )     Dạng 1:   f ( x )   g( x )   f ( x )    f ( x )   g( x )  f ( x )  g( x )  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x ) g( x )   Dạng 3: f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 46 Trần Sĩ Tùng   g( x )    f ( x ) có nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )      f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )   Dạng 4: Chú ý: Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com  A  A  A  0; A  A  A   Với B > ta có: A  B  B  A  B ;  A  B  A  B  AB  ;  A  B A B A  B A  B  A  B  AB  Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu   g( x )   Dạng 1: f ( x )  g( x )     f ( x )   g( x )  f ( x )  (hoaëc g( x )  0)  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  t  f ( x ), t   Dạng 3: a f ( x )  b f ( x )  c     at  bt  c   u  f ( x )  Dạng 4: ; u, v  đưa hệ u, v f ( x )  g( x )  h( x ) Đặt  v  g ( x )    f (x)   Dạng 5: f ( x )  g( x )    g( x )   f ( x )   g( x )2    g( x )   f ( x)   f ( x )  g( x )    g( x )   Dạng 6:    f ( x )   g( x )2   Bài Giải phương trình sau: a) x  5x   x  x  d) x  x   b) x   x  x  e) x    x c)  3x   x  x2   x  2 f) x ( x  2) Bài Giải bất phương trình sau: a) x  5x   b) x   x  3x  c) x   x  d) x  x   x  x  e) x   x   f) x  3x   x  x x2  4x 2x  1  x 3 x 2 3 1 h) a) 2x   x  b) 5x  10   x c) x  x   d) x2  2x    x e) 3x  x   x  f) g) x2  x  Bài Giải phương trình sau: i) x  5x  3x  x   x  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 47 Bất đẳng thức – Bất phương trình 3x   x   g) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com x2   x2   h) 21  x  21  x i) 21  x  21  x  21 x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x   x   x  11 b) x   3x   x  c)  x   x  x 1  x   x   Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) d) a) x   2x   x   2x   b) x   x 1  x   x 1  2x  2x 1  2x   2x 1  2x   2x 1  Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) c) a) x  x   x  x  b) ( x  4)( x  1)  x  5x   c) ( x  3)2  3x  22  x  3x  d) ( x  1)( x  2)  x  3x  Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) 3x  5x   3x  5x   b)  x 1   x 1  d) 47  x  35  x  f) a) c) e) 5x   5x  13  24  x   x  x  4356  x  x x  4356  x  x Bài Giải bất phương trình sau: a) x  x  12   x b) x  x  12   x c)  x  x  21  x  d) x  3x  10  x  e) 3x  13x   x  f) 2x  6x2   x   x   x  3  x i) x    x  2x  h) Bài Giải bất phương trình sau: g) a) ( x  3)(8  x )  26   x  11x b) ( x  5)( x  2)  x( x  3)  c) ( x  1)( x  4)  x  5x  28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) 2x   x   x2  4x 2 3 x c) ( x  3) x   x  d) 3x  5x   3x  5x   b) 2 x  15x  17 0 x 3 d)  x2  x   x2  x   2x  x4 Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x   x  Bài 12 Giải phương trình sau: a) b) 3 x   3x  c) x 1  x  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 48 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3  b3  c3  a  b  c , với a, b, c > xyz = abc abc abc b)    , với a, b, c > a b c 1 1 1 c)        , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi pa pb pc a b c d) a b   b a   ab , với a  1, b  HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3  b3  c3  a3b3c3   2(a3  b3  c3 )  (1) a3    a3  a3   3a (2) Tương tự: b3   3b (3), c3   3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a b c  c a b) BĐT              Dễ dàng chứng minh a b c b a c 1 1 4 c) Áp dụng BĐT:   , ta được:    x y xy pa pb pa pb c 1 1   ;   Cộng BĐT  đpcm pb pc a pc pa b a  ab  a ab  d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b   a ab  a  2 ab Tương tự: b a   Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy  a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) A  x  , với x > b) B   , với x, y > x  y  x 1 x 4y Tương tự: c) C  a  b  1  , với a, b > a  b  a b d) D  a3  b3  c3 , với a, b, c > ab  bc  ca  1  1  HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x  1)  x 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 49 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Dấu "=" xảy  x = Vậy minA = b) B = 4 y    4x   y   x  x 4y x 4y Vậy minB = 1 4 c) Ta có    B  ab  2  ab   ab ab ab ab a b ab Dấu "=" xảy  a = b = Vậy minC = Dấu "=" xảy  x  1; y  d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3  b3   3ab , b3  c3   3bc , c3  a3   3ca  2(a3  b3  c3 )   3(ab  bc  ca)   a3  b3  c3  Dấu "=" xảy  a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) A  a   b  , với a, b  –1 a  b  b) B  x (1  x ) , với < x < c) C  ( x  1)(1  x) , với 1  x  HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a  1, b  ta được: A  a   b   (1  1)(a   b  1)  Dấu "=" xảy  a = b =  maxA =  x  x  1 2x  b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x(1  x )       27 1 Vậy maxB = 27 1  2x  1 2x  c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2 x  2)(1  x )     2  Dấu "=" xảy  x =  Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:   a)  x  4m  2mx  b)  x  x   (m  1) x   3x   x   7 x   4 x  19 c)  d)  x   x  2 x  3m   m  x  Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:   a) mx   3x  m b)  x  10 x  16  4 x    x  mx  3m  Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x  x2  6x   x 3 b) x  5x  x  5x   x 1 x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 50 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com 1 2x 1 d)   0  x x 1 x 1 x2  x  x  x3  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: c)  a) (m  1) x  2(m  3)x  m   b) (m  1) x  2(m  3)x  m   Bài Tìm m để biểu thức sau không âm: a) (3m  1) x  (3m  1) x  m  b) (m  1) x  2(m  1)x  3m  Bài Tìm m để biểu thức sau âm: a) (m  4) x  (m  1) x  2m  b) (m2  4m  5) x  2(m  1)x  Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) x  8x  20 mx  2(m  1) x  9m  x  mx  0 b) 3x  5x  (m  4) x  (1  m) x  2m  d) 4  1 0 x  mx  6 2x2  2x   x2  x  Bài 11 Tìm m để phương trình sau có: i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt c) a) (m  2) x  2(m  1)x  2m   Bài 12 Giải phương trình sau: b) (m  3) x  (2m  1) x   a) ( x  1) 16 x  17  ( x  1)(8x  23) 2x b) 13x x  x  10  x2  4x    x  d) x    1  x 1   6 x  5x  x  x  Bài 13 Giải phương trình sau: c) 21 a) x  8x  12  x  8x  12 b) x   x 1  x   x 1  c) 2 x    d) x  14 x  49  x  14 x  49  14 e) x   x   2(2 x  1) Bài 14 Giải bất phương trình sau: a) x  x   x  17 d) x  5x  x 4 1 g) x  x    x  Bài 15 Giải phương trình sau: a) x  x   b) x   x   e) 2x 1 x  3x   c) x   3x   x  f) x   x  5x  h) x   x   3x  b) x   x   3x  (2 x  3)( x  1)  16 c) x    x   2x d) x    x  ( x  1)(4  x )  e) 4x 1  4x2   f) 3x   x   x   x  x  g) ( x  5)(2  x )  x  3x h) x( x  4)  x  x  ( x  2)2  i) x  x  11  31 k) Bài 16 Giải bất phương trình sau a)  x  8x  12  x  b) x   x   x2  9x  5x  61x  x  c)  x  4x  2 x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 51 Bất đẳng thức – Bất phương trình d) 3(4 x  9) 3x   2x  Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com e) ( x  3) x   x  f) 9x2  5x   3x  Bài 17 a) www.toantrunghoc.com Chúc em học tốt ! www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 52