Logic chuyên ngành (NXB hồ chí minh 2006) phạm đình nghiệm, 115 trang

PHẠM ĐÌNH NGHIỆM LOGIC CHUN NGÀNH Giáo trình dành cho sinh viên ngành triết học TP HỒ CHÍ MINH 2006 Chương I I LOGIC MỆNH ĐỀ Mệnh đề Các phép toán mệnh đề Mệnh đề Trong Tiếng Việt (và ngơn ngữ khác) có câu - thường câu tường thuật - mô tả vật tượng Có câu mơ tả đúng, có câu mô tả sai vật tượng Những câu thế, câu câu sai, gọi mệnh đề1 Ví dụ, câu sau: (a) Nam sinh viên; (b) Khí hậu trái đất nóng dần lên; (c) Bạn thất vọng bị thất bại bạn khơng khơng nỗ lực (Beverly Silis); (d) Nếu người vợ đẹp mà thiên thần người chồng vơ bất hạnh (J.J Rousseau); mệnh đề Không phải câu hoặc sai Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán khơng mơ tả nên khơng mà khơng sai Có câu tường thuật khơng thể xác định hay sai Chẳng hạn, câu “Tơi nói dối” khơng thể đúng, khơng sai Những câu không đúng, không sai mệnh đề Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề đơn Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề phức Nói cách khác, mệnh đề phức tạo thành từ mệnh đề đơn Các mệnh đề (a) (b) mệnh đề đơn, (c), (d) mệnh đề phức Các phép toán logic mệnh đề Như nói, xây dựng mệnh đề phức tạp từ mệnh đề đơn giản Việc thực nhờ phép toán (toán tử) logic Phủ định phép toán đơn giản mệnh đề Đó phép tốn ngơi Mặc dầu ngơn ngữ tự nhiên mệnh đề bị phủ định nhiều cách khác nhau, ta phủ định mệnh đề cách nhất, cách đặt dấu ¬ trước mệnh đề Nếu A mệnh đề, ¬ A phủ định mệnh đề A Phép toán phủ định định nghĩa bảng chân lý sau: Phủ định A ¬A Mệnh đề câu, xét nghiêm ngặt, khác Nhưng chương trình này, đơn giản, đồng mệnh đề với câu tường thuật T F F T Các chữ T F giá trị chân lý “đúng” (True) “sai” (False) tương ứng Trong bảng trên, A phủ định nó, ¬ A, sai, ngược lại, A sai ¬A Hội phép toán phổ biến thứ hai mệnh đề Người ta cịn gọi phép liên kết Liên kết hai mệnh đề A B ký hiệu A & B Bảng chân lý định nghĩa phép hội sau (xem bảng) Mệnh đề A & B A B Các mệnh đề A B gọi thành phần liên kết mệnh đề A & B Hội Tuyển không nghiêm ngặt A B A&B A B T T F F T F T F T F F F T T F F T F T F A∨B T T T F Tuyển nghiêm ngặt A B T T F F T F T F A∨B F T T F Lựa chọn phép tính phổ biến thứ ba mệnh đề Người ta cịn gọi phép tuyển Trong tiếng Việt phép toán thường biểu thị từ “hoặc”, “hoặc là”, “hay”, “hay là” Lựa chọn hiểu theo hai nghĩa khác Trong nghĩa thứ “A B” (ký hiệu A ∨ B) hiểu có hai thành phần A B , A B Trong nghĩa thứ hai “A B” (ký hiệu A ∨ B) A đúng, B sai, A sai, B Nghĩa thứ phép tuyển không nghiêm ngặt, phép tuyển nghiêm ngặt ứng với nghĩa thứ hai Phép tuyển nghiêm ngặt ký hiệu ∨ Bảng chân lý phép tuyển không nghiêm ngặt nghiêm ngặt dẫn Kéo theo phép tốn hai ngơi định nghĩa bảng chân lý quan trọng mệnh đề Với mệnh đề A B phép toán cho phép tạo nên mệnh đề A ⊃ B Nghĩa mệnh đề “Nếu A B”, “A kéo theo B” Nghĩa không xác định rõ ràng ứng dụng thông thường Ta biết “A kéo theo B” có nghĩa A B phải Trong tiếng Việt phép tốn thường diễn đạt cụm từ “Nếu … … “, “Nếu … … “,“Khi … … “, “Bao … … “, “… …“ số cụm từ khác Ví dụ, câu “Nếu không bảo vệ môi trường từ lồi người khơng có tương lai” ; “Chuồn chuồn bay thấp mưa”; “Có nước có cá”; “Bao chạch đẻ đa, sáo đẻ nước ta lấy mình” … biểu đạt mệnh đề dạng kéo theo Trong ngôn ngữ thông thường, suy luận toán học khoa học khác, nghĩa cụm từ “nếu … …” cụm từ khác diễn đạt phép kéo theo hiểu phụ thuộc vào văn cảnh Câu “Nếu A B” tiếng Việt thường biểu thị mối liên hệ A B nội dung Chẳng hạn, A điều kiện, B hệ (vì mệnh đề loại cịn gọi mệnh đề điều kiện), hay A nguyên nhân, B kết Nhưng logic mệnh đề không quan tâm đến mối liên hệ mặt nội dung đó, mà quan tâm đến mối liên hệ giá trị chân lý chúng mà Cụ thể ta coi “Nếu A B” sai A mà B sai Trong tất trường hợp khác “Nếu A B” Kéo theo A B T T F F T F T F A⊃B T F T T Tương đương A B T T F F T F T F A ≡ B T F F T Bảng chân lý phép kéo theo dẫn Nếu ký hiệu cụm từ “A tương đương B” A ≡ B ta có bảng chân lý cho phép tương đương dẫn A ≡ B A B có giá trị chân lý Độ ưu tiên thực phép toán xác định theo thứ tự giảm dần sau : ¬, &, ∨, ⊃, ≡ Cùng phép tốn chúng kết hợp bên phải2, nghĩa là: p∨q∨r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p&q&r ⇔ p & (q & r) p⊃q⊃r ⇔ p ⊃ (q ⊃ r) ¬¬ p ⇔ ¬ (¬p) p≡q≡r ⇔ p ≡ (q ≡ r) Định nghĩa phép tốn logic phương pháp giải tích Nếu ký hiệu val(A) giá trị logic công thức A, ký hiệu val(A) = T val(A) = bảng định nghĩa phép tốn logic cho thấy : val(A ∨ B) = max (val(A), val(B))= val (A) + val (B) (với ý: + = 1); val(A & B) = (val(A), val(B)) = val (A) val (B); val(¬A) = – val(A); val(A ⊃ B) = val (¬A ∨ B) = max(1 - val(A), val(B)); Công thức Không thể kết hợp bên trái tốn học biểu thức ¬¬A trở nên vơ nghĩa Ta dùng thuật ngữ công thức để loại biểu thức xây dựng từ mệnh đề đơn phép tốn mệnh đề Chính xác hơn: (i) Tất mệnh đề đơn p, q, r, p1, p2, … công thức (ii) Nếu A cơng thức (A), ¬A cơng thức (iii) Nếu A, B cơng thức A & B, A ∨ B, A ⊃ B, A ≡ B cơng thức (iv) Ngồi khơng cịn cơng thức khác Ví dụ cơng thức : • • • p p ∨ (q & r) (r & q) ⊃ (((r ∨ s) & ¬ q) ⊃ ¬ s) Những biểu thức sau công thức : • • • p &∨ q, ∀p ⊃ q, p & (q ∨ r) ⊃ Mỗi công thức hàm biến (là mệnh đề đơn thành phần cơng thức đó) xác định tập giá trị chân lý {T, F} Hàm nhận giá trị từ tập {T, F} Mỗi phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn cấu thành công thức A tương ứng với giá trị chân lý cơng thức A Ví dụ, cơng thức (p ∨ q) & (¬ r) có giá trị tương ứng với phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn thành phần sau : p q r T T T T F F F F T T F F T T F F T F T F T F T F p∨q T T T T T T F F ¬r F T F T F T F T (p ∨ q) & (¬ r ) F T F T F T F F Bảng liệt kê giá trị chân lý công thức với phân bố giá trị mệnh đề đơn thành phần ví dụ gọi bảng chân lý (hay bảng chân trị) – khảo sát phần sau - công thức Các cổng logic kỹ thuật điện tử Trong kỹ thuật điện tử người ta sử dụng phần tử đặc biệt mạch điện, gọi cổng logic Các cổng logic thông thường cổng AND, tương ứng với phép toán hội; cổng OR, tương ứng với phép tuyển không nghiêm ngặt; cổng XOR, tương ứng với phép tuyển nghiêm ngặt; cổng đảo NOT, tương ứng với phép phủ định; cổng NAND, tương ứng với phủ định phép hội; cổng NOR, tương ứng với phủ định phép tuyển; NXOR, tương ứng với phủ định phép tuyển nghiêm ngặt Cổng AND Output = X & Y (đầu có tín hiệu hai đầu vào X Y có tín hiệu) Cổng OR Output = X ∨ Y (đầu có tín hiệu có đầu vào X Y có tín hiệu) Cổng XOR Output = X ∨ Y (đầu có tín hiệu có đầu vào X Y có tín hiệu) Cổng NOT (cổng đảo) Output = ¬ X (đầu có tín hiệu đầu vào khơng có tín hiệu, ngược lại ) Cổng NAND Output = ¬ (X & Y) (đầu khơng có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu, trường hợp khác đầu có tín hiệu) Cổng NOR Output = ¬ (X ∨ Y) (đầu có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu) Cổng NXOR Output = ¬ (X ∨ Y) (đầu có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu tất đầu vào có tín hiệu) Một mạch điện tử thiết kế từ cổng logic tương ứng với công thức logic, ngược lại, công thức logic tương ứng với mạch điện tử thiết kế từ cổng Mạch điện tử tương ứng với công thức : Output = ¬(¬(¬(x ∨ y) ∨ ¬(y ∨ z)) ∨ ¬ (z & ¬y)) Hệ phép tốn đầy đủ Vì mệnh đề nhận hai giá trị chân lý T F nên số lượng phép tốn hai ngơi (khác nhau) mệnh đề có tất 24 = 16 Chúng biểu diễn bảng sau:B A T T F F B T F T F T F F F T T F F T T T F T F T T T F F T F T T T F F T T F F F T F F T F 10 T F T F 11 F T F T 12 T T F T 13 F T T F 14 F T F F 15 T T T T 16 F F F F Trong bảng phép tốn 1, 3, 4, phép toán &, ∨, ⊃ ≡ tương ứng Nhận xét: phép kéo theo (⊃) định nghĩa thơng qua phép phủ định tuyển Cụ thể là: (A ⊃ B) ⇔ (¬A ∨ B) (1) Phép tốn 14 định nghĩa thơng qua phép kéo theo phủ định: Ký hiệu “|“, ta có (A |B) ⇔ (¬ (A ⊃ B)) (2) và, từ (1), (2) ta thấy “ |” xác định thông qua phép phủ định tuyển: (A | B) ⇔ (¬ (¬A ∨ B)) Có câu hỏi tự nhiên với nhóm phép tốn đủ để định nghĩa tất phép tốn cịn lại 16 phép tốn nêu trên? Định lý sau trả lời cho câu hỏi Định lý 1.1 Bất phép toán số 16 phép tốn nêu bảng cho thơng qua phép tốn ¬, & và∨ Chứng minh Ta chứng minh định lý cách xác định phép toán số 16 phép toán qua phép tốn ¬, &, ∨ Phép tốn phép &, phép tốn phép ∨ Phép kéo theo (4) phép toán (14) biểu diễn nói Phép tốn (13) phép tuyển nghiêm ngặt ∨ Như biết, A∨B ⇔ (A ∨ B) & ( ¬ A ∨ ¬B) Phép tốn (5) phép đồng Nó biểu : (A = B) ⇔ (¬A ∨ B) & (¬B ∨ A) Phép tốn thứ 8, ta ký hiệu dấu L, định nghĩa sau: (A L B) ⇔ (¬A & ¬B); phép tốn 7, ta tạm ký hiệu dấu ⎦, định nghĩa sau: (A ⎦ B) ⇔ ((¬A1 & A2) ∨ (¬A1 & ¬A2)) Chúng tơi dành phần lại cho bạn đọc, coi tập Nếu cho trước bảng chân lý cịn cho phép ta xác định cơng thức có bảng chân lý Ví dụ: Có bảng chân lý A1 T T T T F F F F A2 T T F F T T F F A3 T F T F T F T F D F T F T T F F F Công thức D D = (A1 & A2 & ¬A3) ∨ (A1 & ¬A2 & ¬A3) ∨ (¬A1 & A2 & A3) Công thức D thu cách : Trong bảng chân trị D sử dụng dòng mà D có giá trị (T) Tại dịng đó, biến có giá trị T lấy ngun biến, có giá trị F phủ định biến Mỗi dòng bảng chân trị biểu thị công thức, hội biến phủ định biến chọn theo cách vừa trình bày Các cơng thức tương ứng với dịng liên kết với dấu toán tuyển, kết D Nhóm phép tốn đủ để định nghĩa tất phép toán khác gọi hệ phép toán đầy đủ Như ta thấy, định lý khẳng định (¬, &, ∨) hệ phép tốn đầy đủ Các cặp phép tốn (⊃, ¬); ( ¬, ∨) hệ phép toán đầy đủ II Quy luật mâu thuẫn logic Khái niệm quy luật mâu thuẫn logic Trong logic hai giá trị mà ta nghiên cứu mệnh đề đúng, sai Nếu mệnh đề phù hợp với thực tiễn đúng, khơng phù hợp với thực tiễn sai Nói chung, để xác định xem mệnh đề có hay khơng ta phải đối chiếu với thực tiễn Thế có số trường hợp không cần đối chiếu trực tiếp với thực khách quan ta biết mệnh đề hay sai Ví dụ, thời điểm định mệnh đề trời mưa không mưa mệnh đề Ta biết điều mà khơng cần phải xét xem trời mưa hay khơng mưa thời điểm Ngun nhân mệnh đề nêu hai trường hợp trời mưa trời không mưa thời điểm Mà ngồi hai trường hợp khơng trường hợp Như mệnh đề trường hợp Những mệnh đề trường hợp ta gọi mệnh đề đúng, hay quy luật logic (tautology) Trái lại, thời điểm bất kỳ, mệnh đề trời mưa không mưa sai Nó sai trường hợp thực tế trời mưa, sai trường hợp thực tế trời khơng mưa Mà ngồi hai trường hợp khơng cịn trường hợp khác Nghĩa mệnh đề sai trường hợp Những mệnh đề sai trường hợp gọi mệnh đề sai, hay mâu thuẫn logic Các khái niệm quy luật mâu thuẫn logic vừa nêu có ý nghĩa quan trọng Trong logic mệnh đề, suy luận công thức biểu thị quy luật logic, khơng thể cơng thức biểu thị mâu thuẫn logic Quy luật logic định lý hệ tiên đề hệ suy luận tự nhiên logic mệnh đề mà ta nghiên cứu phần sau Các phương pháp xác định quy luật mâu thuẫn logic a) Lập bảng chân lý Theo định nghĩa mục trên, mệnh đề quy luật logic trường hợp Để ý trường hợp tương ứng với phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn Thật vậy, chẳng hạn, với trường hợp “trời mưa” mệnh đề đơn trời mưa, đường ướt có giá trị đúng; mệnh đề trời nắng,… có giá trị sai Nói cách khác, trường hợp “trời mưa” ứng với phân bố giá trị “đúng”, “đúng”, “sai”, … cho mệnh đề đơn trời mưa, đường ướt, trời nắng … tương ứng Như mệnh đề quy luật logic tất dòng bảng chân lý cơng thức có giá trị T (đúng) Tương tự thế, mệnh đề mâu thuẫn logic tất dòng bảng chân lý cơng thức có giá trị F (sai) Chính lập bảng chân lý ta xác định xem mệnh đề có phải quy luật ogic hay khơng Khơng thế, bảng chân lý ta cịn xác định xem mệnh đề có mâu thuẫn logic hay không Cho trước công thức Căn vào phép tốn biết, ta lập bảng chân lý cơng thức sau Bước Trước hết ta xác định xem công thức cho có mệnh đề đơn khác Để ý mệnh đề đơn xuất nhiều lần ta tính lần Nếu cơng thức có n mệnh đề đơn khác bảng chân lý cơng thức có 2n dịng Mỗi dòng bảng chứa phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn công thức với giá trị chân lý công thức xuất xây dựng công thức khảo sát, tất nhiên, giá trị chân lý công thức khảo sát Ta kẻ bên công thức bảng gồm 2n dòng mệnh đề đơn, dấu toán tương ứng với cột Bước Với mệnh đề đơn thứ (thứ tự chọn tùy ý) ta chia bảng thành hai phần Tại cột mệnh đề dịng thuộc phần đầu ta ghi giá trị T (đúng), dòng thuộc phần sau ghi giá trị F (sai) Với mệnh đề đơn thứ hai, hai phần bảng lại chia đoi Bây ta có bốn phần Tại cột mệnh đề này, dòng phần lẻ ta ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi giá trị F Với mệnh đề đơn lại làm tương tự : phần có bảng chia thành hai phần dưới, dòng phần lẻ ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi giá trị F Đây bước gán giá trị cho mệnh đề đơn Để ý vi) ∀A ∃α (α ∈ M & TA /α & FA /α) Như vậy, công thức cổ điển mang thông tin xác định: Rõ ràng từ nhận xét vi) với cơng thức A ta có MA ≠ ∅ , MA ≠ M Từ đây, theo mục 4.2 định nghĩa 4, ta có inf(A) ≠ inf(A) ≠ U (Với U tồn thơng tin biểu thị ngôn ngữ mà ta dùng) V Xác định mặt hình thức nguyên nhân nghịch lý khái niệm kéo theo logic cổ điển Hệ logic tự nhiên relevant Nguyên nhân nghịch lý khái niệm kéo theo logic cổ điển mặt hình thức Ở phần ta phân tích nguồn gốc nghịch lý khái niệm kéo theo logic từ quan điểm thông tin, nghĩa từ mặt ngữ nghĩa Để xây dựng hệ logic phù hợp với quan hệ kéo theo relevant, ta phải xác định nguồn gốc nghịch lý từ mặt hình thức Nói cách khác, ta phải xác định xem sử dụng quy tắc suy luận đơn giản, hiển nhiên hệ suy luận tự nhiên cổ điển lại làm xuất nghịch lý Giáo sư Voisvillo E K người xây dựng hệ logic cổ điển với khái niệm phụ thuộc công thức vào giả định Ơng phân tích hệ để tìm nguồn gốc nghịch lý Vấn đề ơng trình bày rõ ràng tác phẩm Voisvillo E K “Các khía cạnh triết học – phương pháp luận logic relevant” Như nói, xây dựng hệ này, ta sử dụng khái niệm “ phụ thuộc công thức vào giả định giả thiết” Trong chuỗi suy diễn phụ thuộc biểu thị đưới dạng tường minh cách gán cho công thức đặc điểm phụ thuộc Đặc điểm phụ thuộc công thức A chuỗi suy diễn tập hợp giả thiết giả định mà cơng thức phụ thuộc vào suy luận Như vậy, bước suy diễn viết dạng A[ Γ ] (đọc là: công thức A có đặc điểm phụ thuộc Γ) Để ý rằng, chuỗi suy diễn hệ suy luận tự nhiên bắt đầu giả thiết hay giả định Sau số hệ logic với đặc điểm phụ thuộc giáo sư Voisvillo e K xây dựng Hệ K1: Đặc điểm phụ thuộc (của công thức A chuỗi suy diễn vào giả định giả thiết) tập hợp giả định, giả thiết (có thể tập rỗng) Khái niệm cơng thức phụ thuộc vào giả định chuỗi suy diễn định nghĩa quy nạp: a) Giả định (giả thiết) A phụ thuộc vào (và nghĩa đặc điểm phụ thuộc tập hợp {A}); b) Sự phụ thuộc công thức khác xác định theo quy tắc suy luận Voisvillo E K Các khía cạnh triết học – phương pháp luận logic relevant Moskva 1988 (Tiếng nga) Trong quy tắc sau ta ký hiệu A, B, C, D công thức bất kỳ; Γ, Δ tập cơng thức (có thể rỗng) Dấu phẩy tập hợp có nghĩa dấu hội; “Γ \ Δ” có nghĩa kết việc loại bỏ thành phần thuộc Δ khỏi Γ : ∧i : A[Γ], B[Δ] ( A ∧ B)[Γ, Δ] ∨i : A[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] B[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] ( A ∧ B)[Γ] ; A[Γ] ∧e : ( ∨e: C[Γ, A], C[Δ, B] C [ Γ, Δ , A ∨ B ] ( A ∧ B)[Γ] ; B[Γ] Trong A ∨ B giả định có trước sử dụng quy tắc chuỗi suy diễn ⊃i : B[Γ] ( A ⊃ B)[Γ \ { A}] ⊃e : ( A ⊃ B)[Γ], A[Δ] ; B[Γ, Δ] ¬e : ¬B[Γ], B[Δ] ¬A[Γ, Δ \ { A}] với A giả định chuỗi suy diễn ¬e: ¬¬A[Γ] A[Γ] với A giả định chuỗi suy diễn Chuỗi suy diễn dãy cơng thức (với đặc điểm phụ thuộc), công thức giả định, giả thiết, nhận từ cơng thức trước cách sử dụng quy tắc hệ Công thức cuối goị kết luận Nếu kết luận cơng thức A [ Γ] : Nếu Γ ≠ ∅, Γ = {B1, B2, …, Bn}, ta nói A hệ cơng thức B1, B2, …, Bn Viết Γ A Nếu Γ = ∅ A định lý, chuỗi suy diễn gọi phép chứng minh công thức A Trong hệ giả định sử dụng lần được, chúng không bị loại bỏ khỏi suy luận Ta nhận thấy quy tắc ∧i , ⊃i ¬e khơng đảm bảo tính liên hệ nội dung tiền đề kết luận Thật vậy: Với ∧i , để ý chuỗi suy diễn, công thức giả định A không sử dụng, kết luận suy luận khơng phụ thuộc vào A Thế ta làm cho kết luận phụ thuộc vào công thức bất kỳ, cách sử dụng quy tắc ∧i, ∧e Như không cần đến giả định A ta rút B, coi B phụ thuộc vào A 10 Với ⊃i , A ∉ Γ tiền đề B khơng phụ thuộc vào A, có nghĩa B khơng rút nhờ có A; cịn kết luận Γ \ {A} = Γ, lại có B ⊃ A [Γ \ {A}}, hay A ⊃ B [Γ] có nghĩa B hệ qủa A điều kiện có Γ Nghịch lý thể rõ ràng Tương tự với ¬e Nếu A ∉ Γ A ∉ Δ B[Γ], ¬B[Δ] cho biết A số nguyên nhân làm xuất mâu thuẫn B ¬B Thế từ quy tắc lại cho phép rút ¬A [ Γ, Δ \ {A}], A nguyên nhân gây mâu thuẫn B ¬B Nghịch lý rõ ràng Hệ suy luận tự nhiên relevant Để chuyển sang relevant logic, ta xét hệ K2 (tương đương K1), vi phạm nguyên lý relevant (nguyên lý đảm bảo liên hệ nội dung tiền đề kết luận) gom quy tắc Hệ K2: Đặc điểm phụ thuộc hiểu dãy giả định (giả thiết); Γ, Δ dãy giả định (công thức), dãy trống Quy tắc: ∧i : A[Γ], B[Γ] ( A ∧ B)[Γ] ∨i : A[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] ⊃i : B[Γ, A] ( A ⊃ B)[Γ] ¬e : ¬B[Γ, A], B[Δ, C ] ¬A[Γ, Δ, C * ] B[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] ( ∨e: C[Γ, A], C[Γ, B] C[ Γ , A ∨ B ] ⊃e : ¬e: ( A ∧ B)[Γ] ; A[Γ] ∧e : ( A ∧ B)[Γ] ; B[Γ] ( A ⊃ B)[Γ], A[Δ] B[Γ, Δ] ¬¬A[Γ] A[Γ] C * C C không trùng với A, C * dãy trống trường hợp ngược lại A[Γ] A[ B, Γ] Quy tắc đơn điệu, với B giả định chuỗi suy diễn 10 11 A[Γ, B, B, Δ] A[Γ, B, Δ] Rút gọn đặc điểm phụ thuộc A[Γ, B, C , Δ] A[Γ, C , B, Δ] Hoán vị đặc điểm phụ thuộc Các khái niệm chuỗi suy diễn phép chứng minh định nghĩa cũ Nếu có chuỗi suy diễn với kết luận A [ Γ ] ta nói A suy từ tập Δ chứa tất phần tử dãy Γ Bây ta thay khái niệm thành: Nếu có chuỗi suy diễn với kết luận A[Γ ] ta nói A suy từ tập công thức Δ, với Δ chứa tất phần tử Γ Γ không rỗng (nghĩa Γ chứa phần tử) Trong hệ thống quy tắc hất không đảm bảo tính liên hệ nội dung tiền đề kết luận (tính relevant) quy tắc đơn điệu Như vậy, loại bỏ quy tắc này, ta tránh nghịch lý Hệ logic relevant thu từ hệ K2 sau loại bỏ quy tắc đơn điệu gọi hệ RAO5 Thay đổi chút hệ K2 ta hệ logic relevant quan trọng hệ R : Loại bỏ khỏi K2 quy tắc gây nghịch lý quy tắc đơn điệu thêm vào quy tắc phân phối phép hội phép tuyển ( A ∧ ( B ∨ C ))[Γ] (( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ))[Γ] Hệ En (tương đương với hệ logic relevant tiếng khác hệ E) nhận từ hệ cách thay quy tắc hoán vị đặc điểm phụ thuộc quy tắc hạn chế hoán vị đặc điểm phụ thuộc sau: A[Γ, B, (C ⊃ D), Δ] A[Γ, (C ⊃ D), B, Δ] Chúng cho sở lý luận thật lập trình logic logic relevant Bởi vậy, việc nghiên cứu logic relevant lại có ý nghĩa Giáo sư tiến sĩ Smirnov V.A người đưa thuật ngữ này, ông người nghiên cứu hệ RAO Chính xác ta hệ suy luận tự nhiên tương đương với hệ R 11 BẢNG ĐỊNH NGHĨA CÁC PHÉP TOÁN LOGIC Phủ định Hội Tuyển khơng nghiêm ngặt A ¬A A B A&B A B T F F T T T F F T F T F T F F F T T F F T F T F Kéo theo A B T T F F T F T F Tương đương A⊃B T F T T A B T T F F T F T F A ≡ B T F F T A∨B T T T F Tuyển nghiêm ngặt A B T T F F T F T F A∨B F T T F MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ A+A = A; A A = A; A+B = B+A A + (B + C) = (A+ B) + C A.B = B.A A (B C) = (A B) C A (B + C) = A.B + A.C A + (B C) = (A + B) (A + C ) A + A =1; Định nghĩa 10 A A = ; 11 A Luật đồng nhất, luật nuốt Luật đồng nhất, luật nuốt Tính chất giao hốn phép cộng Tính chất kết hợp phép cộng Tính chất giao hốn phép nhân Tính chất kết hợp phép nhân Tính phân phối phép cộng phép nhân Tính phân phối phép nhân phép cộng Định nghĩa = A Luật hoàn nguyên 12 A + B = A B Luật De Moorgan 13 A.B = A + B 14 A.(A + B) = A 15 A + (A.B) = A Luật De Moorgan Luật giản lược Luật giản lược CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Tên gọi Ví dụ sử dụng ¬ & ∨ ∨ ⊃ ≡ → Phủ định Hội Tuyển không nghiêm ngặt Tuyển nghiêm ngặt Kéo theo Tương đương Kéo theo relevant, rút kết Phủ định (trong đại số Boole) + ∀ ∃ ← ,/ term WFF mgu inf U T F ⊆ ∈ ∉ ∅ |= Hội (trong đại số Boole) Tuyển (trong đại số Boole) Lượng từ toàn thể Lượng từ tồn Thế Hạn từ Công thức Đồng thể lớn Thơng tin Tồn thơng tin Đúng Sai Là tập hợp Thuộc Không thuộc Tập hợp rỗng Là quy luật logic, hệ ¬A A&B A∨B A∨B A⊃B A≡B A → B; {p ∨ q, ¬ p ∨ r} → q A A.B A+B ∀xA(x) ∃xA(x) x ← t, x/t a term A ∨ B WFF mgu(A,B) Inf(A) inf(A) ≠ U T(A→B)/α F(A→B)/α MA ⊆ MB pi ∈ α pi ∉ α MA ≠ ∅ |= A; Γ, A |= B |− Được chứng minh, định lý, rút |− A; ⇔ Nghĩa là, tương đương với Fail Thất bại (trong hợp giải) Inf(A) ⊆ inf (B) ⇔ MA ⊆ MB p ∨ q,q ∨ r ∨ ¬ s fail Resolvent rỗng ¬p, p Γ, A |− B CÁC TIÊN ĐỀ VÀ QUY TẮC LOGIC MỆNH ĐỀ (1) Cho A, B, C công thức hệ S Khi công thức sau tiên đề hệ S : (A1) (A2) (A3) (A ⊃ (B ⊃ A)); ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃B) ⊃ (A ⊃ C)); (¬ B ⊃ ¬ A) ⊃ ((¬ B ⊃ A) ⊃ B)) (2) Quy tắc suy diễn S Modus Ponens: MP A ⊃ B, A B CÁC QUY TẮC CỦA HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ Quy tắc nhập & (ký hiệu &i) A, B A& B A& B ; A A ; A∨ B A& B B B A∨ B Quy tắc khử ∨ (ký hiệu ∨e) A ∨ B , ¬A ; B A ∨ B , ¬B A Quy tắc nhập ¬ (ký hiệu ¬i) B , ¬B ¬A Quy tắc khử ¬ (ký hiệu ¬e) ¬¬A A Quy tắc nhập ⊃ (ký hiệu ⊃i) B A⊃ B Quy tắc khử ⊃ (ký hiệu ⊃e) A ⊃ B, A B Quy tắc khử & (ký hiệu &e) Quy tắc nhập ∨ (ký hiệu ∨i) (*) (*) CÁC TIÊN ĐỀ VÀ QUY TẮC LOGIC VỊ TỪ Các tiên đề Với công thức A, B, C, biến x bất kỳ, biểu thức A1, A2, A3 sau tiên đề logic vị từ: A1 A ⊃ (B ⊃ A); A2 (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)); A3 (¬A ⊃ ¬ B) ⊃ ((¬A ⊃ B) ⊃ A); với A(x) công thức, t hạn từ, tự x công A4 ∀x A(x) ⊃ A(t), thức A(x) A5 ∀x (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ ∀x B), cơng thức A khơng có xuất tự x Các quy tắc A ⊃ B, A 1) MP B A 2) Gen ∀ xA (Modus ponens) (Quy tắc tổng quát hóa) CÁC QUY TẮC CỦA HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN LOGIC VỊ TỪ Các quy tắc hệ suy luận tự nhiên logic mệnh đề Quy tắc nhập ∀ ( ký hiệu ∀i) A( x) ∀xA( x) x không xuất tự giả thiết giả định trước A(x) chuỗi suy diễn Quy tắc khử ∀( ký hiệu ∀e) ∀xA( x) A(t ) t tự x A(x) Quy tắc nhập ∃ ( ký hiệu ∃i): A(t ) ∃xA( x) t tự x A(x) Quy tắc khử ∃ (ký hiệu ∃e) ∃xA( x) A(c) c đối tượng QUY TẮC HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN LOGIC RELEVANT (HỆ K2) Đặc điểm phụ thuộc hiểu dãy giả định (giả thiết), ghi cặp dấu ngoặc vuông; Γ, Δ dãy giả định (cơng thức), dãy trống ∧i : A[Γ], B[Γ] ( A ∧ B)[Γ] ∨i : A[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] ⊃i : B[Γ, A] ( A ⊃ B)[Γ] ¬e : ¬B[Γ, A], B[Δ, C ] ¬A[Γ, Δ, C * ] B[Γ] ; ( A ∨ B)[Γ] ( A ∧ B)[Γ] ; A[Γ] ∧e : ( ∨e: C[Γ, A], C[Γ, B] C[ Γ , A ∨ B ] ⊃e : ¬e: ( A ∧ B)[Γ] ; B[Γ] ( A ⊃ B)[Γ], A[Δ] B[Γ, Δ ] ¬¬A[Γ] A[Γ] C * C C không trùng với A, C * dãy trống trường hợp ngược lại A[Γ] A[ B, Γ] Quy tắc đơn điệu, với B giả định chuỗi suy diễn A[Γ, B, B, Δ] A[Γ, B, Δ] Rút gọn đặc điểm phụ thuộc A[Γ, B, C , Δ] A[Γ, C , B, Δ] Hoán vị đặc điểm phụ thuộc MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CÁC KÝ HIỆU BẢNG ĐỊNH NGHĨA CÁC PHÉP TOÁN LOGIC MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ CÁC TIÊN ĐỀ VÀ QUY TẮC LOGIC MỆNH ĐỀ CÁC QUY TẮC CỦA HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ CÁC TIÊN ĐỀ VÀ QUY TẮC LOGIC VỊ TỪ CÁC QUY TẮC CỦA HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN TRONG LOGIC VỊ TỪ QUY TẮC HỢP GIẢI QUY TẮC HỆ SUY LUẬN TỰ NHIÊN LOGIC RELEVANT (HỆ K2) Chương I LOGIC MỆNH ĐỀ I Mệnh đề Các phép toán mệnh đề Mệnh đề Các phép toán logic mệnh đề Định nghĩa phép toán logic phương pháp giải tích Cơng thức Các cổng logic kỹ thuật điện tử Hệ phép toán đầy đủ II Quy luật mâu thuẫn logic Khái niệm quy luật mâu thuẫn logic Các phương pháp xác định quy luật mâu thuẫn logic III Biến đổi tương đương Các ký hiệu đẳng thức Các ví dụ IV Hệ tiên đề logic mệnh đề Lý thuyết hình thức hóa (lý thuyết tiên đề hóa) Lý thuyết S (Hệ tiên đề S) Các hệ tiên đề khác logic mệnh đề V Hệ suy luận tự nhiên logic mệnh đề Các quy tắc Chuỗi suy diễn phép chứng minh Tính khơng mâu thuẫn đầy đủ hệ S NS Chương II HỢP GIẢI TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ I Công thức dạng tuyển Định nghĩa Quy trình INDO II Quy tắc hợp giải III Phương pháp hợp giải IV Cây hợp giải Hợp giải tuyến tính V Giản lược tiền đề Giản lược tiền đề quy luật logic Giản lược tiền đề chiều Giản lược tiền đề yếu Chương LOGIC VỊ TỪ I Ngôn ngữ logic vị từ Phân tích ngôn ngữ tự nhiên Hệ ký tự Hạn từ (term) Cơng thức (WFF – Well Formed Formula) Các ví dụ Biểu thị tư tưởng ngôn ngữ logic vị từ Biến tự biến buộc II Diễn giải (Interpretation) Mơ hình (Model) Diễn giải Giá trị chân lý cơng thức diễn giải Mơ hình (model) Quy luật logic III Diễn giải Herbrand Miền herbrand Định nghĩa diễn giải herbrand ví dụ Mơ hình herbrand IV Hệ tiên đề logic vị từ Các tiên đề quy tắc Chuỗi suy diễn, phép chứng minh Các tính chất hệ tiên đề logic vị từ V Hệ suy luận tự nhiên logic vị từ Các quy tắc Chuỗi suy diễn, phép chứng minh Một số ví dụ Tính khơng mâu thuẫn đầy đủ hệ suy luận tự nhiên Chương HỢP GIẢI TRONG LOGIC VỊ TỪ I Công thức dạng tuyển Định nghĩa Quy trình INSEADOR II Phép Định nghĩa Áp dụng phép Tính bất biến phép Phép hợp Quan hệ xếp III Đồng thể Định nghĩa Đồng thể lớn IV Quy tắc hợp giải V Suy diễn hợp giải (chuỗi hợp giải) phép chứng minh VI Áp dụng Xác định tính mâu thuẫn tập cơng thức Trả lời câu hỏi đúng, sai Tìm kiếm câu trả lời VII Giản lược tiền đề Giản lược tiền đề quy luật logic Giản lược tiền đề chiều Giản lược tiền đề yếu Chương RELEVANT LOGIC I Dẫn nhập II Nghịch lý suy diễn logic phép toán kéo theo Các nghịch lý Các cố gắng giải nghịch lý III Suy diễn logic – quan hệ nội dung, thông tin mệnh đề Các đặc điểm quan hệ suy diễn logic Thông tin mệnh đề Nội dung logic thông tin Nguyên nhân nghịch lý suy diễn logic (cổ điển) IV V Quan hệ suy diễn logic relevant Xác định mặt hình thức nguyên nhân nghịch lý khái niệm kéo theo logic cổ điển Hệ logic tự nhiên relevant Nguyên nhân nghịch lý khái niệm kéo theo logic cổ điển mặt hình thức Hệ suy luận tự nhiên relevant BÀI TẬP DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đức Dân Logic Tiếng Việt, NXB Giáo dục, Hà Nội 1996 Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh Logic tốn, NXB Thanh Hóa Phạm Đình Nghiệm Cơ sở phương pháp luận lập trình logic, Luận án Phó tiến sĩ triết học, Moskva 1991 (Tiếng Nga) E Mendencon Nhập mơn logic tốn, NXB Khoa học, (Tiếng Nga) M Genesereth Computational logic http://logic.stanford.edu/~cs157/notes/ E.K Voisvillo Khía cạnh triết lý-nhận thức luận logic relevant, Moskva 1988 (Tiếng Nga) A.N Kongomorov, A.G Dragalin Nhập mơn logic tốn, NXB Đại học Tổng hợp Moskva, 1982 (Tiếng Nga) Huge Introduction to logic P Tidman, H Kanane Logic and Philosophy A modern introduction, Wadsworth Publishing Company ... mệnh đề Logic vị từ hệ logic nghiên cứu suy luận Nó mở rộng logic mệnh đề I Ngơn ngữ logic vị từ Logic vị từ sử dụng ngôn ngữ hình thức tên Việc hiểu dịch câu ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ logic. .. học Quốc gia” hàm đối tượng Khi kết hợp với đối tượng “Thành phố Hồ Chí Minh? ??, ta đối tượng “Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh? ??, cịn kết hợp với đối tượng “Hà Nội” ta lại đối tượng “Đại học... thuẫn logic Các khái niệm quy luật mâu thuẫn logic vừa nêu có ý nghĩa quan trọng Trong logic mệnh đề, suy luận công thức biểu thị quy luật logic, khơng thể cơng thức biểu thị mâu thuẫn logic