[r]
(1)Câu sư phạm 6/6/2012
Cho tam giác ABC và đường tròn (w) tâm O tiếp xúc với AB,AC tại K,L Tiếp tuyến (d) của (w) tại E thuộc cung nhỏ KL cắt AL,AK tại M,N đường thẳng KL cắt MO tại P cắt ON tại Q CMR:
a) gốc MON= 900 – 1/2sđgóc BAC b) MQ,NP,EO đồng quy
c) PL.KQ=ME.NE
0
A
B
E N
M K
L P
Q
a) vì AKOL là tứ giác nt nên 1800 – BAC^ =KOL^
mà KOL^ =2MÔN ( ON,OM là phân giác góc KOE, EOL) =>1800 – BAC^ =2MÔN => MÔN = 900 -1/2BÂC
b) ta có MON đồng dạng QKN (g-g) =>QNM^=MPL^ (cùng =KNQ^ )
Lại có OM là trung trực LE nên OM là phân giác EPL^ =>MPL^=MPE^ =>MNQ^=EPM^ hay MNO^=EPM^ => NEOP nội tiếp
Mà NEO^=900 => NPO^=900 => NP vuông góc OM (1)
Tương tự ta có MON đồng dạng MLP (g-g) =>MEQO nội tiếp => MQ vuông góc ON (2)
Mà OE vuông góc MN (3)
Từ (1), (2), (3) =>OE,PN, QM là đường cao của MON Vậy MQ, NP,OE đồng quy
b) Dễ thấy NKQ đồng dạng PLM (g-g) =>PL/NK = LM/KQ => PL.KQ = LM.NK
=> PL.KQ = EM.NE ( LM=EM; NK= NE)