De dap an thi HSG huyen vong 1

Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M[r]

ĐỀ THI SỐ 1 Bài 1:(4 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.

b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2:(2 điểm)

Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166 10

17 19 21 23

   

   

Bài 3: (3 điểm)

Tìm x biết:

       

       

2

2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

Bài 4: (3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2010x 2680 A

x  

 .

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng

b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ

Bài 6: (4 điểm)

Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF     

a) Chứng minh rằng: BDF BAC  .

lời giải: Bài 1:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =  

3 3 3 3

x y z x y z

        

 

 

=         

2 2 2 2

y z  x y z   x y z x x     y z y  yz z

 

=   

2

y z 3x 3xy 3yz 3zx 

= 3y z x x y    z x y   = 3x y y z z x       

b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =    

4

x  x  2010x 2010x 2010

=     

2

x x x x 1 2010 x x 1

=    

2

x x x  x 2010

Bài 2:

x 241 x 220 x 195 x 166 10

17 19 21 23

   

   

x 241 x 220 x 195 x 166

1

17 19 21 23

   

        

x 258 x 258 x 258 x 258

17 19 21 23

   

    

x 258 1 1 17 19 21 23

            x 258   Bài 3:                 2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

ĐKXĐ: x 2009; x 2010 

Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:

   

   

2 2

2 2

a a a a 19 49 a a a a

   



   

2

a a 19 3a 3a 49

 

 

 

2

49a 49a 49 57a 57a 19

       8a2 8a 30 0 

2a 12 42 0 2a 2a 5   0

        a a       

 (thoả ĐK) Suy x =

4023

2 x = 4015

Vậy x = 4023

2 x = 4015

2 giá trị cần tìm. Bài 4:

2

2010x 2680 A

x  

 =

2 2

2

335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)

335 335

x x

     

  

 

Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = –

Bài 5:

a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E A F 90    o) Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC

b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ  AD nhỏ nhất

 D hình chiếu vng góc A lên BC. Bài 6:

a) Đặt AFE BFD  , BDF CDE  , CED AEF   Ta có BAC     1800(*)

Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF

 OFD OED ODF 90    o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2) (1) & (2)       180o (**)

(*) & (**)  BAC  BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:



B, C 

 AEF DBF DEC ABC



BD BA 5BF 5BF 5BF

BD BD BD

BF BC 8 8

CD CA 7CE 7CE 7CE

CD CD CD

CE CB 8 8

AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24

AF AC

   

    

   

   

   

       

   

   

     

   

 

   

   

CD BD

   (3)

Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4)  BD = 2,5

O A

B C

F

D E



 

 



E F

A B

C

D

s

ĐỀ S Ố

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + = 25 b) 1990x −17+x −21

1986 +

x+1 1004=4 c) 4x – 12.2x + 32 =

Bài 2(1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác 1x+1

y+

1

z=0

Tính giá trị biểu thức: A=yz

x2+2 yz+ xz

y2+2 xz+ xy

z2+2 xy

Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương

Bài 4(4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HAAA''+HB'

BB' +

HC'

CC'

b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

c) Tam giác ABC biểu thức

AB+BC+CA¿2 ¿

Ơ¿ ¿

ĐÁP ÁN

 Bài 1(3 điểm):

a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):

x+

1

y+

1

z=0 ⇒

xy+yz+xz

xyz =0⇒xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A=yz

(x − y)(x − z)+ xz

(y − x)(y − z)+ xy

(z − x)(z− y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0≤ a , b , c , d ≤9, a ≠0 (0,25điểm)

Ta có: abcd=k2 (a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2

abcd=k2

abcd+1353=m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37

k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)

Bài (4 điểm) :

Vẽ hình (0,25điểm)

a) SHBC

SABC=

1

2 HA' BC

2 AA'.BC =HA'

AA' ;

(0,25điểm)

Tương tự: SHAB

SABC

=HC'

CC' ;

SHAC SABC

=HB'

BB'

(0,25điểm)

với k, m N, 31<k<m<100

(0,25điểm)

⇔ ⇔

hoặc

⇒

HAAA''+HB' BB' +

HC'

CC' = SHBC SABC

+SHAB

SABC

+SHAC

SABC

=1 (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC:

BIIC=AB AC;

AN NB=

AI BI ;

CM MA=

IC

AI (0,5điểm ) BIIC

AN

NB

CM

MA=

AB AC

AI BI

IC

AI=

AB AC

IC BI=1

⇒BI AN CM=BN IC AM

c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2

⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2

4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2

4BB’2 (AB+BC)2 – AC2

-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 AB+BC+CA¿2

¿ Ơ¿

¿

(0,25điểm)

Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC

⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC

Kết luận (0,25điểm)

*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu (0,5điểm ) (0,5điểm )

ĐỀ ỐS 3

Bài (4 điểm)

Cho biểu thức A = (1− x3 1− x − x):

1− x2

1− x − x2

+x3 với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị biểu thức A x ¿−12

3 c, Tìm giá trị x để A <

Bài (3 điểm)

Cho        

2 2 2 2 2

a b  b c  c a 4 a b c  ab ac bc 

Chứng minh a=b=c

Bài (3 điểm)

Giải toán cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số

Bài (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3+3a2−4a+5 Bài (3 điểm)

Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD

a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI

Bài (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N

a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh AB1 +

CD= MN

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.

Đáp án Bài 1( 4 điểm )

a, ( điểm )

Với x khác -1 : A= 1− x

3

− x+x2 1− x :

(1− x)(1+x)

(1+x)(1− x+x2)− x(1+x)

0,5đ

= (1− x)(1+x+x

2− x

) 1− x :

(1− x)(1+x) (1+x)(1−2x+x2)

0,5đ = (1+x2):

(1− x)

0,5đ

= (1+x2)(1− x) 0,5đ

Tại x = −12

3 = −

3 A =

−5

3¿

2

1+¿−[1−(−5 3)]

¿

0,25đ

= 3)

5 )( 25

(   0,25đ

¿34

9 3=

272 27 =10

2

27 0,5đ

c, (1điểm)

Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1− x)<0 (1) 0,25đ Vì 1+x2>0 với x nên (1) xảy 1− x<0 ⇔x>1

KL

0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để

a2+b2−2 ab+b2+c2−2 bc+c2+a2+2ac=4a2+4b2+4c2−4 ab−4 ac−4 bc

0,5đ Biến đổi để có (a2+b2−2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đ Biến đổi để có

a − c¿2=0

b −c¿2+¿

a− b¿2+¿ ¿

(*)

0,5đ

Vì a −b¿2≥0

¿ ;

b − c¿2≥0

¿ ;

a − c¿2≥0

¿ ; với a, b, c

nên (*) xảy a −b¿2=0

¿ ; b − c ¿2=0

¿ a − c ¿2=0

¿ ;

0,5đ 0,5đ

Từ suy a = b = c 0,5đ

Bài (3 điểm)

Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x x

+11 (x số nguyên khác -11)

0,5đ

Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số xx −7 +15 (x khác -15)

0,5đ

Theo ta có phương trình x x +11 =

x+15

x −7 0,5đ

Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ Từ tìm phân số −5

6 0,5đ

Bài (2 điểm)

Biến đổi để có A= a2(a2+2)−2a(a2+2)+(a2+2)+3

0,5đ = a −1¿2+3

(a2+2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)¿

0,5đ Vì a2+2>0 ∀a a −1¿

2≥0∀a

¿ nên

a −1¿2≥0∀a

(a2+2)¿

a −1¿2+3≥3∀a (a2+2)¿

0,5đ Dấu = xảy a −1=0 ⇔a=1 0,25đ

Bài (3 điểm)

a,(1 điểm)

Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ

Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)

Tính AD = 4√3

3 cm ; BD = 2AD = 8√3

3 cm AM = 12BD=¿ 4√3

3 cm

0,5đ

Tính NI = AM = 4√3 cm

0,5đ DC = BC = 8√3

3 cm , MN =

2DC=¿

4√3 cm

0,5đ Tính AI = 8√3

3 cm

0,5đ

Bài (5 điểm)

a, (1,5 điểm)

Lập luận để có OMAB =OD BD ,

ON AB =

OC

AC 0,5đ

Lập luận để có ODDB=OC

AC 0,5đ

⇒ OM

AB = ON

AB ⇒ OM = ON 0,5đ

b, (1,5 điểm)

Xét ΔABD để có OMAB =DM

AD (1), xét ΔADC để có OM DC =

AM

AD (2) Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB1 +

CD ) ¿

AM+DM AD =

AD AD=1

0,5đ

Chứng minh tương tự ON ( AB+

1

CD)=1 0,5đ

N

I M

D C

A B

O

N M

D C

từ có (OM + ON) ( AB+

1

CD)=2 ⇒ AB+

1 CD=

2

MN 0,5đ

b, (2 điểm)

SAOB SAOD

=OB OD ,

SBOC SDOC

=OB

OD ⇒

SAOB SAOD

=¿ SBOC

SDOC

⇒ SAOB.SDOC=SBOC.SAOD 0,5đ

Chứng minh SAOD=SBOC 0,5đ

⇒ SAOD¿

2

SAOB.SDOC=¿

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

0,5đ Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị

DT)