so phuc 2012

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo..[r]

(1)

SỐ PHỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Khái niệm số phức

Một biểu thức dạng z = a + bi, a b số thực i thỏa mãn i2 = -1 gọi số phức

a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu C

Số phức có phần ảo gọi số thực nên R⊂C

Số phức có phần thực gọi số ảo = + 0i số vừa thực vừa ảo Biểu diễn hình học

Số phức z = a + bi

(

a b R

)

u

( )

a b

x O

y

M (a,b)

Trục thực

Trục ảo VD Tìm phần thực vào ảo số phức sau :

a) Giải :

2

z= − + i i

b) z= −8 Giải : c) z= − 7i Giải : d) z=12 Giải : e) z= −2i Giải :

3 Hai số phức

a bi a' b'i

a = a'

(

, , ', '

)

b = b'

a b a b

R

⎧

+

=

+

⇔

⎨

∈

⎩

(

) (

a bi+ + a b i+ = a a+ + b b i+ '

)

9

9 a bi+ −

(

a b i

) (

a a

) (

b b i

)

9 Số đối z = a + bi – z = -a – bi Nhân hai số phức

(

) (

ba i

)

ắ a bi+ ì a b i'+ ' = aa bb'− ' + ab '

)

i

)

i

¾ k a bi

(

)

ka kbi k R

(

)

VD Thực hiện phép tính :

a)

(

i

)

(

i

) (

i

) (

b) =……… ………

……… ………

(

) (

(2)

i i

c)

(

)

……… ……… ………

(

)

3

2 3− i − −5

d) i2008+i2009+i2010= ……… ………

6 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp số phức z = a + bi

z a bi

= −

z z

' ' ;

' '

z z z z

z z =z z ⎛ ⎞⎜ ⎟= ; ⎝ ⎠

2

z z a= +b z số thực ⇔ =z z z số ảo ⇔ = −z z

VD Tìm số phức liên hợp : a) 3i+ Giải : b) 3− 7i Giải : c) 3i Giải : d) Gi3 ải :

7 Modul số phức Cho số phức z = a + bi

2 .

z = a +b = z z = OMuuuur z ≥ ∀ ∈0, z C; z = ⇔ =0 z ' '

z z = z z

' '

z z

z = z z − z' ≤ ±z z' ≤ +z z'

VD tính mơ dul số phức sau : a) 3i+ Giải : b) 3− 7i Giải : c) 5− 3i Giải : d) 4− 3i Giải : e) 7i Giải :

8 Chia hai số phức 1 2 2 2

.

z

z z

z

=

z z

=

2

z

nhân tử mẫu cho liên hợp phức z2

VD : a)

i i +

+ =………

b) =………

1

i i − −

−

c) =………

1−i

d) =………

1

i i + +

9 Phương trình bậc hai

( )

2 0 *

Az +Bz C+ = (A, B, C số phức cho trước, A≠0) Công thức nghiệm giống phương trình bậc tập số thực Nếu z0∈C nghiệm (*) z0 nghiệm (*)

(3)

0

0 a) x2+2x+ =5

Giải ……….………

……….……… b) x2−4x+17=

Giải ……….………

……….……… c) x2−3x+ =3

Giải ……….………

……….……… d) x2+ =4 0

Giải ……….………

……….……… e) z2+ + =z 5 0

Giải ……….………

……….………

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

Dạng tìm phần thực, phần ảo số phức

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo số phức

(

i

) (

i

)

Bài 3: (ĐH khối A 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết z=

(

i

) (

i

)

ĐS: Phần ảo số phức z bằng: −

Bài 4: (Cao đẳng 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

(

)

(

)

(

2 3− i z+ +4 i z= − +1 3i

)

z

Bài 5: (Cao đẳng 2009) Cho số phức z thỏa mãn

(

)

ảo z

(

)

(

)

2

1+i 2−i z= + + +8 i 2i Dạng tìm mơđun số phức

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn

(

)

3 3i z

1 i

− =

−

z iz

+

Giải: Ta có:

(

i

)

z i z

i i

−

= = − − ⇒ = − + −

(

)

4 4 8

z iz i i i i

⇒ + = − − + − + = − − Vậy z iz+ =8

Bài 2: Tìm mơđun số phức (1 )(2 ) ĐS:

i i z

i + − =

+ z =

Bài 3: Tìm mơđun số phức ĐS:

2 2

( )

x y i xy z

x y i xy + + =

− + z =1

(4)

ỏa mãn:

Bài 1: (ĐH Khối D - 2010) Tìm số phức z th z = số ảo

ìm số ph ỏa m

2

z

ĐS : + i; – i; -1 + i; -1 – i

(

)

z− +i = z z

Bài 2: (ĐH khối B - 2009) T ức z th ãn: = ĐS : số phức cần tìm là: z=3 4+ i z=5

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z2+ z =0

Giải: Gọi z = x + yi

(

x R y R

)

(

)

2 0 2 0

z + = ⇔z x yi+ + x +y = ⇔

(

x

y

x

y

)

xyi

2

x y x y

xy ⎧ − + + = ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪⎩ 2 0 0 x y y y x x ⎡⎧⎪ = ⎢⎨− + = ⎪ ⎢⎩ ⇔ ⎢ = ⎧⎪ ⎢⎨ ⎢ + =

(

)

(

)

x

y

x

(

)

0

x y

y y

x do x ⎡⎧ = ⎢⎪ =⎨⎡ ⎢ ⎢ ⎪ ⎢ = ⇔⎢⎩⎣ ⎢⎧⎪ = ⎢ 0, 0, 0, 0, x y x y x y x y ⎡ =⎡ = ⎢⎢ = = ⎢⎢ ⇔ ⎢⎢ =⎣ = − ⎢ = = ⎢⎣ ⎪⎩

⎣ ⎣⎪⎩ ⎢⎣⎪⎩⎨ = + >

Vậy số phức cần tìm là: z=0;z i z= ; = −i

Giải phương trình tập hợp số phức

i n

Bài 1: (Cao Đẳng - 2010) Giả phươ g trình z2− +

(

i z

)

i

Bài 2:(ĐH kh G

ợp số ph

ối A - 09) ọi z1 hai nghiz2 ệm phức phương trình z2+2z+10 0= Tính giá trị của biểu thức A= z12+ z2

Bài 3: (CĐ – 2009 ) Giải phương trình sau tập hợp số phức: 4z−3 7+ i z 2i z i = −

−

ĐS : Điều kiện: 1z≠ − ; Phương trình có hai nghiệm là: z= +1 2i z= +3 i Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức (Quỹ tích)

Bài 1: (Khối D- 2009) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn

điều kiện z− −

(

i

)

ĐS : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(3, -4), bán kính R =

Bài 2: (ĐH Khối B- 2010) Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i− =

(

i z

)

ĐS : Tập hợp điểm biểu diễn s

ài t

ậ

p T

ự

ố phức z đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R =

a) b)

B

Luy

ệ

n

Bài 1. Xác định phần thực phần ảo số phức:

3

z= − + i z=− 2i c) z=12 d) z=0

Bài 2. Biểu g tọa độ

3 − +3 i

diễn số phức sau mặt phẳn

2 3i+ −2i

Bài 3. Cho z=

(

a

) (

b

)

i

Bà biết:

,

a b R∈ Tìm số a, b để ố thực b) z số ảo

i 4. Tìm số thực x y,

a)

(

x

)

i

(

y

)

i

(

x

)

i

(

y

)

i

(

x

) (

y

)

i

(

x

y

) (

x

)

i

(5)

phức z thỏa mã trường hợp: )

Bài 6. Tìm số n

a z =2 z số ảo b) z =5 phần thực z hai lần phần ảo

7. Tính

Bài z z z z z+ ', − ', 'z với:

a) z= +5 , ' 3i z = + i b) z= −2 ,i z' 6= +4i

c) z= − −4 , ' 5i z = − i d) z= +1 i , 'z = − 2+ i

ện phép tín : b)

c phép tính sau

Bài 8. Thực hi h a)

( )

i

Bài 9. Thự :

2

(

)

2 3+ i

(

)

1+i +3i

A=

(

i

)(

i

)

i

5

i

B

8

i C

i − =

− − +

= +

Bài 10. Thực phép tính sau: a)

2 3−

i −

i b)

1

2

c) 2i

i −

d)

4

i i −

−

Bài 11. Cho

2

z= − + i Hãy tính 1, ,z z2 ,

( )

z

z z

z

Bài 12. Th

+

ực phép tính: a)

33 1+i ⎛ ⎞

7

2i⎜⎝ i ⎟⎠ ⎜⎝1− ⎟⎠

1

A= ⎛i − ⎞ b) B=

(

i

) (

i

)(

i

)

i

C

(

i

) (

i

) (

i

)

(

i

)

Bài 13. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp u

a) Phần thực z b) Phần ảo z thuộc khoảng

(

)

[

]

Bài 14. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: a)

z =2 b) z ≤3 c) z− +1 i =2 d) 2+ = −z i

Bà g trình sau tập hợp số phức:

a) )

(

i 15. Giải phươn

i b

2z+ = +3i 3− i z

) (

i

)

i

c)

(

i

)

i

i− + = −

)

i z i z

+ + = − d) z

2

Bài 16. Giải phương trình sau tập hợp số phức: +

a) z2+2z+ =5 0 b) z2−4z+20 0= c) −3z2+ − =z 5 0

f) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Giải phương trình

d) 4z2+ =9 e) z3 = 18 + 26i

Bài 17. sau tập hợp số phức:

a) z3− =8 0 b) z3+4z2+6z+ =3 0

c) z4− +z3 6z2−8z−16 0= d) z4−z2−12 0=

Bài 18. Tìm hai số phức biết tổng chúng tích chúng

Bài 19. Tìm nghịch đảo số phức z biết : a)z 4i b)z 4i

c)z 2i d)z 2i

= + = −

= − = +

−

i

Bài 20. Tìm hai số phức cho biết

2

z z

z z i

⎧ + = + ⎪

⎨

1+ = −

⎪⎩

Bài 21. Tìm hai số phức biết tổng i− tích i

( )

m c điều

â 1) |z +

Bài 22. Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn ột cá kiện sau đ y:

+ – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z –z

(6)

4) |z2 – z2| = 5) z = − +z 4i 6) z i

z i

− = +

ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: x 1;

2 x

= = −

ẳn 1±

2) hai đường th g song song với trục hoành y = 2

3) parabol y = x 4)

4 hai nhánh Hypecbol: xy = xy = –1

5) tập hợp điểm cần tìm đường thẳng có phương trình 6x+8y=25

6) tập hợp điểm cần tìm

GIỚI THI ỘT SỐĐỀ KIỂM TRA

Câu 1 (4 điểm) Thực phép tính sau: trục thực Ox

ỆU M

ĐỀ SỐ

a)

(

i

) (

i

) (

i

)

(

i

)

i

5 4i− 2+i

âu 2 (3 điểm).Tìm số phức z, biết

C z =2 phần ảo z hai lần phần thực

ĐỀ S 2 Câu 1 (4 điểm) Thực phép tính sau:

Câu 3 (3 điểm) Giải phương trình z4+z2− =3 0

Ố

a)

(

i

)(

i

)

i

3 2+ i

(

)(

)

3 4i 4i 3i

−

− +

(

i z

) (

)(

i

)

i

Câu 2 (3 điểm) Giải phương trình −i 1+

a chúng tích chúng

ĐỀ SỐ Câu 3 (3 điểm) Tìm hai số phức biết tổng củ

Câu 1 (2 điểm) Thực phép tính sau:

(

i

)(

i

)

3 2i −

−

đ Tìm mơđun số phức

)

Câu 2 (2 iểm)

(

i

)( ) (

i

Câu 3 (2điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

0

p điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng

(

)

(

)

1 3− i x y+ 2−i = −4 9i

Câu 4 (2 điểm) Giải phương trình sau tập số phức:

2 6 34

z − z+ =

Câu 5 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, h ợ

thức

ãy tìm tập h

2 z i+ =

ĐỀ Ố Câu 1 (1 điểm) Tìm số phức liên hợp z = (1 + i)(2 + 3i)

S

3 4+ i

Câu 2 (2 điểm) Tìm mođun số phức z = 2−i

Câu 3 (2 điểm) Chứng minh z =

(

i

)

điểm) Tìm m ặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i| =

điểm) Gi

Câu 4 (2 tập hợp điể m

Câu 5 (3 ải phương trình:

2z z+ = +3 i

a)

b) c)

2 5 0

z + + =z

2 (2 ) 4 2 0