Trong chương trình toán THCS có một mảng kiến thức đề cập đến rất nhiều đó là dạng toán Bất đẳng thức hình học. Để giúp các đồng chí lớp cuối cấp bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cuối cấp[r]
(1)Trong chương trình tốn THCS có mảng kiến thức đề cập đến nhiều dạng tốn Bất đẳng thức hình học Để giúp đồng chí lớp cuối cấp bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cuối cấp đông thời giúp học sinh làm quen với dạng tốn chương trình hình học lớp tơi hướng dẫn học sinh lớp làm quen với dạng toán chứng minh bất đẳng thức hình học “ nhằm mục đích phát triển tư lơ gíc cho học sinh
a) Phương pháp 1: Sử dụng quan hệ góc cạnh đối diện tam giác ( Thường chứng minh tam giác cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn )
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có Aˆ 900 Trên tia đối tia BA lấy điểm B/, Trên tia đối tia CA lấy điểm C/, khác B C Chứng minh : B!C!> BC ¿
Hướng dẫn : Tạo đoạn thẳng trung gian BC! Nối BC! Xét
CBC!có BCˆC góc ngồi tam giác ABC đỉnh C nên BCˆC>A>900
(2)+ Nối B!C!trong BB!C! có BBˆCtù BBˆCAˆACˆB900( góc
ngồi đỉnh B ABC!)B!C! >BC! Do dó B!C!> BC
* Nghiên cứu thêm lời giải trường hợp góc A nhỏ 900 tốn cịn khơng ?
Bài tốn : Cho ABC có Aˆ900 D trung điểm AB
Chứng minh : ACˆDDCˆB
Hướng dẫn : Đưa hai góc cần chứng minh tam giác
Trên tia đối tia DC lấy DE = DC ACD = BEDAC = BE ACˆDBEˆD Trong vng ABCcó BC
> AC BC > BE CEˆBDCˆB ACˆDDCˆB
Nghiên cứu toán với liệu : Cho ABC
có Aˆ900 CD trung tuyến Trên tia đơí tia DC lấy DE = CD
Chứng minh : BE < BC
Bài tốn : Cho ABC có BˆCˆ Tia phân giác góc A cắt BC D So sánh
độ dài đoạn thẳng BD CD
Hướng dẫn : Đưa hai đoạn thẳng vào tam giác
Vì Bˆ Cˆ ACAB , Trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho AE = AB
ABD = AED DE = BD Bˆ2 Eˆ2 Bˆ1 Eˆ1 ta có C
E C B C A
Bˆ1 ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ1 ˆ
Trong DEC có Eˆ1 Cˆ DC DEBDZ DCBD
(3)Bài toán : Cho ABC cân AB = AC Trên cạnh đáy BC lấy điểm D E cho BAˆDDAˆEEAˆC Gọi M trung điểm BC
a ) So sánh AB AD
b) Chứng minh : BD > DE Chứng minh :
a)ABC cân AB = AC AM trung tuyến nên AM vng góc với BC BAˆDBAˆM AD nằm AB AM D nằm B M BM > DM AB > AD
b) Vì BAˆDDAˆEAD phân giác BAˆE Ta
cóABD=ACE AD = AE mà AD < AB AE < AB Theo kết toán ta có BD > DE
Bài tốn : Cho ABCcó Cˆ Bˆ 900 M trung điểm cạnh BC Chứng
minh M khơng phải chân đường vng góc kẻ từ A đến BC tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM nhỏ BC
Chứng minh :
M chân đường vng góc kẻ từ A đến BC M khơng vng góc với BD Gọi SH ; CH khoảng cách từ B ; C đến AM Khi BM CM đường xiên BH < CM ; CK < MC BH+CK < BM + CM = BC Nghiên cứu tốn : Điểm M vị trí tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM đạt giá trị lớn ? Nhỏ ? Giả sử ABC có AB<AC
(4)Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức tam giác
Bài toán : Cho ABCcóAC>AB M trung điểm BC Chứng minh :
2 AC AB AM BC AC AB
Giải : * ) Trong ABM cóAB - BM < AM (1) Trong ACM cóAC - CM < AM (2)
Từ (1) (2) AB +AC –( BM + CM ) < AM + AM
AB + AC – BC < 2AM AM
BC AC AB
*) Trên tia đối tia MA lấy ME = MA ABM = ECM
AB = CE
Trong ACE có AE<AC+EC 2AM <AC +AB
AC AB AM
Vây 2 AC AB AM BC AC AB
Liên hệ : Nội dung tốn nội dung toán cách hỏi khác Như nội dung toán cho ta cách hỏi khác Bài toán : Cho ABC có điểm M nằm tam giác Chứng minh MB + MC < AB + AC
Chứn minh : Gọi giao điểm BM AC D Trong DMC có MC < MD + DC MC+MB <MB + MD + DC MB +
MC < BD + DC (1) Trong BAD có BD < AB + AD (2)
Từ (1) (2) ta có MB + MC < AB + AD+ DC = AB + AC
(5)Cho điểm M nằm ABC Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác nhỏ chu vi tam giác
Theo kết tốn ta có : MB + MC < AB + AC MB + MA < CA + CB MA + MC < AB + BC
( MA + MB + MC ) < (AB + AC+ BC )
MA + MB + MC < AB + AC+ BC * Một số tập tổng quát :
Bài toán : : Cho ABC với AB < AC , kẻ trung tuyến BB’ CC’
CMR: BB’ < CC’
Hướng dẫn giải.
Kẻ B’J//CC’ B’I//AB, B’H BC.
IB’ = BC’ = 1/2AB JB’ = CC’, C’B’= CJ = BI
CB’ = 1/2AC > 1/2AB = BC’ = IB’ HC > HI
BH = BI + IH < BI + HC = CJ + HC = HJ BB’ < JB’ = CC’. Bài tốn định lý: Trong đường trung tuyến tam giác, đường trung tuyến ứng với cạnh nhỏ lớn
Bài toán : ChoABC với AB > AC , kẻ AH BC ( H thuộc BC ) Các
đường phân giác góc B, góc C cắt AH thứ tự E, F CMR: BE > EF + FC
Hướng dẫn giải.
(6)
2 A
B C CAH BAH BAH
BAI BAH
I nằm B, E : BE = AI + IE Do I, C khác phía so với AH
IC = IF + FC
Cũng từ giả thiết : B C IBC ICB BI CI .
BE = BI + IE > IC + IE = (IF + FC ) + IE = FC + (IE + IF ) > FC + EF BE > EF + FC
Một câu hỏi đặt ra: tổng quát hoá toán?
Bài toán 10: Cho ABC với AB > AC , kẻ trung tuyến BM CN.
CMR: BM - CN < 3/2(AB - AC )
Hướng dẫn giải.
Giả sử BM, CN giao G
Do AB > AC cho nên: CAG BAG.
Dựng phía ngồi ABC cho:
AC = AF, CAG FAG
Vậy AG đường trung trực FC GF = GC.
Gọi giao GF AB E , tam giác: AEF BEG, ta có: AB + GF = (BE + EG ) + ( EF + EA ) > BG + AF
AB + GC > BG + AC AB - AC > BG - GC = 2/3(BM - CN) Vậy BM - CN <3/2(AB - AC )
(7)Hướng dẫn giải.
Trên AB lấy I cho: AI = AC AMC ANI (c-g-c)
IN = MC , AIC cân A AIC900
0
90 90
AIN BIN BN IN MC
(1).
Mặt khác tia NI nằm tia NM, NB NMK MNK KN KM
(2)
Từ (1)&(2) suy ra: BK + NK > MK + KC Hay : BK > (MK - NK ) + KC > KC
Bài toán 12 : Cho ABC cân A, BC lấy điểm D cho :
CD = 2BD CMR: CAD 2 BAD. Hướng dẫn giải.
Gọi M trung điểm DC
tia đối tia MA lấy E cho AM = ME :
3
( )
,
AMC EMD c g c E A AC DE
1
2
D B D C
AC AD DE AD
A E A
2 3
2
A A A A A
CAD BAD
Bài toán 13 : Kẻ ME AB MF, AC (E thuộc AB, F thuộc AC ) Dựng đường cao CK, BH tam giác CMR: CK ME MF BH .
Hướng dẫn giải.
(8)Kẻ MI BH I BH J( ), MIAB Nhận thấy MF = HI (1) Trong BMJ, B C BMJ
MJ <BJ BI > ME (2)
Từ (1)&(2) ME + MF < IH + IB = BH Tương tự: CK < ME + MF
Bài tốn 14 : Cho góc xOy, tìm điểm M thuộc miền góc sao cho: MK < MH ( K, H thứ tự hình chiếu M xuống tia Ox, Oy)
Hướng dẫn giải.
Kẻ MN//Oz, NI MH (N thuộc Ox, I thuộc MH)
NM tia phân giác KNI
MIN MKN MI MK
Do I nằm điểm H M: MH = MI + HI > MI = MK
Vậy điểm M thuộc góc xOz MH > MK
Từ tốn giải tốn sau đây:
BT1: Cho ABC tìm tập hợp điểm M tam giác cho:
MA < MB < MC
BT2: Tìm tập hợp điểm M ABC cho: MK < MH < MI