Bài tập tổng hợp Toán 11 có đáp án (Phần 3)

Ta thấy các giá trị A k là phân biệt... Hướng dẫn giải.[r]

BÀI TẬP TOÁN 11 Câu 1. Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn A B C

   

Tính góc tam giác biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P2cos 4C4 cos 2Ccos 2Acos 2B.

Hướng dẫn giải Ta có

1 cos

3 2

A B C     C    C

     

cos 2Acos 2B2cos A B cos A B 2cocCcos A B 2cosC (3) ( Do cosC0 cosA B  1)

Dấu (3) xảy A B C  

Từ    

2

2

4 cos 2 cos 1 2cos

P C   C   C

 

 

 

2

8cos C cos C cosC

  

 2  

4 2

16cos C 8cos C  1 cosC 4 4cos C1  2cos C  44

(4) Dấu (4) xảy C

 

Vậy P đạt giá trị nhỏ A B C

   

Câu 2. Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a2b2c2 1.Tìm giá trị nhỏ biếu thức:

2 2 2

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

b c a c a b

A

b c a c a b

  

  

      .

Hướng dẫn giải

2 2 2

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

b c a c a b

A

b c a c a b

  

  

      =

2 2 2

3 2( )

2 1 2 1 2 1

a bc b ac c ab

a b c

  

   

  

Đặt

2 2 2

2 1 2 1 2 1

a bc b ac c ab

B

a b c

  

  

   , đóA 3 2B. Ta có đẳng thức sau:

2 2 2

(a  bc b c)(  ) ( b  ac a c)(  ) ( c  ab a b)(  ) 0 (*)

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2

( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )

a bc b c b ac a c c ab a b

B

a b c b a c c a b

     

  

     

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1

2 2 2

( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )

a bc b c b ac a c c ab a b

a b c b a c c a b

       

 

     

Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho dãy đơn điệu chiều đẳng thức (*) ta có

0

B  A3.

Kết Luận : Min A3 a b c  

1 .

Câu 3. Chứng minh với số số thực dương a b c, , , ta có

     

2 2 2 3 1 1 1

a b c  abc  a b c . Hướng dẫn giải

Đặt f a b c , ,  a2b2c2abc 2 a b c ab bc ca     Ta phải chứng minh tất giá trị f không âm

Nếu a b c, , 3 hiển nhiên

Ta giả sử a3 đặt b c m 

Khi đó:

       

2

3

, , , ,

4

a b c f a b c  f a m m    

Ta phải chứng minh: f a m m , , 0, điều

a 1m2 2a 1m a2 a 1 0

      

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, biệt thức

   2

4 1

m a a

    

Câu 4. Cho a b c, , số thực dương thay đổi thỏa mãn a2b2c2 6, tìm giá trị nhỏ của

biểu thức

2

a b c

P

bc ca ab   

Câu 5. Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx  1 Chứng minh :

2 2

2 2

1 1 21

2

1 1

x y z

x y z

x  y  z    

   .

Câu 6. Cho đa thức f x  a sinx a sin x1  2 a sin nxn   với ai, n N *, biết

   

f x sin nx

,  x  Chứng minh | a1 + 2a2 +…+ nan | ≤ n. Hướng dẫn giải

+) f x’  a cosx1 2a cos x2 2 na cos nxn  , f’ 0  a12a2nan (1)

+) Do f’ 0   lim0 lim0

(0)

x x

f(x)- f f(x)

x  x

  

Vì f’ 0  =|xlim0

f(x) x

 |≤

lim lim

0

f(x) x

x x

| f(x)| | x | 

  ≤

lim

sin( )

x

| nx | n | x | 



+) Từ    1 , điều phải chứng minh

Câu 7. Cho 0a1a2  an 2n số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ hai số

bất kì chúng lớn 2n Chứng minh

3 n a   

  ( x kí hiệu phần nguyên số thực x)

Hướng dẫn giải

Cho 0a1a2  an 2n số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ hai số

bất kì chúng lớn Chứng minh

3 n a   

  ( x kí hiệu phần nguyên số thực x )

Rõ ràng, số không tồn cặp số mà số chia hết cho số (vì trái lại bội chung nhỏ chúng nhỏ ) Ta viết ak 2tkAk với Ak số

lẻ Ta thấy giá trị Ak phân biệt Thật vậy, tồn Ai Aj A thì

 

lcm , 2ti

i j i

a a  A a  n

lcm ,  2 j

t

i j j

a a  A a  n

mâu thuẫn với giả thiết Mặt khác từ đến ta có n số lẻ phân biệt Do giá trị Ak số lẻ từ đến

theo thứ tự Xét 21

t

a  A.

Nếu

3 n a  

  3 31

t

a  A  n A  n Do 3A1 số lẻ nhỏ , tức là

1

3A Aj đó.

Như

j

t j

a  A Khi  

1 1

lcm , 3t

j

a a  A  a  n

mâu thuẫn với giả thiết

 

lcm , 3tj

j j

a a  A a  n

, mâu thuẫn với điều giả sử Vậy điều giả sử sai, tức ta có

2

n a   

  .

Câu 8. Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

3 3 3 ( 2) ( 2) ( 2).

a b c  abc a b c b c a c a b Câu 9. Chứng minh rằng:  x y z, ,   thì: x2y2z2  2(xy xz )

Câu 10. Cho x y z, , R Chứng minh rằng: 2

1 1

x y y z z x

xy z yz x zx y x y z

  

    

  

Câu 11. Cho a b c, , 0 a b c  6 Chứng minh rằng: 3

2

1 1

a b c

b   c   a   . Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức:

5

5

a a

P

a a

   

    a tham số

thực

5

1

Câu 13. Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3

a b c

b c  c a  a b 

Câu 14. Cho a b c, , ba số dương thoả mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

33 1 33 1 33 1.

P a  b  c Câu 15. Cho a b c, , ba số dương Chứng minh rằng:

3 3

3 ( )3 ( )3 ( )3

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Câu 16. Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn

1

(3 + + c)( + + ) = 2014a b

a b c Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: P =

2

2 1002 72

b c a c

a

  

.

Hướng dẫn giải Đặt b ax c ay x y ,  , , 0

Giả thiết  

2

3 2x y (1 )

x y    

2014

 2004

3 9

2 2

x x x x y

y

y x y y x

      

≥

3 2

x x

y 

18

 

3

3972

x x

y  



3972y x

y +3 

Có Px2y1002 72y2 ≤

3972y

y +3 +2y1002 72y2 = f y 

Xét hàm số f y  vớiy0, ta có f y’  =

2 2

11816 1002

2

( 3) 72

y

y +   y

và

 

’’

f y =

3 2

11816.3 1002.72 (y +3) 72 y

 

 < ,

y0  f y’  đồng biến (0;) Ta có f’ 3  0 Lập bảng biến thiên suy GTLN củaPf 3 7026 Câu 17. Chứng minh rằng:

3

1 1

( )( )( )

2

a b c abc

a b b c c a abc a a b b c c a

  

   

       với a, b,c 0 . Câu 18. Cho số dương a b c, , thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức:

3 3

bc ca ab

P

a bc b ca c ab

   

   .

Câu 19. Cho a b c, , 0 abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

     

2 2

1 1

P

a b c b a c c b a

  

   .

Câu 20. Cho x  y z khơng có hai số đồng thời bằng0 Tìm giá trị nhỏ

2 2 2

2 2 2

x z y z z xy

P

y z x z x y

  

  

   .

Ta có

2 2 2

2 2 2

x z y z z xy

P

y z x z x y

  

  

  

Xét hàm

1

( ) ;

f t t t

t

  

, dễ thấy f t  đồng biến 1; Do x  y z y0 dễ có

2

2

x z x

y z y



 

 .

Suy

2 2 2

2 2 2

x z x x z y z x y

f f

y z y y z x z y x

      

    

   

    

 

Vậy 2

x y xy

P

y x x y

  

 ,  1 Đặt

( 1) x

t t

y

 

, ta

1 t P t

t t   

 .

Xét hàm

1

( ) ,

1 t

g t t t

t t

   

 , ta có

 

4

2

2 4 4 4 4

1 1

'( ) 1

( 1) ( 1)

t t

g t t

t t t t t t

 

 

       

     

Với t1 dễ thấy g t'( ) 0 , suy hàm g(t) đồng biến 1; Suy

1

( ) (1) 2

2

g t g    P  Đẳng thức xảy xy z; 0 Vậy

1

min

2

P  Câu 21. Cho a b c, , số dương thỏa mãn

1 1

a b c

a b c     Chứng minh

 2  2  2

1 1

16 2a b c   a2b c  a b 2c 

Hướng dẫn giải

Ta có        

2

1 1

(1)

2a b c   a b a c    a b a c 

Tương tự        

 

2

1 1

2

2 b a b c

a b c  b a b c     

       

2

1 1

(3)

2 c a c b

a b  c  c a c b     

Cộng      1 , , theo vế ta có

     

2

a b c VT

a b b c c a  



  

Ta cần chứng minh      

3

2 16

a b c VT

a b b c c a  

 

Trước hết ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:

+ Mọi số dươnga b c, , : 9a b b c c a        8a b c ab bc ca       Thật bất đẳng thức tương đương với

2 2 2

6

a b ab a c ac b c bc  abc (Đúng)

+ Mọi số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện ta ln có: ab bc ca  3

Từ giả thiết:

1 1

( )

a b c ab bc ca abc a b c a b c          

Và từ bất đẳng thức quen thuộc

 

   

2 2

2

3 3

3

ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca abc a b c

ab bc ca

    

     

   

Ta có        

9

2 16 16

a b c VT

a b b c c a ab bc ca

 

  

    

Dấu đẳng thức xảy khia b c  1.

Câu 22. Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn ac12 bc8. Tìm giá trị nhỏ có thể

được biểu thức

1 1

2 D a b c

ab bc ca abc

 

        

 

Câu 23. Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn ac12 bc8. Tìm giá trị nhỏ có thể

được biểu thức

1 1

2 D a b c

ab bc ca abc

 

        

 

Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

3

6

3 · · 3,

3

a b a b

ab ab

   

dấu “=” xảy

6 a b

ab  

, (1)

3

8

3 · · 3,

2 4

b c b c

bc bc

   

dấu “=” xảy

8 b c

bc  

, (2)

3

12 12

3 · · 3,

4

c a c a

ca ca

   

dấu “=” xảy

12 c a

ca  

, (3)

4

24 24

4 · · · 4,

3 4

a b c a b c

abc abc

    

dấu “=” xảy

24

3

a b c

abc   

, (4) (1) (2) (3) (4)       

6 32 84 24

3 a b c 40

ab bc ca abc       

hay

26 78

3D 40

bc ca   

Mặt khác, từ giả thiết suy

1

12 ca 

1

bc Do đó

1 13 117 121

40 26 78 39

4 12 12

D D D D

bc ca

Vậy, giá trị nhỏ biểu thức D 121

,

12 đạt a3,b2, c4

Câu 24. Cho x,y,z số thực dương thoả mãn:x y z  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1 1

x y z

P

xy yz zx

  

   .

Câu 25. Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2 c2 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3

2 3

a b c

P

b c c a a b

  

   .

Hướng dẫn giải Câu 26. Chứng minh bất đẳng thức sau:

2 2 2

x y z x y z

y  z x  y z x. Hướng dẫn giải

Câu 27. Chứng minh:

2 1

3 1001 1002   2000 4 Hướng dẫn giải

Câu 28. Cho a,b,c ba số dương vàa b c  3 Chứng minh rằng:

33a5b33b5c3 3c5a 6 .

Hướng dẫn giải

33 5 3(3 5 )8.8 8

4

a b

a b a b    

Tương tự cộng vế theo vế ta điều cần chứng minh

Câu 29. Cho x y z, , số dương thỏa mãn x y z  1 Chứng minh

1

36