Giup HS hoc tot phan Gioi han HS

Học sinh nắm rõ các định nghĩa, các công thức tính giới hạn đã học Học sinh nắm rõ các phương pháp đã học.. Phương pháp tìm giới hạn dãy số.6[r]

MỤC LỤC

STT Nội Dung Trang

1 Mục lục

2 Phần thứ nhất: Mở Đầu

3 Lý chọn đề tài

4 Mục đích nghiên cứu

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

6 Đối tượng nghiên cứu

7 Phương pháp nghiên cứu

8 Thời gian nghiên cứu

9 Phần thứ hai: Nội dung

10 Phần I: Giới hạn dãy số

11 A Kiến thức

12 B Phương pháp giải tốn

13 C Các ví dụ

14 Bài tập tự giải

15 Phần II: Giới hạn hàm số

16 A Kiến thức

17 B Phương pháp giải tốn

18 C Các ví dụ

19 Bài tập tự giải 12

20 Phần III: Hàm số liên tục 15

21 A Kiến thức 15

22 B Phương pháp giải tốn 16

23 C Các ví dụ 17

24 Bài tập tự giải 21

25 Phần ba: Kết luận 24

Phần thứ nhất: Mở Đầu 1 Lý chọn đề tài :

I Lý pháp chế:

- Căn vào yêu cầu mục tiêu hệ thống giáo dục bậc học phổ thông - Căn vào tình hình học tập học sinh trung học phổ thông việc học tâp môn Đại số Giải tích

II Cơ sở lý luận:

Kinh nghiệm giảng dạy thân học hỏi số giáo viên khác III Cơ sở thục tiễn:

Những thuận lợi khó khăn q trình giảng dạy mơn Đại số Giải tích phần giới hạn

2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: I Nhiệm vụ:

Những nội dung phần giới hạn: - Giới hạn dãy số

- Giới hạn hàm số

- Hàm số liên tục hàm số II Yêu cầu:

Học sinh nắm rõ định nghĩa, công thức tính giới hạn học Học sinh nắm rõ phương pháp học

Phương pháp tìm giới hạn hàm số

Phương pháp xét tính liên tục hàm số chứng minh phương trình có nghiệm Áp dụng để giải tập

4 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 11 bậc trug học phổ thông 5 Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo tài liệu, mạng internet

- Thạm gia đầy đủ lớp học bồi dưỡng Sở tổ chức, buổi sinh hoạt HĐBM, tổ chuyên môn

6 Thời gian nghiên cứu:

Trong suốt q trình phân cơng giảng dạy khối 11 bậc trung học phổ thông Phần thứ hai: Nội Dung

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1 Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu:

 

lim un hay un n +

n     

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực (n ), nlim un  a 0 Kí hiệu:

  n

lim n hay u n +

n  u a  a  

 Chú ý: nlim  un lim un 2 Một vài giới hạn đặc biệt.

a)

* k

1 1

lim 0 , lim 0 , n

n 

   

b) lim  n

q 

với q 1

c) Lim(un)=c (c số) => Lim(un)=limc=c 3. Một số định lý giới hạn dãy số

a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) (wn) có :

* n

v un wn n   và

     n

lim vn lim wn a  lim u a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

          

lim un vn lim un lim vn a b

 

lim u vn n lim limun vn a b

 

   

* n

lim

lim , v 0 n ; 0

lim

n n

n n

u

u a b

v  v b    

   

lim un  lim un  a u , n 0 ,a 0

4 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q 1

1

lim lim

1

n

u S

q

  5 Dãy số dần tới vô cực:

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vơ cực un   n dần tới vơ cực n  un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim(un)= hay un   n 

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn   n  limun .Ký hiệu: lim(un)=  hay un   n 

c) Định lý:

o Nếu :    

* n

lim un 0 u 0 , n  

1 lim

n

u 

o Nếu : lim un 

1

lim 0

n

u 

1. Giới hạn dãy số (un) với

   

n

P n u

Q n



với P,Q đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P a0, hệ số cao Q b0 rút

nk đơn giản đến kết quả:   0

lim un a

b



o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, rút nk đơn giản đến kết : lim(u n)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk đơn giản đến kết : lim(u

n)=

2. Giới hạn dãy số dạng:

   

n

f n u

g n



, f g biển thức chứa căn.

o Rút nk đơn giản đến kết với k chọn thích hợp. o Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp

C CÁC VÍ DỤ:

1

2

2 2 2

2

2

2 2

2 5 2 5

n 3 + + 3+ +

n

3n + 2n + 5 n n n 3

lim = lim lim =

1 8 7

7n + n - 8 1 8 7 +

-n +

-n -n n n

 

 

 

 

 

 

2

2

2 2

1 1

1+ + 4 1+ + 4

n

n + + 4n n 1+ 4 5

lim = lim = lim = =

2

3n - 2 3 - 2 3 - 3 3

n n

 

 

 

 

 

 

 

n n

    

2 2

2 2

2

2 2

n + 2n + - n n + 2n + + n n + 2n + - n

lim n + 2n + - n = lim = lim

n + 2n + + n n + 2n + + n

2

2 2

3 3

n + 2 +

2n + 3 n 2

= lim = lim = lim = = 1

1+ 1

2 3

n + 2n + + n n 1+ +2 3 + 1 1+ + +1

n n

n n

 

 

 

 

 

 

 

n

Chú ý : n + 2n + + n2 là biểu thức liên hợp của n + 2n + - n2

a 2 7n -3 Lim n n     

  b

2 2n Lim n     

 . c

1 Lim n     

  d

3n Lim 2n        Bài giải: a

n n

Lim Lim Lim

1

n n 1 1

n n                         . b 2 2 2n

Lim Lim

2 1 n n n           . c 2 2 2 1 n

1 n n

Lim Lim Lim

1

n n 1 1

n n                                    d

3n 3n 3

Lim Lim Lim

1

2n n 2 2

n n                  

Bài Tính giới hạn sau:

a 3n-1 Lim 2n     

  b

2

n n

Lim

2n n n

   

 

   

  c

2n n Lim

n n

           d        

1

Lim

3

n n n n     e 2 7n -3 Lim n n     

  f

3

6n -2n Lim

2n n

  

 

 

 

Bài Tính giới hạn:

a  

2

Lim n   n n

b Lim n n      

  c

3 Lim 3.4 n n n n         Bài giải.           2 2 2

n n n n n n n 1

Lim n n n Lim Lim

n n n n n n

1

n 1

1

n n

Lim Lim

2

1 1

n 1 1

n n n n

a            

     

 

2

2

2

n n n n n n n

Lim n n n Lim Lim

n n n

n n n

n 1

Lim Lim

2

1

n 1 1

n n

b        

   

  

   

   

   

   

BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Tính giới hạn sau:

2 2 3 2

2 2 3

5 3 2 3 2

5 2 2

2 2 3 2

3 4 4 2

3n +5n+4 6 + 3n - n 2n - 4n +3n+7

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

2 - n 3n + 5 n -7n+ 5

2n - 6n+ 9 2n 1- 5n n 3n

4)lim ; 5)lim + ; 6)lim - ;

1- 3n 2n +3 5n+1 n +1 3n+1

n - n+3 -2n + n+ 2 n - n sinn - 1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

n +3n 3n +5 2n - n +7

10)

   

   

   

2

2

(2 1)( 2) 5

17) ; 18) ;

2 (5 2)( 4) ( )(2 1)

19)

2 2 4

2 4 2

2 6 2

2 6 5

2

1+ 4n+ 9n 2n - n+ 4 n - 2n+3

lim ; 11)lim ; 12)lim ;

1- 2n 2n - n +1 -2n + 3

2n - 1 n +3n - 3 4n - 1

13)lim ; 14)lim ; 15) lim ;

1- 3n 2n + n - 2 n+1

n n - 1 n n n n

16)lim ; lim lim

3n + 2 n n n n

n n n

lim n

   

   

 

2

3 2 2

2 3 3

2

; 20) ; 21) ;

3

1 3

22) ; 23) ; 24)

2 27 3

n n n n

lim lim

n n n n n

n n n n n n n

lim lim lim

n n n n n

  

     

       

    

Bài Tính giới hạn:

 

 

     

2 2 2 2

2

2 2 2 2

3 3 2 3 2 3

3n +1 - n - 1 2n +1 - n +1

1)lim n + n - n ; 2)lim ; 3)lim ;

n n+1

4)lim n +1 - n - ; 5)lim( n + n - n +1 ); 7)lim n - 1( n+2 - n ); 1

7)lim ; 8)lim n - 2n - n ; 9)lim n - n + n

n n+1 - n - 1

PHẦN II GIỚI HẠN HÀM SỐ: A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xnK xn a ,

*

n

   mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:  

lim

2 Một số định lý giới hạn hàm số:

a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn nhất.

b Định lý 2:Nếu giới hạn:      

     

   

lim , lim

x a f x L x a g x M thì:

       

  

          

     

lim lim lim

x a f x g x x a f x x a g x L M

       

  

       

     

lim . lim .lim .

x a f x g x x a f x x a g x L M

   

   

 



 

 

  

 

 

lim

lim , M 0

lim

x a x a

x a

f x

f x L

M

g x g x

     

 

 

     

lim lim ; 0, 0

x a f x x a f x L f x L

c) Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x)  x K x a,  và

     

lim lim lim

x a g x  x a h x   L x a  f x  L 2 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu:  

lim

x a  f x  

b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) =  có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu:limx  f x   L

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a *

n

   , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu :x alim  f x 

Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a

*

n

   ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: x alim   f x 

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN:

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau:

1 Giới hạn hàm số dạng:

   

0

lim

0

x a

f x g x



Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2. Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp

2 Giới hạn hàm số dạng:

   

lim

x

f x g x

 

     

Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x  coi x>0, x   coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn.

3 Giới hạn hàm số dạng:        

  

 

lim . 0.

x f x g x

Ta biến đổi dạng:      

4 Giới hạn hàm số dạng: limx  f x  g x  - 

    

 

Đưa dạng:

   

   

lim

x

f x g x

f x g x

 

 

C CÁC VÍ DỤ:

1.

   

  2 2

x -2

-2 - -2 + 2

x - 3x + 2 12

lim = = - = -3

x - 2 -2 - 2 4



2.

   

 

2

x 2 x 2 x 2

x - x - 1 x - 3x + 2

lim = lim = lim x - = - 1= 1

x - 2 x - 2

   .Chia tử mẫu cho (x-2).

3.

   

   

  

 2 

x 3 x 3 x 3

x +1 - 2 x +1 + 2 3x + 3 x +1 - 4 3x + 3 x +1 - 2

lim = lim = lim

3x - 3 3x - 3 x +1 + 2 3x + 3 3x - 3 x +1 + 2

   

1 2

Bài Tính giới hạn sau: (Tính trực tiếp)

a

Lim

x →2(2x+3)

b

Lim

x →−2

(2x3+3x+4)

c

2 2 x -1

2x + 3x+1 Lim

-x + 4x + 2 

 

 

d Lim

x →3(

x −3

x2−9) e x →−Lim3(

x+3

x2−9)

Bài giải.

a Lim

x →2(2x+3)=2 2+3=7

b      

3 3

x -2Lim 2x + 3x + = -2 + -2 + = -6 c Lim

x →−1(

2x2

+3x+1

− x2+4x+2)=

2 (−1)2+3 (−1)+1 −(−1)2+4(−1)+2 =

0 −3=0

d Lim

x →3(

x −3

x2−9)=Limx →3

x −3

(x −3) (x+3)=Limx →3

x+3=

1 e Lim

x →−3(

x+3

x2−9)=Limx→ −3

x+3

(x −3) (x+3)=x → −Lim3

1 x −3=−

1

Bài Tính giới hạn sau: (dạng 00 nhân chia lượng liên hợp)

a Limx →0(

4x

√9+x −3) b x 0

1+ 2x - 1

lim( )

2x

 c Lim

x →2(

❑

√2x −2 x −2 )

Bài gải.

 

   

 

x x

x

4x x x

4x

Lim Lim Lim 24

1

9 x x x

a

 



   

 

  

 

     

 

   

     

x x x

x

1 2x 1 2x

1 2x 2x 1

b Lim Lim Lim Lim

2x  2x 2x 1  2x 2x 1  1 2x 1



   

   

   

 

       

 

   

       

x x x

x

2x 2x

2x 2x

c Lim Lim Lim Lim

x  x 2 2x 2  x 2 2x 2  2x 2



 

   

   

 

       

 

Bài Tính giới hạn sau: ( Dạng 00 chia đa thức)

a Lim

x →3(

x2+2x −15

x −3 ) b x →−Lim1(

2x2

+3x+1

Bài giải. a Lim

x →3(

x2+2x −15

x −3 )=Limx →3

(x+5)(x −3)

(x −3) =Limx →3(x+5)=3+5=8

b

 

     

2 2

x -1 x -1 x -1

1 1

2 x +1 x + 2 x +

2x + 3x +1 2 2 -1 1

Lim = Lim = Lim = =

x +1 x - 1 x - 1 -2 2

x - 1

                    

Bài Tính giới hạn sau: (Dạng ∞∞ đưa x mũ lớn tử mẫu làm nhân tử chung (rút nhân tử chung sau chia tử mẫu cho x mũ lớn nhất)

a x →− ∞Lim(

3x-1

2x+1) b 

           

 2x x x

3 x 2 x Lim 2 2 x

c x →Lim+∞(

2x√x+3

x2+x+1)

d

  

3 2 3

1 Lim     

 x x

x x

x . e 

      

 x

3 -7x Lim 2 x x

f 

          

 2x

1 2x -6x Lim 3 x x Bài giải. a

x x x

1

x 3

3x-1 x x

Lim Lim Lim

1

2x x 2 2

x x                                               b

2

2

2

2

x x x

2 x 3

x 1

x x x

x x

Lim Lim Lim

2

2x x x x 1

x 2

x x x

x x                                                      c 2 2 2

x x x

2 x 3

x

x x x

2x x

Lim Lim Lim

1 1

x x x 1 1

x x x x

x                                                   d         2

x x x

1 1

x 2

x 2x x x x x 1.2

Lim Lim Lim

2 3

3x x x 3 1 3 1 3.1

x x x x

e

2

2

2

2

x x x

3

x 7

7x -3x x x

Lim Lim Lim

2

x x 1 1

x x

        

   

 

   

     

  

 

    

   

   

   

f

3

3 3

3

3

2 3

x x x

2

x 6

6x -2x x x x x

Lim Lim Lim

1 1

2x x x 2 2

x x x x

        

   

   

   

      

  

 

     

     

   

   

BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính gới hạn

Bài 1: (Tính trực tiếp)

1

2 x -1

lim(x + 2x +1)

 lim(x+ x +1)x 1  

2 x 3

lim - 4x



4 x 1

x+1 lim

2x - 1

 ;

2 5 x -1

x + x+1 lim

2x +3



Bài 2: (Tính giới hạn dạng

0

0của hàm phân thức đại số)

 

   

3

2 2

2 2

x 1 x 3 x 2

4 2

2 3

x 1 x 1 x 1

3 3 3 2

3 2

x 0 h 0 x 1

3 2

2 x 2

x - 1 x - 3 x - 3x+ 2

1)lim ; 2)lim ; )lim ;

x - 1 x + 2x - 15 x - 2

x - 1 x - x 1 3

4)lim ; 5)lim ; 6)lim - ;

x + 2x - 3 x - 1 1- x 1- x

x - + 8 2 x+ h - 2x 2x - 3x +1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x h x - x - x+1

x + x - 2x - 8 10)lim

x

-  

  

  



 

 

 

3 2 3

2 1 2

x 3 x

2

x - 4x +4x - 3 8x - 1

; 11)lim ; 12)lim ;

3x + 2  x - 3x  6x - 5x+1

Bài 3: (Tìm giới hạn dạng

0

2

x 0 x 1 x 7

2 2

2 2

x 1 x 6 x 3

2 3 2

2 2

x 2 x 0 x 1

x 1

x+4 - 2 x+3 - 2 2 - x - 2

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x x - 1 x - 49

x - 2x - 1 x - - 2 x - 2x+6 - x + 2x - 6

4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;

x - 12x+11 x - 6 x - 4x+ 3

x +5 - 3 x +1 - 1 -x + 2x - 1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x - 2 x + x x - x

2x - - x

10)lim ;

x - 1

  

  

  

 x 0   x 2

2 2

x 0 x 1 x 2

x 1 x 1 x 3

1 x+ - 2

11)lim 1+ x - 1- x ; 12)lim ;

x x+7 - 3

x+1 - 1 4 - x - 2 x+ - 2x

13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;

3 - 2x+9 9 - x - 3 x - - - x

2x+ - 3x+1 4x+5 - 3x+5 x+1 - 3x - 5

16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;

x - 1 x+3 - 2 2x+3 - x+6

 

  

  

Bài 4: (Tìm giới hạn dạng

0

0 hàm phân thức đại số chứa thức bậc ba

bậc cao)

3 3 3

x 2 x 0 x 1

3 3 3 3 3

3

x 1 x 1 x 0

2

3 3

3

x -1 x 8 x 0

3 x 1

4x - 2 1- x -1 2x - - 1

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x - 2 x x - 1

x - 1 2x - - x x - + x+1

4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;

x - +1 x -1 2x+1 - x+1

x + x + x+1 9+ 2x - 5 5x+1 - 1

7) lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x+1 x - 2 x

4x - - 1

10)lim ; 11)li

x - 1

  

  

  



3 3

x 1 x 1

4x - - 1 2 - x - 1

m ; 12)lim

x - 1 x - 1

 

Bài 5: (Tính giới hạn dạng

0

0 hàm số sử dụng phương pháp gọi số vắng)

3 x

3x x

lim

x x

3

3 2

3 3

2

x 0 x 1 x 1

2 3

2 2

3

x 1 x 0

2 1+ x - - x 2 - x - x +7 2x+ - 7x+1

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x x - 1 x - 1

2x - 1+ x - 3x+1 1- 2x - 1+3x

4)lim ; 5) ; 6)lim .

x x - + x - x+1

  



 

  

 

Bài 6: (Tính giới hạn dạng 

  

   

   

2

5 3 2 2

5 4 2 2 2

x + x x

2 3 2 2

2 2 2

x + x + x

2 x

2x -1 3x + x+1

-6x +7x - 4x+3 x+ x +2 3x

1) lim ; 2) lim ; 3) lim - ;

8x - 5x +2x -1 8x +5x+2 2x+1 4x

2x - 4x+7 x+ x +1 x+ x + x

4) lim ; ) lim ; ) lim ;

3x +1 10x +9 2x+ x+1 3x - x +1

4x -1

7) lim ; ) lim

4x +3                           2 2 x x

2x + x -1 5x+3 1- x

; ) lim ;

1- x x x -1

      Bài 7: (Tính giới hạn dạng    hàm số)

     

     

     

 

2 2

x + x + x

2 2 2

x + x x

3

2 2 3 2 2

x x +

x +

3 3 2

x + x

1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x +1+ x -1 ; 4) lim 3x + x+1 - x ; 5) lim 3x + x+1+ x ; 6) lim 2x +1+ x ;

7)lim x + x - x +4 ; 8) lim x +1 - x ; 9) lim x +2x+4 - x - 2x+4 ; 10) lim x +3x - x - 2x ; 11) lim

                             2 2 x +

x 4x +9 +2x ; 12) lim x x +1 - x

   

Bài 8: (Giới hạn bên)

             + - -+ + + -+ 2 2 2

x 0 x 2 x 3

2

5 4

x -1 x -2 x -2

2 2 2

2 x 2

x -1 x -1

3 2 x 1

x+ x 4 - x x -7x+12

1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;

x - x 2 - x 9 - x

3x+6 3x+6

x +3x+ 2

4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;

x+ 2 x+ 2

x + x

x +3x+ 2 x +3x+ 2 x - 4

7) lim ; 8) lim ; 9) lim ;

x+1 x+1 x +1 - x

x - 1

10) lim ; 11)

x - 1

          -2 2

2 3 x -3

x 1

1- x + x - 1 9 - x

lim ; 12) lim

2x +7x+3

x - x 



Bài 9: (Tính giới hạn dạng 0. hàm số)

 

     

   

+ +

3

2 2 x + 3

x 2 x -1

3

3 3 5 2

x - x + x

-x x x -1

1) lim x - 2 ; 2) lim x +1 ; 3) lim x+2 ;

x - 4 x -1 x + x

2x+1 3x+1 2x + x

4) lim x+1 ; 5) lim 1- 2x ; 6) lim x .

x + x+2 x +1 x - x +3

 

 

     

Bài 10: Gọi d hàm dấu:

          

1 x d x x x

Tìm xlim d x , lim d x vµ lim d x0   x0   x0   (nếu có)

Bài 11: Cho hàm số

 

 

 

3

2

x x< -1 f x

2x x 1

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x1   x1   x1   (nếu có)

Bài 12: Cho hàm số

   

  





2 x x -2 f x

2x x 2

Tìm            

    x

x x

lim f x , lim f x vµ lim f x

(nếu có)

Bài 13: Cho hàm số  

   



 



x 2x x f x

4x x 2

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x2   x2   x2  (nếu có)

Bài 14: Cho hàm số

 

  

 

 



 

 

2

2

9 x -3 x<3

f x x

x x

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x3   x3   x3  (nếu có)

Bài 15: Tìm giới hạn bên hàm số

 

 

 

   

 

  

2

2 2x

khi x

f x 6-5x 1<x<3 x-3

khi x x

khi x1 vµ x 3 

PHẦN II: HÀM SỐ LIÊN TỤC: A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

o Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) Hàm số gọi liên tục điểm x0  (a;b) nếu:    0

lim

x x  f x   f x .Điểm x

gián đoạn hsố

o f(x) xác định khoảng (a;b) liên tục điểm x0 (a;b)

       

0

0 0

lim lim lim

x x

x x  f x  x x   f x    f x  f x

         

o f(x) xác định khoảng (a;b) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm thuộc khoảng

o f(x) xác định khoảng [a;b] gọi liên tục khoảng [a;b] liên tục

trên khoảng (a;b)

   

   

lim lim

x a

x b

f x f a

f x f b

 





    



  

  



o Hàm số đa thức liên tục R

o Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng

o Giả sử

   

       

 

   

 

  

 

0

0

0

y ,

:    ·  ,          

· Ham so y  lien tuc tai x neu g x

f x y g x liên tục điểm x

Khi đó Các hàm số y f x g x y f x g x liên tục x

f x

ø á â ï ï á

g x

o Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì tồn số c  (a; b):

f(c) = 0

o Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm c  (a; b)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Hàm số liên tục điểm: y f x liêntụctại x  0  x xlim ( ) 0 f x f x( )0

Để xét tính liên tục hàm số y=f(x) điểm xota thực bước sau: B1: Tính f(x0)

B2: Tính

lim ( )

x x f x ( nhiều trường hợp ta cần tính 0

lim ( )

x x f x

 , 0

lim ( )

x x  f x

 )

B3: So sánh x xlim ( ) 0 f x với f x 0

B4: Rút kết luận

Để xét tính liên tục hàm số y=f(x) khoảngta thực sau:

* Xét  x x hay x x0 (   , x x0 ) * Xét x x

B1: Tính f(x0)

B2: Tính

lim ( )

x x f x ( nhiều trường hợp ta cần tính 0

lim ( )

x x f x

 , 0

lim ( )

x x  f x

 )

B3: So sánh x xlim ( ) 0 f x với f x 0

B4: Rút kết luận

* Kết luận chung hàm số có liên tục khoảng hay hay khơng 3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]:y = f(x) liên tục (a;b)

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

 

 

4 Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm:

Để chứng minh phương trình có nghiệm khoảng (a,b) ta làm sau : B1: Đặt y = f(x)  hàm số liên tục (a;b)

B2: Tính f(a), f(b)  f(a) f(b)<0

B3: Kết luận có nghiệm phương trình C CÁC VÍ DỤ:

Bài Tính giới hạn sau:

a

Lim

x →1−

|x −1|

; c

x 1Lim f(x) = ?

x 3, x f(x)

2x-1, x

 

 

 



 e

2

x -3Lim f(x) = ? x

, x -3

f(x) x x

2x-1, x -3

 

 

 

  

 

b

Lim

x →1−

|x −1|

x2

+2x −3

d

x 1Lim f(x) = ?

x 3, x f(x)

2x-1, x

 

 

 



 f

2

x -3Lim f(x) = ? x

, x -3

f(x) x x

2x-1, x -3 



 

 

  

 



Bài giải.

a

1 Lim

1



 

x

x ;

1, x

1 1,

-(x-1), x

x

x  x x   

    

 

⇒Lim

x→1−

|x −1|=Lim

x →1−

(x −1)=0

b x →1

+¿ |x −1|

x2+2x −3

Lim

¿

1, x

1 1,

-(x-1), x

x

x  x x   

    

 

x →1+¿

x+3=

1 1+3=

1 x →1+¿ x −1

(x −1)(x+3)=Lim¿

x →1+¿ |x −1|

x2+2x −3=Lim¿

⇒Lim

¿

c Limx →1−f(x)=Limx →1−(2x-1)=1

d

x →1+¿

(x+3)=4

x →1+¿

f(x)=Lim

¿

Lim

¿

e x →Lim-3−f(x)=Lim

x →-3−(2x-1)=-7

f

x →-3+¿

(x2x+3

+x+2)=

-3+3

(-3)2+(−3)+2=0

x →-3+¿f

(x)=Lim

¿

Lim

¿

a

2

, x

( ) x

5x 3, x

x f x

 

 



  

 b

2

2

2

, x

( ) x-1

x 1, x

x x

f x

x

  

 



   



Tính các: x →1

+¿

Limf(x)

¿

; Limfx →(x1)− ; Limf(x →x)1 ; f(1)?

Bài giải.

a1 x1+ tức x>1, f(x)=2x −1

x Vậy

x →1+¿

(2x −x 1)=

2 1−1

1 =1

x →1+¿

f(x)=Lim

¿

Lim

¿

a2 x1- tức x<1, f(x)=5x+3 Vậy Lim

x →1−f

(x)=Lim

x →1−(5x

+3)=5 1+3=8

Vậy

x →1+¿

≠Limf(x)

x→1−

⇒

Limf(x)

¿

không tồn Limf(x)

x →1 f(1)=5.(1)+3=8

b1 x1+ tức x>1, f

(x)=x

2

+x −2

x-1

Vậy

x →1+¿

(x+2)=1+2=3

x →1+¿(x −1)(x+2)

x −1 =Lim¿

x →1+¿

(x2+x −2

x-1 )=Lim¿

x →1+¿

f(x)=Lim

¿

Lim

¿

b2 x1- tức x<1, f

(x)=x2+x+1 Vậy Lim

x →1−f(x)=Lim

x →1−(x

2

+x+1)=(1)2+1 (1)+1=3 .

Vậy

x →1+¿f

(x)=Lim

x→1−

f(x)=3⇒Lim

x →1 f(x)=3

Lim

¿

a

2

, x

( ) x

1, x

x f x

 

 



 

 b

2 2

, x

( ) x-1

3, x

x x

f x

  

 



 



Bài giải. a Ta có

f(1)=1 Limf(x)

x →1

=Lim

x →1

2x −1

x =

2 1−1 =1 Do Limf(x)x1  (1)1

f

Vậy f(x) liên tục x0=1 b Ta có

f(1)=3

3

2 Limf(x)

2

1

x   

  



 x

x x Lim

x

Do

x −1, nêu x≥1 −(x-1), nêu x<1 +¿↔ x>1,|x −1|={

¿x →1¿

Vậy f(x) liên tục x0=1

Bài Cho hàm số

2 2

, x ( )

2 , x

x x

f x x

a

 

 



  

 .

Giá trị a để hàm số liên tục x0=0 Bài giải.

Limf(x)

x →0

=Lim

x →0

x2−2x x =Limx→0

(x −2)=−2

Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 Limf(x)

x →0

=f(0)⇔2a+1=−2⇒a=−3

2

Bài Cho hàm số

2 16

, x

( )

2 , x

x

f x x

a

 

 

 

  

 .

Giá trị a để hàm số liên tục x0=4 Bài giải.

Ta có f(4)=2a+1

Lim

x →4 f(x)=Limx→4

x2−16 x −4 =Limx →4

(x+4)(x −4)

x −4 =Limx →4 (x+4)=4+4=8 Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 Lim

x →4 f (x)=f(4)⇔2a+1=8⇒a=

7

Bài Cho hàm số

2 2

, x

( ) 1

, x

x x

f x x

a

  

 

 

  

 .

Giá trị a để hàm số liên tục x0=-1 Bài giải.

Ta có f(1)=a+1

Lim

x →−1f

(x)=Lim

x → −1

x2− x −2 x+1 =Limx→ −1

(x+1) (x −2)

x+1 =Limx →−1

(x −2)=−1−2=−3

Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 Limx→-1f(x)=f(−1)⇔a+1=−3⇒a=−4 BÀI TẬP TỰ GIẢI

                                             3 0 0

x 3x

x víi x

1)f x x x g x điểm x R 2)f x x 2 điểm x =2; x

1 víi x=2

1 x

víi x víi x

3)f x x t¹i ®iĨm x =1; 4)f x x t¹i ®iĨm x =0; víi x=1

2 víi x=1

1 5)f x | x | điểm x=0; 6)f x

                                        2 0 2 x

với x

x tại điểm x =0;

víi x=0

x víi x x

víi x -2

7)f x 1 điểm x =-1; 8)f x x 2 ®iĨm x =-2

víi x=-1

4 víi x=-2

x 1víi x x víi x

9)f x điểm x =1; 10)f x

x víi x>1

                       2

0 3

tại điểm x =2; x víi x

x víi x<0 3x víi x -2

11)f x t¹i ®iĨm x =0; 12) f x t¹i ®iĨm x =-2

x víi x>-2 x víi x

Bài 2: xét tính liên tục hàm số x0=1

                        2

x a víi x=1 x x 2x

víi x

1)f x x 1 ; 2)f x x 1

víi x

3x a víi x=1

x

Bài 3: xét tính liên tục hàm số x=0và x=3

              2

a víi x=0 x x

f x víi x 3x

x 3x

b víi x=3

Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục x=0

   

x a x x 2a x

a)f x ; b)f x

x x x x x

   

 

 

    

 

Bài 5: Cho hàm số

 

2

x 3x

khi x x

f x

a x

          .

b) Tìm a để hàm số liển tục phải x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục R Hàm số liên tục khoảng Bài 1: Chứng minh rằng:

a)Hàm số f(x)=x4 x22 liên tục R.

b)Hàm số  

1 f x

1 x



 liên tục khoảng (-1; 1)

c)Hàm số f(x)= 2x liên tục nửa khoảng

1

[ ; )

2  .

Bài 2: Chứng minh hàm số sau liên tục tập xác định nó:

     

2

2

x 3x

a)f x ; b)f x x x; c)f x x x

2x x

 

        

 

Bài 3: Giải thích sao:

a)Hàm số f(x)=x sinx-2cos x+32 liên tục R

b)Hàm số  

 

3

x xcosx+sinx

g x liªn tơc trªn

2 s inx+3 R

c)Hàm số  

  

 2x s inx-cosx   R

h x liên tục điểm x k , k x s inx

Bài 4: Tìm khoảng, nửa khoảng hàm số sau liên tục:

             

 

2

x

a)f x ; b)f x x x 3; c)f x x s inx

x 7x 10

Bài 5: Hàm số

 

 

 

 

 

3

x

víi x

f x 4x 8

3 víi x=2 có liên tục R ?

     

 

     

 

    

  



  

  

  

 

   



   

   



 



2

2

2

2

2

a x víi x

x x x x víi x<1

1)f x ; 2)f x ; 3)f x ;

1 a x víi x>2 ax+1 x 2ax+3 víi x

x 3x

2x a víi x<1 x víi x

víi x<2

4)f x x 2x ; 5)f x ; 6)f x

2-x víi 1<x ax víi x mx+m+1 víi x

 

Bài 7: Xét tính liên tục hàm số

   



 



  

 

2

2 2x 2x

x > x

f(x)

x

mx x

Phần thứ ba : Kết Luận

Đối với tốn có liên quan đến phần giới hạn giảng dạy giáo viên cần :

- Nhắc lại công thức học

- Nêu lại định nghĩa giới hạn đặc biệt - Nêu lại phương pháp giải dạng toán

* Kiến nghị :

- Thời gian phân phối chương trình cịn ít, cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh

- Cần bổ sung thêm hệ thống tập vừa sức với học sinh