I/ Mở đầu : Bất đẳng thức cô si là BĐT rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều trong bài tập chứng minh BĐT và những bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu th[r]
(1)
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI, HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG
I/ Mở đầu: Bất đẳng thức cô si BĐT quan trọng toán học, áp dụng nhiều tập chứng minh BĐT tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
Nhưng BĐT Cô-si không đề cập sách giáo khoa tốn cấp hai mà có tập sách tập toán
Hệ BĐT Cô-si không phần quan trọng, áp dụng nhiều vào việc tìm GTLN,GTNN biểu thức Nhưng hệ BĐT Cô-si khôngdược đề cập sách toán cấp Đối với giáo viên giáo viên dạy nâng cao bồi dưỡng bỏ qua việc nghiên cứu áp dụng BĐT Cơ-si hệ cho tập toán cấp
II/ Nội dung:
a/ Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số khơng âm trung bình cộng ln lớn trung bình nhân
Cụ thể: Với a 0;b a+b2 ≥√ab đấu xảy a=b
b/ Hệ 1: Nếu tổng hai số dương, khơng đổi tích chúng lớn hai số
Cụ thể: a+b ≥2√ab mà a+b=S không thay đổi nên S ≥2√ab⇔a.b ≤S
2
4 max
a.b= S2
4 ⇔a=b
c/ Hệ 2: Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số
Cụ thể: a+b ≥2√ab mà a.b không đổi nên a+b ≥2√p (a+b)=2 √p⇔a=b
III/ Áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: M= a
2 +a+2
√a2
+a+1≥2 với giá trị a Dấu dẳng thức
xảy nào?
Gợi ý: Ta có: a
2
+a+2
√a2+a+1=
a2+a+1 √a2+a+1+
1
√a2+a+1=√a
2
+a+1+
√a2+a+1
Vì √a2+a+1 0 ;
√a2+a+1≥0 nên áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
√a2
+a+1 +
√a2+a+1
≥2√√a2+a+1
√a2+a+1
=2 vậymaxM=2
Dấu dẳng thức xảy khi:
√a2+a
+1=
√a2+a+1⇔a 2+a+1
=1⇔a(a+1)=0⇔ a=0
¿
a=−1
(2)Ví dụ 2: Cho a,b,c số dương Chứng minh: a2 b+c+
b2 a+c+
c2 a+b≥
a+b+c
2
Gợi ý: Áp dụng BĐT Cơ-si ccho số khơng âm có: a2
b+c+
b+c ≥2√
a2
b+c
b+c
4 =a ;
b2
a+c+
a+c ≥2√
b2
a+c
a+c =b ;
c2
a+b+ a+b
4 ≥2√
c2
a+b a+b
4 =c
Cộng vế theo vế BĐT ta có: a2
b+c+ b2 a+c+
c2
a+b≥(a+b+c)−
2(a+b+c)
4 =
a+b+c
2 (đpcm)
Ví dụ 3: Cho P=
√(x+3)(5− x) với -3<x<5 Tìm GTNN P giá trị tương ứng x
Ta giải cách dùng hệ BĐT Cô-si:
Đặt A= √(x+3)(5− x) nhận xét P>0 nên P đạt A đạt max (x+3)(5-x) đạt max
Xét tổng (x+3) +(5-x) = số không đổi Vậy tích (x+3)(5-x) đạt max ⇔ x+3=5-x
⇔ 2x=2 ⇔ x=1
(TMĐK) Thay x=1 vào P ⇒ P=2 x=1
Ví du 4:Cho biểu thức: M=x
2
+72
3x (x>0) Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ
Gợi ý:
N=x
2
+72
3x = x
3+ 24
x x
3≥0; 24
x ≥0 áp dụng hệ BĐT Cơ-si Xét tích x3.24
x =8 không thay đổi ⇒ x
3+ 24
x đạt ⇔ x
3= 24
x ⇔
x=6√2 (vì x>0)
Thay x=6√2 vào N ta có minN= 4√2 ⇔ x=6√2
Ví dụ 5: Tìm GTNN của:
¿
a , A=x+
x −1(x>1)
b , B=3 x+
x
1− x0<x<1
Ta biến đổi A để áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương: x −1
x −1
Ta có : A=(x −1)+
x −1+1 theo BĐT Cô-si: (x −1)+x −11≥2√(x −1).x −11=2
Vậy A 2+1=3 ⇒ A=3 ⇔ x −1¿
2
=1⇔x=2 x −1=
x −1⇔¿
(loại x=0 x>1) Ta biến đổi B cho áp dụng BĐT Cô-si
B=3 x+
x
1− x=
3
x−3+ x
1− x+3=
3(1− x) x +
x
(3)Vì 0<x<1 nên 3(1− x) x >0
x
1− x>0 áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
3(1− x) x +
x
1− x≥2√3
Vậy B 2√3+3 Suy B = 2√3+3 ⇔3(1− x)
x =
x
1− x
⇔2x2−6x+3=0⇔ x=3−√3
2
¿
x=3+√3
2 (KTMĐK)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy B= 2√3 ⇔ x=3−√3
2
Ví dụ 6:Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN của: E= √ a b+c+√
b c+a+√
c a+b Ví dụ dành cho bạn đọc