[r]
(1)GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Th
Thi vào Đại HọcQuốc Gia Hà nội-Đại Học KHoa học Tự nhiên Vòng 1(Ngày 12 tháng năm 2008)
Câu
1)Giải hệ phơng trình
x2
+y2=2x
x −1¿3+y3=1
¿ ¿ {
2)Giải phơng trình (2x+7)2x+7=x2+9x+7 Giải
1)
x2+y2=2x
x −1¿3+y3=1
¿
⇔
¿
x −1¿2+y2=1(1)
¿
x −1¿3+y3=1(2)
¿ ¿ ¿
Từ ta có: |x −1|≤1⇒|x ≤2|;|y|≤1 lấy PT(1) trừ PT (2) ta đợc PT (x-1)2(2-x)+y2(1-y)=0 (*)
ta thÊy x −1¿2≥0;(2− x)≥0;(1− y)≥0; y2≥0
¿
để PT(*) thoả mãn
x −1¿2(2− x)=0
¿ y2
(1− y)=0
¿
⇔
¿ x=1
¿ x=2
¿ y=0
¿ y=1
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
để thoả mãn hệ ban đầu ta có nghiệm sau (x;y)=(2;0);(1;1) 2)ĐKXĐ: x ≥−7
(2)x2−2x −7=0(1)
¿ x2
+12x+42=0(2)
¿ ¿ ¿ ¿
¿
(2x+7)√2x+7=x2+9x+7⇔x4+10x3+11x2−168x −294=0 ⇔(x4−2x3−7x2)+(12x3−24x2−84x)+(42x2−84x −294)=0
⇔x2.
(x2−2x −7)+12x.(x2−2x −7)+42 (x2−2x −7)=0 ⇔(x2−2x −7).(x2+12x+42)=0
⇔
¿
PT(2) v« nghiƯm
.PT(1) có nghiệm x1=1−2√2; x2=1+2√2 thoả mãn ĐKXĐ
C©u
1) Tìm tất số có chữ số : abcd thoả mãn đồng thời điều kiện abcd chia ht cho v abcbda=650
2) Tìm tất số nguyên p cho phơng trình
2x2 -(p+1)x+p+2008=0 có nghiệm số nguyên
Giải:
Giả sử phơng trình 2x2 -(p+1)x+p+2008=0 cã nghiÖm x
1;x2 số nguyên
Theo định lý Vi-ét ta có
¿ x1+x2=p+1
2 (1)
x1.x2=
p+2008
2 (2)
¿{
¿
Tõ (1) ta cã P lẻ;từ (2) ta có p chẵn
suy khơng tìm đợc P thoả mãn điều kiện
C©u 3:
1) cChứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ,BO,CO cắt AN,AM K I Ta có ∠ ABH= ∠ CAH ( phụ với ∠ ACH) suy ∠ B1= ∠ A1
Ta cã ∠ BAK+ ∠ A1=900 ⇒ ∠ BAK+ ∠ B=900
trong Δ BAK cã ∠ BAK+ ∠ B=900 ⇒ ∠ BKA=900 hay BK AN
2
2
1
I K
O
N
M H C
B
(3)xÐt Δ BAN cã
¿
BK⊥AN
∠B1=∠B2
⇒
¿{
¿
BK lµ trung trùc cđa AN (1)
Tơng tự ta có CI trung trực AM (2) mà BK cắt CI O (3) Từ (1);(2);(3) ta có O tâm đờng trịn ngoại tiếp Δ AMN (đpcm)
2) Gọi d1,d2 lần lợt đờng thẳng vng góc với BC M;N Chứng minh
d1,d2 tiếp xúc với đờng tròn nội tip tam giỏc ABC
Qua O kẻ OP,OQ;OR vuông gãc víi d1;d2;BC ta cã ∠PRQ=900 nªn d1;d2 tiÐp xóc
víi (O;OR)
Câu 4 Giả sử a,b số nguyên dơng thay đổi thoả mãn ab+1
a+b <
3 HÃy tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc
P=a
3b3
+1
a3+b3
Gi¶i
ab+1
a+b <
3
2⇔3a+3b<2 ab+2⇔4 ab−6a −6b+9<5
⇔2a(2b −3)−3(2b−3)<5⇔(2a −3)(2b −3)<5(∗)
Tõ (*) ta cã tồn a b nhỏ v× nÕu a a ≥3; b ≥3
th× (2a-3)(2b-3) mâu thuẫn với (*) -Giả sử 0<a<3 xét a=1 th× a
3
b3+1
a3
+b3 =
b3+1
1+b3=1
xÐt a=2 thya vµo (*) (2a-3)(2b-3)=2b-3<5 suy b<4 thay a=2 vµo P ta cã P=a3b3+1
a3+b3 =
8b3
+1
8+b3 =
8(b3
+8)−63
8+b3 =8−
63 8+b3
để P lớn B lớn mà b nguyên b<4 suy b lớn b=3
P=31
5 >1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P= 31
5 a=2;b=3
Thi vào Đại HọcQuốc Gia Hà nội-Đại Học KHoa học Tự nhiên Vòng 2(Ngày 13háng năm 2008
Câu
1) Giải hệ phơng trình
d1
d2
2
2
1
Q P
R
I K
O
N
M H C
B
(4)
¿
2x2y − y2x=1
8x3− y3
=7
¿{
¿
(1) 2)Tìm giá trị lớn biểu thức y=x+√2(1− x) víi 0≤ x ≤1
Gi¶i
1) ta có x=0,y=0 khơng nghiệm hệ đặt x=ty ( t R ;t ≠0 )
¿
(1)⇔
2t2y3−ty3=1
8t3y3− y3
=7 ⇔2t
2
−t
8t3−1= 7⇔8t
3−1
=14t2−7t⇔8t3−14t2+7t −1=0
¿
¿⇔(t −1)(2t −1)(4t −1)=0⇔
¿{
¿
Víi t=1 hay x=y thay vµo (1) ta cã
¿
2x3− x3=1
8x3− x3=7 ⇔x3=1⇔x=y=1
¿{
¿
Víi t=1
2 hay y=2x thay vµo (1) ta cã
¿
4x3−4x3
=1
8x3−8x3
=7 ⇔0x3=1(vonghiem)
¿{
¿
Víi t=1
4 hay y=4x thay vµo (1)
ta cã
¿
8x3−16x3=1
8x3−64x3
=7 ⇔x3=−1
8 ⇔
¿x=−1
2
y=−2
¿{
¿
VËy nghiƯm cđa hƯ lµ : (x ; y)=(1;1);(−1
2 ;−2)
2)áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số không âm 2(1-x) ta có √2(1− x)≤2−2x+1
2 =
3−2x
2 Nªn y ≤ x+3−2x
2 =
2 Giá trị lớn y= 2(1-x)=1 x=1
2 ( thoả mÃn điều kiện)
Câu 2
(5)2) Tìm số nguyên dơng a,b,c cho (ab1)(bc1)(ac1) abc
cng số nguyên
Giải
(1) 2x2+3x(y+1)+y2+2y+2=0 (2)
coi PT(2) phơng trình bậc ẩn x tham sè y
đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần Δ phơng
Ta có Δ=[3(y+1)]2−8(y2+2y+2)=9y2+18y+9−8y2−16y −16=y2+2y −7 Δ phơng; đặt Δ =k2 (k∈Z)
Ta cã y2+2y+1-8=k2 ⇔ (y+1)2-k2=8 ⇔ (y-k+1)(y+k+1)=8
MỈt khác (y-k+1); (y+k+1) tính chẵn lẻ xét 8=2.4=(-2).(-4) ta có Phơng trình có nghiệm (x;y)=(-2;2);(2;-4)
Câu3
I Q
K M
P O
B C
(6)1)Chứng minh phân giác góc KBQ góc KCQ qua điểm trªn PQ xÐt ΔPBK; ΔPQB
cã
¿
∠BPK : chung
∠PBK =∠PQB(¿1
2sdcungBK)
⇒
¿{
¿
Δ PBK Δ PQB nªn
PB PQ=
BK
BQ (1) tơng tự PCK PQC nên PC PQ=
CK CQ(2) Tõ (1)&(2) & PC=PB nªn BK
BQ= CK CQ(3)
mặt khác BI phân giác góc KBQ nên IK IQ=
BK BQ (4) tõ (3) vµ (4) suy IK
IQ= CK
CQ chứng tỏ IC phân giác góc KCQ
Câu 4 Cho phơng trình a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ .an-1x+an=0 (1)
Trong hệ số a1,a2,a3, ,an-1,an nhận giá trị 0;hoặc 1;hoặc-1
Vµ a0 0.Chứng minh x0 nghiệm (1) |x0|<2
Giải
Vì x0 nghiệm (1) nªn :
a0x0n=-( a1x0n-1 +a2x0 n-2+ .an-1x0 +an)
⇔|a0x0
n
|=|a1x0
n −1
+a2x0
n −2
+ +an −1x0+an|≤|a1x0
n−1
|+|a2x0
n −2
|+ +|an−1x0|+|an|
⇔|x0n
|≤|a1
a0x0
n −1
|+|a2
a0 x0
n −2
|+ +|an −1
a0 x0|+|
an a0|≤|x0
n−1
|+|x0n −2|+ +|x0|+|1| ⇔|x0n|≤(|x0
n −1|
+|x0n−2|+ +|x0|+|1|)(|x0|−1)
|x0|−1
=|x0
n|−1
x0−1 NÕu |x02| |x01|1 nên |x0n||x0
n
|1
|x0|−1