[r]
(1)Sở Giáo dục Đào Tạo Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên lam sơn
hoá Môn thi : Toán (Toán chuyên)
( Thời gian làm : 150 phút)
12A
Bài I (2,5điểm):
1) Cho ba số dơng a,b,c thỏa mÃn điều kiện : Tính giá trị biểu thức
2) Tìm tất số tự nhiên n cho n2-10n - 312 số phơng
Bài II (2,5 điểm):
1) Cho phơng trình : (1)
Tìm m cho phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
tho¶ m·n :
2) Cho điểm A(a;b) Biết với n ta ln tìm đợc a,b cho : m(a2+b2)+a+b = n điểm A thuộc đồ thị hàm số y = x+ n Tìm m
Bài III (1,5 điểm):
Cho 100 số nguyên dơng a1,a2,,a100 Mỗi số không lớn 100 Biết
a1+ a2+…+a100 = 200 Chứng minh từ 100 số chọn
đợc số cú tng bng 100
Bài IV (2 điểm):
Cho góc vng xOy.Trên cạnh Ox lấy điểm A cố định , cạnh Oy lấy điểm M thay đổi Vẽ hình vng AMNP nằm góc xOy.Gọi I giao điểm AN MP
1) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c OMN, biÕt OAM = 300 vµ OA=a
2) Khi M di chuyển tia Oy điểm N,P chuyển động ng thng no ?
Bài V (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC O ®iĨm bÊt kú n»m tam gi¸c C¸c tia AO,BO,CO cắt BC,CAvà AB lần lợt P,Q,R Chứng minh :
-đáp án đề sơ 12
thi tun sinh vào lớp 10 Thpt Chuyên lam sơn Môn thi : Toán ( Toán chuyên)
Bài ý Nội dung Điểm
I 2,5
1 Tõ gi¶ thiÕt suy ab + bc + ca =1
Do 1+a2= ab+bc+ca+a2 =b(a+c)+a(a+c) = (a+b)(a+c) 0,25
c=1−ab
a+b
S=√(1+a2)(1+b2)(1+c2)( a
1+a2+
b 1+b2+
c 1+c2)
(x2−1)(x+3)(x+5)=m
x1, x2, x3, x4
x1+ x2+
1 x3+
1 x4=−1
√OA OP +√
OB OQ+√
(2)T¬ng tù, ta cã : 1+b2=(a+b)(b+c) ; 1+c2=(a+c)(b+c) 0,25
Suy S = (a+b)(b+c)(b+c)( )
0,25
= a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) =2(ab+bc+ca)=2 0,25 Đặt n2-10n-312 =k2 , k N ⇔ (n-5)2- k2= 287
⇔ (n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41
0,25
TH1: n+k - = 287 n - k -5 = ,khi n = 149 0,25
TH2: n+k - = -1 n - k -5 = - 287 ,khi n = -139 ( loại) 0,25
TH3: n+k - = 41 n - k -5 = ,khi n = 29 0,25
TH4: n+k - = -7 n - k -5 = - 41 ,khi n = -19 (loại) 0,25
VËy n cần tìm n = 149 n=29 0,25
II 2,5
1 Phơng trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m (1)
(1) ⇔ (x2+4x+3)(x2+4x-5) = m (2)
đặt y = x2+4x+4=(x+2)2 0 Khi đó, (2) trở thành :
(y-1)(y-9) = m ⇔ y2-10y+9-m = (3) 0,5
(1) cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ (3) cã nghƯm tho¶ m·n y1> y2>
⇔
¿ Δ'>0
S>0
P>0
⇔ ¿16+m>0
10>0
9− m>0
⇔−16<m<9
¿{ {
¿
Gäi x1,x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình : x2+4x+4 - y1=0
x3,x4 hai nghiệm phơng trình : x2+4x+4 - y2=0
Ta cã: x1
1
+
x2+ x3+
1
x4=−1 ⇔
x1+x2
x1x2
+x3+x4 x2x4
=−1
0,5
⇔
4− y1+
4− y2=1⇔
32−4(y1+y2)
16−4(y1+y2)+y1y2=1
⇔ 32+40
16+40+9−m=1 ( theo ViÐt) ⇔
¿ 72=55−m
m≠55 ⇔m=−7
¿{
kết hợp với điều kiện -16 < m< ta có m =-7 giá trị cần t×m
0,5
a
(a+b)(a+c)+
b
(a+b)(b+c)+
c
(3)2 Vì A(a;b) thuộc đồ thị hàm số y = x+n nên ta có b = a+n
Do m(a2+b2)+a+b = n ∀ n ⇔ m[a2+(a+n)2] +a+a+n = n ∀
n
⇔ 2ma2+2(mn+1)a+mn2 = (*) ∀ n
TH1: m = (*) trë thµnh 2a = ⇔ a = ∀ n
0,5 TH2 : m 0, Δ ’= (mn+1)2-2m2n2
Víi n = −
m Δ ’= - 2< 0.Do phơng trình (*)(ẩn a)
vô nghiệm
Nh m = giá trị cần tìm 0,5
III 1,5
TH1: Tt số : a1=a2= = a100=2
Ta cã thÓ chän 50 sè a1,a2, , a50 th× a1+a2+ + a50=2.50 =100 0,25
TH2: Cã hai số khác Giả sử a1 a2
Đặt b0=a1,b1= a2, b2= a1+a2,b3 =a1+a2+a3,, b99= a1+a2++a99
Ta cã < b0, b1 ,…, b99 < 200
Chia 100 sè nµy cho 100 , cã hai khả xảy ra:
Có sè d b»ng
Gi¶ sư :bm = 100qm víi m 99 mµ 0<bm<200 suy qm=1 vµ
bm=100 Khi ,ta chọn a1,a2, , am a1+a2+…+am= bm =100
0,5
Kh«ng cã sè d nµo b»ng
Khi có tất 99 số d từ đến 99 mà có tất 100 số ;
ph¶i cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d 0,25
Giả sử : bm = 100qm +r bk = 100qk+r (m < k)
Suy <bk- bm = 100(qk- qm) < 200 ⇒ qk- qm= ⇒ qk=qm+1
VËy bk=100(qm+1)+r = 100 qm+r +100
Do bm > nên bk >100 bk khác b0 vµ b1(do b0=a1,b1=a2 100)
- NÕu k = ⇒ b2= a1+a2 = b0+b1= bm+100 víi m = hc m=1
⇒ mét hai sè b0 hc b1 b»ng 100 ⇒ a1=100 hc
a2=100
- NÕu k >2 ⇒ bm + am+1 +…+ ak = bm+100 ⇒ am+1 +…+ ak =
100
0,5
(4)1 Trong tam giác vuông AOM góc OAM = 300 nên AM=2OM.
L¹i cã : OA2=AM2- OM2 ⇒ 3OM2 = a2 ⇒ OM = a√3
3
Do AM= 2a√3
3 ⇒ MN=
2a√3
3 0,5
Qua O kẻ đờng thẳng song song với AM cắt tia NM H Ta có diện tích tam giác OMN S =
2 MN.OH
Mặt khác OAM = HMO =300 (cïng phơ víi AMO)
⇒ OM=2OH OH= a√3
6 Do S =
1
2a√3
a√3 = a2
6
0,5
2
Tø gi¸c AOMI néi tiÕp (v× I +O =1800) Suy AOI = AMI =450
Do OI tia phân giác góc xOy.Kẻ AI’ OI cắt Oy N’
Tam giác AON tam giác cân nên ON=OA=a điểm N’ cè
định Ta có AI
AN= AI' AN'=
1
2 ⇒ NN’// I’I mµ I’I AN nên NN AN
tại N
Vậy N chạy tia Nz AN N
0,5
H O
x
y
z t
A
M N’
I’
I
P N’
(5)Các điểm P,M,N’ nhìn AN dới góc vng nên năm điểm A,M,N’,N,P thuộc đờng tròn nên AN’P=AMP=450 Vậy điểm P chạy tia N’t OI N’.
Gọi giao điểm OI với N’P P’ Khi M trùng với O N trùng N’ Khi P trùng P’.Vậy P chạy tia P’t thuộc đờng thẳng
vu«ng gãc víi Oy ë N’ 0,5
V 1,5
Gọi S1,S2,S3,S lần lợt diện tích tam giác BOC,COA,AOB ,
ABC
Đặt S1=x2, S2=y2, S3=z2 suy S = x2+y2+z2
Ta cã AP
OP= S S1
=x
2
+y2+z2
x2 ⇔ AO
OP +1=1+ y2+z2
x2 ⇔AO
OP = y2
+z2
x2 ⇔√ AO OP =√
y2
+z2
x 0,5
T¬ng tù, ta cã : √BO
OQ=√ z2
+x2 y ; √
CO OR=√
x2
+y2 z
Do √OA
OP +√ OB OQ+√
OC OR=¿
√y2+z2
x + √
z2+x2
y + √
x2+y2
z 0,5
y+z
√2x+¿
z+x
√2y+¿
x+y
√2z √2(
y x+ z x+ x y+ z y+ x z+ y z)≥
6
√2=3√2
Tãm l¹i √OA
OP +√ OB OQ+√
OC
OR ≥3√2 0,5
(6)Ghi chú :*Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tơng ứng