Hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT thường xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong hình học 11

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Khoảng cách phần kiến thức mơn hình học 11, phần kiến thức thường gặp kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách mơn hình học 12, nhiên thời lượng lý thuyết tập sách giáo khoa có 03 tiết học Để cho học sinh hiểu rõ phần luyện kỹ tìm khoảng cách hình học khơng gian cần phải hướng dẫn thêm phương pháp làm đưa thêm ví dụ minh hoạ Do tơi biên soạn lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT Thường Xuân giải tập khoảng cách hình học 11 ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Truyền đạt đến học sinh phương pháp ví dụ phù hợp tính khoảng cách khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban Qua rèn luyện kĩ tốn học nâng lực tư cho học sinh gặp tập liên qua đến khoảng cách 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu phương trình đường trịn sách giáo khoa lớp 11 hành tính chất của khoảng cách phần trước 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đưa phương pháp chung để tính khoảng cách ví dụ minh hoạ cho phương pháp đó, hướng dẫn cách giải khác cho ví dụ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm [1]: 2.1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng M đường thẳng D Cho điểm mp( M , D ) H hình chiếu vng Trong gọi M D Khi khoảng cách góc MH gọi khoảng cách từ điểm M đến D d ( M , D ) = MH OH £ OM , " M Ỵ D Nhận xét: 2.1.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng ( a ) điểm M , gọi Cho mặt phẳng H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( a ) Khi khoảng cách ( a) M đến mặt phẳng MH gọi khoảng cách từ điểm d M ,( a ) = MH ( ) OH £ MO, " M Ỵ ( a ) Nhận xét: 2.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ( a ) song D mặt phẳng Cho đường thẳng song với Khi khoảng cách từ điểm ( a ) gọi D đến mặt phẳng D mặt phẳng khoảng cách đường thẳng d D,( a ) = d M ,( a ) , M Ỵ D ( a) 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( a ) ( b) song song với Cho hai mặt phẳng nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai ( a ) ( b) mặt phẳng d ( a ) ,( b) = d M ,( b) = d N , ( a ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) , M Î ( a ) , N Î ( b) 2.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a,b Độ dài đoạn Cho hai đường thẳng chéo MN a bđược gọi vng góc chung a b khoảng cách hai đường thẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh lúng túng làm tập khoảng cách, phần em chưa nắm hiểu kiến thức khoảng cách, phần lại đa số em chưa hiểu phương pháp tính khoảng cách cảm thấy khó học phần nên hay bỏ câu tập khoảng cách trình kiểm tra thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: M đến đường thẳng D Bài tốn 01: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm H điểm M đường thẳng ta cần xác định hình chiếu D , xem MH đường cao tam giác để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: mp( M , D ) MH ^ D Þ d ( M , D ) = MH • Trong vẽ ( a ) qua M vuụng gúc vi D ti ã Dng mt phng ị d ( M , D ) = MH MH Hai cơng thức sau thường dùng để tính D MAB vng M có đường cao AH • 1 = + 2 MH MA MB 2S MH = MAB MH đường cao AB D MAB • Các ví dụ ABCD.A ' B 'C 'D ' có cạnh Ví dụ Cho hình lập phương D ' đến đường chéo AC ' Tính khoảng từ đỉnh Lời giải H hình chiếu D ' AC ' Gọi ìï C 'D ' ^ D 'A ' ï Þ C 'D ' ^ ( ADD 'A ') í ïï C 'D ' ^ DD ' î Do Þ C ' D ' ^ D 'A D 'AC ' vng D ' có Vậy tam giác D 'H suy đường cao 1 = + = D 'H D 'A D 'C '2 Þ D 'H = a Vậy ( a 2) + H a = a2 2a2 d ( D ', AC ') = a ABCD hình vng tâm ( ABCD) a , cạnh O cạnh SA vuông góc với mặt phẳng SA = a Gọi I trung điểm cạnh SC M trung AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng điểm đoạn CM Lời giải ( ICM ) kẻ IH ^ CM Trong d ( I ,CM ) = IH N = MO Ç DC , N Ỵ CD Gọi Ví dụ Hình chóp S.ABCD có đáy Ta có D MHO : D MNC Þ OH OM = CN MC a OM = CN = ,CM = BM + BC 2 M ổử aữ a ữ = ỗ + a = ỗ ữ ỗ ữ ố2ứ Suy CN OM a OH = = MC 5, OI đường trung bình SA a OI = = 2 SAC nên ìï OI / / SA ï Þ OI ^ ( ABCD ) Þ OI ^ OH í ïï SA ^ ( ABCD ) ïỵ Ta có Þ D OHI vng O nên tam giác 2 ỉa ỉư a a 30 ữ ữ ữ I H = OH +OI = ỗ +ỗ =a = ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ç ç 10 10 è2ø è2 5ø 2 a 30 10 Vậy S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm Ví dụ Cho hình chóp SC ^ ( ABCD ) · a , góc O cạnh ABC = 1200 , SC = h Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA theo a h Lời giải d ( O, SA ) = OH OH ^ SA, H Ỵ SA Kẻ a ABCD hình thoi cạnh Do · a ABC = 1200 nên D CBD cạnh d ( I ,CM ) = Þ CO = a Þ CA = 2CO = a ( ) SA = CS +CA = h2 + a = 3a2 + h2 Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên a h OH OA OA.SC ah = Þ OH = = = SC SA SA 3a2 + h2 3a2 + h2 d ( O, SA) = OH = 3ah 3a2 + h2 S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh SA ^ ( ABCD ) a cạnh bên SA = a Gọi E trung , CD Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE điểm cạnh Lời giải d ( S, BM ) = SH ( SBM ) kẻ SH ^ BM Trong N = BM Ç AD , ta có Gọi Vậy Ví dụ Cho hình chóp AD P BC Þ Þ AN = 2a DN MD = = Þ DN = BC = a BC MC 1 = + AH AB AN ABN có Trong tam giác vng 1 = 2+ = 2a 2 a a Þ AH = ( 2a) SA ^ ( ABCD ) Þ SA ^ AH Þ D ASH vuông SH = AH + AS = A , 3a a + a2 = 5 3a 5 Vậy Bài tốn 02: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M đến mặt phẳng Phương pháp: Để tính khoảng từ điểm ( a ) điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu điểm d ( S, BM ) = SH = M sau: • Nếu có ( a ) Để xác định vị trí hình chiếu ta có số lưu ý d ^ ( a) MH P d (h1) ( b) chứa điểm M , xác định giao tuyến • Chọn D = ( a ) Ç ( b) ( b) dựng Trong MH ^ D Þ MH ^ ( a ) (h2) ( a ) có hai điểm A, B cho • Nếu ( a ) kẻ đường trung trực MA = MB mp( M ,d) d đoạn AB , dựng MH ^ ( a ) MH ^ d Khi (h3) I trung điểm AB Do Thật , Gọi MA = MB nên D MAB cân M Þ MI ^ AB Ì ( a ) Lại có AB ^ d Þ AB ^ mp( M ,d) Þ AB ^ MH ìï MH ^ AB ï Þ MH ^ ( a ) í ïï MH ^ d ỵ Vậy ( a ) có điểm A đường • Nếu d khơng qua A cho MA ^ d thẳng ( a ) kẻ đường thẳng d ' qua A mp( M ,d ') d ' ^ d , kẻ MH ^ d ' Þ MH ^ ( a ) ( h4) d ^ MA Þ d ^ mp( M ,d ') Þ d ^ MH d ^ d ' Thật , MH ^ d ' Þ MH ^ mp( d,d ') º ( a ) Lại có A1, A2, , An ( n ³ 3) ( a ) có điểm • Nếu mà MA1 = MA2 = = MAn đường thẳng ( a ) góc hình chiếu MA1, MA2, , MAn tạo với M A1A2 An ( a) tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác A1, A2, , An ( n ³ 3) ( a ) có điểm • Nếu mà mặt phẳng ( MA1A2) ,( MA2A3) , ,( MAnA1) hình chiếu M tâm đường A1A2 An tròn nội tiếp đa giác M xuống • Đơi khi, thay hình chiếu điểm ( a ) ta dựng hình chiếu điểm N khác MN P ( a ) thích hợp cho Khi d M ,( a ) = d N ,( a ) (h5) • Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vuông) là: OA,OB,OC đôi OABC có • Nếu tứ diện OH vng góc có đường cao 1 1 = + + OH OA OB OC ( ) ( ) Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp a , cạnh S.ABC có đáy ABC tam giác ( ABC ) SA = h , góc SA vng góc với ( SBC ) ( ABC ) hai mặt phẳng ( SBC ) theo a A đến h cách từ Lời giải I trung điểm BC , ta có Gọi ìï AI ^ BC ï Þ ( SAI ) ^ BC í ïï SA ^ BC ỵ · AIS Vậy góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) · Þ AIS = 600 cạnh 600 Tính khoảng ( SBC ) kẻ AH ^ SI ìï BC ^ ( SAI ) ï Þ AH ^ BC í ïï AH Ì ( SAI ) ïỵ Trong Ta có Vậy ìï AH ^ BC ï Þ AH ^ ( SBC ) í ïï AH ^ SI ỵ ( ) Þ d A,( SBC ) = AH AI = a a nên ABC cạnh Tam giác AI S ta có Trong tam giác 1 1 4h2 + 3a2 = + = + = AH AI AS ỉ ư2 h2 3a2h2 a 3ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ố ứ ị AH = ( ah 4h2 + 3a2 ) d A,( SBC ) = ah 4h2 + 3a2 Hay S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng Ví dụ Cho hình chóp BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên A B, SA vuông SA = a Gọi H hình chiếu vng góc góc với đáy SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng Lời giải ( ABCD ) gọi Trong ( SAM ) M = AB Ç CD , K = AH Ç SM , kẻ gọi AE ^ SC E gọi N AD trung điểm ABCN hình vng nên Dễ thấy NC = AB = a Do NA = NC = ND = a Þ D ACD A ( SCD ) Þ CD ^ AC , lại có C vng CD ^ SA Þ CD ^ ( SAC ) Þ ( SAC ) ^ ( SCD ) Vậy ìï ( SAC ) ^ ( SCD ) ïï ïï SAC Ç SCD = SC ) ( ) ïí ( Þ AE ^ ( SCD ) ïï AE Ì ( SAC ) ïï ïï AE ^ SC î ( AK E ) kẻ Trong HF ^ ( SCD ) ( ( 1) HF P AE , F Î K E , từ (1) suy ) Þ d H ,( SCD ) = HF BC P AD Þ MB BC a = = = Þ MA = 2AB = 2a Þ B MA AD 2a MA Do trung điểm BH BH BS BA a2 = = = = BS BS AB + AS a2 + a Lại có H trọng tâm tam giác SAM , Vậy HF KH 1 = = Þ HF = AE AE KA 3 AD, AM , AS đôi vng góc ADMS có ba cạnh Tứ diện ( ) 1 1 = + + 2 AE AD AM AS nên 1 1 = 2+ 2+ 2= Þ AE = a 4a 4a 2a a a Þ d H ,( SCD ) = HF = AE = 3 Vậy AE ^ ( SMD ) ( ) Nhận xét: Từ ta thấy đường thẳng AB d A,( a ) IA = IB d B,( a ) ( a ) I cắt ( ( ) ) ABCD.A 'B 'C 'D ' có ba kích thức Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật AB = a, AD = b, AA ' = c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( DA 'C ') Lời giải I tâm hình bình hành Gọi ADD 'A ' I trung điểm AD ' d A,( DA 'C ') IA = =1 ID ' d D ',( DA 'C ') Ta có Þ d A,( DA 'C ') = d D ',( DA 'C ') D 'ADC ' có cạnh Mặt khác ta có tứ diện D 'D, D 'A ', D 'C ' đôi vng góc nên 1 1 = + + D 'D D 'A '2 D 'C '2 d2 D ',( DA 'C ') ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + = a2 b2 c2 a2b2c2 abc d A,( DA 'C ') = = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + a2 b2 c2 Vây ABCD.A ' B 'C 'D ' có tất mặt hình Ví dụ Cho hình hộp · · · a , góc BAA ' = BAD = DAA ' = 600 Tính khoảng thoi cạnh ( ABCD ) A ' đến cách từ Lời giải ABCD.A ' B 'C 'D ' có tất mặt Do a hình thoi cạnh · · · BAA ' = BAD = DAA ' = 600 nên ABA ', ABD, ADA ' tam giác tam giác đếu cạnh a Þ A 'A = A 'B = A 'D ( A ' cách D ABD ) đếu ba đỉnh H hình chiếu A ' Gọi ( ABCD) tam giác vuông A 'HA, A 'HB, A 'HD HA = HB = HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp nên D ABD = ( ) 10 Gọi O giao điểm AC 2 a a AH = AO = = 3 BD , ta có ổ a 3ử ữ ỗ 2 ữ ỗ A 'H = AA ' - AH = a - ỗ =a ữ ữ ỗ ữ è ø ( ) d A ',( ABCD ) = A 'H = a Vậy S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng Ví dụ Cho hình chóp A D , tam giác SAD có cạnh 2a , BC = 3a mặt bên tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ ( ABCD ) S đến mặt phẳng Lời giải I hình chiếu vng góc S Gọi ( ABCD) , Gọi I 1, I 2, I 3, I I cạnh hình chiếu AB, BC ,CD, DA góc · S i = 1,4 II ) góc mặt bên i ( mặt đáy chúng nhau,suy tam SII 1,SII 2, SII 3, SII giác vuông I I = II = I I = I I Þ I tâm đường trịn nội tiếp hình nên ABCD thang AB + DC = AD + BC = 5a ABCD ngoại tiếp nên Vì tứ giác ABCD Diện tích hình thang 1 S = ( AB + DC ) AD = 5a.2a = 5a2 2 p r bán kính đường trịn nội tiếp hình Gọi nửa chu vi AB + DC + AD + BC 10a p= = = 5a 2 ABCD thang S 5a2 = = a Þ II = r = a p 5a SAD có cạnh 2a nên S = pr Þ r = Tam giác 11 2a = a Þ SI = SI 42 - II 42 = 3a2 - a2 = a 2 Vậy d S,( ABCD ) = SI = a Bài toán 03: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: a MN b Khi • Dựng đoạn vng góc chung d ( a,b) = MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : a a ^ b ta dựng đoạnvng góc chung b Nếu sau ( a ) chứa b vuông - Dựng mặt phẳng a góc với O = a Ç ( a) - Tìm giao điểm OH ^ b - Dựng OH đoạn vng góc chung a b Đoạn a,b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung Nếu a b theo hai cách sau: Cách ( a ) chứa b song - Dựng mặt phẳng a song với A ' điểm - Dựng hình chiếu ( a) A Ỵ a ( a ) dựng đường thẳng a ' qua - Trong a cắt A ' song song với b M , từ M dựng AA ' cắt a đường thẳng song song với N Đoạn MN đoạn vng a b góc chung Cách ( a ) vng góc với a - Dựng mặt phẳng O = a Ç ( a) - Tìm giao điểm ( a) b' b - Dựng hình chiếu ( a ) dựng OH ^ b' H - Trong a cắt H dựng đường thẳng song song với b B - Từ SI = ( ) 12 a B dựng đường thẳng song song với OH cắt - Từ a AB đoạn vng góc chung b - Đoạn a,b • Xem khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm ( a ) chứa b A Ỵ a đến mặt phẳng ( a ) Pa • Sử dụng ( ) ( A ) d ( a,b) = d ( a ) ,( b) = d A, ( b) , A ẻ ( a ) ã S dng phng pháp vec tơ a) MN đoạn vng góc chung AB CD uuur uuur ìï ïï AM = xAB uuu r ïï uuur ïï CN = yCD í uuur uuur ïï MN AB = ïï uuur uuu r ïï MN CD = ïỵ ( a) b) Nếu ur ucó r hai vec tơ khơng u1, u2 phương uuur ur ìï ïï OH ^ u1 ïï uuur ur OH = d O,( a ) Û í OH ^ u2 ïï ùù H ẻ ( a ) ùợ uuur ur ỡù ïï OH u1 = ïï uuur ur Û í OH u2 = ïï ïï H Ỵ ( a ) ïỵ Các ví dụ S.ABCD có đáy Ví dụ Cho hình chóp ( a) b) ) ABCD hình vng cạnh ( ABCD ) a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AD BD SC Lời giải 13 AH tam giác a) Kẻ đường cao SAB Ta có ìï AD ^ AB ï Þ AD ^ ( SAB ) Þ AD ^ AH í ïï AD ^ SA ỵ AH đoạn Vậy d ( AD, SB ) = AH SB AD , nên vng góc chung SAB vng cân A có đường cao AH nên Tam giác a AH = SB = 2 Vậy d ( AD, SB ) = AH = a 2 ìï BD ^ AC ï Þ BD ^ ( SAC ) í ïï BD ^ SA ỵ O tâm hình b) Ta có Gọi OK ^ SC , K Ỵ SC ABCD kẻ OK đoạn vng BD SC vng góc chung d ( BD, SC ) = OK = AI ( I trung điểm SC ) Vậy 1 1 a = + = + = Þ AK = AK AS AC a2 2a2 2a2 Ta có a d ( BD, SC ) = Vậy a Tính ABCD.A ' B 'C 'D ' cạnh Ví dụ Cho hình lập phương AD ' BD khoảng cách hai đường thẳng Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung 14 ìï BD P B 'D ' ï í ïï AD ' Ì ( AB 'D ') ( AB 'D ') mặt phẳng chứa ïỵ Do nên AD ' song song với BD O tâm hình vng ABCD Gọi ( AB 'D ') O Ta dựng hình chiếu điểm ìï B 'D ' ^ A 'C ' ï Þ B 'D ' ^ (CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C ( 1) í ïï B 'D ' ^ CC ' ỵ Do A 'C ^ AD ' ( 2) Tương tự A 'C ^ ( AB 'D ') ( 1) ,( 2) suy Từ Gọi G = A 'C Ç ( AB 'D ') D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng Do AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng tâm tam giác A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') OH PCA ' cắt AI H ( AB 'D ') O Ỵ BD H hình chiếu H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' Từ M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD ' d ( AD ', BD ) = MN BD MNOH hình chữ nhật nên MN = OH Do OH Dễ thấy ACG Þ OH = CG đường trung bình tam giác Mặt khác GC AC 2 3a = = Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a = GA ' A 'I 3 Trong dựng 3a a Þ OH = = 3 a 3 Vậy Cách Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung d ( AD ', BD ) = MN = OH = 15 ( DCB 'A ') vuông góc với Chon AD ' trung điểm O AD ' Gọi I tâm hình BCC 'B ' BI ^ CB ' vng BI ^ ( DCB 'A ') BI ^ CD nên DI hình chiếu DB từ ( DCB 'A ') lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , Trong H dựng đường thẳng song song với AD ' cắt BD từ M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung của d ( AD ', BD ) = MN AD ' BD OHMN Ta có MN = OH , mạt khác OH đường cao hình chữ nhật nên ODI nên tam giác vuông 1 a = + = Þ OH = 2 OH OD OI a a d ( AD ', BD ) = MN = OH = Vậy MN đoạn vuông góc chung Cách Giả sử M Ỵ AD ', N Ỵ BD Từ BD với M kẻ NQ ^ AD N kẻ AD ' MP ^ AD , từ 16 BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP Dễ thấy ; AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ AMQ DNP vuông cân nên Hai tam giác a QD = QN = QP = MP = PA = DP 2a a PN = = = 2 Lại có 2 ỉ ỉư a a 2ử a2 a ữ ỗ 2 ữ ç ÷ ç MN = PM + PN = ç ữ +ỗ = ị MN = ữ ữ ữ ữ ç ç ÷ è3ø è ø Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường ìï AD ' Ì ( AB 'D ') ïï ï BD Ì BDC ' í ( ) ïï ïï ( AB 'D ') P ( BDC ') ỵ Dễ thấy Þ d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ( ) I ,J giao điểm A 'C với mặt phẳng ( AB 'D ') ,( BDC ') I ,J trọng tâm Theo chứng minh cách ( BDC ') Mạt khác dễ dạng chứng minh AB 'D ' tam giác A 'C ^ ( AB 'D ') , A 'C ^ ( BDC ') a d ( AD ', BD ) = d ( ( AB 'D ') , ( BDC ') ) = IJ = A 'C = 3 suy Cách Sử dụng phương pháp vec tơ MN đoạn vng góc chung AD ' BD với Gọi M Ỵ AD ', N Ỵ BD Đặt uuur r uuur r uuur r r r r r r rr r r AB = x, AD = y, AA ' = z Þ x = y = z = a, xy = yz = zx = uuuu r r r uuur uuuu r r r uuur r r uuur r r AD ' = y + z Þ AM = kAD ' = k y + z , DB = x - y Þ DN = m x - y Gọi ( ) ( 17 ) Ta cóuuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + ( 1- k - m) y - kz Vì uuur uuur uuur uuur r r r r r MN ^ DB Þ MN DB = Û mx + ( 1- k - m) y + kz x - y = ( )( ) Û 2m + k - = uuur uuuu r MN AD ' = Û 1- m - 2k = , từ ta có hệ Tương tự ìï 2m + k = 1 ï Û m=k = í ïï m + 2k = ỵ Vậy uuur r r r uuur r r r 2ö a 1ổ ỗ MN = x + y - z Þ MN = MN = x +y +z ÷ = ữ ỗ ữ 3 9ỗ ố ứ SA, SB, SC đơi vng góc SABC có Ví dụ Cho tứ diện M , N trung điểm SA = SB = SC = a Gọi AB SA Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường SM CN thẳng Lời giải IK Cách Dựng đoạn vng góc chung SM CN hai đường thẳng IK ( theo cách 1) tính E trung điểm AM , ta có Gọi ìï NE Ì (CNE ) ï Þ SM P ( CNE ) í ïï SM P NE ỵ , (CNE ) mặt phẳng chứa CN SM song song với ( SAB ) , kẻ SF ^ NE Trong ìï NE ^ SF ï Þ NE ^ ( CSF ) Þ ( CSF ) ^ (CNE ) í ïï NE ^ CS (CSF ) ỵ Trong SH ^ CF Þ SH ^ ( CNE ) H hình chiếu S kẻ (CNE ) , từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN K , từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM I IK đoạn vng góc chung SN CN 18 Ta có SF = AM = Þ SH = a , 1 = + 2 SH SF SC = a2 a d ( SM ,CN ) = IK = SH = a Vậy Cách Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng SM CN ( theo cách 2) tính IK P ,Q trung điểm Gọi SB CN , E giao NP SM điểm NQ PCS,CS ^ ( SAB ) Khi Þ NQ ^ ( SAB ) Þ NQ ^ SM SM ^ NP Þ SM ^ ( NPQ ) Lại có E , dựng hình bình hành CSEH Þ CH P SE , mà SE ^ ( NPQ ) Þ CH ^ ( NPQ ) , NH hình chiếu ( NPQ) Kẻ NC EF ^ NH F , từ SM cắt CN I , từ đường thẳng song song với EF cắt SM K đường thẳng song song với CN SM đoạn vng góc chung EHN vng E có đường cao EF Tam giác 1 1 1 Þ = + = + = 2+ 2= 2 2 2 EF EH EN CS a a a ổ AB ỗ ữ ç ÷ ÷ ÷ ç è4 ø F kẻ I kẻ IK a a d ( CN , SM ) = IK = EF = Vậy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ EF đoạn vng góc chung SM CN Gọi uur r uur r uuu r r r r r SA = a,SB = b,SC = c Þ a = b = c = a Đặt rr rr rr ab = bc = ca = EF đoạn vng góc chung SM CN Þ EF = 19 uur uuur ìï ïï SE = xSM ïìï E Ỵ SM r uuur ïï uuu ïï ï CF = yCN ï F Ỵ CN r uuur Û ïí Û ïí uuu ïï EF ^ SM ïï EF SM = ïï ïï uuur uuur ïïỵ EF ^ CN ïï EF CN = ïỵ uuu r uur uuu r uuu r u.uu r uuu r EF = ES + SC + CF = SC + CF Ta có r x r r r ỉ r rư ữ ỗ =ca + b + y ỗ a - cữ = ( y - x) a ữ ỗ ữ 2 è2 ø uur r uuur uuur SE = c + yCN - xSM r r xb + ( 1- y) c ìï uuu r uuur ìï ï ì ïï EF SM = ïï - 2x + y = ïï x = r uuur Û í Û í í uuu ïï EF CN = ïï - x + 5y = ïï ỵ ïï y = ỵï ỵ Ta có SM CN đường thẳng Vậy đường vng góc chung EF uur uuur uuu r uuur SE = SM ,CF = CN 9 với uuu r r 2r 1r r r2 r a EF = a - b + c Þ EF = a + b + c = 9 81 81 81 Lúc ( ) a Vậy ABCD.A ' B 'C 'D ' cạnh Ví dụ Cho hình lập phương AD ' khoảng cách hai đường thẳng BD Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung d ( CN , SM ) = EF = ìï BD P B 'D ' ï í ïï AD ' Ì ( AB 'D ') ïỵ Do nên ( AB 'D ') mặt phẳng chứa BD song song với O tâm hình vng Gọi Ta dựng hình chiếu điểm a Tính AD ' ABCD O ( AB 'D ') 20 ìï B 'D ' ^ A 'C ' ï Þ B 'D ' ^ (CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C í ïï B 'D ' ^ CC ' ỵ Do ( 1) A 'C ^ AD ' ( 2) Tương tự A 'C ^ ( AB 'D ') ( 1) ,( 2) suy Từ Gọi G = A 'C Ç ( AB 'D ') D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng Do AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng tâm tam giác A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') OH PCA ' cắt AI H ( AB 'D ') O Ỵ BD H hình chiếu H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' Từ M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD ' d ( AD ', BD ) = MN BD MNOH MN = OH Do OH Dễ thấy hình chữ nhật nên ACG Þ OH = CG đường trung bình tam giác Mặt khác GC AC 2 3a = = Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a = GA ' A 'I 3 Trong dựng 3a a Þ OH = = 3 a 3 Vậy Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung d ( AD ', BD ) = MN = OH = ( DCB 'A ') vng góc với Chon AD ' trung điểm O I tâm hình vng Gọi BCC 'B ' BI ^ CB ' AD ' 21 BI ^ ( DCB 'A ') BI ^ CD nên DI hình chiếu từ ( DCB 'A ') DB lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H dựng đường thẳng Trong AD ' cắt BD M , từ M dựng đường song song với OH cắt N MN đoạn OA thẳng song song với AD ' BD vng góc chung của d ( AD ', BD ) = MN OHMN hình chữ nhật nên MN = OH , mạt khác Ta có OH đường cao tam giác vuông ODI nên 1 1 a = + = + = Þ OH = OH OD OI ỉ ư2 a2 a2 a 2ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ố ứ a d ( AD ', BD ) = MN = OH = Vậy MN đoạn vng góc Cách Giả sử AD ' BD với chung M Ỵ AD ', N Ỵ BD Từ M kẻ NQ ^ AD N kẻ MP ^ AD , từ BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP Dễ thấy ; AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ AMQ DNP vuông cân nên Hai tam giác a QD = QN = QP = MP = PA = Lại có PN = DP = 2a = a 2 2 ỉư ỉ a 2ư a2 a ÷ ç 2 ç ÷ ç MN = PM + PN = ỗ ữ + = ị MN = ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ứ ÷ è3ø è Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường 22 ìï AD ' Ì ( AB 'D ') ïï ï BD Ì BDC ' í ( ) ïï ïï ( AB 'D ') P ( BDC ') ợ D thy ị d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ( ) I ,J giao điểm A 'C với mặt phẳng ( AB 'D ') ,( BDC ') I ,J trọng tâm Theo chứng minh cách Gọi AB 'D ' ( BDC') Mặt khác dễ dạng chứng minh tam giác A 'C ⊥ ( AB'D') ,A 'C ⊥ ( BDC') a d ( A D',BD ) = d ( A B'D') ,( BDC') = IJ = A 'C = 3 suy ( ) Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi MN đoạn vng góc chung AD' BD với M ∈ AD',N ∈ BD uuur r uuur u r uuuur r r u r r ru r u rr rr AB = x,AD = y,AA ' = z ⇒ x = y = z = a,xy = yz = zx = Đặt uuuur u r r uuuur uuuur u r r uuur r u r uuuu r r u r AD' = y + z ⇒ A M = kAD' = k y + z ,DB = x − y ⇒ DN = m x − y uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur r u r r MN = AN − AM = AD + DN − AM = mx + ( 1− k − m) y − kz Ta có uuuur uuur uuuur uuur r u r r r u r MN ⊥ DB ⇒ MN.DB = ⇔ mx + ( 1− k − m) y + kz x − y = ( Vì ) ( ( )( ) ) ⇔ 2m + k − 1= uuuur uuuur Tương tự MN.AD' = ⇔ 1− m − 2k = , từ ta có hệ 2m + k = 1 ⇔ m= k =  m + 2k = uuuur r u r 1r uuuur r2 r 1 r u  a MN = x + y − z ⇒ MN = MN = x + y + z ÷= 3 9  Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2020-2021 dạy lớp 11B6 11B7 hai lớp có học lực tương đương theo đánh giá kỳ Do điều kiện thời gian lớp 11B6 không ôn tập nội dung sáng kiến này, cịn lớp 11B7 ơn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ 23 sau thời gian học ôn tập “Khoảng cách” kết học sinh lớp 11B7 làm tốt lớp 11B6 Cụ thể sau: Sĩ số Số hs Số hs Số hs Điểm trung Điểm thấp Điểm điểm điểm khá, bình trung cao Lớp yếu trung giỏi lớp 11B6 bình 37 Lớp 11B7 Sĩ số Số hs điểm yếu 40 27 5,9 Số hs điểm trung bình Số hs khá, giỏi Điểm trung bình trung lớp Điểm thấp Điểm cao 26 12 6,8 10 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: có tài liệu tham khảo giảng dạy “Khoảng cách” chương trình hình học lớp 11 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chủ đề này, thấy em học sinh tự tin đứng trước tốn tính khoảng cách không gian kết làm tập phần có nhiều tiến Với thời lượng hạn chế khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chưa đưa thêm tập cho học sinh rèn luyện thêm nên mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh học “Khoảng cách” lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 4.Tài liệu tham khảo Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đồn, Trần Đức Hun cộng (2006) Hình học 11, nhà xuất giáo dục, 3, 115-118 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T T Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp 24 Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Tỉnh ) (A, B, C) loại Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 Ngành GD C 2019-2020 giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Phân loại phương pháp giải tập phương trình đường trịn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 18 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 25 ... 'A '2 D 'C '2 d2 D ',( DA 'C ') ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + = a2 b2 c2 a2b2c2 abc d A,( DA 'C ') = = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + a2 b2 c2 Vây ABCD.A ' B 'C 'D ' có tất mặt hình. .. dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Tỉnh ) (A, B, C) loại Ngành GD C 20 06 -20 07 Ngành GD C 20 12- 2013 Ngành GD C 20 15 -20 16 Ngành GD C 20 19 -20 20 giải toán Hướng dẫn học. .. gian lớp 11B6 không ôn tập nội dung sáng kiến này, lớp 11B7 ôn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ 23 sau thời gian học ôn tập ? ?Khoảng cách? ?? kết học sinh lớp 11B7 làm tốt lớp