Kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn

MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU………………………………………………………… Trang 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm……………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 2.3.1.Dạng 1………………………………………………………… 2.3.2.Dạng ……………………………………………………… 10 2.3.3.Dạng 3………………………………………………………… 14 2.3.4.Bài tập áp dụng…………………………………………… 16 2.4 Hiệu sáng kiến họat động dạy học 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………… 19 Kết luận ………………………………………………………… 20 Kiến nghị ………………………………………………………… 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đứng trước toán, đặc biệt tốn khó người làm tốn ln đặt phương hướng giải Tuy nhiên người ham mê tốn cịn tìm cách giải khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn lạ lại kích thích tính tị mị, khám phá lịng say mê mơn học Trong chương trình tốn THPT (lớp 12) thường gặp tốn tính tích phân dạng hàm ẩn Đây dạng toán thường gặp đề thi học sinh giỏi đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia Có nhiều phương pháp để giải dạng tốn Với học sinh phổ thơng việc sử dụng kỹ thuật đổi biến để đưa dạng cơng thức quen thuộc chương trình học sách giáo khoa dễ hiểu thiết thực cho học sinh ứng dụng Nhằm phát triển tư sáng tạo giúp học sinh biết cách tìm tịi q trình học tốn đặc biệt với em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT hướng cho em tìm nhiều cách giải tốn, mục đích nhằm phát triển tư sáng tạo kỹ làm tốn Với lí trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2021 với nội dung “ Kinh nghiệm đổi biến số toán tính tích phân chứa hàm ẩn ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Với việc nghiên cứu đề tài “ Kinh nghiệm đổi biến số tốn tính tích phân chứa hàm ẩn ” giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi tính tích phân cách nhanh hơn, lạ sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến áp dụng cho học sinh mức độ trung bình trở lên lớp 12 -THPT Nga Sơn -Thanh Hóa Tất nhiên với đối tượng lớp mà có ví dụ minh họa tốn áp dụng khác 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm trình bày dạng tốn tiêu biểu thường gặp, có ví dụ minh hoạ điển hình số tập áp dụng Qua mong muốn khai thác thêm hay đẹp toán học đồng thời góp phần tăng thêm kỹ giải tốn cho học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình tốn lớp 12 học sinh học nguyên hàm, tích phân nhiên với dạng tích phân chứa hàm ẩn, học sinh thường coi dạng tốn khó lạ Tuy nhiên với việc đưa số dạng công thức quen thuộc học sinh học việc tính tốn trở nên đơn giản Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 12 (cả nâng cao) dạy phương pháp đổi biến số để tính tích phân Xin nhắc lại định nghĩa tích phân ( SGK Giải tích NC lớp 12 trang 148 mục 2) ,tính chất tích phân (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 151 mục ) phương pháp đổi biến số (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 158, 159 mục ) lý thuyết để tính tích phân hàm ẩn 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân f từ a b đến b kí hiệu ∫ b f ( x)dx Trong trường hợp a < b , ta gọi a ∫ f ( x)dx tích phân a f đoạn [ a; b] b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b) − F (a) Như F b nguyên hàm f K ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F ( a) a 2.1.2 Tính chất Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có: a 1) ∫ f ( x)dx = a 2) b a a b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b 3) ∫ a b ∫[ 4) a c c b a f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx b b a a f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx b b a a 5) ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx với k ∈ R Chú ý: Nếu F ′( x) = f ( x) với x ∈ K F ( x) = ∫ f ( x)dx 2.1.3 Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số công thức sau b u( b) a u( a ) ∫ f u ( x )  u ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du (1) Trong hàm số u ( x ) có đạo hàm liên tục K , hàm số y = f ( u ) liên tục cho hàm hợp f u ( x )  xác định K ; a b hai số thuộc K Ta có hai cách đổi biến số : Cách b Giả sử ta cần tính ∫ g ( x ) dx Nếu ta viết g ( x ) a cơng thức (1) ta có : b u( b) a u( a) ∫ g ( x ) dx = ∫ f (u) du u( b) Vậy toán quy tính dạng f u ( x )  u ' ( x ) theo ∫ f ( u ) du Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân u( a) đơn giản Cách β ∫ f ( x ) dx Giả sử ta cần tính Đặt x = x ( t ) , ( t ∈ K ) a, b ∈ K thoả mãn α α = x ( a ) , β = x ( b ) công thức (1) cho ta β ∫ α b f ( x ) dx = ∫ f  x ( t )  x ' ( t ) dt (a, b ∈ K ) a b ∫ g ( t ) dt Vậy tốn quy tính a (ở g ( t ) = f  x ( t )  x ' ( t ) Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân đơn giản 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau dạy xong phần phương pháp đổi biến số, để áp dụng yêu cầu em làm ví dụ minh họa Tuy nhiên qua theo dõi em làm, số em không áp dụng phương pháp học mà sử dụng máy tính để tính cho kết Điều không nắm bắt khả hiểu sáng tạo học sinh Vì thế, để thay đổi điều đợt đề thi thử, kỳ thi tốt nghiệp THPT cho học sinh lớp phân công giảng dạy trường THPT Nga Sơn tơi tốn sau: Bài tốn: Cho hàm số f ( x ) hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f (2 − x) = x.e x 2 ∀x ∈ ¡ Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx Với đáp án đưa sau: e4 − A I = B I = 2e − C I = e4 − D I = e4 − *Kết qủa thu Khi chấm em thấy phần lớn em không làm Thực tốn khơng khó, có “lạ”với em dạng hàm ẩn Tuy nhiên ta biết sử dụng phương pháp tối ưu mà cụ thể đổi biến số phù hợp để tính toán trở nên đơn giản quen thuộc, ta có lời giải sau : Lời giải 2 0 x x Ta có f ( x) + f (2 − x) = x.e ⇔ ∫ [ f ( x) + f (2 − x) ] dx = ∫ x.e dx = 2 x2 e d ( x ) ∫ 20 2 2 e4 − ⇔ ∫ f ( x).dx + ∫ f ( − x ) dx = e x = 2 0 Coi J = ∫ f ( − x ) dx đặt: t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 0 2 Ta : J = ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( t ) ( −dt ) = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = I Từ I = e4 − e4 − ⇒I= Chọn đáp án A Như nhờ cách đổi biến số tích phân hàm ẩn ta giúp học sinh phát đặc điểm toán, từ lạ thành quen, có cách giải ngắn gọn dễ hiểu kể với học sinh học mức độ trung bình Học sinh khơng thể dựa vào máy tính để chọn đáp án cách dễ dàng mà phải có tư sáng tạo q trình làm để chọn đáp án Bài toán dạng 2.3.3 phần giải pháp sử dụng để giải vấn đề mà trình bày Sau năm trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT tơi tìm tịi cách giải phù hợp đó: “ Kinh nghiệm đổi biến số tốn tính tích phân chứa hàm ẩn ” phương pháp mạnh dạn cải tiến phương pháp, đồng thời áp dụng sáng kiến trình giảng dạy trường THPT Nga Sơn Thanh Hoá 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để làm sáng tỏ điều xin đưa dạng tốn bản, 13 ví dụ điển hình từ dễ đến khó tập áp dụng cho loại Cũng xin nói thêm nhằm phát huy tư duy, sáng tạo kỹ giải toán cho học sinh, nên tốn minh hoạ theo hình thức tự luận phần tập áp dụng theo hình thức trắc nghiệm, để phù hợp với kỳ thi Cụ thể sau : 2.3.1: Dạng Cho hàm số f ( x ) tích phân hàm số f ( x ) , ta tính tích phân chứa hàm ẩn Ở dạng từ việc cho hàm số f ( x ) (cho nhiều công thức, cho b đồ thị ) Ta phải tính tích phân hàm ẩn ∫ f u ( x ) dx nhờ cách đổi biến số a ta đưa tích phân chứa hàm số f ( x ) từ tính tích phân b ∫ f u ( x ) dx a Khi trình bày ví dụ minh hoạ trường hợp đơn giản ta viết u ' ( x ) dx = du Sau ví dụ minh hoạ với nhiều tình khác cho dạng Đây dạng tích phân mà Bộ GDĐT thường dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPT đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh nước Bài Cho hàm số f liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = 2 Tính I = ∫  xf ( x ) − x f ( x )  dx Lời giải 1 Ta có I = ∫ xf ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx = A − B 0 * Tính A = ∫ xf ( x ) dx Đặt t = x ⇒ dt = xdx Đổi cận x = ⇒ t = x = ⇒ t = 1 1 Khi A = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 * Tính B = ∫ x f ( x ) dx Đặt t = x3 ⇒ dt = 3x dx Đổi cận x = ⇒ t = x = ⇒ t = 1 1 Khi B = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 30 30 Vậy I = A − B = − = Bài Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( 3x − ) dx −1 Lời giải Ta có −1 −1 ∫ f ( 3x − ) dx = ∫ f ( −3x + ) dx + ∫ f ( 3x − ) dx = I + I2 3 * Tính I1 = ∫ f ( −3x + ) dx −1 Đặt t = −3x + ⇒ dt = −3dx , đổi cận x = −1 ⇒ t = 5; x = ⇒ t = Do đó: 5 1 I1 = ∫ f ( −3 x + ) dx = ∫ f ( t ) d ( −t ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 35 30 30 −1 * Tính I = ∫2 f ( 3x − ) dx 3 Đặt t = 3x − ⇒ dt = 3dx , đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Do đó: 1 1 I = ∫ f ( 3x − ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 30 30 Vậy I = I1 + I = + =  x + x ≥ y = f x = ( ) Bài Cho hàm số Tính tích phân :  5 − x x < π 0 I = ∫ f ( sinx ) cosxdx + 3∫ f ( − x ) dx Lời giải π π I = ∫ f ( sinx ) cosxdx + 3∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( sinx ) d ( sinx ) − = ∫ f ( x ) dx + 0 3 f ( − 2x )d ( − 2x ) ∫0 3 f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx + ∫ f ( x + 3) dx = + 22 = 31 ∫ 21 21 Vậy I = 31 Bài Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ: π 2 40 Tính tích phân : I = ∫ f '(4sinx − 2) cosx dx + ∫ f '(x + 2)dx Lời giải Ta có : π I=∫ π 2 1 f '(4 sinx − 2) cosx dx + ∫ f '(x + 2) dx = ∫ f '(4 sinx − 2)d (4 sinx − 2) + ∫ f ( x + 2)d ( x + 2) 40 40 40 4 1 1 f '( x )dx + ∫ f '(x) dx = ∫ f '( x)dx = f ( x) −2 = [ f (4) − f (−2) ] = ∫ −2 42 −2 4 Vậy I = e x + a x ≥ Bài Cho hàm số y = f ( x ) =  có đạo hàm x0 = Tính tích  − x + bx x < = phân : I = − ln ( e +1) ∫ f  ln ( be − x + a )  dx x + ae   e ln  ÷  e +1  Lời giải Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 = :  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) 1 + a =  a = −1  x →0 x →0 ⇔ ⇔  + − 1 = b b =  f ' ( ) = f ' ( ) x e -1 x ≥ y = f x = ( ) Khi :  nên I =  − x + x x < − ln ( e +1) ∫ f ln ( e− x − 1)  dx x − e   e ln  ÷  e +1  Đặt t = ln ( e − x −1) ⇒ dt = −e − x 1 dx = − dx ⇒ −dt = dx −x x e −1 1− e − ex Đổi cận x = ln e ⇒ t = −1; x = − ln ( e + 1) ⇒ t = e +1 Ta : 1 −1 −1 −1 I = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 = − ∫ ( − x + x ) dx − ∫ ( e x − 1) dx = − ( e − 2) = − e 4 Vậy I = − e Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy dù việc cho hàm số nhiều dạng khác ( nhiều công thức, chứa trị tuyệt đối, đồ thị ) Nhờ việc đổi biến số thích hợp ta dễ dàng tính tích phân hàm ẩn thơng qua định nghĩa, tính chất tích phân Đây tình giúp học sinh chuyển từ lạ trở thành quen thuộc dễ hiểu quan trọng phát huy tư học sinh hạn chế vào máy tính để tính 2.3.2:Dạng Cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, cách sử dụng phương pháp đổi biến số dùng tính chất thích hợp tích phân, ta tính b b tích phân ∫ f ( x)dx tích phân chứa hàm ẩn a ∫ f ( u ( x ) ) dx a Ta có ví dụ minh hoạ sau: Bài Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục [ −4; 4] biết ∫ f ( − x ) dx = −2 ∫ f ( −2 x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx Lời giải 10 * Xét tích phân ∫ f ( − x ) dx = Đặt − x = t ⇒ dx = −dt −2 ∫ Đổi cận: x = −2 t = ; x = t = −2 2 0 2 f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx = * Xét tích phân ∫ f ( −2 x ) dx = Đặt t = x ⇒ dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = f ( −2 x ) dx = ∫ 4 2 4 1 f ( −t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = (do f ( −t ) = − f ( t ) ∀t ∈ [ −4; 4] ) ∫ 22 22 ⇒ ∫ f ( t ) dt = −8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 4 0 Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − = −6 Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn: π ( ) ∫ cot x f sin x dx = π 16 ∫ f ( x ) dx = x 1 Tính tích phân I = ∫1 f ( 4x) dx x Lời giải π 2 Xét tích phân : J = ∫ cotx f ( sin x ) dx = π Đặt t = sin x ⇒ dt = 2sin x.cos xdx = 2sin x.cot xdx ⇒ cot xdx = 1 f ( x) f ( t) f ( x) 1= J = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ dx = Khi 21 t 21 x x 2 11 dt 2t ( x ) dx = Đặt u = f 16 Xét tích phân: K = ∫ x Khi đó: = K = 2∫ Khi đó: I =∫ dx ⇒ dx = 2udu x 4 f ( u) f ( x) f ( x) du = ∫ dx ⇒ ∫ dx = u x x 1 Xét tích phân: x ⇒ du = I =∫ f ( 4x) v dx Đặt v = x ⇒ dx = dv; x = x 4 4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) dv = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = + = v x x x 2 1 2 Vậy ta tìm được: I = ∫ Bài Cho tích phân f −2 ( ) x + − x dx = ∫ f ( x) dx = Tính tích phân: x2 I = ∫ f ( x ) dx Lời giải ∫f( ) Xét I1 = x + − x dx −2 Đặt t = x + − x ⇔ t + x = x + ⇔ ( t + x ) = x + ⇔ x + xt + t = x + ⇒x= t  1 − ⇒ dx = −  + ÷dt 2t 2  2t  x = −2 ⇒ t = x = ⇒ t = Đổi cận :  5 5 f ( t)  1  1 Khi : I1 = − ∫  2t + ÷ f ( t ) dt = ∫  2t + ÷f ( t ) dt = ∫ t dt + ∫ f ( t ) dt   5 1 1 5 5 Suy : = + ∫ f ( t ) dt ⇔ ∫ f ( t ) dt = −13 ⇒ I = ∫ f ( x ) dx = −13 21 1 12 Vậy ta tìm được: I = −13 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn Bài f ( 1) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( ) x dx = f Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ dx = 2tdt Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Suy ∫ ( ) x dx = 2∫ t f ( t ) dt ⇔ ∫ t f ( t ) dt = f 0 1 1 ⇔ ∫ x f ( x ) dx = 5 1 x2 x2 x2 Mặt khác ∫ x f ( x ) dx = f ( x ) − ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx 2 0 0 1 1 x2 1 3 Suy ∫ f ′ ( x ) dx = − = 10 ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = 0 Ta tính ∫ ( 3x ) 2 dx = 1 2 Do ∫  f ′ ( x )  dx − 2∫ 3x f ′ ( x ) dx + ∫ ( 3x ) dx = ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) − 3x ) dx = 0 2 ⇔ f ′ ( x ) − 3x = ⇔ f ′ ( x ) = 3x ⇔ f ( x ) = x + C 2 3 Vì f ( 1) = nên f ( x ) = x 1 0 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = Bài 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn đẳng thức sau với x ∈ ¡ : sin xf ( cos x ) + cos xf ( sin x ) = sin x − sin x Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx Lời giải π π 0 Ta có: ∫ sin xf ( cos x ) + cos xf ( sin x )  dx = ∫  sin x − sin x ÷dx π π ⇔ ∫ sin xf ( cos x ) dx + ∫ cos xf ( sin x ) dx = 0 π 2  sin x ( + cos 2 x ) dx ∫ 20 π * Tính I1 = ∫ sin xf ( cos x ) dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ −dt = sin xdx 13  Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = 1 0 π ⇒t = Ta có: I1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = I π * Tương tự , ta tính được: I = ∫ cos xf ( sin x ) dx = ∫ f ( x ) dx = I 0 π π * Tính I = ∫ sin x ( + cos 2 x ) dx = − ∫ ( + cos 2 x ) d ( cos x ) 20 40 π 1 1 −4  = −  cos x + cos3 x ÷ = − + = 4 4 3 0 π π π Do ∫ sin xf ( cos x ) dx + ∫ cos xf ( sin x ) dx = ∫ sin x ( + cos 2 x ) dx trở thành: 20 0 2 ⇔ I + I = ⇒ 2I = ⇒ I = 3 3 Vậy ta đươc: I = I1 + I = Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy nhờ việc đổi biến số ta chuyển từ việc cho tích phân hàm ẩn, cách sử dụng tính chất quen thuộc ta chuyển tích phân hàm số f ( x ) để tính Đây tình giúp học sinh chuyển từ lạ trở thành quen thuộc dễ hiểu 2.3.3: Dạng Cho mối liên hệ hàm số f(x) hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho mối liên hệ hàm số f ( x ) hàm ẩn nó, sử dụng phương pháp đổi biến số ta tính tích phân hàm số f ( x ) hàm ẩn Để làm rõ điều ta có ví dụ minh hoạ đây: Bài 11 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = 2sin x π Tính tích phân : ∫ f ( x ) dx − π Lời giải 14 Giả sử I = π ∫ f ( x ) dx π − Ta tính tích phân J = t = −x ⇒ dt = −dx , Khi đó: J = Suy ra: I = − π ∫π f ( − x ) dx π π 2 π π x = →t = − 2 đổi cận x = − → t = π − ∫ f ( − x ) dx J = π − Đặt π π π ∫ f ( t ) d ( −t ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = I π π − π − π π ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx = ∫ 2sin xdx = ⇒ I = ⇒ I = − π − π Vậy ta được: I = Bài 12 Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải Ta có: f ( x ) + f ( − x ) = − x ( 1) Đặt t = − x ⇒ x = − t , phương trình ( 1) trở thành f ( − t ) + f ( t ) = t Thay t x ta phương trình f ( x ) + f ( − x ) = x ( ) ( 1) Từ ⇒ f ( x) =  2 f ( x ) + f ( − x ) = − x ta có hệ phương trình:   3 f ( x ) + f ( − x ) = x ( 2) ( x − 1− x ⇒ ∫ f ( x ) dx = 1 ( ) ) 1 3 x − − x dx = ∫ xdx − ∫ − xdx ∫ 50 50 50 2 = ∫ x dx + ∫ ( − x ) d ( − x ) = − = 50 50 15 15 Vậy I = 15 15 Bài 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm [ 0;3] ; f ( − x ) f ( x ) = 1, f ( x ) ≠ −1 x f ′ ( x ) dx với x ∈ [ 0;3] thoả mãn f ( ) = Tính tích phân: I= ∫  + f − x f x  ( ) ( )   Lời giải ( + f ( − x) ) 2 2 f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) f ( x ) + f ( − x ) f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + = ( f ( x ) + 1) Do ta có : I = ∫ x f ′ ( x ) ( + f ( x) ) dx u = x du = dx   Đặt dv = f ′ ( x ) dx ⇒ v = −   1+ f ( x) ( 1+ f ( x) )   3 −x dx −3 I= +∫ = + I1 + f ( x ) 0 + f ( x ) + f ( 3) f ( 0) = ⇒ f ( 3) = 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = Khi đó: 3 dt =∫ + f − t ( ) 0 I1 = ∫ I1 = ∫ + f ( x) + f ( x) f ( x ) dx dx =∫ 1+ f ( x) 1+ f ( x) dx = ⇒ I1 = 2 Vậy ta được: I = −1 + = Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy từ việc cho mối liên hệ hàm số f ( x ) hàm ẩn nó, cách sử dụng đổi biến số ta suy hàm số f ( x ) để tính tích phân Để làm điều cần hướng dẫn học sinh khôn khéo cách đổi biến khai thác tình đề cho cách sáng tạo 2.3.4 :Bài tập áp dụng Bài Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ f (2 x )dx = Tích phân A ∫ f ( x)dx bằng: B C 16 D  x2 − m y = f x = ( ) Bài Cho hàm số  2 cos x − x ≥ liên tục ¡ x < π Giá trị I = ∫ f ( cos x − ) sin xdx bằng: A B ∫ Bài Cho −2 C f ( x ) dx = Tính I = ∫ f D −1 ( x ) dx bằng: A I = x B I = D I = C I = Bài Cho f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) = f ( 10 − x ) ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ( x ) dx A 80 B 60 C 40 D 20 π Bài Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ tan x f (cos x)dx = ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x2 ) dx x A B C Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn e ∫ f ( ln x ) x ln x e x dx = Tính A ∫ π ∫ tan x f ( cos x ) dx = 2 f ( 2x ) dx x B D 10 C Bài 7.Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn D 2018 ∫ f ( x ) dx = Khi tích phân e 2018 ∫ −1 ( ) x f ln ( x + 1) dx bằng: x +1 A B C D Bài 8.Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f (− x) = cos x với ∀x ∈ ¡ 17 Tính tích phân I = A I = π ∫ f ( x)dx −π 3π 28 B I = 3π 32 C I = π 12 D I = 3π 16 Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn: f ( x) − f (2 − x) = − x − 12 x + 16 với ∀x ∈ [ 0; 2] Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx A I = − 12 B I = − 13 C I = − 14 D I = − 16 2  Bài 10 Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  ;1 thỏa mãn f ( x) + f ( ) = x 3  3x f ( x) 2  với ∀x ∈  ;1 Tính tích phân I = ∫2 x dx 3  3 A I = B I = C I = D I = − 2.4 Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học Nội dung sáng kiến trình bày tùy theo đối tượng lớp 12 chủ yếu dành cho em học sinh giỏi Sự hứng thú tự tin học sinh việc học Toán, đặc biệt loại tốn tích phân, thật cải thiện, góp phần vào thành tích chung kì thi nhà trường năm học qua Sau nhiều năm phân công trực tiếp giảng dạy khối lớp 12, đặc biệt đối tượng học sinh khá, giỏi trường THPT Nga Sơn –Thanh Hóa, tơi áp dụng sáng kiến việc giảng dạy đại trà lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi tốt nghiệp THPT Từ tơi rút kết luận sau : * Kết kiểm nghiệm q trình giảng dạy cho nhóm lớp: ( Lớp 12D, 12C ,12M trường THPT Nga Sơn Thanh Hố) Lớp Sĩ số (theo nhóm) Số học sinh làm dạng Số học sinh làm dạng chưa dạy phương dạy phương pháp pháp Số lượng Phần trăm 18 Số lưọng Phần trăm 12D 16 25 % 13 81 % 12C 18 11 % 13 72% 12M 15 20 % 12 80 % * Kết kiểm nghiệm tính hiệu cho học sinh dạy sử dụng phương pháp: - Giúp học sinh rèn luyện kỹ phân tích tốn để tìm mối liên hệ với kiến thức học, từ áp dụng để giải tốn tương tự, có liên quan - Làm cho học sinh yêu thích gây thích thú tị mị khám phá mơn học - Có cách giải hợp lí, hay, ngắn gọn đồng thời khai thác dạng toán để áp dụng làm toán tương tự - Sau sử dụng phương pháp vào việc giảng dạy nhận thấy số học sinh giỏi ngày tăng lên năm học sinh không cịn ‘‘ e ngại’’ gặp tốn tích phân hàm ẩn * Bài học kinh nghiệm rút ra: Sau thời gian đưa vào sử dụng, bồi dưỡng học sinh rút số kinh nghiệm sau: - Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo - Lựa chọn phương pháp giảng dạy môn phù hợp với đối tượng học sinh - Để áp dụng làm tốt tập cần cho học sinh nắm vững sở lý thuyết vấn đề tránh thiếu sót khơng chặt chẽ q trình giải tập học sinh - Khi cho tập cần nâng cao dần mức độ khó - Sau tập cần chốt lại vấn đề nhận xét nhằm lôi học sinh có lịng say mê học tốn 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận 19 Trên sáng kiến tơi q trình trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Sau nhiều năm hệ thống thành chuyên đề : “ Kinh nghiệm đổi biến số tốn tính tích phân chứa hàm ẩn ” Đây phương pháp hữu ích giúp học sinh biết chuyển toán từ lạ thành quen, từ tưởng phức tạp thành toán đơn giản để giải đặc biệt làm cho học sinh cảm thấy hứng thú say mê sáng tạo học tập Dạng toán chuyên đề quan trọng giúp cho giáo viên ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi hàng năm Kiến nghị Mặc dù thân tâm huyết với đề tài, thời gian nghiên cứu hạn chế, thân kinh nghiệm chưa nhiều nên viết khơng tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý chân thành quý Thầy Cô giáo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 15 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trịnh Văn Hoan TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 Sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2008 Sách giáo khoa Đại số giải tích 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2008 Phương pháp tính tích phân – Nguyễn Hữu Ngọc (Chủ biên) –NXB Trẻ -Năm 2002 Giải toán đại số giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục -Năm 2003 Báo toán học tuổi trẻ 6.Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương – NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Năm 2011 Đề thi thử THPT tốt nghiệp THPT Sở GDĐT Thanh Hoá (2018, 2021), Nam Định( 2021), Tp Hồ Chí Minh (2021) … Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Quảng Nam, Bắc Giang, Thái Bình… 9.Tham khảo Internet DANH MỤC 21 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Văn Hoan Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga sơn TT Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN Phương pháp lượng giác hoá để giải Sở GD&ĐT phương trình vơ tỷ Tỉnh Thanh Hố Phương pháp toạ độ để giải biện luận Sở GD&ĐT phương trình chứa tham số Tỉnh Thanh Hoá Sử dụng phương pháp toạ độ, để giải Sở GD&ĐT toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, Tỉnh Thanh nhỏ Hoá - Hướng dẫn học sinh xác định số hạng Sở GD&ĐT tổng quát dãy số cho công thức truy Tỉnh Thanh hồi, qua học cấp số cộng, cấp số nhân Hoá - Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách Sở GD&ĐT tốn hình học khơng gian Tỉnh Thanh Hố - Phát triển tư sáng tạo cho học sinh Sở GD&ĐT qua số toán GTLN, GTNN Tỉnh Thanh BĐT phương pháp toạ độ Hố - Phương pháp tìm giới hạn dãy số Sở GD&ĐT cho cơng thức truy hồi, qua việc Tỉnh Thanh tìm số hạng tổng quát dãy Hoá 22 Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại C 2006-2007 B 2011-2012 C 2013-2014 C 2014-2015 C 2015-2016 C 2016-2017 C 2017-2018 ... máy tính để tính 2.3.2:Dạng Cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, cách sử dụng phương pháp đổi biến. .. hệ hàm số f(x) hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho mối liên hệ hàm số f ( x ) hàm ẩn nó, sử dụng phương pháp đổi biến số ta tính tích phân. .. ta tính tích phân chứa hàm ẩn Ở dạng từ việc cho hàm số f ( x ) (cho nhiều công thức, cho b đồ thị ) Ta phải tính tích phân hàm ẩn ∫ f u ( x ) dx nhờ cách đổi biến số a ta đưa tích phân chứa