hot hot hot

Trên đây là 5 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn có một số bài tập khác cũng vận dụng phân tích thành nhân tử để giải [r]

PHÁT HUY TÍNH CỰC CỦA HỌC SINH QUA VIỆC GIẢI TỐN PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Với xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, người cần phải có tri thức, tư nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống hàng ngày Muốn có tri thức người cần phải học, nhà trường nơi cung cấp hành trang Bộ mơn tốn trường trung học sở, môn đại số môn rèn luyện tính tư nhạy bén học sinh, địi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề góc độ phải liên hệ tốn giải,những kiến thức biết để giải quyết.Vì người thầy phải cho học sinh nắm dạng toán hướng mở rộng tốn Từ để học sinh phát triển tư hình thành kĩ giải tốn Muốn đạt điều phải địi hỏi tính tích cực, tính tư người học phương pháp người thầy quan trọng,làm cho học sinh học làm hai ba Từ tốn đơn giản mở rộng lên khó

Khi tính tốn phép tính đa thức,nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ngồi ba phương pháp : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng đẳng thức ta cịn có phương pháp khác tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy trí lực học sinh, phát triển tư toán học

Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn khó Vì vậy, tơi nêu phương pháp phát huy trí lực học sinh qua việc dạy, giải tập áp dụng phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử

B NỘI DUNG

1 Các phương pháp a Phương pháp

- Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng )

b Ví dụ:

15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 )

2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)

2.Phương pháp dùng đẳng thức a Phương pháp:

- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ:

9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)

-27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4)

25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2

3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a Phương pháp

- Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm

- Áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x – 3

= (2x3 + 2x) - (3x2 + 3)

= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)

= (x2 +1) (2x - 3)

x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4)

4 Phối hợp nhiều phương pháp

a Phương pháp: - Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung

+ Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b Ví dụ:

3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4)

=3x (y -2 )2

=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)

=3xy

2 2

(x 2x 1) (y 2ay a )

      

 

=3xy









2

x y a

    

 

=3xy 



x 1

 

 y a

 

   x 1

 

 ya



 =3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a )

5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a Phương pháp:

Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung.

b Ví dụ:

Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử

* Cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x +

= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + -

= ( x - 3)2 - 1

=( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2)

* Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12

=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)

* Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4)

=(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2)

=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)

Tuy có nhiều cách tách thông dụng hai cách sau:

* Cách : Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung

Áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau:

- Tìm tích ac

- Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số có tổng b

Khi hạng tử bx tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 - 4x - 3

- Tích ac 4.(- 3) = - 12

- Chọn thừa số có tổng : - (- 6)

4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1)

=(2x + 1)(2x - 3)

*

Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương

Ví dụ: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22

= (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2

= ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2) 6 Phương pháp thêm bớt hạng tử.

a Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng

a2- b2 sau thêm bớt

b Ví dụ:

4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2

= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)

x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)

= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)

II Các phương pháp khác:

1 Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a Phương pháp:

Đặt ẩn phụ đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp b Ví dụ:

* Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử

đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3)

Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3)

* Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.

đặt x2 + x = y ta y2 + 4y + = (y +1)(y+2)

2 Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp:

Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với

hệ số đa thức b.Ví dụ:

Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.

Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac

Vì đa thức đồng nên: a+ b = ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15

Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)

3 Phương pháp xét giá trị riêng. a Phương pháp:

Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số cịn lại

b.Ví dụ :

P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x y thấy

P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x -y)

Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).

đúng với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z =

ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2)  k =-1

c) Ngoài ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trị biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a.

c1) Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử

F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b).

Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

1+1 = k.1.1.(-2)  k = -1

Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

c2)Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz

- Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y

Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) 4 Phương pháp tìm nghiệm đa thức:

a Phương pháp:

Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

Ví dụ: x3 + 3x - 4

Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c)

 -ac = -  a ước - 4

Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi

Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức  đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)

*Cách 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2

*Cách 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1)

= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)

Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x-1)

-Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có chứa nhân tử ( x + 1)

Ví dụ:

* Đa thức: x2 - 5x + 8x - có - + - = 0

 Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + có -5 + =1 + 3

 Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1).

+ Nếu đa thức khơng có nghiệm nguyên đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa

thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p

q p ước hạng tử khơng đổi, q ước dương hạng tử cao

Ví dụ:

2x3 - 5x2 + 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ có đa thức là: (-1), 1, ( 

), 2, (

3 

),(

2) (- 3), Sau khi kiểm tra ta thấy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)

2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

5 Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c

Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số

bằng phương pháp biết

Nếu b2 - 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp

nữa

b Ví dụ: 2x2 - 7x + 3

a =2, b = -7, c =

xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52

 phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1)

hoặc phân tích cách để bình phương đủ

2x2 - 7x + = 2(x2-

7 2x +

= (x2 - 2.

7 4x +

49 25 16 16 )

=         2

(x ) ( )

4 =

 

 

 

7

(x - - )(x - + )

4 4 = 2(x-3)(x-1 2) Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x

1, x2 thì:

P(x) = a(x - x1)(x - x2)

Phần 2: Giải tốn phân tích đa thức 1 Bài toán rút gọn biểu thức.

a Ví dụ: Cho

A =

2 x x x

x x x 5x 6x

              

a1) Rút gọn A

a2) Tính giá trị A với x = 998

a3).Tìm giá trị x để A >

b Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu

Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh

b Ví dụ 2: (Các tốn tương tự )Rút gọn biểu thức :

A =

4

4

1

2

x x x x x x x

  

   

B =

2 2

2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b ab ac b bc

    

  

C =

3 3

2 2

3 ( ) ( ) ( )

x y z xyz x y y z z x

  

    

Đường lối giải : Để rút gọn phân thức trên:

- Bước 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung

2.Bài tốn giải phương trình:

a.Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B =

(4x + 3)2 - 25 = 0

Giải: Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng

8(2x - 1)(x +2) =  x =

2 x = -2 3 Bài tốn giải bất phương trình

a Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường

b Ví dụ: Giải bất phương trình b1)

2

2

x

x  x > 1



2 (x 2)(x 3)



  > 0

Nhận xét: (- 2) <  (x- 2)(x - 3) <  < x<

b2) 3x2 - 10x - >

(3x+ 2)( x- 4) >

Ta lập bảng xét dấu tích Kết x < 

x > 4 Bài toán chứng minh chia hết

a Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết

b Ví dụ:

b1) Chứng minh x  ta có biểu thức

P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho 8.

Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho b2) Chứng minh biểu thức :

2 3

n n n

 

số nguyên n 

Biến đổi biểu thức dạng

2 3

6

n n n

và chứng minh (2n+3n2+n3)

Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số ngun liên tiếp,vì có thừa

số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho mà (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậyn



2 3

n n n

 

số nguyên

5 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức

A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối cùng.

b Ví dụ :Chứng tỏ x2+x+1 > x

Ta viết : x2+x+1 = x2+2.

1 2x+

1 4 = (x+

1 2)2 +

3 4 ≥

3

4>0 x.

Ví dụ : Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

(Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y )

Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

= (x2+

1

4y2+16+xy+8x+4y) + (

59

4 y2- 3y) + 2005 -16

=(x+

2y+4)2+

59

4 ( y2 - 2.

6 59y+ 36 3481)+1989- 59

= (x+

2y+4)2+ 59

4

(y-6 59)2+

117342 59 ≥ 117342 59 Vì (x+

2y+4)2≥ , 59

4

(y-6

59)2 ≥ 0.Dấu " =" xảy

 239 59 6 59 59 x x y y y                    

  Vậy A(x,y) đạt GTNN

117342 59 Phần B ta làm cách tách tương tự

Kết luận

nét hướng dẫn giải theo đường ngắn nhất.Có học sinh hoạt động tích cực hơn, phát huy tư duy-trí tuệ

Qua tập vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh rèn luyện - củng cố tư tổng hợp

C KẾT LUẬN CHUNG

Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp tới phương pháp khác tạo lên lơgíc chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích

Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức

Trong năm học qua tối đa vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tịi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dụng rút gọn biểu thức ý nghĩa việc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu ) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu thức chung biểu thức

Số học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng vào tập 85%

Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển tư học sinh qua việc dạy giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử

Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn !

PHÁT HUY TÍNH CỰC CỦA HỌC SINH QUA VIỆC GIẢI TỐN PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

dạng toán hướng mở rộng tốn Từ để học sinh phát triển tư hình thành kĩ giải tốn Muốn đạt điều phải địi hỏi tính tích cực, tính tư người học phương pháp người thầy quan trọng,làm cho học sinh học làm hai ba Từ toán đơn giản mở rộng lên khó

Khi tính tốn phép tính đa thức,nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ba phương pháp : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng đẳng thức ta cịn có phương pháp khác tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy trí lực học sinh, phát triển tư toán học

Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn khó Vì vậy, tơi nêu phương pháp phát huy trí lực học sinh qua việc dạy, giải tập áp dụng phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử

B NỘI DUNG

Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1 Các phương pháp

a Phương pháp

- Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác

- Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng )

b Ví dụ:

15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 )

2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)

- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ:

9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)

-27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4)

25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2

3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a Phương pháp

- Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm

- Áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x – 3

= (2x3 + 2x) - (3x2 + 3)

= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)

= (x2 +1) (2x - 3)

x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4)

4 Phối hợp nhiều phương pháp

a Phương pháp: - Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung

+ Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b Ví dụ:

3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4)

=3x (y -2 )2

3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy

=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)

=3xy

2 2

(x 2x 1) (y 2ay a )

      

 

=3xy









2

x y a

    

 

=3xy 



x 1

 

 y a

 

   x 1

 

 ya



 =3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a )

5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a Phương pháp:

Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung.

Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử

* Cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x +

= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + -

= ( x - 3)2 - 1

=( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2)

* Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12

=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)

* Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4)

=(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2)

=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)

Tuy có nhiều cách tách thông dụng hai cách sau:

* Cách : Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung

Áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau:

- Tìm tích ac

- Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số có tổng b

Khi hạng tử bx tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 - 4x - 3

- Tích ac 4.(- 3) = - 12

- Phân tích -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chọn thừa số có tổng : - (- 6)

4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1)

=(2x + 1)(2x - 3)

*

Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương

Ví dụ: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22

= (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2

a Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng

a2- b2 sau thêm bớt

b Ví dụ:

4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2

= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)

x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)

= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)

II Các phương pháp khác:

1 Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a Phương pháp:

Đặt ẩn phụ đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp b Ví dụ:

* Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử

đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3)

Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3)

* Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.

đặt x2 + x = y ta y2 + 4y + = (y +1)(y+2)

Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)

2 Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp:

Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với

hệ số đa thức b.Ví dụ:

Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.

Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac

ac =-30 Chọn a = 2, c = -15

Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)

3 Phương pháp xét giá trị riêng. a Phương pháp:

Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại

b.Ví dụ :

P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x y thấy

P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x -y)

Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).

đúng với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z =

ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2)  k =-1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

c) Ngoài ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trị biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a.

c1) Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử

F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b).

Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

1+1 = k.1.1.(-2)  k = -1

Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz

- Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y

Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) 4 Phương pháp tìm nghiệm đa thức:

a Phương pháp:

Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

Ví dụ: x3 + 3x - 4

Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c)

 -ac = -  a ước - 4

Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi

Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức  đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)

*Cách 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2

*Cách 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1)

= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)

= ( x - 1)(x + 2)2

Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x-1)

-Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có chứa nhân tử ( x + 1)

Ví dụ:

* Đa thức: x2 - 5x + 8x - có - + - = 0

 Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + có -5 + =1 + 3

 Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1).

+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa

thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p

Ví dụ:

2x3 - 5x2 + 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ có đa thức là: (-1), 1, ( 

), 2, (

3 

),(

2) (- 3), Sau khi kiểm tra ta thấy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)

2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

5 Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c

Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số

bằng phương pháp biết

Nếu b2 - 4ac không bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp

nữa

b Ví dụ: 2x2 - 7x + 3

a =2, b = -7, c =

xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52

 phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1)

hoặc phân tích cách để bình phương đủ

2x2 - 7x + = 2(x2-

7 2x +

3 2)

= (x2 - 2.

7 4x +

49 25 16 16 )

=         2

(x ) ( )

4 =

 

 

 

7

(x - - )(x - + )

4 4 = 2(x-3)(x-1 2) Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x

1, x2 thì:

P(x) = a(x - x1)(x - x2)

Phần 2: Giải tốn phân tích đa thức 1 Bài tốn rút gọn biểu thức.

a Ví dụ: Cho

A =

2 x x x

x x x 5x 6x

              

a1) Rút gọn A

a3).Tìm giá trị x để A >

b Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu

Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh

b Ví dụ 2: (Các toán tương tự )Rút gọn biểu thức : A =

4

4

1

2

x x x x x x x

  

   

B =

2 2

2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b ab ac b bc

    

  

C =

3 3

2 2

3 ( ) ( ) ( )

x y z xyz x y y z z x

  

    

Đường lối giải : Để rút gọn phân thức trên:

- Bước 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung

2.Bài toán giải phương trình:

a.Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B =

b Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 = 0

Giải: Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng

8(2x - 1)(x +2) =  x =

2 x = -2 3 Bài toán giải bất phương trình

a Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường

b Ví dụ: Giải bất phương trình b1)

2

2

x



2 (x 2)(x 3)



  > 0

Nhận xét: (- 2) <  (x- 2)(x - 3) <  < x<

b2) 3x2 - 10x - >

(3x+ 2)( x- 4) >

Ta lập bảng xét dấu tích Kết x < 

x > 4 Bài toán chứng minh chia hết

a Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết

b Ví dụ:

b1) Chứng minh x  ta có biểu thức

P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho 8.

Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho b2) Chứng minh biểu thức :

2 3

n n n

 

số nguyên n 

Biến đổi biểu thức dạng

2 3

6

n n n

và chứng minh (2n+3n2+n3)

chia hết cho

Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số ngun liên tiếp,vì có thừa

số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho mà (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậyn



2 3

n n n

 

số ngun

5 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức

A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối cùng.

b Ví dụ :Chứng tỏ x2+x+1 > x

Ta viết : x2+x+1 = x2+2.

1 2x+

1 4 = (x+

1 2)2 +

3 4 ≥

3

4>0 x. Ví dụ : Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức

A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

(Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y )

= (x2+

1

4y2+16+xy+8x+4y) + (

59

4 y2- 3y) + 2005 -16

=(x+

2y+4)2+

59

4 ( y2 - 2.

6 59y+ 36 3481)+1989- 59 = (x+

1

2y+4)2+ 59

4

(y-6 59)2+

117342 59 ≥ 117342 59 Vì (x+

2y+4)2≥ , 59

4

(y-6

59)2 ≥ 0.Dấu " =" xảy

 239 59 6 59 59 x x y y y                    

  Vậy A(x,y) đạt GTNN

117342 59 Phần B ta làm cách tách tương tự

Kết luận

Trên loại tốn áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử.Tất nhiên khơng có dạng mà cịn có số tập khác vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn,thơng minh hơn.Đường lối giải tập học sinh biết vận dụng phương pháp tích hợp để giải.Giáo viên tác động đến đối tượng cho phù hợp với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỷ, học sinh -giỏi nên nét hướng dẫn giải theo đường ngắn nhất.Có học sinh hoạt động tích cực hơn, phát huy tư duy-trí tuệ

Qua tập vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh rèn luyện - củng cố tư tổng hợp

C KẾT LUẬN CHUNG

Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp tới phương pháp khác tạo lên lơgíc chặt chẽ tốn học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích

Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức

mẫu phân thức quan trọng, khơng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu ) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu thức chung biểu thức

Số học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng vào tập 85%

Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển tư học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn !

Good lucky to you!